الصفحة الرئيسية

توريد الماء البارد

ماذا يعني إيجاد مرتبة المصفوفة. مفهوم رتبة المصفوفة

وأيضًا ضع في اعتبارك تطبيقًا عمليًا مهمًا للموضوع: دراسة نظام المعادلات الخطية من أجل التوافق.

ما هي رتبة المصفوفة؟

تحتوي النقوش المضحكة للمقال على قدر كبير من الحقيقة. عادة ما ترتبط كلمة "رتبة" نفسها بنوع من التسلسل الهرمي ، وغالبًا ما ترتبط بالسلّم الوظيفي. كلما زادت المعرفة والخبرة والقدرات والصلات وما إلى ذلك ، لدى الشخص. - كلما ارتفع مركزه وتنوع الفرص. في مصطلحات الشباب ، يشير الترتيب إلى الدرجة الإجمالية "للصلابة".

ويعيش إخواننا في الرياضيات على نفس المبادئ. دعنا نأخذ في نزهة تعسفية قليلة مصفوفات صفر:

لنفكر إذا كان في المصفوفة فقط الأصفار، إذن ما هي الرتبة التي يمكن أن نتحدث عنها؟ الجميع على دراية بالتعبير غير الرسمي "مجموع الصفر". في مجتمع المصفوفة ، كل شيء هو نفسه تمامًا:

رتبة مصفوفة صفريةأي حجم هو صفر.

ملحوظة : المصفوفة الصفرية يُرمز لها بالحرف اليوناني "ثيتا"

من أجل فهم رتبة المصفوفة بشكل أفضل ، سأستند فيما يلي إلى المواد الهندسة التحليلية. ضع في اعتبارك الصفر المتجهلفضائنا ثلاثي الأبعاد ، والذي لا يحدد اتجاهًا معينًا وغير مفيد للبناء أساس أفيني. من وجهة نظر جبرية ، تتم كتابة إحداثيات متجه معين مصفوفة"واحد تلو الآخر" ومنطقي (بالمعنى الهندسي المحدد)افترض أن رتبة هذه المصفوفة هي صفر.

الآن دعونا نلقي نظرة على القليل غير صفرية ناقلات العمودو نواقل الصف:

يحتوي كل مثيل على عنصر واحد على الأقل غير فارغ ، وهذا شيء!

رتبة أي متجه غير صفري (متجه العمود) تساوي واحدًا

وبشكل عام - إذا كان في المصفوفة أحجام عشوائيةيحتوي على عنصر واحد على الأقل غير صفري ، ثم رتبته ليس أقلالوحدات.

متجهات الصفوف والأعمدة الجبرية مجردة إلى حد ما ، لذلك دعنا ننتقل مرة أخرى إلى الارتباط الهندسي. غير صفرية المتجهيحدد اتجاهًا محددًا جيدًا في الفضاء ومناسبًا للبناء أساس، لذلك يُفترض أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لواحد.

الخلفية النظرية : في الجبر الخطي ، المتجه هو عنصر من فضاء متجه (محدد من خلال 8 بديهيات) ، والذي ، على وجه الخصوص ، يمكن أن يكون صفًا (أو عمودًا) مرتبًا من الأرقام الحقيقية مع عمليات الجمع والضرب برقم حقيقي محدد بالنسبة لهم. لمزيد من المعلومات حول النواقل ، راجع المقال التحولات الخطية.

تعتمد خطيا(معبراً عنها من خلال بعضها البعض). من وجهة نظر هندسية ، يحتوي السطر الثاني على إحداثيات المتجه الخطي التي لم تقدم الأمر في البناء ثلاثي الأبعاد، زائدة عن الحاجة بهذا المعنى. وبالتالي ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي أيضًا واحدًا.

