بهذا الفيديو ، أبدأ سلسلة من الدروس حول أنظمة المعادلات. اليوم سنتحدث عن حل أنظمة المعادلات الخطية طريقة الجمعهذه واحدة من أبسط الطرق ، ولكنها في نفس الوقت واحدة من أكثر الطرق فعالية.

تتكون طريقة الإضافة من ثلاث خطوات بسيطة:

1. انظر إلى النظام واختر متغيرًا له نفس المعاملات (أو عكسها) في كل معادلة ؛
2. نفذ عملية طرح جبري (للأرقام المتقابلة - الجمع) للمعادلات من بعضها البعض ، ثم أحضر المصطلحات المتشابهة ؛
3. حل المعادلة الجديدة التي تم الحصول عليها بعد الخطوة الثانية.

إذا تم كل شيء بشكل صحيح ، فسنحصل عند الإخراج على معادلة واحدة مع متغير واحد- لن يكون من الصعب حلها. ثم يبقى فقط استبدال الجذر الموجود في النظام الأصلي والحصول على الإجابة النهائية.

ومع ذلك ، في الممارسة العملية ليس بهذه البساطة. هناك عدة أسباب لذلك:

• حل المعادلات عن طريق الجمع يعني أن جميع الصفوف يجب أن تحتوي على متغيرات لها نفس / المعاملات المعاكسة. ماذا لو لم يتم استيفاء هذا الشرط؟
• ليس دائمًا ، بعد إضافة / طرح المعادلات بهذه الطريقة ، سنحصل على بنية جميلة يمكن حلها بسهولة. هل من الممكن تبسيط الحسابات بطريقة أو بأخرى وتسريع العمليات الحسابية؟

للحصول على إجابة على هذه الأسئلة ، وفي نفس الوقت للتعامل مع بعض التفاصيل الدقيقة الإضافية التي "يسقطها" العديد من الطلاب ، شاهد الفيديو التعليمي الخاص بي:

بهذا الدرس نبدأ سلسلة من المحاضرات حول أنظمة المعادلات. وسنبدأ بأبسطها ، أي تلك التي تحتوي على معادلتين ومتغيرين. سيكون كل منهم خطي.

الأنظمة هي مادة للصف السابع ، ولكن هذا الدرس سيكون مفيدًا أيضًا لطلاب المدارس الثانوية الذين يرغبون في صقل معرفتهم حول هذا الموضوع.

بشكل عام ، هناك طريقتان لحل مثل هذه الأنظمة:

1. طريقة الجمع
2. طريقة للتعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر.

اليوم سنتعامل مع الطريقة الأولى - سنستخدم طريقة الطرح والجمع. لكن لهذا عليك أن تفهم الحقيقة التالية: بمجرد أن يكون لديك معادلتان أو أكثر ، يمكنك أن تأخذ أي منهما وتجمعهما معًا. يتم إضافتهم مصطلحًا بمصطلح ، أي تتم إضافة "Xs" إلى "Xs" ويتم إعطاء ألعاب مماثلة ، و "ألعاب" إلى "ألعاب" - يتم تقديم ألعاب مماثلة مرة أخرى ، كما يتم إضافة ما هو على يمين علامة المساواة إلى بعضها البعض ، ويتم إضافة ألعاب مماثلة هناك أيضا.

ستكون نتائج هذه المكائد معادلة جديدة ، إذا كانت لها جذور ، فستكون بالتأكيد من بين جذور المعادلة الأصلية. لذا فإن مهمتنا هي إجراء الطرح أو الجمع بطريقة تختفي إما $ x $ أو $ y $.

كيفية تحقيق ذلك والأداة التي يجب استخدامها لهذا - سنتحدث عن هذا الآن.

حل المشاكل السهلة بطريقة الجمع

لذلك ، نحن نتعلم تطبيق طريقة الجمع باستخدام مثال تعبيرين بسيطين.

مهمة 1

\ [\ left \ (\ start (align) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ end (align) \ right. \]

لاحظ أن المعامل $ y $ له $ -4 $ في المعادلة الأولى ، و $ + 4 $ في المعادلة الثانية. إنهما متعارضان بشكل متبادل ، لذا فمن المنطقي أن نفترض أنه إذا جمعناهما ، فعندئذٍ بالمقدار الناتج ، ستقضي "الألعاب" بشكل متبادل. نضيف ونحصل على:

نحل أبسط بناء:

رائع ، وجدنا X. ماذا تفعل به الآن؟ يمكننا التعويض بها في أي من المعادلات. دعنا نضعها في أول واحد:

\ [- 4 ص = 12 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

الإجابة: $ \ left (2؛ -3 \ right) $.

المهمة رقم 2

\ [\ left \ (\ start (align) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ end (align) \ right. \]

هنا ، الوضع مشابه تمامًا ، فقط مع Xs. دعونا نجمعها معًا:

حصلنا على أبسط معادلة خطية ، فلنحلها:

لنجد الآن $ x $:

الإجابة: $ \ left (-3؛ 3 \ right) $.

