كيفية رسم منصف عمودي في مثلث قائم الزاوية. خصائص المنصف العمودي على قطعة مستقيمة

هناك ما يسمى بأربع نقاط رائعة في المثلث: نقطة تقاطع المتوسطات. نقطة تقاطع المنصفين ونقطة تقاطع المرتفعات ونقطة تقاطع المنصفين المتعامدين. دعونا نفكر في كل منهم.

نقطة تقاطع وسطاء المثلث

نظرية 1

على تقاطع متوسطات المثلث: تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة وتقسم نقطة التقاطع بنسبة $ 2: 1 $ بدءًا من الرأس.

دليل - إثبات.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هو متوسطه. بما أن المتوسطات تقسم الجانبين إلى نصفين. لننظر إلى الخط الأوسط $ A_1B_1 $ (الشكل 1).

الشكل 1. متوسطات المثلث

حسب النظرية 1 ، $ AB || A_1B_1 $ و $ AB = 2A_1B_1 $ ، ومن هنا $ \ angle ABB_1 = \ angle BB_1A_1 ، \ \ angle BAA_1 = \ angle AA_1B_1 $. ومن ثم فإن المثلثين $ ABM $ و $ A_1B_1M $ متشابهان وفقًا لمعيار تشابه المثلث الأول. ثم

وبالمثل ، فقد ثبت أن

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع منصف المثلث

نظرية 2

عند تقاطع منصف المثلث: مناصرات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة.

دليل - إثبات.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ AM ، \ BP ، \ CK $ هي منصفاته. اجعل النقطة $ O $ هي نقطة تقاطع المنصفين $ AM \ و \ BP $. ارسم من هذه النقطة بشكل عمودي على جانبي المثلث (الشكل 2).

الشكل 2. منصفات مثلث

نظرية 3

كل نقطة من المنصف لزاوية غير موسعة هي على مسافة متساوية من جوانبها.

حسب النظرية 3 ، لدينا: $ OX = OZ ، \ OX = OY $. ومن ثم فإن $ OY = OZ $. ومن ثم فإن النقطة $ O $ تقع على مسافة متساوية من جانبي الزاوية $ ACB $ وبالتالي تقع على منصفها $ CK $.

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع المستقيمات العمودية لمثلث

نظرية 4

تتقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث عند نقطة واحدة.

دليل - إثبات.

لنفترض أن المثلث $ ABC $ يعطى ، $ n ، \ m ، \ p $ منصفه العمودي. اجعل النقطة $ O $ هي نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين $ n \ و \ m $ (الشكل 3).

الشكل 3. منصفات عموديّة لمثلث

للدليل نحتاج إلى النظرية التالية.

نظرية 5

تكون كل نقطة من المنصف العمودي على مقطع ما على مسافة متساوية من نهايات المقطع المحدد.

حسب النظرية 3 ، لدينا: $ OB = OC، \ OB = OA $. ومن ثم $ OA = OC $. هذا يعني أن النقطة $ O $ تقع على مسافة متساوية من طرفي القطعة $ AC $ ، وبالتالي تقع على منصفها العمودي $ p $.

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث

نظرية 6

تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة.

دليل - إثبات.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هو ارتفاعه. ارسم خطًا عبر كل رأس من رؤوس المثلث موازية للضلع المقابل للرأس. نحصل على مثلث جديد $ A_2B_2C_2 $ (الشكل 4).

الشكل 4. ارتفاعات المثلث

بما أن $ AC_2BC $ و $ B_2ABC $ متوازي أضلاع لهما جانب مشترك ، فإن $ AC_2 = AB_2 $ ، أي النقطة $ A $ هي نقطة منتصف الضلع $ C_2B_2 $. وبالمثل ، نحصل على أن النقطة $ B $ هي نقطة منتصف الضلع $ C_2A_2 $ ، والنقطة $ C $ هي نقطة منتصف الضلع $ A_2B_2 $. من البناء لدينا هذا $ (CC) _1 \ bot A_2B_2، \ (BB) _1 \ bot A_2C_2، \ (AA) _1 \ bot C_2B_2 $. ومن ثم ، فإن $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هما المنصفان العموديان للمثلث $ A_2B_2C_2 $. ثم ، من خلال النظرية 4 ، لدينا أن الارتفاعات $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ تتقاطع عند نقطة واحدة.

عمودي متوسط (متوسط ​​عموديأو وسيطة) - مباشرة , عموديالى هذا قطعةوتمر من خلاله وسط.

