نقاط الحد الأقصى المحتمل للدالة. الزيادة والنقصان والقيمة القصوى للدالة

ضع في اعتبارك سنين من ملف المنشار المعروف. دعنا نوجه المحور على طول الجانب المسطح للمنشار ، والمحور - عمودي عليه. دعنا نحصل على رسم بياني لبعض الوظائف ، كما هو موضح في الشكل. واحد.

من الواضح تمامًا أنه عند النقطة وعند النقطة ، تصبح قيم الوظيفة هي الأكبر مقارنة بالقيم الموجودة في النقاط المجاورة على اليمين واليسار ، وعند النقطة - الأصغر بالمقارنة مع النقاط المجاورة. تسمى النقاط بالنقاط القصوى للدالة (من الطرف اللاتيني - "المتطرف") ، والنقاط والنقاط القصوى ، والنقطة هي النقطة الدنيا (من الحد الأقصى والأدنى اللاتيني - "الأكبر" و "الأصغر" ").

دعونا نحسِّن تعريف الحد الأقصى.

يقال أن الوظيفة في نقطة ما لها حد أقصى إذا كان هناك فاصل يحتوي على النقطة وينتمي إلى مجال الوظيفة ، بحيث يتبين أنه بالنسبة لجميع نقاط هذه الفترة الزمنية. وفقًا لذلك ، يكون للوظيفة عند نقطة ما حد أدنى إذا تم استيفاء الشرط لجميع النقاط في فترة زمنية معينة.

على التين. يوضح الشكلان 2 و 3 الرسوم البيانية للوظائف التي لها حدود قصوى عند نقطة ما.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه ، بحكم التعريف ، يجب أن تقع النقطة القصوى داخل الفترة الفاصلة لتعيين الوظيفة ، وليس في نهايتها. لذلك ، بالنسبة للوظيفة الموضحة في الشكل. 1 ، لا يمكن افتراض أن لديها حدًا أدنى عند هذه النقطة.

إذا كان في هذا التعريف للحد الأقصى (الحد الأدنى) للدالة ، فإننا نستبدل المتباينة الصارمة بأخرى غير صارمة ، ثم نحصل على تعريف حد أقصى غير صارم (حد أدنى غير صارم). تأمل ، على سبيل المثال ، المظهر الجانبي لقمة جبل (الشكل 4). كل نقطة في منطقة مسطحة - المقطع هو نقطة قصوى غير صارمة.

في حساب التفاضل والتكامل ، تكون دراسة دالة للقيمة القصوى فعالة جدًا ويتم تنفيذها ببساطة باستخدام مشتق. إحدى النظريات الرئيسية في حساب التفاضل والتكامل ، والتي تؤسس شرطًا ضروريًا للحد الأقصى لوظيفة قابلة للتفاضل ، هي نظرية فيرمات (انظر نظرية فيرما). دع الوظيفة عند نقطة ما لها حد أقصى. إذا كان هناك مشتق عند هذه النقطة ، فهو يساوي صفرًا.

في اللغة الهندسية ، تعني نظرية فيرما أنه عند النقطة القصوى يكون الظل للرسم البياني للوظيفة أفقيًا (الشكل 5). العبارة العكسية ، بالطبع ، ليست صحيحة ، والتي تظهر ، على سبيل المثال ، من خلال الرسم البياني في الشكل. 6.

تمت تسمية النظرية على اسم عالم الرياضيات الفرنسي P. Fermat ، الذي كان من أوائل من حلوا عددًا من المشكلات القصوى. لم يكن لديه حتى الآن مفهوم المشتق تحت تصرفه ، لكنه طبق طريقة في بحثه ، يتم التعبير عن جوهرها في بيان النظرية.

الشرط الكافي للدالة القابلة للتفاضل هو التغيير في علامة المشتق. إذا تغير المشتق عند نقطة ما من سالب إلى موجب ، أي يتم استبدال انخفاضها بزيادة ، ثم تكون النقطة هي النقطة الدنيا. على العكس من ذلك ، ستكون النقطة هي الحد الأقصى للنقطة إذا تغير المشتق من علامة زائد إلى ناقص ، أي ينتقل من تصاعدي إلى تنازلي.

