(التفسير الإحصائي لموجات دي بروي (انظر الفقرة 216) وعلاقة الارتياب في هايزنبرغ (انظر الفقرة 215) أدت إلى استنتاج مفاده أن معادلة الحركة في ميكانيكا الكم ، التي تصف حركة الجسيمات الدقيقة في مجالات القوة المختلفة ، يجب أن تكون معادلة من التي ستتبع منها الملاحظات تجريبياً الخصائص الموجية للجسيمات. يجب أن تكون المعادلة الرئيسية معادلة للدالة الموجية X,ذ ، ض ، ر) ،| Y لأنه يمثل ، أو بشكل أكثر دقة ، قيمة | 2 ، يحدد احتمال بقاء الجسيم في لحظة من الزمن رفي مجلد الخامس،أي في المنطقة ذات الإحداثيات Xو x + dx ، yو y + dy، zو ض + دزنظرًا لأن المعادلة المرغوبة يجب أن تأخذ في الاعتبار الخصائص الموجية للجسيمات ، فيجب أن تكون كذلك معادلة الموجة، على غرار المعادلة التي تصف الموجات الكهرومغناطيسية.

المعادلة الأساسية ميكانيكا الكم غير النسبيةصاغه E. Schrödinger في عام 1926. معادلة شرودنجر ، مثل جميع المعادلات الأساسية للفيزياء (على سبيل المثال ، معادلات نيوتن في الميكانيكا الكلاسيكية ومعادلات ماكسويل للمجال الكهرومغناطيسي) ، ليست مشتقة ، ولكنها مفترضة. يتم تأكيد صحة هذه المعادلة من خلال الاتفاق مع تجربة النتائج التي تم الحصول عليها بمساعدتها ، والتي بدورها تمنحها طابع قانون الطبيعة. معادلة شرودنغر لها الشكل

أين ћ =ح) ، ص / (2 T-- عامل لابلاس D هو كتلة الجسيم ، أنا- وحدة تخيلية ، يو (س ، ص ، ض ، ر) - Y هي الوظيفة المحتملة للجسيم في مجال القوة الذي يتحرك فيه ، (س ، ص ، ض ، ر)هي دالة الموجة المطلوبة للجسيم.

المعادلة (217.1) صالحة لأي جسيم (مع دوران يساوي 0 ؛ انظر الفقرة 225) يتحرك بسرعة صغيرة (مقارنة بسرعة الضوء) ، أي بسرعة الخامس<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

للوصول إلى معادلة شرودنغر ، دعونا نفكر في الجسيم الذي يتحرك بحرية ، والذي يرتبط ، وفقًا لفكرة دي برولي ، بموجة مستوية. من أجل التبسيط ، نعتبر الحالة أحادية البعد. معادلة موجة مستوية تنتشر على طول محور X ،لديه النموذج (انظر الفقرة 154) , أو في تدوين معقد . لذلك ، فإن موجة الطائرة دي برولي لها الشكل

(مع الأخذ بعين الاعتبار أن ث = E / ћ ، ك = ع / ћ| ص). في ميكانيكا الكم ، يُؤخذ الأس بعلامة ناقص ، ولكن منذ ذلك الحين فقط | 2 ، ثم هذا (انظر (217.2)) غير ضروري. ثم

استخدام العلاقة بين الطاقة هوالزخم ع (E = ص 2 /( 2م))واستبدال التعبيرات (217.3) ، نحصل على المعادلة التفاضلية

والتي تتزامن مع المعادلة (217.1) للقضية يو = 0 (اعتبرنا جسيمًا حرًا). إذا تحرك الجسيم في مجال قوة يتميز بالطاقة الكامنة أنتثم إجمالي الطاقة هيتكون من الطاقات الحركية والمحتملة. عن طريق التفكير المماثل واستخدام العلاقة بين هو ر(لهذه الحالة ص 2 /(2م)=الاتحاد الأوروبي) ، ننتقل إلى معادلة تفاضلية تتزامن مع (217.1).

لا ينبغي اعتبار المنطق أعلاه اشتقاقًا لمعادلة شرودنغر. يشرحون فقط كيف يمكن الوصول إلى هذه المعادلة. إن الدليل على صحة معادلة شرودنغر هو الاتفاق مع الخبرة للاستنتاجات التي تؤدي إليها.

المعادلة (217.1) هي معادلة شرودنغر العامة. هو مدعو أيضا معادلة شرودنغر المعتمدة على الوقتبعبارة أخرى ، ابحث في الوقت المناسب عن معادلة شرودنغر لـ Y. بالنسبة للعديد من الظواهر الفيزيائية التي تحدث في العالم الصغير ، يمكن تبسيط المعادلة (217.1) من خلال القضاء على التبعية حالات ثابتة - حالات ذات قيم طاقة ثابتة.هذا ممكن إذا كان مجال القوة الذي يتحرك فيه الجسيم ثابتًا ، أي الوظيفة U = U (س ، ص ، ض)لا تعتمد صراحة على الوقت ولها معنى الطاقة الكامنة. في هذه الحالة ، يمكن تمثيل حل معادلة شرودنغر كمنتج لوظيفتين ، إحداهما دالة للإحداثيات فقط ، والأخرى هي دالة للوقت فقط ، ويعبر العامل عن الاعتماد على الوقت ، لهذا السبب.

أين هـ -الطاقة الكلية للجسيم ، والتي تكون ثابتة في حالة وجود حقل ثابت. استبدال (217.4) في (217.1) نحصل عليها

من هنا ، بعد القسمة على عامل مشترك والتحولات المقابلة ، نصل إلى المعادلة التي تحدد الوظيفة ص:

المعادلة (217.5) تسمى معادلة شرودنجر للحالات الثابتة. تتضمن هذه المعادلة إجمالي الطاقة كمعامل هحبيبات. في نظرية المعادلات التفاضلية ، ثبت أن مثل هذه المعادلات لها عدد لا حصر له من الحلول ، والتي يتم من خلالها اختيار الحلول التي لها معنى فيزيائي من خلال فرض شروط حدودية. بالنسبة لمعادلة شرودنغر ، فإن هذه الشروط هي شروط انتظام وظائف الموجة: يجب أن تكون وظائف الموجة محدودة ، وذات قيمة واحدة ، ومستمرة مع مشتقاتها الأولى. وبالتالي ، فإن الحلول التي يتم التعبير عنها بوظائف منتظمة فقط لها معنى مادي حقيقي ذ. لكن الحلول المنتظمة لا تحدث لأي قيم للمعامل ه ،ولكن فقط لمجموعة معينة منهم ، سمة مهمة معينة. تسمى قيم الطاقة هذه ملك.الحلول المطابقة ملكتسمى قيم الطاقة الوظائف الخاصة.القيم الذاتية هيمكن أن تشكل كلاً من السلاسل المستمرة والمنفصلة. في الحالة الأولى ، يتحدث المرء عن مستمر، أو مستمر,نطاق، في الثانية - حول الطيف المنفصل.

نموذج للذرة بواسطة طومسون وراذرفورد.

نشأت فكرة الذرات باعتبارها أصغر جسيمات المادة غير القابلة للتجزئة في العصور القديمة (ديموقريطس ، أبيقور ، لوكريتيوس). أثبتت حقيقة وجود الذرات. ومع ذلك ، فإن مسألة البنية الداخلية للذرات لم تنشأ حتى ، لأن الذرات كانت تعتبر غير قابلة للتجزئة. لعب مندلييف دورًا مهمًا في تطوير النموذج الذري ، الذي طور الجدول الدوري للعناصر في عام 1869 ، والذي أثير فيه لأول مرة على أساس علمي مسألة الطبيعة الموحدة للذرات. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ، ثبت تجريبيًا أن edectoron هو أحد المكونات الرئيسية لأي مادة. أدت هذه الاستنتاجات ، بالإضافة إلى البيانات التجريبية ، إلى حقيقة أنه في بداية القرن العشرين أثيرت مسألة بنية الذرة بجدية. تعود المحاولة الأولى لإنشاء نموذج للذرة على أساس البيانات التجريبية المتراكمة إلى تومسان. وفقًا لهذا النموذج ، فإن الذرة عبارة عن كرة مشحونة باستمرار بشحنة موجبة يبلغ نصف قطرها مترًا تتأرجح داخلها الإلكترونات حول مواضع توازنها ؛ والشحنة الكلية للإلكترونات تساوي الشحنة الموجبة للكرة ، وبالتالي فإن الذرة محايدة. بعد بضع سنوات ، ثبت أن فكرة توزيع الشحنة الموجبة باستمرار داخل الذرة هي فكرة خاطئة.

