الحل الأساسي لنظام متجانس من المعادلات الخطية. حل أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية

نظام متجانس من المعادلات الخطية على المجال

تعريف. النظام الأساسي لحلول نظام المعادلات (1) هو نظام مستقل خطيًا غير فارغ لحلوله ، ويتزامن امتداده الخطي مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي يحتوي على حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي للحلول.

مقترح 3.11. يتكون أي نظامين أساسيين من حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية من نفس عدد الحلول.

دليل - إثبات. في الواقع ، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك ، من خلال الاقتراح 1.12 ، فإن رتبهم متساوية. لذلك ، فإن عدد الحلول المضمنة في نظام أساسي واحد يساوي عدد الحلول المضمنة في أي نظام أساسي آخر للحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس من المعادلات (1) هي صفر ، فإن أي متجه من هو حل للنظام (1) ؛ في هذه الحالة ، أي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا من هي نظام أساسي للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A ، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر ؛ لذلك ، في هذه الحالة ، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي من الحلول.

نظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام المتجانس للمعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات ، فإن النظام (1) لديه نظام أساسي من الحلول يتكون من الحلول.

دليل - إثبات. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفرًا أو ، فقد تم توضيح أن النظرية صحيحة. لذلك ، من المفترض أدناه هذا بافتراض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة ، تكون المصفوفة A مكافئة للصفوف لمصفوفة الخطوة المختصرة ، والنظام (1) مكافئ لنظام الخطوات المختزل التالي للمعادلات:

من السهل التحقق من أن أي نظام لقيم المتغيرات الحرة للنظام (2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2) وبالتالي للنظام (1). على وجه الخصوص ، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) يتوافق مع نظام القيم الصفرية.

في النظام (2) ، سنخصص قيمة تساوي 1 لأحد المتغيرات الحرة ، وقيم صفرية للمتغيرات الأخرى. نتيجة لذلك ، نحصل على حلول لنظام المعادلات (2) ، والتي نكتبها كصفوف من المصفوفة التالية C:

نظام الصف في هذه المصفوفة مستقل خطيًا. في الواقع ، لأي عددي من المساواة

يتبع المساواة

وبالتالي المساواة

دعنا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتطابق مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضًا حل للنظام (1) ، و

اسمحوا ان م 0 هي مجموعة حلول النظام المتجانس (4) للمعادلات الخطية.

التعريف 6.12.ثلاثة أبعاد مع 1 ,مع 2 , …, مع ص، وهي حلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، تسمى مجموعة الحلول الأساسية(يُختصر FNR) إذا

1) ناقلات مع 1 ,مع 2 , …, مع صمستقل خطيًا (أي أنه لا يمكن التعبير عن أي منها بمصطلحات أخرى) ؛

2) يمكن التعبير عن أي حل آخر لنظام متجانس من المعادلات الخطية من حيث الحلول مع 1 ,مع 2 , …, مع ص.

لاحظ أنه إذا كان مع 1 ,مع 2 , …, مع صهو بعض f.n.r. ، ثم بالتعبير ك 1 × مع 1 + ك 2 × مع 2 + … + kp× مع صيمكن أن تصف المجموعة بأكملها م 0 حلول للنظام (4) ، لذلك يطلق عليه نظرة عامة على حل النظام (4).

نظرية 6.6.أي نظام متجانس غير محدد المدة من المعادلات الخطية له مجموعة أساسية من الحلول.

طريقة العثور على مجموعة الحلول الأساسية هي كما يلي:

إيجاد الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الخطية ؛

يبني ( ن – ص) حلول جزئية لهذا النظام ، بينما يجب أن تشكل قيم المجهول الحر مصفوفة هوية ؛

اكتب الشكل العام للحل المتضمن في م 0 .

مثال 6.5.ابحث عن مجموعة الحلول الأساسية للنظام التالي:

قرار. دعونا نجد الحل العام لهذا النظام.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ يحتوي هذا النظام على خمسة مجاهيل ( ن= 5) ، منها مجهولين رئيسيين ( ص= 2) ، ثلاثة مجاهيل حرة ( ن – ص) ، أي أن مجموعة الحلول الأساسية تحتوي على ثلاثة نواقل للحلول. دعونا نبنيها. نملك x 1 و x 3 - المجهول الرئيسي ، x 2 , x 4 , x 5 - مجهولة مجانية

قيم المجاهيل الحرة x 2 , x 4 , x 5 شكل مصفوفة الهوية هالترتيب الثالث. حصلت على تلك النواقل مع 1 ,مع 2 , مع 3 شكل f.n.r. هذا النظام. ثم ستكون مجموعة حلول هذا النظام المتجانس م 0 = {ك 1 × مع 1 + ك 2 × مع 2 + ك 3 × مع 3 , ك 1 , ك 2 , ك 3 ، ص).

