أهداف الدرس:

• تعميق معرفتك بموضوع "الدائرة في المثلثات"

أهداف الدرس:

• تنظيم المعرفة حول هذا الموضوع
• الاستعداد لحل المشكلات ذات التعقيد المتزايد.

خطة الدرس:

1. مقدمة.
2. الجزء النظري.
3. للمثلث.
4. الجزء العملي.

مقدمة.

يعد موضوع "الدوائر المدرجة والمحددة في المثلثات" من أصعب المواضيع في مقرر الهندسة. إنها تقضي القليل من الوقت في الفصل.

يتم تضمين المشكلات الهندسية حول هذا الموضوع في الجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة لدورة المدرسة الثانوية.
يتطلب إكمال هذه المهام بنجاح معرفة قوية بالحقائق الهندسية الأساسية وبعض الخبرة في حل المشكلات الهندسية.

الجزء النظري.

محيط المضلع- دائرة تحتوي على جميع رؤوس المضلع. المركز هو نقطة (يشار إليها عادة بـ O) لتقاطع المنصفات المتعامدة مع جوانب المضلع.

ملكيات.

يقع المركز المحيطي للمضلع n المحدب عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة على جانبيه. ونتيجة لذلك: إذا كانت الدائرة محصورة بجانب مضلع n فإن جميع المنصفات المتعامدة على جوانبها تتقاطع عند نقطة واحدة (مركز الدائرة).
يمكن رسم دائرة حول أي مضلع منتظم.

للمثلث.

تسمى الدائرة محيطة بالمثلث إذا مرت بجميع رؤوسها.

يمكن وصف الدائرة حول أي مثلث، و واحد فقط. وسيكون مركزها نقطة تقاطع الخطوط المتعامدة.

بالنسبة للمثلث الحاد، يقع مركز الدائرة المقيدة داخل، لواحدة منفرجة الزاوية - خارج المثلث، لواحدة مستطيلة - في منتصف الوتر.

يمكن العثور على نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

أين:
أ، ب، ج- جوانب المثلث،
α - الزاوية المقابلة للضلع أ،
س- مساحة المثلث .

يثبت:

t.O - نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة مع الجانبين ΔABC

دليل:

1. ΔAOC - متساوي الساقين، لأن الزراعة العضوية = نظام التشغيل (كنصف القطر)
2. ΔAOC - متساوي الساقين، OD عمودي - المتوسط ​​والارتفاع، أي. لذا فإن O يقع على المنصف العمودي على الجانب AC
3. وثبت بالمثل أن t.O يقع على المنصفين المتعامدين على الجانبين AB وBC

Q.E.D.

تعليق.

غالبًا ما يُطلق على الخط المستقيم الذي يمر عبر منتصف القطعة المتعامدة معها اسم المنصف العمودي. وفي هذا الصدد يقال أحياناً أن مركز الدائرة المحيطة بالمثلث يقع عند تقاطع عمودي المنصفات على جوانب المثلث.

مستوى اول

دائرة محصورة. الدليل المرئي (2019)

السؤال الأول الذي قد يطرح نفسه هو: ما الذي يوصف - حول ماذا؟

حسنًا، في الواقع، يحدث هذا أحيانًا حول أي شيء، لكننا سنتحدث عن دائرة محاطة بمثلث (أحيانًا يقولون أيضًا "حول"). ما هذا؟

وتخيل فقط أن حقيقة مذهلة تحدث:

لماذا هذه الحقيقة مفاجئة؟

لكن المثلثات مختلفة!

ولكل شخص دائرة سوف تمر من خلال القمم الثلاث، أي الدائرة المقيدة.

يمكن العثور على دليل على هذه الحقيقة المدهشة في المستويات التالية من النظرية، ولكن هنا نلاحظ فقط أنه إذا أخذنا، على سبيل المثال، شكلاً رباعيًا، فلن تكون هناك دائرة تمر عبر القمم الأربعة للجميع. على سبيل المثال، متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ممتاز، لكن لا توجد دائرة تمر بجميع رؤوسه الأربعة!

