Числовые неравенства и их свойства. Свойства числовых неравенств — Гипермаркет знаний

С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.

Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Числовые неравенства: определение, примеры

При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение.

Определение 1

Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.

Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 .

Свойства числовых неравенств

Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».

Определение 2

• число a больше b , когда разность a - b – положительное число;
• число a меньше b , когда разность a - b – отрицательное число;
• число a равно b , когда разность a - b равняется нулю.

Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что

Определение 3

• a больше или равно b , когда a - b является неотрицательным числом;
• a меньше или равно b , когда a - b является неположительным числом.

Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.

Основные свойства

Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах:

Определение 4

• антирефлексивности , которое говорит о том, что любое число a из неравенств a < a и a > a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a − a = 0 , отсюда получаем, что а = а. Значит, a < a и a > a неверно. Например, 3 < 3 и - 4 14 15 > - 4 14 15 являются неверными.
• ассиметричности . Когда числа a и b являются такими, что a < b , то b > a , и если a > b , то b < a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b > a . Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.

Пример 1

Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 .

Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.

Определение 5

• транзитивности . Когда числа a , b , c соответствуют условию a < b и b < c , тогда a < c , и если a > b и b > c , тогда a > c .

Доказательство 1

Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.

Пример 2

Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 .

Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность.

Определение 6

Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства:

• рефлексивности a ≥ a и a ≤ a считаются верными неравенствами;
• антисимметричности, когда a ≤ b , тогда b ≥ a , и если a ≥ b , тогда b ≤ a .
• транзитивности, когда a ≤ b и b ≤ c , тогда a ≤ c , а также, если a ≥ b и b ≥ c , то тогда a ≥ c .

Доказательство производится аналогичным образом.

Другие важные свойства числовых неравенств

Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.

Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• если a > b , то a + c > b + c ;
• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
• если a ≥ b , то a + c ≥ b + c .

Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.

Определение 7

Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Доказательство 2

Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Пример 3

К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 .

Определение 8

Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c .

Доказательство 3

Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах.

Пример 4

Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:

• Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как a < b , как − a > − b . Это соответствует правилу умножения обеих частей на - 1 . Оно применимо для перехода. Например, − 6 < − 2 , то 6 > 2 .
• Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами, a < b , 1 a > 1 b .

При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным.

Пример 5

Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством.

Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.

Определение 9

Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Доказательство 4

Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Пример 6

Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Определение 10

Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Доказательство 5

Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n .

Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.

Пример 7

К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Следствие: Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Свойства числовых неравенств

Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств.

1. a < a , a > a - неверные неравенства,
   a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства.
2. Если a < b , то b > a - антисимметричность.
3. Если a < b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Если a < b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Если a < b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .

Следствие 1: если a < b , то - a > - b .

Следствие 2: если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b .

1. Если a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Если a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - положительные числа и a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Cледствие 1: если a < b , a и b - положительные числа, то a n < b n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.

Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.

Навигация по странице.

Числовые неравенства: определение, примеры

Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:

Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .

А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .

Свойства числовых неравенств

На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):

Определение.

• число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
• число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
• число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.

Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:

Определение.

• число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
• число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.

Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.

Основные свойства

Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.

Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:

Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.

Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:

• рефлексивности a≥a и a≤a – верные неравенства;
• антисимметричности, если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a .
• транзитивности, если a≤b и b≤c , то a≤c , а также, если a≥b и b≥c , то a≥c .

Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.

Другие важные свойства числовых неравенств

Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.

В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a

• если a>b , то a+c>b+c ;
• если a≤b , то a+c≤b+c ;
• если a≥b , то a+c≥b+c .

Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!

Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a

Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b . Так как по условию a

На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением −c .

Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .

Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.

Доказательство. Начнем со случая, когда c>0 . Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c . Так как по условию a0 , то произведение (a−b)·c будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b на положительное число c (что следует из ). Следовательно, a·c−b·c<0 , откуда a·c

На доказательстве рассмотренного свойства для деления обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число c не останавливаемся, так как деление всегда можно заменить умножением на 1/c .

Покажем пример применения разобранного свойства на конкретных числах. Например, можно обе части верного числового неравенства 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий.

Все разобранные выше в этом пункте свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведем блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей.

Если для чисел a , b , c и d справедливы неравенства a

Докажем, что (a+c)−(b+d) – отрицательное число, этим будет доказано, что a+c

По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трех, четырех, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел a 1 , a 2 , …, a n и b 1 , b 2 , …, b n справедливы неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Например, нам даны три верных числовых неравенства одного знака −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Можно почленно умножать числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами. В частности, для двух неравенств a

Для доказательства можно умножить обе части неравенста a

Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями. То есть, если a 1 , a 2 , …, a n и b 1 , b 2 , …, b n – положительные числа, причем a 1 a 1 ·a 2 ·…·a n .

