4 نقاط رائعة للمثلث 8. مشروع الطالب "نقاط رائعة للمثلث"
هناك ما يسمى بأربع نقاط رائعة في المثلث: نقطة تقاطع المتوسطات. نقطة تقاطع المنصفين ونقطة تقاطع المرتفعات ونقطة تقاطع المنصفين المتعامدين. دعونا نفكر في كل منهم.
نقطة تقاطع وسطاء المثلث
نظرية 1
على تقاطع متوسطات المثلث: تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة وتقسم نقطة التقاطع بنسبة $ 2: 1 $ بدءًا من الرأس.
دليل.
ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هو متوسطه. بما أن المتوسطات تقسم الجانبين إلى نصفين. لننظر إلى الخط الأوسط $ A_1B_1 $ (الشكل 1).
الشكل 1. متوسطات المثلث
حسب النظرية 1 ، $ AB || A_1B_1 $ و $ AB = 2A_1B_1 $ ، ومن هنا $ \ angle ABB_1 = \ angle BB_1A_1 ، \ \ angle BAA_1 = \ angle AA_1B_1 $. ومن ثم فإن المثلثين $ ABM $ و $ A_1B_1M $ متشابهان وفقًا لمعيار تشابه المثلث الأول. ثم
وبالمثل ، فقد ثبت أن
لقد تم إثبات النظرية.
نقطة تقاطع منصف المثلث
نظرية 2
على تقاطع منصف المثلث: مناصرات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة.
دليل.
ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ AM ، \ BP ، \ CK $ هي منصفاتها. اجعل النقطة $ O $ هي نقطة تقاطع المنصفين $ AM \ و \ BP $. ارسم من هذه النقطة بشكل عمودي على جانبي المثلث (الشكل 2).
الشكل 2. منصفات مثلث
نظرية 3
كل نقطة من المنصف لزاوية غير موسعة هي على مسافة متساوية من جوانبها.
حسب النظرية 3 ، لدينا: $ OX = OZ ، \ OX = OY $. ومن ثم $ OY = OZ $. ومن ثم فإن النقطة $ O $ تقع على مسافة متساوية من جانبي الزاوية $ ACB $ وبالتالي تقع على منصفها $ CK $.
لقد تم إثبات النظرية.
نقطة تقاطع المستقيمات العمودية لمثلث
نظرية 4
تتقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث عند نقطة واحدة.
دليل.
لنفترض أن المثلث $ ABC $ يعطى ، $ n ، \ m ، \ p $ منصفه العمودي. اجعل النقطة $ O $ هي نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين $ n \ و \ m $ (الشكل 3).
الشكل 3. المنصفات العمودية لمثلث
للدليل نحتاج إلى النظرية التالية.
نظرية 5
كل نقطة من المنصف العمودي على قطعة هي على مسافة متساوية من نهايات المقطع المحدد.
حسب النظرية 3 ، لدينا: $ OB = OC، \ OB = OA $. ومن ثم $ OA = OC $. هذا يعني أن النقطة $ O $ تقع على مسافة متساوية من طرفي القطعة $ AC $ ، وبالتالي تقع على منصفها العمودي $ p $.
لقد تم إثبات النظرية.
نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث
نظرية 6
تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة.
دليل.
ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هو ارتفاعه. ارسم خطًا عبر كل رأس من رؤوس المثلث موازية للضلع المقابل للرأس. نحصل على مثلث جديد $ A_2B_2C_2 $ (الشكل 4).
الشكل 4. ارتفاعات المثلث
بما أن $ AC_2BC $ و $ B_2ABC $ متوازي أضلاع لهما جانب مشترك ، فإن $ AC_2 = AB_2 $ ، أي النقطة $ A $ هي نقطة منتصف الضلع $ C_2B_2 $. وبالمثل ، نحصل على أن النقطة $ B $ هي نقطة منتصف الضلع $ C_2A_2 $ ، والنقطة $ C $ هي نقطة منتصف الضلع $ A_2B_2 $. من البناء لدينا هذا $ (CC) _1 \ bot A_2B_2 ، \ (BB) _1 \ bot A_2C_2 ، \ (AA) _1 \ bot C_2B_2 $. ومن ثم ، فإن $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هما المنصفان العموديان للمثلث $ A_2B_2C_2 $. ثم ، من خلال النظرية 4 ، لدينا أن الارتفاعات $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ تتقاطع عند نقطة واحدة.
منطقة Liskinsky ، مدرسة MOU Anoshkinskaya الثانوية.
مدرس الرياضيات Smorchkova E.B.
الهدف من المشروع: تعلم استخدام الأدبيات المختلفة في الهندسة ، والمواد المرجعية لإجراء دراسة أكثر تفصيلاً لموضوع "النقاط البارزة في المثلث" ، وإعطاء صورة أكثر اكتمالاً للموضوع ، وإعداد عرض تقديمي حول هذا الموضوع للشرح أثناء إلقاء الخطب وفي الفصل الدراسي .
