حدد ترتيب المعادلة التفاضلية على الإنترنت. حل أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

أولا المعادلات التفاضلية العادية

1.1 المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتعلق بمتغير مستقل x، الوظيفة المطلوبة ذومشتقاتها أو فروقها.

رمزياً ، تكتب المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

F (x، y، y ") = 0، F (x، y، y") = 0، F (x، y، y "، y"، ..، y (n)) = 0

تسمى المعادلة التفاضلية عادية إذا كانت الوظيفة المرغوبة تعتمد على متغير مستقل واحد.

بحل المعادلة التفاضليةتسمى هذه الوظيفة التي تحول هذه المعادلة إلى متطابقة.

ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب المشتق الأعلى في هذه المعادلة

أمثلة.

1. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى

حل هذه المعادلة هو الدالة y = 5 ln x. في الواقع ، عن طريق الاستبدال ذ "في المعادلة ، نحصل على - هوية.

وهذا يعني أن الدالة y = 5 ln x– هي حل هذه المعادلة التفاضلية.

2. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ص "- 5 سنوات" + 6 س = 0. الوظيفة هي حل هذه المعادلة.

حقًا، .

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة ، نحصل على: ، - الهوية.

وهذا يعني أن الدالة هي حل هذه المعادلة التفاضلية.

تكامل المعادلات التفاضليةهي عملية إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية.

الحل العام للمعادلة التفاضليةتسمى وظيفة النموذج ، والذي يتضمن العديد من الثوابت التعسفية المستقلة مثل ترتيب المعادلة.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضليةيسمى الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام لقيم عددية مختلفة من الثوابت التعسفية. تم العثور على قيم الثوابت التعسفية في بعض القيم الأولية للحجة والوظيفة.

يسمى الرسم البياني لحل معين لمعادلة تفاضلية منحنى متكامل.

أمثلة

1. أوجد حلاً معينًا لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

xdx + ydy = 0، لو ذ= 4 في x = 3.

حل. نحصل على تكامل طرفي المعادلة

تعليق. يمكن تمثيل الثابت التعسفي C الذي تم الحصول عليه نتيجة التكامل بأي شكل مناسب لمزيد من التحولات. في هذه الحالة ، مع الأخذ في الاعتبار المعادلة الأساسية للدائرة ، من الملائم تمثيل ثابت تعسفي С في النموذج.

هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل معين لمعادلة تفي بالشروط الأولية ذ = 4 في x = 3 تم إيجادها من العام بتعويض الشروط الأولية في الحل العام: 3 2 + 4 2 = C 2؛ ج = 5.

بالتعويض عن C = 5 في الحل العام ، نحصل على x2 + y2 = 5 2 .

هذا حل خاص للمعادلة التفاضلية التي تم الحصول عليها من الحل العام في ظل ظروف أولية معينة.

2. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

حل هذه المعادلة هو أي دالة في النموذج ، حيث C ثابت اعتباطي. في الواقع ، بالتعويض في المعادلات ، نحصل على:،.

لذلك ، تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على عدد لا حصر له من الحلول ، لأنه بالنسبة للقيم المختلفة للثابت C ، تحدد المساواة حلولًا مختلفة للمعادلة.

على سبيل المثال ، عن طريق الاستبدال المباشر ، يمكن للمرء التحقق من أن الوظائف هي حلول المعادلة.

مشكلة تتطلب إيجاد حل معين للمعادلة ص "= و (س ، ص)استيفاء الشرط الأولي ص (س 0) = ص 0، تسمى مشكلة كوشي.

حل المعادلة ص "= و (س ، ص)، تلبية الشرط الأولي ، ص (س 0) = ص 0، يسمى حل مشكلة كوشي.

حل مشكلة كوشي له معنى هندسي بسيط. في الواقع ، وفقًا لهذه التعريفات ، من أجل حل مشكلة كوشي ص "= و (س ، ص)بشرط ص (س 0) = ص 0، يعني إيجاد المنحنى المتكامل للمعادلة ص "= و (س ، ص)الذي يمر عبر نقطة معينة M0 (x0.2),ص 0).

ثانيًا. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

2.1. مفاهيم أساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة النموذج F (س ، ص ، ص ") = 0.

تتضمن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المشتق الأول ولا تتضمن مشتقات من الدرجة الأولى.

المعادلة ص "= و (س ، ص)تسمى معادلة من الدرجة الأولى يتم حلها فيما يتعلق بالمشتق.

الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى هو دالة في النموذج ، والتي تحتوي على ثابت تعسفي واحد.

مثال.اعتبر معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

حل هذه المعادلة هو الوظيفة.

في الواقع ، نستبدل هذه المعادلة بقيمتها ، نحصل عليها

إنه 3 س = 3 س

لذلك ، فإن الوظيفة هي حل عام للمعادلة لأي ثابت C.

ابحث عن حل معين لهذه المعادلة يلبي الشرط الأولي ص (1) = 1استبدال الشروط الأولية س = 1 ، ص = 1في الحل العام للمعادلة ، نحصل من أين ج = 0.

وبالتالي ، نحصل على حل معين من الحل العام عن طريق استبدال القيمة الناتجة في هذه المعادلة ج = 0هو قرار خاص.

2.2. المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل هي معادلة بالشكل: y "= f (x) g (y)أو من خلال الفروق ، أين و (خ)و ز (ص)يتم إعطاء وظائف.

لأولئك ذالتي ، المعادلة y "= f (x) g (y)يعادل المعادلة فيه المتغير ذيوجد فقط في الجانب الأيسر ، والمتغير x موجود فقط في الجانب الأيمن. يقولون ، "في المعادلة y "= f (x) g (yفصل المتغيرات.

اكتب المعادلة يسمى معادلة متغيرة منفصلة.

بعد دمج جزئي المعادلة بواسطة x، نحن نحصل G (y) = F (x) + Cهو الحل العام للمعادلة ، أين ز (ذ)و و (س)هي بعض المشتقات العكسية ، على التوالي ، للوظائف و و (خ), جثابت تعسفي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات قابلة للفصل

مثال 1

حل المعادلة ص "= س ص

حل. مشتق من وظيفة ذ "استبدل ب

نفصل المتغيرات

دعنا ندمج كلا الجزأين من المساواة:

مثال 2

2yy "= 1-3 × 2، لو ص 0 = 3في × 0 = 1

هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعنا نمثلها في التفاضلات. للقيام بذلك ، نعيد كتابة هذه المعادلة بالصيغة من هنا

دمج كلا الجزأين من المساواة الأخيرة ، نجد

استبدال القيم الأولية س 0 = 1 ، ص 0 = 3يجد مع 9=1-1+ج، أي. ج = 9.

لذلك ، سيكون التكامل الجزئي المطلوب أو

مثال 3

اكتب معادلة لمنحنى يمر بنقطة م (2 ؛ -3)وله ظل مع منحدر

حل. حسب الحالة

هذه معادلة متغيرة قابلة للفصل. بقسمة المتغيرات نحصل على:

بدمج كلا الجزأين من المعادلة ، نحصل على:

باستخدام الشروط الأولية ، س = 2و ص = -3يجد ج:

لذلك ، فإن المعادلة المرغوبة لها الشكل

2.3 المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة للصيغة y "= f (x) y + g (x)

أين و (خ)و ز (س)- بعض الوظائف المعطاة.

لو ز (س) = 0ثم تسمى المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة ولها الشكل: y "= f (x) y

إذا ثم المعادلة y "= f (x) y + g (x)يسمى غير متجانسة.

الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة y "= f (x) yتعطى بالصيغة: أين معثابت اعتباطي.

على وجه الخصوص ، إذا ج \ u003d 0 ،ثم الحل ص = 0إذا كانت المعادلة الخطية المتجانسة لها الشكل y "= kyأين كهو نوع من ثابت ، ثم الحل العام له الشكل:.

حل عام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة y "= f (x) y + g (x)من خلال الصيغة ,

أولئك. يساوي مجموع الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة المقابلة والحل الخاص لهذه المعادلة.

للحصول على معادلة خطية غير متجانسة للشكل y "= kx + b,

أين كو ب- ستكون بعض الأرقام وحل معين دالة ثابتة. لذلك ، الحل العام له الشكل.

مثال. حل المعادلة ص "+ 2 س +3 = 0

حل. نحن نمثل المعادلة في الصورة ص "= -2 ص - 3أين ك = -2 ، ب = -3يتم إعطاء الحل العام من خلال الصيغة.

لذلك ، حيث C ثابت اعتباطي.

2.4 حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بطريقة برنولي

إيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى y "= f (x) y + g (x)يقلل إلى حل معادلتين تفاضليتين بمتغيرات منفصلة باستخدام التعويض ص = الأشعة فوق البنفسجية، أين شو الخامس- وظائف غير معروفة من x. تسمى طريقة الحل طريقة برنولي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

y "= f (x) y + g (x)

1. أدخل بديلاً ص = الأشعة فوق البنفسجية.

2. التفريق بين هذه المساواة y "= u" v + uv "

3. البديل ذو ذ "في هذه المعادلة: u "v + uv" =f (x) uv + g (x)أو u "v + uv" + f (x) uv = g (x).

4. تجميع شروط المعادلة بحيث شأخرجه من الأقواس:

5. من القوس ، معادلته بالصفر ، أوجد الدالة

هذه معادلة قابلة للفصل:

اقسم المتغيرات واحصل على:

أين . .

6. استبدل القيمة المستلمة الخامسفي المعادلة (من البند 4):

والعثور على الوظيفة هذه معادلة قابلة للفصل:

7. اكتب الحل العام بالصيغة: ، أي. .

مثال 1

ابحث عن حل معين للمعادلة ص "= -2 ص +3 = 0لو ص = 1في س = 0

حل. لنحلها بالتعويض ص = الأشعة فوق البنفسجية ،.y "= u" v + uv "

أستعاض ذو ذ "في هذه المعادلة ، نحصل على

بتجميع الحدين الثاني والثالث في الجانب الأيسر من المعادلة ، نخرج العامل المشترك ش من بين قوسين

نحن نساوي التعبير الموجود بين قوسين بالصفر ، وبعد حل المعادلة الناتجة ، نجد الدالة الخامس = ت (س)

حصلنا على معادلة بمتغيرات منفصلة. ندمج كلا الجزأين في هذه المعادلة: أوجد الوظيفة الخامس:

استبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة نحصل على:

هذه معادلة متغيرة منفصلة. ندمج كلا الجزأين من المعادلة: لنجد الدالة ش = ش (س ، ج) لنجد حلاً عامًا: دعونا نجد حلا خاصا للمعادلة التي تلبي الشروط الأولية ص = 1في س = 0:

ثالثا. المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى

3.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على مشتقات ليست أعلى من الدرجة الثانية. في الحالة العامة ، تتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي: F (س ، ص ، ص "، ص") = 0

الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو دالة في النموذج ، والتي تتضمن ثابتين تعسفيتين C1و C2.

حل معين لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو حل يتم الحصول عليه من الحل العام لبعض قيم الثوابت التعسفية C1و C2.

3.2 المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع نسب ثابتة.

معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةيسمى معادلة النموذج y "+ py" + qy = 0، أين صو فهي قيم ثابتة.

خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

1. اكتب المعادلة التفاضلية بالصيغة: y "+ py" + qy = 0.

