Трапециевидная пирамида. Усеченная пирамида

Задача

Решение .

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.

Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN = 13

Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO 2 + 25
CO 2 = 39
CO = √39

Соответственно, величина ребра CN будет равна
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Ответ : 13, 13 , √183

Задача

Решение .
Объем пирамиды найдем по формуле:
V = 1/3 Sh

Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
откуда
V = 1/3 * 24 *10 = 80 см 3 .

S пол = Sосн + S бок.

III этап: Виртуальное путешествие в мир пирамид - презентация учащихся

IV этап - Изучение новой темы - сопровождается мультимедийной презентацией

Изучаемые понятия:

Запишите тему.

Дом. задание: № 70.

VI этап Рефлексия.

Контрольные вопросы

7. Что такое высота пирамиды?

Дом задание: №75

Выставление оценок

Приложение 1

Приложение 2

Волшебные свойства пирамид

Другой способ достижения эффекта — поставить в пирамиду чистую родниковую воду, выдержать ее в течение суток, а затем перед сном втирать в кожу головы. По времени это дольше, но практичней.

Например, если разводить рыбы в стеклянной пирамиде-аквариуме - результат поразительный: вода самоочищается! Нет никаких признаков гниения, нет налета тины на дне, не зеленеют стекла и не нужно тратить деньги на покупку аквариумных фильтров — пирамида всё очищает сама. Геометрия пирамиды структурирует молекулы воды особым образом, задавая программу к подавлению гниения внутри аквариума.

Пирамида — это гаситель излучений. Если ее поставить на компьютер и правильно ориентировать по сторонам света, пирамида создаст более благотворное поле. Чем крупнее пирамида, тем больше ее фактор добра. Все негативное воздействие будет либо погашено, либо перераспределено во что-то нейтральное.

Просмотр содержимого документа
«Усеченные пирамиды »

Тема урока: Усеченная пирамида, ее основные элементы.

Цели урока:

Образовательные: ознакомить учащихся с понятием усеченная пирамида, её элементами и формулами для вычисления площадей боковой и полной поверхностей;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся, умение изображать пирамиды и распознавать их среди других пространственных фигур;

Воспитывающие: данная тема способствует воспитанию любознательности, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур.

Тип урока: ознакомление с новым материалом

ТО урока: интерактивная доска, компьютер, презентации «Пирамиды», «Усеченные пирамиды», « Виртуальное путешествие в мир пирамид».

Этапы урока:

I этап: организационный

II этап Актуализация знаний

1) устный опрос с использованием слайдов

Перечень вопросов:

(слайд 2)- среди изображенных фигур назовите номера тех, которые являются пирамидами.

Среди моделей тоже отберите пирамиды.

Какой многогранник называют пирамидой? Назвать и показать их основные элементы, показать их на моделях. (Слайды 3,4)

Виды пирамид. (слайды 5-7)

Сделать чертеж треугольной и четырехугольной пирамиды.

Из чего состоит полная поверхность пирамиды? (слайд 8)

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды. (Слайд 9)

Формулы для вычисления площадей поверхностей пирамид (записать на доске, проверить на экране) (слайд 10-11)

2) решить задачу из учебника по готовым чертежам

S пол = Sосн + S бок.

III этап: Виртуальное путешествие в мир пирамид – презентация учащихся

IV этап – Изучение новой темы – сопровождается мультимедийной презентацией

Изучаемые понятия:

Усеченная пирамида (определение);

Элементы усеченной пирамиды;

Правильная усеченная пирамида;

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды;

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Запишите тему.

Начертите каждый у себя в тетради произвольную пирамиду.

Проведите плоскость, параллельную основанию.

Эта плоскость делить пирамиду на две части. Что вы можете сказать о них?

Дайте определение усеченной пирамиды.

Назовите основные элементы усеченной пирамиды.

Что вы можете сказать про боковые грани?

Какую усеченную пирамиду называют правильной? Что можно сказать о её боковых гранях?

Из чего состоит полная поверхность усеченной пирамиды?

Написать формулу для расчета ее полной поверхности.

Из чего состоит боковая поверхность?

Назовите предметы имеющие форму усеченной пирамиды. (слайд)

V этап Решение задач - № 71, 77 из учебника Геометрия 7-11 А.В.Погорелов.

Решение задач парами. (приложение 1)

Дом. задание: № 70.

