عندما لا توجد جذور في المعادلة التربيعية. المعادلات التربيعية

صيغ لجذور المعادلة التربيعية. يتم النظر في حالات الجذور الحقيقية والمتعددة والمعقدة. تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل. تفسير هندسي. أمثلة على تحديد الجذور والعوامل.

الصيغ الأساسية

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية:
(1) .
جذور المعادلة التربيعية(1) تحددها الصيغ:
; .
يمكن دمج هذه الصيغ على النحو التالي:
.
عندما تكون جذور المعادلة التربيعية معروفة ، يمكن تمثيل كثير الحدود من الدرجة الثانية كمنتج من العوامل (محسوبة إلى عوامل):
.

علاوة على ذلك ، نفترض أن هذه أرقام حقيقية.
انصح مميز لمعادلة تربيعية:
.
إذا كان المميز موجبًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذران حقيقيان مختلفان:
; .
ثم يكون لتحليل ثلاثي الحدود المربع الشكل:
.
إذا كان المميز صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذور حقيقية متعددة (متساوية):
.
التخصيم:
.
إذا كان المميز سالبًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذران مترافقان مركبان:
;
.
هذه هي الوحدة التخيلية ،
وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية للجذور:
; .
ثم

.

تفسير الجرافيك

إذا رسمنا الدالة
,
وهو قطع مكافئ ، فإن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ستكون جذور المعادلة
.
عندما يتقاطع الرسم البياني مع محور الإحداثيات (المحور) عند نقطتين.
عندما يلمس الرسم البياني المحور x عند نقطة واحدة.
عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني.

فيما يلي أمثلة على هذه الرسوم البيانية.

الصيغ المفيدة المتعلقة بالمعادلة التربيعية

(و 1) ;
(و 2) ;
(و 3) .

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

نقوم بإجراء تحويلات ونطبق الصيغتين (f.1) و (f.3):




,
أين
; .

لذلك ، حصلنا على صيغة كثير الحدود من الدرجة الثانية في الصورة:
.
من هذا يمكن أن نرى أن المعادلة

أجرى في
و .
وهذا هو ، وجذور المعادلة التربيعية
.

أمثلة على تحديد جذور المعادلة التربيعية

مثال 1

(1.1) .

المحلول

.
بالمقارنة مع معادلتنا (1.1) ، نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
نظرًا لأن المميز موجب ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين:
;
;
.

من هنا نحصل على تحلل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:

.

رسم بياني للدالة y = 2 × 2 + 7 × + 3يقطع المحور السيني عند نقطتين.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. يعبر المحور السيني (المحور) عند نقطتين:
و .
هذه النقاط هي جذور المعادلة الأصلية (1.1).

إجابه

;
;
.

مثال 2

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(2.1) .

المحلول

نكتب المعادلة التربيعية بشكل عام:
.
بالمقارنة مع المعادلة الأصلية (2.1) ، نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
نظرًا لأن المميز هو صفر ، فإن المعادلة لها جذران متعددان (متساويان):
;
.

ثم يكون لعامل ثلاثي الحدود الشكل:
.

رسم بياني للدالة y = x 2 - 4 × + 4يلامس المحور السيني عند نقطة واحدة.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. تلامس المحور السيني (المحور) عند نقطة واحدة:
.
هذه النقطة هي جذر المعادلة الأصلية (2.1). بما أن هذا الجذر تم تحليله مرتين:
,
ثم يسمى هذا الجذر مضاعف. أي أنهم يعتبرون أن هناك جذران متساويان:
.

إجابه

;
.

مثال 3

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(3.1) .

المحلول

نكتب المعادلة التربيعية بشكل عام:
(1) .
دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية (3.1):
.
بالمقارنة مع (1) نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
المميز سلبي. لذلك ، لا توجد جذور حقيقية.

يمكنك إيجاد جذور معقدة:
;
;
.

ثم


.

لا يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع المحور x. لا توجد جذور حقيقية.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. لا تعبر الإحداثية (المحور). لذلك ، لا توجد جذور حقيقية.

إجابه

لا توجد جذور حقيقية. الجذور المعقدة:
;
;
.

دعونا نعمل مع المعادلات التربيعية. هذه معادلات شائعة جدًا! تبدو المعادلة التربيعية في أكثر صورها عمومية كما يلي:

فمثلا:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

جيد، لقد وصلتك الفكرة...

كيف تحل المعادلات التربيعية؟إذا كانت لديك معادلة تربيعية بهذا الشكل ، فكل شيء بسيط. تذكر الكلمة السحرية مميز . لم يسمع طالب ثانوي نادر هذه الكلمة! إن عبارة "قرر من خلال التمييز" مطمئنة ومطمئنة. لأنه لا داعي لانتظار الحيل من المميز! إنه بسيط وخالي من المتاعب للاستخدام. إذن ، فإن صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية تبدو كما يلي:

التعبير الموجود تحت علامة الجذر هو نفسه مميز. كما ترى ، لإيجاد x ، نستخدم فقط أ ، ب ، ج. أولئك. معاملات المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ ، ب ، جفي هذه الصيغة والنظر. بديل مع علاماتك! على سبيل المثال ، للمعادلة الأولى أ =1; ب = 3; ج= -4. نكتب هنا:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا كل شئ.

ما هي الحالات الممكنة عند استخدام هذه الصيغة؟ لا يوجد سوى ثلاث حالات.

