نظام إحداثيات رينيه المستطيل في الفضاء. إدخال نظام الإحداثيات

نظام الإحداثيات المستطيل في الفضاء عبارة عن ثلاثة محاور عمودية متبادلة تتقاطع عند نقطة واحدة O ، تسمى الأصل.

عادة ما يتم الإشارة إلى محاور الإحداثيات بالأحرف وتسمى ، على التوالي ، محور الإحداثي ، المحور الصادي ، المحور المطبق ، أو المحور Oy ، المحور (الشكل 33).

يتم الإشارة إلى محاور الإحداثيات Ox و Oy و Oz على التوالي أو سنستخدم بشكل أساسي الترميز الأخير.

يميز بين أنظمة الإحداثيات اليمنى واليسرى.

يُطلق على نظام الإحداثيات اسمًا صحيحًا إذا شوهد من نهاية التقويم الثالث إلى المنعطف من الأول إلى الثاني يحدث مقابل الساعة (الشكل 34 ، أ).

يسمى نظام الإحداثيات يسارًا ، إذا كان الدوران من المحور الأول إلى المحور الثاني يحدث في اتجاه عقارب الساعة من نهاية متجه الوحدة الثالثة (الشكل 34 ، ب).

وبالتالي ، إذا قمت بربط المسمار في اتجاه المتجه k ، فقم بتدويره من ذلك الحين في حالة النظام الأيمن ، يجب أن يكون الخيط على اليمين ، وفي حالة النظام الأيسر - يسار (الشكل 35).

لا تعتمد العديد من أحكام الجبر المتجه على ما إذا كنا نستخدم نظام الإحداثيات الأيمن أو الأيسر. ومع ذلك ، في بعض الأحيان هذا الظرف مهم. في المستقبل ، سنستخدم دائمًا نظام الإحداثيات الصحيح ، كما هو معتاد في الفيزياء.

لتحديد موضع نقطة في الفضاء ، سنستخدم إحداثيات مستطيلة ديكارتية (الشكل 2).

يتكون نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي في الفضاء من ثلاثة محاور إحداثيات متعامدة بشكل متبادل OX ، OY ، OZ. تتقاطع محاور الإحداثيات عند النقطة O ، والتي تسمى أصل الإحداثيات ، على كل محور يتم اختيار الاتجاه الإيجابي المشار إليه بواسطة الأسهم ، ووحدة قياس المقاطع الموجودة على المحاور. الوحدات عادة (ليس بالضرورة) هي نفسها لجميع المحاور. يُطلق على محور OX محور الإحداثي (أو ببساطة الإحداثي) ، ويسمى محور OY المحور الإحداثي (التنسيق) ، ويسمى محور OZ المحور المطبق (المطبق).

يتم تحديد موضع النقطة A في الفضاء بثلاثة إحداثيات x و y و z. الإحداثي x يساوي طول المقطع OB ، الإحداثي y يساوي طول المقطع OC ، الإحداثي z هو طول المقطع OD في الوحدات المختارة. يتم تحديد المقاطع OB و OC و OD بواسطة طائرات مرسومة من نقطة موازية للطائرات YOZ و XOZ و XOY ، على التوالي.

يسمى إحداثي x حدود النقطة A ، ويسمى الإحداثي y إحداثي النقطة A ، ويسمى الإحداثي z تطبيق النقطة A.

رمزيا يكتب على النحو التالي:

أو اربط سجل إحداثيات بنقطة معينة باستخدام فهرس:

س أ ، ص أ ، ض أ ،

يُعتبر كل محور بمثابة خط أرقام ، أي أن له اتجاهًا إيجابيًا ، ويتم تعيين قيم إحداثيات سالبة للنقاط الواقعة على الشعاع السالب (يتم أخذ المسافة بعلامة ناقص). أي ، على سبيل المثال ، إذا كانت النقطة B لم تكمن ، كما في الشكل ، على الشعاع OX ، ولكن في استمرارها في الاتجاه المعاكس من النقطة O (على الجزء السالب من محور OX) ، فإن الإحداثي السيني سيكون x للنقطة A سالبًا (ناقص المسافة OB). وبالمثل بالنسبة للمحورين الآخرين.