VI этап Рефлексия.

Контрольные вопросы

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется треугольной?

3. Какая пирамида называется правильной?

4. Что такое апофема правильной пирамиды?

5 Какая пирамида называется тетраэдром?

6. Какая пирамида называется усеченной?

7. Что такое высота пирамиды?

8. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

9. Чему равна площадь боковой поверхности усеченной пирамиды?

Дом задание: №75

Выставление оценок

Приложение 1

Решение задач на выбор - пары выбирают задачу и решают.

1. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

2. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.

3. У четырехугольной усечённой пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.

4. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания a проведена плоскость, пересекающая противолежащая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

6. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны a и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен a. Найдите объем пирамиды.

7. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на её основании.

8. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

Приложение 2

Волшебные свойства пирамид

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - что означает огонь, а огонь, как известно - символ жизни всех созданий.

Пирамиды можно отнести к одним из самых загадочных на планете.

В настоящее время доказано, что пиpамида концентpиpyет в себе качественнyю энеpгию, полезнyю для человека. Установлено, что объекты в форме пирамиды оказывают на окружающую среду положительное воздействие.

Чешский инженер Карел Дюбан, специалист по радиоволнам, утверждал. что пирамиды концентрируют космическую энергию, которая и является в них "действующим лицом".

Он обнаружил связь между формой пространства пирамиды и биологическими и физико-химическими процессами, происходящими в этом пространстве.

Оказалось, что энергия формы пирамиды "умеет делать" очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживлению, тонизирует организм, уменьшает воспалительную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучшения пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет. Если сидеть под пирамидой,то улучшается процесс медитации, уменьшается интенсивность головной и зубной боли, ускоряется заживление ран и язв. Пирамиды устраняют вокруг себя геопатогенное воздействие и гармонизируют внутреннее пространство помещений. Голландский исследователь пирамид Пауль Ликенс экспериментировал с самыми разными материалами: с семенами огородных культур (редька вырастала в 2 раза большая по размерам, чем контрольная из того же набора семян), травами - остаются зелеными и продолжают нести свой энергетический заряд, целебная сила значительно увеличивается.

Если в квартире поставить пирамиду с определенными параметрами, тараканы покидают помещение.

Одевая на голову облысевшего человека модель пирамидальной конструкции и ориентируя ее по сторонам света, достигается эффект стимуляции луковиц волос. Гармоничное излучение, генерируемое моделью пирамиды, проникает в достаточной мере в структуру кожи и способствует эффекту нежного массажа луковиц волос.

Другой способ достижения эффекта - поставить в пирамиду чистую родниковую воду, выдержать ее в течение суток, а затем перед сном втирать в кожу головы. По времени это дольше, но практичней.

Применение данного способа актуально в условиях повышенной радиации, когда многие дети лишаются волос. Это безмедикаментозный способ, не требующий больших финансовых затрат, прост в применении.

По утверждению ряда испытателей, обыкновенная вода прекрасно улавливает энергию пирамид и проявляет новые свойства: приобретает вкус чистой ключевой, оказывает оздоровляющее действие, стимулирует рост растений, известно также об эффективности применения подобной воды для укрепления волос, удаления перхоти, смягчения кожи и разглаживания морщин, избавления от потливости ног и т.д.

Например, если разводить рыбы в стеклянной пирамиде-аквариуме - результат поразительный: вода самоочищается! Нет никаких признаков гниения, нет налета тины на дне, не зеленеют стекла и не нужно тратить деньги на покупку аквариумных фильтров - пирамида всё очищает сама. Геометрия пирамиды структурирует молекулы воды особым образом, задавая программу к подавлению гниения внутри аквариума.

Ещё пример. ИЗВЕСТНЫЙ ГЕНЕТИК ГЕННАДИЙ БЕРДЫШЕВ говорит: "МЯСО В МОЕЙ ПИРАМИДЕ МОЖЕТ ДАЖЕ В ЖАРУ ЛЕЖАТЬ БЕЗ ХОЛОДИЛЬНИКА ЦЕЛУЮ НЕДЕЛЮ!"

Построив у себя на даче пирамиду, известный ученый говорит, что в ней он сбрасывает годы.

Пирамида - это гаситель излучений. Если ее поставить на компьютер и правильно ориентировать по сторонам света, пирамида создаст более благотворное поле. Чем крупнее пирамида, тем больше ее фактор добра. Все негативное воздействие будет либо погашено, либо перераспределено во что-то нейтральное.