1. المميز موجب. هذا يعني أنه يمكنك استخراج الجذر منه. هل يتم استخلاص الجذر بشكل جيد أم بشكل سيئ هو سؤال آخر. من المهم ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن ، للمعادلة التربيعية جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر. ثم لديك حل واحد. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا ليس جذرًا واحدًا ، ولكن اثنان متطابقان. لكن هذا يلعب دورًا في عدم المساواة ، حيث سندرس القضية بمزيد من التفصيل.

3. المميز سلبي. العدد السالب لا يأخذ الجذر التربيعي. حسنًا ، حسنًا. هذا يعني أنه لا توجد حلول.

كل شيء بسيط للغاية. وما رأيك ، لا يمكنك أن تخطئ؟ حسنًا ، نعم ، كيف ...
الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط مع علامات القيم أ ، ب ، ج. أو بالأحرى ، ليس بعلاماتهم (أين يمكن الخلط؟) ، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. هنا ، يحفظ سجل مفصل للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات ، اذا افعلها!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6 ؛ ب = -5 ؛ ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا ، لا تكن كسولًا. سوف يستغرق الأمر 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف ينخفض ​​بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع كل الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب للغاية الرسم بعناية. لكن على ما يبدو فقط. جربها. حسنًا ، أو اختر. أيهما أفضل ، سريع ، أم صحيح؟ الى جانب ذلك ، سأجعلك سعيدا. بعد فترة ، لن تكون هناك حاجة لرسم كل شيء بعناية. سوف يتحول بشكل صحيح. خاصة إذا قمت بتطبيق تقنيات عملية موضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات سيتم حله بسهولة وبدون أخطاء!

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرناه. أو تعلم ، وهو أمر جيد أيضًا. يمكنك تحديد بشكل صحيح أ ، ب ، ج. هل تعرف كيف بحرصاستبدلهم في صيغة الجذر و بحرصعد النتيجة. هل فهمت أن الكلمة الأساسية هنا هي - بحرص؟

ومع ذلك ، غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلاً. على سبيل المثال ، مثل هذا:

هو - هي معادلات تربيعية غير مكتملة . يمكن أيضًا حلها من خلال المميز. تحتاج فقط إلى معرفة ما هو متساوٍ هنا بشكل صحيح أ ، ب ، ج.

أدرك؟ في المثال الأول أ = 1 ؛ ب = -4 ؛أ ج؟ لا وجود لها على الإطلاق! حسنًا ، نعم ، هذا صحيح. في الرياضيات ، هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بصفر في الصيغة بدلاً من ج ،وكل شيء سينجح بالنسبة لنا. وبالمثل مع المثال الثاني. فقط صفر ليس لدينا هنا مع، أ ب !

لكن المعادلات التربيعية غير المكتملة يمكن حلها بسهولة أكبر. بدون أي تمييز. ضع في اعتبارك أول معادلة غير مكتملة. ما الذي يمكن عمله على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعنا نخرجها.

وماذا عنها؟ وحقيقة أن حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا ، وفقط إذا كان أي من العوامل يساوي صفرًا! لا تصدق؟ حسنًا ، إذن ابتكر رقمين غير صفريين ، عند ضربهما ، سيعطينا صفرًا!
لا يعمل؟ شئ ما...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: س = 0، أو س = 4

كل شىء. ستكون هذه جذور معادلتنا. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية ، نحصل على المتطابقة الصحيحة 0 = 0. كما ترى ، الحل أبسط بكثير مما هو من خلال المميز.

يمكن أيضًا حل المعادلة الثانية بسهولة. ننتقل 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

يبقى استخراج الجذر من 9 ، وهذا كل شيء. احصل على:

أيضا اثنين من الجذور . س = +3 و س = -3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير المكتملة. إما بإخراج X من الأقواس ، أو ببساطة عن طريق نقل الرقم إلى اليمين ، متبوعًا باستخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه الأساليب. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيكون عليك استخراج الجذر من X ، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما ، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء لإزالته من الأقواس ...

لاحظ الآن الأساليب العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. تلك التي ترجع إلى الغفلة ... وهي إذن مؤلمة ومهينة ...

أول استقبال. لا تكن كسولًا قبل حل المعادلة التربيعية للوصول بها إلى الشكل القياسي. ماذا يعني هذا؟
افترض ، بعد أي تحويلات ، أنك حصلت على المعادلة التالية:

لا تتسرع في كتابة صيغة الجذور! من شبه المؤكد أنك ستخلط الاحتمالات أ ، ب ، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً ، x تربيع ، ثم بدون مربع ، ثم عضو حر. مثله:

ومرة أخرى ، لا تتعجل! يمكن أن يزعجك الطرح الموجود قبل x تربيع كثيرًا. النسيان سهل ... تخلص من الناقص. كيف؟ نعم كما تم تدريسه في الموضوع السابق! علينا ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

والآن يمكنك كتابة معادلة الجذور بأمان وحساب المميز وإكمال المثال. تقرر بنفسك. يجب أن ينتهي بك الأمر مع الجذور 2 و -1.