نقاط مهمة

لذلك ، لقد حللنا للتو نظامين بسيطين من المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع. مرة أخرى النقاط الرئيسية:

1. إذا كانت هناك معاملات معاكسة لأحد المتغيرات ، فمن الضروري إضافة جميع المتغيرات في المعادلة. في هذه الحالة ، سيتم تدمير أحدهم.
2. نعوض بالمتغير الموجود في أي من معادلات النظام لإيجاد المعادلة الثانية.
3. يمكن تقديم السجل النهائي للإجابة بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، مثل هذا - $ x = ... ، y = ... $ ، أو في شكل إحداثيات نقاط - $ \ left (... ؛ ... \ right) $. الخيار الثاني هو الأفضل. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الإحداثي الأول هو $ x $ ، والثاني هو $ y $.
4. لا تنطبق دائمًا قاعدة كتابة الإجابة في شكل إحداثيات نقطية. على سبيل المثال ، لا يمكن استخدامه عندما لا يكون دور المتغيرات $ x $ و $ y $ ، ولكن ، على سبيل المثال ، $ a $ و $ b $.

في المشكلات التالية ، سننظر في أسلوب الطرح عندما لا تكون المعاملات معاكسة.

حل المسائل السهلة بطريقة الطرح

مهمة 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ end (align) \ right. \]

لاحظ أنه لا توجد معاملات معاكسة هنا ، لكن هناك معاملات متطابقة. لذلك نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

الآن نعوض بقيمة $ x $ في أي من معادلات النظام. لنبدأ أولاً:

الإجابة: $ \ left (2؛ 5 \ right) $.

المهمة رقم 2

\ [\ left \ (\ start (align) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ end (align) \ right. \]

نرى مرة أخرى نفس المعامل $ 5 لـ $ x $ في المعادلتين الأولى والثانية. لذلك ، من المنطقي أن نفترض أنك بحاجة إلى طرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

لقد حسبنا متغير واحد. لنجد الآن الثاني ، على سبيل المثال ، بالتعويض عن قيمة $ y $ في البنية الثانية:

الإجابة: $ \ left (-3؛ -2 \ right) $.

الفروق الدقيقة في الحل

فماذا نرى؟ في جوهرها ، لا يختلف المخطط عن حل الأنظمة السابقة. الاختلاف الوحيد هو أننا لا نجمع المعادلات ، بل نطرحها. نحن نقوم بالطرح الجبري.

بعبارة أخرى ، بمجرد أن ترى نظامًا يتكون من معادلتين بهما مجهولان ، فإن أول ما تحتاج إلى النظر إليه هو المعاملات. إذا كانت متطابقة في أي مكان ، يتم طرح المعادلات ، وإذا كانت متقابلة ، يتم تطبيق طريقة الجمع. يتم ذلك دائمًا حتى يختفي أحدهما ، وفي المعادلة النهائية التي تبقى بعد الطرح ، سيبقى متغير واحد فقط.

بالطبع ، هذا ليس كل شيء. الآن سننظر في الأنظمة التي تكون فيها المعادلات غير متسقة بشكل عام. أولئك. لا توجد مثل هذه المتغيرات فيها من شأنها أن تكون إما متشابهة أو معاكسة. في هذه الحالة ، لحل مثل هذه الأنظمة ، يتم استخدام تقنية إضافية ، وهي ضرب كل من المعادلات بمعامل خاص. كيف نجدها وكيف نحل مثل هذه الأنظمة بشكل عام ، الآن سنتحدث عن هذا.

حل المسائل بضرب المعامل

مثال 1

\ [\ left \ (\ start (align) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ end (align) \ right. \]

نحن نرى أنه لا بالنسبة إلى $ x $ ولا بالنسبة لـ $ y $ ، فإن المعاملات لا تتعارض فقط مع بعضها البعض ، ولكنها بشكل عام لا ترتبط بأي شكل من الأشكال بمعادلة أخرى. لن تختفي هذه المعاملات بأي شكل من الأشكال ، حتى لو قمنا بإضافة أو طرح المعادلات من بعضها البعض. لذلك ، من الضروري تطبيق الضرب. دعنا نحاول التخلص من المتغير $ y $. للقيام بذلك ، نضرب المعادلة الأولى في المعامل $ y $ من المعادلة الثانية ، والمعادلة الثانية في المعامل $ y $ من المعادلة الأولى ، دون تغيير العلامة. نضرب ونحصل على نظام جديد:

\ [\ left \ (\ start (align) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ end (align) \ right. \]

لنلقِ نظرة عليها: بالنسبة إلى $ y $ ، المعاملات المعاكسة. في مثل هذه الحالة ، من الضروري تطبيق طريقة الإضافة. دعنا نضيف:

الآن علينا إيجاد $ y $. للقيام بذلك ، استبدل $ x $ في التعبير الأول:

\ [- 9 س = 18 \ يسار | : \ يسار (-9 \ يمين) \ يمين. \]

الإجابة: $ \ left (4؛ -2 \ right) $.

المثال رقم 2

\ [\ left \ (\ start (align) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ end (align) \ right. \]

مرة أخرى ، معاملات أي من المتغيرات متسقة. لنضرب في المعاملات عند $ y $:

\ [\ left \ (\ start (align) & 11x + 4y = -18 \ left | 6 \ right. \\ & 13x-6y = -32 \ left | 4 \ right. \\\ end (align) \ right . \]

\ [\ left \ (\ start (align) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ end (align) \ right. \]

نظامنا الجديد يكافئ النظام السابق ، لكن معاملات $ y $ متناقضة ، وبالتالي من السهل تطبيق طريقة الجمع هنا:

الآن أوجد $ y $ بالتعويض عن $ x $ في المعادلة الأولى:

الإجابة: $ \ left (-2؛ 1 \ right) $.