نعيد كتابة إحداثيات المتجهات في الأعمدة ( انقل المصفوفة):

ما الذي تغير من حيث الرتبة؟ لا شيئ. الأعمدة متناسبة ، مما يعني أن المرتبة تساوي واحدًا. بالمناسبة ، لاحظ أن جميع الأسطر الثلاثة متناسبة أيضًا. يمكن التعرف عليها مع الإحداثيات ثلاثةالمتجهات الخطية للمستوى ، منها واحد فقطمفيد لبناء أساس "ثابت". وهذا يتفق تمامًا مع إحساسنا الهندسي بالرتبة.

يتبع بيان مهم من المثال أعلاه:

ترتيب المصفوفة بالصفوف يساوي رتبة المصفوفة بالأعمدة. لقد ذكرت هذا قليلاً بالفعل في الدرس الخاص بالفعالية طرق حساب المحدد.

ملحوظة : التبعية الخطية للصفوف تؤدي إلى تبعية خطية للأعمدة (والعكس صحيح). ولكن من أجل توفير الوقت ، وبدلاً من العادة ، سأتحدث دائمًا عن الاعتماد الخطي للأوتار.

دعونا نواصل تدريب حيواننا الأليف المحبوب. أضف إحداثيات متجه خطي آخر إلى المصفوفة في الصف الثالث :

هل ساعدنا في بناء قاعدة ثلاثية الأبعاد؟ بالطبع لا. تسير المتجهات الثلاثة ذهابًا وإيابًا على طول نفس المسار ، وتكون رتبة المصفوفة واحدة. يمكنك أن تأخذ العديد من المتجهات الخطية كما تريد ، لنقل 100 ، ضع إحداثياتها في مصفوفة 100 × 3 ، وسيظل ترتيب ناطحة سحاب مثل هذا واحدًا.

دعنا نتعرف على المصفوفة التي صفوفها مستقل خطيا. زوج من النواقل غير الخطية مناسب لبناء أساس ثلاثي الأبعاد. رتبة هذه المصفوفة اثنان.

ما هي رتبة المصفوفة؟ لا يبدو أن الخطوط متناسبة ... لذا ، من الناحية النظرية ، ثلاثة. ومع ذلك ، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي أيضًا اثنين. أضفت أول سطرين وكتبت النتيجة في الأسفل ، أي معبر عنها خطياالخط الثالث من خلال الأولين. هندسيًا ، تتوافق صفوف المصفوفة مع إحداثيات ثلاثة ناقلات متحد المستوى، ومن بين هذا الثلاثي هناك زوج من الرفاق غير المتصلين.

كما ترى الاعتماد الخطيفي المصفوفة المدروسة ليست واضحة ، واليوم سنتعلم فقط كيفية إحضارها "لتنظيف المياه".

أعتقد أن الكثير من الناس يخمنون ما هي رتبة المصفوفة!

النظر في المصفوفة التي صفوفها مستقل خطيا. شكل النواقل أساس أفيني، ورتبة هذه المصفوفة ثلاثة.

كما تعلم ، أي متجه رابع أو خامس أو عاشر للفضاء ثلاثي الأبعاد سيتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأساسية. لذلك ، إذا تمت إضافة أي عدد من الصفوف إلى المصفوفة ، ثم رتبتها سيظل ثلاثة.

يمكن إجراء تفكير مماثل لمصفوفات ذات أحجام أكبر (بوضوح ، بالفعل بدون معنى هندسي).

تعريف : رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا. أو: رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا. نعم ، يتطابقون دائمًا.

يتبع دليل عملي مهم مما ورد أعلاه: لا تتجاوز رتبة المصفوفة الحد الأدنى من أبعادها. على سبيل المثال ، في المصفوفة أربعة صفوف وخمسة أعمدة. البعد الأدنى هو أربعة ، وبالتالي ، فإن مرتبة هذه المصفوفة لن تتجاوز بالتأكيد 4.