في تطوير الأفكار حول بنية الذرة ، كانت تجارب الفيزيائي الإنجليزي رذرفورد حول تشتت جسيمات ألفا في المادة ذات أهمية كبيرة. تنشأ جسيمات ألفا أثناء التحولات الإشعاعية ، وهي جسيمات موجبة الشحنة بشحنة 2e وكتلة تقارب 7300 ضعف كتلة الإلكترون. حزم جسيمات ألفا أحادية اللون للغاية. بناءً على بحثه ، اقترح رذرفورد في عام 1911 نموذجًا نوويًا (كوكبيًا) للذرة. وفقًا لهذا النموذج ، حول الشحنة الموجبة ، الشحنة المتاحة Ze (Z هو الرقم الترتيبي للعنصر في نظام Mendeleev e هو حجم الشحنة الأولية - والكتلة مساوية تقريبًا لكتلة الذرة ، في منطقة مع أبعاد خطية من m ، تتحرك الإلكترونات في مدارات مغلقة ، وتشكل غلاف الإلكترون للذرة نظرًا لأن الذرات محايدة ، فإن الشحنة تساوي إجمالي شحنة الإلكترونات ، أي يجب أن تدور الإلكترونات Z حول النواة. البساطة ، نفترض أن الإلكترون يتحرك حول النواة في مدار دائري نصف قطر r ، وفي هذه الحالة ، تخبر قوة كولوم للتفاعل بين النواة والإلكترون التسارع الطبيعي للإلكترون. ذرة في دائرة تحت تأثير قوة كولوم = حيث 0 هو الثابت الكهربائي أنا وكتلة v وسرعة إلكترون في مدار نصف قطر ص. تحتوي المعادلة على مجهولين r و v. لذلك ، هناك عدد لا حصر له من قيم نصف القطر وقيم السرعة المقابلة له ، مما يرضي هذه المعادلة ، لذلك ، يمكن أن تتغير قيم r و v باستمرار ، أي ، وليس جزءًا محددًا جيدًا من الطاقة يمكن أن تنبعث. ثم يجب أن تكون أطياف الذرات مستمرة. ومع ذلك ، في الواقع ، تُظهر التجربة أن الذرات لها طيف خطي. وفقًا للديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ، يجب أن تشع الإلكترونات سريعة الحركة الموجات الكهرومغناطيسية ، ونتيجة لذلك ، تفقد الطاقة باستمرار. نتيجة لذلك ، ستقترب الإلكترونات من النواة وتسقط عليها في النهاية. وهكذا ، تبين أن ذرة رذرفورد هي نظام غير مستقر ، والذي يتناقض مرة أخرى مع الواقع. لم تنجح محاولات بناء نموذج للذرة في إطار الفيزياء الكلاسيكية ، فقد تم دحض نموذج طومسون من خلال تجارب رذرفورد ، بينما تبين أن النموذج النووي غير مستقر ويتعارض مع البيانات التجريبية من الناحية الكهربية. يتطلب التغلب على الصعوبات التي نشأت إنشاء واحدة جديدة نوعيا - نظرية الكم للذرة

طيف خط الهيدروجين

أظهرت دراسة أطياف انبعاث الغازات المشحونة أن كل غاز له طيف خطي معين ، يتكون من خطوط لولبية فردية. الأكثر دراسة هو طيف أبسط ذرة - ذرة الهيدروجين. التقط العالم السويسري بالمر صيغة تجريبية تصف جميع الخطوط الطيفية لذرة الهيدروجين المعروفة في ذلك الوقت في المنطقة المرئية من الطيف حيث R Prime = ثابت ريدبيرج. بعد ذلك ، تم اكتشاف عدة سلاسل أخرى في طيف ذرة الهيدروجين. تقع سلسلة ليمان في منطقة الأشعة فوق البنفسجية من الطيف.

في منطقة الأشعة تحت الحمراء من الطيف تم العثور عليها أيضًا

سلسلة باشن

سلسلة القوس

ت = R (1/4 ^ 2 -1 / ن ^ 2) (ن = 5،6،7 ... ...)

سلسلة Pfund

ت = R (1/5 ^ 2-1 / ن ^ 2) (ن = 6،7،8 ... ...)

سلسلة همفري

الخامس = R (1/6 ^ 2 -1 / ن ^ 2) (ن = 7،8،9 ... ...)

يمكن وصف كل السلاسل المذكورة أعلاه في طيف ذرة الهيدروجين بصيغة واحدة تسمى صيغة Balmer المعممة حيث m لها قيمة ثابتة في كل سلسلة m = 1،2،3،4،5،6 (تحدد السلسلة) n ، يأخذ قيمًا صحيحة تبدأ من m +1 (يحدد الأسطر الفردية لهذه السلسلة)

مسلمات بوهر

تم إجراء أول محاولة لبناء نظرية جديدة نوعيًا - نظرية الكم للذرة في عام 1913 من قبل الفيزيائي الدنماركي نيلز بور. لقد وضع لنفسه هدفًا يتمثل في ربط القوانين التجريبية لأطياف الخط ، ونموذج رذرفورد النووي للذرة ، والطبيعة الكمومية لانبعاث وامتصاص الضوء في مجموعة واحدة. بنى بور نظريته على افتراضين.

1 افترض (افتراض الحالات الثابتة) في الذرة أن هناك حالات ثابتة لا تشع فيها الطاقة ، وتتميز هذه الحالات بقيم منفصلة معينة للطاقة. تتوافق الحالات الثابتة للذرة مع المدارات الثابتة التي تتحرك على طولها الإلكترونات. حركة الإلكترونات في المدارات الثابتة غير مصحوبة بانبعاث الموجات الكهرومغناطيسية. في الحالة الثابتة للذرة ، يجب أن يكون للإلكترون الذي يتحرك على مدار مدار دائري قيم كمية منفصلة للزخم الزاوي الذي يلبي الشرط

حيث أن كتلة الإلكترون v هي السرعة

2 افترض (قاعدة التردد) عندما ينتقل إلكترون من مدار ثابت إلى مدار آخر ، ينبعث فوتون واحد مع طاقة

يساوي فرق الطاقة للحالات الثابتة المقابلة E_m- على التوالي ، طاقة الحالات الثابتة للذرة قبل وبعد الإشعاع. في - يحدث الإشعاع عند - امتصاصه. تحدد مجموعة الترددات المنفصلة المحتملة للتحولات الكمومية الطيف الخطي للذرة.

أجرى O. Stern و V Gerlakh قياسات مباشرة للعزوم المغناطيسية واكتشفا في عام 1922 أن حزمة ضيقة من ذرات الهيدروجين ، والتي من المعروف أنها في حالة s في مجال مغناطيسي غير متجانس ، تنقسم إلى حزمتين. في هذه الحالة ، يكون الزخم الزاوي للإلكترون صفرًا. تتناسب العزم المغناطيسي للذرة المرتبطة بالحركة المدارية للإلكترون مع العزم الميكانيكي ، وبالتالي فهي تساوي الصفر ويجب ألا يؤثر المجال المغناطيسي على حركة ذرات الهيدروجين في الحالة الأرضية ، أي يجب ألا يكون هناك انقسام . ومع ذلك ، في وقت لاحق ، باستخدام أدوات طيفية عالية الدقة ، ثبت أن الخطوط الطيفية لذرة الهيدروجين تظهر بنية دقيقة ، حتى في حالة عدم وجود مجال مغناطيسي. لشرح البنية الدقيقة للخطوط الطيفية ، بالإضافة إلى عدد من الصعوبات الأخرى في الفيزياء الذرية ، اقترح Uhlenbeck و Goudsmit أن للإلكترون زخمه الزاوي الميكانيكي غير القابل للتدمير ، وليس له علاقة بحركة الإلكترون في الفضاء بواسطة اللف. إن دوران الإلكترون هو كمية كمية ، وليس له نظير كلاسيكي ، فهو خاصية داخلية متأصلة لإلكترون مماثل لكتلته وشحنته. إذا تم تخصيص الزخم الزاوي الميكانيكي للإلكترون ، فإن عزمه المغناطيسي يتوافق مع ذلك.وفقًا للاستنتاجات العامة لميكانيكا الكم ، يتم تكميم السبين وفقًا للقانون حيث s هو الرقم الكمي المغزلي.

معادلة حركة الجسيمات الدقيقة في مجالات القوة المختلفة هي معادلة شرودنجر الموجية.

بالنسبة للحالات الثابتة ، ستكون معادلة شرودنغر:

M هي كتلة الجسيمات ، h ثابت بلانك ، E هي الطاقة الكلية ، U هي الطاقة الكامنة.

معادلة شرودنجر هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ولها حل يشير إلى أن الطاقة الإجمالية في ذرة الهيدروجين يجب أن تكون منفصلة:

هذه الطاقة عند المستويات المقابلة n = 1،2،3 ، ... وفقًا للصيغة:

أدنى مستوى E يتوافق مع الحد الأدنى من الطاقة الممكنة. هذا المستوى يسمى المستوى الرئيسي ، وكل البقية متحمسون.

مع زيادة الرقم الكمي الرئيسي n ، تكون مستويات الطاقة أقرب ، وتقل الطاقة الإجمالية ، وعند n = E> 0 ، يصبح الإلكترون حراً ، وغير مرتبط بنواة معينة ، وتتأين الذرة.

يرتبط الوصف الكامل لحالة الإلكترون في الذرة ، بالإضافة إلى الطاقة ، بأربع خصائص تسمى أرقام الكم. وهي تشمل: رقم الكم الأساسي n ، رقم الكم المداري l ، رقم الكم المغناطيسي m1 ، عدد الكم المغنطيسي المغنطيسي ms.

العرش في الفضاء ، أي أن وظيفة الموجة في الفضاء تتميز بثلاثة أنظمة. كل واحد منهم لديه أرقام الكم الخاصة به: n ، l ، ml.

كل جسيم دقيق ، بما في ذلك الإلكترون ، له أيضًا حركته الداخلية المعقدة. يمكن وصف هذه الحركة بالرقم الكمي الرابع ms. دعنا نتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل.

رقم الكم الرئيسي n ، وفقًا للصيغة ، يحدد مستويات طاقة الإلكترون في الذرة ويمكن أن يأخذ القيم n = 1 ، 2 ، 3 ...