2. يؤلف معادلته المميزة ، للدلالة ذ "خلال r2, ذ "خلال ص, ذفي 1: r2 + العلاقات العامة + ف = 0

تتيح لك هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت حل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت. يكفي إدخال المعادلة في الحقل المناسب ، مع الإشارة إلى "مشتق الوظيفة" بعلامة اقتباس أحادية والنقر فوق الزر "حل المعادلة" ، وسيقدم النظام المطبق على أساس موقع WolframAlpha الشهير شرحًا تفصيليًا حل المعادلة التفاضليةبحرية مطلقة. يمكنك أيضًا تعيين مشكلة كوشي للاختيار من بين مجموعة الحلول الممكنة بأكملها ، حلًا معينًا يتوافق مع شروط أولية معينة. يتم إدخال مشكلة كوشي في حقل منفصل.

المعادلة التفاضلية

بشكل افتراضي ، في المعادلة ، الوظيفة ذهي دالة لمتغير x. ومع ذلك ، يمكنك تعيين تدوين المتغير الخاص بك ، إذا كتبت ، على سبيل المثال ، y (t) في معادلة ، فسوف تتعرف الآلة الحاسبة تلقائيًا على ذلك ذهي دالة لمتغير ر. مع الآلة الحاسبة يمكنك ذلك حل المعادلات التفاضليةمن أي تعقيد ونوع: متجانسة وغير متجانسة ، خطية أو غير خطية ، الرتبة الأولى أو المرتبة الثانية والأعلى ، المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل أو غير القابلة للفصل ، إلخ. فرق الحل. يتم إعطاء المعادلة في شكل تحليلي ، ولها وصف مفصل. المعادلات التفاضلية شائعة جدًا في الفيزياء والرياضيات. بدون حساباتهم ، من المستحيل حل العديد من المشكلات (خاصة في الفيزياء الرياضية).

تتمثل إحدى خطوات حل المعادلات التفاضلية في تكامل الوظائف. هناك طرق قياسية لحل المعادلات التفاضلية. من الضروري إحضار المعادلات إلى النموذج مع المتغيرات القابلة للفصل y و x ودمج الوظائف المنفصلة بشكل منفصل. للقيام بذلك ، تحتاج في بعض الأحيان إلى إجراء بديل معين.

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن دالة وواحدًا أو أكثر من مشتقاتها. في معظم المشاكل العملية ، تكون الدوال عبارة عن كميات فيزيائية ، وتتوافق المشتقات مع معدلات تغير هذه الكميات ، وتحدد المعادلة العلاقة بينهما.

تتناول هذه المقالة طرق حل بعض أنواع المعادلات التفاضلية العادية ، والتي يمكن كتابة حلولها في النموذج وظائف الابتدائية، أي ، دوال كثيرة الحدود ، أسية ، لوغاريتمية ومثلثية ، بالإضافة إلى وظائفها العكسية. تحدث العديد من هذه المعادلات في الحياة الواقعية ، على الرغم من أن معظم المعادلات التفاضلية الأخرى لا يمكن حلها بهذه الطرق ، وبالنسبة لها تكتب الإجابة كوظائف خاصة أو متسلسلة قوى ، أو يتم العثور عليها بالطرق العددية.

لفهم هذه المقالة ، تحتاج إلى معرفة حساب التفاضل والتكامل التفاضلي ، وكذلك فهم بعض المشتقات الجزئية. يوصى أيضًا بمعرفة أساسيات الجبر الخطي كما هو مطبق على المعادلات التفاضلية ، خاصة المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، على الرغم من أن معرفة حساب التفاضل والتكامل كافٍ لحلها.

معلومات أولية

• المعادلات التفاضلية لها تصنيف شامل. هذه المقالة تتحدث عن المعادلات التفاضلية العادية، أي حول المعادلات التي تتضمن دالة لمتغير واحد ومشتقاته. المعادلات التفاضلية العادية أسهل بكثير في الفهم والحل من المعادلات التفاضلية الجزئية، والتي تشمل وظائف لعدة متغيرات. لا تتناول هذه المقالة المعادلات التفاضلية الجزئية ، حيث يتم تحديد طرق حل هذه المعادلات عادةً من خلال شكلها المحدد.
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية العادية.
    • د y د س = ك y (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = ky)
    • د 2 س د t 2 + ك س = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) x) ((mathrm (d)) t ^ (2))) + kx = 0)
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x ^ (2))) + (\ frac (\ جزئي ^ (2 ) و) (جزئية ص ^ (2))) = 0)
    • ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\ displaystyle (\ frac (\ جزئي u) (\ جزئي t)) - \ alpha (\ frac (\ جزئي ^ (2) u) (\ جزئي x ^ (2))) = 0)
• طلبيتم تحديد المعادلة التفاضلية بترتيب أعلى مشتق متضمن في هذه المعادلة. أول من المعادلات التفاضلية العادية أعلاه هو من الدرجة الأولى ، في حين أن الثانية من الدرجة الثانية. درجةفي المعادلة التفاضلية تسمى أعلى قوة يتم رفع أحد شروط هذه المعادلة إليها.
  • على سبيل المثال ، المعادلة أدناه هي الدرجة الثالثة والقوة الثانية.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (displaystyle left ((frac ((mathrm (d)) ^ (3) y) ((mathrm (d)) x ^ (3))) يمين) ^ (2) + (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) = 0)
• المعادلة التفاضلية هي معادلة تفاضلية خطيةإذا كانت الدالة وجميع مشتقاتها في القوة الأولى. خلاف ذلك ، فإن المعادلة معادلة تفاضلية غير خطية. تعتبر المعادلات التفاضلية الخطية ملحوظة في أنه يمكن تكوين مجموعات خطية من حلولها ، والتي ستكون أيضًا حلولًا لهذه المعادلة.
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية الخطية.
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية غير الخطية. المعادلة الأولى غير خطية بسبب شرط الجيب.
    • د 2 θ د t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) theta) ((mathrm (d)) t ^ (2))) + ( \ فارك (ج) (ل)) \ الخطيئة \ ثيتا = 0)
    • د 2 س د t 2 + (د س د t) 2 + t س 2 = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) x) ((mathrm (d)) t ^ (2))) + \ يسار ((\ frac ((\ mathrm (d)) x) ((\ mathrm (d)) t)) \ right) ^ (2) + tx ^ (2) = 0)
• قرار مشتركالمعادلة التفاضلية العادية ليست فريدة من نوعها ، فهي تشمل ثوابت التكامل التعسفي. في معظم الحالات ، يكون عدد الثوابت التعسفية مساويًا لترتيب المعادلة. في الممارسة العملية ، يتم تحديد قيم هذه الثوابت من خلال المعطى الشروط الأولية، أي بقيم الدالة ومشتقاتها عند س = 0. (displaystyle x = 0)عدد الشروط الأولية اللازمة للبحث قرار خاصالمعادلة التفاضلية ، في معظم الحالات تساوي أيضًا ترتيب هذه المعادلة.
  • على سبيل المثال ، ستنظر هذه المقالة في حل المعادلة أدناه. هذه معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية. حلها العام يحتوي على ثابتين تعسفيتين. للعثور على هذه الثوابت ، من الضروري معرفة الشروط الأولية في س (0) (displaystyle x (0))و س ′ (0). (displaystyle x "(0).)عادة ما يتم إعطاء الشروط الأولية عند هذه النقطة س = 0 (displaystyle x = 0)، على الرغم من أن هذا غير مطلوب. ستنظر هذه المقالة أيضًا في كيفية العثور على حلول معينة لشروط أولية معينة.
    • د 2 س د t 2 + ك 2 س = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) x) ((mathrm (d)) t ^ (2))) + k ^ (2 ) س = 0)
    • س (t) = ج 1 كوس ⁡ ك س + ج 2 خطيئة ⁡ ك س (displaystyle x (t) = c_ (1) cos kx + c_ (2) sin kx)

خطوات

الجزء 1

عند استخدام هذه الخدمة ، قد يتم نقل بعض المعلومات إلى YouTube.

1. المعادلات الخطية من الدرجة الأولى.يناقش هذا القسم طرق حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى في الحالات العامة والخاصة ، عندما تكون بعض المصطلحات مساوية للصفر. دعونا نتظاهر بذلك y = y (x) (\ displaystyle y = y (x)) * * (displaystyle p (x))و ف (س) (displaystyle q (x))هي وظائف x. (displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) + p (x) y = q (x) ))
   

   الفوسفور (س) = 0. (displaystyle p (x) = 0.)وفقًا لإحدى النظريات الرئيسية في التحليل الرياضي ، فإن تكامل مشتق الوظيفة هو أيضًا وظيفة. وبالتالي ، يكفي دمج المعادلة لإيجاد حلها. في هذه الحالة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه عند حساب التكامل غير المحدد ، يظهر ثابت تعسفي.

   • y (x) = ∫ q (x) د x (displaystyle y (x) = int q (x) (mathrm (d)) x)

   Q (x) = 0. (displaystyle q (x) = 0.)نحن نستخدم الطريقة فصل المتغيرات. في هذه الحالة ، يتم نقل المتغيرات المختلفة إلى جوانب مختلفة من المعادلة. على سبيل المثال ، يمكنك نقل جميع الأعضاء من ذ (displaystyle y)في واحد ، وجميع الأعضاء بامتداد س (displaystyle x)على الجانب الآخر من المعادلة. يمكن أيضا نقل الأعضاء د س (displaystyle (mathrm (d)) x)و د y (displaystyle (mathrm (d)) y)، والتي يتم تضمينها في التعبيرات المشتقة ، ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن هذا مجرد اصطلاح ، وهو مناسب عند تمييز دالة معقدة. مناقشة هذه المصطلحات التي تسمى الفروق، خارج نطاق هذه المقالة.

   • أولاً ، تحتاج إلى تحريك المتغيرات على الجانبين المتقابلين من علامة التساوي.
     • 1 y d y = - p (x) d x (\ displaystyle (\ frac (1) (y)) (\ mathrm (d)) y = -p (x) (\ mathrm (d)) x)
   • ندمج طرفي المعادلة. بعد التكامل ، تظهر ثوابت عشوائية على كلا الجانبين ، والتي يمكن نقلها إلى الجانب الأيمن من المعادلة.
     • ln ⁡ y = ∫ - * * (س) د x (displaystyle ln y = int -p (x) (mathrm (d)) x)
     • y (x) = e - ∫ * * د x (displaystyle y (x) = e ^ (- int p (x) (mathrm (d)) x))
   • المثال 1.1.في الخطوة الأخيرة ، استخدمنا القاعدة هـ أ + ب = هـ أ. ب (displaystyle e ^ (a + b) = e ^ (a) e ^ (b))واستبدالها ج (displaystyle e ^ (C))على ج (displaystyle C)، لأنه أيضًا ثابت تكامل تعسفي.
     • د y د س - 2 y sin ⁡ x = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) - 2y sin x = 0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e) (\ frac (1) (2y)) (\ mathrm (d)) y & = \ sin x (\ mathrm (d)) x \\ (\ frac (1) (2)) \ ln y & = - \ cos x + C \\\ ln y & = - 2 \ cos x + C \\ y (x) & = Ce ^ (- 2 \ cos x) \ end (محاذاة)))

   الفوسفور (x) ≠ 0، q (x) ≠ 0. (displaystyle p (x) neq 0، q (x) neq 0.)لإيجاد الحل العام ، قدمنا عامل التكاملك وضيفة من س (displaystyle x)لتقليل الطرف الأيسر إلى مشتق مشترك وبالتالي حل المعادلة.