تبدأ الهندسة بـمثلث. إنه بالفعل اثنان ونصفالألفية الجديدة ، المثلث ، كما كان ، هو رمز الهندسة؛ لكنه ليس مجرد رمز ، فالمثلث هو ذرة هندسة.واليوم ، أصبحت الهندسة المدرسية مثيرة للاهتمام وذات مغزى ، تصبح الهندسة المناسبة فقط من البدايةالتثليث. المفاهيم السابقة - نقطة مباشرةأوه ، الزاوية - يبدو أنها تجريدية غامضة ، وما إلى ذلكإن مجموعة النظريات والمشكلات المرتبطة بها ممل ببساطة.
منذ الخطوات الأولى لتطوره ، يواجه الإنسان ، وخاصة الإنسان الحديث ، جميع أنواع الأشياء الهندسية - الأشكال والأجسام. هناك حالات يكون فيها الشخص في سن مبكرة ، إن لم يكن في سن الرضاعة ، مغرمًا بالهندسة وحتى يقوم باكتشافات هندسية مستقلة. لذلك ، ابتكر الصغير بليز باسكال "لعبة الهندسة" ، حيث شاركت فيها "العملات المعدنية" - الدوائر ، "القبعات الجاهزة" - المثلثات ، "الطاولات" - المستطيلات ، "العصي" - المقاطع. والده ، الذي كان يعرف الرياضيات جيدًا ، لأول مرة استبعد بشكل حاسم الرياضيات من عدد المواد التي علمها لابنه ، لأن بليز الصغير لم يكن بصحة جيدة. ومع ذلك ، بعد أن اكتشف حماس ابنه ، أخبره شيئًا عن الهندسة الغامضة ، وعندما اكتشف بليز أن زوايا المثلث تضيف ما يصل إلى خطين مستقيمين ، فتح الأب الذي تم لمسه ابنه البالغ من العمر 12 عامًا للوصول إلى كتب الرياضيات مخزنة في المكتبة المنزلية.
المثلث لا ينضب - خصائصه الجديدة يتم اكتشافها باستمرار. للحديث عن جميع خصائصه المعروفة ، تحتاج إلى حجم يضاهي حجم حجم الموسوعة العظمى. البعض منهم أو بالأحرى البعض نقاط رائعة ،المتعلقة بالمثلث ، نريد أن نقول.
دعونا أولاً نشرح معنى عبارة "النقاط المميزة للمثلث". نعلم جميعًا أن منصفات الزوايا الداخلية لمثلث تتقاطع عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المدرجة في هذا المثلث. بالطريقة نفسها ، تتقاطع المتوسطات ، وارتفاعات المثلث ، والوسطى العمودي على أضلاعه عند نقطة واحدة.
النقاط الناتجة عن تقاطع الخطوط الثلاثية المدرجة هي ، بالطبع ، رائعة (بعد كل شيء ، تتقاطع ثلاثة خطوط ، كقاعدة عامة ، في ثلاث نقاط مختلفة). من الممكن أيضًا الحصول على نقاط ملحوظة من أنواع أخرى ، على سبيل المثال ، النقاط التي تصل عندها بعض الوظائف المحددة لجميع نقاط المثلث إلى الحد الأقصى. من ناحية أخرى ، يجب تفسير مفهوم "النقاط الرائعة للمثلث" على المستوى الأدبي العاطفي أكثر من المستوى الرسمي الرياضي. ومن المعروف أن المغالطة "تثبت" أن جميع الأعداد الطبيعية "مثيرة للاهتمام". (بافتراض أن هناك أرقامًا "غير مثيرة للاهتمام" ، فإننا نأخذ الأصغر بينها. مما لا شك فيه ، هذا الرقم "مثير للاهتمام": إنه مثير للاهتمام بالفعل لأنه الأصغر بين "غير المثير للاهتمام".) منطق مماثل ، "إثبات" أن الجميع نقاط المثلث "رائعة" ، ويمكن بناؤها في حالتنا أيضًا. دعنا ننتقل إلى بعض الأمثلة.
مركز الدائرة
دعنا نثبت أن هناك نقطة على مسافة متساوية من رؤوس المثلث ، أو بعبارة أخرى ، تلك هناك دائرة عابرةمرورا بثلاثة رؤوس للمثلث.يقع موقع النقاط على مسافة متساوية من النقاط أو في،عمودي على القطعة AB ،يمر عبر نقطة المنتصف (منصف عمودي على القطعة AB).ضع في اعتبارك نقطة عن،حيث تتقاطع المنصفات العمودية للقطاعات ABو شمس.نقطة عنعلى مسافة متساوية من النقطتين A و B وكذلك من النقاط فيو مع.لذلك ، فهي على مسافة متساوية من النقاط أو مع،أي أنه يقع أيضًا على المنصف العمودي للقطعة AU(الشكل 50).
مركز عنتقع الدائرة المحصورة داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا. إذا كان المثلث هو مثلث قائم الزاوية ، ثم النقطة عنيتزامن مع منتصف الوتر ،
وإذا كانت الزاوية في الرأس معفظة ثم مباشرة ABيفصل بين النقطتين O و C.
إذا كان في Δ ABCزاوية القمة معثم الجانب ABيُرى من النقطة O بزاوية تساوي 2
في الرياضيات ، غالبًا ما يحدث أن الأشياء المحددة بطرق مختلفة جدًا تتحول إلى نفسها. دعنا نظهر هذا بمثال.