تسمى النقطة التي يكون فيها مشتق الوظيفة مساويًا للصفر ثابتة. إذا تم التحقيق في دالة قابلة للتفاضل من أجل حد أقصى ، فيجب إيجاد جميع نقاطها الثابتة ويجب مراعاة علامات المشتق على يسارها ويمينها.

نحن نحقق في وظيفة الطرف الأقصى.

لنجد مشتقها: .

نجد قيم الدالة عند النقاط القصوى:،. يظهر الرسم البياني للوظيفة في الشكل. ثمانية.

لاحظ أن هناك حالات يتم فيها الوصول إلى الحد الأقصى عند نقطة لا يوجد فيها المشتق. هذه هي النقاط القصوى لملف المنشار ؛ ويرد مثال على هذه الوظيفة أيضًا في الشكل. واحد.

تعتبر المشاكل العظمى والصغرى ذات أهمية كبيرة في الفيزياء والميكانيكا وتطبيقات الرياضيات المختلفة. كانت المسائل التي قادت الرياضيات إلى إنشاء حساب التفاضل ، وقدم حساب التفاضل التفاضلي طريقة عامة قوية لحل المشكلات القصوى باستخدام المشتق.

تطرف الوظيفة

التعريف 2

تسمى النقطة $ x_0 $ نقطة الحد الأقصى للدالة $ f (x) $ إذا كان هناك منطقة مجاورة لهذه النقطة بحيث تكون المتباينة لكل $ x $ من هذا الحي $ f (x) \ le f (x_0 ) $ راضي.

التعريف 3

تسمى النقطة $ x_0 $ بالنقطة القصوى للدالة $ f (x) $ إذا كان هناك منطقة مجاورة لهذه النقطة مثل $ f (x) \ ge f (x_0). اقتنع $.

يرتبط مفهوم الحد الأقصى للوظيفة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للدالة. دعونا نقدم تعريفه.

التعريف 4

يُطلق على $ x_0 $ النقطة الحرجة للوظيفة $ f (x) $ إذا:

1) $ x_0 $ - النقطة الداخلية لمجال التعريف ؛

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ أو غير موجود.

بالنسبة لمفهوم الحد الأقصى ، يمكن للمرء أن يصوغ نظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.

نظرية 2

حالة كافية من الحالات القصوى

اجعل النقطة $ x_0 $ مهمة للدالة $ y = f (x) $ وتقع في الفترة $ (a، b) $. اترك في كل فترة $ \ left (a، x_0 \ right) \ و \ (x_0، b) $ المشتق $ f "(x) $ موجود واحتفظ بعلامة ثابتة. ثم:

1) في الفاصل الزمني $ (a، x_0) $ المشتق $ f "\ left (x \ right)> 0 $ ، وعلى الفاصل $ (x_0، b) $ المشتق $ f" \ left (x \ حق)

2) إذا كان المشتق $ f "\ left (x \ right) 0 $ على الفاصل $ (a، x_0) $ ، فإن النقطة $ x_0 $ هي الحد الأدنى لنقطة هذه الدالة.

3) في حالة $ (a، x_0) $ وفي الفاصل الزمني $ (x_0، b) $ المشتق $ f "\ left (x \ right)> 0 $ أو المشتق $ f" \ left (x \حق)

هذه النظرية موضحة في الشكل 1.

الشكل 1. شرط كاف لوجود القيم القصوى

أمثلة على التطرف (الشكل 2).

الشكل 2. أمثلة على النقاط القصوى

قاعدة فحص دالة للنقطة القصوى

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

7) استخلص استنتاجات حول وجود الحدود القصوى والصغرى في كل فترة باستخدام النظرية 2.

الوظيفة تصاعديا وتناقصا

دعونا أولاً نقدم تعريفات زيادة وخفض الوظائف.

التعريف 5

الوظيفة $ y = f (x) $ المعرفة على فترة زمنية تسمى $ X $ زيادة إذا كانت لأي نقطة $ x_1، x_2 \ in X $ مقابل $ x_1

التعريف 6

تسمى الدالة $ y = f (x) $ المحددة على فاصل زمني $ X $ متناقصة إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \ in X $ مقابل $ x_1f (x_2) $.

فحص وظيفة الزيادة والنقصان

يمكنك استقصاء دوال الزيادة والنقصان باستخدام المشتق.

