Как найти ускорение маятника. Период колебаний: опыты, формулы, задачи

Математический маят­ник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерас­тяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный ма­ятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присо­единенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется урав­нением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

Свободные колебания любых систем во всех слу­чаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математическо­го маятника являются:

1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, пре­пятствующей его смещению из положения равновесия и заставляю­щей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического ма­ятника

Период свободных колебаний математического маятника не за­висит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Превращение энергии при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях пружинного маятника проис­ходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из поло­жения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соот­ветствии с уравнением гармонических колебаний:

, .

Полная энергия пружинного маятника:

.

Полная энергия для математического маятника:

В случае математического маятника

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая - уменьшается. Когда маятник проходит положение равно­весия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями . Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периоди­ческой силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы υ 0 , происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынужда­ющей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

Математический маятник

Введение

Период колебаний

Выводы

Литература

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля - не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Уравнение движения математического маятника

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

mW =F +N , (1)
где F - действующая на точку активная сила, а N - реакция связи.

Рисунок 1

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

где W есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

В нашем случае получим в проекции на ось t

,
где m есть масса маятника.

Так как или , отсюда находим

.
Сокращая на m и полагая

, (3)
будем окончательно иметь:

,

,

,

. (4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

при t = 0, . (5)
Из интеграла энергии:

, (6)
где V - потенциальная энергия, а h - постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол jЈj 0 . Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j 0 мал (j 0 Ј1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (8)
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T ) малых колебаний математического маятника (период - промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

и

,
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT =2p Ю

(9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

j 0 = A , 0 = wB ,

т.е. B =0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

j = j 0 cos wt. (11)

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

,
то (4) можно представить в виде

.
Отсюда, умножая обе части уравнение на d j и интегрируя, получим:

. (12)
Обозначим здесь через j 0 угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j 0 будем иметь , откуда C = w 2 cosj 0 . В результате интеграл (12) даёт:

, (13)
где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

, (14)
где - работа на перемещении M 0 M активной силы F , если учесть, что в нашем случае v 0 =0, и (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j 0 и -j 0 (|j|Јj 0 , так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t =0, j=0. (15)

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (16)

, ,
то

.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).

Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести \(\vec F\) и сила упругости \(\vec F_{ynp}\) нити взаимно компенсируются.

Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы \(\vec F\) и \(\vec F_{ynp}\) не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\), действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение \(\vec a_\tau\) (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\) является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая \(\vec F_n\) силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости \(\vec F_{ynp}\). Равнодействующая сил \(\vec F_n\) и \(\vec F_{ynp}\) сообщает маятнику нормальное ускорение \(~a_n\), которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.

Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей \(~F_\tau = F \sin \alpha\). В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая \(\vec F_\tau\) направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы \(\vec F_\tau\) увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.

Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l , а массу маятника - m .

Из рисунка 13.11 видно, что \(~F_\tau = F \sin \alpha\), где \(\alpha =\frac{S}{l}.\) При малых углах \(~(\alpha <10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac{S}{l} = -mg\frac{S}{l}.\)

Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона \(m \vec a = m \vec g + F_{ynp}.\) Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Из этих уравнений получим

\(a_\tau = -\frac{g}{l}S\) - динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде\. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний \(~a_x + \omega^2x = 0\) (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.

Обозначим \(\frac{g}{l} = \omega^2.\) Откуда \(\omega = \sqrt \frac{g}{l}\) - циклическая частота колебаний маятника.

Период колебаний маятника \(T = \frac{2 \pi}{\omega}.\) Следовательно,

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }\)

Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.

Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.

Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением \(\vec a\) то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g"} }\)

где \(~g"\) - "эффективное" ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения \(\vec g\) и вектора, противоположного вектору \(\vec a\), т.е. его можно рассчитать по формуле

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 374-376.

Представьте себе некую механическую систему, которая состоит из некой материальной точки (тела), которая висит на нерастяжимой невесомой нити (при этом масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела). Вот такая механическая система и является маятником или осциллятором, как его еще называют. Впрочем, могут быть и другие виды такого устройства. Чем же математический маятник, осциллятор интересен для нас? Дело в том, что с его помощью можно проникнуть в суть многих интересных природных явлений в физике.

Колебания математического маятника

Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.

Маятниковые часы Гюйгенса.

Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором.

Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:

x + w2 sin x = 0

Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.

Но если же наш маятник все-таки пребывает на нити и при этом совершает интенсивные колебания вверх-вниз, тогда механическая система приобретает устойчивое положение, именуемое «верх тормашками», еще ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.

В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:

• Если к маятнику подвешивать разные грузы с разным весом, но при этом сохранять одинаковую длину маятника, то период его колебания будет одинаковым вне зависимости от массы груза.
• Если при запуске колебаний отклонить маятник на не очень большие, но все же разные углы, то он станет колебаться в одинаковым период, но по разным амплитудам. Следовательно, период колебания у подобного маятника не зависит от амплитуды колебания, такое явление было названо изохронизмом, что с древнегреческого можно перевести как «хронос» — время, «изо» — равный, то есть «равновременный».

Период математического маятника

Период маятника – показатель, который представляет период собственно колебаний маятника, их длительность. Формулу периода математического маятника можно записать следующим образом.

Где L – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения, а π – число Пи, математическая константа.

Период малых колебания математического маятника никак не зависит от массы маятника и амплитуды колебания, в этой ситуации он двигается как математический маятник с заданной длинной.

Практическое применение математического маятника

Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит? Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.

Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.

Математический маятник, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Определение

Математический маятник - это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

\ \

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?\textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac{м}{с^2}$

Пример 2

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$