لنفترض أن A 1 و B 1 و C 1 هي نقاط المنتصف للجوانب BC ، S Aو AB.يمكن إثبات أن الدوائر مقيدة حول Δ AB 1 C 1 , Δ أ 1 قبل الميلاد 1 و Δ أ 1 ب 1 ج , تتقاطع عند نقطة واحدة ، وهذه النقطة هي مركز الدائرة المحصورة Δ ABC(الشكل 51). إذن ، لدينا نقطتان مختلفتان تمامًا على ما يبدو: نقطة تقاطع المنصفين العموديين على الجانبين ABCونقطة تقاطع الدوائر المحصورة Δ AB 1 مع 1 , Δ AiBCi و Δ AiBiC . لكن اتضح أنه لسبب ما تتوافق هاتان النقطتان!
دعونا ننفذ ، مع ذلك ، الدليل الموعود. يكفي إثبات أن مركز O للدائرة المحصورة Δ ABCتقع على دوائر محصورة حول Δ AB 1 مع 1 , Δ أ iBCi و Δ أ 1 ب 1 ج . زوايا OV 1 أو نظام التشغيل 1 أخطوط مستقيمة ، لذلك النقاط في 1 و مع 1 استلق على دائرة بقطر أوه ،مما يعني أن النقطة O تقع على دائرة محصورة حول Δ AB 1 ج 1 . ل Δ AiBCi و Δ أ 1 في 1 معالدليل مشابه.
البيان الذي تم إثباته هو حالة خاصة لنظرية مثيرة للاهتمام للغاية: إذا كان على الجانبينAB ، الشمسوSAمثلثABCيتم أخذ نقاط عشوائيةمع 1 ، أ 1 وفي 1 , ثم وصفهادائرة ΔAB 1 مع 1 , Δ أ 1 شمس 1 و Δأ 1 في 1 مع تتقاطع في واحدنقطة.
دعونا نقدم ملاحظة أخيرة حول مركز الدائرة المحددة. مباشر أ 1 في 1 و ABمتوازية ، لذلك نظام التشغيل 1 عمودي أ 1 في 1 بصورة مماثلة OV 1 عمودي أ 1 ج 1 و OA 1 عمودي في 1 مع 1 , أي. عن- نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث أ 1 ب 1 مع 1 ... انتظر انتظر! لم نثبت بعد أن ارتفاعات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. هل هناك طريقة لإثبات ذلك هنا؟ سنعود إلى هذه المحادثة لاحقًا.
مركز الدائرة الكهربائية
دعونا نثبت أن منصفات الزوايا Δ ABCتتقاطع عند نقطة واحدة. ضع في اعتبارك النقطة O من تقاطع منصف الزاوية أ و ب.أي نقطة على منصف الزاوية أ على مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة ABو AU ،وأي نقطة لمنصف الزاوية ب على مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة ABو شمس،لذا فإن النقطة O على مسافة متساوية من الخطوط AUو شمس،أي أنها تقع على منصف الزاوية C. النقطة O على مسافة متساوية من الخطوط AB ، الشمسو SA ،لذلك هناك دائرة بمركز عن،مماسة لهذه الخطوط ، ونقاط التماس على الجانبين نفسها ، وليس على امتدادها. في الواقع ، الزوايا عند الرؤوس أ و بΔ AOBحاد ، وبالتالي فإن إسقاط النقطة O على الخط ABيقع داخل الجزء AB.للحفلات شمسو SAالدليل مشابه.
يترك أ 1 ، في 1 و مع 1 - نقاط التماس الدائرة المنقوشة للمثلث مع الجوانب الشمس ، ساو AB(الشكل 52). ثم AB 1 = التيار المتردد 1 , قبل الميلاد 1 = بكالوريوس 1 و SA 1 = جنوب غرب 1 . بالإضافة إلى ذلك ، الزاوية ب 1 أ 1 ج 1 يساوي الزوايا عند قاعدة متساوي الساقين AB 1 مع 1 (وفقًا لنظرية الزاوية بين المماس والوتر) ، إلخ. للزاوية ب 1 ج 1 أ 1 وزاوية أ 1 ب 1 ج 1 الدليل مشابه.
الزوايا الموجودة في قاعدة أي مثلث متساوي الساقين حادة ، لذلك A 1 B 1 C 1 حادة لأي Δ ABC.
لو x = AB 1 , ذ = قبل الميلاد 1 و ض = كاليفورنيا 1 , الذي - التي س + ص \ u003d ج ،ذ + ض = أ و ض + x = ب , أين أ،ب و مع- أطوال الأضلاع Δ ABC.بجمع أول متساويين وطرح الثالثة منهم ، نحصل على ص \ u003d (أ + ث-ب) / 2. بصورة مماثلة س \ u003d (ب + ج-أ) / 2و ض = (أ + ب ج) / 2.وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة إلى الشكل الرباعي ، فإن مثل هذا التفكير لن يؤدي إلى النتيجة المرجوة ، لأن نظام المعادلات المقابل
إما أنه ليس لديه حلول على الإطلاق ، أو لديه عدد لا نهائي منها. في الواقع ، إذا س + ص = أ ،ذ + ض = ب , ض + ر = ج و ر + x = د , الذي - التي ص = أ-X ،ض = ب -ذ = ب - أ + سو ر = ج - ب + أ -X ،ومن المساواة ر + x = د يتبع ذلك أ + ج = ب + د . حتى إذا أ + ج لا يساوي ب + د , ثم النظام ليس لديه حلول ، وإذا أ + ج = ب + د , الذي - التي Xيمكن اختياره بشكل تعسفي ، ذض , ر عبر X.