لفحص دالة لفترات الزيادة والنقصان ، يجب عليك القيام بما يلي:

1) أوجد مجال الوظيفة $ f (x) $؛

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

3) أوجد النقاط التي تكون فيها المساواة $ f "\ left (x \ right) = 0 $؛

4) ابحث عن النقاط التي لا يوجد فيها $ f "(x) $ ؛

5) ضع علامة على خط الإحداثيات على جميع النقاط التي تم العثور عليها ومجال الوظيفة المحددة ؛

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فترة ناتجة ؛

7) استنتج: في الفترات الزمنية التي تزيد فيها الدالة $ f "\ left (x \ right) 0 $.

أمثلة على مشاكل دراسة وظائف الزيادة والنقصان ووجود النقاط القصوى

مثال 1

تحقق من دالة الزيادة والنقصان ، ووجود نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

نظرًا لأن النقاط الست الأولى هي نفسها ، فسنرسمها أولاً.

1) مجال التعريف - جميع الأعداد الحقيقية ؛

2) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $ ؛

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $ ؛

\ \ \

4) $ f "(x) $ موجود في جميع نقاط مجال التعريف ؛

5) خط التنسيق:

الشكل 3

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فترة:

\ \.

قرار

أوجد مشتق الوظيفة الأصلية بصيغة مشتق المنتج ص "=(7x ^ 2-56x + 56) "e ^ x \، + (7x ^ 2-56x + 56) \ left (e ^ x \ right) "= (14x-56) e ^ x + (7x ^ 2-56x + 56) e ^ x = (7x ^ 2-42x) e ^ x = 7x (x-6) e ^ x.لنحسب أصفار المشتق: y "= 0؛

7x (x-6) e ^ x = 0 ،

x_1 = 0 ، س_2 = 6.

دعونا نضع علامات المشتق ونحدد فترات رتابة الوظيفة الأصلية في فترة زمنية معينة.

يمكن ملاحظة ذلك من الشكل الموجود في المقطع [-3 ؛ 0] الوظيفة الأصلية تتزايد وتتناقص في المقطع. وبالتالي ، فإن القيمة الأكبر في الفترة [-3 ؛ 2] تتحقق عند x = 0 وتساوي ص (0) = 7 \ cdot 0 ^ 2-56 \ cdot 0 + 56 = 56.

إجابه

شرط

أوجد أكبر قيمة للدالة y = 12x-12tg x-18 في القطعة \اليسار.

قرار

ص "= (12x) "- 12 (tgx)" - (18) "= 12- \ frac (12) (\ cos ^ 2x) = \ frac (12 \ cos ^ 2x-12) (\ cos ^ 2x) \ leqslant0.هذا يعني أن الوظيفة الأصلية لا تتزايد في الفترة قيد النظر وتأخذ أكبر قيمة في الطرف الأيسر من المقطع ، أي عند x = 0. أعلى قيمة هي ص (0) = 12 \ cdot 0-12tg (0) -18 = -18.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

شرط

أوجد النقطة الدنيا للدالة y = (x + 8) ^ 2e ^ (x + 52).

قرار

سنجد أدنى نقطة للدالة باستخدام المشتق. لنجد مشتق الدالة المعينة باستخدام الصيغ الخاصة بمشتق المنتج ومشتق x ^ \ alpha و e ^ x:

ص "(س) = \ يسار ((x + 8) ^ 2 \ right) "e ^ (x + 52) + (x + 8) ^ 2 \ left (e ^ (x + 52) \ right)" = 2 (x + 8) e ^ (x + 52) + (x + 8) ^ 2e ^ (x + 52) = (س + 8) ه ^ (س + 52) (2 + س + 8) = (س + 8) (س + 10) ه ^ (س + 52).

دعونا نرتب علامات المشتق ونحدد فترات رتابة الوظيفة الأصلية. e ^ (x + 52)> 0 لأي x. ص "= 0 عندما س = -8 ، س = -10.

يوضح الشكل أن الدالة y = (x + 8) ^ 2e ^ (x + 52) لها حد أدنى واحد للنقطة x = -8.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

شرط

أوجد النقطة العظمى للدالة ص = 8 س- \ frac23x ^ \ tfrac32-106.