دعونا الآن نكتشف شروط وجود حلول غير صفرية لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، وبعبارة أخرى ، شروط وجود مجموعة أساسية من الحلول.

النظام المتجانس من المعادلات الخطية له حلول غير صفرية ، أي أنه غير محدد إذا

1) رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام أقل من عدد المجهولين ؛

2) في نظام متجانس من المعادلات الخطية ، يكون عدد المعادلات أقل من عدد المجهول ؛

3) إذا كان عدد المعادلات في نظام متجانس من المعادلات الخطية يساوي عدد المجهول ، ومحدد المصفوفة الرئيسية يساوي الصفر (أي | أ| = 0).

مثال 6.6. ما قيمة المعلمة أنظام متجانس من المعادلات الخطية لديها حلول غير صفرية؟

قرار. دعونا نؤلف المصفوفة الرئيسية لهذا النظام ونجد محدده: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - أ- 4. متى محدد هذه المصفوفة يساوي الصفر أ = –4.

إجابه: –4.

7. الحساب نالفضاء ناقلات الأبعاد

مفاهيم أساسية

في الأقسام السابقة ، واجهنا بالفعل مفهوم مجموعة من الأعداد الحقيقية مرتبة بترتيب معين. هذه مصفوفة صف (أو مصفوفة عمود) وحل لنظام معادلات خطية بها نمجهول. يمكن تلخيص هذه المعلومات.

التعريف 7.1. ن-ناقلات حسابية الأبعاديسمى مجموعة مرتبة من نأرقام حقيقية.

وسائل أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن)، اين ا أناО ص ، أنا = 1, 2, …, نهي النظرة العامة للناقل. رقم ناتصل البعدناقلات ، والأرقام أ أنااتصلت به إحداثيات.

علي سبيل المثال: أ= (1، –8، 7، 4،) متجه خماسي الأبعاد.

كل مجموعة نعادة ما يتم الإشارة إلى النواقل ذات الأبعاد على أنها ص ن.

التعريف 7.2.متجهان أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن) و ب= (ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب ن) من نفس البعد مساوإذا وفقط إذا كانت إحداثيات كل منهما متساوية ، أي أ 1 = ب 1 ، أ 2 = ب 2 ، ... ، أ ن= ب ن.

التعريف 7.3.مجموعاثنين ننواقل الأبعاد أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن) و ب= (ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب ن) يسمى ناقل أ + ب= (أ 1 + ب 1 ، أ 2 + ب 2 ، ... ، أ ن+ ب ن).

التعريف 7.4. الشغلعدد حقيقي كلكل متجه أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن) يسمى ناقل ك× أ = (ك× أ 1 ، ك× أ 2 ، ... ، ك× أ ن)

التعريف 7.5.المتجه حول= (0 ، 0 ، ... ، 0) يسمى صفر(أو متجه فارغ).

من السهل التحقق من أن إجراءات (عمليات) إضافة المتجهات وضربها في رقم حقيقي لها الخصائص التالية: أ, ب, ج Î ص ن, " ك, لОR:

1) أ + ب = ب + أ;

2) أ + (ب+ ج) = (أ + ب) + ج;

3) أ + حول = أ;

4) أ+ (–أ) = حول;

5) 1 × أ = أ، 1 О ص ؛

6) ك×( ل× أ) = ل×( ك× أ) = (ل× ك)× أ;

7) (ك + ل)× أ = ك× أ + ل× أ;

8) ك×( أ + ب) = ك× أ + ك× ب.

التعريف 7.6.مجموعة من ص نمع عمليات إضافة المتجهات وضربها في رقم حقيقي معين عليها يسمى حسابي متجه ن الأبعاد الفضاء.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

لفهم ما هو نظام القرار الأساسييمكنك مشاهدة الفيديو التعليمي لنفس المثال بالنقر فوق. الآن دعنا ننتقل إلى وصف كل الأعمال الضرورية. سيساعدك هذا على فهم جوهر هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

كيف تجد النظام الأساسي لحلول المعادلة الخطية؟

خذ على سبيل المثال نظام المعادلات الخطية التالي:

لنجد حلاً لنظام المعادلات الخطي هذا. بادئ ذي بدء ، نحن اكتب مصفوفة معامل النظام.