   • اضرب كلا الطرفين في μ (س) (displaystyle mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (displaystyle mu (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) + mu py = mu q)
   • لتقليل الجانب الأيسر إلى مشتق مشترك ، يجب إجراء التحولات التالية:
     • د د س (μ y) = د μ د س ص + μ د y د س = μ د y د س + μ p y (displaystyle (frac (mathrm (d)) ((mathrm (d)) x)) (mu y) = ( frac ((\ mathrm (d)) \ mu) ((\ mathrm (d)) x)) y + \ mu (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) = \ mu (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + \ mu py)
   • المساواة الأخيرة تعني ذلك د μ د س = μ * (displaystyle (frac ((mathrm (d)) mu) ((mathrm (d)) x)) = mu p). هذا عامل تكامل كافٍ لحل أي معادلة خطية من الدرجة الأولى. يمكننا الآن اشتقاق صيغة لحل هذه المعادلة بالنسبة إلى µ (displaystyle mu)على الرغم من أنه من المفيد إجراء جميع الحسابات الوسيطة للتدريب.
     • μ (س) = ه ∫ * (س) د س (displaystyle mu (x) = e ^ (int p (x) (mathrm (d)) x))
   • مثال 1.2.في هذا المثال ، ننظر في كيفية إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية بشروط أولية معينة.
     • t d y d t + 2 y = t 2، y (2) = 3 (\ displaystyle t (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) t)) + 2y = t ^ (2) ، \ رباعي ص (2) = 3)
     • د y د t + 2 t y = t (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) t)) + (\ frac (2) (t)) y = t)
     • μ (x) = e ∫ * (t) د t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (displaystyle mu (x) = e ^ (int p (t) (mathrm (d)) t) = e ^ (2 \ ln t) = t ^ (2))
     • د د t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (displaystyle (begin (align) (frac (mathrm (d) ) ((\ mathrm (d)) t)) (t ^ (2) y) & = t ^ (3) \\ t ^ (2) y & = (\ frac (1) (4)) t ^ (4 ) + C \\ y (t) & = (\ frac (1) (4)) t ^ (2) + (\ frac (C) (t ^ (2))) \ end (محاذاة)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4، C = 8 (\ displaystyle 3 = y (2) = 1 + (\ frac (C) (4))، quad C = 8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ displaystyle y (t) = (\ frac (1) (4)) t ^ (2) + (\ frac (8) (t ^ (2)) ))
   
   حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى (المسجلة بواسطة Intuit - الجامعة الوطنية المفتوحة).

2. معادلات الرتبة الأولى غير الخطية. في هذا القسم ، يتم النظر في طرق حل بعض المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى. على الرغم من عدم وجود طريقة عامة لحل مثل هذه المعادلات ، يمكن حل بعضها باستخدام الطرق أدناه.

   د y د س = و (س، y) (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = f (x، y))
   د y د x = h (x) g (y). (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = h (x) g (y).)إذا كانت الوظيفة و (س ، ص) = ح (س) ج (y) (displaystyle f (x، y) = h (x) g (y))يمكن تقسيمها إلى وظائف لمتغير واحد ، وتسمى هذه المعادلة معادلة تفاضلية قابلة للفصل. في هذه الحالة ، يمكنك استخدام الطريقة المذكورة أعلاه:

   • ∫ د y h (y) = ∫ g (x) د x (displaystyle int (frac ((mathrm (d)) y) (h (y))) = int g (x) (mathrm (d) ) خ)
   • مثال 1.3.
     • د y د س = س 3 y (1 + س 4) (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = (frac (x ^ (3)) ( ص (1 + س ^ (4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\ displaystyle (\ تبدأ (محاذاة) \ int y (\ mathrm (d)) y & = \ int (\ frac (x ^ (3)) (1 + x ^ (4))) (\ mathrm (d)) x \\ (\ frac (1) (2)) y ^ (2) & = (\ frac (1) (4)) \ ln (1 + x ^ (4)) + C \\ y (x) & = (\ frac ( 1) (2)) \ ln (1 + x ^ (4)) + C \ end (محاذاة)))

   D y d x = g (x، y) h (x، y). (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = (frac (g (x، y)) (h (x، y))).)دعونا نتظاهر بذلك g (x، y) (displaystyle g (x، y))و ح (س ، ص) (displaystyle h (x، y))هي وظائف س (displaystyle x)و ذ. (displaystyle y.)ثم معادلة تفاضلية متجانسةهي المعادلة التي ز (displaystyle g)و ح (displaystyle h)نكون وظائف متجانسةنفس الدرجة. وهذا يعني أن الوظائف يجب أن تفي بالشرط g (α x، α y) = α k g (x، y)، (displaystyle g (alpha x، alpha y) = alpha ^ (k) g (x، y)،)أين ك (displaystyle k)تسمى درجة التجانس. يمكن إعطاء أي معادلة تفاضلية متجانسة بواسطة مناسبة تغيير المتغيرات (v = y / x (\ displaystyle v = y / x)أو الخامس = س / ص (displaystyle v = x / y)) للتحويل إلى معادلة ذات متغيرات منفصلة.

   • مثال 1.4.قد يبدو وصف التجانس أعلاه غامضًا. لنلقِ نظرة على هذا المفهوم بمثال.
     • د y د س = y 3 - س 3 y 2 x (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = (frac (y ^ (3) -x ^ ^ (3)) (y ^ (2) x)))
     • بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أن هذه المعادلة غير خطية فيما يتعلق ذ. (displaystyle y.)نرى أيضًا أنه في هذه الحالة من المستحيل فصل المتغيرات. ومع ذلك ، فإن هذه المعادلة التفاضلية متجانسة ، لأن كلًا من البسط والمقام متجانسين بقوة 3. لذلك ، يمكننا إجراء تغيير في المتغيرات ت = ص / س. (displaystyle v = y / x.)
     • د y د س = y س - س 2 y 2 = v - 1 v 2 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = (frac (y) (x )) - (\ frac (x ^ (2)) (y ^ (2))) = v - (\ frac (1) (v ^ (2))))
     • y = v x، d y d x = d v د x x + v (displaystyle y = vx، quad (((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = (frac ((mathrm (د) ت) ((mathrm (د)) س)) س + ت)
     • د v د س س = - 1 ف 2. (displaystyle (frac ((mathrm (d)) v) ((mathrm (d)) x)) x = - (frac (1) (v ^ (2))).)نتيجة لذلك ، لدينا معادلة لـ ك (displaystyle v)مع المتغيرات المشتركة.
     • v (x) = - 3 السجل ⁡ x + C 3 (\ displaystyle v (x) = (\ sqrt [(3)] (- 3 \ ln x + C)))
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + C 3 (displaystyle y (x) = x (sqrt [(3)] (- 3 ln x + C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n. (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = p (x) y + q (x) y ^ (n).)هذا معادلة برنولي التفاضلية- نوع خاص من المعادلات غير الخطية من الدرجة الأولى ، يمكن كتابة حلها باستخدام وظائف أولية.

   • اضرب طرفي المعادلة في (1 - n) y - n (displaystyle (1-n) y ^ (- n)):
     • (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (displaystyle (1-n) y ^ (- n) (frac ( (\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) = p (x) (1-n) y ^ (1-n) + (1-n) q (x))
   • نستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة على الجانب الأيسر ونحول المعادلة إلى معادلة خطية فيما يتعلق y 1 - n، (\ displaystyle y ^ (1-n)،)والتي يمكن حلها بالطرق المذكورة أعلاه.
     • د y 1 - n د x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y ^ (1-n)) ((\ mathrm (d)) x)) = p (x) (1-n) y ^ (1-n) + (1-n) q (x))

   M (x، y) + N (x، y) d y d x = 0. (displaystyle M (x، y) + N (x، y) (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (د)) x)) = 0.)هذا المعادلة التفاضلية الكلية. من الضروري العثور على ما يسمى ب الوظيفة المحتملة φ (س ، ص) ، (displaystyle varphi (x ، y) ،)، والتي تفي بالشرط د φ د س = 0. (displaystyle (frac ((mathrm (d)) varphi) ((mathrm (d)) x)) = 0.)

   • لتحقيق هذا الشرط ، من الضروري أن يكون لديك المشتق الكلي. يأخذ المشتق الإجمالي في الاعتبار الاعتماد على المتغيرات الأخرى. لحساب المشتق الكلي φ (displaystyle varphi)بواسطة س ، (displaystyle x ،)نحن نفترض أن ذ (displaystyle y)قد تعتمد أيضًا على x. (displaystyle x.)
     • د φ د س = ∂ φ ∂ س + ∂ φ ∂ y د y د س (displaystyle (frac ((mathrm (d)) varphi) ((mathrm (d)) x)) = (frac (جزئي varphi ) (\ جزئية س)) + (\ فارك (\ جزئية \ فارفي) (\ جزئي ص)) (\ فارك ((\ ماثرم (د)) ذ) ((\ ماثرم (د)) س)))
   • تعطينا مقارنة الشروط M (x، y) = ∂ φ ∂ x (\ displaystyle M (x، y) = (\ frac (\ part \ varphi) (\ جزئي x)))و N (س ، ص) = ∂ φ ∂ ص. (\ displaystyle N (x، y) = (\ frac (\ part \ varphi) (\ جزئي y)).)هذه نتيجة نموذجية للمعادلات ذات المتغيرات المتعددة ، حيث تكون المشتقات المختلطة للوظائف الملساء متساوية مع بعضها البعض. في بعض الأحيان تسمى هذه الحالة نظرية كليروت. في هذه الحالة ، المعادلة التفاضلية هي معادلة في مجموع الفروق إذا تم استيفاء الشرط التالي:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\ displaystyle (\ frac (\ جزئي M) (\ جزئي y)) = (\ frac (\ جزئي N) (\ جزئي x)))
   • تشبه طريقة حل المعادلات في مجموع الفروق طريقة إيجاد الوظائف المحتملة في وجود العديد من المشتقات ، والتي سنناقشها بإيجاز. أولًا نتكامل م (displaystyle M)بواسطة x. (displaystyle x.)بسبب ال م (displaystyle M)هي وظيفة و س (displaystyle x)، و ذ ، (displaystyle y ،)عند الدمج ، نحصل على وظيفة غير مكتملة φ (displaystyle varphi)المسمى φ ~ (displaystyle (tilde (varphi))). تتضمن النتيجة أيضًا التابع على ذ (displaystyle y)ثابت التكامل.
     • φ (x، y) = ∫ M (x، y) d x = φ ~ (x، y) + c (y) (displaystyle varphi (x، y) = int M (x، y) (mathrm (د)) س = (\ تيلدا (\ varphi)) (س ، ص) + ج (ص))
   • بعد ذلك ، للحصول على ج (ذ) (displaystyle c (y))يمكنك أخذ المشتق الجزئي للدالة الناتجة بالنسبة إلى ذ ، (displaystyle y ،)يساوي النتيجة N (x، y) (\ displaystyle N (x، y))ودمج. يمكن للمرء أيضًا التكامل أولاً N (displaystyle N)، ثم نأخذ المشتق الجزئي بالنسبة إلى س (displaystyle x)، مما سيسمح لنا بإيجاد وظيفة عشوائية د (خ). (displaystyle d (x).)كلتا الطريقتين مناسبتان ، وعادة ما يتم اختيار الوظيفة الأبسط للتكامل.
     • N (x، y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (displaystyle N (x، y) = (frac (جزئي varphi) (جزئي y)) = (frac (frac جزئي (\ tilde (\ varphi))) (\ جزئي y)) + (\ frac ((\ mathrm (d)) c) ((\ mathrm (d)) y)))
   • مثال 1.5.يمكنك الحصول على مشتقات جزئية والتحقق من أن المعادلة أدناه هي معادلة تفاضلية كلية.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\ displaystyle 3x ^ (2) + y ^ (2) + 2xy (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x) ) = 0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) د x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x، y) = 2 x y + d c d y (displaystyle (begin (align) varphi & = \ int (3x ^ (2) + y ^ (2)) (\ mathrm (d)) x = x ^ (3) + xy ^ (2) + c (y) \\ (\ frac (\ جزئي \ varphi) (\ جزئي y)) & = N (x، y) = 2xy + (\ frac ((\ mathrm (d)) c) ((\ mathrm (d)) y)) \ end (محاذاة)))
     • د ج د y = 0، ج (y) = ج (displaystyle (frac ((mathrm (d)) c) ((mathrm (d)) y)) = 0، quad c (y) = C)
     • س 3 + س ص 2 = ج (displaystyle x ^ (3) + xy ^ (2) = C)
   • إذا لم تكن المعادلة التفاضلية معادلة تفاضلية كاملة ، يمكنك في بعض الحالات العثور على عامل تكامل يسمح لك بتحويلها إلى معادلة تفاضلية كلية. ومع ذلك ، نادراً ما تستخدم مثل هذه المعادلات في الممارسة ، وعلى الرغم من عامل التكامل موجودتجد ما يحدث ليس سهلا، لذلك لم يتم النظر في هذه المعادلات في هذه المقالة.