قرار

ODZ: x \ geqslant 0. أوجد مشتق الوظيفة الأصلية:

y "= 8- \ frac23 \ cdot \ frac32x ^ \ tfrac12 = 8- \ sqrt x.

دعنا نحسب أصفار المشتق:

8- \ sqrtx = 0 ؛

\ sqrtx = 8 ؛

س = 64.

دعونا نرتب علامات المشتق ونحدد فترات رتابة الوظيفة الأصلية.

يمكن أن نرى من الشكل أن النقطة x = 64 هي النقطة الوحيدة القصوى للدالة المعطاة.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

شرط

أوجد أصغر قيمة للدالة y = 5x ^ 2-12x + 2 \ ln x + 37 في المقطع \ اليسار [\ frac35؛ \ frac75 \ يمين].

قرار

ODZ: x> 0.

أوجد مشتق الوظيفة الأصلية:

ص "(س) = 10x-12 + \ frac (2) (x) = \ فارك (10x ^ 2-12x + 2) (x).

دعنا نحدد أصفار المشتق: y "(x) = 0؛

\ فارك (10x ^ 2-12x + 2) (س) = 0 ،

5x ^ 2-6x + 1 = 0 ،

x_ (1،2) = \ frac (3 \ pm \ sqrt (3 ^ 2-5 \ cdot1)) (5) = \ فارك (3 \ م 2) (5) ،

x_1 = \ frac15 \ notin \ left [\ frac35 ؛ \ frac75 \ right] ،

x_2 = 1 \ في \ يسار [\ frac35 ؛ \ frac75 \ يمين].

نرتب علامات المشتق ونحدد فترات رتابة الوظيفة الأصلية في الفترة قيد النظر.

يمكن أن نرى من الشكل الذي على المقطع \ اليسار [\ frac35؛ 1 \ الحق]الوظيفة الأصلية تتناقص ، وعلى المقطع \اليساريزيد. وبالتالي ، فإن أصغر قيمة في المقطع \ اليسار [\ frac35؛ \ frac75 \ يمين]يتم الوصول إليها عند x = 1 وتساوي ص (1) = 5 \ cdot 1 ^ 2-12 \ cdot 1 + 2 \ ln 1 + 37 = 30.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

شرط

أوجد أكبر قيمة للدالة y = (x + 4) ^ 2 (x + 1) +19 في المقطع [-5؛ -3].

قرار

أوجد مشتق الدالة الأصلية باستخدام صيغة مشتق المنتج.

توفر الفترات المتزايدة والمتناقصة معلومات مهمة جدًا حول سلوك الوظيفة. يعد العثور عليها جزءًا من استكشاف الوظائف وعملية التخطيط. بالإضافة إلى ذلك ، يتم إيلاء اهتمام خاص للنقاط القصوى ، حيث يوجد تغيير من زيادة إلى نقص أو من نقص إلى زيادة ، عند العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في فترة زمنية معينة.

في هذه المقالة ، سنقدم التعريفات اللازمة ، ونصوغ معيارًا كافيًا لزيادة وتقليل دالة على فترة زمنية وشروط كافية لوجود حد أقصى ، وسنطبق هذه النظرية بأكملها لحل الأمثلة والمشكلات.

التنقل في الصفحة.

وظيفة الزيادة والنقصان في فترة.

تعريف دالة متزايدة.

تزيد الدالة y = f (x) على الفاصل الزمني X إذا كان لأي من و يتم استيفاء عدم المساواة. بمعنى آخر ، تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أكبر للدالة.

تقليل تعريف الوظيفة.

تتناقص الدالة y = f (x) في الفترة الزمنية X إذا كانت لأي من و عدم المساواة . بمعنى آخر ، تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.

ملاحظة: إذا كانت الوظيفة محددة ومستمرة في نهايات فترة الزيادة أو النقصان (أ ؛ ب) ، أي عند x = a و x = b ، فسيتم تضمين هذه النقاط في فترة الزيادة أو النقصان. هذا لا يتعارض مع تعريفات الدالة المتزايدة والمتناقصة في الفترة X.

على سبيل المثال ، من خصائص الوظائف الأولية الأساسية ، نعلم أن y = sinx مُعرَّف ومستمر لجميع القيم الحقيقية للوسيطة. لذلك ، من زيادة دالة الجيب في الفترة ، يمكننا تأكيد الزيادة في الفترة.