عدد الكم المداري /. ويترتب على حل معادلة شرودنغر أن الزخم الزاوي للإلكترون (زخمه المداري الميكانيكي) مُكمَّم ، أي أنه يأخذ قيمًا منفصلة تحددها الصيغة

حيث Ll هو الزخم الزاوي للإلكترون في المدار ، l هو رقم الكم المداري ، والذي يأخذ قيمة n المعطاة i = 0 ، 1 ، 2 ... (n - 1) ويحدد الزخم الزاوي للإلكترون في قبر. عدد الكم المغناطيسي مل.

ويترتب على حل معادلة شرودنغر أيضًا أن المتجه Ll (زخم الإلكترون) موجه في الفضاء تحت تأثير مجال مغناطيسي خارجي. في هذه الحالة ، سوف يتكشف المتجه بطريقة تجعل إسقاطه على اتجاه المجال المغناطيسي الخارجي

حيث يُطلق على ml رقم الكم المغناطيسي ، والذي يمكن أن يأخذ القيم ml = 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 1 ، أي أن هناك قيم (2l + 1) في المجموع.

بالنظر إلى ما سبق ، يمكننا أن نستنتج أن ذرة الهيدروجين يمكن أن يكون لها نفس قيمة الطاقة ، في عدة حالات مختلفة (n هي نفسها ، و l و ml مختلفان).

عندما يتحرك إلكترون في ذرة ، يُظهر الإلكترون خصائص موجية بشكل ملحوظ. لذلك ، ترفض الإلكترونيات الكمومية عمومًا الأفكار الكلاسيكية حول مدارات الإلكترون. نحن نتحدث عن تحديد الموقع المحتمل للإلكترون في المدار ، أي أن موقع الإلكترون يمكن تمثيله بواسطة "سحابة" شرطية. يشبه الإلكترون أثناء حركته أنه "ملطخ" على كامل حجم هذه "السحابة". يميز الرقمان الكميان n و l حجم وشكل "سحابة" الإلكترون ، ويميز العدد الكمي ml اتجاه هذه "السحابة" في الفضاء.

في عام 1925 ، أثبت الفيزيائيان الأمريكيان Uhlenbeck و Goudsmit أن للإلكترون أيضًا زخمه الزاوي (الدوران) ، على الرغم من أننا لا نعتبر الإلكترون جسيمًا دقيقًا معقدًا. في وقت لاحق تبين أن البروتونات والنيوترونات والفوتونات والجسيمات الأولية الأخرى لها دوران.

أدت تجارب ستيرن وجيرلاخ وغيرهم من علماء الفيزياء إلى الحاجة إلى توصيف الإلكترون (والجسيمات الدقيقة بشكل عام) بدرجة إضافية من الحرية الداخلية. ومن ثم ، للحصول على وصف كامل لحالة الإلكترون في الذرة ، من الضروري تعيين أربعة أرقام كمية: الرقم الرئيسي هو n ، والرقم المداري هو l ، والرقم المغناطيسي مل ، ورقم الدوران المغناطيسي هو مللي ثانية. .

لقد ثبت في فيزياء الكم أن ما يسمى بالتناظر أو عدم التناسق لوظائف الموجة يتم تحديده من خلال دوران الجسيم. اعتمادًا على طبيعة تناظر الجسيمات ، يتم تقسيم جميع الجسيمات الأولية والذرات والجزيئات المبنية منها إلى فئتين. يتم وصف الجسيمات ذات الدوران نصف الصحيح (مثل الإلكترونات والبروتونات والنيوترونات) بوظائف الموجة غير المتماثلة وتتبع إحصائيات فيرمي ديراك. تسمى هذه الجسيمات الفرميونات. الجسيمات ذات العدد الصحيح المغزلي ، بما في ذلك الصفر ، مثل الفوتون (Ls = 1) أو π-meson (Ls = 0) ، موصوفة بوظائف الموجة المتماثلة وتتبع إحصائيات بوز-آينشتاين. تسمى هذه الجسيمات البوزونات. الجسيمات المعقدة (على سبيل المثال ، النوى الذرية) المكونة من عدد فردي من الفرميونات هي أيضًا فيرميونات (إجمالي الدوران نصف عدد صحيح) ، وتلك المكونة من عدد زوجي هي بوزونات (إجمالي الدوران عدد صحيح).

إذا انتقلنا من التفكير في حركة جسيم دقيق واحد (إلكترون واحد) إلى أنظمة متعددة الإلكترونات ، فستظهر خصائص خاصة ليس لها نظائر في الفيزياء الكلاسيكية. دع النظام الميكانيكي الكمومي يتكون من جسيمات متطابقة ، مثل الإلكترونات. جميع الإلكترونات لها نفس الخصائص الفيزيائية - الكتلة والشحنة الكهربائية والدوران والخصائص الداخلية الأخرى (على سبيل المثال ، أرقام الكم). تسمى هذه الجسيمات متطابقة.

تتجلى الخصائص الضرورية لنظام من الجسيمات المتطابقة في المبدأ الأساسي لميكانيكا الكم - مبدأ عدم قابلية تمييز الجسيمات المتطابقة ، والذي وفقًا له يستحيل تمييز الجسيمات المتطابقة تجريبياً.

في الميكانيكا الكلاسيكية ، حتى الجسيمات المتطابقة يمكن تمييزها من خلال موقعها في الفضاء وعزمها. إذا تم ترقيم الجسيمات في وقت ما ، فمن الممكن في اللحظات التالية تتبع مسار أي منها. وبالتالي ، فإن للجسيمات الكلاسيكية فردية ، لذا فإن الميكانيكا الكلاسيكية لأنظمة الجسيمات المتطابقة لا تختلف اختلافًا جوهريًا عن الميكانيكا الكلاسيكية لأنظمة الجسيمات المختلفة.

الوضع مختلف في ميكانيكا الكم. ويترتب على علاقة عدم اليقين أن مفهوم المسار بشكل عام غير قابل للتطبيق على الجسيمات الدقيقة ؛ يتم وصف حالة الجسيمات الدقيقة بواسطة دالة موجية ، والتي تسمح فقط للفرد بحساب احتمال العثور على جسيم دقيق بالقرب من نقطة أو أخرى في الفضاء. إذا تداخلت الوظائف الموجية لجسيمين متطابقين في الفضاء ، فإن الحديث عن أي جسيم في منطقة معينة لا معنى له بشكل عام: لا يمكن للمرء إلا التحدث عن احتمال العثور على أحد الجسيمات المتطابقة في منطقة معينة. وهكذا ، في ميكانيكا الكم ، تفقد الجسيمات المتطابقة تمامًا فرديتها وتصبح غير قابلة للتمييز. يجب التأكيد على أن مبدأ عدم القدرة على التمييز بين الجسيمات المتطابقة ليس مجرد نتيجة للتفسير المحتمل لوظيفة الموجة ، ولكن يتم إدخاله في ميكانيكا الكم كمبدأ جديد ، كما ذكر أعلاه ، أساسي.

مع الأخذ في الاعتبار المعنى المادي للكمية ، يمكن كتابة مبدأ عدم القدرة على التمييز بين الجسيمات المتطابقة بالشكل التالي: (8.1.1)

أين و ، على التوالي ، مجموعة إحداثيات المكانية والقوة للجسيمين الأول والثاني. من التعبير (8.1.1) يترتب على ذلك وجود حالتين محتملتين:

أولئك. يؤدي مبدأ عدم القدرة على التمييز بين الجسيمات المتطابقة إلى خاصية تناظر معينة لوظيفة الموجة. إذا كانت الدالة الموجية لا تغير الإشارة عندما تغير الجسيمات أماكنها ، فإنها تسمى متناظرة ، وإذا تغيرت ، فإنها تسمى عدم التناسق. لا يعني التغيير في علامة الدالة الموجية تغييرًا في الحالة منذ ذلك الحين فقط مربع معامل الدالة الموجية له معنى فيزيائي.

ثبت في ميكانيكا الكم أن طبيعة تناظر الدالة الموجية لا تتغير بمرور الوقت. هذا ليس دليلاً على أن خصائص التناظر أو عدم التناسق هي سمة من سمات هذا النوع من الجسيمات الدقيقة.

ثبت أن التناظر أو عدم التناسق لوظائف الموجة يتم تحديده بواسطة دوران الجسيمات. اعتمادًا على طبيعة التناظر ، يتم تقسيم جميع الجسيمات الأولية والأنظمة المبنية منها (الذرات والجزيئات) إلى فئتين: الجسيمات ذات الدوران نصف الصحيح (على سبيل المثال ، الإلكترونات والنيوترونات والبروتونات) موصوفة بموجة غير متماثلة وظائف وتطيع إحصائيات فيرمي ديراك ؛ تسمى هذه الجسيمات الفرميونات. يتم وصف الجسيمات التي تحتوي على صفر أو عدد صحيح (على سبيل المثال ، الفوتونات والميزونات) من خلال وظائف متناظرة (موجة) وتتبع إحصائيات بوز-آينشتاين. هذه الجسيمات تسمى البوزونات.

الجسيمات المعقدة (على سبيل المثال ، النوى الذرية) ، المكونة من عدد فردي من الفرميونات ، هي الفرميونات (إجمالي الدوران نصف عدد صحيح) ، ومن عدد زوجي تكون بوزونات (إجمالي الدوران عدد صحيح).