الفروق الدقيقة في الحل

القاعدة الأساسية هنا هي التالية: اضرب دائمًا بالأرقام الموجبة فقط - وهذا سيوفر لك من الأخطاء الغبية والمسيئة المرتبطة بتغيير العلامات. بشكل عام ، مخطط الحل بسيط للغاية:

1. ننظر إلى النظام ونحلل كل معادلة.
2. إذا رأينا أنه ليس من أجل $ y $ ولا لـ $ x $ فإن المعاملات متسقة ، أي ليستا متساويتين ولا متقابلتين ، ثم نقوم بما يلي: نختار المتغير المراد التخلص منه ، ثم ننظر إلى المعاملات في هذه المعادلات. إذا ضربنا المعادلة الأولى في المعامل من الثانية ، وضربنا الثانية ، المقابلة ، في المعامل الأول ، فسنحصل في النهاية على نظام مكافئ تمامًا للمعادلة السابقة ، والمعاملات عند $ سيكون y $ متسقًا. تهدف جميع أفعالنا أو تحولاتنا فقط إلى الحصول على متغير واحد في معادلة واحدة.
3. نجد متغير واحد.
4. نعوض بالمتغير الموجود في إحدى معادلتين في النظام ونوجد المعادلة الثانية.
5. نكتب الإجابة على شكل إحداثيات نقاط ، إذا كان لدينا المتغيران $ x $ و $ y $.

ولكن حتى مثل هذه الخوارزمية البسيطة لها تفاصيلها الدقيقة ، على سبيل المثال ، يمكن أن تكون معاملات $ x $ أو $ y $ كسورًا وأرقامًا "قبيحة" أخرى. سننظر الآن في هذه الحالات بشكل منفصل ، لأنه يمكنك فيها التصرف بطريقة مختلفة قليلاً عن الخوارزمية القياسية.

حل مسائل الأعداد الكسرية

مثال 1

\ [\ left \ (\ start (align) & 4m-3n = 32 \\ & 0.8m + 2.5n = -6 \\\ end (align) \ right. \]

أولاً ، لاحظ أن المعادلة الثانية تحتوي على كسور. لكن لاحظ أنه يمكنك قسمة 4 دولارات على 0.8 دولار. نحصل على 5 دولارات. لنضرب المعادلة الثانية في 5 دولارات:

\ [\ left \ (\ start (align) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12،5m = -30 \\\ end (align) \ right. \]

نطرح المعادلات من بعضنا البعض:

وجدنا $ n $ ، والآن نحسب $ m $:

الإجابة: $ n = -4 ؛ m = 5 $

المثال رقم 2

\ [\ left \ (\ start (align) & 2.5p + 1.5k = -13 \ left | 4 \ right. \\ & 2p-5k = 2 \ left | 5 \ right. \\\ end (align) \ حقا.\]

هنا ، كما في النظام السابق ، توجد معاملات كسرية ، ومع ذلك ، بالنسبة لأي من المتغيرات ، لا تتناسب المعاملات مع بعضها البعض بعدد صحيح من المرات. لذلك ، نستخدم الخوارزمية القياسية. تخلص من $ p $:

\ [\ left \ (\ start (align) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12،5k = 5 \\\ end (align) \ right. \]

دعنا نستخدم طريقة الطرح:

لنجد $ p $ بالتعويض عن $ k $ في البنية الثانية:

الإجابة: $ p = -4 ؛ k = -2 $.

الفروق الدقيقة في الحل

هذا كل شيء التحسين. في المعادلة الأولى ، لم نضرب بأي شيء على الإطلاق ، وتم ضرب المعادلة الثانية في 5 دولارات. نتيجة لذلك ، حصلنا على معادلة متسقة وحتى نفس المعادلة للمتغير الأول. في النظام الثاني ، عملنا وفقًا للخوارزمية القياسية.

ولكن كيف تجد الأرقام التي تحتاج إلى ضرب المعادلات بها؟ بعد كل شيء ، إذا ضربنا في أعداد كسرية ، نحصل على كسور جديدة. لذلك يجب ضرب الكسور في رقم يعطي عددًا صحيحًا جديدًا ، وبعد ذلك يجب ضرب المتغيرات في المعاملات وفقًا للخوارزمية القياسية.

في الختام ، أود أن ألفت انتباهكم إلى شكل سجل الردود. كما قلت سابقًا ، نظرًا لأنه ليس لدينا هنا $ x $ و $ y $ هنا ، ولكن هناك قيم أخرى ، فإننا نستخدم تدوينًا غير قياسي للنموذج:

حل أنظمة المعادلات المعقدة

كلمسة أخيرة لفيديو تعليمي اليوم ، دعونا نلقي نظرة على نظامين معقدين حقًا. سيتكون تعقيدها من حقيقة أنها ستحتوي على متغيرات على اليسار واليمين. لذلك ، لحلها ، سيتعين علينا تطبيق المعالجة المسبقة.