الرموز: في النظرية والتطبيق العالميين ، لا يوجد معيار مقبول بشكل عام لتحديد رتبة المصفوفة ، ويمكن العثور على أكثرها شيوعًا: - كما يقولون ، يكتب رجل إنجليزي شيئًا ، وآخر ألمانيًا. لذلك ، بناءً على الحكاية المعروفة عن الجحيم الأمريكي والروسي ، دعنا نحدد رتبة المصفوفة بكلمة أصلية. علي سبيل المثال: . وإذا كانت المصفوفة "بدون اسم" ، والتي يوجد الكثير منها ، فيمكنك الكتابة ببساطة.

كيف تجد رتبة مصفوفة باستخدام القصر؟

إذا كان لجدتنا عمود خامس في المصفوفة ، فيجب حساب قاصر آخر من الرتبة الرابعة ("أزرق" ، "توت العليق" + العمود الخامس).

خاتمة: الحد الأقصى لترتيب قاصر غير صفري هو ثلاثة ، إذن.

ربما لم يستوعب الجميع هذه العبارة تمامًا: الدرجة الرابعة للقاصر تساوي صفرًا ، ولكن بين القاصرين من الدرجة الثالثة كانت هناك واحدة غير صفرية - لذلك ، الحد الأقصى للترتيب غير صفريةطفيفة ويساوي ثلاثة.

السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا لا نحسب المحدد على الفور؟ حسنًا ، أولاً ، في معظم المهام ، لا تكون المصفوفة مربعة ، وثانيًا ، حتى إذا حصلت على قيمة غير صفرية ، فسيتم رفض المهمة باحتمالية عالية ، لأنها تتضمن عادةً حلًا قياسيًا من أسفل إلى أعلى. وفي المثال المدروس ، يسمح لنا المحدد الصفري من الرتبة الرابعة بالتأكيد على أن رتبة المصفوفة أقل من أربعة فقط.

يجب أن أعترف بأنني توصلت بنفسي إلى المشكلة التي تم تحليلها من أجل شرح أفضل لطريقة تجاور القاصرين. في الممارسة الواقعية ، كل شيء أبسط:

مثال 2

أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القاصرين

الحل والجواب في نهاية الدرس.

متى يتم تشغيل الخوارزمية بشكل أسرع؟ لنعد إلى نفس مصفوفة أربعة في أربعة . من الواضح أن الحل سيكون الأقصر في حالة "الخير" ركن القصر:

وإذا ، إذن ، خلاف ذلك -.

التفكير ليس افتراضيًا على الإطلاق - فهناك العديد من الأمثلة حيث يقتصر الأمر برمته على القصر الزاوي فقط.

ومع ذلك ، في بعض الحالات ، هناك طريقة أخرى أكثر فعالية وأفضل:

كيف تجد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة غاوس؟

هذا القسم مخصص للقراء الذين هم على دراية بالفعل طريقة جاوسوشيئا فشيئا على أيديهم.

من الناحية الفنية ، الطريقة ليست جديدة:

1) باستخدام التحولات الأولية ، نأتي بالمصفوفة إلى شكل تدريجي ؛

2) رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف.

من الواضح أن استخدام طريقة غاوس لا يغير رتبة المصفوفة، والجوهر هنا بسيط للغاية: وفقًا للخوارزمية ، في سياق التحولات الأولية ، يتم تحديد وإزالة جميع الخطوط المتناسبة غير الضرورية (المعتمدة خطيًا) ، ونتيجة لذلك تبقى "البقايا الجافة" - الحد الأقصى لعدد خطوط مستقلة خطيًا.

لنحول المصفوفة القديمة المألوفة بإحداثيات ثلاثة متجهات خطية:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث.

(2) تم حذف الأسطر الصفرية.

إذن هناك سطر واحد متبقي ، إذن. وغني عن القول أن هذا أسرع بكثير من حساب تسعة صفر قاصرين من الدرجة الثانية وبعد ذلك فقط استخلاص نتيجة.