Отдельно стоит заметить, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам. Например, числовые неравенства 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида a

В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств :

Список литературы.

• Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре

Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1 . Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ .

2 способ .

для квадратичной функции

что означает её положительность при любом действительном х .

Пример 2 . Доказать, что для любых x и y

Доказательство.

Пример 3 . Доказать, что

Доказательство.

Пример 4 . Доказать, что для любых a и b

Доказательство.

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода.

Доказать, что для a, b ϵ R.

Доказательство.

Предположим, что.

Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Пример 5 . Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:

, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С , для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С . Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если

и.

Пример 6 . Доказать, что

Доказательство.

Пусть, a=2, 2>0

=>

Пример 7 . Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:

, а>0, D

D= => P(x)>0 и

верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8 . Доказать, что

для любых действительных значениях х и у.

Доказательство. Пусть ,

Это означает, что для любых действительных у и неравенство

выполняется при любых действительных х и у.

Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9 . Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для,

.

Получаем исследуемое неравенство

Использование свойств функций.

Пример 10 . Докажем неравенство

для любых а и b.

Доказательство. Рассмотрим 2 случая:

• Если а=b,то верно

причем равенство достигается только при а=b=0.

2)Если

, на R =>

()* ()>0, что доказывает неравенство

Пример 11 . Докажем, что для любых

Доказательство.

на R.

Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.

Пример 12 . Доказать, что для любого nϵN

• Проверим истинность утверждения при

- (верно)

2) Предположим верность утверждения при

(k>1)

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.

Сравним и: ,

Имеем:

Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств

• Теорема о средних (неравенство Коши)

• Неравенство Коши – Буняковского

• Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где

Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

• Пусть n=2, тогда

• Пусть n=2, a>0, тогда

• Пусть n=3, тогда

Пример 13 . Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство

Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского

Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14.

Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:

Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.

Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство

Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде

и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство

Неравенство может применяться для выражений вида

Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16 .

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

Получим требуемое неравенство.

Пример 17 . Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.

по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.

АЛГЕБРА
Уроки для 9 классов

УРОК № 2

Тема. Числовые неравенства. Доказательство числовых неравенств

Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания: дополнительных неравенств для суммы взаимно обратных положительных чисел и среднего арифметического двух неотрицательных чисел (в сравнении с их средним геометрическим) и доведение этих неравенств; способа применения доказанных неравенств при доказательстве других числовых неравенств. Продолжить работу по выработке умений: воспроизводить содержание изученных понятий и алгоритмов и применять их для решения упражнений на сравнение числовых и буквенных выражений, а также упражнений на доказательство неравенств в простейших случаях и случаях, предусматривающих применение определения и преобразования разности левой и правой частей неравенства, которое надо доказать с использованием выделения квадрата двучлена.

Тип урока: закрепления знаний, выработки умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 2.

Ход урока

И. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II . Проверка домашнего задания

Выполнение упражнений домашней работы тщательно проверяется у учащихся, требующих дополнительного педагогического внимания (учитель собирает их тетради на проверку).

Фронтальную проверку качества выполнения упражнений домашней работы можно провести в форме игры «Найди ошибку».

III . Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Созданию соответствующей мотивации на уроке может посодействовать выполнения учащимися такого задания.

Сравните два выражения, если известно, что а > 0, b > 0, а разность первого и второго выражений равен: 1) ; 2) .

После обсуждения результатов, полученных в ходе выполнения предложенного выше задачи, совместными усилиями приходим к выводу: сравнение выражений путем определения знака разности двух выражений и применения определение сравнения чисел можно проводить, даже когда разница является буквенным выражением, содержащим квадрат двучлена. Изучение этого вопроса и является основной дидактической целью урока. Задание на урок логически вытекающие из этой цели: сформулировать общее правило, а также научиться применять это правило для решения задач на доказательство неравенств.

IV . Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1) а - b = -5 ;

2) а - b = 4,5;

3) а - b = -19,8;

4) b - а = -0,1;

5) а - b = 0.

2. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) х2 - 2х + 1;

2) m 2 + 10m + 25;

3) х2 - 6m + 9;

4) m 2 - mn + n 2 - mn ;

5) х - 2+ в (х > 0; в > 0).

3. Сравните с нулем значение выражения:

1) m 2;

2) m 2 + 1;

3) (m + 1)2;

4) m 2 + 2mn + n 2 + 1.

V . Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Доведение неровности , а > 0, b > 0.

2. Доведение неровности , а ≥ 0, b ≥ 0.

3. Примеры применения доказанных неравенств.