النظام رقم 1

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & 3 \ يسار (2x-y \ يمين) + 5 = -2 \ يسار (x + 3y \ يمين) +4 \\ & 6 \ يسار (y + 1 \ يمين) -1 = 5 \ يسار (2x-1 \ يمين) +8 \ نهاية (محاذاة) \ يمين \]

كل معادلة تحمل بعض التعقيد. لذلك ، مع كل تعبير ، لنفعل كما هو الحال مع البناء الخطي العادي.

في المجموع ، نحصل على النظام النهائي ، وهو ما يعادل النظام الأصلي:

\ [\ left \ (\ start (align) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ end (align) \ right. \]

لنلقِ نظرة على معاملات $ y $: $ 3 $ تتناسب مع $ 6 $ مرتين ، لذلك نضرب المعادلة الأولى في $ 2:

\ [\ left \ (\ start (align) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ end (align) \ right. \]

معاملات $ y $ متساوية الآن ، لذلك نطرح الثاني من المعادلة الأولى: $$

لنجد الآن $ y $:

الإجابة: $ \ left (0؛ - \ frac (1) (3) \ right) $

النظام رقم 2

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & 4 \ يسار (أ -3 ب \ يمين) -2 أ = 3 \ يسار (ب + 4 \ يمين) -11 \ & -3 \ يسار (ب-2 أ \ يمين) ) -12 = 2 \ يسار (أ -5 \ يمين) + ب \ نهاية (محاذاة) \ يمين. \]

دعنا نحول التعبير الأول:

دعنا نتعامل مع الثاني:

\ [- 3 \ يسار (ب -2 أ \ يمين) -12 = 2 \ يسار (أ -5 \ يمين) + ب \]

\ [- 3 ب + 6 أ-12 = 2 أ -10 + ب \]

\ [- 3 ب + 6 أ-2 أ-ب = -10 + 12 \]

في المجموع ، سيتخذ نظامنا الأولي الشكل التالي:

\ [\ left \ (\ start (align) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ end (align) \ right. \]

بالنظر إلى معاملات $ a $ ، نرى أنه يجب ضرب المعادلة الأولى في $ 2:

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & 4 أ -30 ب = 2 \\ & 4 أ-4 ب = 2 \\\ end (محاذاة) \ يمين. \]

نطرح الثاني من البناء الأول:

ابحث الآن عن $ a $:

الإجابة: $ \ left (a = \ frac (1) (2) ؛ b = 0 \ right) $.

هذا كل شئ. آمل أن يساعدك هذا الفيديو التعليمي على فهم هذا الموضوع الصعب ، ألا وهو حل أنظمة المعادلات الخطية البسيطة. سيكون هناك المزيد من الدروس حول هذا الموضوع: سنحلل أمثلة أكثر تعقيدًا ، حيث سيكون هناك المزيد من المتغيرات ، وستكون المعادلات نفسها غير خطية بالفعل. اراك قريبا!

تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في الصناعة الاقتصادية في النمذجة الرياضية للعمليات المختلفة. على سبيل المثال ، عند حل مشاكل إدارة الإنتاج والتخطيط ، والطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في مجال الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء ، عند حل مشاكل تحديد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو مصطلح لمعادلتين أو أكثر مع العديد من المتغيرات التي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام حيث تصبح جميع المعادلات مساواة حقيقية أو تثبت أن التسلسل غير موجود.

معادلة خط مستقيم

المعادلات من الشكل ax + by = c تسمى الخطية. التعيينات س ، ص هي المجهول ، التي يجب إيجاد قيمتها ، ب ، أ هي معاملات المتغيرات ، ج هو المصطلح المجاني للمعادلة.
سيبدو حل المعادلة برسم التمثيل البياني الخاص بها كخط مستقيم ، وجميع نقاطه تمثل حل كثير الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين X و Y.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0 ، حيث F1،2 هي وظائف و (x، y) متغيرات دالة.

حل جملة معادلات - يعني العثور على هذه القيم (س ، ص) التي يصبح النظام مساواة حقيقية لها ، أو لإثبات عدم وجود قيم مناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (س ، ص) ، مكتوب على هيئة إحداثيات نقطية ، يسمى حل لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لا يوجد حل ، فيُطلق عليها مكافئ.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يكون جانبها الأيمن مساويًا للصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة "يساوي" له قيمة أو يتم التعبير عنه بواسطة دالة ، فإن هذا النظام ليس متجانسًا.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من متغيرين ، ثم يجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية مع ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة ، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المجهول ، لكن هذا ليس كذلك. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات ، يمكن أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

لا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة ، كل الطرق تعتمد على الحلول العددية. يصف المقرر الدراسي للرياضيات بالتفصيل طرقًا مثل التقليب ، والجمع الجبري ، والاستبدال ، بالإضافة إلى الطريقة الرسومية والمصفوفة ، الحل بطريقة غاوس.

تتمثل المهمة الرئيسية في طرق التدريس في الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح وإيجاد خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام من القواعد والإجراءات لكل طريقة ، ولكن لفهم مبادئ تطبيق طريقة معينة.