أذكرك ذلك في حد ذاته مصفوفة جبريةلا شيء يمكن تغييره ، والتحولات تتم فقط لتحديد الرتبة! بالمناسبة ، دعنا نتناول السؤال مرة أخرى ، لماذا لا؟ مصفوفة المصدر يحمل معلومات تختلف اختلافًا جوهريًا عن معلومات المصفوفة والصف. في بعض النماذج الرياضية (بدون مبالغة) ، يمكن أن يكون الاختلاف في رقم واحد مسألة حياة أو موت. ... تذكرت مدرسي الرياضيات في المدارس الابتدائية والثانوية ، الذين قطعوا الصف بلا رحمة بمقدار 1-2 نقطة لأدنى قدر من عدم الدقة أو الانحراف عن الخوارزمية. وكان الأمر مخيباً للآمال بشكل رهيب عندما تبين أنه "جيد" أو أسوأ من ذلك ، بدلاً من "الخمسة" التي تبدو مضمونة على ما يبدو. جاء التفاهم بعد ذلك بكثير - وإلا فكيف نعهد إلى شخص ما بالأقمار الصناعية والرؤوس الحربية النووية ومحطات الطاقة؟ لكن لا تقلق ، فأنا لا أعمل في هذه المجالات =)

دعنا ننتقل إلى مهام أكثر أهمية ، حيث ، من بين أمور أخرى ، سوف نتعرف على تقنيات حسابية مهمة طريقة جاوس:

مثال 3

أوجد مرتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

قرار: بمصفوفة أربعة في خمسة ، مما يعني أن مرتبتها بالتأكيد ليست أكبر من 4.

في العمود الأول ، لا يوجد 1 أو -1 ، لذلك هناك حاجة إلى خطوات إضافية للحصول على وحدة واحدة على الأقل. طوال فترة وجود الموقع ، سئلني مرارًا وتكرارًا السؤال التالي: "هل من الممكن إعادة ترتيب الأعمدة أثناء التحولات الأولية؟". هنا - أعيد ترتيب العمود الأول أو الثاني ، وكل شيء على ما يرام! في معظم المهام حيث طريقة جاوس، يمكن إعادة ترتيب الأعمدة حقًا. لكن لا تفعل. والنقطة ليست حتى خلطًا محتملًا مع المتغيرات ، فالنقطة هي أنه في الدورة الكلاسيكية لتدريس الرياضيات العليا ، لا يُنظر إلى هذا الإجراء تقليديًا ، لذلك ، سيتم النظر إلى مثل هذا الانحناء بشكل ملتوي للغاية (أو حتى يُجبر على إعادة كل شيء) .

النقطة الثانية تتعلق بالأرقام. في سياق القرار ، من المفيد الاسترشاد بالقاعدة الأساسية التالية: يجب أن تقلل التحويلات الأولية ، إذا أمكن ، من أعداد المصفوفة. بعد كل شيء ، من الأسهل بكثير العمل مع واحد - اثنان - ثلاثة من ، على سبيل المثال ، مع 23 و 45 و 97. والإجراء الأول لا يهدف فقط إلى الحصول على وحدة في العمود الأول ، ولكن أيضًا إلى القضاء على رقم 7 و 11.

أولاً الحل الكامل ، ثم التعليقات:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3. وإلى الكومة: تمت إضافة السطر الأول ، مضروبًا في -1 ، إلى السطر الرابع.

(2) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة. تم حذف الخطين الثالث والرابع ، وتم نقل السطر الثاني إلى المركز الأول.

(3) تم إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -3.

تتكون المصفوفة المختصرة إلى شكل متدرج من صفين.

إجابه:

الآن حان دورك لتعذيب مصفوفة رباعية في أربعة:

مثال 4

أوجد مرتبة مصفوفة باستخدام طريقة جاوس

أذكرك بذلك طريقة جاوسلا يعني صلابة لا لبس فيها ، ومن المرجح أن يكون حلك مختلفًا عن الحل الذي قدمته. عينة موجزة من المهمة في نهاية الدرس.