نقاط إكستريموم ، وظيفة قصوى.

النقطة تسمى أقصى نقطةدالة y = f (x) إذا كانت المتباينة صحيحة لكل x من جوارها. يتم استدعاء قيمة الوظيفة عند النقطة القصوى وظيفة كحد أقصىوالدلالة.

النقطة تسمى الحد الأدنى من النقاطدالة y = f (x) إذا كانت المتباينة صحيحة لكل x من جوارها. يتم استدعاء قيمة الوظيفة عند أدنى نقطة وظيفة الحد الأدنىوالدلالة.

يُفهم جوار نقطة ما على أنه الفترة ، أين عدد موجب صغير بما فيه الكفاية.

يتم استدعاء الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط النقاط القصوى، وقيم الوظيفة المقابلة للنقاط القصوى تسمى الوظيفة القصوى.

لا تخلط بين القيم المتطرفة للدالة وبين القيم القصوى والدنيا للدالة.

في الشكل الأول ، يتم الوصول إلى القيمة القصوى للدالة في المقطع عند النقطة القصوى وتساوي الحد الأقصى للدالة ، وفي الشكل الثاني ، يتم الوصول إلى القيمة القصوى للدالة عند النقطة x = b ، وهي ليست النقطة القصوى.

الشروط الكافية لزيادة الوظائف وتقليصها.

على أساس الشروط (العلامات) الكافية لزيادة الوظيفة وتقليلها ، تم العثور على فترات الزيادة والنقصان للوظيفة.

فيما يلي صيغ علامات زيادة الوظائف وتناقصها في الفترة الزمنية:

• إذا كان مشتق الدالة y = f (x) موجبًا لأي x من الفترة X ، فإن الدالة تزيد بمقدار X ؛
• إذا كان مشتق الدالة y = f (x) سالبًا لأي x من الفترة X ، فإن الدالة تتناقص على X.

وبالتالي ، لتحديد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة ، من الضروري:

ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد فترات الزيادة والنقصان للوظائف لتوضيح الخوارزمية.

مثال.

أوجد فترات الزيادة والنقصان في الدالة.

قرار.

الخطوة الأولى هي إيجاد نطاق الوظيفة. في مثالنا ، لا يجب أن يختفي التعبير الموجود في المقام.

دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتق الوظيفة:

لتحديد فترات الزيادة والنقصان في دالة بمعيار كافٍ ، نقوم بحل المتباينات وفي مجال التعريف. دعونا نستخدم تعميم طريقة الفاصل. الجذر الحقيقي الوحيد للبسط هو x = 2 ، ويختفي المقام عند x = 0. تقسم هذه النقاط مجال التعريف إلى فترات يحتفظ فيها مشتق الوظيفة بعلامته. دعونا نحدد هذه النقاط على خط الأعداد. بالإيجابيات والسلبيات ، نشير شرطيًا إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. توضح الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل.

هكذا، و .

في هذه النقطة س = 2 يتم تعريف الوظيفة ومستمرة ، لذلك يجب إضافتها إلى كل من الفترات الصاعدة والتنازلية. عند النقطة x = 0 ، لم يتم تحديد الوظيفة ، لذلك لم يتم تضمين هذه النقطة في الفترات الزمنية المطلوبة.

نقدم الرسم البياني للدالة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها.

إجابه:

تزيد الوظيفة عند ، ينخفض ​​في الفترة الزمنية (0 ؛ 2].

شروط كافية لأقصى وظيفة.

لإيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة ما ، يمكنك بالطبع استخدام أي من العلامات القصوى الثلاثة ، بالطبع ، إذا كانت الوظيفة تفي بشروطها. الأكثر شيوعًا وملاءمة هو الأول منهم.

الشرط الأول الكافي للأقصى.

اجعل الدالة y = f (x) قابلة للاشتقاق في منطقة مجاورة للنقطة وتكون متصلة عند النقطة نفسها.

بعبارات أخرى:

خوارزمية لإيجاد النقاط القصوى من خلال العلامة الأولى للوظيفة القصوى.