دعونا نعود مرة أخرى إلى تفرد حل نظام المعادلات للمثلث. باستخدامه ، يمكننا إثبات العبارة التالية: دع الدوائر ذات المراكز A و B و C تتلامس خارجيًا عند النقاط A 1 ، في 1 و مع 1 (الشكل 53). ثم الدائرة المحصورة Δ أ 1 ب 1 ج 1 منقوشة في Δ ABC.في الواقع ، إذا س ، صو ض - أنصاف أقطار الدوائر. أ , ب و مع- أطوال الأضلاع Δ ABC ،الذي - التي س + ص \ u003d ج ،ذ + ض = أ , ذ + x = ب .
دعونا نثبت ثلاث خصائص للمركز عندائرة منقوشة Δ ABC .
1. إذا استمر منصف الزاوية معيتقاطع مع الدائرة المحصورة Δ ABCفي هذه النقطة مالذي - التي MA = MV = MO(الشكل 54).
دعنا نثبت ، على سبيل المثال ، أن في Δ آموالزاويتان عند الرأسين A و O متساويتان. في الواقع ،<OAM = < OAB + < بام و < AOM =< OAC +<А كو , < OAB =<ОАС و< أنت =<ВСМ = < ACO . لذلك، صباحا = مو.بصورة مماثلة VM = MO.
2. إذا AB- قاعدة متساوي الساقين ABC ،ثم الدائرة المماس على الجانبين<ACB في نقاط أ و بيمر بالنقطة O (الشكل 55).
دع O "تكون منتصف القوس (الأصغر) ABالدائرة المعنية. وفقًا لخاصية الزاوية بين المماس والوتر<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, أي النقطة O "تقع على المنصف < أ . وبالمثل ، يمكن إثبات أنها تقع أيضًا على المنصف < ب , أي. O "= O.
3. إذا كان الخط المار بالنقطة O موازيًا للجانب AB ،يتقاطع مع الجانبين شمسو SAفي نقاط أ 1 و في 1 , الذي - التي أ 1 ب 1 = أ 1 ب + AB 1 .
دعونا نثبت أن Δ AB 1 ا متساوي الساقين. بالفعل، < ب 1 OA = < OAB = < ب 1 AO (الشكل 56). لهذا AB 1 = ب 1 0. بصورة مماثلة أ 1 ب = أ 1 ا , مما يعني أ 1 ب 1 = أ 1 O +OB 1 = أ 1 ب + AB 1 .
السماح بالدخول Δ ABCزوايا الرأس أ ، ب ، جتساوي α و β و γ . احسب الزاوية التي عندها الضلع ABمرئي من النقطة O. منذ الزوايا Δ AO بعند الرأسين A و B تساوي α / 2 و β / 2 ، إذن
< AOB = 180 درجة - (α + β) / 2 = 180 درجة - (180 درجة -γ) / 2 = 90 درجة + γ / 2. هذا
الصيغة مفيدة في حل العديد من المشاكل.
نقاط المنتصف من الجانبين ABC.يترك ح
1
و H هم أجهزة تقويم العظام الخاصة بهم (الشكل 65). تتطابق النقطة H 1 مع المركز عندائرة مقيدة Δ ABC.دعونا نثبت أن Δ 
|
|
|
|
| بزاوية حادة | منفرج الزاوية | مستطيلي |
عواقب
الخطيئة γ \ u003d c / 2R \ u003d c / sin γ \ u003d 2R.
ثبت بالمثل أ/ sin α = 2R ، b / sin β = 2R.
هكذا:
هذه الخاصية تسمى نظرية الجيب.
في الرياضيات ، غالبًا ما يحدث أن الأشياء المحددة بطرق مختلفة جدًا تتحول إلى نفسها.
مثال.دع A1 ، B1 ، C1 هي نقاط المنتصف للأضلاع ∆ABS BC ، AC ، AB ، على التوالي. بيّن أن الدوائر المحددة حول المثلثات AB1C1 و A1B1C و A1BC1 تتقاطع عند نقطة واحدة. علاوة على ذلك ، هذه النقطة هي مركز الدائرة المحصورة حول ∆ABS.
|
| ضع في اعتبارك المقطع AO وقم ببناء دائرة على هذا الجزء ، مثل القطر. تقع النقطتان C1 و B1 على هذه الدائرة لأن هي رؤوس الزوايا القائمة على أساس AO. تقع النقاط A و C1 و B1 على دائرة = هذه الدائرة مقيدة بحوالي ∆AB1C1. وبالمثل ، سنرسم قطعة BO ونبني دائرة على هذا المقطع ، على شكل قطر. ستكون هذه دائرة محددة حول ∆BC1 A1. لنرسم مقطعًا من ثاني أكسيد الكربون ونبني دائرة على هذا المقطع ، على شكل قطر. ستكون هذه الدائرة المقيدة تمر هذه الدوائر الثلاث من خلال النقطة O - مركز الدائرة المحاطة بحوالي ABC. |
تعميم.إذا تم أخذ النقاط العشوائية A 1، B 1، C 1 على الجوانب ∆ABC AC، BC، AC ، فإن الدوائر المحددة حول المثلثات AB 1 C 1 ، A 1 B 1 C ، A 1 BC 1 تتقاطع عند نقطة واحدة .