لنحول هذه المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة.نعيد كتابة السطر الأول بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (11) $ يجب أن تكون صفرًا. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (21) $ ، عليك طرح الأول من السطر الثاني ، وكتابة الفرق في السطر الثاني. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، عليك طرح الأول من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (41) $ ، عليك طرح أول مضروب في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، اطرح أول مضروب في 2 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نعيد كتابة الخطين الأول والثاني بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (22) $ يجب أن تكون صفرًا. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (32) $ ، من الضروري طرح العنصر الثاني مضروبًا في 2 من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (42) $ ، من الضروري طرح الثاني مضروبًا في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (52) $ ، اطرح الثاني مضروبًا في 3 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نحن نرى ذلك الأسطر الثلاثة الأخيرة هي نفسها، لذلك إذا طرحت الثالث من الرابع والخامس ، فسيصبحان صفرًا.

لهذه المصفوفة اكتب نظام معادلات جديد.

نرى أن لدينا فقط ثلاث معادلات مستقلة خطيًا ، وخمسة مجاهيل ، وبالتالي سيتكون نظام الحلول الأساسي من متجهين. لذلك نحن نقل آخر مجهولين إلى اليمين.

الآن ، نبدأ في التعبير عن تلك المجهولات الموجودة على الجانب الأيسر من خلال تلك الموجودة على الجانب الأيمن. نبدأ بالمعادلة الأخيرة ، أولاً نعبر عن $ x_3 $ ، ثم نعوض بالنتيجة التي تم الحصول عليها في المعادلة الثانية ونعبر عن $ x_2 $ ، ثم في المعادلة الأولى وهنا نعبر عن $ x_1 $. وهكذا ، عبرنا عن كل المجهول الموجودة في الجانب الأيسر من خلال المجهول الموجودة في الجانب الأيمن.

بعد ذلك ، بدلاً من $ x_4 $ و $ x_5 $ ، يمكنك استبدال أي أرقام والعثور على $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $. كل هذه الأعداد الخمسة ستكون جذور نظام المعادلات الأصلي. للعثور على المتجهات التي تم تضمينها في FSRنحتاج إلى استبدال 1 بدلاً من $ x_4 $ ، واستبدال 0 بدلاً من $ x_5 $ ، أوجد $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $ ، ثم العكس بالعكس $ x_4 = 0 $ و $ x_5 = 1 $.

الطريقة الغاوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات الضرورية في الطريقة الغاوسية ؛ الطريقة الغاوسية ليست مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

ضع في اعتبارك طرقًا أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتقليل حل أي نظام مشترك إلى حل نظام تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1أوجد الحل العام للنظام التالي من المعادلات الخطية باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل معين للنظام غير المتجانس.

1. نصنع مصفوفة أوالمصفوفة المعززة للنظام (1)

2. اكتشف النظام (1) من أجل التوافق. للقيام بذلك ، نجد رتب المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). إذا اتضح ذلك ، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك ، فهذا النظام متسق وسنحلها. (تستند دراسة الاتساق إلى نظرية Kronecker-Capelli).

أ. نجد rA.

لايجاد rA، سننظر في الترتيب غير الصفري على التوالي للأوامر الأولى والثانية وما إلى ذلك من المصفوفة أوالقصر من حولهم.

م 1= 1 ≠ 0 (1 مأخوذ من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة لكن).

الحدود م 1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م 1السطر الثاني والعمود الثالث..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. الآن نحدد الصغرى غير الصفرية М2 ′الدرجة الثانية.

نملك: (لأن أول عمودين متماثلان)

(لأن الخطين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك rA = 2، وهو الأساس الصغرى للمصفوفة أ.

ب. نجد .

قاصر أساسي بما فيه الكفاية М2 ′المصفوفات أالحدود مع عمود من الأعضاء الأحرار وجميع الأسطر (لدينا السطر الأخير فقط).

. ويترتب على ذلك أن М3 ′ ′يظل الأساس الصغرى للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

مثل М2 ′- الأساس الصغرى للمصفوفة أأنظمة (2) ، فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (ل М2 ′في الصفين الأولين من المصفوفة أ).

(3)

نظرًا لأن القاصر الأساسي هو https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

في هذا النظام ، مجهولان مجانيان ( x2 و x4 ). لذا FSR أنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم ، نخصص مجاهيل مجانية لـ (4) القيم أولا س 2 = 1 , س 4 = 0 ، وثم - س 2 = 0 , س 4 = 1 .