ما هي الطريقة التي يجب استخدامها لإيجاد رتبة المصفوفة؟

في الممارسة العملية ، غالبًا ما لا يُقال على الإطلاق الطريقة التي يجب استخدامها للعثور على الرتبة. في مثل هذه الحالة ، يجب على المرء أن يحلل الشرط - بالنسبة لبعض المصفوفات يكون من المنطقي تنفيذ الحل من خلال قاصرين ، بينما بالنسبة للآخرين ، يكون تطبيق التحولات الأولية أكثر ربحية:

مثال 5

أوجد مرتبة المصفوفة

قرار: الطريقة الأولى تختفي على الفور بطريقة أو بأخرى =)

أعلى قليلاً ، نصحت بعدم لمس أعمدة المصفوفة ، ولكن عندما يكون هناك عمود صفري ، أو أعمدة متناسبة / متطابقة ، فلا يزال الأمر يستحق البتر:

(1) العمود الخامس هو صفر ، نقوم بإزالته من المصفوفة. وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة هي أربعة على الأكثر. يتم ضرب الصف الأول في -1. هذه ميزة توقيع أخرى للطريقة الغاوسية ، والتي تجعل الإجراء التالي نزهة ممتعة:

(2) تم إضافة السطر الأول إلى جميع الأسطر ، بدءًا من السطر الثاني.

(3) تم ضرب الصف الأول في -1 ، وتم قسمة الصف الثالث على 2 ، وتم تقسيم الصف الرابع على 3. تمت إضافة الصف الثاني إلى الصف الخامس ، مضروبًا في -1.

(4) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الخامس ، مضروبًا في -2.

(5) السطران الأخيران متناسبان ، نحذف السطر الخامس.

والنتيجة هي 4 صفوف.

إجابه:

مبنى قياسي من خمسة طوابق لاستكشاف الذات:

مثال 6

أوجد مرتبة المصفوفة

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

وتجدر الإشارة إلى أن عبارة "رتبة المصفوفة" ليست شائعة في الممارسة ، وفي معظم المشاكل يمكنك الاستغناء عنها. ولكن هناك مهمة واحدة يكون فيها المفهوم قيد النظر هو الشخصية الرئيسية ، وفي ختام المقال سننظر في هذا التطبيق العملي:

كيف تتحقق من نظام المعادلات الخطية من أجل التوافق؟

في كثير من الأحيان ، بالإضافة إلى حل أنظمة المعادلات الخطيةوفقًا للشرط ، يجب أولاً فحصه للتأكد من توافقه ، أي لإثبات وجود أي حل على الإطلاق. يتم لعب دور رئيسي في هذا التحقق نظرية كرونيكر كابيليوالتي سأقوم بصياغتها بالشكل المطلوب:

إذا كانت مرتبة مصفوفات النظاميساوي الرتبة نظام المصفوفة المعزز، إذن يكون النظام متوافقًا ، وإذا تطابق الرقم المحدد مع عدد المجهول ، فإن الحل فريد من نوعه.

وبالتالي ، لدراسة نظام التوافق ، من الضروري التحقق من المساواة ، أين - مصفوفة النظام(تذكر المصطلحات من الدرس طريقة جاوس)، أ - نظام المصفوفة المعزز(أي مصفوفة ذات معاملات عند المتغيرات + عمود المصطلحات الحرة).

>> رتبة ماتريكس

رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة

ضع في اعتبارك مصفوفة مستطيلة. إذا في هذه المصفوفة نختار بشكل تعسفي كخطوط و كالأعمدة ، ثم العناصر عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة تشكل مصفوفة مربعة بالترتيب k. محدد هذه المصفوفة يسمى k-th ترتيب ثانويالمصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها صغرى بأي ترتيب من 1 إلى أصغر العددين m و n. من بين جميع القاصرين غير الصفريين في المصفوفة A ، هناك قاصر واحد على الأقل يكون ترتيبهم هو الأكبر. يُطلق على أكبر عدد من الأوامر غير الصفرية للقاصرين في مصفوفة معينة مرتبةالمصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة أ هي ص، إذن هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي لا يساوي الصفر ص، ولكن كل قاصر في الترتيب أكبر من ص، يساوي صفر. يُرمز إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r (A). من الواضح أن العلاقة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القصر