И таких примеров можно привести много.

Пирамида, при условии, что она будет ориентирована ребрами основания по сторонам света, превращается в аккумулятор космической энергии. Поэтому, в последние годы в моде всякие сувениры в форме пирамид: считается, что они очищают пространство, излучают позитивную энергию.

и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида .

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды .

Усеченная пирамида будет правильной , когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

6. Отношение площадей оснований: S 2 /S 1 = k 2 .

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS ) на сумму площадей верхнего основания S 1 (abcde ), нижнего основания усеченной пирамиды S 2 (ABCDE ) и средней пропорциональной между ними.

Объем пирамиды:

где S 1 , S 2 — площади оснований,

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

где S 1 , S 2 — площади оснований,

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P 1 и P 2 — периметрами оснований, S 1 и S 2 — площадями оснований, S бок — площадью боковой поверхности, S полн — площадью полной поверхности:

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) - это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).

Точка S называется вершиной , а многоугольник ABCDE - основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE - это объединение всех отрезков , где М ∈ ABCDE.

Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE - боковыми ребрами .

Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.

Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной , а полученное сечение - диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.

Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида называется правильной , если основание пирамиды-правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.

Все боковые грани правильной пирамиды - конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.

Если обозначить сторону основания через а , а апофему через h , то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 / 2 ah .

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S бок.

Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то

S бок. = 1 / 2 ahn = Ph / 2 ,

где Р - периметр основания пирамиды. Следовательно,

S бок. = Ph / 2

т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле

S = S ocн. + S бок. .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S ocн. на высоту Н:

V = 1 / 3 S ocн. Н.

Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.

Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).

Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р , в котором лежит вершина S.

Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром , что означает четырехгранник.

Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.

На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.

Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды - два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой .

Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.

Если в правильной усеченной n -угольной пирамиде через а и b n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h - длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна

1 / 2 (а + b n ) h

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n -угольной пирамиды

S бок. = n 1 / 2 (а + b n ) h .

Так как па = Р и nb n = Р 1 - периметры оснований усеченной пирамиды, то

S бок. = 1 / 2 (Р + Р 1) h ,

т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.

Сечение, параллельное основанию пирамиды

1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 С 1) (рис.).

Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому

$$ \frac{\left|{SA}\right|}{\left|{SA_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Следовательно, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|} $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и

$$ \frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Таким образом,

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{AC}\right|}{\left|{A_{1}C_1}\right|} $$

Соответственные углы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{AB}\right|^2}{\left|{A_{1}B_1}\right|^2} $$

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SH}\right|}{\left|{SH_1}\right|} $$

Следовательно,

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{SH}\right|^2}{\left|{SH_1}\right|^2} $$

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H - высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

$$ \frac{b}{B}=\frac{h^2}{H^2}\: и \: \frac{b_1}{B_1}=\frac{h^2}{H^2} $$
откуда
$$ \frac{b}{B}=\frac{b_1}{B_1}\: или \: \frac{b}{b_1}=\frac{B}{B_1} $$

Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.

Понятие пирамиды

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника называется пирамидой (рис. 1).

Многоугольник, из которого составлена пирамида, называется основанием пирамиды, получаемые при соединение с точкой треугольники - боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников -- сторонами пирамиды, а общая для всех треугольников точка-- вершиной пирамиды.

Виды пирамид

В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Рисунок 2.

Еще один вид пирамид -- правильная пирамида.

Введем и докажем свойство правильной пирамиды.

Теорема 1

Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны между собой.

Доказательство.

Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим

Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани -- равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание -- правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.

Определение 3

Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.

Очевидно, что по теореме один все апофемы равны между собой.

Теорема 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания на апофему.

Доказательство.

Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Еще один вид пирамиды -- усеченная пирамида.

Определение 4

Если через обычную пирамиду провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченной пирамидой (рис. 5).

Рисунок 5. Усеченная пирамида

Боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.

Теорема 3

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров оснований на апофему.

Доказательство.

Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a\ и\ b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.

Решение.

По теореме о средней линии получим, что верхнее основание усеченной пирамиды равно $4\cdot \frac{1}{2}=2$, а апофема равна $5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.

Тогда, по теореме 3, получим