في س 2 = 1 , س 4 = 0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن إيجاده حسب قاعدة كرامر أو بأي طريقة أخرى). بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على:

سيكون قرارها x1 = -1 , x3 = 0 . بالنظر إلى القيم x2 و x4 ، الذي قدمناه ، حصلنا على أول حل أساسي للنظام (2) : .

الآن نضع (4) س 2 = 0 , س 4 = 1 . نحن نحصل:

.

نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR أنظمة (2) . ثم سيكون حلها العام

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1 ، 1 ، 0 ، 0) + С2 (5 ، 0 ، 4 ، 1) = (- С1 + 5С2 ، С1 ، 4С2 ، С2)

هنا C1 , C2 ثوابت اعتباطية.

4. ابحث عن واحد نشر قرار نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 بدلا من النظام (1) النظر في النظام المكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

ننقل المجهول إلى الجانب الأيمن x2و x4.

(6)

دعونا نعطي مجاهيل مجانية x2 و x4 قيم اعتباطية ، على سبيل المثال ، س 2 = 2 , س 4 = 1 وقم بتوصيلها (6) . دعنا نحصل على النظام

هذا النظام له حل فريد (لأنه محدده М2′0). حلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس) نحصل عليها س 1 = 3 , x3 = 3 . نظرا لقيم المجاهيل الحرة x2 و x4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1 = (3،2،3،1).

5. الآن يبقى أن يكتب الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المجموع قرار خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α = α1 + γ = (3، 2، 3، 1) + (- С1 + 5С2، С1، 4С2، С2).

هذا يعني: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) يحل محل (1) . إذا أصبحت كل معادلة هوية ( C1 و C2 يجب تدميرها) ، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال ، فقط في المعادلة الأخيرة للنظام (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

نحصل على: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

حيث -1 = -1. لدينا هوية. نقوم بهذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون التحقق مرهقًا للغاية. يمكننا أن نوصي بما يلي "التحقق الجزئي": في الحل الشامل للنظام (1) قم بتعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدال الحل المعين الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) التي لم يتم تضمينها في (5) ). إذا حصلت على هويات ، إذن اكثر اعجابا، حل النظام (1) تم العثور عليها بشكل صحيح (لكن هذا الفحص لا يعطي ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال ، إذا كان بتنسيق (7) وضع C2 =- 1 , C1 = 1، ثم نحصل على: x1 = -3 ، x2 = 3 ، x3 = -1 ، x4 = 0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) ، لدينا: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، على سبيل المثال –1 = –1. لدينا هوية.

مثال 2ابحث عن حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معربا عن المجهول الرئيسي من حيث المجاهيل الحرة.

قرار.كما في مثال 1، يؤلف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام (1) ، المعاملات التي تم تضمينها في هذه الثانوية الأساسية (أي لدينا المعادلتان الأوليان) والنظر في النظام الذي يتكون منها ، وهو ما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

النظام (9) نحلها بالطريقة الغاوسية ، معتبرين الأجزاء الصحيحة كأعضاء حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "العرض =" 202 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "العرض =" 179 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

تسمى المعادلة الخطية متجانسإذا كان اعتراضه صفرًا ، وغير متجانس على خلاف ذلك. يسمى النظام الذي يتكون من معادلات متجانسة متجانس وله الشكل العام:

من الواضح أن أي نظام متجانس يكون متسقًا وله حل صفري (تافه). لذلك ، فيما يتعلق بالأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يبحث عن إجابة لسؤال وجود حلول غير صفرية. يمكن صياغة إجابة هذا السؤال على النحو التالي.

نظرية . يحتوي النظام المتجانس من المعادلات الخطية على حل غير صفري إذا وفقط إذا كانت رتبته أقل من عدد المجهول .

دليل - إثبات: افترض أن النظام الذي تتساوى رتبته لديه حل غير صفري. من الواضح ، لا يتجاوز. في حالة وجود حل فريد للنظام. نظرًا لأن نظام المعادلات الخطية المتجانسة يحتوي دائمًا على حل صفري ، فإن الحل الصفري بالتحديد سيكون هذا الحل الفريد. وبالتالي ، فإن الحلول غير الصفرية ممكنة فقط لـ.

النتيجة الطبيعية 1 : نظام المعادلات المتجانس ، الذي يكون فيه عدد المعادلات أقل من عدد المجهول ، له دائمًا حل غير صفري.