الجزء 2

1. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة.تُستخدم هذه المعادلات على نطاق واسع في الممارسة العملية ، لذا فإن حلها له أهمية قصوى. في هذه الحالة ، لا نتحدث عن الدوال المتجانسة ، ولكن عن حقيقة وجود 0 في الجانب الأيمن من المعادلة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف غير متجانسةالمعادلات التفاضلية. أقل أ (displaystyle a)و ب (displaystyle b)ثوابت.

   د 2 y د x 2 + أ د y د س + ب y = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) y) ((mathrm (d)) x ^ (2))) + a (frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + بواسطة = 0)
   

   معادلة مميزة. هذه المعادلة التفاضلية رائعة من حيث أنه يمكن حلها بسهولة شديدة إذا انتبهت إلى الخصائص التي يجب أن تحتويها حلولها. يمكن أن نرى من المعادلة أن ذ (displaystyle y)ومشتقاتها متناسبة مع بعضها البعض. من الأمثلة السابقة ، التي تم أخذها في الاعتبار في القسم الخاص بمعادلات الدرجة الأولى ، نعلم أن الوظيفة الأسية فقط لها هذه الخاصية. لذلك ، من الممكن طرحها ansatz(تخمين متعلم) حول ماهية حل المعادلة المعطاة.

   • سيأخذ الحل شكل دالة أسية ه r س، (displaystyle e ^ (rx))أين r (displaystyle r)هو ثابت يمكن إيجاد قيمته. عوّض بهذه الدالة في المعادلة واحصل على التعبير التالي
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (displaystyle e ^ (rx) (r ^ (2) + ar + b) = 0)
   • تشير هذه المعادلة إلى أن حاصل ضرب الدالة الأسية وكثير الحدود يجب أن يكون صفراً. من المعروف أن الأس لا يمكن أن يساوي صفرًا لأي قيم للدرجة. ومن ثم نستنتج أن كثير الحدود يساوي صفرًا. وبالتالي ، قمنا بتقليص مشكلة حل المعادلة التفاضلية إلى مشكلة أبسط بكثير تتمثل في حل معادلة جبرية ، والتي تسمى المعادلة المميزة لمعادلة تفاضلية معينة.
     • r 2 + a r + b = 0 (displaystyle r ^ (2) + ar + b = 0)
     • r ± = - a ± a 2 - 4 b 2 (\ displaystyle r _ (\ pm) = (\ frac (-a \ pm (\ sqrt (a ^ (2) -4b))) (2)))
   • لدينا جذور. نظرًا لأن هذه المعادلة التفاضلية خطية ، فإن حلها العام هو مزيج خطي من الحلول الجزئية. نظرًا لأن هذه معادلة من الدرجة الثانية ، فنحن نعلم أنها كذلك حقًاحل عام ولا يوجد حل آخر. يكمن التبرير الأكثر صرامة لهذا في النظريات حول وجود الحل وتفرده ، والتي يمكن العثور عليها في الكتب المدرسية.
   • طريقة مفيدة للتحقق مما إذا كان حلين مستقلين خطيًا هي الحساب Wronskian. Wronskian W (displaystyle W)- هذا هو محدد المصفوفة ، التي توجد في أعمدةها وظائف ومشتقاتها المتتالية. تنص نظرية الجبر الخطي على أن الوظائف في Wronskian تعتمد خطيًا إذا كان Wronskian يساوي صفرًا. في هذا القسم ، يمكننا اختبار ما إذا كان حلين مستقلين خطيًا عن طريق التأكد من أن Wronskian ليس صفريًا. يعد Wronskian مهمًا في حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من خلال طريقة تغيير المعلمة.
     • ث = | y 1 y 2 y 1 y 2 | (displaystyle W = (begin (vmatrix) y_ (1) & y_ (2) \\ y_ (1) "& y_ (2)" end (vmatrix)))
   • من حيث الجبر الخطي ، تشكل مجموعة جميع حلول معادلة تفاضلية معينة مساحة متجهية يكون أبعادها مساوية لترتيب المعادلة التفاضلية. في هذا الفضاء ، يمكن للمرء أن يختار أساسًا من مستقل خطياقرارات من بعضها البعض. هذا ممكن بسبب حقيقة أن الوظيفة y (x) (displaystyle y (x))صالح عامل خطي. المشتق يكونعامل خطي ، لأنه يحول مساحة الوظائف القابلة للتفاضل إلى مساحة جميع الوظائف. تسمى المعادلات متجانسة في الحالات التي يكون فيها لبعض المشغل الخطي م (displaystyle L)مطلوب لإيجاد حل للمعادلة L [y] = 0. (\ displaystyle L [y] = 0.)

   دعنا الآن ننتقل إلى بعض الأمثلة المحددة. سيتم النظر في حالة الجذور المتعددة للمعادلة المميزة بعد ذلك بقليل ، في القسم الخاص بتخفيض الطلب.

   إذا كانت الجذور r ± (displaystyle r _ (pm))هي أرقام حقيقية مختلفة ، فإن المعادلة التفاضلية لها الحل التالي

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (displaystyle y (x) = c_ (1) e ^ (r _ (+) x) + c_ (2) e ^ (r _ (-) x ))

   جذران معقدان.ويترتب على النظرية الأساسية للجبر أن حلول المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية لها جذور حقيقية أو أزواج مترافقة. لذلك ، إذا كان العدد المركب r = α + i β (displaystyle r = alpha + i beta)هو جذر المعادلة المميزة ، إذن r ∗ = α - i β (displaystyle r ^ (*) = alpha -i beta)هو أيضًا جذر هذه المعادلة. وبالتالي ، يمكن كتابة الحل في النموذج ج 1 هـ (α + i β) س + ج 2. (\ alpha -i \ beta) x)،)ومع ذلك ، هذا رقم معقد وغير مرغوب فيه في حل المشكلات العملية.

   • بدلا من ذلك ، يمكنك استخدام صيغة أويلر e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (displaystyle e ^ (ix) = cos x + i sin x)، والذي يسمح لك بكتابة الحل في شكل دوال مثلثية:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x - i c 2 sin ⁡ β x) (displaystyle e ^ (alpha x) (c_ (1) cos beta x + ic_ (1) \ sin \ beta x + c_ (2) \ cos \ beta x-ic_ (2) \ sin \ beta x))
   • يمكنك الآن بدلاً من الثابت ص 1 + ص 2 (displaystyle c_ (1) + c_ (2))اكتب ص 1 (displaystyle c_ (1))والتعبير أنا (ج 1 - ج 2) (displaystyle i (c_ (1) -c_ (2)))وحل محله ج 2. (displaystyle c_ (2).)بعد ذلك نحصل على الحل التالي:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (displaystyle y (x) = e ^ (alpha x) (c_ (1) cos beta x + c_ (2) \ الخطيئة \ بيتا س))
   • هناك طريقة أخرى لكتابة الحل من حيث السعة والطور ، وهي أكثر ملاءمة للمشاكل المادية.
   • مثال 2.1.دعونا نجد حل المعادلة التفاضلية الواردة أدناه بشروط أولية معينة. لهذا ، من الضروري أن تأخذ الحل الذي تم الحصول عليه ، وكذلك مشتقه، واستبدالها بالشروط الأولية ، مما سيسمح لنا بتحديد الثوابت التعسفية.
     • د 2 س د t 2 + 3 د س د t + 10 س = 0، س (0) = 1، س ′ (0) = - 1 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) x) (( \ mathrm (d)) t ^ (2))) + 3 (\ frac ((\ mathrm (d)) x) ((\ mathrm (d)) t)) + 10x = 0، \ quad x (0) = 1 ، × "(0) = - 1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0، r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (displaystyle r ^ (2) + 3r + 10 = 0، quad r _ (pm) = (\ frac (-3 \ pm (\ sqrt (9-40))) (2)) = - (\ frac (3) (2)) \ pm (\ frac (\ sqrt (31)) (2) )أنا)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (displaystyle x (t) = e ^ (- 3t / 2) left (c_ (1 ) \ cos (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t + c_ (2) \ sin (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t \ right))
     • س (0) = 1 = ص 1 (displaystyle x (0) = 1 = c_ (1))
     • x ′ (t) = - 3 2 e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e - 3 t / 2 (- 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t) + 31 2 ص 2 كوس ⁡ 31 2 t) (displaystyle (begin (align) x "(t) & = - (frac (3) (2)) e ^ (- 3t / 2) left (c_ (1) \ cos (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t + c_ (2) \ sin (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t \ right) \\ & + e ^ (- 3t / 2) \ left (- (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) c_ (1) \ sin (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t + (\ frac ( \ sqrt (31)) (2)) c_ (2) \ cos (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t \ right) \ end (محاذاة)))
     • س ′ (0) = - 1 = - 3 2 ج 1 + 31 2 ج 2، ص 2 = 1 31 (displaystyle x "(0) = - 1 = - (frac (3) (2)) c_ ( 1) + (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) c_ (2)، \ quad c_ (2) = (\ frac (1) (\ sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (displaystyle x (t) = e ^ (- 3t / 2) left (cos (frac) (\ sqrt (31)) (2)) t + (\ frac (1) (\ sqrt (31))) \ sin (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t \ right))
   
   حل المعادلات التفاضلية من الرتبة n ذات المعاملات الثابتة (المسجلة بواسطة Intuit - الجامعة الوطنية المفتوحة).