تم إثبات اعتماد طبيعة تناظر الوظائف الموجية لنظام من الجسيمات المتطابقة على دوران الجسيمات نظريًا من قبل الفيزيائي السويسري دبليو باولي ، وهو دليل آخر على أن السبينات هي خاصية أساسية للجسيمات الدقيقة.

بعد دراسة خصائص العناصر المرتبة على التوالي بترتيب تصاعدي لكتلها الذرية ، اكتشف العالم الروسي العظيم د. استمد مندليف في عام 1869 قانون الدورية:

إن خصائص العناصر ، وبالتالي خصائص الأجسام البسيطة والمعقدة التي تشكلها ، تعتمد بشكل دوري على حجم الأوزان الذرية للعناصر.

وفقًا لهذا القانون ، فإن التغيير في خصائص العناصر الكيميائية مع زيادة كتلها الذرية له طابع دوري ، أي بعد عدد معين من العناصر (تختلف لفترات مختلفة) ، تتكرر خصائص العناصر في نفس التسلسل ، على الرغم من وجود بعض الاختلافات النوعية والكمية. في ثلاث حالات فقط ، انتهك مندليف ترتيب العناصر - وضع الأرجون قبل البوتاسيوم ، والكوبالت على النيكل ، والتيلوريوم قبل اليود. كان هذا مطلوبًا بسبب تشابه خصائص العناصر الكيميائية.

التمثيل البياني للقانون الدوري هو جدول عناصر D.I. مندليف. كل عنصر فيه يتوافق مع الرقم التسلسلي. في الجدول ، يتم تقسيم سلسلة العناصر بأكملها إلى مقاطع منفصلة ، تبدأ وتنتهي ضمنها دورات التغييرات الدورية في الخصائص. تسمى المقاطع العمودية مجموعات ، وتسمى المقاطع الأفقية فترات.

تسمى الفترات الثلاث الأولى التي تحتوي على 2 و 8 و 8 عناصر صغيرة ، أما الفترات المتبقية التي تحتوي على 18 و 18 و 32 عنصرًا فهي كبيرة. تنقسم الفترات الكبيرة إلى سلاسل ، بينما تتزامن الفترات الصغيرة مع السلسلة المقابلة.

في كل مجموعة ، تنقسم عناصر الفترات الكبيرة إلى مجموعتين فرعيتين - الرئيسية والثانوية. تتضمن المجموعة الفرعية الرئيسية عناصر متشابهة ، بما في ذلك عناصر الفترات الصغيرة والكبيرة. تتضمن المجموعة الفرعية الثانوية عناصر متشابهة ، بما في ذلك عناصر الفترات الكبيرة فقط. أقصى تكافؤ ممكن للعناصر في مجموعة يساوي رقم المجموعة. على الرغم من أن بعض العناصر لا تُظهر الحد الأقصى من التكافؤ ، على سبيل المثال ، الأكسجين والفلور والنيون ، من ناحية أخرى ، فإن تكافؤ الذهب ، وهو عنصر من المجموعة الفرعية الثانوية للمجموعة الأولى ، يمكن أن يتجاوز واحدًا ، فإنه يصل إلى ثلاثة.

دفع اكتشاف القانون الدوري الفيزيائيين إلى البحث عن تفسيره من وجهة نظر نظرية بنية الذرات والعكس ، وأصبح القانون الدوري وسيلة للتحقق من صحة النماذج المقترحة لهيكل الذرات.

بناءً على اكتشاف الإلكترون بواسطة ج. طومسون في عام 1897 ، اقترح الفيزيائي الإنجليزي إ. رذرفورد في عام 1911 أن الذرة تتكون من نواة موجبة الشحنة وإلكترونات تدور حولها في مدارات دائرية. في هذه الحالة ، يتم تحييد الشحنة الموجبة للنواة بواسطة إجمالي الشحنة السالبة للإلكترونات ، مما يجعل الذرة ككل متعادلة كهربائيًا. أثبت رذرفورد تجريبياً أن شحنة النواة تساوي عدديًا الرقم الترتيبي للعنصر في النظام الدوري.

عندها فقط كان من الممكن شرح سبب انتهاك ترتيب العناصر في الجدول الدوري (الأرجون قبل البوتاسيوم ، والكوبالت قبل النيكل ، والتيلوريوم قبل اليود). تم ترتيب العناصر المدرجة وفقًا للتغيير في شحنات نواتها. وهكذا ، اتضح أن الكمية الرئيسية التي تعتمد عليها خصائص العنصر هي شحنة النواة. من هذا يتبع الصيغة الحديثة لقانون مندليف الدوري:

تعتمد خصائص العناصر الكيميائية ، وكذلك أشكال وخصائص مركبات العناصر ، بشكل دوري على شحنة نواتها.

مقدمة

من المعروف أن مسار ميكانيكا الكم هو من أصعب الطرق للفهم. لا يرتبط هذا كثيرًا بالجهاز الرياضي الجديد و "غير العادي" ، ولكن في المقام الأول بصعوبة فهم الثوري ، من وجهة نظر الفيزياء الكلاسيكية ، والأفكار الكامنة وراء ميكانيكا الكم وتعقيد تفسير النتائج.

في معظم الكتب المدرسية حول ميكانيكا الكم ، يعتمد عرض المادة ، كقاعدة عامة ، على تحليل حلول معادلة شرودنغر الثابتة. ومع ذلك ، فإن النهج الثابت لا يسمح بإجراء مقارنة مباشرة لنتائج حل مشكلة ميكانيكية الكم مع النتائج الكلاسيكية المماثلة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن العديد من العمليات التي تمت دراستها في سياق ميكانيكا الكم (مثل مرور الجسيم عبر حاجز محتمل ، وانحلال حالة شبه ثابتة ، وما إلى ذلك) هي من حيث المبدأ غير ثابتة بطبيعتها ، وبالتالي يمكن يجب فهمه بالكامل فقط على أساس الحلول لمعادلة شرودنغر غير الثابتة. نظرًا لأن عدد المشكلات القابلة للحل من الناحية التحليلية صغير ، فإن استخدام الكمبيوتر في عملية دراسة ميكانيكا الكم له أهمية خاصة.

معادلة شرودنجر والمعنى المادي لحلولها

معادلة شرودنجر الموجية

إحدى المعادلات الأساسية لميكانيكا الكم هي معادلة شرودنجر ، التي تحدد التغير في حالات الأنظمة الكمية بمرور الوقت. هو مكتوب في النموذج

حيث H هو هاميلتوني للنظام ، بالتزامن مع مشغل الطاقة إذا كان لا يعتمد على الوقت. يتم تحديد نوع المشغل من خلال خصائص النظام. بالنسبة للحركة غير النسبية لجسيم من الكتلة في مجال محتمل U (r) ، يكون المشغل حقيقيًا ويتم تمثيله بمجموع مشغلي الطاقة الحركية والمحتملة للجسيم

إذا تحرك الجسيم في مجال كهرومغناطيسي ، فسيكون عامل هاملتون معقدًا.

على الرغم من أن المعادلة (1.1) هي معادلة من الدرجة الأولى في الوقت المناسب ، نظرًا للوحدة التخيلية ، فإن لها أيضًا حلولًا دورية. لذلك ، غالبًا ما تسمى معادلة شرودنجر (1.1) بمعادلة شرودنجر الموجية ، ويسمى حلها دالة الموجة المعتمدة على الوقت. تسمح لك المعادلة (1.1) ذات الشكل المعروف للمشغل H بتحديد قيمة دالة الموجة في أي لحظة لاحقة من الوقت ، إذا كانت هذه القيمة معروفة في اللحظة الأولى من الزمن. وهكذا ، فإن معادلة موجة شرودنغر تعبر عن مبدأ السببية في ميكانيكا الكم.

يمكن الحصول على معادلة شرودنجر الموجية بناءً على الاعتبارات الرسمية التالية. من المعروف في الميكانيكا الكلاسيكية أنه إذا تم إعطاء الطاقة كدالة للإحداثيات والعزم

ثم الانتقال إلى معادلة هاملتون - جاكوبي الكلاسيكية لوظيفة الفعل S.

يمكن الحصول عليها من (1.3) عن طريق التحويل الرسمي

بنفس الطريقة ، يتم الحصول على المعادلة (1.1) من (1.3) عند الانتقال من (1.3) إلى معادلة المشغل عن طريق تحويل رسمي

إذا كانت (1.3) لا تحتوي على منتجات الإحداثيات والعزم ، أو تحتوي على مثل هذه المنتجات التي ، بعد تمريرها إلى المشغلين (1.4) ، تتنقل مع بعضها البعض. معادلة بعد هذا التحول نتائج الإجراء على وظيفة مشغلي الأجزاء اليمنى واليسرى من مساواة المشغل الناتجة ، نصل إلى معادلة الموجة (1.1). ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يأخذ هذه التحولات الرسمية على أنها اشتقاق لمعادلة شرودنغر. معادلة شرودنغر هي تعميم للبيانات التجريبية. لم يتم اشتقاقه في ميكانيكا الكم ، تمامًا كما لم يتم اشتقاق معادلات ماكسويل في الديناميكا الكهربية ، مبدأ العمل الأقل (أو معادلات نيوتن) في الميكانيكا الكلاسيكية.