إن حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية للصف السابع من برنامج مدرسة التعليم العام بسيط للغاية ويتم شرحه بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات ، يحظى هذا القسم بالاهتمام الكافي. تمت دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Gauss و Cramer بمزيد من التفصيل في الدورات الأولى لمؤسسات التعليم العالي.

حل الأنظمة بطريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد من خلال الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية ، ثم يتم تقليله إلى شكل متغير واحد. يتم تكرار الإجراء اعتمادًا على عدد المجهول في النظام

دعنا نعطي مثالاً لنظام المعادلات الخطية من الفئة السابعة بطريقة الاستبدال:

كما يتضح من المثال ، تم التعبير عن المتغير x من خلال F (X) = 7 + Y. ساعد التعبير الناتج ، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X ، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . لا يسبب حل هذا المثال صعوبات ويسمح لك بالحصول على القيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية بالتعويض. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير من حيث المجهول الثاني سيكون مرهقًا جدًا لإجراء مزيد من العمليات الحسابية. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام ، يكون حل الاستبدال غير عملي أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حل للأنظمة بطريقة الجمع ، يتم إجراء عملية جمع وضرب المعادلات بأرقام مختلفة. الهدف النهائي للعمليات الحسابية هو معادلة ذات متغير واحد.

تتطلب تطبيقات هذه الطريقة الممارسة والمراقبة. ليس من السهل حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع مع عدد المتغيرات 3 أو أكثر. تكون الجمع الجبري مفيدة عندما تحتوي المعادلات على كسور وأرقام عشرية.

خوارزمية عمل الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة بعدد ما. نتيجة للعملية الحسابية ، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير مساويًا لـ 1.
2. أضف المصطلح الناتج عن طريق المصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا احتاج النظام إلى إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين ، كما يجب ألا يزيد عدد المجاهيل عن اثنين.

تستخدم الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات بإدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة فيما يتعلق بالمجهول الذي تم إدخاله ، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يمكن أن نرى من المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t ، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى مربع قياسي ثلاثي الحدود. يمكنك حل كثير الحدود بإيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4 * a * c ، حيث D هو المميز المطلوب ، b ، a ، c هي مضاعفات كثير الحدود. في المثال المعطى ، أ = 1 ، ب = 16 ، ج = 39 ، ومن ثم د = 100. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فهناك حلان: t = -b ± √D / 2 * a ، إذا كان المميز أقل من الصفر ، فهناك حل واحد فقط: x = -b / 2 * a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الجمع.

طريقة بصرية لحل النظم

مناسب للأنظمة ذات 3 معادلات. تتكون الطريقة من رسم الرسوم البيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. ستكون إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات هي الحل العام للنظام.

طريقة الرسم لديها عدد من الفروق الدقيقة. ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتضح من المثال ، تم إنشاء نقطتين لكل سطر ، تم اختيار قيم المتغير x بشكل عشوائي: 0 و 3. بناءً على قيم x ، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تمييز النقاط ذات الإحداثيات (0 ، 3) و (3 ، 0) على الرسم البياني وتم توصيلها بخط.

يجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

في المثال التالي ، مطلوب إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y + 2 = 0 and 0.5x-y-1 = 0.

كما يتضح من المثال ، ليس للنظام أي حل ، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع بطولها بالكامل.

الأنظمة من الأمثلة 2 و 3 متشابهة ، ولكن عند بنائها ، يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا ، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

ماتريكس وأصنافها

تستخدم المصفوفات لكتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n * m على n - صفوف و m - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يتساوى عدد الأعمدة والصفوف. متجه المصفوفة هو مصفوفة ذات عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على وحدات على طول أحد الأقطار وعناصر صفرية أخرى متطابقة.

المصفوفة العكسية هي مثل هذه المصفوفة ، عندما يتم ضربها بحيث تتحول المصفوفة الأصلية إلى وحدة واحدة ، فإن مثل هذه المصفوفة توجد فقط للمربع الأول.

قواعد تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات ، تتم كتابة المعاملات والأعضاء الأحرار في المعادلات كأرقام من المصفوفة ، والمعادلة الواحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يسمى صف المصفوفة non-zero إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف لا يساوي الصفر. لذلك ، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات ، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بدقة مع المتغيرات. هذا يعني أنه لا يمكن كتابة معاملات المتغير x إلا في عمود واحد ، على سبيل المثال ، الأول ، معامل المجهول y - فقط في العمود الثاني.

عند ضرب مصفوفة ، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة بشكل تسلسلي في رقم.

خيارات لإيجاد معكوس المصفوفة

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بسيطة للغاية: K -1 = 1 / | K | ، حيث K -1 هي معكوس المصفوفة و | K | - محدد المصفوفة. | ك | يجب ألا يكون مساويًا للصفر ، فإن النظام لديه حل.

يتم حساب المحدد بسهولة لمصفوفة 2 × 2 ، من الضروري فقط ضرب العناصر قطريًا ببعضها البعض. لخيار "ثلاثة في ثلاثة" ، توجد صيغة | K | = أ 1 ب 2 ج 3 + أ 1 ب 3 ج 2 + أ 3 ب 1 ج 2 + أ 2 ب 3 ج 1 + أ 2 ب 1 ج 3 + أ 3 ب 2 ج 1. يمكنك استخدام الصيغة ، أو تذكر أنك بحاجة إلى أخذ عنصر واحد من كل صف وكل عمود حتى لا تتكرر أرقام الأعمدة والصفوف الخاصة بالعناصر في المنتج.