• إيجاد مجال الوظيفة.
• نجد مشتق الدالة في مجال التعريف.
• نحدد أصفار البسط وأصفار مقام المشتق ونقاط المجال حيث لا يوجد المشتق (تسمى جميع النقاط المدرجة نقاط الحد الأقصى المحتملة، بالمرور عبر هذه النقاط ، يمكن للمشتق فقط تغيير علامته).
• تقسم هذه النقاط مجال الوظيفة إلى فترات يحتفظ فيها المشتق بعلامته. نحدد علامات المشتق في كل فترة زمنية (على سبيل المثال ، عن طريق حساب قيمة مشتق الوظيفة في أي نقطة في فترة زمنية واحدة).
• نختار النقاط التي تكون فيها الوظيفة متصلة ، والتي تمر من خلالها علامة تغير المشتق - وهي النقاط القصوى.

الكثير من الكلمات ، دعنا نفكر في بعض الأمثلة لإيجاد النقاط القصوى والدالة القصوى باستخدام الشرط الكافي الأول للنقطة القصوى للدالة.

مثال.

أوجد القيمة القصوى للدالة.

قرار.

نطاق الوظيفة هو المجموعة الكاملة من الأعداد الحقيقية ، باستثناء x = 2.

نجد المشتق:

أصفار البسط هي النقطتان x = -1 و x = 5 ، يذهب المقام إلى الصفر عند x = 2. ضع علامة على هذه النقاط على خط الأعداد

نحدد علامات المشتق في كل فترة ، ولهذا نحسب قيمة المشتق في أي نقطة من كل فترة ، على سبيل المثال ، عند النقاط x = -2 ، x = 0 ، x = 3 و x = 6.

لذلك ، يكون المشتق موجبًا في الفترة (في الشكل نضع علامة زائد على هذه الفترة). بصورة مماثلة

لذلك ، نضع سالب على الفترة الثانية ، و a ناقصًا على الفترة الثالثة ، و a زائدًا على الفترة الرابعة.

يبقى اختيار النقاط التي تكون فيها الوظيفة متصلة وعلامة تغيرات مشتقاتها. هذه هي النقاط القصوى.

في هذه النقطة x = -1 الدالة متصلة ويغير المشتق إشارة من موجب إلى ناقص ، لذلك ، وفقًا للإشارة الأولى من الحد الأقصى ، x = -1 هي النقطة القصوى ، وهي تتوافق مع الحد الأقصى للدالة .

في هذه النقطة x = 5 الدالة متصلة وعلامة تغير المشتق من سالب إلى زائد ، لذلك ، x = -1 هي النقطة الدنيا ، فهي تتوافق مع الحد الأدنى للدالة .

الرسم التوضيحي.

إجابه:

يرجى ملاحظة ما يلي: أول علامة كافية للنقطة القصوى لا تتطلب أن تكون الوظيفة قابلة للتفاضل عند النقطة نفسها.

مثال.

أوجد النقاط القصوى والدالة القصوى للدالة .

قرار.

مجال الوظيفة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. يمكن كتابة الوظيفة نفسها على النحو التالي:

لنجد مشتق الدالة:

في هذه النقطة x = 0 المشتق غير موجود ، لأن قيم الحدود من جانب واحد لا تتطابق عندما تميل الوسيطة إلى الصفر:

في الوقت نفسه ، تكون الوظيفة الأصلية مستمرة عند النقطة x = 0 (انظر القسم الخاص بالتحقيق في دالة للاستمرارية):

أوجد قيم الحجة التي يختفي عندها المشتق:

نحدد جميع النقاط التي تم الحصول عليها على الخط الحقيقي ونحدد علامة المشتق في كل فترة من الفترات. للقيام بذلك ، نحسب قيم المشتق عند نقاط عشوائية لكل فترة زمنية ، على سبيل المثال ، متى س = -6 ، س = -4 ، س = -1 ، س = 1 ، س = 4 ، س = 6.

بمعنى آخر،

وبالتالي ، وفقًا لأول علامة على الطرف الأقصى ، فإن الحد الأدنى من النقاط هو ، الحد الأقصى للنقاط .

نحسب الحد الأدنى المقابل للدالة

نحسب الحد الأقصى المقابل للدالة

الرسم التوضيحي.

إجابه:

.

العلامة الثانية للدالة القصوى.

كما ترى ، فإن علامة الحد الأقصى للدالة تتطلب وجود مشتق على الأقل حتى الدرجة الثانية عند النقطة.