وليس هناك سوى للمستطيل:

ها أنت ذا، ولكل مثلث دائمًا دائرته المقيدة!ومن السهل دائمًا العثور على مركز هذه الدائرة.

هل تعلم ما هو منصف عمودي?

الآن دعونا نرى ما سيحدث إذا نظرنا إلى ما يصل إلى ثلاثة منصفات متعامدة على جوانب المثلث.

اتضح (وهذا هو بالضبط ما يحتاج إلى إثبات، على الرغم من أننا لن نفعل ذلك) ذلك تتقاطع الخطوط المتعامدة الثلاثة عند نقطة واحدة.انظر إلى الصورة - تتقاطع المنصفات المتعامدة الثلاثة عند نقطة واحدة.

هل تعتقد أن مركز الدائرة المحددة يقع دائمًا داخل المثلث؟ تخيل - ليس دائما!

لكن اذا حادة الزاوية ثم - إلى الداخل:

ماذا تفعل مع المثلث الأيمن؟

ومع مكافأة إضافية:

بما أننا نتحدث عن نصف قطر الدائرة المحدودة: ما الذي يساويه المثلث العشوائي؟ وهناك إجابة على هذا السؤال: ما يسمى .

يسمى:

وبالطبع،

1. الوجود ومركز الدائرة

وهنا يطرح السؤال: هل توجد مثل هذه الدائرة لكل مثلث؟ اتضح أن نعم للجميع. علاوة على ذلك، سنقوم الآن بصياغة نظرية تجيب أيضًا على سؤال أين يقع مركز الدائرة المحددة.

يبدو مثل هذا:

دعونا نكون شجعان ونثبت هذه النظرية. إذا كنت قد قرأت الموضوع بالفعل "" وفهمت سبب تقاطع ثلاثة منصفات عند نقطة واحدة، فسيكون الأمر أسهل بالنسبة لك، ولكن إذا لم تكن قد قرأته، فلا تقلق: الآن سنكتشف ذلك.

سنقوم بالبرهان باستخدام مفهوم موضع النقاط (GLP).

حسنًا، على سبيل المثال، هل مجموعة الكرات هي "الموضع الهندسي" للأجسام المستديرة؟ لا، بالطبع، لأن هناك بطيخ دائري. هل هي مجموعة من الأشخاص، "مكان هندسي"، من يستطيع التحدث؟ لا أيضاً، لأن هناك أطفالاً لا يستطيعون الكلام. في الحياة، من الصعب عمومًا العثور على مثال على "الموقع الهندسي للنقاط" الحقيقي. إنه أسهل في الهندسة. هنا، على سبيل المثال، هو بالضبط ما نحتاجه:

المجموعة هنا هي المنصف المتعامد، والخاصية "" هي "أن تكون متساوية البعد (نقطة) من طرفي القطعة."

يجب علينا التحقق؟ لذلك عليك التأكد من أمرين:

1. أي نقطة متساوية البعد عن طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي عليها.

دعونا نربط c و c. ثم الخط هو الوسيط والارتفاع b. وهذا يعني - متساوي الساقين - أننا تأكدنا من أن أي نقطة تقع على المنصف المتعامد تكون متساوية البعد عن النقاط و.

لنأخذ المنتصف ونتواصل و. والنتيجة هي الوسيط. ولكن وفقًا للشرط، ليس الوسيط متساوي الساقين فحسب، بل أيضًا الارتفاع، أي المنصف العمودي. وهذا يعني أن النقطة تقع بالضبط على المنصف العمودي.

الجميع! لقد تحققنا تماما من حقيقة ذلك المنصف العمودي لقطعة ما هو موضع النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة.

كل هذا جيد وجيد، لكن هل نسينا الدائرة المحدودة؟ لا على الإطلاق، لقد أعددنا أنفسنا للتو "نقطة انطلاق للهجوم".