حل أمثلة نظم المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

تتيح طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الإدخالات المرهقة عند حل الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات والمعادلات.

في هذا المثال ، nm هي معاملات المعادلات ، والمصفوفة متجه x n هي المتغيرات ، و b n هي المصطلحات المجانية.

حل الأنظمة بطريقة غاوس

في الرياضيات العليا ، تدرس طريقة غاوس مع طريقة كرامر ، وتسمى عملية إيجاد حل للأنظمة طريقة غاوس كرامر في الحل. تُستخدم هذه الطرق لإيجاد متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

طريقة جاوس تشبه إلى حد بعيد حلول الاستبدال والجمع الجبرية ، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية ، يتم استخدام الحل Gaussian لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تحويل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. من خلال عمليات التحويل والبدائل الجبرية ، تم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير به مجهولين ، و 3 و 4 - بمتغيرين 3 و 4 ، على التوالي.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف ، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع ، يتم وصف مثال لحل غاوسي على النحو التالي:

كما يتضح من المثال ، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين 3x3-2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. سيسمح لك حل أي من المعادلات بإيجاد أحد المتغيرات x n.

تقول النظرية 5 ، المذكورة في النص ، أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بمعادلة مكافئة ، فسيكون النظام الناتج أيضًا مكافئًا للنظام الأصلي.

يصعب على طلاب المدارس الإعدادية فهم طريقة غاوس ، لكنها من أكثر الطرق إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال الذين يدرسون في برنامج الدراسة المتقدم في فصول الرياضيات والفيزياء.

لسهولة تسجيل الحسابات ، من المعتاد القيام بما يلي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والمصطلحات المجانية في شكل مصفوفة ، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن الجانب الأيمن. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً ، يكتبون المصفوفة التي يعملون بها ، ثم يتم تنفيذ جميع الإجراءات بأحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر في إجراء العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.

نتيجة لذلك ، يجب الحصول على مصفوفة يكون فيها أحد الأقطار 1 ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر ، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل واحد. يجب ألا ننسى إجراء حسابات بأرقام طرفي المعادلة.

هذا الترميز أقل تعقيدًا ويسمح لك بعدم تشتيت انتباهك من خلال سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب التطبيق المجاني لأي طريقة حل عناية وقدرًا معينًا من الخبرة. لم يتم تطبيق جميع الطرق. بعض طرق إيجاد الحلول مفضلة أكثر في مجال معين من النشاط البشري ، بينما توجد طرق أخرى لغرض التعلم.

طريقة الجمع الجبرية

يمكنك حل نظام معادلات ذات مجهولين بطرق مختلفة - طريقة رسومية أو طريقة تغيير متغير.

في هذا الدرس ، سنتعرف على طريقة أخرى لحل الأنظمة ستحبها بالتأكيد - وهي طريقة الجمع الجبرية.

ومن أين أتت الفكرة - لوضع شيء ما في الأنظمة؟ عند حل الأنظمة ، فإن المشكلة الرئيسية هي وجود متغيرين ، لأننا لا نستطيع حل المعادلات بمتغيرين. لذلك ، من الضروري استبعاد أحدهم بطريقة قانونية. وهذه الطرق المشروعة هي قواعد وخصائص رياضية.

تبدو إحدى هذه الخصائص كما يلي: مجموع الأعداد المقابلة هو صفر. هذا يعني أنه في حالة وجود معاملات معاكسة لأحد المتغيرات ، فسيكون مجموعها مساويًا للصفر وسنتمكن من استبعاد هذا المتغير من المعادلة. من الواضح أنه ليس لدينا الحق في إضافة المصطلحات فقط مع المتغير الذي نحتاجه. من الضروري إضافة المعادلات ككل ، أي أضف الحدود المتشابهة على الجانب الأيسر ، ثم على اليمين. نتيجة لذلك ، سوف نحصل على معادلة جديدة تحتوي على متغير واحد فقط. دعنا نلقي نظرة على أمثلة محددة.

نرى أنه في المعادلة الأولى يوجد متغير y ، وفي الثانية العدد المقابل هو y. لذلك يمكن حل هذه المعادلة بطريقة الجمع.

بقيت إحدى المعادلات كما هي. أي شخص تفضله.

ولكن سيتم الحصول على المعادلة الثانية عن طريق إضافة هاتين المعادلتين من حيث المصطلح. أولئك. أضف 3x إلى 2x ، أضف y إلى -y ، أضف 8 إلى 7.

نحصل على نظام المعادلات

المعادلة الثانية لهذا النظام هي معادلة بسيطة بمتغير واحد. منها نجد x \ u003d 3. باستبدال القيمة الموجودة في المعادلة الأولى ، نجد y \ u003d -1.

الجواب: (3 ؛ - 1).