الاستقبال الثاني.تحقق من جذورك! وفقًا لنظرية فييتا. لا تقلق ، سأشرح كل شيء! تدقيق آخر شيءالمعادلة. أولئك. الذي كتبنا بواسطته صيغة الجذور. إذا (كما في هذا المثال) المعامل أ = 1، فحص الجذور بسهولة. يكفي أن نضاعفهم. يجب أن تحصل على مصطلح مجاني ، أي في حالتنا -2. انتبه ، ليس 2 ، بل -2! عضو مجاني مع برجك . إذا لم ينجح الأمر ، فهذا يعني أنهم أفسدوا بالفعل في مكان ما. ابحث عن خطأ. إذا نجحت ، فأنت بحاجة إلى ثني الجذور. الاختيار الأخير والنهائي. يجب أن تكون نسبة بمع عكس إشارة. في حالتنا -1 + 2 = +1. معامل ب، وهي قبل x ، تساوي -1. لذا ، كل شيء صحيح!
إنه لأمر مؤسف أن يكون الأمر بسيطًا جدًا فقط للأمثلة التي يكون فيها x تربيع نقيًا ، بمعامل أ = 1.لكن على الأقل تحقق في مثل هذه المعادلات! سيكون هناك أخطاء أقل.

استقبال ثالث. إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية ، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة في المقام المشترك كما هو موضح في القسم السابق. عند العمل مع الكسور والأخطاء ، لسبب ما ، تسلق ...

بالمناسبة ، لقد وعدت بمثال شرير مع مجموعة من السلبيات للتبسيط. لو سمحت! ها هو.

حتى لا يتم الخلط بين السلبيات ، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! اتخاذ القرار ممتع!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصائح عملية:

1. قبل الحل ، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة القياسية ، ونبنيها حقا.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام x في المربع ، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية ، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x تربيع نقية ، فإن المعامل الخاص بها يساوي واحدًا ، فيمكن بسهولة التحقق من الحل من خلال نظرية فييتا. افعلها!

المعادلات الكسرية. ODZ.

نواصل إتقان المعادلات. نحن نعلم بالفعل كيفية التعامل مع المعادلات الخطية والتربيعية. يبقى الرأي الأخير معادلات كسرية. أو يطلق عليهم أيضًا اسم أكثر صلابة - المعادلات المنطقية الكسرية. نفس الشئ.

المعادلات الكسرية.

كما يوحي الاسم ، تحتوي هذه المعادلات بالضرورة على كسور. ولكن ليس فقط الكسور ، ولكن الكسور التي لها غير معروف في المقام. على الأقل في واحدة. فمثلا:

دعني أذكرك ، إذا كان في القواسم فقط أعداد، هذه معادلات خطية.

كيف تقرر معادلات كسرية؟ بادئ ذي بدء ، تخلص من الكسور! بعد ذلك ، تتحول المعادلة في أغلب الأحيان إلى معادلة خطية أو تربيعية. ثم نعرف ما يجب فعله ... في بعض الحالات ، يمكن أن يتحول إلى هوية ، مثل 5 = 5 أو تعبير غير صحيح ، مثل 7 = 2. لكن هذا نادرًا ما يحدث. أدناه سوف أذكرها.

ولكن كيف نتخلص من الكسور !؟ بسيط جدا. تطبيق كل نفس التحولات.

علينا ضرب المعادلة بأكملها في نفس التعبير. حتى تنخفض كل القواسم! كل شيء سيصبح على الفور أسهل. أشرح بمثال. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة:

كيف تم تدريسهم في المدرسة الابتدائية؟ ننقل كل شيء في اتجاه واحد ، ونختزله إلى قاسم مشترك ، إلخ. انسى كم هو سيء الحلم! هذا ما عليك فعله عندما تضيف أو تطرح التعبيرات الكسرية. أو العمل مع عدم المساواة. وفي المعادلات ، نضرب كلا الجزأين على الفور في تعبير يمنحنا الفرصة لاختزال كل المقامات (أي ، في جوهرها ، بمقام مشترك). وما هو هذا التعبير؟

على الجانب الأيسر ، لتقليل المقام ، تحتاج إلى الضرب في x + 2. وعلى اليمين ، الضرب في 2. إذن ، يجب ضرب المعادلة في 2 (× + 2). نضرب:

هذا هو الضرب المعتاد للكسور ، لكني سأكتب بالتفصيل:

يرجى ملاحظة أنني لم أفتح القوس بعد. (x + 2)! لذلك ، في مجملها ، أكتبها:

على الجانب الأيسر ، يتم تصغيره بالكامل (x + 2)، وفي الحق 2. كما هو مطلوب! بعد التخفيض نحصل خطيالمعادلة:

يمكن لأي شخص حل هذه المعادلة! س = 2.

لنحل مثالًا آخر أكثر تعقيدًا:

إذا تذكرنا أن 3 = 3/1 ، و 2x = 2x / 1 يمكن كتابتها:

ومرة أخرى نتخلص مما لا نحبه حقًا - من الكسور.

نرى أنه لتقليل المقام بـ x ، من الضروري ضرب الكسر في (× - 2). والوحدات ليست عائقا لنا. حسنًا ، لنضرب. الجميعالجانب الأيسر و الكلالجانب الأيمن:

الأقواس مرة أخرى (× - 2)أنا لا أكشف. أعمل مع القوس ككل ، كما لو كان رقمًا واحدًا! يجب أن يتم ذلك دائمًا ، وإلا فلن يتم تقليل أي شيء.

بشعور من الرضا العميق ، قطعنا (× - 2)ونحصل على المعادلة بدون كسور بالمسطرة!