دليل - إثبات: إذا كان نظام المعادلات ، فإن رتبة النظام لا تتجاوز عدد المعادلات ، أي . وبالتالي ، فإن الشرط مستوفى ، وبالتالي ، فإن النظام لديه حل غير صفري.

النتيجة 2 : نظام المعادلات المتجانسة ذات المجهول له حل غير صفري إذا وفقط إذا كان محدده صفرًا.

دليل - إثبات: افترض نظامًا من المعادلات الخطية المتجانسة التي تحتوي مصفوفتها ذات المحددات على حل غير صفري. ثم ، حسب النظرية المثبتة ، مما يعني أن المصفوفة متدهورة ، أي .

نظرية كرونيكر كابيلي: يكون SLE متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة النظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة لهذا النظام. يسمى النظام ur-th بأنه متوافق إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل.

نظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية.

يسمى نظام المعادلات الخطية m ذات المتغيرات n نظام المعادلات الخطية المتجانسة إذا كانت جميع المصطلحات الحرة تساوي 0. نظام المعادلات الخطية المتجانسة متوافق دائمًا ، لأن دائمًا ما يكون الحل صفريًا على الأقل. يحتوي نظام المعادلات الخطية المتجانسة على حل غير صفري إذا وفقط إذا كانت مرتبة مصفوفة معاملاته عند المتغيرات أقل من عدد المتغيرات ، أي للرتبة A (اسم أي تركيبة خطية

حلول نظام الخطوط. متجانس ur-ii هو أيضًا حل لهذا النظام.

يسمى نظام الحلول المستقلة خطيًا e1 ، e2 ، ... ، ek أساسيًا إذا كان كل حل للنظام عبارة عن مجموعة خطية من الحلول. النظرية: إذا كانت رتبة r من مصفوفة المعاملات عند متغيرات نظام المعادلات الخطية المتجانسة أقل من عدد المتغيرات n ، فإن أي نظام أساسي لحلول النظام يتكون من حلول n-r. لذلك ، الحل العام لنظام الخطوط. غير متزوج يكون ur-th بالشكل: c1e1 + c2e2 +… + ckek ، حيث e1 ، e2 ، ... ، ek هو أي نظام أساسي للحلول ، c1 ، c2 ، ... ، ck هي أرقام عشوائية و k = n-r. الحل العام لنظام من المعادلات الخطية مع متغيرات n يساوي المجموع

الحل العام للنظام المقابل متجانس. المعادلات الخطية وحل خاص تعسفي لهذا النظام.

7. المسافات الخطية. الفراغات. الأساس ، البعد. قذيفة خطية. يسمى الفضاء الخطي ن الأبعاد، إذا كان يحتوي على نظام من النواقل المستقلة خطيًا ، وأي نظام يحتوي على المزيد من النواقل يعتمد خطيًا. الرقم يسمى البعد (عدد الأبعاد)الفضاء الخطي ويشار إليه بواسطة. بمعنى آخر ، بُعد الفضاء هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا في تلك المساحة. إذا كان هذا الرقم موجودًا ، فيُقال إن الفضاء ذو ​​أبعاد محدودة. إذا كان لأي عدد طبيعي n في الفضاء نظام يتكون من متجهات مستقلة خطيًا ، فإن هذا الفضاء يسمى اللانهائي الأبعاد (مكتوب:). فيما يلي ، ما لم ينص على خلاف ذلك ، سيتم النظر في المساحات ذات الأبعاد المحدودة.

أساس الفضاء الخطي ذو البعد n هو مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيًا ( ناقلات الأساس).

نظرية 8.1 حول توسيع متجه من حيث الأساس. إذا كان أساسًا لمساحة خطية ذات أبعاد n ، فيمكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية:

V = v1 * e1 + v2 * e2 +… + vn + en
وعلاوة على ذلك ، بطريقة فريدة ، أي يتم تحديد المعاملات بشكل فريد.بمعنى آخر ، يمكن توسيع أي متجه فضائي بشكل أساسي ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة.

في الواقع ، أبعاد الفضاء. نظام النواقل مستقل خطيًا (هذا هو الأساس). بعد ربط أي ناقل بالأساس ، نحصل على نظام يعتمد خطيًا (نظرًا لأن هذا النظام يتكون من ناقلات في فضاء ذي أبعاد n). من خلال خاصية 7 نواقل تابعة خطيًا ومستقلة خطيًا ، نحصل على خاتمة النظرية.