أبسط عدد أولي مكون من رقم واحد. صيغ الأعداد الأولية
في هذه المقالة سوف ندرس الأعداد الأولية والمركبة. أولاً ، نعطي تعريفات للأعداد الأولية والمركبة ، ونعطي أيضًا أمثلة. بعد ذلك ، نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. بعد ذلك ، نكتب جدولًا للأعداد الأولية ، وننظر في طرق تجميع جدول الأعداد الأولية ، وسنتناول بشكل خاص الطريقة التي تسمى غربال إراتوستينس. في الختام ، نسلط الضوء على النقاط الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند إثبات أن رقمًا معينًا أوليًا أو مركبًا.
التنقل في الصفحة.
الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة
تشير مفاهيم الأعداد الأولية والأرقام المركبة إلى تلك الأعداد الأكبر من واحد. هذه الأعداد الصحيحة ، بناءً على عدد المقسومات الموجبة ، مقسمة إلى أعداد أولية ومركبة. حتى نفهم تعريفات الأعداد الأولية والمركبة، يجب أن تكون لديك فكرة جيدة عن المقسومات والمضاعفات.
تعريف.
الأعداد الأوليةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد وتحتوي على قسومتين موجبتين فقط ، وهما نفسها و 1.
تعريف.
الأرقام المركبةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد يحتوي على ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.
بشكل منفصل ، نلاحظ أن الرقم 1 لا ينطبق على الأرقام الأولية أو المركبة. تحتوي الوحدة على قاسم موجب واحد فقط ، وهو الرقم 1 نفسه. هذا يميز الرقم 1 عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى التي تحتوي على الأقل على اثنين من قواسمه الموجبة.
بالنظر إلى أن الأعداد الصحيحة الموجبة هي ، وأن الوحدة بها قاسم موجب واحد فقط ، يمكن إعطاء صيغ أخرى للتعريفات التي تم التعبير عنها للأعداد الأولية والمركبة.
تعريف.
الأعداد الأوليةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.
تعريف.
الأرقام المركبةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على أكثر من اثنين من قواسم موجبة.
لاحظ أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد هو إما عدد أولي أو رقم مركب. بمعنى آخر ، لا يوجد عدد صحيح واحد ليس أوليًا ولا مركبًا. هذا يتبع من خاصية القسمة ، والتي تنص على أن الرقمين 1 و a هما دومًا قواسم على أي عدد صحيح a.
بناءً على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة ، يمكننا تقديم التعريف التالي للأرقام المركبة.
تعريف.
يتم استدعاء الأعداد الطبيعية التي ليست أولية المقوم، مكون، جزء من.
لنجلب أمثلة على الأعداد الأولية والمركبة.
كأمثلة على الأعداد المركبة ، نقدم 6 و 63 و 121 و 6697. هذا البيان يحتاج أيضا إلى تفسير. الرقم 6 ، بالإضافة إلى القواسم الموجبة 1 و 6 ، يحتوي أيضًا على قواسم 2 و 3 ، نظرًا لأن 6 \ u003d 2 3 ، وبالتالي فإن 6 هو رقم مركب حقًا. القواسم الموجبة للعدد 63 هي الأعداد 1 و 3 و 7 و 9 و 21 و 63. العدد 121 يساوي حاصل ضرب 11 11 ، إذن قواسمه الموجبة هي 1 و 11 و 121. والرقم 6697 مركب ، لأن قواسمه الموجبة ، بالإضافة إلى 1 و 6697 ، هي أيضًا الأرقام 37 و 181.
في ختام هذه الفقرة ، أود أيضًا أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أن الأعداد الأولية وأرقام الجرائم القانونية بعيدة كل البعد عن الشيء نفسه.
جدول العدد الأولي
يتم تسجيل الأعداد الأولية ، من أجل تسهيل الاستخدام الإضافي لها ، في جدول يسمى جدول الأعداد الأولية. في الأسفل يكون جدول العدد الأولييصل إلى 1000 .