والآن نفتح الأقواس:

نعطي أشياء مماثلة ، وننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونحصل على:

المعادلة الكلاسيكية من الدرجة الثانية. لكن ناقص المستقبل ليس جيدًا. يمكنك التخلص منه دائمًا عن طريق الضرب أو القسمة على -1. لكن إذا نظرت عن كثب إلى المثال ، ستلاحظ أنه من الأفضل قسمة هذه المعادلة على -2! بضربة واحدة ، سيختفي الناقص ، وستصبح المعاملات أجمل! نقسم على -2. على الجانب الأيسر - حدًا بمصطلح ، وعلى اليمين - قسّم صفرًا على -2 وصفر واحصل على:

نقوم بالحل من خلال المميز والتحقق وفقًا لنظرية فييتا. نحن نحصل س = 1 و س = 3. جذران.

كما ترون ، في الحالة الأولى ، أصبحت المعادلة بعد التحويل خطية ، وهنا تربيعية. يحدث أنه بعد التخلص من الكسور ، يتم تقليل كل x. بقي شيء ، مثل 5 = 5. هذا يعني انه يمكن أن يكون x أي شيء. مهما كان ، سيظل مخفضًا. واحصل على الحقيقة الخالصة ، 5 = 5. ولكن بعد التخلص من الكسور ، قد يتبين أنها غير صحيحة تمامًا ، مثل 2 = 7. وهذا يعني ذلك لا توجد حلول! مع أي x ، يتبين أنها خاطئة.

أدركت الطريقة الرئيسية لحلها معادلات كسرية؟ إنه بسيط ومنطقي. نغير التعبير الأصلي بحيث يختفي كل ما لا نحبه. أو تتدخل. في هذه الحالة ، إنها كسور. سنفعل الشيء نفسه مع جميع أنواع الأمثلة المعقدة مع اللوغاريتمات والجيب وغيرها من الرعب. نحن دائماًسوف نتخلص من كل هذا.

ومع ذلك ، نحتاج إلى تغيير المقدار الأصلي في الاتجاه الذي نحتاجه وفقا للقوانيننعم .. الذي تطوره هو الإعداد لامتحان الرياضيات. نحن هنا نتعلم.

الآن سوف نتعلم كيفية تجاوز أحد الامتدادات الكمائن الرئيسية في الامتحان! لكن أولاً ، دعنا نرى ما إذا كنت ستقع فيه أم لا؟

لنأخذ مثالًا بسيطًا:

الأمر مألوف بالفعل ، نضرب كلا الجزأين في (× - 2)، نحن نحصل:

تذكر ، مع الأقواس (× - 2)نحن نعمل مع تعبير واحد متكامل!

هنا لم أعد أكتب واحدًا في القواسم ، إنه غير لائق ... ولم أرسم أقواسًا في القواسم ، باستثناء س - 2لا يوجد شيء ، لا يمكنك الرسم. نحن نقصر:

نفتح الأقواس ، وننقل كل شيء إلى اليسار ، ونعطي الأقواس المتشابهة:

نحل ، نتحقق ، نحصل على جذرين. س = 2و س = 3. ممتاز.

افترض أن المهمة تقول لكتابة الجذر ، أو مجموعهم ، إذا كان هناك أكثر من جذر واحد. ماذا نكتب؟

إذا قررت أن الإجابة هي 5 ، فأنت تعرضت لكمين. ولن تحسب المهمة بالنسبة لك. لقد عملوا عبثا ... الإجابة الصحيحة هي 3.

ما الأمر؟! وأنت تحاول التحقق. استبدل قيم المجهول في مبدئيمثال. وإذا كان في س = 3كل شيء ينمو معًا بشكل رائع ، نحصل على 9 = 9 ، ثم مع س = 2اقسم على صفر! ما لا يمكن القيام به على الإطلاق. وسائل س = 2ليس حلا ، ولا يؤخذ في الاعتبار في الجواب. هذا هو ما يسمى الجذر الخارجي أو الإضافي. نحن فقط نتجاهلها. لا يوجد سوى جذر نهائي واحد. س = 3.

كيف ذلك؟! أسمع صيحات غاضبة. لقد تعلمنا أنه يمكن ضرب المعادلة بتعبير! هذا هو نفس التحول!

نعم متطابقة. تحت شرط صغير - التعبير الذي نضرب به (نقسم) - يختلف عن الصفر. لكن س - 2في س = 2يساوي صفر! لذلك كل شيء عادل.

والآن ماذا يمكنني أن أفعل ؟! لا تضرب بالتعبير؟ هل تتحقق في كل مرة؟ غير واضح مرة أخرى!

بهدوء! لا تخاف!

في هذا الموقف الصعب ، ستنقذنا ثلاثة أحرف سحرية. أنا أعرف ما كنت تفكر فيه. بشكل صحيح! هو - هي ODZ . منطقة القيم الصالحة.

ينتشر استخدام المعادلات في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ، ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. يسمح لك المميز بحل أي معادلات تربيعية باستخدام الصيغة العامة ، والتي لها الشكل التالي:

الصيغة المميزة تعتمد على درجة كثير الحدود. الصيغة أعلاه مناسبة لحل المعادلات التربيعية بالشكل التالي:

المميز له الخصائص التالية التي تحتاج إلى معرفتها:

* "D" تساوي صفرًا عندما يكون لكثير الحدود جذور متعددة (جذور متساوية) ؛

* "D" هو كثير حدود متماثل فيما يتعلق بجذور كثير الحدود ، وبالتالي فهو متعدد الحدود في معاملاته ؛ علاوة على ذلك ، معاملات هذا كثير الحدود هي أعداد صحيحة ، بغض النظر عن الامتداد الذي تؤخذ فيه الجذور.