من السهل التحقق من استيفاء المعادلة (1.1) لوظيفة الموجة

يصف الحركة الحرة للجسيم بقيمة معينة من الزخم. في الحالة العامة ، يتم إثبات صحة المعادلة (1.1) بالاتفاق مع تجربة جميع الاستنتاجات التي تم الحصول عليها بمساعدة هذه المعادلة.

دعونا نظهر أن المعادلة (1.1) تعني المساواة المهمة

مما يشير إلى الحفاظ على تطبيع وظيفة الموجة بمرور الوقت. دعونا نضرب (1.1) على اليسار بالدالة * ، ونضرب المعادلة المترافقة مع (1.1) بالدالة ونطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى التي تم الحصول عليها ؛ ثم نجد

بدمج هذه العلاقة على جميع قيم المتغيرات مع الأخذ في الاعتبار الارتباط الذاتي للمشغل ، نحصل على (1.5).

إذا قمنا في العلاقة (1.6) باستبدال التعبير الصريح لمشغل هاميلتون (1.2) عن حركة الجسيم في مجال محتمل ، فإننا نصل إلى معادلة تفاضلية (معادلة الاستمرارية)

أين كثافة الاحتمال والمتجه

يمكن أن يسمى متجه احتمالية كثافة التيار.

يمكن دائمًا تمثيل دالة الموجة المعقدة على أنها

أين وهي وظائف حقيقية للوقت والإحداثيات. إذن كثافة الاحتمال

وكثافة تيار الاحتمال

يتبع من (1.9) أن j = 0 لجميع الوظائف التي لا تعتمد وظيفتها Φ على الإحداثيات. على وجه الخصوص ، j = 0 لجميع الوظائف الحقيقية.

يتم تمثيل حلول معادلة شرودنغر (1.1) بشكل عام من خلال وظائف معقدة. يعد استخدام الوظائف المعقدة أمرًا مريحًا للغاية ، على الرغم من أنه ليس ضروريًا. بدلاً من وظيفة واحدة معقدة ، يمكن وصف حالة النظام من خلال وظيفتين حقيقيتين وتلبية معادلتين متقاربتين. على سبيل المثال ، إذا كان العامل H حقيقيًا ، فعند استبدال الوظيفة في (1.1) وفصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية ، نحصل على نظام من معادلتين

في هذه الحالة ، تأخذ كثافة الاحتمال وكثافة تيار الاحتمال الشكل

وظائف الموجة في تمثيل الزخم.

يميز تحويل فورييه للدالة الموجية توزيع العزم في حالة كمومية. مطلوب اشتقاق معادلة متكاملة مع تحويل فورييه للقدرة على أنها النواة.

حل. هناك نوعان من العلاقات العكسية المتبادلة بين الوظائف و.

إذا تم استخدام العلاقة (2.1) كتعريف وتم تطبيق عملية عليها ، فعندئذ ، مع الأخذ في الاعتبار تعريف الوظيفة ثلاثية الأبعاد ،

نتيجة لذلك ، كما يسهل رؤيته ، نحصل على العلاقة العكسية (2.2). يتم استخدام اعتبارات مماثلة أدناه في اشتقاق العلاقة (2.8).

ثم بالنسبة لصورة فورييه للإمكانيات التي لدينا

بافتراض أن الدالة الموجية تفي بمعادلة شرودنجر

الاستعاضة هنا بدلاً من التعبيرات (2.1) و (2.3) ، على التوالي ، نحصل عليها

في التكامل المزدوج ، ننتقل من التكامل على متغير إلى التكامل على متغير ، ثم مرة أخرى نشير إلى هذا المتغير الجديد بواسطة. يتلاشى التكامل على عند أي قيمة فقط إذا كان التكامل نفسه يساوي صفرًا ، ولكن بعد ذلك

هذه هي المعادلة التكاملية المرغوبة مع تحويل فورييه للقدرة على أنها النواة. بالطبع ، لا يمكن الحصول على المعادلة التكاملية (2.6) إلا بشرط وجود تحويل فورييه للاحتمال (2.4) ؛ لهذا ، على سبيل المثال ، يجب أن تنخفض الإمكانات عبر مسافات كبيرة ، على الأقل مثل أين.

وتجدر الإشارة إلى أنه من حالة التطبيع

يتبع المساواة

يمكن إظهار ذلك عن طريق استبدال التعبير (2.1) للوظيفة في (2.7):

إذا قمنا هنا أولاً بإجراء التكامل ، فسنحصل بسهولة على العلاقة (2.8).

من التفسير الإحصائي لموجات دي بروي (انظر § وعلاقة عدم اليقين في Heisenberg (انظر الفقرة 215)) ، يتبع ذلك أن معادلة الحركة في ميكانيكا الكم ، التي تصف حركة الجسيمات الدقيقة في مجالات القوة المختلفة ، يجب أن تكون معادلة من التي ستتبعها الملاحظات التالية. - خصائص موجية تجريبية للجسيمات.

يجب أن تكون المعادلة الرئيسية معادلة لوظيفة الموجة ، نظرًا لأن هذه بالضبط ، أو بشكل أكثر دقة ، الكمية | Ф | 2 ، التي تحدد احتمال بقاء الجسيم في لحظة الزمن رفي حجم دي فيفي المنطقة مع إحداثيات و X+ dx ، y + dy ،

ضوبما أن المعادلة المرغوبة يجب أن تأخذ في الاعتبار الخصائص الموجية للجسيمات ، فيجب أن تكون كذلك معادلة الموجة مثل معادلة تصف الموجات الكهرومغناطيسية. المعادلة الأساسية ميكانيكا الكم غير الارتباطيةصاغه E. Schrödinger في عام 1926. معادلة شرودنجر ، مثل جميع المعادلات الأساسية للفيزياء (على سبيل المثال ، معادلات نيوتن في الميكانيكا الكلاسيكية ومعادلات ماكسويل للمجال الكهرومغناطيسي) ، لم يتم اشتقاقها ، بل تم افتراضها. يتم تأكيد صحة هذه المعادلة بالاتفاق مع تجربة النتائج التي تم الحصول عليها بمساعدتها ، والتي بدورها تمنحها طابع قانون الطبيعة. المعادلة

شرودنغر لديه النموذج

ه -

g هي كتلة الجسيم ؛ أ هو عامل لابلاس

وحدة خيالية ذ ، ض ، ر) -

الوظيفة المحتملة للجسيم في مجال القوة الذي يتحرك فيه ؛ ض ، ر) -وظيفة الموجة المطلوبة

المعادلة صالحة لأي جسيم (مع دوران يساوي 0 ؛ انظر الفقرة 225) يتحرك بسرعة صغيرة (مقارنة بسرعة الضوء) ، أي مع السرعة الخامسمع. يتم استكماله بشروط مفروضة على دالة الموجة: 1) يجب أن تكون الدالة الموجية محدودة وذات قيمة واحدة ومستمرة (انظر الفقرة 216) ؛

2) المشتقات - ، - ، - ، يجب-

dx تفعل

علينا أن نكون مستمرين. 3) يجب أن تكون الوظيفة | Ф | 2 قابلة للتكامل ؛ هذا الشرط في أبسط الحالات يقلل من

حالة التطبيع (216.3).

للوصول إلى معادلة شرودنغر ، نأخذ في الاعتبار الجسيم الذي يتحرك بحرية ، والذي ، وفقًا لما يقوله دي برولي ، مرتبط ، ومن أجل التبسيط ، فإننا نعتبر الحالة أحادية البعد. معادلة موجة مستوية تنتشر على طول محور X ،لديه النموذج (انظر الفقرة 154) ر) = أكوس - أو في تدوين معقد ر) -لذلك ، فإن موجة الطائرة دي برولي لها الشكل

(217.2)

(مع الأخذ بعين الاعتبار أن - = -). في الكم عشر

يتم أخذ الأس بعلامة "-" ، لأن | Ф | 2 فقط له معنى مادي ، وهذا ليس مهمًا. ثم

استخدام العلاقة بين الطاقة هوالزخم = -) والاستبدال

التعبير (217.3) نحصل على المعادلة التفاضلية

الذي يتزامن مع معادلة الحالة ش- O (اعتبرنا جسيمًا حرًا).

إذا تحرك الجسيم في مجال قوة يتميز بالطاقة الكامنة أنتثم إجمالي الطاقة هيتكون من الطاقات الحركية والمحتملة. إجراء نفس المنطق واستخدام العلاقة بين ("ل

حالة = الاتحاد الأوروبي)،نصل إلى معادلة تفاضلية تتزامن مع (217.1).

المنطق أعلاه لا ينبغي أن يؤخذ على أنه اشتقاق من معادلة شرودنغر.يشرحون فقط كيف يمكن الوصول إلى هذه المعادلة. إن الدليل على صحة معادلة شرودنغر هو الاتفاق مع الخبرة للاستنتاجات التي تؤدي إليها.

المعادلة (217.1) هي معادلة شرودنغر العامة. هو مدعو أيضا معادلة شرودنغر المعتمدة على الوقت. بالنسبة للعديد من الظواهر الفيزيائية التي تحدث في العالم المصغر ، يمكن تبسيط المعادلة (217.1) عن طريق التخلص من الاعتماد على الوقت ، وبعبارة أخرى ، للعثور على معادلة شرودنجر لـ حالات ثابتة - حالات ذات قيم طاقة ثابتة.هذا ممكن إذا كان مجال القوة الذي يتحرك فيه الجسيم ثابتًا ، أي الوظيفة U = ض)لا تعتمد صراحة على الوقت ولها معنى الطاقة الكامنة.