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما عن طريق حدود القصر ، أو عن طريق طريقة التحولات الأولية. عند حساب رتبة المصفوفة بالطريقة الأولى ، يجب على المرء أن ينتقل من صغار الرتب الأدنى إلى صغار من رتبة أعلى. إذا تم العثور بالفعل على قاصر غير صفري D من الترتيب k للمصفوفة A ، فيجب حساب الترتيب (k + 1) فقط للقصر المحاذي للصغير D ، أي احتوائه على أنه قاصر. إذا كانت جميعها صفراً ، فإن رتبة المصفوفة هي ك.

مثال 1أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة الحد من القصر

قرار.نبدأ بالقصر من الدرجة الأولى ، أي من عناصر المصفوفة أ. دعنا نختار ، على سبيل المثال ، العنصر الصغير (العنصر) М 1 = 1 الموجود في الصف الأول والعمود الأول. بالترتيب بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث ، نحصل على الصغرى M 2 = ، والتي تختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القصر من الدرجة الثالثة ، على الحدود M 2. لا يوجد سوى اثنين منهم (يمكنك إضافة عمود ثان أو رابع). نحسبهم: = 0. وهكذا ، تبين أن جميع القصر الحدودي من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا. رتبة المصفوفة أ هي اثنان.

حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) تبديل أي صفين (أو عمودين) ،

2) ضرب صف (أو عمود) بعدد غير صفري ،

3) إضافة إلى صف واحد (أو عمود) صف آخر (أو عمود) مضروبًا في عدد ما.

يتم استدعاء المصفوفتين ما يعادل، إذا تم الحصول على أحدهما من الآخر بمساعدة مجموعة محدودة من التحولات الأولية.

لا تكون المصفوفات المتكافئة ، بشكل عام ، متساوية ، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متساويتان ، فيتم كتابتها على النحو التالي:~ ب.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة بها عدة آحاد على التوالي في بداية القطر الرئيسي (قد يكون الرقم صفرًا) ، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر ، على سبيل المثال ،

بمساعدة التحولات الأولية للصفوف والأعمدة ، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد الآحاد الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

أ =

وإحضاره إلى الشكل المتعارف عليه.

قرار.اطرح الصف الأول من الصف الثاني وأعد ترتيب هذه الصفوف:

الآن ، من الصفين الثاني والثالث ، اطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من الصف الثالث ؛ نحصل على المصفوفة

ب = ,

والتي تعادل المصفوفة A ، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2 ، وبالتالي r (A) = 2. يمكن اختزال المصفوفة B بسهولة إلى المصفوفة الأساسية. بطرح العمود الأول ، مضروبًا بأرقام مناسبة ، من جميع الأرقام اللاحقة ، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول ، باستثناء الأول ، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك ، بطرح العمود الثاني ، مضروبًا في الأرقام المناسبة ، من جميع الأرقام اللاحقة ، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الثاني ، باستثناء الثاني ، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

من أجل حساب رتبة المصفوفة ، يمكنك استخدام طريقة تجاور القاصرين أو طريقة جاوس. ضع في اعتبارك طريقة جاوس أو طريقة التحولات الأولية.

رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لترتيب صغارها ، من بينها مرتبة واحدة على الأقل لا تساوي الصفر.

رتبة نظام الصفوف (الأعمدة) هي الحد الأقصى لعدد الصفوف (الأعمدة) المستقلة خطيًا لهذا النظام.

الخوارزمية لإيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة تهديب القصر:

صغير مالطلب ليس صفرا.
إذا هدب القاصر للقاصر م (ك + 1) -ثالترتيب ، من المستحيل تكوينه (أي تحتوي المصفوفة كخطوط أو كأعمدة) ، ثم رتبة المصفوفة ك. إذا كان القاصرون المجاورون موجودون وكانوا جميعًا صفرًا ، فإن الرتبة هي k. إذا كان هناك واحد على الأقل بين القاصرين الحدوديين لا يساوي الصفر ، فإننا نحاول أن نؤلف قاصرًا جديدًا ك + 2إلخ.