النظر في مثلث. لنرسم خطين متعامدين منصفين، على سبيل المثال، للقطاعات و. سوف يتقاطعان في مرحلة ما، وهو ما سنسميه.

الآن، انتبه!

تقع النقطة على المنصف العمودي؛
النقطة تقع على المنصف العمودي.
وهذا يعني و.

ويترتب على ذلك عدة أمور:

أولاً، يجب أن تقع النقطة على المنصف الثالث العمودي على القطعة.

أي أن المنصف المتعامد يجب أن يمر أيضًا بالنقطة، وتتقاطع المنصفات المتعامدة الثلاثة عند نقطة واحدة.

ثانياً: إذا رسمنا دائرة مركزها نقطة ونصف قطرها، فإن هذه الدائرة تمر أيضاً بالنقطة والنقطة، أي تكون دائرة مقيدة. وهذا يعني أنه من الموجود بالفعل أن تقاطع ثلاثة منصفات متعامدة هو مركز الدائرة المحددة لأي مثلث.

وآخر شيء: عن التفرد. ومن الواضح (تقريبًا) أنه يمكن الحصول على النقطة بطريقة فريدة، وبالتالي تكون الدائرة فريدة. حسنًا، سنترك "تقريبًا" لتفكيرك. لذلك أثبتنا النظرية. يمكنك الصراخ "مرحى!"

ماذا لو كانت المسألة تطلب "أوجد نصف قطر الدائرة المحدودة"؟ أو العكس، يتم إعطاء نصف القطر، ولكن هل تحتاج إلى العثور على شيء آخر؟ هل توجد صيغة تربط نصف قطر الدائرة المحيطة بالعناصر الأخرى للمثلث؟

يرجى ملاحظة: نظرية الجيب تنص على ذلك من أجل العثور على نصف قطر الدائرة المحددة، تحتاج إلى جانب واحد (أي!) والزاوية المقابلة له. هذا كل شئ!

3. مركز الدائرة - من الداخل أو الخارج

والسؤال الآن هو: هل يمكن أن يقع مركز الدائرة المحددة خارج المثلث؟
الجواب: قدر الإمكان. علاوة على ذلك، يحدث هذا دائمًا في مثلث منفرج الزاوية.

وعلى العموم:

دائرة دائرية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

1. دائرة محاطة بمثلث

هذه هي الدائرة التي تمر بالرؤوس الثلاثة لهذا المثلث.

2. الوجود ومركز الدائرة

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 499 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

مستوى اول

دائرة محصورة. الدليل المرئي (2019)

السؤال الأول الذي قد يطرح نفسه هو: ما الذي يوصف - حول ماذا؟

حسنًا، في الواقع، يحدث هذا أحيانًا حول أي شيء، لكننا سنتحدث عن دائرة محاطة بمثلث (أحيانًا يقولون أيضًا "حول"). ما هذا؟

وتخيل فقط أن حقيقة مذهلة تحدث:

لماذا هذه الحقيقة مفاجئة؟

لكن المثلثات مختلفة!

ولكل شخص دائرة سوف تمر من خلال القمم الثلاث، أي الدائرة المقيدة.

يمكن العثور على دليل على هذه الحقيقة المدهشة في المستويات التالية من النظرية، ولكن هنا نلاحظ فقط أنه إذا أخذنا، على سبيل المثال، شكلاً رباعيًا، فلن تكون هناك دائرة تمر عبر القمم الأربعة للجميع. على سبيل المثال، متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ممتاز، لكن لا توجد دائرة تمر بجميع رؤوسه الأربعة!

وليس هناك سوى للمستطيل:

ها أنت ذا، ولكل مثلث دائمًا دائرته المقيدة!ومن السهل دائمًا العثور على مركز هذه الدائرة.

هل تعلم ما هو منصف عمودي?