لنفترض أننا حصلنا على معادلة من الدرجة الثانية بالشكل التالي:

1 المعادلة

حسب الصيغة لدينا:

منذ \ ، إذن للمعادلة جذران. دعونا نحددهم:

أين يمكنني حل المعادلة من خلال برنامج الحل المميز عبر الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا ، وإذا كان لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

تتم دراسة مهام المعادلة التربيعية في كل من المناهج الدراسية والجامعات. يتم فهمها على أنها معادلات من الشكل أ * س ^ 2 + ب * س + ج \ u003d 0 ، حيث س-متغير ، أ ، ب ، ج - ثوابت ؛ أ<>0. تكمن المشكلة في إيجاد جذور المعادلة.

المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية

الرسم البياني للدالة التي يتم تمثيلها بمعادلة تربيعية هو القطع المكافئ. حلول (جذور) المعادلة التربيعية هي نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. يترتب على ذلك وجود ثلاث حالات محتملة:
1) القطع المكافئ ليس له نقاط تقاطع مع المحور السيني. هذا يعني أنه في المستوى العلوي مع وجود فروع لأعلى أو أسفل مع فروع لأسفل. في مثل هذه الحالات ، لا يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية (لها جذور معقدة).

2) القطع المكافئ له نقطة تقاطع واحدة مع محور الثور. تسمى هذه النقطة رأس القطع المكافئ ، وتكتسب المعادلة التربيعية فيها القيمة الدنيا أو القصوى. في هذه الحالة ، يكون للمعادلة التربيعية جذر حقيقي واحد (أو جذران متطابقان).

3) الحالة الأخيرة أكثر إثارة للاهتمام من الناحية العملية - هناك نقطتان من تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثيات. هذا يعني أن هناك جذرين حقيقيين للمعادلة.

بناءً على تحليل المعاملات في قوى المتغيرات ، يمكن استخلاص استنتاجات مثيرة للاهتمام حول موضع القطع المكافئ.

1) إذا كان المعامل a أكبر من الصفر ، يتم توجيه القطع المكافئ لأعلى ، وإذا كان سالبًا ، يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى أسفل.

2) إذا كان المعامل b أكبر من الصفر ، فإن رأس القطع المكافئ يقع في النصف الأيسر من المستوى ، وإذا أخذ قيمة سالبة ، فإنه يقع على اليمين.

اشتقاق صيغة لحل المعادلة التربيعية

لننقل الثابت من المعادلة التربيعية

لعلامة المساواة ، نحصل على التعبير

اضرب كلا الطرفين في 4 أ

للحصول على مربع كامل على اليسار ، أضف b ^ 2 في كلا الجزأين وقم بإجراء التحويل

من هنا نجد

صيغة المميز وجذور المعادلة التربيعية

المميز هو قيمة التعبير الجذري. إذا كان موجبًا ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين ، محسوبًا بالصيغة عندما يكون المميز صفراً ، يكون للمعادلة التربيعية حل واحد (جذران متطابقان) ، يسهل الحصول عليه من الصيغة أعلاه لـ D = 0. عندما يكون المميز سالبًا ، لا توجد جذور حقيقية. ومع ذلك ، لدراسة حلول المعادلة التربيعية في المستوى المركب ، ويتم حساب قيمتها بواسطة الصيغة

نظرية فييتا

ضع في اعتبارك جذرين لمعادلة تربيعية وقم ببناء معادلة من الدرجة الثانية على أساسهما. تتبع نظرية فييتا نفسها بسهولة من التدوين: إذا كان لدينا معادلة تربيعية للصيغة ثم مجموع جذورها يساوي المعامل ص ، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب جذور المعادلة يساوي المصطلح الحر q. ستبدو معادلة ما ورد أعلاه كما لو كان الثابت a في المعادلة الكلاسيكية غير صفري ، فأنت بحاجة إلى قسمة المعادلة بأكملها عليه ، ثم تطبيق نظرية فييتا.

جدول المعادلة التربيعية على العوامل

دع المهمة يتم تعيينها: لتحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل. لإجراء ذلك ، نحل المعادلة أولاً (أوجد الجذور). بعد ذلك ، نعوض بالجذور التي تم العثور عليها في الصيغة لفك المعادلة التربيعية ، وسيتم حل هذه المشكلة.

مهام معادلة من الدرجة الثانية

مهمة 1. أوجد جذور المعادلة التربيعية

س ^ 2-26x + 120 = 0.

الحل: اكتب المعاملات واستبدلها بالصيغة المميزة

جذر هذه القيمة هو 14 ، من السهل العثور عليها باستخدام الآلة الحاسبة ، أو تذكرها مع الاستخدام المتكرر ، ومع ذلك ، للراحة ، في نهاية المقالة سأقدم لك قائمة بمربعات الأرقام التي يمكن أن تكون في كثير من الأحيان وجدت في مثل هذه المهام.
يتم تعويض القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر

ونحصل

المهمة 2. حل المعادلة

2x2 + x-3 = 0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة ، نكتب المعاملات ونوجد المميز


باستخدام الصيغ المعروفة ، نجد جذور المعادلة التربيعية

المهمة 3. حل المعادلة

9 × 2 - 12 × + 4 = 0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة. حدد المميز

حصلنا على الحالة عندما تتطابق الجذور. نجد قيم الجذور بالصيغة

المهمة 4. حل المعادلة

س ^ 2 + س 6 = 0.