يطرح سؤال منطقي: "لماذا قمنا بملء جدول الأعداد الأولية حتى 1000 فقط ، أليس من الممكن عمل جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة"؟
دعنا نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال أولاً. تكفي الأعداد الأولية التي تصل إلى ألف في معظم المشكلات التي تتضمن أعدادًا أولية. في حالات أخرى ، على الأرجح ، سيتعين عليك اللجوء إلى بعض تقنيات الحلول الخاصة. على الرغم من أنه ، بالطبع ، يمكننا جدولة الأعداد الأولية حتى عدد صحيح موجب كبير بشكل تعسفي ، سواء كان 10000 أو 100000000000 ، في الفقرة التالية سنتحدث عن طرق تجميع جداول الأعداد الأولية ، على وجه الخصوص ، سنقوم بتحليل الطريقة اتصل.
الآن دعونا نلقي نظرة على إمكانية (أو بالأحرى استحالة) تجميع جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة. لا يمكننا عمل جدول لجميع الأعداد الأولية لأن هناك عددًا لانهائيًا من الأعداد الأولية. البيان الأخير هو نظرية سنثبتها بعد النظرية المساعدة التالية.
نظرية.
أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي أكبر من 1 بخلاف 1 هو رقم أولي.
دليل - إثبات.
اسمحوا ان أ هو رقم طبيعي أكبر من واحد ، و ب هو أقل عدد موجب ليس واحدًا للمقسوم على أ. دعونا نثبت أن b عدد أولي بالتناقض.
افترض أن ب هو رقم مركب. ثم يوجد قاسم للعدد ب (دعنا نشير إليه ب 1) ، والذي يختلف عن كل من 1 و ب. إذا أخذنا في الاعتبار أيضًا أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم (نعرف ذلك من خصائص القابلية للقسمة) ، فإن الشرط 1
نظرًا لأن الرقم a قابل للقسمة على b حسب الشرط ، وقلنا أن b يقبل القسمة على b 1 ، فإن مفهوم القسمة يسمح لنا بالتحدث عن وجود مثل هذه الأعداد الصحيحة q و q 1 أن a = b q و b = b 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 · (ف 1 · ف). مما يلي أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح ، ثم المساواة أ = ب 1 · (ف 1 · ف) تشير إلى أن ب 1 هو القاسم على الرقم أ. مع الأخذ بعين الاعتبار التفاوتات المذكورة أعلاه 1
يمكننا الآن إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.
نظرية.
هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
دليل - إثبات.
لنفترض أنه ليس كذلك. أي ، لنفترض أنه لا يوجد سوى n عدد أولي ، وهذه الأعداد الأولية هي p 1، p 2،…، p n. دعنا نظهر أنه يمكننا دائمًا العثور على عدد أولي مختلف عن العدد المشار إليه.
ضع في اعتبارك رقم p يساوي p 1 · p 2 · ... · p n +1. من الواضح أن هذا الرقم يختلف عن كل من الأعداد الأولية ص 1 ، ص 2 ، ... ، ص ن. إذا كان الرقم p عددًا أوليًا ، فسيتم إثبات النظرية. إذا كان هذا الرقم مركبًا ، فبموجب النظرية السابقة ، يوجد قاسم أولي لهذا الرقم (دعنا نشير إليه p n + 1). دعنا نظهر أن هذا القاسم لا يتطابق مع أي من الأعداد ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن.
إذا لم يكن الأمر كذلك ، فبواسطة خصائص القسمة ، سيكون حاصل الضرب p 1 · p 2 · ... · p n يقبل القسمة على p n + 1. لكن الرقم p قابل للقسمة أيضًا على p n + 1 ، يساوي مجموع p 1 · p 2 · ... · p n +1. هذا يعني أن الحد الثاني من هذا المجموع ، الذي يساوي واحدًا ، يجب أن يقبل القسمة على p n + 1 ، وهذا مستحيل.