1.2 نقطة تقاطع منصف المثلث
العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كانت نقطة ما على مسافة متساوية من جانبي زاوية ما ، فإنها تقع على منصفها.
من المفيد وضع علامة على نصفي أحد الزوايا بنفس الأحرف:
OAF = OAD = α ، OBD = OBE = β ، OCE = OCF =.
اجعل النقطة O هي نقطة التقاطع لمنصفي الزاويتين A و B. بواسطة خاصية النقطة الواقعة على منصف الزاوية A ، OF = OD = r. بخاصية نقطة ملقاة على منصف الزاوية B ، OE = OD = r. وهكذا ، OE = OD = OF = r = النقطة O متساوية البعد من جميع جوانب المثلث ABC ، أي O هو مركز الدائرة المنقوشة. (النقطة O هي الوحيدة).
خاتمة:وبالتالي ، إذا كانت النقطة O هي نقطة تقاطع منصف زوايا المثلث ، فإن OE = OD = OF = r ، أي النقطة O متساوية البعد من جميع جوانب المثلث ABC ، مما يعني أنها مركز الدائرة المنقوشة. النقطة O - تقاطع منصف زوايا المثلث هي نقطة رائعة للمثلث.
عواقب:
من المساواة بين المثلثات AOF و AOD (الشكل 1) على طول الوتر والزاوية الحادة ، يتبع ذلك AF = إعلان . من المساواة بين مثلثات OBD و OBE يتبع ذلك BD = يكون ، ويترتب على المساواة بين المثلثات COE و COF أن مع F = م . وبالتالي ، فإن أجزاء الظلال المرسومة إلى الدائرة من نقطة واحدة متساوية.
AF = م = ض، BD = BE = ذ، СF = CE = x
أ = س + ص (1), ب= س +ض (2), ج = س + ص (3).
+ (2) - (3) ، ثم نحصل على: أ +ب-c =x+ ذ+ x+ ض- ض- ذ = أ +ب-c = 2x =
س = ( ب + ج - أ) / 2
بالمثل: (1) + (3) - (2) ، نحصل على: ص = (أ + ج -ب)/2.
بالمثل: (2) + (3) - (1) ، نحصل على: ض= (أ +ب - ج)/2.
يقسم منصف زاوية المثلث الضلع المقابل إلى أجزاء تتناسب مع الأضلاع المجاورة.
1.3 نقطة تقاطع وسطاء المثلث (النقطه الوسطى)
إثبات 1.لنفترض أن A 1 و B 1 و C 1 هي نقاط منتصف الأضلاع BC و CA و AB للمثلث ABC على التوالي (الشكل 4).
لنفترض أن G هي نقطة التقاطع للمتوسطين AA 1 و BB 1. دعنا نثبت أولاً أن AG: GA 1 = BG: GB 1 = 2.
للقيام بذلك ، خذ نقطتي المنتصف P و Q من المقاطع AG و BG. وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث ، فإن الجزأين B 1 A 1 و PQ يساويان نصف الضلع AB ويتوازيان معه. إذن ، الشكل الرباعي A 1 B 1 هو متوازي أضلاع PQ. ثم تقسم نقطة التقاطع G لأقطارها PA 1 و QB 1 كل منهما إلى نصفين. لذلك ، تقسم النقطتان P و G متوسط AA 1 إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، وتقسم النقطتان Q و G وسيط BB 1 أيضًا إلى ثلاثة أجزاء متساوية. لذا ، فإن النقطة G من تقاطع ووسطي المثلث تقسم كل منهما بنسبة 2: 1 ، بدءًا من الأعلى.
تسمى نقطة تقاطع متوسطات المثلث النقطه الوسطى أو مركز الجاذبية مثلث. يرجع هذا الاسم إلى حقيقة أنه في هذه المرحلة يوجد مركز ثقل لوحة مثلثة متجانسة.
1.4 نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث (orthocenter)
1.5 نقطة توريشيلي
المسار المعطى هو المثلث ABC. نقطة Torricelli في هذا المثلث هي مثل هذه النقطة O ، والتي من خلالها تظهر جوانب هذا المثلث بزاوية 120 درجة ، أي زوايا AOB و AOC و BOC هي 120 درجة.
دعنا نثبت أنه إذا كانت جميع زوايا المثلث أقل من 120 درجة ، فإن نقطة توريشيلي موجودة.