في هذه الحالة ، يمكن تمثيل حل معادلة شرودنغر كمنتج لوظيفتين ، إحداهما دالة للإحداثيات فقط ، والأخرى هي دالة للوقت فقط ، ويتم التعبير عن الاعتماد على الوقت

مضروبة في e "= e ، بحيث

(217.4)

أين ههي الطاقة الكلية للجسيم ، والتي تكون ثابتة في حالة وجود حقل ثابت. استبدال (217.4) في (217.1) نحصل عليها

من أين ، بعد القسمة على العامل المشترك e للتحولات المقابلة

جي ، نصل إلى معادلة تحدد الوظيفة

المعادلة متساوي-

مفهوم شرودنغر للحالات الثابتة. تتضمن هذه المعادلة إجمالي الطاقة كمعامل هحبيبات. في نظرية المعادلات التفاضلية ، ثبت أن مثل هذه المعادلات لها عدد لا حصر له من الحلول ، والتي من خلال فرض شروط حدودية ، يتم اختيار الحلول التي لها خصائص فيزيائية.

بالنسبة لمعادلة شرودنغر ، هذه الشروط هي شروط انتظام وظائف الموجة:يجب أن تكون الدوال الموجية محدودة وذات قيمة واحدة ومستمرة مع مشتقاتها الأولى.

وبالتالي ، فإن الحلول التي يتم التعبير عنها بواسطة الوظائف العادية فقط لها معنى مادي حقيقي. لكن الحلول العادية لا تحدث لأي قيم للمعامل ه ،ولكن فقط لمجموعة معينة منهم ، نموذجي لهذه المشكلة. هؤلاء قيم الطاقة وتسمى ملك. تسمى الحلول التي تتوافق مع قيم الطاقة الذاتية الوظائف الخاصة. القيم الذاتية هيمكن أن تشكل كلاً من السلاسل المستمرة والمنفصلة. في الحالة الأولى ، يتحدث المرء عن مستمر، أو طيف مستمر في الثانية - طيف منفصل.

§ 218. مبدأ السببية في ميكانيكا الكم

من علاقة عدم اليقين ، غالبًا ما يستنتج أن

مبدأ السببية للظواهر التي تحدث في العالم المصغر. في هذه الحالة ، فإنها تستند إلى الاعتبارات التالية. في الميكانيكا الكلاسيكية ، وفقًا لـ مبدأ السببية - مبدأ الحتمية الكلاسيكية ،بواسطةالحالة المعروفة للنظام في وقت ما (يتم تحديدها تمامًا من خلال قيم الإحداثيات والعزم لجميع جسيمات النظام) والقوى المطبقة عليها ، يمكنك تعيين حالتها بدقة في أي وقت لاحق لحظة. لذلك ، تستند الفيزياء الكلاسيكية إلى الفهم التالي للسببية: حالة النظام الميكانيكي في اللحظة الأولى من الزمن مع قانون معروف لتفاعل الجسيمات هي السبب ، وحالتها في ما بعد اللحظة هي التأثير.

من ناحية أخرى ، لا يمكن أن يكون للأجسام الدقيقة إحداثيات معينة وإسقاط زخم معين مماثل [يتم تقديمها من خلال علاقة عدم اليقين ؛ لذلك ، يُستنتج أنه في اللحظة الأولى من الزمن ، لا يتم تحديد حالة النظام تمامًا . إذا كانت حالة النظام غير مؤكدة في اللحظة الأولى من الزمن ، فلا يمكن التنبؤ بالحالات اللاحقة ، أي يتم انتهاك مبدأ السببية.

ومع ذلك ، لا يوجد انتهاك لمبدأ السببية فيما يتعلق بالأشياء الدقيقة ، لأنه في ميكانيكا الكم يكتسب مفهوم حالة الجسم الصغير معنى مختلفًا تمامًا عن الميكانيكا الكلاسيكية. في ميكانيكا الكم ، يتم تحديد حالة الكائن الدقيق تمامًا بواسطة دالة الموجة ، والتي يكون معامل تربيعها

2 يضبط كثافة احتمالية إيجاد جسيم عند نقطة ذات إحداثيات س ، ص ، ض.

في المقابل ، تفي الدالة الموجية بالمعادلة

شرودنغر يحتوي على المشتق الأول للوظيفة Ф فيما يتعلق بالوقت. هذا يعني أيضًا أن مهمة الوظيفة (للحظة من الزمن تحدد قيمتها في اللحظات اللاحقة. لذلك ، في ميكانيكا الكم ، تكون الحالة الأولية هي السبب ، والحالة Ф في اللحظة التالية هي النتيجة. هذه هي شكل من أشكال السببية الأساسية في ميكانيكا الكم ، أي تحديد وظيفة تحدد مسبقًا قيمها لأي لحظات لاحقة ، وبالتالي ، فإن حالة نظام الجسيمات الدقيقة المحددة في ميكانيكا الكم تتبع بشكل لا لبس فيه الحالة السابقة ، كما هو مطلوب من قبل مبدأ السببية .

§219. حركة الجسيمات الحرة

الجسيمات الحرة - جسيم يتحرك في غياب المجالات الخارجية. منذ الحر (دعه يتحرك على طول المحور X)القوى لا تعمل ، ثم الطاقة الكامنة للجسيم U (x) = const ويمكن اعتبارها مساوية للصفر. ثم تتطابق الطاقة الكلية للجسيم مع طاقته الحركية. في هذه الحالة ، تأخذ معادلة شرودنغر (217.5) للحالات الثابتة الشكل

(219.1)

عن طريق الاستبدال المباشر ، يمكن للمرء التحقق من أن حلًا معينًا للمعادلة (219.1) هو الوظيفة - أين أ = const و ل= const ، مع قيمة eigenvalue للطاقة

الدالة = = تمثل فقط الجزء الإحداثي من دالة الموجة ، لذلك ، دالة الموجة المعتمدة على الوقت ، وفقًا لـ (217.4) ،

(219.3) هي موجة مستوية أحادية اللون من De Broglie [انظر. (217.2)].

منالتعبير (219.2) يتبع ذلك اعتماد الطاقة على الزخم

تبين أنه شائع بالنسبة للجسيمات غير النسبية. لذلك ، يمكن أن تأخذ طاقة الجسيم الحر أي قيم(لأن الرقم الموجي ليمكن أن تأخذ أي قيم إيجابية) ، أي الطاقة يتراوح الجسيمات الحرة مستمر.

وهكذا ، يتم وصف الجسيم الكمي الحر بموجة دي برولي أحادية اللون. يتوافق هذا مع الكثافة الاحتمالية المستقلة عن الوقت للكشف عن جسيم في نقطة معينة في الفضاء

أي أن جميع مواضع الجسيم الحر في الفضاء قابلة للتجهيز.

220. جسيم في "بئر محتملة" مستطيلة ذات بعد واحد ذات ارتفاع غير محدود

"الجدران"

دعونا نجري تحليل نوعي لحلول معادلة شرودنغر باستخدام

أرز. 299

(220.4)

بالنسبة للجسيم الخامس"بئر محتملة" مستطيلة ذات بعد واحد مع "جدران" لا متناهية. يتم وصف مثل هذا "البئر" بالطاقة الكامنة بالشكل (من أجل البساطة ، نفترض أن الجسيم يتحرك على طول المحور X)

أين عرض "الحفرة" ، أيتم قياس الطاقة من قاعها (الشكل 299).

يمكن كتابة معادلة شرودنجر (217.5) للحالات الثابتة في حالة مشكلة أحادية البعد على النحو التالي:

وفقًا لظروف المشكلة ("الجدران" العالية بلا حدود) ، لا يخترق الجسيم "الحفرة" ، وبالتالي فإن احتمال اكتشافه (وبالتالي دالة الموجة) خارج "الحفرة" يساوي صفرًا . على حدود "الحفرة" (في X- 0 و س =يجب أن تختفي أيضًا دالة الموجة المستمرة. لذلك ، فإن شروط الحدود في هذه الحالة لها الشكل

داخل "الحفرة" (0 Xتقلل معادلة شرودنجر (220.1) إلى المعادلة

الحل العام للمعادلة التفاضلية (220.3):

منذ (220.2) = 0 إذن في= 0.

(220.5)

الحالة (220.2) = 0 راضٍ عن المكان فقط ص- الأعداد الصحيحة ، أي من الضروري أن

من التعبيرات (220.4) و (220.6) يتبع ذلك

على سبيل المثال ، معادلة شرودنغر الثابتة التي تصف حركة الجسيم في "بئر محتمل" ذات "جدران" عالية بشكل لا نهائي ، يتم استيفائها فقط للقيم الذاتية التي تعتمد على عدد صحيح ص.لذلك ، فإن طاقة الجسيمات في

"البئر المحتمل" مع "الجدران" العالية بشكل غير محدود يتطلب فقط قيم منفصلة معينة ،أولئك. مكم.

تسمى قيم الطاقة الكمية مستويات الطاقة، والرقم فالذي يحدد مستويات الطاقة للجسيم يسمى عدد الكم الرئيسي. وبالتالي ، فإن الجسيمات الدقيقة في "البئر المحتمل" ذات "الجدران" العالية بشكل غير محدود يمكن أن تكون عند مستوى طاقة معين فقط ، أو كما يقولون ، يكون الجسيم في الكم.