Опорный конспект № 2

Доказательство неравенств

1. Доказать неравенство: , если а > 0; b > 0.

Поскольку а > 0, b > 0, ab > 0. Поскольку (a - b )2 ≥ 0, то , следовательно, неравенство доказано. Сумма положительных взаимно обратных чисел не меньше 2.

Замечание: равенство имеет место при а = b .

2. Доказать неравенство: , если а ≥ 0; b ≥ 0.

Доведение. Найдем разность левой и правой частей неравенства: . Поскольку (для всех а ≥ 0; b ≥ 0), то , т.е. неравенство доказана. Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

Замечание: равенство имеет место только при а = b или а = b = 0.

Пример. Докажем неравенство .

Доведение. Представим выражение в виде . Следовательно, является средним арифметическим чисел b 2 + 4 и 1, b 2 + 4 1, поэтому при доказанной неравенством 2 эта величина больше за среднее геометрическое этих чисел, то есть , то есть .

Методический комментарий

Доказательства неравенств путем применения неравенств для среднего арифметического двух неотрицательных чисел и через сравнение с нулем выражения, равна разности левой и правой частей неравенства, с предварительным выделением квадрата двучлена из образованного выражения является одним из вопросов, которые предусмотрены программой по математике и имеют довольно широкое практическое применение. Именно поэтому уже на данном, втором, уроке, посвященном изучению способов доведения неровностей, рассматриваются вопросы:

· о доказательстве неравенств в случае, когда разность левой и правой частей неравенства является выражением, содержащим буквы;

· о применении для доказательства неравенств соотношений между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел и суммой двух взаимно обратных положительных чисел.

Для успешного восприятия материала урока на этапе актуализации опорных знаний и умений учащихся рекомендуется выполнить устные упражнения на сравнение с нулем буквенного выражения и на повторение формул сокращенного умножения, в частности квадрата двучлена (см. выше). После решения этих упражнений вполне логичным является доведение неравенства для суммы двух положительных взаимно обратных чисел и для среднего арифметического и среднего геометрического двух неотрицательных чисел (во время доведения акцентируем внимание учащихся на то, что при сравнения с нулем разности левой и правой частей неравенства выделяем квадрат двучлена). Также важно обратить внимание учащихся на то, что кроме иллюстрации общего способа доказательства неравенств (путем выделения квадрата двучлена в выражении, представленный как разность левой и правой частей данного неравенства) доказаны неравенства могут быть использованы как средство доказывания других неровностей. Для этого рассматривается пример, иллюстрирующий способ рассуждений при решении подобных примеров.

VI . Формирование умений

Устные упражнения

1. Сравните числа а и b , если:

1) а - b = m 2;

2) а - b = (m + 1)2;

3) а = ; b = ; m ≥ 0.

2. Выделите полный квадрат в выражении:

1) b 2 - 2b с + с2;

2) 4 b 2 - 4b с + с2;

3) -4b 2 + 4b с - с2;

4) -4b 2 + 4b - 2.

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) доказать неравенства (с использованием выделения квадрата двучлена из выражения, равную разности левой и правой частей данного неравенства);

2) доказать неравенства (с использованием доказанных опорных неравенств).

Методический комментарий

Согласно цели урока проводится работа для выработки умений доказывать неравенства с использованием обозначения (см. алгоритм, составленный на предыдущем уроке), а также умение применять доказанные неравенства для доказательства неравенств (поскольку этот материал требует от учащихся достаточного и высокого уровней знаний и умений, то обязательным он является только для учащихся соответствующего уровня учебных достижений).

VII. Итоги урока

Контрольные задания

1. Заполните пропуски:

1) m + ... > 2, m > 0; 2) , m ≥ 0, n ≥ 0.

2. Сравните выражения тел, если:

1) m - n = а2;

2) m - n = а2 + 4;

3) m - n = а2 - 2а + 1;

4) m - n = а2 - 2а + 2.

VIII . Домашнее задание

1. Изучить схему доказательства неравенств, рассматриваемых на уроке.

2. Решить упражнения: на доказательство неравенств, подобных рассмотренным на уроке.

3. Повторить свойства числовых равенств .

На семинаре координаторов олимпиады "Кенгуру" Вячеслав Андреевич Ясинский прочёл лекцию о том, как можно доказывать олимпиадные симметричные неравенства с помощью собственного метода разностей переменных.

Действительно, на математических олимпиадах часто встречаются задания на доказательство неравенств, как, например, такое, с Международной олимпиады по математике 2001 года: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ (для положительных a,b,c).

Обычно чтобы доказать олимпиадное неравенство, его нужно привести к одному из базовых: Коши, Коши-Буняковского, Йенсена, неравенству между средними и т.д. Причём часто приходится пробовать различные варианты базового неравенства до достижения успеха.