الحل: في الحالات التي توجد فيها معاملات صغيرة لـ x ، يُنصح بتطبيق نظرية Vieta. بحالتها ، نحصل على معادلتين

من الشرط الثاني ، نحصل على أن المنتج يجب أن يساوي -6. هذا يعني أن أحد الجذور سالب. لدينا زوج الحلول المحتمل التالي (-3 ؛ 2) ، (3 ؛ -2). مع الأخذ في الاعتبار الشرط الأول ، نرفض الزوج الثاني من الحلول.
جذور المعادلة

المهمة 5. أوجد أطوال أضلاع المستطيل إذا كان محيطه 18 سم ومساحته 77 سم 2.

الحل: نصف محيط المستطيل يساوي مجموع الأضلاع المجاورة. دعنا نشير إلى x - الضلع الأكبر ، إذن 18-x هو ضلعها الأصغر. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب هذه الأطوال:
س (18 س) = 77 ؛
أو
× 2-18 × + 77 \ u003d 0.
أوجد مميز المعادلة

نحسب جذور المعادلة

اذا كان س = 11 ،ومن بعد 18x = 7 ،والعكس صحيح أيضًا (إذا كانت x = 7 ، فإن 21-x = 9).

المشكلة 6. حلل المعادلة التربيعية 10x 2 -11x + 3 = 0 إلى عوامل.

الحل: احسب جذور المعادلة ، لهذا نجد المميز

نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذور ونحسبها

نطبق صيغة فك المعادلة التربيعية بدلالة الجذور

عند توسيع الأقواس نحصل على الهوية.

معادلة من الدرجة الثانية مع المعلمة

مثال 1. ما هي قيم المعلمة أ ،هل المعادلة (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 \ u003d 0 لها جذر واحد؟

الحل: بالتعويض المباشر للقيمة a = 3 ، نرى أنه لا يوجد حل لها. علاوة على ذلك ، سوف نستخدم حقيقة أنه مع وجود مميز صفري ، فإن المعادلة لها جذر واحد لمضاعفة 2. دعنا نكتب المميز

نبسطها ونساوي الصفر

لقد حصلنا على معادلة تربيعية فيما يتعلق بالمعامل a ، والتي يسهل الحصول على حلها باستخدام نظرية Vieta. مجموع الجذور هو 7 ، وحاصل ضربهما 12. من خلال العد البسيط ، نثبت أن الأرقام 3.4 ستكون جذور المعادلة. نظرًا لأننا رفضنا بالفعل الحل أ = 3 في بداية الحسابات ، فسيكون الحل الصحيح الوحيد - أ = 4.وبالتالي ، بالنسبة إلى أ = 4 ، يكون للمعادلة جذر واحد.

مثال 2. ما هي قيم المعلمة أ ،المعادلة أ (أ + 3) س ^ 2 + (2 أ + 6) س -3 أ -9 = 0له أكثر من جذر؟

الحل: ضع في اعتبارك أولاً النقاط المفردة ، ستكون القيم a = 0 و a = -3. عندما تكون a = 0 ، سيتم تبسيط المعادلة إلى الصورة 6x-9 = 0 ؛ س = 3/2 وسيكون هناك جذر واحد. بالنسبة لـ a = -3 نحصل على الهوية 0 = 0.
احسب المميز

وإيجاد قيم a التي تكون موجبة لها

من الشرط الأول نحصل على> 3. في الحالة الثانية ، نجد المميز وجذور المعادلة


دعنا نحدد الفترات التي تأخذ فيها الوظيفة قيمًا موجبة. بالتعويض عن النقطة a = 0 نحصل عليها 3>0 . إذن ، خارج الفترة الزمنية (-3 ؛ 1/3) الدالة سالبة. لا تنسى النقطة أ = 0والتي يجب استبعادها ، لأن المعادلة الأصلية لها جذر واحد فيها.
نتيجة لذلك ، نحصل على فترتين تفيان بشرط المشكلة

سيكون هناك العديد من المهام المتشابهة في الممارسة العملية ، حاول التعامل مع المهام بنفسك ولا تنس أن تأخذ في الاعتبار الظروف المتعارضة. ادرس جيدًا الصيغ لحل المعادلات التربيعية ، غالبًا ما تكون مطلوبة في العمليات الحسابية في مختلف المشكلات والعلوم.

المعادلة التربيعية - سهلة الحل! * كذلك في النص "KU".أصدقائي ، يبدو أنه في الرياضيات يمكن أن يكون أسهل من حل مثل هذه المعادلة. لكن شيئًا ما أخبرني أن الكثير من الناس لديهم مشاكل معه. قررت معرفة عدد مرات الظهور التي يقدمها Yandex لكل طلب شهريًا. إليك ما حدث ، ألق نظرة:

ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن حوالي 70000 شخص في الشهر يبحثون عن هذه المعلومات ، وهذا هو الصيف ، وما سيحدث خلال العام الدراسي - سيكون هناك ضعف عدد الطلبات. هذا ليس مفاجئًا ، لأن هؤلاء الرجال والفتيات الذين تخرجوا من المدرسة منذ فترة طويلة ويستعدون للامتحان يبحثون عن هذه المعلومات ، ويحاول أطفال المدارس أيضًا تجديد ذاكرتهم.