وبالتالي ، فقد ثبت أنه يمكن دائمًا العثور على عدد أولي جديد ، والذي لا يتم تضمينه بين أي عدد من الأعداد الأولية المعطاة مسبقًا. لذلك ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
لذلك ، نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، عند تجميع جداول الأعداد الأولية ، فإنها تقصر نفسها دائمًا من أعلى إلى عدد ما ، عادةً 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ.
منخل إراتوستينس
الآن سنناقش طرق تجميع جداول الأعداد الأولية. افترض أننا نحتاج إلى عمل جدول بأعداد أولية حتى 100.
الطريقة الأكثر وضوحًا لحل هذه المشكلة هي التحقق بالتسلسل من الأعداد الصحيحة الموجبة ، بدءًا من 2 وتنتهي بـ 100 ، لوجود قاسم موجب أكبر من 1 وأقل من الرقم الذي يتم التحقق منه (من خصائص القابلية للقسمة ، نحن اعلم أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم ، تختلف عن الصفر). إذا لم يتم العثور على المقسوم عليه ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه يكون أوليًا ، ويتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. إذا تم العثور على قاسم كهذا ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه مركب ، ولا يتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. بعد ذلك ، هناك انتقال إلى الرقم التالي ، والذي يتم فحصه بالمثل بحثًا عن وجود القاسم.
دعنا نصف الخطوات القليلة الأولى.
نبدأ بالرقم 2. الرقم 2 لا يحتوي على قواسم موجبة بخلاف 1 و 2. لذلك ، فهو عدد أولي ، لذلك ندخله في جدول الأعداد الأولية. هنا يجب أن يقال أن 2 هو أصغر عدد أولي. دعنا ننتقل إلى الرقم 3. المقسوم الإيجابي المحتمل بخلاف 1 و 3 هو 2. لكن 3 غير قابلة للقسمة على 2 ، لذلك ، 3 هي عدد أولي ، ويجب أيضًا إدخالها في جدول الأعداد الأولية. دعنا ننتقل إلى الرقم 4. قواسمه الموجبة بخلاف 1 و 4 يمكن أن تكون 2 و 3 ، فلنتحقق منها. الرقم 4 قابل للقسمة على 2 ، لذلك ، 4 هو رقم مركب ولا يحتاج إلى إدخاله في جدول الأعداد الأولية. لاحظ أن 4 هو أصغر رقم مركب. دعنا ننتقل إلى الرقم 5. نتحقق مما إذا كان أحد الأعداد 2 ، 3 ، 4 على الأقل هو القاسم عليه. بما أن الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 4 ، فهو عدد أولي ويجب كتابته في جدول الأعداد الأولية. ثم هناك انتقال إلى الأرقام 6 و 7 وهكذا حتى 100.
هذا النهج لتجميع جدول الأعداد الأولية بعيد كل البعد عن المثالية. بطريقة أو بأخرى ، له الحق في الوجود. لاحظ أنه بهذه الطريقة في إنشاء جدول الأعداد الصحيحة ، يمكنك استخدام معايير القسمة ، والتي ستسرع قليلاً من عملية إيجاد القواسم.
هناك طريقة أكثر ملاءمة لتجميع جدول الأعداد الأولية يسمى. كلمة "غربال" الموجودة في الاسم ليست عرضية ، لأن إجراءات هذه الطريقة تساعد ، كما كانت ، على "غربلة" منخل الأعداد الصحيحة لإراتوستينس ، الوحدات الكبيرة ، من أجل فصل الوحدات البسيطة عن الوحدات المركبة.
دعنا نظهر غربال إراتوستينس أثناء العمل عند تجميع جدول الأعداد الأولية حتى 50.
أولاً ، نكتب الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 بالترتيب.
العدد الأول المكتوب 2 هو عدد أولي. الآن ، من الرقم 2 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين من خلال رقمين ونشطب هذه الأرقام حتى نصل إلى نهاية جدول الأرقام المترجم. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد اثنين.
الرقم الأول غير المشطوب بعد 2 هو 3. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 3 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بثلاثة أرقام (مع مراعاة الأرقام المشطوبة بالفعل) وشطبها. لذلك ، سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد ثلاثة.