2. أمر خفض المستوى.تخفيض الطلب هو طريقة لحل المعادلات التفاضلية عندما يكون حل واحد مستقل خطيًا معروفًا. تتمثل هذه الطريقة في خفض ترتيب المعادلة بمقدار واحد ، مما يسمح بحل المعادلة باستخدام الطرق الموضحة في القسم السابق. دع الحل يعرف. الفكرة الرئيسية لخفض الترتيب هي إيجاد حل في النموذج أدناه ، حيث يكون من الضروري تحديد الوظيفة الخامس (س) (displaystyle v (x))، واستبدالها في المعادلة التفاضلية والنتيجة الخامس (خ). (displaystyle v (x).)لنفكر في كيفية استخدام تخفيض الترتيب لحل معادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة وجذور متعددة.

   
   

   جذور متعددةمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معاملات ثابتة. تذكر أن معادلة الدرجة الثانية يجب أن يكون لها حلين مستقلين خطيًا. إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور متعددة ، فإن مجموعة الحلول لاتشكل مساحة لأن هذه الحلول تعتمد خطيًا. في هذه الحالة ، يجب استخدام تخفيض الطلب لإيجاد حل ثانٍ مستقل خطيًا.

   • دع المعادلة المميزة لها جذور متعددة r (displaystyle r). نفترض أنه يمكن كتابة الحل الثاني كـ y (x) = e r x v (x) (\ displaystyle y (x) = e ^ (rx) v (x))، واستبدله في المعادلة التفاضلية. في هذه الحالة ، معظم المصطلحات ، باستثناء المصطلح مع المشتق الثاني للدالة الخامس ، (displaystyle v ،)سيتم تخفيض.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\ displaystyle v "" (x) e ^ (rx) = 0)
   • مثال 2.2.بالنظر إلى المعادلة التالية التي لها جذور متعددة r = - 4. (displaystyle r = -4.)عند الاستبدال ، يتم إلغاء معظم الشروط.
     • د 2 y د x 2 + 8 د y د x + 16 y = 0 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) y) ((mathrm (d)) x ^ (2))) + 8 ( \ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + 16y = 0)
     • y = v (x) e - 4 x y ′ = v (x) e - 4 x - 4 v (x) e - 4 x y ″ = v (x) e - 4 x - 8 v ′ (x) e - 4 x + 16 v (x) e - 4 x (\ displaystyle (\ begin (align) y & = v (x) e ^ (- 4x) \\ y "& = v" (x) e ^ (- 4x ) -4v (x) e ^ (- 4x) \\ y "" & = v "" (x) e ^ (- 4x) -8v "(x) e ^ (- 4x) + 16v (x) e ^ (-4 س) \ نهاية (محاذاة)))
     • v ″ e - 4 x - 8 v ′ e - 4 x + 16 v e - 4 x + 8 v ′ e - 4 x - 32 v e - 4 x + 16 v e - 4 x = 0 (\ displaystyle (\ begin (align) ) v "e ^ (- 4x) & - (\ إلغاء (8v" e ^ (- 4x))) + (\ إلغاء (16ve ^ (- 4x))) \\ & + (\ إلغاء (8v "e ^ (- 4x))) - (\ إلغاء (32ve ^ (- 4x))) + (\ إلغاء (16ve ^ (- 4x))) = 0 \ end (محاذاة)))
   • مثل ansatz الخاص بنا في معادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة ، في هذه الحالة فقط المشتق الثاني يمكن أن يساوي صفرًا. ندمج مرتين ونحصل على التعبير المطلوب لـ ك (displaystyle v):
     • الخامس (س) = ج 1 + ص 2 س (displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) x)
   • ثم يمكن كتابة الحل العام لمعادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة ، إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور متعددة ، بالشكل التالي. للراحة ، يمكنك أن تتذكر أنه للحصول على الاستقلال الخطي ، يكفي ببساطة ضرب المصطلح الثاني في س (displaystyle x). هذه المجموعة من الحلول مستقلة خطيًا ، وبالتالي وجدنا جميع حلول هذه المعادلة.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (displaystyle y (x) = (c_ (1) + c_ (2) x) e ^ (rx))

   د 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d)) ^ (2) y) ((\ mathrm (d)) x ^ ( 2))) + p (x) (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + q (x) y = 0.)تخفيض الطلب قابل للتطبيق إذا كان الحل معروفًا y 1 (x) (displaystyle y_ (1) (x))، والتي يمكن العثور عليها أو تقديمها في بيان المشكلة.

   • نحن نبحث عن حل في النموذج y (x) = v (x) y 1 (x) (displaystyle y (x) = v (x) y_ (1) (x))وقم بتوصيله بهذه المعادلة:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (displaystyle v "" y_ ( 1) + 2v "y_ (1)" + p (x) v "y_ (1) + v (y_ (1)" "+ p (x) y_ (1)" + q (x)) = 0)
   • بسبب ال y 1 (displaystyle y_ (1))هو حل المعادلة التفاضلية ، مع كل الشروط ك (displaystyle v)تتقلص. نتيجة لذلك ، يبقى معادلة خطية من الدرجة الأولى. لرؤية هذا بشكل أكثر وضوحًا ، دعونا نغير المتغيرات ث (س) = v ′ (س) (displaystyle w (x) = v "(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (displaystyle y_ (1) w "+ (2y_ (1)" + p (x) y_ (1)) w = 0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (displaystyle w (x) = exp left (int left (() frac (2y_ (1) "(x)) (y_ (1) (x))) + p (x) \ right) (\ mathrm (d)) x \ right))
     • الخامس (س) = ∫ ث (س) د س (displaystyle v (x) = int w (x) (mathrm (d)) x)
   • إذا كان من الممكن حساب التكاملات ، فسنحصل على الحل العام كمجموعة من الدوال الأولية. خلاف ذلك ، يمكن ترك الحل في شكل متكامل.

3. معادلة كوشي أويلر.معادلة كوشي أويلر هي مثال على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية المتغيراتالمعاملات التي لها حلول دقيقة. تُستخدم هذه المعادلة عمليًا ، على سبيل المثال ، لحل معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (displaystyle x ^ (2) (frac ((mathrm (d)) ^ (2) y) ((mathrm (d)) x ^ (2) )) + ax (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + by = 0)
   

   معادلة مميزة.كما ترى ، في هذه المعادلة التفاضلية ، يحتوي كل مصطلح على عامل قدرة ، ودرجته تساوي ترتيب المشتق المقابل.

   • وبالتالي ، يمكن للمرء أن يحاول البحث عن حل في النموذج y (x) = x n، (\ displaystyle y (x) = x ^ (n)،)أين تحدد n (displaystyle n)، تمامًا كما كنا نبحث عن حل في شكل دالة أسية لمعادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة. بعد التفاضل والاستبدال ، نحصل على
     • س n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (displaystyle x ^ (n) (n ^ (2) + (a-1) n + b) = 0)
   • لاستخدام المعادلة المميزة ، يجب أن نفترض ذلك س ≠ 0 (displaystyle x neq 0). نقطة س = 0 (displaystyle x = 0)مُسَمًّى نقطة مفردة عاديةالمعادلة التفاضلية. هذه النقاط مهمة عند حل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القدرة. هذه المعادلة لها جذران ، يمكن أن يكونا مختلفين وحقيقيين ، ومترافقين متعددين أو معقدين.
     • n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\ displaystyle n _ (\ pm) = (\ frac (1-a \ pm (\ sqrt ((a-1) ^ (2) -4b ))) (2)))

   جذران حقيقيان مختلفان.إذا كانت الجذور n ± (displaystyle n _ (pm))حقيقية ومختلفة ، فإن حل المعادلة التفاضلية يكون بالشكل التالي:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (displaystyle y (x) = c_ (1) x ^ (n _ (+)) + c_ (2) x ^ (n _ (-)))

   جذران معقدان.إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور n ± = α ± β i (displaystyle n _ (pm) = alpha pm beta i)، الحل هو دالة معقدة.

   • لتحويل الحل إلى دالة حقيقية ، نقوم بتغيير المتغيرات س =. t، (displaystyle x = e ^ (t))إنه t = ln ⁡ x، (\ displaystyle t = \ ln x،)واستخدم صيغة أويلر. تم تنفيذ إجراءات مماثلة في وقت سابق عند تحديد الثوابت التعسفية.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (displaystyle y (t) = e ^ (alpha t) (c_ (1) e ^ (beta it) + ج_ (2) ه ^ (- \ بيتا)))
   • ثم يمكن كتابة الحل العام كـ
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (displaystyle y (x) = x ^ (alpha) (c_ (1) cos (\ beta \ ln x) + c_ (2) \ sin (\ beta \ ln x)))

   جذور متعددة.للحصول على حل ثانٍ مستقل خطيًا ، من الضروري تقليل الترتيب مرة أخرى.

   • يتطلب الأمر قدرًا كبيرًا من الحساب ، لكن المبدأ هو نفسه: نحن نستبدل y = v (x) y 1 (\ displaystyle y = v (x) y_ (1))في معادلة يكون حلها الأول y 1 (displaystyle y_ (1)). بعد التخفيضات ، يتم الحصول على المعادلة التالية:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\ displaystyle v "" + (\ frac (1) (x)) v "= 0)
   • هذه معادلة خطية من الدرجة الأولى فيما يتعلق بـ ت ′ (س). (displaystyle v "(x).)الحل هو ت (س) = ج 1 + ص 2 ln ⁡ س. (displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) ln x.)وبالتالي ، يمكن كتابة الحل بالشكل التالي. من السهل جدًا تذكره - للحصول على الحل الثاني المستقل خطيًا ، ما عليك سوى استخدام مصطلح إضافي ln ⁡ x (displaystyle ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (displaystyle y (x) = x ^ (n) (c_ (1) + c_ (2) ln x))

4. المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة.المعادلات غير المتجانسة لها الشكل L [y (x)] = f (x)، (\ displaystyle L = f (x)،)أين و (س) (displaystyle f (x))- ما يسمى عضو مجاني. وفقًا لنظرية المعادلات التفاضلية ، فإن الحل العام لهذه المعادلة هو التراكب قرار خاص y * (x) (displaystyle y_ (p) (x))و حل إضافي ص ج (س). (displaystyle y_ (c) (x).)ومع ذلك ، في هذه الحالة ، لا يعني الحل المعين حلاً مقدمًا من خلال الشروط الأولية ، بل يعني الحل الذي يرجع إلى وجود عدم تجانس (عضو حر). الحل التكميلي هو حل المعادلة المتجانسة المقابلة التي و (س) = 0. (displaystyle f (x) = 0.)الحل العام هو تراكب هذين الحلين منذ ذلك الحين L [y p + y c] = L [y p] + L [y c] = f (x) (displaystyle L = L + L = f (x))و منذ ذلك الحين L [y c] = 0، (\ displaystyle L = 0،)مثل هذا التراكب هو في الواقع حل عام.

   د 2 y د x 2 + أ د y د س + ب y = و (س) (displaystyle (frac ((mathrm (d)) ^ (2) y) ((mathrm (d)) x ^ (2))) + a (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + by = f (x))
   

   طريقة المعاملات غير المحددة.يتم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة في الحالات التي يكون فيها المصطلح المجاني هو مزيج من الدوال الأسية أو المثلثية أو الزائدية أو القوة. فقط هذه الوظائف مضمونة للحصول على عدد محدود من المشتقات المستقلة خطيًا. في هذا القسم ، سنجد حلاً معينًا للمعادلة.