عينة التصميم:

حل جملة المعادلات عن طريق الجمع الجبري

لا توجد متغيرات ذات معاملات معاكسة في هذا النظام. لكننا نعلم أنه يمكن ضرب طرفي المعادلة في العدد نفسه. لنضرب المعادلة الأولى للنظام في 2.

ثم تأخذ المعادلة الأولى الشكل:

نلاحظ الآن أنه في المتغير x توجد معاملات معاكسة. لذلك ، سنفعل الشيء نفسه كما في المثال الأول: سنترك إحدى المعادلات دون تغيير. على سبيل المثال ، 2y + 2x \ u003d 10. ونحصل على الثاني عن طريق الجمع.

الآن لدينا نظام معادلات:

نجد بسهولة من المعادلة الثانية y = 1 ، ثم من المعادلة الأولى x = 4.

عينة التصميم:

دعونا نلخص:

لقد تعلمنا كيفية حل أنظمة من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام طريقة الجمع الجبرية. وهكذا ، أصبحنا نعرف الآن ثلاث طرق رئيسية لحل مثل هذه الأنظمة: الطريقة الرسومية ، وتغيير طريقة المتغير ، وطريقة الإضافة. يمكن حل أي نظام تقريبًا باستخدام هذه الطرق. في الحالات الأكثر تعقيدًا ، يتم استخدام مزيج من هذه التقنيات.

قائمة الأدب المستخدم:

1. Mordkovich A.G. ، الجبر الصف 7 في جزأين ، الجزء 1 ، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / A.G. مردكوفيتش. - الطبعة العاشرة ، المنقحة - موسكو ، "Mnemosyne" ، 2007.
2. Mordkovich A.G. ، الجبر للصف السابع في جزأين ، الجزء الثاني ، كتاب المهام للمؤسسات التعليمية / [A.G. مردكوفيتش وآخرون] ؛ حرره A.G. Mordkovich - الطبعة العاشرة ، المنقحة - موسكو ، Mnemosyne ، 2007.
3. لها. تولشينسكايا ، الجبر الصف 7. مسح Blitz: دليل لطلاب المؤسسات التعليمية ، الطبعة الرابعة ، منقح ومكمل ، موسكو ، منيموزينا ، 2008.
4. الكسندروفا لوس انجليس ، الجبر الصف 7. أوراق الاختبار الموضوعي في شكل جديد لطلاب المؤسسات التعليمية ، من تحرير أ. موردكوفيتش ، موسكو ، "Mnemosyne" ، 2011.
5. Aleksandrova L.A. الجبر الصف السابع. عمل مستقل لطلاب المؤسسات التعليمية ، تحرير أ. موردكوفيتش - الطبعة السادسة ، النمطية ، موسكو ، "Mnemosyne" ، 2010.

باستخدام طريقة الجمع ، تتم إضافة معادلات النظام مصطلحًا بمصطلح ، بينما يمكن ضرب 1 أو كلاهما (عدة) بأي رقم. نتيجة لذلك ، يصلون إلى SLE مكافئ ، حيث تحتوي إحدى المعادلات على متغير واحد فقط.

لحل النظام مصطلح بجمع المصطلح (الطرح)اتبع الخطوات التالية:

1. نختار متغيرًا يتم عمل نفس المعاملات له.

2. الآن أنت بحاجة إلى إضافة أو طرح المعادلات والحصول على معادلة بمتغير واحد.

حل النظامهي نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالة.

لنلق نظرة على الأمثلة.

مثال 1

النظام المعطى:

بعد تحليل هذا النظام ، يمكنك أن ترى أن معاملات المتغير متساوية في القيمة المطلقة ومختلفة في العلامة (-1 و 1). في هذه الحالة ، يمكن بسهولة إضافة المعادلات مصطلحًا بمصطلح:

يتم تنفيذ الإجراءات المحاطة بدائرة باللون الأحمر في العقل.

كانت نتيجة الجمع النهائي اختفاء المتغير ذ. إنه في هذا وهذا ، في الواقع ، هو معنى الطريقة - للتخلص من أول المتغيرات.

-4 - ذ + 5 = 0 → ذ = 1,

كنظام ، يبدو الحل كما يلي:

إجابه: x = -4 , ذ = 1.

مثال 2

النظام المعطى:

في هذا المثال ، يمكنك استخدام طريقة "school" ، ولكن لها علامة ناقص كبيرة إلى حد ما - عندما تعبر عن أي متغير من أي معادلة ، ستحصل على حل في الكسور العادية. ويستغرق حل الكسور وقتًا كافيًا ويزداد احتمال ارتكاب الأخطاء.

لذلك ، من الأفضل استخدام الجمع (الطرح) لكل مصطلح على حدة. دعنا نحلل معاملات المتغيرات المقابلة:

ابحث عن رقم يمكن القسمة عليه 3 و على 4 ، في حين أنه من الضروري أن يكون هذا الرقم صغيرًا قدر الإمكان. هو - هي أقل مضاعف مشترك. إذا كان من الصعب عليك العثور على الرقم الصحيح ، فيمكنك ضرب المعاملات :.

الخطوة التالية:

اضرب المعادلة الأولى في ،

اضرب المعادلة الثالثة في ،

باستخدام هذا البرنامج الرياضي ، يمكنك حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين باستخدام طريقة التعويض وطريقة الجمع.