الرقم الأول غير المشطوب بعد 3 هو 5. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 5 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بمقدار 5 أرقام (نأخذ في الاعتبار أيضًا الأرقام التي تم شطبها سابقًا) ونشطبها. لذلك ، يتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد خمسة.
بعد ذلك ، نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 ، ثم مضاعفات 11 ، وهكذا. تنتهي العملية في حالة عدم وجود أرقام متبقية لشطبها. يوجد أدناه جدول مكتمل بالأعداد الأولية حتى 50 تم الحصول عليها باستخدام منخل إراتوستينس. جميع الأعداد غير المتقاطعة أولية ، وجميع الأعداد المشطوبة مركبة.
دعونا أيضًا نصوغ ونثبت نظرية من شأنها تسريع عملية تجميع جدول الأعداد الأولية باستخدام غربال إراتوستينس.
نظرية.
لا يتعدى أقل عدد مركب موجب واحد أ ، حيث يكون من أ.
دليل - إثبات.
لنفترض أن b تشير إلى أصغر قاسم للعدد المركب a يختلف عن الوحدة (الرقم b هو عدد أولي ، والذي يتبع النظرية المثبتة في بداية الفقرة السابقة). ثم هناك عدد صحيح q مثل a = b q (هنا q هو عدد صحيح موجب ، يتبع قواعد ضرب الأعداد الصحيحة) ، و (عندما b> q ، يتم انتهاك الشرط الذي يكون b هو أصغر قاسم لـ a ، بما أن q هو أيضًا قاسم من a بسبب المساواة أ = ف ب). بضرب كلا طرفي المتباينة في موجب وأكبر من واحد صحيح ب (مسموح لنا القيام بذلك) ، نحصل على ومن أين و.
ماذا تعطينا النظرية المثبتة بخصوص غربال إراتوستينس؟
أولاً ، يجب أن يبدأ حذف الأعداد المركبة التي تكون مضاعفات العدد الأولي b برقم يساوي (هذا يتبع من المتباينة). على سبيل المثال ، يجب أن يبدأ حذف الأرقام التي تكون من مضاعفات الرقمين بالرقم 4 ومضاعفات الثلاثة - بالرقم 9 ومضاعفات الخمسة - بالرقم 25 وهكذا.
ثانيًا ، يمكن اعتبار تجميع جدول الأعداد الأولية حتى الرقم n باستخدام غربال Eratosthenes مكتملاً عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة التي هي مضاعفات أعداد أولية لا تتجاوز. في مثالنا ، n = 50 (لأننا نقوم بجدولة الأعداد الأولية حتى 50) ، وبالتالي يجب أن يستبعد غربال إراتوستينس جميع المضاعفات المركبة للأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7 التي لا تتجاوز الجذر التربيعي الحسابي لـ 50 . أي أننا لم نعد بحاجة إلى البحث عن الأعداد التي تعد مضاعفات الأعداد الأولية 11 و 13 و 17 و 19 و 23 وما إلى ذلك حتى 47 وشطبها ، حيث سيتم شطبها بالفعل كمضاعفات الأعداد الأولية الأصغر 2 ، 3 و 5 و 7.
هل هذا العدد أولي أم مركب؟
تتطلب بعض المهام معرفة ما إذا كان الرقم المحدد أوليًا أم مركبًا. في الحالة العامة ، هذه المهمة بعيدة كل البعد عن البساطة ، خاصة بالنسبة للأرقام التي يتكون سجلها من عدد كبير من الأحرف. في معظم الحالات ، عليك البحث عن طريقة معينة لحلها. ومع ذلك ، سنحاول إعطاء توجيهات لسلسلة الأفكار للحالات البسيطة.
لا شك في أنه يمكن للمرء أن يحاول استخدام معايير القسمة لإثبات أن رقمًا معينًا مركب. إذا أظهرت بعض معايير القابلية للقسمة ، على سبيل المثال ، أن الرقم المعطى قابل للقسمة على عدد صحيح موجب أكبر من واحد ، فإن الرقم الأصلي مركب.
مثال.