   • قارن المصطلحات في و (س) (displaystyle f (x))بشروط تجاهل العوامل الثابتة. ثلاث حالات ممكنة.
     • لا يوجد أعضاء متطابقون.في هذه الحالة ، حل معين y * (displaystyle y_ (p))سيكون مزيجًا خطيًا من المصطلحات من y * (displaystyle y_ (p))
     • و (س) (displaystyle f (x)) يحتوي على عضو س n (displaystyle x ^ (n)) وعضو من ذ ج، (displaystyle y_ (c)) أين n (displaystyle n) هو صفر أو عدد صحيح موجب ، وهذا المصطلح يتوافق مع جذر واحد للمعادلة المميزة.في هذه الحالة y * (displaystyle y_ (p))سوف تتكون من مجموعة من الوظيفة x n + 1 h (x)، (\ displaystyle x ^ (n + 1) h (x)،)مشتقاتها المستقلة خطيًا ، بالإضافة إلى المصطلحات الأخرى و (س) (displaystyle f (x))ومشتقاتها المستقلة خطيًا.
     • و (س) (displaystyle f (x)) يحتوي على عضو ح (س) ، (displaystyle h (x) ،) وهو عمل س n (displaystyle x ^ (n)) وعضو من ذ ج، (displaystyle y_ (c)) أين n (displaystyle n) يساوي 0 أو عددًا صحيحًا موجبًا ، وهذا المصطلح يتوافق مع عديدجذر المعادلة المميزة.في هذه الحالة y * (displaystyle y_ (p))هي مجموعة خطية من الوظيفة x n + s h (x) (displaystyle x ^ (n + s) h (x))(أين ث (displaystyle s)- تعدد الجذر) ومشتقاته المستقلة خطيًا ، وكذلك أعضاء الوظيفة الأخرى و (س) (displaystyle f (x))ومشتقاته المستقلة خطيًا.
   • دعنا نكتب y * (displaystyle y_ (p))كمزيج خطي من الشروط المذكورة أعلاه. بسبب هذه المعاملات في تركيبة خطية ، تسمى هذه الطريقة "طريقة المعاملات غير المحددة". عند ظهور تلك الواردة في ذ ج (displaystyle y_ (c))يمكن استبعاد أعضائها بسبب وجود ثوابت تعسفية في ذ ج. (displaystyle y_ (c).)بعد ذلك نستبدل y * (displaystyle y_ (p))في معادلة ومعادلة الشروط المتشابهة.
   • نحدد المعاملات. في هذه المرحلة ، يتم الحصول على نظام المعادلات الجبرية ، والتي يمكن حلها عادة دون أي مشاكل خاصة. يجعل حل هذا النظام من الممكن الحصول عليها y * (displaystyle y_ (p))وبالتالي حل المعادلة.
   • مثال 2.3.ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية غير متجانسة يحتوي مصطلحها الحر على عدد محدود من المشتقات المستقلة خطيًا. يمكن إيجاد حل معين لمثل هذه المعادلة بطريقة المعاملات غير المحددة.
     • د 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d)) ^ (2) y) ((\ mathrm (d)) t ^ (2) )) + 6y = 2e ^ (3t) - \ cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (displaystyle y_ (c) (t) = c_ (1) cos (sqrt (6)) t + c_ (2) sin (\ الجذر التربيعي (6)) ر)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (displaystyle y_ (p) (t) = Ae ^ (3t) + B cos 5t + C sin 5t)
     • 9 أ ه 3 ر - 25 ب cos ⁡ 5 ر - 25 ج جيب 5 ر + 6 أ ه 3 ر + 6 ب كوس ⁡ 5 ر + 6 ج ج 5 ر = 2 ه 3 ر - جتا 5 ر ( \ displaystyle (\ begin (align) 9Ae ^ (3t) -25B \ cos 5t & -25C \ sin 5t + 6Ae ^ (3t) \\ & + 6B \ cos 5t + 6C \ sin 5t = 2e ^ (3t) - \ cos 5t \ end (محاذاة)))
     • (9 A + 6 A = 2، A = 2 15-25 B + 6 B = - 1، B = 1 19-25 C + 6 C = 0، C = 0 (\ displaystyle (\ begin (cases) 9A + 6A = 2، & A = (\ dfrac (2) (15)) \\ - 25B + 6B = -1، & B = (\ dfrac (1) (19)) \\ - 25C + 6C = 0 ، & C = 0 \ النهاية (الحالات)))
     • y (t) = ص 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (displaystyle y (t) = c_ (1) cos (sqrt (6 )) t + c_ (2) \ sin (\ sqrt (6)) t + (\ frac (2) (15)) e ^ (3t) + (\ frac (1) (19)) \ cos 5t)

   طريقة لاغرانج.طريقة لاغرانج ، أو طريقة تغيير الثوابت التعسفية ، هي طريقة أكثر عمومية لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة ، خاصة في الحالات التي لا يحتوي فيها المصطلح الحر على عدد محدد من المشتقات المستقلة خطيًا. على سبيل المثال ، مع أعضاء أحرار تان ⁡ س (displaystyle tan x)أو س - n (displaystyle x ^ (- n))لإيجاد حل معين ، من الضروري استخدام طريقة لاغرانج. يمكن استخدام طريقة لاغرانج لحل المعادلات التفاضلية ذات المعاملات المتغيرة ، على الرغم من أنه في هذه الحالة ، باستثناء معادلة كوشي أويلر ، يتم استخدامه بشكل أقل ، نظرًا لأن الحل الإضافي لا يتم التعبير عنه عادةً من حيث الوظائف الأولية.

   • لنفترض أن الحل بالشكل التالي. مشتقها معطى في السطر الثاني.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (displaystyle y (x) = v_ (1) (x) y_ (1) (x) + v_ (2) (x) y_ (2) (x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (displaystyle y "= v_ (1)" y_ (1) + v_ (1) y_ (1) "+ v_ (2)" y_ (2) + v_ (2) y_ (2) ")
   • منذ الحل المقترح يحتوي على اثنينكميات غير معروفة ، لا بد من فرضها إضافيحالة. نختار هذا الشرط الإضافي بالشكل التالي:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (displaystyle v_ (1) "y_ (1) + v_ (2)" y_ (2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (displaystyle y "= v_ (1) y_ (1)" + v_ (2) y_ (2) ")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (displaystyle y "" = v_ (1) "y_ (1)" + v_ (1) y_ (1) "" + v_ (2) "y_ (2)" + v_ (2) y_ (2) "")
   • الآن يمكننا الحصول على المعادلة الثانية. بعد استبدال الأعضاء وإعادة توزيعهم ، يمكنك تجميع الأعضاء معًا ك 1 (displaystyle v_ (1))وأعضاء من ك 2 (displaystyle v_ (2)). تم إلغاء هذه الشروط بسبب y 1 (displaystyle y_ (1))و y 2 (displaystyle y_ (2))هي حلول المعادلة المتجانسة المقابلة. نتيجة لذلك ، نحصل على نظام المعادلات التالي
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ displaystyle (\ begin (align) v_ (1) "y_ (1) + v_ (2) "y_ (2) & = 0 \\ v_ (1)" y_ (1) "+ v_ (2)" y_ (2) "& = f (x) \\\ end (محاذاة)))
   • يمكن تحويل هذا النظام إلى معادلة مصفوفة بالشكل أ س = ب، (displaystyle A (mathbf (x)) = (mathbf (b)) ،)من هو الحل س = أ - 1 ب. (displaystyle (mathbf (x)) = A ^ (- 1) (mathbf (b)).)للمصفوفة 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)يمكن إيجاد المصفوفة العكسية عن طريق القسمة على المحدد ، وتبديل العناصر القطرية ، وعكس علامة العناصر خارج القطر. في الواقع ، محدد هذه المصفوفة هو Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (displaystyle (begin (pmatrix) v_ (1) "\\ v_ ( 2) "\ end (pmatrix)) = (\ frac (1) (W)) (\ begin (pmatrix) y_ (2)" & - y_ (2) \\ - y_ (1) "& y_ (1) \ النهاية (pmatrix)) (\ begin (pmatrix) 0 \\ f (x) \ end (pmatrix)))
   • تعبيرات عن ك 1 (displaystyle v_ (1))و ك 2 (displaystyle v_ (2))هي واردة ادناه. كما هو الحال في طريقة تخفيض الترتيب ، في هذه الحالة يظهر ثابت تعسفي أثناء التكامل ، والذي يتضمن حلًا إضافيًا في الحل العام للمعادلة التفاضلية.
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\ displaystyle v_ (1) (x) = - int (frac (1) (W)) f (x) y_ ( 2) (x) (\ mathrm (d)) x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\ displaystyle v_ (2) (x) = int (frac (1) (W)) f (x) y_ (1) (x) (\ mathrm (d)) x)
   
   محاضرة حدس الجامعة الوطنية المفتوحة بعنوان "المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة n ذات المعاملات الثابتة".

الاستخدام العملي

المعادلات التفاضلية تؤسس علاقة بين دالة وواحدة أو أكثر من مشتقاتها. نظرًا لأن مثل هذه العلاقات شائعة جدًا ، فقد وجدت المعادلات التفاضلية تطبيقًا واسعًا في مجموعة متنوعة من المجالات ، وبما أننا نعيش في أربعة أبعاد ، فإن هذه المعادلات غالبًا ما تكون معادلات تفاضلية في خاصالمشتقات. يناقش هذا القسم بعض أهم المعادلات من هذا النوع.