الآن دعونا نرى ما سيحدث إذا نظرنا إلى ما يصل إلى ثلاثة منصفات متعامدة على جوانب المثلث.

اتضح (وهذا هو بالضبط ما يحتاج إلى إثبات، على الرغم من أننا لن نفعل ذلك) ذلك تتقاطع الخطوط المتعامدة الثلاثة عند نقطة واحدة.انظر إلى الصورة - تتقاطع المنصفات المتعامدة الثلاثة عند نقطة واحدة.

هل تعتقد أن مركز الدائرة المحددة يقع دائمًا داخل المثلث؟ تخيل - ليس دائما!

لكن اذا حادة الزاوية ثم - إلى الداخل:

ماذا تفعل مع المثلث الأيمن؟

ومع مكافأة إضافية:

بما أننا نتحدث عن نصف قطر الدائرة المحدودة: ما الذي يساويه المثلث العشوائي؟ وهناك إجابة على هذا السؤال: ما يسمى .

يسمى:

وبالطبع،

1. الوجود ومركز الدائرة

وهنا يطرح السؤال: هل توجد مثل هذه الدائرة لكل مثلث؟ اتضح أن نعم للجميع. علاوة على ذلك، سنقوم الآن بصياغة نظرية تجيب أيضًا على سؤال أين يقع مركز الدائرة المحددة.

يبدو مثل هذا:

دعونا نكون شجعان ونثبت هذه النظرية. إذا كنت قد قرأت الموضوع بالفعل "" وفهمت سبب تقاطع ثلاثة منصفات عند نقطة واحدة، فسيكون الأمر أسهل بالنسبة لك، ولكن إذا لم تكن قد قرأته، فلا تقلق: الآن سنكتشف ذلك.

سنقوم بالبرهان باستخدام مفهوم موضع النقاط (GLP).

حسنًا، على سبيل المثال، هل مجموعة الكرات هي "الموضع الهندسي" للأجسام المستديرة؟ لا، بالطبع، لأن هناك بطيخ دائري. هل هي مجموعة من الأشخاص، "مكان هندسي"، من يستطيع التحدث؟ لا أيضاً، لأن هناك أطفالاً لا يستطيعون الكلام. في الحياة، من الصعب عمومًا العثور على مثال على "الموقع الهندسي للنقاط" الحقيقي. إنه أسهل في الهندسة. هنا، على سبيل المثال، هو بالضبط ما نحتاجه:

المجموعة هنا هي المنصف المتعامد، والخاصية "" هي "أن تكون متساوية البعد (نقطة) من طرفي القطعة."

يجب علينا التحقق؟ لذلك عليك التأكد من أمرين:

1. أي نقطة متساوية البعد عن طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي عليها.

دعونا نربط c و c. ثم الخط هو الوسيط والارتفاع b. وهذا يعني - متساوي الساقين - أننا تأكدنا من أن أي نقطة تقع على المنصف المتعامد تكون متساوية البعد عن النقاط و.

لنأخذ المنتصف ونتواصل و. والنتيجة هي الوسيط. ولكن وفقًا للشرط، ليس الوسيط متساوي الساقين فحسب، بل أيضًا الارتفاع، أي المنصف العمودي. وهذا يعني أن النقطة تقع بالضبط على المنصف العمودي.

الجميع! لقد تحققنا تماما من حقيقة ذلك المنصف العمودي لقطعة ما هو موضع النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة.

كل هذا جيد وجيد، لكن هل نسينا الدائرة المحدودة؟ لا على الإطلاق، لقد أعددنا أنفسنا للتو "نقطة انطلاق للهجوم".

النظر في مثلث. لنرسم خطين متعامدين منصفين، على سبيل المثال، للقطاعات و. سوف يتقاطعان في مرحلة ما، وهو ما سنسميه.

الآن، انتبه!

تقع النقطة على المنصف العمودي؛
النقطة تقع على المنصف العمودي.
وهذا يعني و.