على الجانب AB من المثلث ABC ، نبني مثلثًا متساوي الأضلاع ABC "(الشكل 6 ، أ) ، ونصف دائرة حوله. ويقابل المقطع AB قوس هذه الدائرة بقيمة 120 درجة. لذلك ، نقاط هذا القوس ، بخلاف A و B ، لها خاصية أن يكون المقطع AB مرئيًا منها بزاوية 120 درجة. وبالمثل ، على جانب AC من المثلث ABC ، نقوم ببناء مثلث متساوي الأضلاع ACB "(الشكل. 6 ، أ) ، ووصف دائرة حولها. نقاط القوس المقابل ، بخلاف A و C ، لها خاصية أن المقطع AC يمكن رؤيته منها بزاوية 120 درجة. في الحالة التي تكون فيها زوايا المثلث أقل من 120 درجة ، تتقاطع هذه الأقواس عند نقطة داخلية ما O. في هذه الحالة ، AOB = 120 ° ، ∟AOC = 120 °. لذلك ، ∟BOC = 120 درجة. لذلك ، فإن النقطة O هي النقطة المرغوبة.
في الحالة التي تكون فيها إحدى زوايا المثلث ، على سبيل المثال ABC ، مساوية لـ 120 درجة ، فإن نقطة تقاطع أقواس الدوائر ستكون النقطة B (الشكل 6 ، ب). في هذه الحالة ، لا توجد نقطة Torricelli ، لأنه من المستحيل التحدث عن الزوايا التي يظهر عندها الجانبان AB و BC من هذه النقطة.
في الحالة التي تكون فيها إحدى زوايا المثلث ، على سبيل المثال ، ABC ، أكبر من 120 درجة (الشكل 6 ، ج) ، لا تتقاطع الأقواس المقابلة للدوائر ، كما لا توجد نقطة Torricelli.
تتعلق بنقطة توريسيللي بمشكلة فيرما (التي سننظر فيها في الفصل الثاني) لإيجاد النقطة التي يكون منها مجموع المسافات التي يصل منها إلى ثلاث نقاط معينة هو الأصغر.
1.6 دائرة من تسع نقاط
في الواقع ، A 3 B 2 هو خط الوسط للمثلث AHC ، وبالتالي ، A 3 B 2 || CC1. B 2 A 2 هو الخط الأوسط للمثلث ABC ، وبالتالي B 2 A 2 || AB. بما أن CC 1 ┴ AB ، إذن A 3 B 2 A 2 = 90 °. وبالمثل ، أ 3 ج 2 أ 2 = 90 درجة. إذن ، النقاط أ 2 ، ب 2 ، ج 2 ، أ 3 تقع على نفس الدائرة بقطر أ 2 أ 3. بما أن AA 1 ┴BC ، فإن النقطة A 1 تنتمي أيضًا إلى هذه الدائرة. وهكذا ، فإن النقطتين A 1 و A 3 تقعان على محيط المثلث A2B2C2. بالمثل ، يتضح أن النقاط B 1 و B 3 و C 1 و C 3 تقع على هذه الدائرة. إذن جميع النقاط التسع تقع على نفس الدائرة.
في هذه الحالة ، يقع مركز الدائرة المكونة من تسع نقاط في المنتصف بين مركز تقاطع الارتفاعات ومركز الدائرة المحددة. في الواقع ، لنفترض أن المثلث ABC (الشكل 9) ، تكون النقطة O هي مركز الدائرة المحددة ؛ G هي نقطة تقاطع المتوسطات. ح نقطة تقاطع المرتفعات. مطلوب إثبات أن النقاط O و G و H تقع على نفس الخط المستقيم وأن مركز الدائرة المكونة من تسع نقاط N يقسم المقطع OH إلى النصف.
ضع في اعتبارك أن homothety تتمحور حول G ومع معامل -0.5. ستنتقل الرؤوس A و B و C للمثلث ABC إلى النقاط A 2 و B 2 و C 2 على التوالي. سترتفع ارتفاعات المثلث ABC إلى ارتفاعات المثلث A 2 B 2 C 2 ، وبالتالي ستنتقل النقطة H إلى النقطة O. لذلك ، فإن النقاط O و G و H ستقع على خط مستقيم واحد.
دعنا نوضح أن نقطة المنتصف N للقطعة OH هي مركز الدائرة المكونة من تسع نقاط. في الواقع ، C 1 C 2 هو وتر الدائرة المكون من تسع نقاط. لذلك ، فإن المنصف العمودي لهذا الوتر هو القطر ويتقاطع مع OH عند نقطة المنتصف لـ N. وبالمثل ، فإن المنصف العمودي للوتر B 1 B 2 هو القطر ويتقاطع مع OH في نفس النقطة N. وبالتالي ، N هو المركز من دائرة تسع نقاط. Q.E.D.
في الواقع ، لنكن P نقطة اعتباطية ملقاة على محيط دائرة المثلث ABC ؛ D ، E ، F هي قواعد الخطوط العمودية المسقطة من النقطة P إلى جانبي المثلث (الشكل 10). دعونا نوضح أن النقاط D و E و F تقع على نفس الخط المستقيم.