برهن على أن الرقم 89898989898989898989 مركب.
قرار.
مجموع أرقام هذا الرقم هو 9 8 + 9 9 = 9 17. نظرًا لأن الرقم الذي يساوي 9 17 قابل للقسمة على 9 ، فعندئذٍ من خلال معيار القابلية للقسمة على 9 ، يمكن القول إن الرقم الأصلي قابل للقسمة أيضًا على 9. لذلك ، فهو مركب.
عيب كبير في هذا النهج هو أن معايير القسمة لا تسمح لنا بإثبات بساطة الرقم. لذلك ، عند التحقق من رقم لمعرفة ما إذا كان أوليًا أم مركبًا ، فأنت بحاجة إلى المتابعة بشكل مختلف.
الطريقة الأكثر منطقية هي تعداد كل القواسم الممكنة لرقم معين. إذا لم يكن أي من القواسم المحتملة مقسومًا حقيقيًا على رقم معين ، فإن هذا الرقم يكون أوليًا ؛ وإلا فإنه مركب. من النظريات المثبتة في الفقرة السابقة ، يترتب على ذلك أنه يجب البحث عن قواسم عدد معين من الأعداد الأولية التي لا تتجاوز. وبالتالي ، يمكن قسمة الرقم المعطى أ على التوالي على الأعداد الأولية (التي يسهل أخذها من جدول الأعداد الأولية) ، في محاولة للعثور على المقسوم على الرقم أ. إذا تم العثور على القاسم ، فإن الرقم أ مركب. إذا كان من بين الأعداد الأولية التي لا تتعدى ، لا يوجد قاسم على الرقم أ ، فإن الرقم أ هو عدد أولي.
مثال.
رقم 11 723 بسيط أم مركب؟
قرار.
لنكتشف العدد الأولي الذي يمكن أن تكون قواسمه على 11 723. لهذا ، نحن نقدر.
من الواضح أن 
، منذ 200 2 \ u003d 40000 و 11723<40 000
(при необходимости смотрите статью مقارنة الأرقام). وبالتالي ، فإن القواسم الأولية المحتملة لـ 11723 أقل من 200. هذا بالفعل يبسط مهمتنا إلى حد كبير. إذا لم نكن نعرف هذا ، فسنضطر إلى فرز جميع الأعداد الأولية ليس حتى 200 ، ولكن حتى العدد 11 723.
إذا رغبت في ذلك ، يمكنك تقدير أكثر دقة. منذ 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 \ u003d 11881 ، ثم 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. وبالتالي ، فإن أيًا من الأعداد الأولية الأقل من 109 يحتمل أن يكون قاسمًا أوليًا للرقم المحدد 11.723.
الآن سنقسم العدد 11723 بالتسلسل إلى أعداد أولية 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107. إذا كان العدد 11 723 مقسومًا بالكامل على أحد الأعداد الأولية المكتوبة ، فسيكون مركبًا. إذا لم يكن يقبل القسمة على أي من الأعداد الأولية المكتوبة ، فإن الرقم الأصلي يكون أوليًا.
لن نصف عملية الانقسام الرتيبة والرتيبة هذه برمتها. دعنا نقول فقط أن 11723
قائمة القواسم.بحكم التعريف ، الرقم نيكون عددًا أوليًا فقط إذا كان لا يقبل القسمة على 2 وأي أعداد صحيحة بخلاف 1 ونفسه. تزيل الصيغة أعلاه الخطوات غير الضرورية وتوفر الوقت: على سبيل المثال ، بعد التحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3 ، ليست هناك حاجة للتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 9.
- الدالة floor (x) تقرِّب x إلى أقرب عدد صحيح أقل من أو يساوي x.
تعرف على الحساب النمطي.العملية "x mod y" (mod اختصار لكلمة لاتينية "modulo" ، تعني "module") تعني "قسّم x على y وابحث عن الباقي". بعبارة أخرى ، في الحساب النمطي ، عند الوصول إلى قيمة معينة تسمى وحدة، فإن الأرقام "تعود" إلى الصفر. على سبيل المثال ، تقيس الساعة الوقت في المقياس 12: فهي تظهر الساعة 10 و 11 و 12 ثم تعود إلى 1.