• النمو الأسي والاضمحلال.الاضمحلال الإشعاعي. الفائدة المركبة. معدل التفاعلات الكيميائية. تركيز الأدوية في الدم. نمو سكاني غير محدود. قانون نيوتن ريتشمان. في العالم الحقيقي ، هناك العديد من الأنظمة التي يتناسب فيها معدل النمو أو الاضمحلال في أي وقت مع المبلغ في ذلك الوقت ، أو يمكن تقريبه جيدًا بواسطة نموذج. هذا لأن حل هذه المعادلة التفاضلية ، الوظيفة الأسية ، هو أحد أهم الوظائف في الرياضيات والعلوم الأخرى. بشكل عام ، في ظل النمو السكاني الخاضع للرقابة ، قد يتضمن النظام شروطًا إضافية تحد من النمو. في المعادلة أدناه ، الثابت ك (displaystyle k)يمكن أن تكون إما أكبر أو أقل من الصفر.
  • د y د س = ك س (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = kx)
• الاهتزازات التوافقية.في كل من الميكانيكا الكلاسيكية والكمية ، يعد المذبذب التوافقي أحد أهم الأنظمة الفيزيائية نظرًا لبساطته وتطبيقه الواسع لتقريب الأنظمة الأكثر تعقيدًا مثل البندول البسيط. في الميكانيكا الكلاسيكية ، يتم وصف التذبذبات التوافقية بمعادلة تربط موضع نقطة ما بتسارعها من خلال قانون هوك. في هذه الحالة ، يمكن أيضًا مراعاة قوى التخميد والقوى الدافعة. في التعبير أدناه س ˙ (displaystyle (dot (x)))- مشتق الوقت من س ، (displaystyle x ،) β (displaystyle beta)هي معلمة تصف قوة التخميد ، ω 0 (displaystyle omega _ (0))- التردد الزاوي للنظام ، و (t) (displaystyle F (t))هي قوة دافعة تعتمد على الوقت. يوجد المذبذب التوافقي أيضًا في الدوائر التذبذبية الكهرومغناطيسية ، حيث يمكن تنفيذه بدقة أكبر من الأنظمة الميكانيكية.
  • س ¨ + 2 β س ˙ + ω 0 2 x = F (t) (displaystyle (ddot (x)) + 2 beta (dot (x)) + omega _ (0) ^ (2) x = F (ر))
• معادلة بيسل.تُستخدم معادلة بيسيل التفاضلية في العديد من مجالات الفيزياء ، بما في ذلك حل معادلة الموجة ، ومعادلة لابلاس ، ومعادلة شرودنغر ، خاصة في وجود تناظر أسطواني أو كروي. هذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة ليست معادلة كوشي أويلر ، لذلك لا يمكن كتابة حلولها كوظائف أولية. حلول معادلة بيسل هي دوال بيسيل ، والتي تمت دراستها جيدًا نظرًا لاستخدامها في العديد من المجالات. في التعبير أدناه α (displaystyle alpha)هو ثابت يطابق طلبوظائف بيسل.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (displaystyle x ^ (2) (frac ((mathrm (d)) ^ (2) y) ((mathrm (d )) x ^ (2))) + x (\ frac ((\ mathrm (d)) y) ((\ mathrm (d)) x)) + (x ^ (2) - \ alpha ^ (2)) ص = 0)
• معادلات ماكسويل.جنبا إلى جنب مع قوة لورنتز ، تشكل معادلات ماكسويل أساس الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية. هذه أربع معادلات تفاضلية جزئية للكهرباء E (r، t) (\ displaystyle (\ mathbf (E)) ((\ mathbf (r))، t))ومغناطيسية ب (r، t) (displaystyle (mathbf (B)) ((mathbf (r)) ، t))مجالات. في التعبيرات أدناه ρ = ρ (r، t) (displaystyle rho = rho ((mathbf (r))، t))- كثافة الشحنة، J = J (r، t) (\ displaystyle (\ mathbf (J)) = (\ mathbf (J)) ((\ mathbf (r))، t))هي الكثافة الحالية و ϵ 0 (displaystyle epsilon _ (0))و μ 0 (displaystyle mu _ (0))هي الثوابت الكهربائية والمغناطيسية على التوالي.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = - ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (displaystyle (begin (align) nabla cdot (\ mathbf (E)) & = (\ frac (\ rho) (\ epsilon _ (0))) \\\ nabla \ cdot (\ mathbf (B)) & = 0 \\\ nabla \ times (\ mathbf (E)) & = - (\ frac (\ جزئي (\ mathbf (B))) (\ جزئي t)) \ nabla \ times (\ mathbf (B)) & = \ mu _ (0) (\ mathbf (J)) + \ mu _ (0) \ epsilon _ (0) (\ frac (\ جزئي (\ mathbf (E))) (\ جزئي t)) \ نهاية (محاذاة)))
• معادلة شرودنجر.في ميكانيكا الكم ، معادلة شرودنجر هي المعادلة الأساسية للحركة التي تصف حركة الجسيمات وفقًا للتغير في دالة الموجة Ψ = Ψ (r، t) (\ displaystyle \ Psi = \ Psi ((\ mathbf (r))، t))مع الوقت. يتم وصف معادلة الحركة من خلال السلوك هاميلتوني H ^ (displaystyle (hat (H))) - المشغل أو العامل، الذي يصف طاقة النظام. واحدة من الأمثلة المعروفة لمعادلة شرودنغر في الفيزياء هي معادلة جسيم واحد غير نسبي ، والذي يخضع للإمكانات. ك (r، t) (displaystyle V ((mathbf (r)) ، t)). يتم وصف العديد من الأنظمة بواسطة معادلة شرودنغر المعتمدة على الوقت ، مع وجود المعادلة على الجانب الأيسر E Ψ، (\ displaystyle E \ Psi،)أين E (displaystyle E)هي طاقة الجسيم. في التعبيرات أدناه ℏ (displaystyle hbar)هو انخفاض ثابت بلانك.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (displaystyle i hbar (frac (جزئي Psi) (جزئي t)) = (hat (H)) Psi)
  • أنا ℏ ∂ Ψ ∂ t = (- 2 2 م ∇ 2 + V (r، t)) Ψ (displaystyle i hbar (frac (جزئي Psi) (جزئي t)) = يسار (- (\ frac (\ hbar ^ (2)) (2m)) \ nabla ^ (2) + V ((\ mathbf (r))، t) \ right) \ Psi)
• معادلة الموجة.من المستحيل تخيل الفيزياء والتكنولوجيا بدون موجات ، فهي موجودة في جميع أنواع الأنظمة. بشكل عام ، يتم وصف الموجات بالمعادلة أدناه ، والتي فيها u = u (r، t) (\ displaystyle u = u ((\ mathbf (r))، t))هي الوظيفة المطلوبة ، و ج (displaystyle c)- ثابت محدد تجريبيا. كان دالمبرت أول من اكتشف أن حل معادلة الموجة بالنسبة للحالة أحادية البعد هو أيتعمل مع الحجة س - ج. (displaystyle x-ct)، الذي يصف موجة عشوائية تنتشر إلى اليمين. الحل العام للحالة أحادية البعد هو مزيج خطي من هذه الوظيفة مع دالة ثانية مع وسيطة س + ج t (displaystyle x + ct)، الذي يصف موجة تنتشر إلى اليسار. يتم تقديم هذا الحل في السطر الثاني.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = ص 2 ∇ 2 u (displaystyle (frac (جزئي ^ (2) u) (جزئي t ^ (2))) = c ^ (2) nabla ^ (2) u )
  • u (x، t) = f (x - c t) + g (x + c t) (displaystyle u (x، t) = f (x-ct) + g (x + ct))
• معادلات نافيير ستوكس.تصف معادلات نافييه-ستوكس حركة السوائل. نظرًا لوجود السوائل في كل مجال من مجالات العلوم والتكنولوجيا تقريبًا ، فإن هذه المعادلات مهمة للغاية للتنبؤ بالطقس وتصميم الطائرات وتيارات المحيط والعديد من التطبيقات الأخرى. معادلات نافييه-ستوكس هي معادلات تفاضلية جزئية غير خطية ، وفي معظم الحالات يكون من الصعب جدًا حلها ، لأن اللاخطية تؤدي إلى الاضطراب ، ومن أجل الحصول على حل مستقر بالطرق العددية ، والتقسيم إلى صغير جدًا الخلايا ضرورية ، الأمر الذي يتطلب قوة حاسوبية كبيرة. لأغراض عملية في الديناميكا المائية ، تُستخدم طرق مثل حساب متوسط ​​الوقت لنمذجة التدفقات المضطربة. حتى الأسئلة الأساسية ، مثل وجود وتفرد الحلول للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ، هي مشاكل معقدة ، وإثبات وجود وتفرد الحلول لمعادلات نافيير ستوكس في ثلاثة أبعاد هو من بين المشاكل الرياضية في الألفية. . فيما يلي معادلة تدفق السوائل غير القابلة للضغط ومعادلة الاستمرارية.
  • ∂ ش ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ ح، ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (displaystyle (frac (جزئي (mathbf (u)) ) (\ جزئية t)) + ((\ mathbf (u)) \ cdot \ nabla) (\ mathbf (u)) - \ nu \ nabla ^ (2) (\ mathbf (u)) = - \ nabla h، \ رباعي (\ frac (\ جزئي \ rho) (\ جزئي t)) + \ nabla \ cdot (\ rho (\ mathbf (u))) = 0)

• العديد من المعادلات التفاضلية ببساطة لا يمكن حلها بالطرق المذكورة أعلاه ، خاصة تلك المذكورة في القسم الأخير. ينطبق هذا عندما تحتوي المعادلة على معاملات متغيرة وليست معادلة كوشي أويلر ، أو عندما تكون المعادلة غير خطية ، إلا في حالات قليلة نادرة جدًا. ومع ذلك ، تتيح لك الطرق المذكورة أعلاه حل العديد من المعادلات التفاضلية المهمة التي غالبًا ما يتم مواجهتها في مختلف مجالات العلوم.
• على عكس التفاضل ، الذي يسمح لك بإيجاد مشتق من أي دالة ، لا يمكن التعبير عن تكامل العديد من التعبيرات في الدوال الأولية. لذلك ، لا تضيع الوقت في محاولة حساب التكامل حيث يكون ذلك مستحيلًا. انظر إلى جدول التكاملات. إذا كان حل المعادلة التفاضلية لا يمكن التعبير عنه من حيث الوظائف الأولية ، فيمكن أحيانًا تمثيله في شكل متكامل ، وفي هذه الحالة لا يهم ما إذا كان يمكن حساب هذا التكامل بشكل تحليلي.

تحذيرات

• مظهريمكن أن تكون المعادلة التفاضلية مضللة. على سبيل المثال ، فيما يلي معادلتان تفاضليتان من الدرجة الأولى. يتم حل المعادلة الأولى بسهولة باستخدام الطرق الموضحة في هذه المقالة. للوهلة الأولى ، تغيير طفيف ذ (displaystyle y)على y 2 (displaystyle y ^ (2))في المعادلة الثانية يجعلها غير خطية ويصعب حلها.
  • د y د س = س 2 + y (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = x ^ (2) + y)
  • د y د س = س 2 + y 2 (displaystyle (frac ((mathrm (d)) y) ((mathrm (d)) x)) = x ^ (2) + y ^ (2))

6.1 المفاهيم الأساسية والتعاريف

عند حل المشكلات المختلفة للرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والطب ، غالبًا ما لا يكون من الممكن إنشاء اعتماد وظيفي على الفور في شكل صيغة تربط المتغيرات التي تصف العملية قيد الدراسة. عادة ، يتعين على المرء استخدام المعادلات التي تحتوي ، بالإضافة إلى المتغير المستقل والدالة غير المعروفة ، على مشتقاتها أيضًا.

تعريف.تسمى المعادلة المتعلقة بمتغير مستقل ، ووظيفة غير معروفة ، ومشتقاتها من أوامر مختلفة التفاضلي.

عادة ما يتم الإشارة إلى الوظيفة غير المعروفة ص (س)أو ببساطة ذومشتقاته ذ ", ذ "إلخ.

الرموز الأخرى ممكنة أيضًا ، على سبيل المثال: if ذ= x (t) ، إذن x "(t) ، x" "(t)هي مشتقاتها ، و رهو متغير مستقل.

تعريف.إذا كانت الوظيفة تعتمد على متغير واحد ، فإن المعادلة التفاضلية تسمى عادية. الشكل العام المعادلة التفاضلية العادية:

أو

المهام Fو Fقد لا تحتوي على بعض الحجج ، ولكن لكي تكون المعادلات تفاضلية ، فإن وجود المشتق ضروري.

تعريف.ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب المشتق الأعلى المتضمن فيه.

على سبيل المثال، × 2 ص "- ذ= 0 ، y "+ الخطيئة x= 0 هي معادلات من الدرجة الأولى ، و ذ "+ 2 ذ "+ 5 ذ= xهي معادلة من الدرجة الثانية.

عند حل المعادلات التفاضلية ، يتم استخدام عملية التكامل ، والتي ترتبط بظهور ثابت اعتباطي. إذا تم تطبيق إجراء التكامل نمرات ، إذن ، من الواضح أن الحل سيحتوي نثوابت اعتباطية.