لاحظ أنه إذا مرت نقطة AP عبر مركز الدائرة ، فإن النقطتين D و E تتطابقان مع القمم B و C. وإلا ، فإن إحدى الزاويتين ABP أو ACP حادة والأخرى منفرجة. ويترتب على ذلك أن النقطتين D و E ستقعان على جوانب مختلفة من الخط BC ، ولإثبات أن النقاط D و E و F تقع على نفس الخط ، يكفي التحقق من أن ∟CEF = سرير.
دعونا نصف دائرة بقطر CP. بما أن ∟CFP = ∟CEP = 90 ° ، فإن النقطتين E و F تقعان على هذه الدائرة. لذلك ، ∟CEF = ∟CPF كزوايا محوطة بناءً على قوس دائري واحد. علاوة على ذلك ، ∟ CPF = 90 درجة - ∟PCF = 90 درجة - ∟DBP = ∟BPD. دعنا نصف دائرة بقطر BP. بما أن ∟BEP = ∟BDP = 90 ° ، فإن النقطتين F و D تقعان على هذه الدائرة. لذلك ، ∟BPD = ∟BED. لذلك ، نحصل أخيرًا على أن ∟CEF = ∟BED. إذن ، النقاط D و E و F تقع على نفس الخط المستقيم.
الفصلثانيًاحل المشاكل
لنبدأ بالمسائل المتعلقة بموقع المنصات والوسيطات وارتفاعات المثلث. يتيح لك حلهم ، من ناحية ، تذكر المواد التي تمت تغطيتها مسبقًا ، ومن ناحية أخرى ، يطور التمثيلات الهندسية اللازمة ، ويستعد لحل المشكلات الأكثر تعقيدًا.
مهمة 1.عند الزاويتين A و B للمثلث ABC (∟A
حل.دع القرص المضغوط يكون الارتفاع ، CE المنصّف ، إذن
∟BCD = 90 درجة - ∟B ، ∟BCE = (180 درجة - ∟A - B): 2.
لذلك ، ∟DCE =.
حل.دع O تكون نقطة التقاطع لمنصفي المثلث ABC (الشكل 1). دعنا نستفيد من حقيقة أن الزاوية الأكبر تقع في مقابل الضلع الأكبر للمثلث. إذا كان AB BC ، إذن ∟A
حل. دع O تكون نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث ABC (الشكل 2). إذا كان AC ∟B. دائرة بقطر BC ستمر عبر النقطتين F و G. مع الأخذ في الاعتبار أن أصغر الوترين هو الذي تقع عليه الزاوية المحيطية الأصغر ، نحصل على CG
دليل.على الجانبين AC و BC للمثلث ABC ، كما هو الحال بالنسبة للأقطار ، فإننا نبني دوائر. النقاط أ 1 ، ب 1 ، ج 1 تنتمي إلى هذه الدوائر. لذلك ، ∟B 1 C 1 C = B 1 BC كزوايا قائمة على نفس القوس الدائري. ∟B 1 قبل الميلاد = CAA 1 كزوايا ذات جوانب متعامدة بشكل متبادل. ∟CAA 1 = CC 1 A 1 كزوايا قائمة على نفس القوس الدائري. لذلك ، ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1 ، أي CC 1 هو منصف الزاوية B 1 C 1 A 1. وبالمثل ، يتضح أن AA 1 و BB 1 منصفين للزوايا B 1 A 1 C 1 و A 1 B 1 C 1.
يعطي المثلث المدروس ، الذي تمثل رءوسه أساس ارتفاعات مثلث حاد الزاوية ، إجابة على إحدى مسائل النهايات الطرفية التقليدية.
حل.لنفترض أن ABC مثلث حاد. يجب أن نجد على جانبيها مثل هذه النقاط A 1، B 1، C 1 التي يكون محيط المثلث A 1 B 1 C 1 فيها هو الأصغر (الشكل 4).
دعونا أولاً نصلح النقطة C 1 ونبحث عن النقطتين A 1 و B 1 اللتين يكون محيط المثلث A 1 B 1 C 1 فيهما الأصغر (للموضع المعطى للنقطة C 1).
للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك النقطتين D و E متناظرتين مع النقطة C 1 بالنسبة إلى الخطين AC و BC. ثم B 1 C 1 = B 1 D ، A 1 C 1 = A 1 E ، وبالتالي ، فإن محيط المثلث A 1 B 1 C 1 سيكون مساويًا لطول متعدد الخطوط DB 1 A 1 E. من الواضح أن طول هذا متعدد الخطوط هو الأصغر إذا كانت النقطتان B 1 و A 1 تقعان على الخط DE.
سنقوم الآن بتغيير موضع النقطة C 1 والبحث عن الموضع الذي يكون فيه محيط المثلث المقابل A 1 B 1 C 1 هو الأصغر.
نظرًا لأن النقطة D متناظرة مع C 1 فيما يتعلق بـ AC ، فإن CD = CC 1 و ACD = ACC 1. وبالمثل ، CE = CC 1 و BCE = BCC 1. لذلك ، فإن المثلث CDE هو متساوي الساقين. ضلعه يساوي CC 1. القاعدة DE تساوي المحيط صمثلث أ 1 ب 1 ج 1. الزاوية DCE تساوي ضعف الزاوية ACB للمثلث ABC ، وبالتالي لا تعتمد على موضع النقطة C 1.