- تحتوي العديد من الآلات الحاسبة على مفتاح تعديل. توضح نهاية هذا القسم كيفية حساب هذه الوظيفة يدويًا للأرقام الكبيرة.
تعرف على مخاطر نظرية فيرما الصغيرة.جميع الأرقام التي لم تتحقق شروط الاختبار لها هي أرقام مركبة ، لكن الأرقام المتبقية هي فقط من المحتملتعتبر بسيطة. إذا كنت تريد تجنب النتائج غير الصحيحة ، فابحث عن نفي قائمة "أرقام كارمايكل" (الأرقام المركبة التي تفي بهذا الاختبار) و "أرقام فيرمات الأولية الزائفة" (هذه الأرقام تستوفي شروط الاختبار فقط لبعض القيم أ).
إذا كان ذلك مناسبًا ، استخدم اختبار ميلر رابين.على الرغم من أن هذه الطريقة مرهقة إلى حد ما بالنسبة للحسابات اليدوية ، إلا أنها تستخدم غالبًا في برامج الكمبيوتر. يوفر سرعة مقبولة ويعطي أخطاء أقل من طريقة فيرمات. لن يتم أخذ الرقم المركب كرقم أولي إذا تم إجراء الحسابات لأكثر من قيم أ. إذا قمت بتحديد قيم مختلفة بشكل عشوائي أوبالنسبة لهم جميعًا ، سيعطي الاختبار نتيجة إيجابية ، يمكننا أن نفترض بدرجة عالية إلى حد ما من الثقة ذلك نهو عدد أولي.
للأعداد الكبيرة ، استخدم الحساب النمطي.إذا لم يكن لديك آلة حاسبة تعديل في متناول يدك ، أو إذا لم تكن الآلة الحاسبة مصممة للتعامل مع مثل هذه الأرقام الكبيرة ، فاستخدم خصائص الطاقة والحساب النمطي لتسهيل العمليات الحسابية. أدناه مثال على 3 50 (\ displaystyle 3 ^ (50))نموذج 50:
- أعد كتابة التعبير بشكل أكثر ملاءمة: تعديل 50. عند الحساب يدويًا ، قد يكون من الضروري إجراء المزيد من التبسيط.
- (3 25 ∗ 3 25) (\ displaystyle (3 ^ (25) * 3 ^ (25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. هنا أخذنا في الحسبان خاصية الضرب النمطي.
- 3 25 (displaystyle 3 ^ (25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (displaystyle (3 ^ (25))وزارة الدفاع 50 ∗ 3 25 (\ displaystyle * 3 ^ (25))تعديل 50) تعديل 50 = (43 ∗ 43) (displaystyle (43 * 43))وزارة الدفاع 50.
- = 1849 (displaystyle = 1849)وزارة الدفاع 50.
- = 49 (displaystyle = 49).
يخبر م. غاردنر بشكل ملون كيف تم إجراء هذه الملاحظة في مهل الرياضيات (م ، مير ، 1972). هذه القطعة (ص 413-417):
اعتمادًا على ترتيب الأعداد الصحيحة ، يمكن أن تشكل الأعداد الأولية نمطًا أو آخر. ذات مرة كان على عالم الرياضيات ستانيسلاف إم أولام أن يحضر تقريرًا طويلًا ومملًا للغاية ، على حد قوله. من أجل الاستمتاع بطريقة ما ، رسم خطوطًا عمودية وأفقية على قطعة من الورق وأراد أن يبدأ في تجميع دراسات الشطرنج ، ولكن بعد ذلك غير رأيه وبدأ في ترقيم التقاطعات ، ووضع 1 في المركز والتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة في دوامة . دون أي دافع خفي ، قام بدائرة جميع الأعداد الأولية. وسرعان ما ، ولدهشته ، بدأت الدوائر تصطف على طول الخطوط المستقيمة بإصرار مذهل. على التين. يوضح الشكل 203 كيف كان شكل اللولب مع أول مائة رقم (من 1 إلى 100). [ هذه نسخة مقطوعة من دورتين من الشكل 1 أعلاه ، لذا فأنا لا أدرجها هنا. - إ.] للراحة ، تم نقش الأرقام في الخلايا ، ولا تقف عند تقاطع الخطوط.