6.2 معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى

الشكل العام معادلة تفاضلية من الدرجة الأولىيتم تعريفه من خلال التعبير

قد لا تحتوي المعادلة صراحة xو ذولكنه يحتوي بالضرورة على y ".

إذا كان من الممكن كتابة المعادلة كـ

ثم نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتق.

تعريف.الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى (6.3) (أو (6.4)) هو مجموعة الحلول ، أين معثابت اعتباطي.

يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية منحنى متكامل.

إعطاء ثابت اعتباطي معقيم مختلفة ، فمن الممكن الحصول على حلول معينة. على السطح xOyالحل العام عبارة عن مجموعة من المنحنيات المتكاملة المقابلة لكل حل معين.

إذا قمت بتعيين نقطة أ (س 0 ، ص 0) ،والتي من خلالها يجب أن يمر المنحنى المتكامل ، كقاعدة عامة ، من مجموعة الوظائف يمكن تمييزها - حل معين.

تعريف.قرار خاصالمعادلة التفاضلية هو حلها الذي لا يحتوي على ثوابت عشوائية.

لو هو حل عام ، ثم من الشرط

يمكنك العثور على ملف مع.الشرط يسمى الشرط الأولي.

مشكلة إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية (6.3) أو (6.4) يحقق الشرط الأولي في مُسَمًّى مشكلة كوشي.هل هذه المشكلة دائما لها حل؟ الجواب موجود في النظرية التالية.

نظرية كوشي(نظرية الوجود وتفرد الحل). دعونا في المعادلة التفاضلية ذ "= و (س ، ص)وظيفة و (س ، ص)وهي

اشتقاق جزئي محددة ومستمرة في بعض

المناطق د،تحتوي على نقطة ثم في المنطقة دموجود

الحل الوحيد للمعادلة التي تحقق الشرط الأولي في

تنص نظرية كوشي على أنه في ظل ظروف معينة يوجد منحنى متكامل فريد ذ= و (خ) ،يمر عبر نقطة النقاط التي لا يتم فيها استيفاء شروط النظرية

تسمى القطط خاص.فواصل عند هذه النقاط F(س ، ص) أو.

إما أن تمر عدة منحنيات متكاملة عبر نقطة مفردة ، أو لا شيء.

تعريف.إذا كان الحل (6.3) ، (6.4) موجودًا في النموذج F(س ، ص ، ج)= 0 غير مسموح به فيما يتعلق بـ y ، ثم يتم استدعاؤه التكامل المشتركالمعادلة التفاضلية.

تضمن نظرية كوشي فقط وجود حل. نظرًا لعدم وجود طريقة واحدة لإيجاد حل ، سننظر فقط في بعض أنواع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى القابلة للتكامل في مربعات.

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية تكامل في التربيعات ،إذا تم تقليل البحث عن حلها إلى تكامل الوظائف.

6.2.1. معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات منفصلة

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى معادلة بـ المتغيرات القابلة للفصل ،

الجانب الأيمن من المعادلة (6.5) هو نتاج وظيفتين ، كل منهما تعتمد على متغير واحد فقط.

على سبيل المثال ، المعادلة هي معادلة مع فصل

تمرير المتغيرات
والمعادلة

لا يمكن تمثيلها في النموذج (6.5).

بشرط ، نعيد كتابة (6.5) كـ

من هذه المعادلة نحصل على معادلة تفاضلية بمتغيرات منفصلة ، حيث تحتوي الفروق على وظائف تعتمد فقط على المتغير المقابل:

دمج مصطلح تلو الآخر ، لدينا

حيث C = C 2 - C 1 ثابت اعتباطي. التعبير (6.6) هو التكامل العام للمعادلة (6.5).

بقسمة كلا الجزأين من المعادلة (6.5) على ، يمكننا أن نفقد تلك الحلول التي ، في الواقع ، إذا في

الذي - التي من الواضح أن حل المعادلة (6.5).

مثال 1أوجد حلاً للمعادلة مرضيًا

حالة: ذ= 6 في x= 2 (ذ(2) = 6).

حل.دعنا نستبدل في"لذلك . اضرب كلا الطرفين في

dx ،لأنه في مزيد من التكامل من المستحيل المغادرة dxفي المقام:

ثم قسمة كلا الجزأين على نحصل على المعادلة

التي يمكن دمجها. ندمج:

ثم ؛ بالتعزيز ، نحصل على y = C. (x + 1) - ob-

حل.

بناءً على البيانات الأولية ، نحدد ثابتًا تعسفيًا عن طريق استبدالها في الحل العام

أخيرا نحصل ذ= 2 (x + 1) حل خاص. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة الأخرى لحل المعادلات باستخدام متغيرات قابلة للفصل.

مثال 2ابحث عن حل للمعادلة

حل.بشرط ، نحن نحصل .

بدمج كلا الجزأين من المعادلة ، لدينا

أين

مثال 3ابحث عن حل للمعادلة حل.نقسم كلا الجزأين من المعادلة على تلك العوامل التي تعتمد على متغير لا يتطابق مع المتغير تحت العلامة التفاضلية ، أي بواسطة ودمج. ثم نحصل

وأخيرا

مثال 4ابحث عن حل للمعادلة

حل.معرفة ما سنحصل عليه. قسم-

متغيرات ليم. ثم

التكامل ، نحصل عليه

تعليق.في الأمثلة 1 و 2 ، الوظيفة المطلوبة ذصراحة (حل عام). في الأمثلة 3 و 4 - ضمنيًا (تكامل عام). في المستقبل ، لن يتم تحديد شكل القرار.

مثال 5ابحث عن حل للمعادلة حل.

مثال 6ابحث عن حل للمعادلة مرضيه

حالة ص (هـ)= 1.

حل.نكتب المعادلة في الصورة

ضرب طرفي المعادلة في dxوهكذا نحصل

تكامل طرفي المعادلة (يتم أخذ التكامل على الجانب الأيمن بالأجزاء) ، نحصل عليها

لكن بشرط ذ= 1 في x= ه. ثم

استبدل القيم التي تم العثور عليها معفي حل عام:

يسمى التعبير الناتج حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية.

6.2.2. المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى

تعريف.يتم استدعاء المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى متجانسإذا كان يمكن تمثيله على أنه

نقدم خوارزمية لحل معادلة متجانسة.

1. بدلا من ذلك ذإدخال وظيفة جديدة ثم وبالتالي

2. من حيث الوظيفة شتأخذ المعادلة (6.7) الشكل

أي أن الاستبدال يقلل من المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

3. لحل المعادلة (6.8) ، نجد أولاً u ، ثم بعد ذلك ذ= ux.

مثال 1حل المعادلة حل.نكتب المعادلة في الصورة

نجعل الاستبدال:
ثم

دعنا نستبدل

اضرب ب dx: اقسم على xو على ثم

دمج كلا الجزأين من المعادلة فيما يتعلق بالمتغيرات المقابلة ، لدينا

أو بالعودة إلى المتغيرات القديمة ، نحصل عليها أخيرًا

مثال 2حل المعادلة حل.يترك ثم

اقسم طرفي المعادلة على x2: لنفتح الأقواس ونعيد ترتيب المصطلحات:

بالانتقال إلى المتغيرات القديمة ، نصل إلى النتيجة النهائية:

مثال 3ابحث عن حل للمعادلة بشرط

حل.إجراء بديل قياسي نحن نحصل

أو

أو

إذن الحل المعين له الشكل مثال 4ابحث عن حل للمعادلة

حل.

مثال 5ابحث عن حل للمعادلة حل.

عمل مستقل

ابحث عن حل للمعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة (1-9).

إيجاد حل للمعادلات التفاضلية المتجانسة (9-18).

6.2.3. بعض تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

مشكلة الاضمحلال الإشعاعي

يتناسب معدل اضمحلال Ra (الراديوم) في كل لحظة من الوقت مع كتلته المتاحة. ابحث عن قانون الاضمحلال الإشعاعي لرع إذا كان معروفًا أنه في اللحظة الأولى كان هناك رع ونصف عمر رع هو 1590 عامًا.

حل.دعونا في هذه اللحظة تكون الكتلة رع x= س (ر)ز و ثم معدل اضمحلال رع هو

حسب المهمة

أين ك

نحصل على فصل المتغيرات في المعادلة الأخيرة والتكامل

أين

لتحديد جنستخدم الشرط الأولي: .

ثم وبالتالي ،

عامل التناسب كتحدد من الشرط الإضافي:

لدينا

من هنا والصيغة المطلوبة

مشكلة معدل تكاثر البكتيريا

معدل تكاثر البكتيريا يتناسب مع عددها. في اللحظة الأولى كان هناك 100 بكتيريا. في غضون 3 ساعات تضاعف عددهم. ابحث عن اعتماد عدد البكتيريا في الوقت المناسب. كم مرة سيزداد عدد البكتيريا في غضون 9 ساعات؟

حل.يترك x- عدد البكتيريا في الوقت الحالي ر.ثم حسب الشرط

أين ك- معامل التناسب.

من هنا ومن المعروف من الشرط أن . وسائل،

من الشرط الإضافي . ثم

الوظيفة المطلوبة:

لذلك ، في ر= 9 x= 800 أي خلال 9 ساعات زاد عدد البكتيريا 8 مرات.

مهمة زيادة كمية الانزيم

في استزراع خميرة البيرة ، يتناسب معدل نمو الإنزيم النشط مع الكمية الأولية. x.الكمية الأولية للإنزيم أتضاعف في غضون ساعة. ابحث عن التبعية

س (ر).

حل.حسب الشرط ، فإن المعادلة التفاضلية للعملية لها الشكل

من هنا

لكن . وسائل، ج= أوثم

ومن المعروف أيضا أن

لذلك،

6.3 معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية

6.3.1. مفاهيم أساسية

تعريف.معادلة تفاضلية من الدرجة الثانيةتسمى العلاقة التي تربط المتغير المستقل والوظيفة المرغوبة ومشتقاتها الأولى والثانية.

في حالات خاصة ، قد تكون x غائبة في المعادلة ، فيأو y ". ومع ذلك ، يجب أن تحتوي معادلة الدرجة الثانية بالضرورة على y". في الحالة العامة ، تتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي:

أو ، إن أمكن ، بالشكل المسموح به للمشتق الثاني:

كما في حالة معادلة الدرجة الأولى ، يمكن أن يكون لمعادلة الدرجة الثانية حل عام وحل خاص. يبدو الحل العام كما يلي:

إيجاد حل خاص

في ظل الظروف الأولية - معطى

رقم) مشكلة كوشي.هندسيًا ، هذا يعني أنه مطلوب إيجاد منحنى متكامل في= ص (س) ،يمر عبر نقطة معينة وله ظل عند هذه النقطة ، وهو حوالي

شوكات مع اتجاه المحور الموجب ثورزاوية معينة. ه. (الشكل 6.1). مشكلة كوشي لها حل فريد إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة (6.10) ، غير جاهز

متقطع وله مشتقات جزئية مستمرة فيما يتعلق بـ أنت ، أنت "في بعض الأحياء من نقطة البداية

لإيجاد ثابت المدرجة في حل معين ، فمن الضروري السماح للنظام

أرز. 6.1منحنى متكامل