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يقدم أيضًا حلاً مفصلاً مع شرح لخطوات الحل بطريقتين: طريقة الاستبدال وطريقة الإضافة.

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

قواعد إدخال المعادلات

يمكن لأي حرف لاتيني أن يعمل كمتغير.
على سبيل المثال: \ (x ، y ، z ، a ، b ، c ، o ، p ، q \) إلخ.

عند دخول المعادلات يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة ، يتم أولاً تبسيط المعادلات. يجب أن تكون المعادلات بعد التبسيط خطية ، أي من النموذج ax + by + c = 0 بدقة ترتيب العناصر.
على سبيل المثال: 6 س + 1 = 5 (س + ص) +2

في المعادلات ، لا يمكنك استخدام الأعداد الصحيحة فحسب ، بل أيضًا استخدام الأعداد الكسرية في شكل كسور عشرية وعادية.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال: 2.1 ن + 3.5 م = 55

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.
لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.
عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &

أمثلة.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2 & 1 / 8q)

حل جملة معادلات

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في المستعرض الخاص بك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

حل أنظمة المعادلات الخطية. طريقة الاستبدال

تسلسل الإجراءات عند حل نظام المعادلات الخطية بطريقة الاستبدال:
1) التعبير عن متغير واحد من معادلة ما في النظام من حيث متغير آخر ؛
2) استبدال التعبير الناتج في معادلة أخرى للنظام بدلاً من هذا المتغير ؛

$$ \ left \ (\ start (array) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ end (array) \ right. $$

دعونا نعبر من المعادلة الأولى من y إلى x: y = 7-3x. بالتعويض عن التعبير 7-3x بدلاً من y في المعادلة الثانية ، نحصل على النظام:
$$ \ left \ (\ start (array) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ end (array) \ right. $$

من السهل إظهار أن النظامين الأول والثاني لهما نفس الحلول. في النظام الثاني ، تحتوي المعادلة الثانية على متغير واحد فقط. لنحل هذه المعادلة:
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ Rightarrow -5x + 14-6x = 3 \ Rightarrow -11x = -11 \ Rightarrow x = 1 $$

بالتعويض عن الرقم 1 بدلاً من x في المعادلة y = 7-3x ، نجد القيمة المقابلة لـ y:
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ Rightarrow y = 4 $$

زوج (1 ؛ 4) - حل النظام

تسمى أنظمة المعادلات في متغيرين لهما نفس الحلول ما يعادل. تعتبر الأنظمة التي لا تحتوي على حلول معادلة أيضًا.

حل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق الجمع

فكر في طريقة أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية - طريقة الجمع. عند حل الأنظمة بهذه الطريقة ، وكذلك عند الحل بطريقة الاستبدال ، ننتقل من نظام معين إلى نظام آخر مكافئ له ، حيث تحتوي إحدى المعادلات على متغير واحد فقط.

تسلسل الإجراءات عند حل نظام المعادلات الخطية بطريقة الجمع:
1) اضرب معادلات مصطلح النظام حسب المصطلح ، واختر العوامل بحيث تصبح معاملات أحد المتغيرات أرقامًا معاكسة ؛
2) إضافة مصطلح بمصطلح الجزأين الأيمن والأيسر من معادلات النظام ؛
3) حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
4) أوجد القيمة المقابلة للمتغير الثاني.

مثال. لنحل نظام المعادلات:
$$ \ left \ (\ start (array) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ end (array) \ right. $$

في معادلات هذا النظام ، معاملات y هي أرقام معاكسة. بجمع حد بمصطلح الجزأين الأيمن والأيسر من المعادلات ، نحصل على معادلة بمتغير واحد 3x = 33. دعنا نستبدل إحدى معادلات النظام ، على سبيل المثال الأولى ، بالمعادلة 3 س = 33. دعنا نحصل على النظام
$$ \ يسار \ (\ يبدأ (مجموعة) (ل) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ نهاية (مجموعة) \ يمين. $$

من المعادلة 3 س = 33 نجد أن س = 11. بالتعويض عن قيمة x هذه في المعادلة \ (x-3y = 38 \) نحصل على معادلة بالمتغير y: \ (11-3y = 38 \). لنحل هذه المعادلة:
\ (- 3y = 27 \ Rightarrow y = -9 \)

وبالتالي ، وجدنا حل نظام المعادلات بإضافة: \ (x = 11 ؛ y = -9 \) أو \ ((11 ؛ -9) \)

الاستفادة من حقيقة أن معاملات y في معادلات النظام هي أرقام معاكسة ، قمنا بتخفيض حلها إلى حل نظام مكافئ (عن طريق جمع كلا الجزأين من كل من معادلات symmeme الأصلي) ، حيث يكون واحدًا من المعادلات تحتوي على متغير واحد فقط.

الكتب (الكتب المدرسية) ملخصات امتحانات الدولة الموحدة واختبارات OGE الألعاب عبر الإنترنت ، والألغاز ، الرسوم البيانية للوظائف ، القاموس الإملائي لقاموس اللغة الروسية للغة العامية للشباب ، كتالوج المدارس الثانوية في روسيا ، فهرس الجامعات الروسية ، قائمة المهام