ملكيات

$p\_a\; =\; \backslash \; tfrac\; (2aS)\; (a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2-c\; ^\; 2)\; ،\; p\_b\; =\; \backslash \; tfrac\; (2bS)\; (a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2-c\; ^\; 2)\; ،\; p\_c\; =\; \backslash \; tfrac\; (2cS)\; (\; أ\; ^\; 2-ب\; ^\; 2\; +\; ج\; ^\; 2)\; ،$حيث يشير الرمز السفلي إلى الجانب الذي يتم رسم العمود العمودي عليه ، $س$هي مساحة المثلث ، ويفترض أيضًا أن الأضلاع مرتبطة بعدم المساواة $أ\; \backslash \; geqslant\; ب\; \backslash \; geqslant\; ج.$ $p\_a\; \backslash \; geq\; p\_b$و $p\_c\; \backslash \; geq\; p\_b.$بعبارة أخرى ، بالنسبة للمثلث ، يشير أصغر منصف عمودي إلى الجزء الأوسط.

اكتب مراجعة عن مقال "عمودي متوسط"

ملاحظات

مقتطف يصف المنصف العمودي

توقف كوتوزوف عن المضغ ، وحدق في وولزوجين في دهشة ، كما لو أنه لا يفهم ما قيل له. قال فولزوجين ، وهو يلاحظ إثارة دي ألتن هيرن ، [الرجل العجوز (الألماني)] بابتسامة:
- لم أعتبر نفسي مخولة للاختباء من سيادتكم ما رأيته ... القوات في حالة فوضى كاملة ...
- هل رأيت؟ هل رأيت؟ .. - صرخ كوتوزوف بعبوس ، واستيقظ بسرعة وتقدم على وولزوجين. صرخ "كيف تجرؤ ... كيف تجرؤ ...!" - كيف تجرؤ على قول هذا لي يا سيدي العزيز. أنت لا تعرف أي شيء. أخبر الجنرال باركلي مني أن معلوماته غير صحيحة وأن المسار الحقيقي للمعركة معروف لي ، بصفتي القائد العام للقوات المسلحة ، أفضل منه.
أراد Wolzogen الاعتراض على شيء ما ، لكن Kutuzov قاطعه.
- يتم صد العدو من جهة اليسار وهزيمته في الجهة اليمنى. إذا لم تكن قد رأيت جيدًا ، سيدي العزيز ، فلا تسمح لنفسك أن تقول ما لا تعرفه. من فضلك اذهب إلى الجنرال باركلي وأبلغه بنيتي التي لا غنى عنها لمهاجمة العدو غدا "، قال كوتوزوف بصرامة. كان الجميع صامتين ، ويمكن للمرء أن يسمع تنفسًا ثقيلًا لجنرال عجوز لاذع. - صدت في كل مكان ، وأشكر الله على جيشنا الباسر. هُزم العدو ، وغدًا سنطرده من الأراضي الروسية المقدسة - قال كوتوزوف وهو يعبر نفسه ؛ وانفجر فجأة في البكاء. Wolzogen ، هز كتفيه ولف شفتيه ، وتنحى بصمت ، متسائلاً في uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [على هذا الاستبداد للرجل العجوز. (ألمانية)]
"نعم ، ها هو بطلي" ، قال كوتوزوف للجنرال السمين ، الوسيم ذو الشعر الأسود ، الذي كان في ذلك الوقت يدخل التل. كان رافسكي هو من أمضى اليوم كله في النقطة الرئيسية في حقل بورودينو.
أفاد Raevsky أن القوات كانت ثابتة في أماكنها وأن الفرنسيين لم يجرؤوا على الهجوم بعد الآن. بعد الاستماع إليه ، قال كوتوزوف بالفرنسية:
- Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes plans de nous retirer؟ [لذا لا تعتقدون ، مثل الآخرين ، أننا يجب أن نتراجع؟]

تعليمات

ارسم خطًا من خلال نقاط تقاطع الدوائر. لقد تلقيت المنصف العمودي على المقطع المحدد.

الآن دعونا نعطي نقطة وخط. من الضروري رسم عمودي من هذه النقطة إلى وضع الإبرة في هذه النقطة. ارسم دائرة نصف قطرها (يجب أن يكون نصف القطر من نقطة إلى خط بحيث يمكن للدائرة أن تتقاطع مع الخط عند نقطتين). الآن لديك نقطتان على الخط. هذه النقاط تخلق خطا. قم ببناء المنصف العمودي على المقطع ، النهايات هي النقاط التي تم الحصول عليها ، وفقًا للخوارزمية التي تمت مناقشتها أعلاه. يجب أن يمر العمود العمودي من نقطة البداية.

بناء خطوط مستقيمة هو أساس الرسم الفني. يتم الآن القيام بذلك بشكل متزايد بمساعدة محرري الرسوم ، مما يوفر للمصمم فرصًا رائعة. ومع ذلك ، تظل بعض مبادئ البناء كما هي في الرسم الكلاسيكي - باستخدام قلم رصاص ومسطرة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم؛
• - مسطرة؛
• - حاسوب مزود ببرنامج AutoCAD.