على الرغم من وجود الكثير من المواقع التي تخبرنا عن كيفية حل هذه المعادلة ، فقد قررت أيضًا المساهمة ونشر المادة. أولاً ، أريد أن يأتي الزوار إلى موقعي بناءً على هذا الطلب ؛ ثانيًا ، في مقالات أخرى ، عند طرح خطاب "KU" ، سأعطي رابطًا لهذه المقالة ؛ ثالثًا ، سأخبرك قليلاً عن حله أكثر مما هو مذكور عادةً في المواقع الأخرى. هيا بنا نبدأ!محتوى المقال:

المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة:

حيث المعاملات أ ،بوبأرقام عشوائية ، مع ≠ 0.

في الدورة المدرسية ، يتم تقديم المادة بالشكل التالي - يتم تقسيم المعادلات إلى ثلاث فئات بشكل مشروط:

1. لهما جذور.

2. * لها جذر واحد فقط.

3. ليس لها جذور. ومن الجدير بالذكر هنا أنه ليس لديهم جذور حقيقية

كيف يتم حساب الجذور؟ فقط!

نحسب المميز. تحت هذه الكلمة "الرهيبة" تكمن صيغة بسيطة للغاية:

صيغ الجذر هي كما يلي:

* يجب معرفة هذه الصيغ عن ظهر قلب.

يمكنك كتابة وحل ما يلي على الفور:

مثال:

1. إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة لها جذرين.

2. إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة لها جذر واحد.

3. إذا د< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

لنلقِ نظرة على المعادلة:

في هذه المناسبة ، عندما يكون المميز صفراً ، تقول الدورة المدرسية أنه تم الحصول على جذر واحد ، وهنا يساوي تسعة. هذا صحيح ، لكن ...

هذا التمثيل غير صحيح إلى حد ما. في الواقع ، هناك جذران. نعم ، نعم ، لا تتفاجأ ، فقد اتضح أن هناك جذرين متساويين ، ولكي تكون دقيقًا رياضيًا ، فيجب كتابة جذرين في الإجابة:

س 1 = 3 × 2 = 3

لكن هذا هو الحال - استطرادية صغيرة. في المدرسة ، يمكنك أن تكتب وتقول إن هناك جذرًا واحدًا فقط.

الآن المثال التالي:

كما نعلم ، لا يتم استخراج جذر العدد السالب ، لذلك لا يوجد حل في هذه الحالة.

هذه هي عملية اتخاذ القرار برمتها.

وظيفة من الدرجة الثانية.

إليك كيف يبدو الحل هندسيًا. هذا مهم للغاية لفهمه (في المستقبل ، في إحدى المقالات ، سنحلل بالتفصيل حل عدم المساواة التربيعية).

هذه هي وظيفة النموذج:

حيث x و y متغيران

أ ، ب ، ج معطاة أرقام ، حيث أ 0

الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ:

وهذا يعني أنه من خلال حل معادلة تربيعية تساوي "y" صفر ، نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. يمكن أن يكون هناك نقطتان من هذه النقاط (المميز موجب) ، واحد (المميز صفر) أو لا شيء (المميز سالب). المزيد عن الدالة التربيعية يمكنك مشاهدةمقالة بقلم إينا فيلدمان.

خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

مثال 1: قرر 2x 2 +8 x–192=0

أ = 2 ب = 8 ج = -192

د = ب 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 (–192) = 64 + 1536 = 1600

الجواب: × 1 = 8 × 2 = -12

* يمكنك على الفور قسمة الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة على 2 ، أي تبسيطها. ستكون الحسابات أسهل.

المثال 2: قرر x2–22 س + 121 = 0

أ = 1 ب = -22 ج = 121

د = ب 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 121 = 484–484 = 0

لقد حصلنا على ذلك x 1 \ u003d 11 و x 2 \ u003d 11

في الجواب يجوز كتابة x = 11.

الجواب: س = 11

المثال 3: قرر × 2 –8 س + 72 = 0

أ = 1 ب = -8 ج = 72

د = ب 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 72 = 64–288 = –224

المميز سالب ، ولا يوجد حل في الأعداد الحقيقية.

الجواب: لا يوجد حل

المميز سلبي. هل هناك حل!

هنا سنتحدث عن حل المعادلة في حالة الحصول على تمييز سلبي. هل تعرف أي شيء عن الأعداد المركبة؟ لن أخوض في التفاصيل هنا حول لماذا وأين نشأت وما هو دورها المحدد وضرورتها في الرياضيات ، فهذا موضوع لمقال منفصل كبير.

مفهوم العدد المركب.

قليلا من النظرية.

العدد المركب z هو رقم على الصورة

ض = أ + ثنائية

حيث a و b أرقام حقيقية ، فإن i هي ما يسمى بالوحدة التخيلية.

أ + ثنائي هو رقم واحد ، وليس إضافة.

الوحدة التخيلية تساوي جذر ناقص واحد:

الآن ضع في اعتبارك المعادلة:

احصل على جذرين مترافقين.

معادلة تربيعية غير كاملة.

ضع في اعتبارك حالات خاصة ، عندما يكون المعامل "b" أو "c" مساويًا للصفر (أو كلاهما يساوي الصفر). يتم حلها بسهولة دون أي تمييز.

الحالة الأولى: المعامل ب = 0.

تأخذ المعادلة الشكل:

دعنا نتحول:

مثال:

4x 2-16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

الحالة الثانية: المعامل ج = 0.

تأخذ المعادلة الشكل:

التحويل والتحويل إلى عوامل:

* المنتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 أو x –5 = 0

س 1 = 0 × 2 = 5

الحالة 3. المعامِلات b = 0 و c = 0.