في مثلث متساوي الساقين بزاوية معينة في القمة ، كلما كانت القاعدة أصغر ، كان ضلعها أصغر. لذلك ، أصغر قيمة للمحيط صيتم تحقيقه في حالة أصغر قيمة لـ CC 1. تؤخذ هذه القيمة إذا كان CC 1 هو ارتفاع المثلث ABC. وبالتالي ، فإن النقطة المطلوبة C 1 على الجانب AB هي قاعدة الارتفاع المرسومة من أعلى C.
لاحظ أنه يمكننا أولاً إصلاح ليس النقطة C 1 ، ولكن النقطة A 1 أو النقطة B 1 وسنحصل على أن A 1 و B 1 هما أساس الارتفاعات المقابلة للمثلث ABC.
ويترتب على ذلك أن المثلث المطلوب ، أصغر محيط ، المدرج في مثلث معين الزاوية حاد ABC هو مثلث تكون رؤوسه أساس ارتفاعات المثلث ABC.
حل.دعنا نثبت أنه إذا كانت زوايا المثلث أقل من 120 درجة ، فإن النقطة المرغوبة في مشكلة شتاينر هي نقطة توريشيلي.
دعونا ندير المثلث ABC حول الرأس C بزاوية 60 درجة ، الشكل. 7. احصل على المثلث A'B'C. خذ نقطة عشوائية O في المثلث ABC. عند الاستدارة ، ستنتقل إلى نقطة ما. المثلث OO'C متساوي الأضلاع منذ CO = CO 'و ∟OCO' = 60 ° ، وبالتالي OC = OO '. لذلك ، فإن مجموع أطوال OA + OB + OC سيكون مساويًا لطول متعدد الخطوط AO + OO '+ O'B'. من الواضح أن طول هذا متعدد الخطوط يأخذ أصغر قيمة إذا كانت النقاط A ، O ، O '، B' تقع على نفس الخط المستقيم. إذا كانت O هي نقطة Torricelli ، فهي كذلك. في الواقع ، ∟AOC = 120 ° ، COO "= 60 °. لذلك ، فإن النقاط A ، O ، O 'تقع على نفس الخط المستقيم. وبالمثل ، ∟CO'O = 60 ° ، CO" B "= 120 ° وبالتالي ، فإن النقاط O ، O '، B' تقع على نفس الخط ، مما يعني أن جميع النقاط A ، O ، O '، B' تقع على نفس الخط.
خاتمة
إن هندسة المثلث ، إلى جانب الأقسام الأخرى للرياضيات الابتدائية ، تجعل من الممكن الشعور بجمال الرياضيات بشكل عام ويمكن أن تصبح بالنسبة لشخص ما بداية الطريق إلى "العلم الكبير".
الهندسة علم مذهل. يمتد تاريخها لأكثر من ألف عام ، لكن كل لقاء معها قادر على منح وإثراء (كل من الطالب والمعلم) بالحداثة المثيرة لاكتشاف صغير ، الفرح المذهل للإبداع. في الواقع ، أي مشكلة في الهندسة الأولية هي ، في جوهرها ، نظرية ، وحلها هو انتصار رياضي متواضع (وأحيانًا ضخم).
تاريخياً ، بدأت الهندسة بمثلث ، لذلك كان المثلث لمدة ألفين ونصف ألف عام رمزًا للهندسة. يمكن أن تصبح الهندسة المدرسية مثيرة للاهتمام وذات مغزى فقط ، وعندها فقط يمكن أن تصبح هندسة مناسبة عندما تظهر دراسة عميقة وشاملة للمثلث. من المثير للدهشة أن المثلث ، على الرغم من بساطته الواضحة ، هو موضوع لا ينضب للدراسة - لا أحد ، حتى في عصرنا ، يجرؤ على القول إنه درس ويعرف كل خصائص المثلث.
في هذه الورقة ، تم النظر في خصائص المنصات ، والوسيطات ، والمنصفات العمودية ، وارتفاعات المثلث ، وتم توسيع عدد النقاط والخطوط الرائعة للمثلث ، وصياغة النظريات وإثباتها. تم حل عدد من المشاكل المتعلقة بتطبيق هذه النظريات.
يمكن استخدام المواد المقدمة في كل من الدروس الأساسية والفصول الاختيارية ، وكذلك في التحضير للاختبار المركزي والأولمبياد في الرياضيات.
فهرس
Berger M. الهندسة في مجلدين - M: Mir ، 1984.
Kiselev A.P. الهندسة الأولية. - م: التنوير ، 1980.
Kokseter G.S.، Greitzer S.L. لقاءات جديدة مع الهندسة. - م: نوكا ، 1978.
Latotin L.A.، Chebotaravskiy B.D. الرياضيات 9. - مينسك: نارودنايا أسفيتا ، 2014.
براسولوف ف. مشاكل في قياس الكواكب. - م: نوكا ، 1986. - الجزء الأول.
Scanavi M. I. الرياضيات. مشاكل الحلول. - روستوف أون دون: فينيكس ، 1998.
Sharygin I.F. مشاكل في الهندسة: قياس الكواكب. - م: نوكا ، 1986.