محاور الإحداثيات OX ، OY ، OZ الموضحة في الشكل. 2 شكل نظام إحداثيات صحيح. هذا يعني أنك إذا نظرت إلى مستوى YOZ على طول الاتجاه الإيجابي لمحور OX ، فإن حركة محور OY باتجاه محور OZ ستكون في اتجاه عقارب الساعة. يمكن وصف هذا الموقف باستخدام قاعدة gimlet: إذا تم تدوير المخرج (المسمار الأيمن) في الاتجاه من محور OY إلى محور OZ ، فسوف يتحرك على طول الاتجاه الإيجابي لمحور OX.

نواقل طول الوحدة الموجهة على طول محاور الإحداثيات تسمى متجهات الإحداثيات. يشار إليها عادة باسم (تين. 3). هناك أيضا التعيين تشكل الخواص أساس نظام الإحداثيات.

في حالة نظام الإحداثيات الصحيح ، تكون الصيغ التالية ذات المنتجات المتجهة من orts صالحة:

يسمى النظام المرتب من محورين أو ثلاثة محاور متقاطعة متعامدة مع بعضها البعض مع أصل مشترك (أصل) ووحدة طول مشتركة نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل .

نظام الإحداثيات الديكارتي العام (نظام إحداثيات أفيني) قد لا تشمل بالضرورة محاور عمودية. تكريما لعالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت (1596-1662) ، تم تسمية نظام الإحداثيات هذا حيث يتم حساب وحدة طول مشتركة على جميع المحاور وتكون المحاور مستقيمة.

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى له محورين نظام إحداثيات ديكارتية مستطيل الشكل في الفضاء - ثلاثة محاور. يتم تحديد كل نقطة على مستوى أو في الفضاء من خلال مجموعة مرتبة من الإحداثيات - أرقام وفقًا لطول الوحدة في نظام الإحداثيات.

لاحظ أنه ، كما يلي من التعريف ، يوجد نظام إحداثيات ديكارت على خط مستقيم ، أي في بُعد واحد. يعد إدخال الإحداثيات الديكارتية على خط مستقيم إحدى الطرق التي يتم بها تعيين رقم حقيقي محدد جيدًا لأي نقطة على خط مستقيم ، أي إحداثيات.

كانت طريقة الإحداثيات ، التي نشأت في أعمال رينيه ديكارت ، بمثابة إعادة هيكلة ثورية لجميع الرياضيات. أصبح من الممكن تفسير المعادلات الجبرية (أو عدم المساواة) في شكل صور هندسية (رسوم بيانية) ، وعلى العكس من ذلك ، البحث عن حل للمسائل الهندسية باستخدام الصيغ التحليلية وأنظمة المعادلات. نعم ، عدم المساواة ض < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyوتقع فوق هذا المستوى بمقدار 3 وحدات.

بمساعدة نظام الإحداثيات الديكارتية ، فإن انتماء نقطة إلى منحنى معين يتوافق مع حقيقة أن الأرقام xو ذإرضاء بعض المعادلات. إذن ، إحداثيات نقطة دائرة متمركزة عند نقطة معينة ( أ; ب) تفي بالمعادلة (x - أ)² + ( ذ - ب)² = ص² .