تعليمات

ابدأ ببنية كلاسيكية. حدد المستوى الذي سترسم فيه الخط. دع هذا يكون مستوى ورقة. اعتمادًا على ظروف المشكلة ، رتب. يمكن أن تكون تعسفية ، ولكن من الممكن أن يتم توفير نظام إحداثيات. النقاط التعسفية تضعك في المكان الذي تفضله. قم بتسمية أ و ب. استخدم مسطرة لتوصيلهما. وفقًا للبديهية ، من الممكن دائمًا رسم خط مستقيم من خلال نقطتين ، واحدة فقط.

ارسم نظام إحداثيات. دعك تحصل على النقاط A (x1 ؛ y1). من أجلهم ، من الضروري وضع الرقم المطلوب جانبًا على طول المحور السيني ورسم خط مستقيم موازٍ للمحور الصادي عبر النقطة المحددة. ثم ارسم قيمة تساوي y1 على طول المحور المقابل. ارسم عموديًا من النقطة المحددة حتى يتقاطع معها. سيكون مكان تقاطعهم هو النقطة A. وبنفس الطريقة ، ابحث عن النقطة B ، والتي يمكن الإشارة إلى إحداثياتها كـ (x2 ؛ y2). قم بتوصيل كلتا النقطتين.

في AutoCAD ، يمكن بناء خط مستقيم بعدة طرق. عادة ما يتم تعيين وظيفة "بواسطة" بشكل افتراضي. ابحث عن علامة التبويب "الصفحة الرئيسية" في القائمة العلوية. سترى لوحة الرسم أمامك. ابحث عن الزر ذي الخط المستقيم وانقر فوقه.

يسمح لك AutoCAD أيضًا بتعيين إحداثيات كليهما. اكتب سطر الأوامر أدناه (_xline). اضغط دخول. أدخل إحداثيات النقطة الأولى واضغط أيضًا على مفتاح الإدخال. حدد النقطة الثانية بنفس الطريقة. يمكن أيضًا تحديده بنقرة الماوس عن طريق وضع المؤشر في النقطة المرغوبة على الشاشة.

في AutoCAD ، يمكنك بناء خط مستقيم ليس فقط بنقطتين ، ولكن أيضًا بزاوية الميل. من قائمة سياق الرسم ، حدد خطًا مستقيمًا ثم خيار الزاوية. يمكن ضبط نقطة البداية عن طريق النقر بالماوس أو عن طريق ، كما في الطريقة السابقة. ثم اضبط حجم الزاوية واضغط على Enter. بشكل افتراضي ، سيتم وضع الخط عند الزاوية المرغوبة على الأفقي.

فيديوهات ذات علاقة

على رسم معقد (رسم بياني) عموديةمباشر و طائرةتحددها الأحكام الأساسية: إذا كان جانب واحد من الزاوية اليمنى متوازيًا طائرةالإسقاطات ، ثم يتم إسقاط الزاوية اليمنى على هذا المستوى دون تشويه ؛ إذا كان الخط عموديًا على خطين متقاطعين طائرة، فهو عمودي على هذا طائرة.

سوف تحتاج

• قلم رصاص ، مسطرة ، منقلة ، مثلث.

تعليمات

مثال: من خلال النقطة M ارسم عموديًا على طائرةلرسم عمودي على طائرة، هناك سطرين متقاطعين في هذا طائرة، وإنشاء خط عمودي عليهم. يتم اختيار الخط الأمامي والأفقي على أنهما هذين الخطين المتقاطعين. طائرة.

الجبهة f (f₁f₂) هو خط مستقيم يقع فيه طائرةوموازية للجبهة طائرةالتوقعات П₂. إذن ، f₂ هي قيمتها الطبيعية ، و f₁ دائمًا موازية لـ x₁₂. من النقطة A₂ ارسم h₂ بالتوازي مع x₁₂ واحصل على النقطة 1₂ على B₂C₂.

بمساعدة خط اتصال نقطة 1₁ على В₁С₁. تواصل مع A₁ - هذا هو h₁ - الحجم الطبيعي للأفقي. من النقطة B₁ ارسم f₁‖x₁₂ ، على A₁C₁ احصل على النقطة 2₁. ابحث عن النقطة 2₂ على A₂C₂ باستخدام خط توصيل الإسقاط. تواصل مع النقطة B₂ - سيكون هذا f₂ - بالحجم الكامل للأمام.

شيدت أفقية طبيعية h₁ وجبهات f₂ لإسقاطات عمودية على طائرة. من النقطة M₂ ، ارسم إسقاطها الأمامي a₂ بزاوية 90