دعنا نحلل الخوارزمية بمزيد من التفصيل. أولاً ، ضع في اعتبارك العناصر الثانوية من الرتبة الأولى (عناصر المصفوفة) من المصفوفة أ. إذا كانوا جميعًا صفرًا ، إذن رتبة أ = 0. إذا كان هناك عناصر ثانوية من الدرجة الأولى (عناصر مصفوفة) لا تساوي الصفر M1 ≠ 0ثم المرتبة رن أ ≥ 1.

م 1. إذا كان هناك مثل هؤلاء القصر ، فسيكونون قاصرين من الدرجة الثانية. إذا كان كل القاصرين يتاخمون القاصر م 1تساوي الصفر ، إذن رتبة أ = 1. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الدرجة الثانية لا يساوي صفرًا M2 ≠ 0ثم المرتبة رن أ ≥ 2.

تحقق مما إذا كان هناك قاصرون على الحدود بالنسبة للقاصر م 2. إذا كان هناك مثل هؤلاء القصر ، فسيكونون قاصرين من الدرجة الثالثة. إذا كان كل القاصرين يتاخمون القاصر م 2تساوي الصفر ، إذن رتبة أ = 2. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الرتبة الثالثة لا يساوي صفرًا M3 ≠ 0ثم المرتبة رن أ ≥ 3.

تحقق مما إذا كان هناك قاصرون على الحدود بالنسبة للقاصر م 3. إذا كان هناك مثل هؤلاء القصر ، فسيكونون قاصرين من الدرجة الرابعة. إذا كان كل القاصرين يتاخمون القاصر م 3تساوي الصفر ، إذن رتبة أ = 3. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الرتبة الرابعة لا يساوي صفرًا M4 ≠ 0ثم المرتبة رن أ ≥ 4.

التحقق مما إذا كان هناك قاصر على الحدود لقاصر م 4، إلخ. تتوقف الخوارزمية إذا كان القاصر الحدودي مساويًا للصفر في مرحلة ما أو لا يمكن الحصول على القاصر الحدودي (لا توجد صفوف أو أعمدة أخرى في المصفوفة). سيكون ترتيب القاصر غير الصفري ، الذي تمكنا من تكوينه ، هو رتبة المصفوفة.

مثال

لنفكر في هذه الطريقة بمثال. بالنظر إلى مصفوفة 4x5:

لا يمكن أن تكون مرتبة هذه المصفوفة أكبر من 4. أيضًا ، تحتوي هذه المصفوفة على عناصر غير صفرية (ثانوية من الدرجة الأولى) ، مما يعني أن رتبة المصفوفة هي ≥ 1.

دعونا نجعل قاصر الثانيطلب. لنبدأ من الزاوية.

بما أن المحدد يساوي صفرًا ، فإننا نؤلف عنصرًا ثانويًا آخر.

أوجد محدد هذا القاصر.

تحديد القاصر المعطى هو -2 . إذن رتبة المصفوفة ≥ 2 .

إذا كان هذا القاصر يساوي 0 ، فسيتم إضافة قاصرين آخرين. حتى النهاية ، كان سيتم وضع جميع القاصرين في الصفين 1 و 2. ثم في السطر 1 و 3 ، في السطر 2 و 3 ، في السطر 2 و 4 ، حتى يجدوا قاصرًا لا يساوي 0 ، على سبيل المثال:

إذا كانت كل الصغار من الدرجة الثانية 0 ، فإن رتبة المصفوفة ستكون 1. يمكن إيقاف الحل.

الثالثطلب.

تبين أن القاصر ليس صفرًا. تعني رتبة المصفوفة ≥ 3 .

إذا كان هذا القاصر صفرًا ، فسيتعين على القاصرين الآخرين تكوينهم. علي سبيل المثال:

إذا كانت جميع الأطفال من الرتبة الثالثة 0 ، فإن رتبة المصفوفة ستكون 2. يمكن إيقاف الحل.