التعويض بـ (220.5) القيمة لمن (220.6) نجد الدوال الذاتية:

ثابت التكامل أ نجد من حالة التطبيع (216.3) ، والتي يمكن كتابتها في هذه الحالة بالصيغة

فينتيجة التكامل شبه

أ -أستبدو الوظائف الخاصة بها

جداول دالة ذاتية (220.8) تقابل المستويات

الطاقة (220.7) في ن = 1.2 ، 3 مبينة في الشكل. 300 ، أ.على التين. 300 ، بيتم عرض كثافة احتمالية الكشف عن جسيم على مسافات مختلفة من "جدران" البئر ، تساوي =

ل ن = 1 و 2 و 3. ويتبين من الشكل أنه ، على سبيل المثال ، في حالة كمومية مع ص= 2 لا يمكن أن يكون الجسيم في منتصف "الحفرة" ، بينما في كثير من الأحيان يمكن أن يكون في جانبيه الأيمن والأيسر. يشير هذا السلوك للجسيم إلى أن مفاهيم مسارات الجسيمات في ميكانيكا الكم لا يمكن الدفاع عنها. من التعبير (220.7) يتبع ذلك فاصل الطاقة بين اثنين

المستويات المجاورة تساوي

على سبيل المثال ، لإلكترون بحجم جيد - 10 "1 م (كهرباء مجانية

عروش من المعدن) 10 ي

أي أن مستويات الطاقة متقاربة للغاية بحيث يمكن اعتبار الطيف عمليا مستمرا. إذا كانت أبعاد البئر تتناسب مع الذري m) ، فعندئذٍ للإلكترون J eV ، أي يتم الحصول على قيم طاقة منفصلة بشكل واضح (طيف الخط).

وبالتالي ، فإن تطبيق معادلة شرودنغر على جسيم في "بئر محتملة" ذات ارتفاع غير محدود

تؤدي "الجدران" إلى قيم طاقة كمية ، بينما لا تفرض الميكانيكا الكلاسيكية أي قيود على طاقة هذا الجسيم.

بجانب،

يؤدي النظر في هذه المشكلة إلى استنتاج مفاده أن الجسيم "في بئر محتمل" ذي "جدران" عالية بشكل لا نهائي لا يمكن أن يكون له طاقة أقل من

الحد الأدنى ، يساوي [انظر. (220.7)].

إن وجود حد أدنى من الطاقة غير معدوم ليس عرضيًا وينتج عن علاقة عدم اليقين. تنسيق عدم اليقين أوهالجسيمات في "حفرة" واسعة آه =بعد ذلك ، وفقًا لعلاقة عدم اليقين ، لا يمكن أن يكون للزخم قيمة دقيقة ، في هذه الحالة ، صفر. عدم اليقين الزخم

مثل هذا الانتشار للقيم

الزخم يتوافق مع الطاقة الحركية

جميع المستويات الأخرى (n > 1) لديها طاقة تتجاوز هذه القيمة الدنيا.

منالصيغتان (220.9) و (220.7) يتبع ذلك للأعداد الكمية الكبيرة

أي أن المستويات المجاورة متباعدة عن كثب: كلما كان ذلك أقرب ، زاد عدد المستويات ص.لو صكبير جدًا ، ثم يمكننا التحدث عن تسلسل مستمر عمليًا من المستويات ، ويتم تلطيف السمة المميزة للعمليات الكمومية - التفرد -. هذه النتيجة هي حالة خاصة مبدأ المراسلات بوهر (1923) ، والتي بموجبها يجب أن تتحول قوانين ميكانيكا الكم ، عند القيم الكبيرة للأرقام الكمية ، إلى قوانين الفيزياء الكلاسيكية.

أكثر التفسير العام لمبدأ المراسلات: أي نظرية جديدة أكثر عمومية ، وهي تطور للنظرية الكلاسيكية ، لا ترفضها تمامًا ، ولكنها تتضمن النظرية الكلاسيكية ، مشيرة إلى حدود تطبيقها ، وفي بعض الحالات المحدودة ، تنتقل النظرية الجديدة إلى النظرية القديمة. وهكذا ، فإن صيغ الكينماتيكا وديناميكيات النظرية النسبية الخاصة تذهب إلى أبعد من ذلك الخامسج في صيغ ميكانيكا نيوتن. على سبيل المثال ، على الرغم من أن فرضية da Broglie تنسب خصائص الموجة إلى جميع الأجسام ، ولكن في تلك الحالات عندما نتعامل مع الأجسام العيانية ، يمكن إهمال خصائصها الموجية ، أي تطبيق ميكانيكا نيوتن الكلاسيكية.

221. مرور الجسيم عبر حاجز محتمل.

تأثير النفق

أبسط حاجز محتمل لشكل مستطيل (الشكل. لأحادي البعد (على طول محور حركة الجسيم). بالنسبة لحاجز محتمل لشكل مستطيل بارتفاع عرض l ، يمكننا كتابة

في ظل الظروف المعينة للمشكلة ، يكون للجسيم الكلاسيكي الطاقة ه ،أو تجاوز الحاجز دون عوائق (مع E> U) ،أو ينعكس منه (متى ه< U) سوف تتحرك في الاتجاه المعاكس ، أي لا يمكنها اختراق الحاجز. بالنسبة للجسيمات الدقيقة ، حتى في E> U ،هناك احتمال غير صفري أن الجسيم سوف ينعكس عن الحاجز ويتحرك في الاتجاه المعاكس. في ه هناك أيضًا احتمال غير صفري أن الجسيم سيكون في المنطقة x>أولئك. يخترق الحاجز. هذه الاستنتاجات التي تبدو متناقضة تتبع مباشرة من حل معادلة شرودنغر الموصوفة

412

الذي يصف حركة الجسيمات الدقيقة في ظل ظروف مشكلة معينة.

المعادلة (217.5) للحالات الثابتة لكل شكل من الأشكال المختارة. 301 ، أالمنطقة لديها

(للمناطق

(للمنطقة

الحلول العامة لهذه المعادلات التفاضلية:

يحتوي الحل (221.3) أيضًا على موجات (بعد الضرب بعامل زمني) تنتشر في كلا الاتجاهين. ومع ذلك ، في المنطقة 3 هناك فقط موجة مرت عبر الحاجز وتنتشر من اليسار إلى اليمين. لذلك ، يجب اعتبار المعامل في الصيغة (221.3) مساوياً للصفر.

في المنطقة 2 الحل يعتمد على العلاقات ه> يوأو ه الفائدة المادية هي الحالة عندما تكون الطاقة الإجمالية للجسيم أقل من ارتفاع الحاجز المحتمل ، لأنه عند همن الواضح أن قوانين الفيزياء الكلاسيكية لا تسمح للجسيم باختراق الحاجز. في هذه الحالة ، وفقًا لـ ف= - عدد وهمي ، أين

(للمنطقة

(للمنطقة 2) ؛

معنى فو 0 ، نحصل على حلول معادلة شرودنغر لثلاث مناطق بالشكل التالي:

(للمنطقة 3).

فيعلى وجه الخصوص ، للمنطقة 1 سيكون لدالة الموجة الكلية ، وفقًا لـ (217.4) ، الشكل

في هذا التعبير ، المصطلح الأول هو موجة مستوية من النوع (219.3) تنتشر في الاتجاه الإيجابي للمحور X(يتوافق مع جسيم يتحرك نحو الحاجز) ، والثاني - موجة تنتشر في الاتجاه المعاكس ، أي تنعكس من الحاجز (المقابل لجسيم يتحرك من الحاجز إلى اليسار).

(للمنطقة 3).

في المنطقة 2 لم تعد الدالة تتوافق مع انتشار الموجات المستوية في كلا الاتجاهين ، لأن الأسس ليسوا خياليين ، بل حقيقيين. يمكن إثبات أنه بالنسبة للحالة الخاصة لحاجز عالٍ وواسع ، عندما 1 ،

الطبيعة النوعية للوظائف وهي موضحة في الشكل. 301 ، والتي تتبع منها تلك الموجة

الوظيفة لا تساوي الصفر داخل الحاجز أيضًا ، ولكن في المنطقة 3, إذا لم يكن الحاجز عريضًا جدًا ، فسيكون له مرة أخرى شكل موجات دي برولي بنفس الزخم ، أي بنفس التردد ، ولكن بسعة أصغر. وبالتالي ، وجدنا أن للجسيم احتمالية غير صفرية للمرور عبر حاجز محتمل ذي عرض محدود.

وبالتالي ، فإن ميكانيكا الكم تؤدي إلى ظاهرة كمومية محددة جديدة بشكل أساسي تسمى تأثير النفق ونتيجة لذلك يمكن أن "يمر" الكائن الدقيق عبر الحاجز المحتمل. من حيث الحل المشترك للمعادلات لحاجز مستطيل محتمل يعطي (بافتراض أن معامل الشفافية صغير مقارنة بالوحدة)

أين هو العامل الثابت الذي يمكن أن يعادل واحد ؛ ش-ارتفاع الحاجز المحتمل هـ -طاقة الجسيمات هو عرض الحاجز.

من التعبير (221.7) يتبع ذلك دتعتمد بشكل كبير على الكتلة تيالجسيمات والعرض / الحاجز ومن (U-كلما اتسع الحاجز ، قل احتمال مرور الجسيم عبره.

لحاجز محتمل من الشكل التعسفي (الشكل 302) يفي بشروط ما يسمى التقريب شبه الكلاسيكي(شكل منحنى سلس إلى حد ما) لدينا

أين U = U (x).