بالقرب من المركز ، لا يزال من الممكن توقع محاذاة الأعداد الأولية على طول الخطوط المستقيمة ، نظرًا لأن كثافة الأعداد الأولية مرتفعة في البداية وجميعها ، باستثناء الرقم 2 ، فردية. إذا كانت خلايا رقعة الشطرنج مرقمة بشكل لولبي ، فإن كل الأرقام الفردية ستسقط على خلايا من نفس اللون. بأخذ 17 بيادقًا (مقابل 17 عددًا أوليًا لا يتجاوز 64) ووضعها عشوائيًا في مربعات من نفس اللون ، ستجد أن البيادق تصطف على طول الخطوط القطرية. ومع ذلك ، لم يكن هناك سبب لتوقع أنه في منطقة الأعداد الكبيرة ، حيث تكون كثافة الأعداد الأولية أقل بكثير ، فإنها ستصطف أيضًا على طول خطوط مستقيمة. كان أولام مهتمًا بالشكل اللولبي الذي سيبدو عليه إذا امتد إلى عدة آلاف من الأعداد الأولية.
في قسم الحوسبة في مختبر لوس ألاموس ، حيث عمل أولام ، كان هناك شريط مغناطيسي سُجِّل عليه 90 مليون رقم أولي. كتب Ulam ، جنبًا إلى جنب مع Myron L. Stein و Mark B. Wells ، برنامجًا للكمبيوتر MANIAC سمح بطباعة أعداد صحيحة متتالية من 1 إلى 65000 على شكل حلزوني. يظهر النمط الناتج (يُسمى أحيانًا "مفرش المائدة Ulam") في التين. 204- [ وهذه نسخة موسعة من الشكل 2 أعلاه ، لذا أحضرها. - إ.] انتبه إلى حقيقة أنه حتى عند حافة الصورة ، تستمر الأعداد الأولية في التوافق بطاعة على الخطوط المستقيمة.
بادئ ذي بدء ، فإن مجموعات الأعداد الأولية على الأقطار ملفتة للنظر ، ولكن هناك اتجاه آخر للأعداد الأولية ملحوظ تمامًا - للاصطفاف على طول الخطوط الرأسية والأفقية ، حيث يتم احتلال جميع الخلايا الخالية من الأعداد الأولية بأعداد فردية. يمكن اعتبار الأعداد الأولية التي تقع على خطوط ممتدة إلى ما بعد المقطع الذي يحتوي على أرقام متتالية تقع على منعطف ما من اللولب كقيم لبعض التعبيرات التربيعية التي تبدأ بالمصطلح 4 x². على سبيل المثال ، تسلسل الأعداد الأولية 5 ، 19 ، 41 ، 71 ، يقف على أحد الأقطار في الشكل. 204 ، هي القيم المأخوذة بواسطة ثلاثي الحدود التربيعي 4 x² + 10 x+ 5 في xيساوي 0 و 1 و 2 و 3. من الشكل. 204 يمكن ملاحظة أن التعبيرات التربيعية التي تأخذ قيمًا أولية هي "فقيرة" (مع إعطاء عدد قليل من الأعداد الأولية) و "غنية" وأن "الغريمات" الكاملة للأعداد الأولية يتم ملاحظتها على السطور "الغنية".