ويترتب على ذلك عدة أمور:

أولاً، يجب أن تقع النقطة على المنصف الثالث العمودي على القطعة.

أي أن المنصف المتعامد يجب أن يمر أيضًا بالنقطة، وتتقاطع المنصفات المتعامدة الثلاثة عند نقطة واحدة.

ثانياً: إذا رسمنا دائرة مركزها نقطة ونصف قطرها، فإن هذه الدائرة تمر أيضاً بالنقطة والنقطة، أي تكون دائرة مقيدة. وهذا يعني أنه من الموجود بالفعل أن تقاطع ثلاثة منصفات متعامدة هو مركز الدائرة المحددة لأي مثلث.

وآخر شيء: عن التفرد. ومن الواضح (تقريبًا) أنه يمكن الحصول على النقطة بطريقة فريدة، وبالتالي تكون الدائرة فريدة. حسنًا، سنترك "تقريبًا" لتفكيرك. لذلك أثبتنا النظرية. يمكنك الصراخ "مرحى!"

ماذا لو كانت المسألة تطلب "أوجد نصف قطر الدائرة المحدودة"؟ أو العكس، يتم إعطاء نصف القطر، ولكن هل تحتاج إلى العثور على شيء آخر؟ هل توجد صيغة تربط نصف قطر الدائرة المحيطة بالعناصر الأخرى للمثلث؟

يرجى ملاحظة: نظرية الجيب تنص على ذلك من أجل العثور على نصف قطر الدائرة المحددة، تحتاج إلى جانب واحد (أي!) والزاوية المقابلة له. هذا كل شئ!

3. مركز الدائرة - من الداخل أو الخارج

والسؤال الآن هو: هل يمكن أن يقع مركز الدائرة المحددة خارج المثلث؟
الجواب: قدر الإمكان. علاوة على ذلك، يحدث هذا دائمًا في مثلث منفرج الزاوية.

وعلى العموم:

دائرة دائرية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

1. دائرة محاطة بمثلث

هذه هي الدائرة التي تمر بالرؤوس الثلاثة لهذا المثلث.

2. الوجود ومركز الدائرة

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 499 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

يعد موضوع "الدوائر المدرجة والمحددة في المثلثات" من أصعب المواضيع في مقرر الهندسة. إنها تقضي القليل من الوقت في الفصل.

يتم تضمين المشكلات الهندسية حول هذا الموضوع في الجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة لدورة المدرسة الثانوية. يتطلب إكمال هذه المهام بنجاح معرفة قوية بالحقائق الهندسية الأساسية وبعض الخبرة في حل المشكلات الهندسية.
لكل مثلث هناك دائرة محيطة واحدة فقط. هذه هي الدائرة التي تقع عليها القمم الثلاثة للمثلث ذات المعلمات المحددة. قد تكون هناك حاجة إلى إيجاد نصف قطرها ليس فقط في درس الهندسة. يتعين على المصممين والقواطع والميكانيكيين وممثلي العديد من المهن الأخرى التعامل مع هذا الأمر باستمرار. من أجل العثور على نصف قطرها، تحتاج إلى معرفة معالم المثلث وخصائصه. يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع منصفات المثلث المتعامدة.
أوجه انتباهكم إلى جميع الصيغ الخاصة بإيجاد نصف قطر الدائرة المقيدة وليس المثلث فقط. يمكن الاطلاع على صيغ الدائرة المنقوشة.

أ، ب. مع -جوانب المثلث

α - زاوية معاكسةأ،
س-مساحة المثلث,

ع-نصف محيط

ثم للعثور على نصف القطر ( ر) من الدائرة المحيطة باستخدام الصيغ:

وفي المقابل، يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام إحدى الصيغ التالية:

وهنا عدد قليل من الصيغ أكثر.

1. نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الأضلاع. لو أجانب المثلث بعد ذلك

2. نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الساقين. يترك أ، ب- أضلاع المثلث إذن