من الواضح هنا أن حل المعادلة سيكون دائمًا x = 0.

خصائص وأنماط مفيدة للمعاملات.

هناك خصائص تسمح بحل المعادلات ذات المعاملات الكبيرة.

أx 2 + bx+ ج=0 المساواة

أ + ب+ ج = 0 ،ومن بعد

- إذا كانت لمعاملات المعادلة أx 2 + bx+ ج=0 المساواة

أ+ مع =ب, ومن بعد

تساعد هذه الخصائص في حل نوع معين من المعادلة.

مثال 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

مجموع المعاملات هو 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0 ، لذا

المثال 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

المساواة أ+ مع =ب, يعني

انتظام المعاملات.

1. إذا كان المعامل "b" في المعادلة ax 2 + bx + c \ u003d 0 (a 2 +1) ، والمعامل "c" يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d -a x 2 \ u003d -1 / a.

مثال. اعتبر المعادلة 6x 2 + 37x + 6 = 0.

× 1 \ u003d -6 × 2 \ u003d -1/6.

2. إذا كان المعامل "b" في المعادلة 2 - bx + c \ u003d 0 هو (a 2 +1) ، والمعامل "c" يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون

الفأس 2 - (أ 2 + 1) ∙ س + أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d أ × 2 \ u003d 1 / أ.

مثال. ضع في اعتبارك المعادلة 15x 2 –226x +15 = 0.

× 1 = 15 × 2 = 1/15.

3. إذا كان في المعادلةالفأس 2 + ب س - ج = 0 معامل "ب" يساوي (أ 2 - 1) والمعامل "ج" يساوي عدديًا المعامل "أ", ثم جذوره متساوية

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d - a x 2 \ u003d 1 / a.

مثال. اعتبر المعادلة 17x 2 + 288x - 17 = 0.

× 1 \ u003d - 17 × 2 \ u003d 1/17.

4. إذا كان في المعادلة ax 2 - bx - c \ u003d 0 ، فإن المعامل "b" يساوي (a 2 - 1) ، والمعامل c يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون

الفأس 2 - (أ 2 -1) ∙ س - أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d أ × 2 \ u003d - 1 / أ.

مثال. ضع في اعتبارك المعادلة 10x2 - 99x -10 = 0.

× 1 \ u003d 10 × 2 \ u003d - 1/10

نظرية فييتا.

سميت نظرية فييتا على اسم عالم الرياضيات الفرنسي الشهير فرانسوا فييتا. باستخدام نظرية فييتا ، يمكن للمرء أن يعبر عن مجموع ومنتج جذور KU التعسفي من حيث معاملاتها.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

باختصار ، العدد 14 يعطي فقط 5 و 9. هذه هي الجذور. بمهارة معينة ، باستخدام النظرية المقدمة ، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية على الفور شفهيًا.

علاوة على ذلك ، نظرية فييتا. مناسب لأنه بعد حل المعادلة التربيعية بالطريقة المعتادة (من خلال المميز) ، يمكن التحقق من الجذور الناتجة. أوصي بفعل هذا طوال الوقت.

طريقة النقل

بهذه الطريقة يتم ضرب المعامل "a" في المصطلح الحر كما لو "تم نقله" إليه ، لذلك سميت طريقة النقل.تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا ، والأهم من ذلك ، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

اذا كان أ± ب + ج≠ 0 ، ثم يتم استخدام تقنية النقل ، على سبيل المثال:

2X 2 – 11x + 5 = 0 (1) => X 2 – 11x + 10 = 0 (2)

وفقًا لنظرية Vieta في المعادلة (2) ، من السهل تحديد ذلك x 1 \ u003d 10 x 2 \ u003d 1

يجب تقسيم جذور المعادلة التي تم الحصول عليها على 2 (نظرًا لأن الاثنين تم "طرحهما" من × 2) ، نحصل على

× 1 \ u003d 5 × 2 \ u003d 0.5.

ما هو المبرر؟ انظر ماذا يحدث.

مميزات المعادلتين (1) و (2) هي:

إذا نظرت إلى جذور المعادلات ، فسنحصل على قواسم مختلفة فقط ، وتعتمد النتيجة بدقة على المعامل عند x 2:

الجذور الثانية (المعدلة) أكبر مرتين.

لذلك ، نقسم النتيجة على 2.

* إذا دحرجنا ثلاثة من نفس النوع ، فسنقسم النتيجة على 3 ، وهكذا.

الجواب: × 1 = 5 × 2 = 0.5

قدم مربع ur-ie والامتحان.

سأقول بإيجاز عن أهميتها - يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار بسرعة ودون تفكير ، تحتاج إلى معرفة صيغ الجذور والمميز عن ظهر قلب. ينزل الكثير من المهام التي تشكل جزءًا من مهام الاستخدام إلى حل معادلة تربيعية (بما في ذلك المعادلات الهندسية).

ما الجدير بالذكر!

1. يمكن أن يكون شكل المعادلة "ضمنيًا". على سبيل المثال ، الإدخال التالي ممكن:

15+ 9x 2-45x = 0 أو 15x + 42 + 9x 2-45x = 0 أو 15-5x + 10x 2 = 0.

تحتاج إلى إحضاره إلى نموذج قياسي (حتى لا يتم الخلط عند الحل).

2. تذكر أن x قيمة غير معروفة ويمكن الإشارة إليها بأي حرف آخر - t و q و p و h وغيرها.