Однако часто у олимпиадных неравенств (как у приведённого выше) есть одна особенность. При перестановке переменных (например, замене a на b, b на c и c на a) они не изменятся.

Если функция нескольких переменных не меняется при любой их перестановке, то она называется симметрической. Для симметрической функции f от трёх переменных выполняется равенство:
f (x ,y ,z )= f (x ,z ,y )= f (y ,x ,z )= f (y ,z ,x )= f (z ,x ,y )= f (z ,y ,x )

Если же функция не меняется только при циклической перестановке переменных, она называется циклической.
f (x,y,z)= f (y,z,x)= f (z,x,y)

Для неравенств, которые строятся на основе симметрических функций, Вячеслав Андреевич разработал универсальный метод доказательства.
Метод состоит из следующих шагов.
1. Преобразовать неравенство так, чтобы слева оказался симметрический многочлен (обозначим его D), а справа 0.

2. Выразить симметрический многочлен D от переменных a, b, c через базовые симметрические многочлены.

Базовых симметрических многочленов от трёх переменных существует три. Это:
p = a+b+c - сумма;
q = ab+bc+ac - сумма попарных произведений;
r = abc - произведение.

Любой симметрический многочлен можно выразить через базовые.

3. Поскольку многочлен D симметрический, можно, не нарушая общности, считать, что переменные a, b, c упорядочены так: $a\geq b\geq c$

4. Вводим два неотрицательных числа х и у, таки, что x = a-b, y = b-c.

5. Снова преобразовываем многочлен D, выражая p, q и r через c и x, y. Учитываем, что
b = y+c
a = (x+y)+c

Тогда
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3

Обратите внимание, что скобки в выражениях, содержащих x и y, мы не раскрываем.

6. Теперь рассматриваем многочлен D как многочен от с с коэффициентами, выражающимися через х и у. Учитывая неотрицательность коэффициентов оказывается несложно показать, что знак неравенства будет сохраняться для всех допустимых значений с.

Поясним этот метод на примерах.
Пример 1 . Доказать неравенство:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Доказательство
Так как неравенство симметрическое (не меняется при любой перестановке переменных a, b, c), то представим его как
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$

Выразим многочлен в левой части через базовые симметрические:
$p^2 - 3q\geq 0$

Так как многочлен симметрический, можно считать, не ограничивая общности, что $a\geq b\geq c$ и $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$.

p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c+9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y

После приведения подобных получаем неравенство вообще не содержащее переменную с
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$

Вот теперь можно раскрыть скобки
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - что является верным как для нотрицательных x, y, так и для любых.

Таким образом, неравенство доказано.

Пример 2 (с Британской математической олимпиады 1999 года)
Доказать, что $7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (для положительных чисел, если a+b+c = 1)

Доказательство
Прежде чем начать сводить всё в левую часть, обратим внимание, что степени частей неравенства у нас не сбалансированы. Если в примере 1 обе части неравенства были многосленами второй степени, то тут многочлен второй степени сравнивается с суммой многочленов нулевой и третьей. Использлуем то, что сумма a+b+c по условию равна 1 и домножим левую часть на единицу, а двойку из правой части - на единицу в кубе.

$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$

Теперь перенесём всё влево и представим левую часть как симметричный многочkен от a, b, c:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$

Выразим левую чаcть через базовые симметрические многочлены:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$

Выразим левую часть через x, y и c, представив её как многочлен относительно с.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2 +14(x+2y) 2 c +7(x+2y)(x+y)y+63c 3 +42(x+2y)c 2 +21(x+y)yс -2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c -54(x+2y)c 2 -54c 3 -9(x+y)yc -9(x+2y)c 2 -9c 3

Главное - аккуратно и внимательно выполнять преобразования. Как сказал Вячеслав Андреевич, если он выполняет преобразования и его кто-то отвлекает, он выбрасывает листок с формулами и начинает заново.

Для удобства сведения подобных в заключительном многочлене они выделены разными цветами.

Все слагаемые с c 3 уничтожатся: 63c 3 -54c 3 -9c 3 = 0
Это же произойдёт и со второй степенью с: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2 = 0

Преобразуем слагаемые с первой степенью с: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc = -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )c - это выражение никогда не будет положительным.

И свободные члены: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - и это выражение тоже.

Таким образом, исходное неравенство будет выполняться всегда, а в равенство оно превратится только при условии равенства a=b=c.

На своей лекции Вячеслав Андреевич разобрал ещё много интересных примеров. Попробуйте и вы применить этот метод для доказательства олимпиадных неравенств. Возможно, он поможет добыть несокольо ценных баллов.