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى

محورين متعامدين على مستوى له أصل مشترك ونفس وحدة القياس نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى . أحد هذه المحاور يسمى المحور ثور، أو المحور السيني ، والآخر - المحور أوي، أو المحور ص . تسمى هذه المحاور أيضًا محاور الإحداثيات. للدلالة به مxو مذعلى التوالي إسقاط نقطة اعتباطية معلى المحور ثورو أوي. كيف تحصل على التوقعات؟ تمر عبر النقطة م ثور. يتقاطع هذا الخط مع المحور ثورفي هذه النقطة مx. تمر عبر النقطة مخط مستقيم عمودي على المحور أوي. يتقاطع هذا الخط مع المحور أويفي هذه النقطة مذ. هذا هو مبين في الشكل أدناه.

xو ذنقاط مسوف ندعو على التوالي مقادير المقاطع الموجهة أومxو أومذ. يتم حساب قيم هذه المقاطع الاتجاهية على التوالي x = x0 - 0 و ذ = ذ0 - 0 . الإحداثيات الديكارتية xو ذنقاط م الإحداثي السيني و تنسيق . حقيقة أن النقطة مإحداثيات xو ذ، على النحو التالي: م(x, ذ) .

محاور الإحداثيات تقسم الطائرة إلى أربعة رباعي ، التي يظهر ترقيمها في الشكل أدناه. يشير أيضًا إلى ترتيب العلامات لإحداثيات النقاط ، اعتمادًا على موقعها في ربع دائرة أو آخر.

بالإضافة إلى الإحداثيات المستطيلة الديكارتية في المستوى ، غالبًا ما يتم أيضًا النظر في نظام الإحداثيات القطبية. حول طريقة الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر - في الدرس نظام الإحداثيات القطبية .

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل في الفضاء

يتم تقديم الإحداثيات الديكارتية في الفضاء في تشابه كامل مع الإحداثيات الديكارتية على متن طائرة.

ثلاثة محاور متعامدة بشكل متبادل في الفضاء (محاور تنسيق) بأصل مشترك اونفس شكل وحدة المقياس نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي في الفضاء .

أحد هذه المحاور يسمى المحور ثور، أو المحور السيني ، والآخر - المحور أوي، أو المحور ص الثالث - المحور أوز، أو تطبيق المحور . اسمحوا ان مx, مذ مض- إسقاطات نقطة تعسفية ممسافات على المحور ثور , أويو أوزعلى التوالى.

تمر عبر النقطة م ثورثورفي هذه النقطة مx. تمر عبر النقطة ممستوى عمودي على المحور أوي. هذا المستوى يتقاطع مع المحور أويفي هذه النقطة مذ. تمر عبر النقطة ممستوى عمودي على المحور أوز. هذا المستوى يتقاطع مع المحور أوزفي هذه النقطة مض.

إحداثيات مستطيلة ديكارتية x , ذو ضنقاط مسوف ندعو على التوالي مقادير المقاطع الموجهة أومx, أومذو أومض. يتم حساب قيم هذه المقاطع الاتجاهية على التوالي x = x0 - 0 , ذ = ذ0 - 0 و ض = ض0 - 0 .

الإحداثيات الديكارتية x , ذو ضنقاط موفقًا لذلك الإحداثي السيني , تنسيق و زين .

عند أخذها في أزواج ، توجد محاور الإحداثيات في مستويات الإحداثيات xOy , yOzو zOx .

مشاكل حول النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية

مثال 1

أ(2; -3) ;

ب(3; -1) ;

ج(-5; 1) .

أوجد إحداثيات إسقاط هذه النقاط على المحور x.

قرار. كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، فإن إسقاط نقطة على المحور السيني يقع على المحور السيني نفسه ، أي المحور ثور، وبالتالي لها إحداثية تساوي حد السيني للنقطة نفسها ، وإحداثية (تنسيق على المحور أوي، الذي يتقاطع فيه المحور x عند النقطة 0) ، يساوي صفرًا. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لهذه النقاط على المحور x:

أس (2 ؛ 0);

ب× (3 ؛ 0);

جس (-5 ؛ 0).

مثال 2يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-3; 2) ;

ب(-5; 1) ;

ج(3; -2) .

أوجد إحداثيات إسقاطات هذه النقاط على المحور ص.