ببدء اللولب ليس من 1 ، ولكن من رقم آخر ، نحصل على تعبيرات تربيعية أخرى للأعداد الأولية التي تصطف على طول الخطوط المستقيمة. فكر في حلزوني يبدأ بالرقم 17 (الشكل 205 ، يسار). يتم إنشاء الأرقام على طول القطر الرئيسي الذي ينتقل من "الشمال الشرقي" إلى "الجنوب الغربي" بواسطة ثلاثي الحدود التربيعي 4 x² + 2 x+ 17. استبدال القيم الموجبة x، نحصل على النصف السفلي من القطر بالتعويض عن القيم السالبة - القمة. إذا أخذنا في الاعتبار القطر بأكمله وأعدنا ترتيب الأعداد الأولية بترتيب تصاعدي ، اتضح (وهذه مفاجأة سارة) أن جميع الأرقام موصوفة بصيغة أبسط x² + x+ 17. هذه إحدى الصيغ "المولدة" العديدة للأعداد الأولية التي تم اكتشافها في القرن الثامن عشر بواسطة عالم الرياضيات العظيم ليونارد أويلر. في x، التي تأخذ القيم من 0 إلى 15 ، تعطي الأعداد الأولية فقط. لذلك ، بمد القطر حتى يملأ مربع 16 × 16 ، نرى أن القطر بأكمله ممتلئ بالأعداد الأولية.
أشهر ثلاثي أويلر التربيعي ، ينتج الأعداد الأولية ، x² + x+ 41 ، سيظهر إذا بدأت اللولب بالرقم 41 (الشكل 205 ، يمين). يسمح لك هذا العدد الثلاثي بالحصول على 40 عددًا أوليًا متتاليًا يملأ القطر بالكامل للمربع 40 × 4 0! من المعروف منذ زمن طويل أنه من بين 2398 من القيم الأولى التي اتخذتها هذه الثلاثية ، فإن نصفها بالضبط بسيط. بعد الاطلاع على جميع قيم ثلاثي الحدود الشهير ، الذي لا يتجاوز 10000000 ، وجد أولام ، وشتاين ، وويلز أن نسبة الأعداد الأولية بينهم هي 0.475 .... يود علماء الرياضيات بشدة اكتشاف معادلة تسمح لك بالحصول عليها كل واحدعلى العموم xالأعداد الأولية المختلفة ، ولكن حتى الآن لم يتم اكتشاف مثل هذه الصيغة. ربما لا وجود لها.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| أرز. 205. الأقطار مملوءة بالأعداد الأولية الناتجة عن تربيعية ثلاثية الحدود x² + x+ 17 (يسار) و x² + x+ 41 (يمين). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
لقد أثارت دوامة أولام العديد من الأسئلة الجديدة حول الأنماط والعشوائية في توزيع الأعداد الأولية. هل هناك خطوط تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية؟ ما هي أقصى كثافة لتوزيع الأعداد الأولية على طول الخطوط؟ هل تختلف توزيعات كثافة الأعداد الأولية في أرباع مفرش طاولة أولام اختلافًا كبيرًا ، إذا افترضنا أنها ستستمر إلى أجل غير مسمى؟ إن دوامة أولام ممتعة ، لكن يجب أن تؤخذ على محمل الجد.
الرقم الأولي هو عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد.
تسمى بقية الأرقام مركب.
الأعداد الطبيعية البسيطة
لكن ليست كل الأعداد الطبيعية أولية.
الأعداد الطبيعية البسيطة هي فقط تلك التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى واحد.
أمثلة على الأعداد الأولية:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
أعداد صحيحة بسيطة
ويترتب على ذلك أن الأعداد الطبيعية فقط هي الأعداد الأولية.
هذا يعني أن الأعداد الأولية طبيعية بالضرورة.
لكن جميع الأعداد الطبيعية هي أيضًا أعداد صحيحة.
وبالتالي ، فإن جميع الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة.
أمثلة على الأعداد الأولية:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
حتى الأعداد الأولية
يوجد عدد أولي واحد فقط ، وهو اثنان.
جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية.
لماذا لا يكون عدد زوجي أكبر من اثنين عددًا أوليًا؟
ولكن نظرًا لأن أي عدد زوجي أكبر من اثنين سيكون قابلاً للقسمة على نفسه ، ليس على واحد ، بل على اثنين ، أي أن هذا الرقم سيحتوي دائمًا على ثلاثة قواسم ، وربما أكثر.