نواصل البحث عن رتبة مصفوفة. دعونا نجعل قاصر الرابعةطلب.

لنجد محدد هذا الصغرى.

تبين أن محدد القاصر متساوٍ 0 . دعونا نبني قاصرًا آخر.

لنجد محدد هذا الصغرى.

تبين أن القاصر متساو 0 .

بناء قاصر الخامسلن يعمل النظام ، لا يوجد صف في هذه المصفوفة لهذا الغرض. آخر قاصر غير الصفر كان الثالثالترتيب ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة 3 .

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) تبديل أي صفين (أو عمودين) ،

2) ضرب صف (أو عمود) بعدد غير صفري ،

3) إضافة إلى صف واحد (أو عمود) صف آخر (أو عمود) مضروبًا في عدد ما.

لا تكون المصفوفات المتكافئة ، بشكل عام ، متساوية ، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متساويتين ، فيتم كتابتها على النحو التالي: A ~ B.

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

أ =

وإحضاره إلى الشكل المتعارف عليه.

قرار.اطرح الصف الأول من الصف الثاني وأعد ترتيب هذه الصفوف:

الآن ، من الصفين الثاني والثالث ، اطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من الصف الثالث ؛ نحصل على المصفوفة

ب = ,

نظرية كرونيكر - كابيلي- معيار توافق نظام المعادلات الجبرية الخطية:

لكي يكون النظام الخطي متوافقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الممتدة لهذا النظام مساوية لرتبة المصفوفة الرئيسية.

إثبات (شروط توافق النظام)

بحاجة إلى

اسمحوا ان النظاممشترك. ثم هناك أرقام من هذا القبيل. لذلك ، العمود هو مزيج خطي من أعمدة المصفوفة. من حقيقة أن رتبة المصفوفة لن تتغير إذا تم حذف صف (عمود) من نظام صفوفها (أعمدة) أو صف (عمود) وهو عبارة عن تركيبة خطية من صفوف (أعمدة) أخرى يتبع ذلك.

قدرة

اسمحوا ان . لنأخذ بعض الأساسيات الثانوية في المصفوفة. منذ ذلك الحين ، سيكون أيضًا الأساس الثانوي للمصفوفة. ثم ، وفقًا لنظرية الأساس صغير، سيكون العمود الأخير من المصفوفة عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأساسية ، أي أعمدة المصفوفة. لذلك ، فإن عمود الأعضاء الأحرار في النظام هو مزيج خطي من أعمدة المصفوفة.

الآثار

عدد المتغيرات الرئيسية أنظمةيساوي رتبة النظام.

مشترك النظامسيتم تعريفه (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام مساوية لعدد جميع متغيراته.

نظام متجانس من المعادلات

عرض15 . 2 نظام متجانس من المعادلات

دائمًا تعاوني.

دليل - إثبات. بالنسبة لهذا النظام ، تعتبر مجموعة الأعداد حلاً.

في هذا القسم ، سنستخدم تدوين المصفوفة للنظام:.

عرض15 . 3 مجموع الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية هو حل لهذا النظام. الحل مضروبًا في رقم هو أيضًا حل.

دليل - إثبات. دعها تعمل كحلول للنظام. ثم و . اسمحوا ان . ثم

منذ ذلك الحين هو الحل.

يجب أن يكون رقمًا تعسفيًا. ثم

منذ ذلك الحين هو الحل.

عاقبة15 . 1 إذا كان نظام المعادلات الخطية المتجانس يحتوي على حل غير صفري ، فعندئذٍ يكون له عدد لا نهائي من الحلول المختلفة.

في الواقع ، بضرب الحل غير الصفري بأرقام مختلفة ، سنحصل على حلول مختلفة.

تعريف15 . 5 سنقول أن الحلول شكل النظم نظام القرار الأساسيإذا كانت الأعمدة تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا وأي حل للنظام هو مزيج خطي من هذه الأعمدة.

الأقسام