من وجهة النظر الكلاسيكية ، مرور الجسيم عبر حاجز محتمل عند ه مستحيل ، لأن الجسيم ، في منطقة الحاجز ، يجب أن يكون لديه طاقة حركية سالبة. تأثير النفق هو تأثير كمي محدد.

يمكن تفسير مرور الجسيم عبر منطقة لا يستطيع اختراقها ، وفقًا لقوانين الميكانيكا الكلاسيكية ، من خلال علاقة عدم اليقين. عدم اليقين الزخم أرفي الجزء آه =يكون Ar> -.يرتبط هذا الانتشار بقيم الزخم الحركي

302

يمكن أن تكون الطاقة التشيكية

كافية لإكمال

تبين أن طاقة الجسيم أكبر من الطاقة الكامنة.

تم وضع أسس نظرية تقاطعات الأنفاق في أعمال L.I.

نفق عبر حاجز محتمل يكمن وراء العديد من الظواهر في فيزياء الحالة الصلبة (على سبيل المثال ، الظواهر في طبقة التلامس عند السطح البيني بين أشباه موصلات) ، الفيزياء الذرية والنووية (على سبيل المثال ، الاضمحلال ، التفاعلات النووية الحرارية).

§ 222. مذبذب خطي توافقي

في ميكانيكا الكم

مذبذب خطي توافقي- النظام الذي يقوم بحركة أحادية البعد تحت تأثير قوة شبه مرنة هو نموذج مستخدم في العديد من مشاكل النظرية الكلاسيكية والكمية (انظر الفقرة 142). البندولات الربيعية والفيزيائية والرياضية هي أمثلة على المذبذبات التوافقية الكلاسيكية.

الطاقة الكامنة للمذبذب التوافقي [see. (141.5)] هو

أين هو التردد الطبيعي للمذبذب ؛ تي -كتلة الجسيمات.

الاعتماد (222.1) له شكل القطع المكافئ (الشكل 303) ، أي "البئر المحتمل" في هذه الحالة هو قطع مكافئ.

يتم تحديد سعة التذبذبات الصغيرة للمذبذب الكلاسيكي من خلال طاقته الإجمالية ه(انظر الشكل 17).

دنجر مع مراعاة التعبير (222.1) للطاقة الكامنة. ثم يتم تحديد الحالات الثابتة للمذبذب الكمومي من خلال معادلة شرودنغر في النموذج

= 0, (222.2)

أين هـ -إجمالي طاقة المذبذب. في نظرية المعادلات التفاضلية

ثبت أن المعادلة (222.2) تحل فقط لقيم الطاقة الذاتية

(222.3)

توضح الصيغة (222.3) أن طاقة مذبذب الكم تستطيع ذلك

لدى فقط قيم منفصلة ،أي. مكم.يتم تقييد الطاقة من الأسفل بقيمة غير صفرية ، كما هو الحال بالنسبة لـ "حفرة" مستطيلة ذات "جدران" عالية بشكل لا نهائي (انظر الفقرة 220) ، بأقل قيمة للطاقة = سو-

وجود الحد الأدنى من الطاقة - ما يسمى طاقة نقطة الصفر - هو نموذجي للأنظمة الكمومية وهو نتيجة مباشرة لعلاقة عدم اليقين.

يعني وجود اهتزازات صفرية أن الجسيم لا يمكن أن يكون في قاع "البئر المحتمل" (بغض النظر عن شكل البئر). في الواقع ، يرتبط "السقوط إلى قاع الحفرة" بتلاشي زخم الجسيم ، وفي الوقت نفسه عدم يقينه. ثم يصبح عدم اليقين في الإحداثيات كبيرًا بشكل تعسفي ، والذي بدوره يتعارض مع وجود الجسيم في

"ثقب محتمل".

الاستنتاج حول وجود طاقة ذبذبات نقطة الصفر لمذبذب الكم يتناقض مع استنتاجات النظرية الكلاسيكية ، والتي بموجبها تكون أقل طاقة يمكن أن يمتلكها المذبذب هي صفر (المقابلة لجسيم في حالة السكون في وضع التوازن) . على سبيل المثال ، وفقًا لاستنتاجات الفيزياء الكلاسيكية في تي= 0 ، يجب أن تكون طاقة الحركة الاهتزازية لذرات البلورة قد اختفت. وبالتالي ، فإن تشتت الضوء بسبب اهتزازات الذرات يجب أن يختفي أيضًا. ومع ذلك ، أظهرت التجربة أن شدة تشتت الضوء مع انخفاض درجة الحرارة لا تساوي الصفر ، ولكنها تميل إلى قيمة محددة معينة ، مما يشير إلى أنه عند تي 0 اهتزازات الذرات في بلورة لا تتوقف. هذا تأكيد على وجود تقلبات صفرية.

ويترتب على ذلك أيضًا من الصيغة (222.3) أن مستويات الطاقة للمذبذب التوافقي الخطي تقع على مسافات متساوية من بعضها البعض (انظر الشكل 303) ، أي أن المسافة بين مستويات الطاقة المجاورة تساوي وقيمة الطاقة الدنيا =

يؤدي الحل الدقيق لمشكلة المذبذب الكمومي إلى اختلاف كبير آخر عن المشكلة التقليدية.

بالنسبة لجسيمات العالم الكمي ، تنطبق قوانين أخرى غير تلك الخاصة بأشياء الميكانيكا الكلاسيكية. وفقًا لافتراض دي برولي ، فإن الأجسام الدقيقة لها خصائص كل من الجسيمات والموجات - وفي الواقع ، عندما تنتشر حزمة إلكترونية في حفرة ، يُلاحظ الحيود ، وهو ما يميز الموجات.

لذلك ، لا يمكننا التحدث عن حركة الجسيمات الكمومية ، ولكن عن احتمال أن يكون الجسيم في نقطة معينة في نقطة زمنية معينة.

ما الذي يصف معادلة شرودنغر

تهدف معادلة شرودنغر إلى وصف ميزات حركة الأجسام الكمومية في مجالات القوى الخارجية. غالبًا ما يتحرك الجسيم عبر مجال قوة لا يعتمد على الوقت. في هذه الحالة ، تتم كتابة معادلة شرودنغر الثابتة:

في المعادلة المقدمة ، m و E ، على التوالي ، طاقة الجسيم في مجال القوة ، و U هي طاقة هذا المجال. هو عامل لابلاس. - ثابت بلانك يساوي 6.626 10 -34 جول ث.

(وتسمى أيضًا سعة الاحتمال ، أو psi-function) - هذه هي الوظيفة التي تتيح لك معرفة المكان الذي من المرجح أن يكون فيه الجسم الصغير في الفضاء. المعنى المادي ليس الوظيفة نفسها ، بل مربعها. احتمال أن يكون الجسيم بحجم أولي هو:

لذلك ، من الممكن العثور على دالة في حجم محدود مع الاحتمال:

نظرًا لأن دالة psi هي احتمالية ، فلا يمكن أن تكون أقل من صفر ولا تتجاوز واحدًا. الاحتمال الكلي لإيجاد جسيم في حجم لانهائي هو حالة التطبيع:

بالنسبة لوظيفة psi ، يعمل مبدأ التراكب: إذا كان الجسيم أو النظام يمكن أن يكون في عدد من الحالات الكمومية ، فإن الحالة التي يحددها مجموعها ممكنة أيضًا:

تحتوي معادلة شرودنغر الثابتة على العديد من الحلول ، ولكن عند الحل ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار شروط الحدود واختيار الحلول المناسبة فقط - تلك التي لها معنى فيزيائي. توجد مثل هذه الحلول فقط للقيم الفردية لطاقة الجسيم E ، والتي تشكل طيف الطاقة المنفصل للجسيم.

أمثلة على حل المشكلات

مثال 1

يمارس	تصف الدالة الموجية المسافة بين الإلكترون ونواة الهيدروجين: r هي المسافة بين الإلكترون والنواة ، a هو نصف قطر بوهر الأول. كم يبعد الإلكترون عن النواة؟
حل	1) بالتعبير عن الحجم بدلالة نصف قطر النواة ، نجد احتمال أن يكون الإلكترون ضمن مسافة معينة من النواة: 2) احتمال أن يكون الإلكترون داخل "الحلقة" الأولية د: 3) لإيجاد المسافة الأكثر احتمالاً نجد من التعبير الأخير: لحل هذه المعادلة ، نحصل على r = a - المسافة الأكثر احتمالًا بين الإلكترون والنواة.
إجابة	r = a - مع أعلى احتمال ، تقع النواة على مسافة نصف قطر بوهر الأول من النواة.

مثال 2

يمارس

أوجد مستويات الطاقة لجسيم ما في بئر ذات جهد غير محدود.

حل

دع الجسيم يتحرك على طول المحور السيني. عرض الحفرة - ل. نحسب الطاقة من قاع البئر ونصفها بالوظيفة: نكتب معادلة شرودنغر الثابتة أحادية البعد: ضع في اعتبارك شروط الحدود. نظرًا لأننا نعتقد أن الجسيم لا يمكنه اختراق الجدران ، فإن خارج البئر = 0. عند حدود البئر ، فإن وظيفة psi تساوي أيضًا صفرًا: في البئر ، الطاقة الكامنة هي U = 0. ثم سيتم تبسيط معادلة شرودنغر المكتوبة للبئر: في الشكل ، هذا هو DE للمذبذب التوافقي: