اشتقاق صيغة التوقع الرياضي. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل
نظرية الاحتمالية هي فرع خاص من فروع الرياضيات التي يدرسها طلاب مؤسسات التعليم العالي فقط. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألست خائفًا من احتمالات التعارف مع التوزيع الطبيعي ، وانتروبيا المجموعة ، والتوقع الرياضي وتباين متغير عشوائي منفصل؟ بعد ذلك سيكون هذا الموضوع ذا أهمية كبيرة لك. دعنا نتعرف على بعض أهم المفاهيم الأساسية لهذا القسم من العلوم.
دعونا نتذكر الأساسيات
حتى إذا كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات ، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. الحقيقة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات ، لن تتمكن من التعامل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.
إذاً ، هناك حدث عشوائي ، بعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي تم تنفيذها ، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها أكثر شيوعًا والبعض الآخر أقل شيوعًا. احتمال وقوع حدث هو نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. فقط بمعرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم ، يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي وتشتت المتغيرات العشوائية المستمرة.
متوسط
بالعودة إلى المدرسة ، في دروس الرياضيات ، بدأت العمل بالمتوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات ، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في الصيغ الخاصة بالتوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي.
لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد المتوسط الحسابي. كل ما هو مطلوب منا هو جمع كل ما هو متاح وقسمته على عدد العناصر في التسلسل. دعونا نحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45 ، وسوف نقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.
تشتت
من الناحية العلمية ، التباين هو متوسط مربع انحرافات قيم الميزة التي تم الحصول عليها من المتوسط الحسابي. يُرمز إلى أحدهما بحرف لاتيني كبير D. ما المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر التسلسل ، نحسب الفرق بين الرقم المتاح والمتوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك العديد من القيم بالضبط بقدر ما يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي ندرسه. بعد ذلك ، نلخص كل ما تم استلامه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة ، فاقسم على خمسة.
يحتوي التباين أيضًا على خصائص تحتاج إلى تذكرها من أجل تطبيقها عند حل المشكلات. على سبيل المثال ، إذا زاد المتغير العشوائي بمقدار X مرات ، فإن التباين يزيد بمقدار X مرة في المربع (أي X * X). لا تقل أبدًا عن الصفر ولا تعتمد على تغيير القيم بقيمة متساوية لأعلى أو لأسفل. أيضًا ، بالنسبة للتجارب المستقلة ، يكون التباين في المجموع مساويًا لمجموع الفروق.
الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة تباين متغير عشوائي منفصل والتوقع الرياضي.
لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. لاحظنا كل واحد منهم ، على التوالي ، 1،2،2،3،4،4 و 5 مرات. ماذا سيكون التباين؟
أولاً ، نحسب المتوسط الحسابي: مجموع العناصر ، بالطبع ، هو 21. نقسمها على 7 ، ونحصل على 3. الآن نطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي ، ونربّع كل قيمة ، ونجمع النتائج معًا . اتضح أن 12. الآن يتبقى لنا أن نقسم الرقم على عدد العناصر ، ويبدو أن هذا كل شيء. لكن هناك قبض! دعونا نناقشها.
الاعتماد على عدد التجارب
اتضح أنه عند حساب التباين ، يمكن أن يكون المقام واحدًا من رقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو في الأساس نفس الشيء). على ماذا تعتمد؟
إذا تم قياس عدد الاختبارات بالمئات ، فيجب علينا وضع N في المقام ، وإذا كان بالوحدات ، فعندئذٍ N-1. قرر العلماء رسم الحد بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمتد على طول الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة ، فسنقسم الكمية على N-1 ، وإذا كانت أكثر ، فسنقسمها على N.
مهمة
دعنا نعود إلى مثالنا في حل مشكلة التباين والتوقع. حصلنا على عدد متوسط وهو 12 ، والذي يجب أن نقسم على N أو N-1. نظرًا لأننا أجرينا 21 تجربة ، أي أقل من 30 ، سنختار الخيار الثاني. إذن الجواب هو: الفرق هو 12/2 = 2.
القيمة المتوقعة
دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني ، الذي يجب أن نأخذ في الاعتبار في هذه المقالة. التوقع الرياضي هو نتيجة إضافة جميع النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة. من المهم أن نفهم أن القيمة الناتجة ، وكذلك نتيجة حساب التباين ، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمهمة بأكملها ، بغض النظر عن عدد النتائج التي تراها.
معادلة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نأخذ النتيجة ونضربها في احتمالها ونضيفها للنتيجة الثانية والثالثة وما إلى ذلك. كل ما يتعلق بهذا المفهوم يسهل حسابه. على سبيل المثال ، مجموع التوقعات الرياضية يساوي التوقع الرياضي للمبلغ. نفس الشيء صحيح بالنسبة للعمل. لا تسمح كل كمية في نظرية الاحتمالات بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة. لنأخذ مهمة ونحسب قيمة مفهومين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك ، انشغلنا بالنظرية - حان وقت الممارسة.
مثال آخر
أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - الأرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب متفاوتة. هذه هي على التوالي: 2٪ ، 10٪ ، 4٪ ، 14٪ ، 2٪ ، 18٪ ، 6٪ ، 16٪ ، 10٪ ، 18٪. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات ، عليك قسمة قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا ، نحصل على 0.02 ؛ 0.1 إلخ. دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.
نحسب المتوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.
الآن دعونا نترجم الاحتمالات إلى عدد من النتائج "على شكل أجزاء" لجعلها أكثر ملاءمة للعد. نحصل على 1 و 5 و 2 و 7 و 1 و 9 و 3 و 8 و 5 و 9. قم بطرح المتوسط الحسابي من كل قيمة تم الحصول عليها ، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل من النتائج التي تم الحصول عليها. شاهد كيفية القيام بذلك بالعنصر الأول كمثال: 1-5 = (-4). علاوة على ذلك: (-4) * (-4) = 16. للقيم الأخرى ، قم بهذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح ، فبعد إضافة كل شيء ، ستحصل على 90.
دعنا نواصل حساب التباين ونعني بقسمة 90 على N. لماذا نختار N وليس N-1؟ هذا صحيح ، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30 تجربة. إذن: 90/10 = 9. حصلنا على التشتت. إذا حصلت على رقم مختلف ، فلا تيأس. على الأرجح ، لقد ارتكبت خطأ عاديًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته ، وتأكد من أن كل شيء سيكون في مكانه الصحيح.
أخيرًا ، لنتذكر صيغة التوقع الرياضية. لن نقدم جميع الحسابات ، سنكتب فقط الإجابة التي يمكنك التحقق من خلالها بعد الانتهاء من جميع الإجراءات المطلوبة. ستكون القيمة المتوقعة 5.48. نتذكر فقط كيفية تنفيذ العمليات ، باستخدام مثال العناصر الأولى: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... وهكذا. كما ترى ، نقوم ببساطة بضرب قيمة النتيجة في احتمالية حدوثها.
انحراف
مفهوم آخر وثيق الصلة بالتشتت والتوقع الرياضي هو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالحروف اللاتينية sd أو بالحروف اليونانية الصغيرة "سيجما". يوضح هذا المفهوم كيف تنحرف القيم ، في المتوسط ، عن السمة المركزية. لإيجاد قيمتها ، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.
إذا قمت برسم توزيع عادي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرةً ، فيمكن القيام بذلك في عدة خطوات. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية) ، ارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. ستكون قيمة المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي هي الانحراف المعياري.
برمجة
كما يتضح من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة ، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أسهل إجراء من وجهة نظر حسابية. لكي لا تضيع الوقت ، من المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في التعليم العالي - يطلق عليه "R". لديها وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاءات ونظرية الاحتمالات.
على سبيل المثال ، يمكنك تحديد متجه من القيم. يتم ذلك على النحو التالي: ناقل<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
أخيراً
التشتت والتوقع الرياضي هما اللذان بدونهما يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات ، يتم اعتبارها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد ، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ثم يتلقون علامات ضعيفة في الجلسة ، مما يحرمهم من المنح الدراسية.
مارس أسبوعًا واحدًا على الأقل لمدة نصف ساعة يوميًا ، وحل المهام المشابهة لتلك الواردة في هذه المقالة. بعد ذلك ، في أي اختبار نظرية احتمالية ، سوف تتعامل مع أمثلة بدون نصائح وأوراق غش دخيلة.
التوقع الرياضي هو متوسط قيمة متغير عشوائي.التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها:
مثال.
X -4 6 10
ص 0.2 0.3 0.5
الحل: التوقع الرياضي يساوي مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لـ X واحتمالاتها:
M (X) \ u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \ u003d 6.
لحساب التوقع الرياضي ، من الملائم إجراء العمليات الحسابية في Excel (خاصةً عندما يكون هناك الكثير من البيانات) ، نقترح استخدام قالب جاهز ().
مثال على حل مستقل (يمكنك استخدام آلة حاسبة).
أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل X معطى بواسطة قانون التوزيع:
X 0.21 0.54 0.61
ص 0.1 0.5 0.4
التوقع الرياضي له الخصائص التالية.
الخاصية 1. التوقع الرياضي للقيمة الثابتة يساوي الثابت نفسه: М (С) = С.
الخاصية 2. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التوقع: М (СХ) = СМ ().
الخاصية 3. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي ناتج التوقعات الرياضية للعوامل: M (X1X2 ... Xp) \ u003d M (X1) M (X2) *. .. * M (Xn)
خاصية 4. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات: М (Хг + Х2 + ... + n) = М (Хг) + М (Х2) + ... + М (Хn).
المشكلة 189. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية X و Y معروفة: Z = X + 2Y، M (X) = 5، M (Y) = 3؛
الحل: باستخدام خصائص التوقع الرياضي (التوقع الرياضي للمبلغ يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات ؛ يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي) ، نحصل على M (Z) = M (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. باستخدام خصائص التوقع الرياضي ، أثبت أن: أ) M (X - Y) = M (X) -M (Y) ؛ ب) التوقع الرياضي للانحراف XM (X) هو صفر.
191- المتغير العشوائي المتقطع X يأخذ ثلاث قيم ممكنة: x1 = 4 والاحتمال p1 = 0.5 ؛ x3 = 6 مع احتمال P2 = 0.3 و x3 باحتمال p3. أوجد: x3 و p3 مع العلم أن M (X) = 8.
192- ترد قائمة بالقيم المحتملة لمتغير عشوائي X منفصل: x1 \ u003d -1 ، x2 \ u003d 0 ، x3 \ u003d 1 ، التوقعات الرياضية لهذه الكمية ومربعها معروفة أيضًا: M (X ) \ u003d 0.1 ، M (X ^ 2) \ u003d 0 ، تسعة. أوجد الاحتمالات p1، p2، p3 المقابلة للقيم الممكنة xi
194- تحتوي الدفعة المكونة من 10 أجزاء على ثلاثة أجزاء غير قياسية. تم اختيار عنصرين بشكل عشوائي. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X منفصل - عدد الأجزاء غير القياسية بين جزأين مختارين.
196. أوجد التوقع الرياضي لعدد X المتغير العشوائي المنفصل لمثل هذه رميات النرد الخمسة ، في كل منها ستظهر نقطة واحدة على نردتين ، إذا كان العدد الإجمالي للرمي هو عشرين.
التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمال وقوع حدث في تجربة واحدة:
الخصائص العددية الأساسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة: التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري. خصائصهم وأمثلة.
يصف قانون التوزيع (دالة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمالات) بشكل كامل سلوك المتغير العشوائي. ولكن في عدد من المسائل ، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للكمية قيد الدراسة (على سبيل المثال ، متوسط قيمتها والانحراف المحتمل عنها) للإجابة على السؤال المطروح. ضع في اعتبارك الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة.
التعريف 7.1.توقع رياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها:
م(X) = X 1 ص 1 + X 2 ص 2 + … + س ص ص ص(7.1)
إذا كان عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي غير محدود ، فإن السلسلة الناتجة تتقارب تمامًا.
ملاحظة 1.يسمى التوقع الرياضي أحيانًا متوسط الوزن، نظرًا لأنه يساوي تقريبًا المتوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي لعدد كبير من التجارب.
ملاحظة 2.من تعريف التوقع الرياضي ، يترتب على ذلك أن قيمتها لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة لمتغير عشوائي وليست أكبر من القيمة الأكبر.
ملاحظة 3.التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل هو غير عشوائي(ثابت. سنرى لاحقًا أن الأمر نفسه ينطبق على المتغيرات العشوائية المستمرة.
مثال 1. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد الأجزاء القياسية من بين ثلاثة أجزاء مختارة من مجموعة مكونة من 10 أجزاء ، بما في ذلك 2 معيبة. دعونا نؤلف سلسلة توزيع ل X. ويترتب على حالة المشكلة أن Xيمكن أن تأخذ القيم 1 ، 2 ، 3. ثم
مثال 2. حدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد مرات رمى العملة حتى ظهور شعار النبالة لأول مرة. يمكن أن تأخذ هذه الكمية عددًا لا نهائيًا من القيم (مجموعة القيم الممكنة هي مجموعة الأعداد الطبيعية). سلسلة توزيعها لها الشكل:
| X | … | ص | … | ||
| ص | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)ص | … |
+ (عند الحساب ، تم استخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مرتين: من أين).
خصائص التوقع الرياضي.
1) التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه:
م(مع) = مع.(7.2)
دليل - إثبات. إذا نظرنا معكمتغير عشوائي منفصل يأخذ قيمة واحدة فقط معمع الاحتمال ص= 1 إذن م(مع) = مع?1 = مع.
2) يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التوقع:
م(ش) = سم(X). (7.3)
دليل - إثبات. إذا كان المتغير العشوائي Xمن خلال سلسلة التوزيع
ثم م(ش) = Cx 1 ص 1 + Cx 2 ص 2 + … + Cx p r p = مع(X 1 ص 1 + X 2 ص 2 + … + س ص ص ص) = سم(X).
التعريف 7.2.يتم استدعاء متغيرين عشوائيين لا يعتمد، إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم التي اتخذها الآخر. المتغيرات العشوائية خلاف ذلك يعتمد.
التعريف 7.3.لنتصل نتاج متغيرات عشوائية مستقلة Xو ص متغير عشوائي س ص، التي تساوي قيمها الممكنة منتجات جميع القيم الممكنة Xلجميع القيم الممكنة ص، والاحتمالات المقابلة لها تساوي حاصل ضرب احتمالات العوامل.
3) التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية:
م(س ص) = م(X)م(ص). (7.4)
دليل - إثبات. لتبسيط العمليات الحسابية ، نقيد أنفسنا بالحالة متى Xو صخذ قيمتين محتملتين فقط:
لذلك، م(س ص) = x 1 ذ 1 ?ص 1 ز 1 + x 2 ذ 1 ?ص 2 ز 1 + x 1 ذ 2 ?ص 1 ز 2 + x 2 ذ 2 ?ص 2 ز 2 = ذ 1 ز 1 (x 1 ص 1 + x 2 ص 2) + + ذ 2 ز 2 (x 1 ص 1 + x 2 ص 2) = (ذ 1 ز 1 + ذ 2 ز 2) (x 1 ص 1 + x 2 ص 2) = م(X)?م(ص).
ملاحظة 1.وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت هذه الخاصية لمزيد من القيم المحتملة للعوامل.
ملاحظة 2.الخاصية 3 صالحة لحاصل ضرب أي عدد من المتغيرات العشوائية المستقلة ، والتي تم إثباتها بطريقة الاستقراء الرياضي.
التعريف 7.4.دعونا نحدد مجموع المتغيرات العشوائية Xو ص كمتغير عشوائي X + ص، التي تكون قيمها المحتملة مساوية لمجموع كل قيمة ممكنة Xمع كل قيمة ممكنة ص؛ تساوي احتمالات مثل هذه المبالغ حاصل ضرب احتمالات المصطلحات (للمتغيرات العشوائية التابعة - نواتج احتمالية مصطلح واحد بالاحتمال الشرطي الثاني).
4) التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين (تابع أو مستقل) يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:
م (X + ص) = م (X) + م (ص). (7.5)
دليل - إثبات.
فكر مرة أخرى في المتغيرات العشوائية التي قدمتها سلسلة التوزيع الواردة في إثبات الخاصية 3. ثم القيم المحتملة X + صنكون X 1 + في 1 , X 1 + في 2 , X 2 + في 1 , X 2 + في 2. دلالة على احتمالاتهم على التوالي ص 11 , ص 12 , ص 21 و ص 22. لنجد م(X+ص) = (x 1 + ذ 1)ص 11 + (x 1 + ذ 2)ص 12 + (x 2 + ذ 1)ص 21 + (x 2 + ذ 2)ص 22 =
= x 1 (ص 11 + ص 12) + x 2 (ص 21 + ص 22) + ذ 1 (ص 11 + ص 21) + ذ 2 (ص 12 + ص 22).
دعنا نثبت ذلك ص 11 + ص 22 = صواحد . في الواقع ، هذا الحدث X + صسوف تأخذ على القيم X 1 + في 1 أو X 1 + في 2 واحتماله ص 11 + ص 22 يتزامن مع هذا الحدث X = X 1 (الاحتمال هو صواحد). وبالمثل ، فقد ثبت أن ص 21 + ص 22 = ص 2 , ص 11 + ص 21 = ز 1 , ص 12 + ص 22 = ز 2. وسائل،
م(X + ص) = x 1 ص 1 + x 2 ص 2 + ذ 1 ز 1 + ذ 2 ز 2 = م (X) + م (ص).
تعليق. تشير الخاصية 4 إلى أن مجموع أي عدد من المتغيرات العشوائية يساوي مجموع القيم المتوقعة للمصطلحات.
مثال. أوجد التوقع الرياضي لمجموع عدد النقاط الملتفة عند رمي خمسة أحجار نرد.
لنجد التوقع الرياضي لعدد النقاط التي سقطت عند إلقاء نرد واحد:
م(X 1) \ u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) نفس الرقم يساوي التوقع الرياضي لعدد النقاط التي سقطت على أي نرد. لذلك ، عن طريق الملكية 4 م(X)=
تشتت.
من أجل الحصول على فكرة عن سلوك متغير عشوائي ، لا يكفي معرفة توقعاته الرياضية فقط. ضع في اعتبارك متغيرين عشوائيين: Xو ص، من خلال سلسلة توزيع النموذج
| X | |||
| ص | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| ص | ||
| ص | 0,5 | 0,5 |
لنجد م(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, م(ص) \ u003d 0؟ 0.5 + 100؟ 0.5 \ u003d 50. كما ترون ، التوقعات الرياضية لكلا الكميتين متساوية ، لكن إذا كانت جلالة الملك(X) يصف بشكل جيد سلوك المتغير العشوائي ، كونه قيمته المحتملة الأكثر احتمالاً (علاوة على ذلك ، تختلف القيم المتبقية قليلاً عن 50) ، ثم القيم صتنحرف بشكل كبير عن م(ص). لذلك ، إلى جانب التوقع الرياضي ، من المستحسن معرفة مدى انحراف قيم المتغير العشوائي عنه. يستخدم التشتت لوصف هذا المؤشر.
التعريف 7.5.تشتت (نثر)يسمى المتغير العشوائي التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن توقعه الرياضي:
د(X) = م (X-M(X)) ². (7.6)
أوجد تباين متغير عشوائي X(عدد الأجزاء القياسية من بين تلك المختارة) في المثال 1 من هذه المحاضرة. دعنا نحسب قيم الانحراف التربيعي لكل قيمة ممكنة من التوقع الرياضي:
(1 - 2.4) 2 = 1.96 ؛ (2 - 2.4) 2 = 0.16 ؛ (3 - 2.4) 2 = 0.36. لذلك،
ملاحظة 1.في تعريف التباين ، لا يتم تقييم الانحراف عن الوسط نفسه ، ولكن مربعه. يتم ذلك حتى لا تعوض انحرافات العلامات المختلفة بعضها عن بعض.
ملاحظة 2.ويترتب على تعريف التشتت أن هذه الكمية تأخذ فقط قيمًا غير سالبة.
ملاحظة 3.هناك معادلة أكثر ملاءمة لحساب التباين ، ثبت صحتها في النظرية التالية:
نظرية 7.1.د(X) = م(X²) - م²( X). (7.7)
دليل - إثبات.
باستخدام ماذا م(X) هي قيمة ثابتة ، وخصائص التوقع الرياضي ، نقوم بتحويل الصيغة (7.6) إلى الشكل:
د(X) = م(X-M(X))² = م(X² - 2 X؟ م(X) + م²( X)) = م(X²) - 2 م(X)?م(X) + م²( X) =
= م(X²) - 2 م²( X) + م²( X) = م(X²) - م²( X) ، الذي كان مقررًا إثباته.
مثال. دعونا نحسب متغيرات المتغيرات العشوائية Xو صتمت مناقشته في بداية هذا القسم. م(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
م(ص) \ u003d (0 2؟ 0.5 + 100²؟ 0.5) - 50² \ u003d 5000 - 2500 \ u003d 2500. إذن ، تشتت المتغير العشوائي الثاني أكبر بعدة آلاف من تشتت الأول. وهكذا وحتى بدون معرفة قوانين توزيع هذه الكميات حسب القيم المعروفة للتشتت يمكننا القول: Xينحرف قليلاً عن توقعاته الرياضية ، بينما صهذا الانحراف مهم جدا.
خصائص التشتت.
1) ثابت التشتت معيساوي صفر:
د (ج) = 0. (7.8)
دليل - إثبات. د(ج) = م((سم(ج))²) = م((نسخة)²) = م(0) = 0.
2) يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت بتربيعها:
د(CX) = ج² د(X). (7.9)
دليل - إثبات. د(CX) = م((CX-M(CX))²) = م((CX-سم(X))²) = م(ج²( X-M(X))²) =
= ج² د(X).
3) التباين في مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع الفروق الخاصة بهم:
د(X + ص) = د(X) + د(ص). (7.10)
دليل - إثبات. د(X + ص) = م(X² + 2 س ص + ص²) - ( م(X) + م(ص))² = م(X²) + 2 م(X)م(ص) +
+ م(ص²) - م²( X) - 2م(X)م(ص) - م²( ص) = (م(X²) - م²( X)) + (م(ص²) - م²( ص)) = د(X) + د(ص).
النتيجة 1.التباين في مجموع العديد من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي مجموع الفروق الخاصة بهم.
النتيجة 2.التباين في مجموع الثابت والمتغير العشوائي يساوي تباين المتغير العشوائي.
4) تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع الفروق الخاصة بهم:
د(X-Y) = د(X) + د(ص). (7.11)
دليل - إثبات. د(X-Y) = د(X) + د(-ص) = د(X) + (-1) ² د(ص) = د(X) + د(X).
يعطي التباين متوسط قيمة الانحراف التربيعي للمتغير العشوائي عن المتوسط ؛ لتقييم الانحراف نفسه قيمة تسمى الانحراف المعياري.
التعريف 7.6.الانحراف المعياريσ متغير عشوائي Xيسمى الجذر التربيعي للتباين:
مثال. في المثال السابق ، الانحرافات المعيارية Xو صمتساوية على التوالي
التوقع والتباين الرياضي هما أكثر الخصائص الرقمية استخدامًا للمتغير العشوائي. إنها تميز أهم سمات التوزيع: موقعه ودرجة تشتته. في العديد من مشاكل الممارسة ، لا يمكن الحصول على وصف كامل وشامل لمتغير عشوائي - قانون التوزيع - على الإطلاق ، أو أنه ليس ضروريًا على الإطلاق. في هذه الحالات ، تقتصر على وصف تقريبي لمتغير عشوائي باستخدام الخصائص العددية.
غالبًا ما يشار إلى التوقع الرياضي ببساطة على أنه متوسط قيمة متغير عشوائي. تشتت المتغير العشوائي هو خاصية تشتت متغير عشوائي حول توقعه الرياضي.
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل
دعونا نقترب من مفهوم التوقع الرياضي ، أولاً من التفسير الميكانيكي لتوزيع متغير عشوائي منفصل. دع كتلة الوحدة توزع بين نقاط المحور السيني x1 , x 2 , ..., xن، ولكل نقطة مادية كتلة مناظرة لها ص1 , ص 2 , ..., صن. من الضروري اختيار نقطة واحدة على المحور السيني ، والتي تحدد موضع نظام النقاط المادية بالكامل ، مع مراعاة كتلها. من الطبيعي أن تأخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية على أنها نقطة. هذا هو المتوسط المرجح للمتغير العشوائي X، حيث يوجد حد أقصى لكل نقطة xأنايدخل "بوزن" يساوي الاحتمال المقابل. وهكذا تم الحصول على متوسط قيمة المتغير العشوائي Xيسمى توقعه الرياضي.
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالات هذه القيم:
مثال 1تم تنظيم يانصيب مربح للجانبين. هناك 1000 ربح ، 400 منها 10 روبل لكل منها. 300 - 20 روبل لكل منهما 200-100 روبل لكل منهما. و 100 - 200 روبل لكل منهما. ما هو متوسط أرباح الشخص الذي يشتري تذكرة واحدة؟
قرار. سنجد متوسط الفوز إذا تم تقسيم المبلغ الإجمالي للمكاسب ، والذي يساوي 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50000 روبل ، على 1000 (المبلغ الإجمالي للمكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن أيضًا تمثيل التعبير الخاص بحساب متوسط الربح بالشكل التالي:
من ناحية أخرى ، في ظل هذه الظروف ، يكون مقدار المكاسب متغيرًا عشوائيًا يمكن أن يأخذ قيم 10 و 20 و 100 و 200 روبل. باحتمالات تساوي 0.4 على التوالي ؛ 0.3 ؛ 0.2 ؛ 0.1. لذلك ، فإن متوسط العائد المتوقع يساوي مجموع المنتجات بحجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.
مثال 2قرر الناشر نشر كتاب جديد. سيبيع الكتاب مقابل 280 روبل ، منها 200 روبل ، و 50 إلى المكتبة ، و 30 للمؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكلفة نشر الكتاب واحتمالية بيع عدد معين من نسخ الكتاب.
ابحث عن الربح المتوقع للناشر.
قرار. المتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من البيع وتكلفة التكاليف. على سبيل المثال ، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب ، فإن الدخل من البيع هو 200 * 500 = 100000 ، وتكلفة النشر 225000 روبل. وبالتالي ، يواجه الناشر خسارة 125000 روبل. يلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي - الربح:
| رقم | ربح xأنا | احتمالا صأنا | xأنا صأنا |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| المجموع: | 1,00 | 25000 |
وبالتالي ، نحصل على التوقع الرياضي لأرباح الناشر:
.
مثال 3فرصة لضرب طلقة واحدة ص= 0.2. حدد استهلاك الأصداف التي توفر توقعًا رياضيًا لعدد الزيارات التي تساوي 5.
قرار. من نفس صيغة التوقع التي استخدمناها حتى الآن ، نعبر عنها x- استهلاك القذائف:
.
مثال 4تحديد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي xعدد الضربات بثلاث طلقات ، إذا كان احتمال الضربات مع كل طلقة ص = 0,4 .
تلميح: أوجد احتمالية قيم متغير عشوائي بواسطة صيغة برنولي .
خصائص التوقع
تأمل في خصائص التوقع الرياضي.
خاصية 1.التوقع الرياضي للقيمة الثابتة يساوي هذا الثابت:
خاصية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع:
الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) توقعاتهم الرياضية:
الملكية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي ناتج توقعاتهم الرياضية:
الملكية 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xإنقاص (زيادة) بنفس العدد مع، ثم سينخفض توقعه الرياضي (يزداد) بنفس العدد:
عندما لا يمكنك أن تقتصر فقط على التوقعات الرياضية
في معظم الحالات ، لا يمكن إلا للتوقع الرياضي أن يميز متغيرًا عشوائيًا بشكل مناسب.
دع المتغيرات العشوائية Xو صيتم تقديمها بموجب قوانين التوزيع التالية:
| المعنى X | احتمالا |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| المعنى ص | احتمالا |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:
ومع ذلك ، فإن توزيعها مختلف. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ فقط قيمًا مختلفة قليلاً عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي صيمكن أن تأخذ قيمًا تنحرف بشكل كبير عن التوقع الرياضي. مثال مشابه: متوسط الأجر لا يجعل من الممكن الحكم على نسبة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بعبارة أخرى ، من خلال التوقع الرياضي ، لا يمكن للمرء أن يحكم على الانحرافات الممكنة عنه ، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد تباين متغير عشوائي.
تشتت متغير عشوائي منفصل
تشتتالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي:
الانحراف المعياري لمتغير عشوائي Xهي القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينها:
.
مثال 5حساب الفروق والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ص، التي ترد قوانين التوزيع الخاصة بها في الجداول أعلاه.
قرار. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو ص، كما هو موضح أعلاه ، تساوي الصفر. وفقًا لصيغة التشتت لـ ه(X)=ه(ذ) = 0 نحصل على:
ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو صتشكل
.
وهكذا ، مع نفس التوقعات الرياضية ، تباين المتغير العشوائي Xصغير جدا وعشوائي ص- كبير. هذا نتيجة للاختلاف في توزيعها.
مثال 6المستثمر لديه 4 مشاريع استثمارية بديلة. يلخص الجدول البيانات الخاصة بالربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمال المقابل.
| مشروع 1 | المشروع 2 | المشروع 3 | المشروع 4 |
| 500, ص=1 | 1000, ص=0,5 | 500, ص=0,5 | 500, ص=0,5 |
| 0, ص=0,5 | 1000, ص=0,25 | 10500, ص=0,25 | |
| 0, ص=0,25 | 9500, ص=0,25 |
ابحث عن التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لكل بديل.
قرار. دعونا نوضح كيف يتم حساب هذه الكميات للبديل الثالث:
يلخص الجدول القيم التي تم العثور عليها لجميع البدائل.
جميع البدائل لها نفس التوقعات الرياضية. هذا يعني أن كل شخص يحصل على نفس الدخل على المدى الطويل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - فكلما زاد حجمه ، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد المرتفعة في فترة قصيرة ، فسيختار المشروع الذي يحتوي على أكبر انحراف معياري - المشروع 4.
خصائص التشتت
دعونا نقدم خصائص التشتت.
خاصية 1.تشتت قيمة ثابتة صفر:
خاصية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت بتربيعها:
.
الملكية 3.يساوي التباين في المتغير العشوائي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة ، والذي يُطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:
,
أين 
.
الملكية 4.التباين في مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) الفروق الخاصة بهم:
مثال 7من المعروف أن متغير عشوائي منفصل Xتأخذ قيمتين فقط: 3 و 7. بالإضافة إلى ذلك ، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4. أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.
قرار. للدلالة به صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة x1 = −3 . ثم احتمالية القيمة x2 = 7 سيكون 1 - ص. لنشتق معادلة التوقع الرياضي:
ه(X) = x 1 ص + x 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,
من أين نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .
قانون توزيع المتغير العشوائي:
| X | −3 | 7 |
| ص | 0,3 | 0,7 |
نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتباين:
د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
ابحث عن التوقع الرياضي لمتغير عشوائي بنفسك ، ثم انظر إلى الحل
المثال 8المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. تأخذ القيمة الأكبر 3 مع احتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك ، فإن تباين المتغير العشوائي معروف د(X) = 6. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.
المثال 9تحتوي الجرة على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. 3 كرات مأخوذة من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي منفصل X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.
قرار. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0 ، 1 ، 2 ، 3. يمكن حساب الاحتمالات المقابلة من قاعدة ضرب الاحتمالات. قانون توزيع المتغير العشوائي:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ص | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ومن هنا جاء التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:
م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
تباين متغير عشوائي معين هو:
د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
التوقع الرياضي والتشتت لمتغير عشوائي مستمر
بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر ، سيحتفظ التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة الموزعة باستمرار على المحور السيني بكثافة F(x). على النقيض من المتغير العشوائي المنفصل ، والذي تستخدم فيه وسيطة الوظيفة xأنايتغير فجأة ، لمتغير عشوائي مستمر ، تتغير الوسيطة باستمرار. لكن التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر يرتبط أيضًا بقيمته المتوسطة.
لإيجاد التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر ، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة كثافة لمتغير عشوائي مستمر ، فإنها تدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة توزيع احتمالية ، فعند تمييزها ، تحتاج إلى إيجاد دالة الكثافة.
يُطلق على المتوسط الحسابي لجميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي مستمر اسمها توقع رياضي، المشار إليها بواسطة أو.
التوقع الرياضي هو التعريف
حصيرة الانتظارمن أهم المفاهيم في الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات التي تميز توزيع القيم أو الاحتمالاتمتغير عشوائي. عادة ما يتم التعبير عنها كمتوسط مرجح لجميع المعلمات الممكنة لمتغير عشوائي. يستخدم على نطاق واسع في التحليل الفني ، ودراسة سلسلة الأرقام ، ودراسة العمليات المستمرة وطويلة الأجل. إنه مهم في تقييم المخاطر ، والتنبؤ بمؤشرات الأسعار عند التداول في الأسواق المالية ، ويستخدم في تطوير استراتيجيات وأساليب تكتيكات اللعبة في نظرية القمار.
كش ملك في انتظار- هذهمتوسط قيمة المتغير العشوائي ، التوزيع الاحتمالاتيعتبر المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات.
حصيرة الانتظارقياس متوسط قيمة متغير عشوائي في نظرية الاحتمالات. توقع الرياضيات لمتغير عشوائي xيعني م (س).
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
حصيرة الانتظار
حصيرة الانتظارفي نظرية الاحتمالات ، المتوسط المرجح لجميع القيم المحتملة التي يمكن أن يتخذها هذا المتغير العشوائي.
حصيرة الانتظارمجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي من خلال احتمالات هذه القيم.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
حصيرة الانتظارمتوسط الاستفادة من قرار معين ، بشرط أن يتم النظر في مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافة الطويلة.
حصيرة الانتظارفي نظرية القمار ، مقدار المكاسب التي يمكن للمضارب أن يكسبها أو يخسرها ، في المتوسط ، لكل رهان. بلغة القمار المضاربونوهذا ما يسمى أحيانًا "بالميزة مضارب"(إذا كانت موجبة للمضارب) أو" حافة المنزل "(إذا كانت سلبية للمضارب).
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
حصيرة الانتظارالربح لكل فوز مضروبا في المتوسط ربح، مطروحًا منه الخسارة مضروبًا في متوسط الخسارة.
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي في النظرية الرياضية
التوقع من الخصائص العددية المهمة للمتغير العشوائي. دعونا نقدم مفهوم نظام المتغيرات العشوائية. ضع في اعتبارك مجموعة من المتغيرات العشوائية التي هي نتيجة نفس التجربة العشوائية. إذا كانت إحدى القيم المحتملة للنظام ، فإن الحدث يتوافق مع احتمال معين يفي ببديهيات Kolmogorov. تسمى الوظيفة المحددة لأي قيم محتملة للمتغيرات العشوائية قانون التوزيع المشترك. تتيح لك هذه الوظيفة حساب احتمالات أي أحداث من. على وجه الخصوص ، مشترك قانونتوزيع المتغيرات العشوائية والتي تأخذ قيمًا من المجموعة وتعطيها الاحتمالات.
مصطلح "حصيرة. التوقع "قدمه بيير سيمون ماركيز دي لابلاس (1795) ونشأ من مفهوم" القيمة المتوقعة للمكافأة "، والذي ظهر لأول مرة في القرن السابع عشر في نظرية المقامرة في أعمال بليز باسكال وكريستيان هيغنز. ومع ذلك ، تم تقديم أول فهم نظري كامل وتقييم لهذا المفهوم من قبل Pafnuty Lvovich Chebyshev (منتصف القرن التاسع عشر).
قانونتوزيعات المتغيرات العددية العشوائية (دالة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمال) تصف تمامًا سلوك المتغير العشوائي. ولكن في عدد من المسائل ، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للكمية قيد الدراسة (على سبيل المثال ، متوسط قيمتها والانحراف المحتمل عنها) للإجابة على السؤال المطروح. الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية هي التوقع والتباين والوضع والوسيط.
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها. في بعض الأحيان حصيرة. يُطلق على التوقع اسم المتوسط المرجح ، لأنه يساوي تقريبًا المتوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي على مدى عدد كبير من التجارب. من تعريف حصيرة التوقع ، يترتب على ذلك أن قيمتها لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة لمتغير عشوائي وليست أكبر من أكبرها. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي هو متغير غير عشوائي (ثابت).
التوقع الرياضي له معنى فيزيائي بسيط: إذا تم وضع كتلة وحدة على خط مستقيم ، أو وضع بعض الكتلة في بعض النقاط (لتوزيع منفصل) ، أو "تلطيخها" بكثافة معينة (لتوزيع مستمر تمامًا) ، إذن ستكون النقطة المقابلة لتوقع الحصيرة هي إحداثيات "مركز الثقل" بشكل مستقيم.
متوسط قيمة المتغير العشوائي هو رقم معين ، وهو ، كما كان ، "ممثل" ويستبدلها بحسابات تقريبية تقريبية. عندما نقول: "متوسط وقت تشغيل المصباح 100 ساعة" أو "يتم تغيير متوسط نقطة التأثير بالنسبة للهدف بمقدار 2 متر إلى اليمين" ، فإننا نشير إلى خاصية عددية معينة لمتغير عشوائي يصفه الموقع على المحور العددي ، أي وصف الموقف.
من خصائص الموقف في نظرية الاحتمال ، الدور الأكثر أهمية هو توقع متغير عشوائي ، والذي يطلق عليه أحيانًا ببساطة متوسط قيمة متغير عشوائي.
ضع في اعتبارك متغير عشوائي Xالتي لها قيم ممكنة x1 ، x2 ، ... ، xnمع الاحتمالات p1، p2،…، pn. نحن بحاجة إلى تحديد عدد معين من موضع قيم المتغير العشوائي على المحور x أخذا بالإعتبارأن هذه القيم لها احتمالات مختلفة. لهذا الغرض ، من الطبيعي استخدام ما يسمى "المتوسط المرجح" للقيم الحادي عشر، ويجب أن تؤخذ كل قيمة xi أثناء حساب المتوسط في الاعتبار مع "وزن" يتناسب مع احتمال هذه القيمة. وهكذا نحسب متوسط المتغير العشوائي X، والتي سوف نشير إليها م | س |:
يسمى هذا المتوسط المرجح توقع حصيرة المتغير العشوائي. وهكذا ، قدمنا في الاعتبار أحد أهم مفاهيم نظرية الاحتمالات - مفهوم حصيرة. التوقعات. حصيرة. توقع المتغير العشوائي هو مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي واحتمالات هذه القيم.
حصيرة. توقع متغير عشوائي Xبسبب الاعتماد الغريب مع المتوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي مع عدد كبير من التجارب. هذا الاعتماد من نفس نوع الاعتماد بين التردد والاحتمال ، أي: مع عدد كبير من التجارب ، يقترب المتوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي (يتقارب في الاحتمال) إلى حصيره. انتظار. من وجود علاقة بين التكرار والاحتمال ، يمكن للمرء أن يستنتج نتيجة وجود علاقة مماثلة بين المتوسط الحسابي والتوقع الرياضي. في الواقع ، فكر في متغير عشوائي X، وتتميز بسلسلة من التوزيعات:
دعها تنتج نتجارب مستقلة ، قيمة كل منها Xيأخذ على قيمة معينة. افترض القيمة x1ظهر م 1مرات ، قيمة x2ظهر م 2مرات ، المعنى العام الحادي عشرظهرت مي مرات. دعونا نحسب المتوسط الحسابي لقيم X المرصودة ، والتي ، على عكس التوقعات م | س |سوف نشير م * | س |:
مع زيادة عدد التجارب نالترددات بيسوف تقترب (تتقارب في الاحتمالية) من الاحتمالات المقابلة. لذلك ، المتوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي م | س |مع زيادة عدد التجارب ، ستقترب (تتقارب في الاحتمالية) من توقعاتها. العلاقة التي تمت صياغتها أعلاه بين المتوسط الحسابي والحصيرة. التوقع هو محتوى أحد أشكال قانون الأعداد الكبيرة.
نحن نعلم بالفعل أن جميع أشكال قانون الأعداد الكبيرة تنص على حقيقة أن متوسطات معينة مستقرة خلال عدد كبير من التجارب. نحن هنا نتحدث عن ثبات الوسط الحسابي من سلسلة ملاحظات لها نفس القيمة. مع عدد قليل من التجارب ، يكون المتوسط الحسابي لنتائجها عشوائيًا ؛ مع زيادة كافية في عدد التجارب ، يصبح "غير عشوائي تقريبًا" ، ويقترب من قيمة ثابتة - mat. انتظار.
من السهل التحقق تجريبيًا من خاصية ثبات المتوسطات لعدد كبير من التجارب. على سبيل المثال ، وزن أي جسم في المختبر بمقاييس دقيقة ، نتيجة للوزن نحصل على قيمة جديدة في كل مرة ؛ لتقليل خطأ الملاحظة ، نزن الجسم عدة مرات ونستخدم المتوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها. من السهل أن نرى أنه مع زيادة عدد التجارب (الوزن) ، يتفاعل المتوسط الحسابي مع هذه الزيادة بشكل أقل وأقل ، ومع وجود عدد كبير من التجارب فإنه يتوقف عمليًا عن التغيير.
وتجدر الإشارة إلى أن السمة الأكثر أهمية لموضع المتغير العشوائي هي mat. توقع - غير موجود لجميع المتغيرات العشوائية. من الممكن تقديم أمثلة على هذه المتغيرات العشوائية التي من أجلها حصيرة. لا يوجد توقع ، لأن المجموع المقابل أو تباعد متكامل. ومع ذلك ، بالنسبة للممارسة ، مثل هذه الحالات ليست ذات أهمية كبيرة. عادةً ما يكون للمتغيرات العشوائية التي نتعامل معها نطاقًا محدودًا من القيم الممكنة ، وبالطبع يكون لها توقع متغير.
بالإضافة إلى أهم خصائص موضع المتغير العشوائي - قيمة التوقع - تُستخدم أحيانًا خصائص أخرى للموضع في الممارسة العملية ، على وجه الخصوص ، وضع ومتوسط المتغير العشوائي.
نمط المتغير العشوائي هو أكثر قيمته احتمالا. مصطلح "القيمة الأكثر احتمالا" ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، ينطبق فقط على الكميات غير المستمرة ؛ بالنسبة للكمية المستمرة ، يكون الوضع هو القيمة التي تكون عندها كثافة الاحتمال القصوى. توضح الأشكال وضع المتغيرات العشوائية المتقطعة والمستمرة ، على التوالي.
إذا كان لمضلع التوزيع (منحنى التوزيع) أكثر من حد أقصى ، فيُقال أن التوزيع "متعدد الأشكال".
في بعض الأحيان توجد توزيعات ليس لها في المنتصف حد أقصى ، ولكن لها حد أدنى. وتسمى هذه التوزيعات بـ "antimodal".
في الحالة العامة ، لا يتطابق نمط المتغير العشوائي وتوقعه. في الحالة الخاصة عندما يكون التوزيع متماثلًا ومشروطًا (أي له وضع) وهناك حصيرة. التوقع ، ثم يتزامن مع وضع ومركز تناظر التوزيع.
غالبًا ما يتم استخدام خاصية أخرى للموضع - ما يسمى بمتوسط المتغير العشوائي. عادةً ما تُستخدم هذه الخاصية فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة ، على الرغم من أنه يمكن تعريفها رسميًا لمتغير غير مستمر أيضًا. هندسيًا ، الوسيط هو الحد الأقصى للنقطة التي يتم عندها تقسيم المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع.
في حالة التوزيع النمطي المتماثل ، يتزامن الوسيط مع الحصيرة. التوقع والموضة.
التوقع الرياضي هو قيمة متوسطة ، متغير عشوائي - خاصية عددية للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. بشكل عام ، توقع حصيرة لمتغير عشوائي X (ث)يتم تعريفه على أنه تكامل ليبيج فيما يتعلق بمقياس الاحتمالية صفي مساحة الاحتمال الأصلية:
حصيرة. يمكن أيضًا حساب التوقع باعتباره جزءًا لا يتجزأ من Lebesgue Xحسب التوزيع الاحتمالي مقصفكميات X:
بطريقة طبيعية ، يمكن للمرء تحديد مفهوم المتغير العشوائي مع توقع لانهائي. ومن الأمثلة النموذجية أوقات الإعادة إلى الوطن في بعض مسارات المشي العشوائية.
بمساعدة حصيرة. يتم تحديد التوقعات من خلال العديد من الخصائص العددية والوظيفية للتوزيع (مثل التوقع الرياضي للوظائف المقابلة لمتغير عشوائي) ، على سبيل المثال ، وظيفة التوليد ، الوظيفة المميزة ، لحظات من أي ترتيب ، على وجه الخصوص التباين ، التغاير.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
التوقع الرياضي هو خاصية مميزة لموقع قيم المتغير العشوائي (متوسط قيمة توزيعه). وبهذه الصفة ، يعمل التوقع الرياضي كمعامل توزيع "نموذجي" ويشبه دوره دور اللحظة الساكنة - إحداثيات مركز ثقل توزيع الكتلة - في الميكانيكا. من الخصائص الأخرى للموقع ، التي يتم من خلالها وصف التوزيع بعبارات عامة - يختلف الوسطاء والأنماط والتوقع في القيمة الأكبر التي يتمتع بها وخاصية التشتت المقابلة - التباين - في نظريات الحد في نظرية الاحتمالات. بأكبر قدر من الاكتمال ، يتم الكشف عن معنى حصائر التوقع من خلال قانون الأعداد الكبيرة (عدم المساواة في Chebyshev) والقانون المعزز للأعداد الكبيرة.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل
يجب أن يكون هناك بعض المتغيرات العشوائية التي يمكن أن تأخذ واحدة من عدة قيم عددية (على سبيل المثال ، يمكن أن يكون عدد النقاط في لفة القوالب 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6). في كثير من الأحيان في الممارسة العملية ، لمثل هذه القيمة ، يطرح السؤال: ما هي القيمة التي يأخذها "في المتوسط" مع عدد كبير من الاختبارات؟ ماذا سيكون متوسط العائد (أو الخسارة) من كل صفقة محفوفة بالمخاطر؟
لنفترض أن هناك نوعًا من اليانصيب. نريد أن نفهم ما إذا كان من المربح أم لا المشاركة فيه (أو حتى المشاركة بشكل متكرر ومنتظم). لنفترض أن كل تذكرة رابعة تفوز ، ستكون الجائزة 300 روبل ، وأي تذكرة - 100 روبل. هذا ما يحدث مع عدد لا حصر له من المشاركات. في ثلاثة أرباع الحالات ، سنفقد ، كل ثلاث خسائر ستكلف 300 روبل. في كل حالة رابعة ، سنفوز بـ 200 روبل. (الجائزة مطروحًا منها التكلفة) ، أي في أربع مشاركات ، نفقد ما معدله 100 روبل ، لمشاركة واحدة - بمتوسط 25 روبل. في المجموع ، سيكون متوسط سعر الخراب لدينا 25 روبل لكل تذكرة.
نرمي النرد. إذا لم يكن هذا غشًا (بدون تغيير مركز الثقل ، وما إلى ذلك) ، فكم عدد النقاط التي سنحصل عليها في المتوسط في المرة الواحدة؟ نظرًا لأن كل خيار متساوٍ في الاحتمال ، فإننا نأخذ المتوسط الحسابي الغبي ونحصل على 3.5. نظرًا لأن هذا هو AVERAGE ، فلا داعي للسخط لأنه لا يوجد رمية معينة ستعطي 3.5 نقطة - حسنًا ، هذا المكعب ليس له وجه بهذا الرقم!
الآن دعنا نلخص أمثلةنا:
دعونا نلقي نظرة على الصورة أعلاه. يوجد على اليسار جدول توزيع متغير عشوائي. يمكن أن تأخذ قيمة X إحدى القيم الممكنة n (الواردة في الصف العلوي). لا يمكن أن تكون هناك قيم أخرى. تحت كل قيمة ممكنة ، يتم تسجيل احتمالها أدناه. على اليمين توجد صيغة حيث M (X) تسمى mat. انتظار. معنى هذه القيمة هو أنه مع وجود عدد كبير من التجارب (مع عينة كبيرة) ، فإن القيمة المتوسطة ستميل إلى هذا التوقع بالذات.
دعنا نعود إلى نفس مكعب اللعب. حصيرة. توقع عدد النقاط عند الرمي هو 3.5 (احسب نفسك باستخدام الصيغة إذا كنت لا تصدق ذلك). لنفترض أنك رميته عدة مرات. 4 و 6. في المتوسط ، اتضح أنه 5 ، أي بعيدًا عن 3.5. ألقوا بها مرة أخرى ، سقطت 3 ، أي في المتوسط (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... بعيدًا إلى حد ما عن الحصيرة. التوقعات. الآن قم بتجربة مجنونة - دحرج المكعب 1000 مرة! وإذا لم يكن المتوسط 3.5 بالضبط ، فسيكون قريبًا من ذلك.
دعونا نعد الحصير. في انتظار اليانصيب الموصوف أعلاه. سيبدو الجدول كما يلي:
بعد ذلك ، سيكون كش مات التوقع ، كما ذكرنا أعلاه:
شيء آخر هو أنه أيضًا "على الأصابع" ، بدون صيغة ، سيكون من الصعب إذا كان هناك المزيد من الخيارات. حسنًا ، لنفترض أن 75٪ تذاكر خاسرة و 20٪ تذاكر فائزة و 5٪ تذاكر فائزة.
الآن بعض خصائص حصيرة التوقع.
حصيرة. الانتظار خطي.من السهل إثبات ذلك:
يُسمح بإخراج المضاعف الثابت من علامة كش مات. التوقعات ، وهي:
هذه حالة خاصة للخاصية الخطية لحصائر التوقع.
نتيجة أخرى لخطية حصيرة. التوقعات:
هذا هو حصيرة. توقع مجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية.
دع X ، Y تكون متغيرات عشوائية مستقلة، من ثم:
من السهل أيضًا إثبات ذلك) س صهو نفسه متغير عشوائي ، بينما إذا كانت القيم الأولية يمكن أن تأخذ نو مالقيم ، على التوالي ، إذن س صيمكن أن تأخذ قيم نانومتر. يتم حساب كل قيمة بناءً على حقيقة أن احتمالات الأحداث المستقلة تتضاعف. نتيجة لذلك ، حصلنا على هذا:
التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر
المتغيرات العشوائية المستمرة لها خاصية مثل كثافة التوزيع (كثافة الاحتمال). إنه ، في الواقع ، يميز الموقف الذي يأخذ فيه المتغير العشوائي بعض القيم من مجموعة الأرقام الحقيقية في كثير من الأحيان ، وبعضها - أقل في كثير من الأحيان. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك هذا المخطط:
هنا X- في الواقع متغير عشوائي ، و (خ)- كثافة التوزيع. انطلاقا من هذا الرسم البياني ، خلال التجارب ، القيمة Xغالبًا ما يكون رقمًا قريبًا من الصفر. فرص لتتجاوز 3 أو كن أقل -3 بالأحرى نظرية بحتة.
إذا كانت كثافة التوزيع معروفة ، فسيتم البحث في حصيرة التوقعات على النحو التالي:
دعنا ، على سبيل المثال ، هناك توزيع موحد:
دعونا نجد حصيرة. توقع:
هذا يتوافق تمامًا مع الفهم الحدسي. لنفترض أنه إذا حصلنا على عدد كبير من الأعداد الحقيقية العشوائية بتوزيع منتظم ، كل جزء |0; 1| ، إذن يجب أن يكون المتوسط الحسابي حوالي 0.5.
خصائص حصائر التوقع - الخطية ، وما إلى ذلك ، المطبقة على المتغيرات العشوائية المنفصلة ، تنطبق هنا أيضًا.
علاقة التوقع الرياضي بالمؤشرات الإحصائية الأخرى
في إحصائيةالتحليل ، جنبًا إلى جنب مع توقعات حصيرة ، هناك نظام من المؤشرات المترابطة التي تعكس توحيد الظواهر والاستقرار العمليات. في كثير من الأحيان ، لا يكون لمؤشرات التباين معنى مستقل ويتم استخدامها لمزيد من تحليل البيانات. الاستثناء هو معامل الاختلاف الذي يميز التجانس البياناتما هو ذو قيمة إحصائيةصفة مميزة.
درجة التباين أو الاستقرار العملياتفي العلوم الإحصائية يمكن قياسها باستخدام عدة مؤشرات.
أهم مؤشر تميز تقلبيةالمتغير العشوائي هو تشتت، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا ومباشرًا بالحصيرة. انتظار. تُستخدم هذه المعلمة بنشاط في أنواع أخرى من التحليل الإحصائي (اختبار الفرضيات ، وتحليل علاقات السبب والنتيجة ، وما إلى ذلك). مثل متوسط الانحراف الخطي ، يعكس التباين أيضًا مقياس الانتشار البياناتحول المتوسط.
من المفيد ترجمة لغة الإشارات إلى لغة الكلمات. اتضح أن التباين هو متوسط مربع الانحرافات. أي ، يتم حساب متوسط القيمة أولاً ، ثم يتم أخذ الفرق بين كل قيمة أصلية ومتوسط القيمة ، وتربيعها ، وإضافتها ، ثم تقسيمها على عدد القيم في هذا المجتمع. فرقبين قيمة واحدة والمتوسط يعكس مقياس الانحراف. يتم تربيعها للتأكد من أن جميع الانحرافات تصبح أرقامًا موجبة بشكل حصري ولتجنب الإلغاء المتبادل للانحرافات الإيجابية والسلبية عند جمعها. بعد ذلك ، بالنظر إلى الانحرافات التربيعية ، نحسب ببساطة المتوسط الحسابي. متوسط الانحرافات التربيعية. يتم تربيع الانحرافات ، ويتم أخذ المتوسط في الاعتبار. الجواب على الكلمة السحرية "تشتت" هو مجرد ثلاث كلمات.
ومع ذلك ، في شكله النقي ، مثل ، على سبيل المثال ، المتوسط الحسابي ، أو ، لا يتم استخدام التشتت. إنه بالأحرى مؤشر مساعد ومتوسط يستخدم لأنواع أخرى من التحليل الإحصائي. ليس لديها حتى وحدة قياس عادية. انطلاقًا من الصيغة ، هذا هو مربع وحدة البيانات الأصلية.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
دعونا نقيس متغير عشوائي نمرات ، على سبيل المثال ، نقيس سرعة الرياح عشر مرات ونريد إيجاد القيمة المتوسطة. كيف هي القيمة المتوسطة المتعلقة بدالة التوزيع؟
أو سنقوم برمي النرد عددًا كبيرًا من المرات. عدد النقاط التي ستسقط على النرد أثناء كل رمية هو متغير عشوائي ويمكن أن يأخذ أي قيم طبيعية من 1 إلى 6. نتميل إلى رقم محدد للغاية - mat. توقع مكس. في هذه الحالة ، Mx = 3.5.
كيف نشأت هذه القيمة؟ اتركه نمحاكمات n1بمجرد إسقاط نقطة واحدة ، n2مرات - 2 نقطة وهلم جرا. ثم عدد النتائج التي سقطت فيها نقطة واحدة:
وبالمثل بالنسبة للنتائج عندما سقطت نقاط 2 و 3 و 4 و 5 و 6.
لنفترض الآن أننا نعرف توزيعات المتغير العشوائي x ، أي أننا نعلم أن المتغير العشوائي x يمكن أن يأخذ القيم x1 ، x2 ، ... ، xk مع الاحتمالات p1 ، p2 ، ... ، ص.
توقع حصيرة Mx لمتغير عشوائي x هو:
توقع الرياضيات ليس دائمًا تقديرًا معقولًا لبعض المتغيرات العشوائية. لذلك ، لتقدير متوسط الأجر ، فمن المعقول أكثر استخدام مفهوم الوسيط ، أي ، مثل هذه القيمة أن عدد الأشخاص الذين يحصلون على أقل من المتوسط راتبوكبيرة ، تطابق.
احتمال p1 أن المتغير العشوائي x أقل من x1 / 2 واحتمال p2 أن المتغير العشوائي x أكبر من x1 / 2 متماثلان ويساويان 1/2. لم يتم تحديد الوسيط بشكل فريد لجميع التوزيعات.
الانحراف المعياري أو المعياريفي الإحصاء ، يتم استدعاء درجة انحراف بيانات المراقبة أو المجموعات عن قيمة AVERAGE. يشار إليها بالحرفين s أو s. يشير الانحراف المعياري الصغير إلى أن البيانات مجمعة حول المتوسط ، ويشير الانحراف المعياري الكبير إلى أن البيانات الأولية بعيدة عنها. الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي لكمية تسمى التباين. إنه متوسط مجموع تربيع الفروق في البيانات الأولية التي تنحرف عن المتوسط. الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي للتباين:
مثال. تحت ظروف الاختبار عند التصوير على هدف ، احسب التباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي:
تفاوت- التقلب ، تقلب قيمة السمة بوحدات السكان. تسمى القيم العددية المنفصلة للميزة التي تحدث في المجتمع المدروس بمتغيرات القيمة. إن عدم كفاية متوسط القيمة للتوصيف الكامل للسكان يجعل من الضروري استكمال القيم المتوسطة بمؤشرات تجعل من الممكن تقييم نموذجية هذه المتوسطات عن طريق قياس تذبذب (تباين) السمة قيد الدراسة. يتم حساب معامل الاختلاف بالصيغة:
اختلاف المدى(R) هو الفرق بين القيم القصوى والدنيا للسمة في المجتمع المدروس. يعطي هذا المؤشر الفكرة الأكثر عمومية عن تذبذب السمة قيد الدراسة ، كما يظهر فرقفقط بين القيم الحدية للمتغيرات. الاعتماد على القيم القصوى للسمة يعطي نطاق التباين طابعًا عشوائيًا غير مستقر.
متوسط الانحراف الخطيهو المتوسط الحسابي للانحرافات المطلقة (المعيارية) لجميع قيم المجتمع الذي تم تحليله من متوسط قيمتها:
التوقع الرياضي في نظرية القمار
حصيرة الانتظارمتوسط المبلغ الذي يمكن لمضارب المقامرة أن يربحه أو يخسره في رهان معين. هذا مفهوم مهم للغاية بالنسبة للمضارب ، لأنه أساسي لتقييم معظم مواقف الألعاب. توقع Mate هو أيضًا أفضل أداة لتحليل تخطيطات البطاقات الأساسية ومواقف اللعبة.
لنفترض أنك تلعب عملة معدنية مع صديق ، وتقوم برهان يساوي 1 دولار في كل مرة ، بغض النظر عما سيحدث. ذيول - لقد فزت ، ورؤساء - لقد خسرت. إن احتمالية ظهور ذيول هو واحد لواحد وأنت تراهن من دولار إلى دولار واحد. وبالتالي ، فإن توقعك كش ملك هو صفر ، لأن من الناحية الحسابية ، لا يمكنك معرفة ما إذا كنت ستقود أو تخسر بعد لفتين أو بعد 200.
ربحك بالساعة هو صفر. الدفع بالساعة هو مقدار المال الذي تتوقع أن تربحه في ساعة واحدة. يمكنك قلب قطعة نقود 500 مرة في غضون ساعة ، لكنك لن تربح أو تخسر بسبب ذلك احتمالاتك ليست إيجابية ولا سلبية. إذا نظرت ، من وجهة نظر مضارب جاد ، فإن نظام الأسعار هذا ليس سيئًا. لكنها مجرد مضيعة للوقت.
لكن لنفترض أن شخصًا ما يريد المراهنة بمبلغ 2 دولار مقابل 1 دولار في نفس اللعبة. ثم لديك على الفور توقع إيجابي قدره 50 سنتًا من كل رهان. لماذا 50 سنتا؟ في المتوسط ، تربح رهانًا واحدًا وتخسر الثاني. راهن على الأول وخسر 1 دولار ، راهن على الثاني واربح 2 دولار. لقد راهنت بدولار واحد مرتين وتتقدم بمقدار دولار واحد. إذن كل رهاناتك التي تبلغ قيمتها دولار واحد أعطتك 50 سنتا.
إذا سقطت العملة 500 مرة في ساعة واحدة ، فسيكون ربحك في الساعة بالفعل 250 دولارًا ، لأن. في المتوسط لقد فقدت واحدة دولار 250 مرة وفاز مرتين دولار 250 مرة. 500 دولار مطروحًا منه 250 دولارًا يساوي 250 دولارًا ، وهو إجمالي الفوز. لاحظ أن القيمة المتوقعة ، وهي المبلغ الذي تربحه في المتوسط في رهان واحد ، هي 50 سنتًا. لقد ربحت 250 دولارًا عن طريق المراهنة على دولار 500 مرة ، أي ما يعادل 50 سنتًا من رهانك.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
حصيرة. التوقع لا علاقة له بالنتائج قصيرة المدى. يمكن لخصمك ، الذي قرر المراهنة بمبلغ 2 دولار ضدك ، أن يهزمك في أول عشر رميات متتالية ، لكنك ، بميزة رهان 2 إلى 1 ، مع تساوي كل شيء آخر ، يمكنك كسب 50 سنتًا على كل رهان بقيمة 1 دولار تحت أي رهان. ظروف. لا يهم إذا ربحت أو خسرت رهانًا واحدًا أو عدة رهانات ، ولكن بشرط أن يكون لديك نقود كافية لتعويض التكاليف بسهولة. إذا واصلت المراهنة بنفس الطريقة ، فبعد فترة طويلة من الوقت ستقترب أرباحك من مجموع القيم المتوقعة في رميات فردية.
في كل مرة تقوم فيها بأفضل رهان (رهان يمكن أن يكون مربحًا على المدى الطويل) عندما تكون الاحتمالات في صالحك ، لا بد أن تربح شيئًا ما فيه ، سواء خسرته أم لا في توزيع ورق معين. بالمقابل ، إذا قمت برهان أسوأ (رهان غير مربح على المدى الطويل) عندما لا تكون الاحتمالات في صالحك ، فإنك تخسر شيئًا ما ، سواء ربحت أو خسرت توزيع الورق.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
أنت تراهن على أفضل نتيجة إذا كانت توقعاتك إيجابية ، وهي إيجابية إذا كانت الاحتمالات في صالحك. بالمراهنة على أسوأ نتيجة ، يكون لديك توقع سلبي ، والذي يحدث عندما تكون الاحتمالات ضدك. يراهن المضاربون الجادون فقط مع أفضل النتائج ، مع أسوأ النتائج - ينسحبون. ماذا تعني الاحتمالات في صالحك؟ قد ينتهي بك الأمر بالفوز بأكثر مما تجلبه الاحتمالات الفعلية. الاحتمالات الحقيقية لضربة الأطراف هي 1 إلى 1 ، لكنك تحصل على 2 إلى 1 بسبب نسبة الرهان. في هذه الحالة ، الاحتمالات في صالحك. يمكنك بالتأكيد الحصول على أفضل نتيجة مع توقع إيجابي قدره 50 سنتًا لكل رهان.
هنا مثال أكثر تعقيدا. التوقعات. يكتب الصديق الأرقام من واحد إلى خمسة ويراهن بخمسة دولارات مقابل دولار واحد أنك لن تختار الرقم. هل توافق على مثل هذا الرهان؟ ما هو التوقع هنا؟
في المتوسط ، ستكون مخطئًا أربع مرات. بناءً على ذلك ، فإن الاحتمالات ضدك في تخمين الرقم ستكون من 4 إلى 1. الاحتمالات هي أنك ستخسر دولارًا في محاولة واحدة. ومع ذلك ، فإنك تربح 5 إلى 1 ، مع احتمال خسارة 4 إلى 1. وبالتالي ، فإن الاحتمالات في صالحك ، يمكنك المراهنة والأمل في الحصول على أفضل نتيجة. إذا قمت بهذا الرهان خمس مرات ، فستخسر في المتوسط أربع مرات 1 دولار وتربح 5 دولارات مرة واحدة. بناءً على ذلك ، ستربح دولارًا واحدًا لجميع المحاولات الخمس مع توقع رياضي إيجابي قدره 20 سنتًا لكل رهان.
المضارب الذي يربح أكثر مما يراهن ، كما في المثال أعلاه ، يكتشف الاحتمالات. بالمقابل ، يفسد الفرص عندما يتوقع ربح أقل مما يراهن. يمكن للمضارب الرهان أن يكون لديه توقع إيجابي أو سلبي اعتمادًا على ما إذا كان يلتقط الاحتمالات أو يفسدها.
إذا راهنت بـ 50 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات مع فرصة 4 إلى 1 للفوز ، فستحصل على توقع سلبي قدره 2 دولار ، لأن في المتوسط ، ستربح أربعة أضعاف 10 دولارات وتخسر 50 دولارًا مرة واحدة ، مما يدل على أن الخسارة لكل رهان ستكون 10 دولارات. لكن إذا راهنت بـ 30 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات ، مع نفس احتمالات الفوز 4 إلى 1 ، ففي هذه الحالة يكون لديك توقع إيجابي قدره 2 دولار ، لأن تكسب مرة أخرى أربعة أضعاف 10 دولارات وتخسر 30 دولارًا مرة واحدة ، وهو ربحبسعر 10 دولارات. توضح هذه الأمثلة أن الرهان الأول سيئ والثاني جيد.
حصيرة. التوقع هو مركز أي موقف لعبة. عندما يشجع صانع المراهنات مشجعي كرة القدم على المراهنة بمبلغ 11 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات ، فإن لديهم توقعات إيجابية تبلغ 50 سنتًا لكل 10 دولارات. إذا دفع الكازينو حتى نقودًا من خط مرور كرابس ، فإن التوقع الإيجابي للمنزل هو 1.40 دولار تقريبًا لكل 100 دولار ؛ تم تنظيم هذه اللعبة بحيث يخسر كل من يراهن على هذا الخط 50.7٪ في المتوسط ويفوز بنسبة 49.3٪ من الوقت. مما لا شك فيه أن هذا الحد الأدنى من التوقعات الإيجابية على ما يبدو هو الذي يجلب أرباحًا ضخمة لأصحاب الكازينوهات في جميع أنحاء العالم. كما قال مالك كازينو فيجاس وورلد ، بوب ستوباك ، "واحد بالألف نسبه مئويهالاحتمال السلبي على مسافة طويلة بما يكفي لإفلاس أغنى رجل في العالم.
التوقع الرياضي عند لعب البوكر
تعتبر لعبة البوكر المثال الأكثر توضيحيًا وتوضيحيًا من حيث استخدام نظرية وخصائص سجادة الانتظار.
حصيرة. القيمة المتوقعة في البوكر - متوسط الاستفادة من قرار معين ، بشرط أن يتم النظر في مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافة الطويلة. تدور البوكر الناجح حول قبول التحركات بتوقعات رياضية إيجابية.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
المعنى الرياضي. يكمن التوقع عند لعب البوكر في حقيقة أننا غالبًا ما نواجه متغيرات عشوائية عند اتخاذ القرار (لا نعرف البطاقات التي يمتلكها الخصم في يده ، وأي البطاقات ستأتي في الجولات اللاحقة تجارة). يجب أن نفكر في كل حل من الحلول من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة ، والتي تنص على أنه مع وجود عينة كبيرة بما فيه الكفاية ، فإن متوسط قيمة المتغير العشوائي سوف يميل إلى متوسطه.
من بين الصيغ الخاصة لحساب حصائر التوقع ، ما يلي هو الأكثر قابلية للتطبيق في لعبة البوكر:
عند لعب لعبة البوكر حصيرة. يمكن حساب التوقعات لكل من الرهانات والمكالمات. في الحالة الأولى ، يجب أن تؤخذ أضعاف حقوق الملكية في الاعتبار ، وفي الحالة الثانية ، احتمالات الرهان نفسه. عند تقييم حصيرة. عند توقع هذه الحركة أو تلك ، يجب أن نتذكر أن الحظيرة دائمًا ما يكون لها توقع صفري. وبالتالي ، سيكون التخلص من البطاقات دائمًا قرارًا مربحًا أكثر من أي حركة سلبية.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
يخبرك التوقع بما يمكن أن تتوقعه (أو تخسره) لكل مخاطرة تخوضها. الكازينوهات تكسب ماللأن توقع كش مات من جميع الألعاب التي تمارس فيها لصالح الكازينو. مع وجود سلسلة طويلة بما فيه الكفاية من الألعاب ، يمكن توقع أن يخسر العميل لعبته ماللأن "الاحتمال" لصالح الكازينو. ومع ذلك ، فإن المضاربين المحترفين في الكازينو يقصرون ألعابهم على فترات زمنية قصيرة ، مما يزيد من الاحتمالات لصالحهم. الشيء نفسه ينطبق على الاستثمار. إذا كانت توقعاتك إيجابية ، يمكنك كسب المزيد من المال عن طريق إجراء العديد من الصفقات في فترة زمنية قصيرة. فترةالوقت. التوقع هو النسبة المئوية للربح لكل فوز مضروبًا في متوسط ربحك مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط خسارتك.
يمكن أيضًا عرض لعبة البوكر من حيث كش ملك. يمكنك أن تفترض أن حركة معينة مربحة ، ولكن في بعض الحالات قد لا تكون الأفضل ، لأن حركة أخرى تكون أكثر ربحية. لنفترض أنك ضربت منزلًا كاملاً في لعبة البوكر برسم خمسة أوراق. رهان خصمك. أنت تعلم أنه إذا قمت بالتصعيد ، فسوف يتصل. لذا فإن الرفع يبدو أفضل تكتيك. ولكن إذا رفعت الرهان بالفعل ، فإن المضاربين المتبقيين سينسحبان بالتأكيد. ولكن إذا سميت الرهان ، فستكون متأكدًا تمامًا من أن المضاربين الآخرين بعدك سيفعلان الشيء نفسه. عندما ترفع الرهان ، تحصل على وحدة واحدة ، وببساطة عن طريق استدعاء - اثنان. لذا يمنحك الاتصال قيمة أعلى إيجابية متوقعة وهو أفضل تكتيك.
حصيرة. يمكن أن يعطي الانتظار أيضًا فكرة عن تكتيكات البوكر الأقل ربحية والأكثر ربحية. على سبيل المثال ، إذا لعبت توزيع ورق معين وتعتقد أن متوسط خسارتك 75 سنتًا بما في ذلك الرهان المسبق ، فعليك أن تلعب هذا توزيع الورق لأنه هذا أفضل من الطي عندما يكون الرهان المسبق 1 دولار.
سبب آخر مهم لفهم جوهر الحصيرة. التوقع هو أنه يمنحك شعوراً براحة البال سواء فزت بالرهان أم لا: إذا قمت برهان جيد أو طويت في الوقت المناسب ، فستعرف أنك قد جمعت أو ادخرت مبلغًا معينًا من المال يمكن للمضارب الأضعف لا حفظ. يكون الانسحاب أكثر صعوبة إذا كنت محبطًا لأن خصمك لديه توزيع ورق أفضل في القرعة. مع كل هذا ، فإن ما توفره بعدم اللعب ، بدلاً من الرهان ، يضاف إلى أرباحك في الليلة أو كل شهر.
فقط تذكر أنه إذا قمت بتبديل توزيعات الورق ، فسوف يتصل بك خصمك ، وكما سترى في مقالة النظرية الأساسية للبوكر ، فهذه ليست سوى واحدة من مزاياك. يجب أن تفرح عندما يحدث هذا. يمكنك حتى أن تتعلم كيف تستمتع بيد مفقودة ، لأنك تعلم أن المضاربين الآخرين في مكانك سيخسرون أكثر من ذلك بكثير.
كما هو مذكور في مثال لعبة العملات في البداية ، فإن نسبة الربح لكل ساعة مرتبطة بتوقعات الرياضيات ، وهذا المفهوم مهم بشكل خاص للمضاربين المحترفين. عندما تنوي لعب البوكر ، يجب أن تقدر عقليًا مقدار ما يمكنك الفوز به في ساعة واحدة من اللعب. في معظم الحالات ، ستحتاج إلى الاعتماد على حدسك وخبرتك ، ولكن يمكنك أيضًا استخدام بعض الحسابات الرياضية. على سبيل المثال ، إذا كنت تلعب لعبة Draw lowball ورأيت ثلاثة لاعبين يراهنون بـ 10 دولارات ثم يرسمون بطاقتين ، وهو تكتيك سيء للغاية ، يمكنك أن تحسب لنفسك أنه في كل مرة يراهنون فيها بـ 10 دولارات يخسرون حوالي 2 دولار. كل منهم يفعل ذلك ثماني مرات في الساعة ، مما يعني أن الثلاثة يخسرون حوالي 48 دولارًا في الساعة. أنت واحد من المضاربين الأربعة المتبقين ، وهم متساوون تقريبًا ، لذا يتعين على هؤلاء المضاربين الأربعة (ومن بينهم) أن يتقاسموا 48 دولارًا ، وسيحقق كل منهم ربحًا قدره 12 دولارًا في الساعة. أجر الساعة في هذه الحالة هو ببساطة نصيبك من مبلغ المال الذي خسره ثلاثة مضاربين سيئين في ساعة واحدة.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
على مدى فترة طويلة من الزمن ، يكون إجمالي ربح المضارب هو مجموع توقعاته الرياضية في توزيعات منفصلة. كلما لعبت بتوقعات إيجابية ، كلما ربحت أكثر ، وبالعكس ، كلما لعبت بتوقعات سلبية ، كلما خسرت أكثر. نتيجةً لذلك ، يجب أن تعطي الأولوية للعبة التي يمكن أن تزيد من توقعاتك الإيجابية أو تلغي توقعاتك السلبية بحيث يمكنك تعظيم مكاسبك في الساعة.
التوقعات الرياضية الإيجابية في استراتيجية اللعبة
إذا كنت تعرف كيفية عد البطاقات ، فقد يكون لديك ميزة على الكازينو إذا لم يلاحظوا ذلك وطردوك. تحب الكازينوهات المضاربين المخمورين وعدادات بطاقات الكراهية. ستتيح لك الميزة الفوز بأكثر مما تخسره بمرور الوقت. يمكن أن تساعدك الإدارة الجيدة للمال باستخدام حسابات كش مات في تحقيق أقصى استفادة من ميزتك وتقليل الخسائر. بدون ميزة ، من الأفضل لك التبرع بالمال للجمعيات الخيرية. في اللعبة في البورصة ، يتم إعطاء الميزة من خلال نظام اللعبة ، مما يؤدي إلى تحقيق ربح أكثر من الخسائر ، والفرق الأسعارواللجان. لا أحد إدارة رأس الماللن يحفظ نظام ألعاب سيئ.
يتم تعريف التوقع الإيجابي بقيمة أكبر من الصفر. كلما زاد هذا الرقم ، زادت قوة التوقعات الإحصائية. إذا كانت القيمة أقل من الصفر ، إذن سيكون التوقع سلبيًا أيضًا. كلما زاد معامل القيمة السالبة ، كان الوضع أسوأ. إذا كانت النتيجة صفر ، فإن التوقع هو نقطة التعادل. يمكنك الفوز فقط عندما يكون لديك توقعات رياضية إيجابية ، ونظام لعبة معقول. اللعب على الحدس يؤدي إلى كارثة.
التوقع الرياضي و
توقع الرياضيات هو مؤشر إحصائي مطلوب على نطاق واسع وشائع في تنفيذ تداول العملات في الأسواق المالية. الأسواق. بادئ ذي بدء ، يتم استخدام هذه المعلمة لتحليل النجاح تجارة. ليس من الصعب تخمين أنه كلما زادت هذه القيمة ، زاد سبب اعتبار التجارة قيد الدراسة ناجحة. بالطبع التحليل الشغللا يمكن عمل المتداول إلا بمساعدة هذه المعلمة. ومع ذلك ، فإن القيمة المحسوبة بالاشتراك مع طرق أخرى لتقييم الجودة الشغل، يمكن أن تحسن بشكل كبير من دقة التحليل.
غالبًا ما يتم حساب توقع Mat في خدمات مراقبة حساب التداول ، مما يسمح لك بتقييم العمل المنجز على الإيداع بسرعة. كاستثناءات ، يمكننا الاستشهاد بالاستراتيجيات التي تستخدم "تجاوز مدة" التداولات الخاسرة. تاجرقد يرافقه الحظ لبعض الوقت ، وبالتالي ، قد لا تكون هناك خسائر على الإطلاق في عمله. في هذه الحالة ، لن يكون من الممكن التنقل إلا من خلال التوقع ، لأن المخاطر المستخدمة في العمل لن تؤخذ في الاعتبار.
في التداول سوقغالبًا ما يتم استخدام توقع mat عند التنبؤ بربحية استراتيجية التداول أو عند التنبؤ بالدخل تاجربناء على احصائيات سابقة له مزايدة.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
فيما يتعلق بإدارة الأموال ، من المهم جدًا أن نفهم أنه عند إجراء صفقات بتوقعات سلبية ، لا يوجد مخطط إدارةالمال ، والذي يمكن أن يحقق أرباحًا عالية بالتأكيد. إذا واصلت اللعب تداول الاسهمفي ظل هذه الظروف ، بغض النظر عن الطريقة إدارةنقودًا ، ستفقد حسابك بالكامل ، بغض النظر عن حجمه في البداية.
هذه البديهية ليست صحيحة فقط بالنسبة لألعاب التوقع السلبي أو الصفقات ، بل تنطبق أيضًا على ألعاب الاحتمالات. لذلك ، فإن الحالة الوحيدة التي يكون لديك فيها فرصة للاستفادة على المدى الطويل هي عند عقد صفقات بتوقعات رياضية إيجابية.
الفرق بين التوقع السلبي والتوقع الإيجابي هو الفرق بين الحياة والموت. لا يهم مدى إيجابية أو سلبية التوقعات ؛ ما يهم هو ما إذا كانت إيجابية أم سلبية. لذلك ، قبل النظر في قضايا الإدارة رأس الماليجب أن تجد لعبة ذات توقعات إيجابية.
إذا لم يكن لديك هذه اللعبة ، فلن يوفر لك أي قدر من إدارة الأموال في العالم. من ناحية أخرى ، إذا كان لديك توقع إيجابي ، فمن الممكن ، من خلال الإدارة السليمة للأموال ، تحويلها إلى وظيفة نمو أسي. لا يهم مدى صغر التوقعات الإيجابية! بمعنى آخر ، لا يهم مدى ربحية نظام التداول القائم على عقد واحد. إذا كان لديك نظام يربح 10 دولارات لكل عقد في صفقة واحدة (بعد العمولات والانزلاق السعري) ، فيمكن استخدام تقنيات الإدارة رأس المالبطريقة تجعلها أكثر ربحية من نظام يظهر متوسط ربح قدره 1000 دولار لكل صفقة (بعد الرسوم والانزلاق).
ما يهم ليس مدى ربحية النظام ، ولكن مدى التأكد من أن النظام سيُظهر على الأقل ربحًا ضئيلًا في المستقبل. لذلك ، فإن أهم إعداد يمكن إجراؤه هو التأكد من أن النظام يُظهر قيمة إيجابية متوقعة في المستقبل.
من أجل الحصول على قيمة إيجابية متوقعة في المستقبل ، من المهم جدًا عدم تقييد درجات الحرية لنظامك. يتم تحقيق ذلك ليس فقط عن طريق إزالة أو تقليل عدد المعلمات المطلوب تحسينها ، ولكن أيضًا عن طريق تقليل أكبر عدد ممكن من قواعد النظام. كل معلمة تضيفها ، كل قاعدة تقوم بها ، كل تغيير صغير تقوم به على النظام يقلل من عدد درجات الحرية. من الناحية المثالية ، تريد بناء نظام بدائي وبسيط إلى حد ما يحقق ربحًا صغيرًا باستمرار في أي سوق تقريبًا. مرة أخرى ، من المهم أن تفهم أنه لا يهم مدى ربحية النظام ، طالما أنه مربح. التي تكسبها في التداول سوف تكتسبها من خلال الإدارة الفعالة للأموال.
التوقع الرياضي (وسط السكان) هو
نظام التداول هو ببساطة أداة تمنحك توقعًا رياضيًا إيجابيًا بحيث يمكن استخدام إدارة الأموال. الأنظمة التي تعمل (تظهر على الأقل ربحًا ضئيلًا) في سوق واحد أو عدد قليل من الأسواق ، أو لديها قواعد أو معايير مختلفة لأسواق مختلفة ، من المرجح ألا تعمل في الوقت الفعلي لفترة طويلة. تكمن مشكلة معظم المتداولين ذوي التوجهات الفنية في أنهم يقضون الكثير من الوقت والجهد في تحسين القواعد والمعايير المختلفة لنظام التداول. هذا يعطي نتائج معاكسة تمامًا. بدلاً من إهدار الطاقة ووقت الكمبيوتر في زيادة أرباح نظام التداول ، وجّه طاقتك إلى زيادة مستوى الموثوقية للحصول على الحد الأدنى من الربح.
مع العلم أن إدارة رأس المال- هذه مجرد لعبة أرقام تتطلب استخدام التوقعات الإيجابية ، يمكن للمتداول التوقف عن البحث عن "الكأس المقدسة" للتداول في البورصة. بدلاً من ذلك ، يمكنه البدء في اختبار طريقته في التداول ، ومعرفة مدى منطقية هذه الطريقة ، وما إذا كانت تعطي توقعات إيجابية. إن الأساليب المناسبة لإدارة الأموال المطبقة على أي طرق تداول متواضعة للغاية ستؤدي باقي العمل.
لكي ينجح أي تاجر في عمله ، فإنه يحتاج إلى حل أهم ثلاث مهام: للتأكد من أن عدد المعاملات الناجحة يتجاوز الأخطاء الحتمية وسوء التقدير ؛ قم بإعداد نظام التداول الخاص بك بحيث تكون فرصة كسب المال في كثير من الأحيان ؛ تحقيق نتيجة إيجابية مستقرة لعملياتك.
وهنا ، بالنسبة لنا ، التجار العاملين ، يمكن أن يكون كش ملك مفيدًا. توقع. هذا المصطلح في نظرية الاحتمال هو أحد المفاتيح. باستخدامه ، يمكنك إعطاء تقدير متوسط لبعض القيمة العشوائية. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي يشبه مركز الثقل ، إذا تخيلنا جميع الاحتمالات الممكنة كنقاط ذات كتل مختلفة.
فيما يتعلق باستراتيجية التداول ، لتقييم فعاليتها ، غالبًا ما يتم استخدام توقع الربح (أو الخسارة). يتم تعريف هذه المعلمة على أنها مجموع منتجات مستويات الربح والخسارة المحددة واحتمال حدوثها. على سبيل المثال ، تفترض استراتيجية التداول المطورة أن 37٪ من جميع العمليات ستحقق ربحًا ، والباقي - 63٪ - سيكون غير مربح. في نفس الوقت ، المتوسط الإيراداتمن صفقة ناجحة سيكون 7 دولارات ، ومتوسط الخسارة سيكون 1.4 دولار. دعونا نحسب حصيرة. توقع التداول على مثل هذا النظام:
ماذا يعني هذا الرقم؟ تقول إنه باتباع قواعد هذا النظام ، في المتوسط ، سوف نتلقى 1.708 دولارًا من كل معاملة مغلقة. نظرًا لأن درجة الكفاءة الناتجة أكبر من الصفر ، يمكن استخدام مثل هذا النظام للعمل الحقيقي. إذا تبين ، نتيجة حساب الحصيرة ، أن التوقعات سلبية ، فهذا يشير بالفعل إلى متوسط الخسارة وسيؤدي ذلك إلى الخراب.
يمكن أيضًا التعبير عن مقدار الربح لكل صفقة كقيمة نسبية في شكل٪. علي سبيل المثال:
النسبة المئوية للدخل لكل معاملة واحدة - 5٪ ؛
النسبة المئوية لعمليات التداول الناجحة - 62٪ ؛
نسبة الخسارة لكل صفقة واحدة - 3٪ ؛
النسبة المئوية للصفقات غير الناجحة - 38٪ ؛
في هذه الحالة ، حصيرة. سيكون التوقع:
أي أن متوسط الصفقة سيجلب 1.96٪.
من الممكن تطوير نظام ، على الرغم من غلبة التداولات الخاسرة ، سيعطي نتيجة إيجابية ، حيث أن MO> 0.
ومع ذلك ، فإن الانتظار وحده لا يكفي. من الصعب كسب المال إذا أعطى النظام إشارات تداول قليلة جدًا. في هذه الحالة ، سيكون مشابهًا للفائدة المصرفية. دع كل عملية تجلب 0.5 دولار فقط في المتوسط ، ولكن ماذا لو افترض النظام 1000 معاملة في السنة؟ سيكون هذا مبلغًا خطيرًا جدًا في وقت قصير نسبيًا. ينتج عن ذلك منطقياً أن السمة المميزة الأخرى لنظام التداول الجيد يمكن اعتبارها فترة احتجاز قصيرة.
المصادر والروابط
dic.academic.ru - قاموس أكاديمي على الإنترنت
mathematics.ru - موقع تعليمي عن الرياضيات
nsu.ru - الموقع التعليمي لجامعة ولاية نوفوسيبيرسك
webmath.ru - بوابة تعليمية للطلاب والمتقدمين وأطفال المدارس.
موقع exponenta.ru التعليمي الرياضي
ru.tradimo.com - مدرسة تداول مجانية عبر الإنترنت
crypto.hut2.ru - مصدر معلومات متعدد التخصصات
poker-wiki.ru - موسوعة البوكر المجانية
sernam.ru - مكتبة علمية لمنشورات العلوم الطبيعية المختارة
reshim.su - موقع
unfx.ru - الفوركس في UNFX: التدريب ، وإشارات التداول ، وإدارة الثقة
- - التوقع الرياضي إحدى الخصائص العددية للمتغير العشوائي ، ويطلق عليها غالبًا متوسطها النظري. لمتغير عشوائي X منفصل ، رياضي ... ... دليل المترجم الفنيالقيمة المتوقعة- (القيمة المتوقعة) متوسط قيمة توزيع المتغير الاقتصادي الذي يمكن أن يتخذه. إذا كان pt هو سعر السلعة في الوقت t ، فيتم الإشارة إلى توقعها الرياضي بواسطة Ept. للإشارة إلى النقطة الزمنية التي ... ... القاموس الاقتصادي
القيمة المتوقعة- متوسط قيمة متغير عشوائي. التوقع الرياضي هو كمية حتمية. المتوسط الحسابي لإدراك متغير عشوائي هو تقدير للتوقع الرياضي. متوسط… … المصطلح الرسمي هو (القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي صفة عددية لمتغير عشوائي. إذا تم إعطاء متغير عشوائي على مساحة احتمالية (انظر نظرية الاحتمالية) ، فعندئذ يكون M. o. يتم تعريف MX (أو EX) على أنه تكامل Lebesgue: حيث ... موسوعة فيزيائية
القيمة المتوقعة- المتغير العشوائي هو صفته العددية. إذا كان للمتغير العشوائي X دالة توزيع F (x) ، فإن M. o. إرادة: . إذا كان توزيع X منفصلًا ، فإن М.о .: ، حيث x1 ، x2 ، ... هي القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X ؛ ص 1 ... الموسوعة الجيولوجية
القيمة المتوقعة- إنجليزي. القيمة المتوقعة؛ ألمانية Erwartung mathematische. يعني العشوائية أو مركز تشتت متغير عشوائي. أنتينازي. موسوعة علم الاجتماع 2009 ... موسوعة علم الاجتماع
القيمة المتوقعة- أنظر أيضا: التوقع الشرطي التوقع الرياضي هو متوسط قيمة متغير عشوائي ، والتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي يؤخذ في الاعتبار في نظرية الاحتمالات. في الأدب الإنجليزي وفي الرياضيات ...... ويكيبيديا
القيمة المتوقعة- 1.14 التوقع الرياضي E (X) حيث xi لمتغير عشوائي منفصل ؛ p = P (X = xi) ؛ f (x) هي كثافة متغير عشوائي مستمر * إذا كان هذا التعبير موجودًا بمعنى التقارب المطلق المصدر ... قاموس - كتاب مرجعي للمصطلحات المعيارية والتقنية
كتب
Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen، stimmen Sie dem zu. نعم