قرار. كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، يقع إسقاط نقطة على المحور الصادي على المحور الصادي نفسه ، أي المحور أوي، وبالتالي يحتوي على إحداثيات مساوية لإحداثيات النقطة نفسها ، والإحداثيات (الإحداثي على المحور ثور، الذي يتقاطع فيه المحور y عند النقطة 0) ، يساوي صفرًا. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لهذه النقاط على المحور y:

أص (0 ؛ 2);

بص (0 ؛ 1);

جص (0 ؛ -2).

مثال 3يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(2; 3) ;

ب(-3; 2) ;

ج(-1; -1) .

ثور .

ثور ثور ثور، سيكون لها نفس الحد الفاصل للنقطة المعينة ، والإحداثيات تساوي في القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة المعينة ، والعكس في الإشارة إليها. إذن نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط حول المحور ثور :

أ"(2; -3) ;

ب"(-3; -2) ;

ج "(-1; 1) .

قم بحل مشاكل نظام الإحداثيات الديكارتية بنفسك ، ثم انظر إلى الحلول

مثال 4تحديد الأرباع (الأرباع ، الشكل مع الأرباع - في نهاية الفقرة "نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى") يمكن تحديد موقع النقطة م(x; ذ) ، لو

1) س ص > 0 ;

2) س ص < 0 ;

3) x − ذ = 0 ;

4) x + ذ = 0 ;

5) x + ذ > 0 ;

6) x + ذ < 0 ;

7) x − ذ > 0 ;

8) x − ذ < 0 .

مثال 5يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-2; 5) ;

ب(3; -5) ;

ج(أ; ب) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط حول المحور أوي .

نواصل حل المشاكل معا

مثال 6يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-1; 2) ;

ب(3; -1) ;

ج(-2; -2) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط حول المحور أوي .

قرار. استدارة 180 درجة حول المحور أويقطعة خطية موجهة من محور أويحتى هذه النقطة. في الشكل ، حيث تتم الإشارة إلى أرباع المستوى ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور أوي، سيكون لها نفس الإحداثي مثل النقطة المعينة ، وقيمة الإحداثي السيني تساوي القيمة المطلقة للإحداثية للنقطة المعينة ، والعكس في الإشارة إليها. إذن نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط حول المحور أوي :

أ"(1; 2) ;

ب"(-3; -1) ;

ج "(2; -2) .

مثال 7يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(3; 3) ;

ب(2; -4) ;

ج(-2; 1) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط بالنسبة إلى الأصل.

قرار. نحن ندير 180 درجة حول أصل المقطع الموجه من الأصل إلى النقطة المعطاة. في الشكل ، حيث تتم الإشارة إلى أرباع المستوى ، نرى أن النقطة المتناظرة مع نقطة معينة فيما يتعلق بأصل الإحداثيات سيكون لها إحداثي وإحداثية متساوية في القيمة المطلقة للإحداثيات وتنسيق النقطة المعطاة ، ولكن العكس في تسجيل الدخول لهم. لذلك نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط بالنسبة إلى الأصل:

أ"(-3; -3) ;

ب"(-2; 4) ;

ج(2; -1) .

المثال 8

أ(4; 3; 5) ;

ب(-3; 2; 1) ;

ج(2; -3; 0) .

ابحث عن إحداثيات إسقاطات هذه النقاط:

1) على متن طائرة أوكسي ;

2) إلى الطائرة Oxz ;

3) إلى الطائرة عوز ;

4) على المحور السيني ؛

5) على المحور ص ؛

6) على محور زين.

1) إسقاط نقطة على مستو أوكسيتقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي لها إحداثية وإحداثية مساوية للإحداثيات والإحداثيات للنقطة المعينة ، وتطبيق يساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط أوكسي :

أس ص (4 ؛ 3 ؛ 0);

بس ص (-3 ؛ 2 ؛ 0);

جس ص (2 ؛ -3 ؛ 0).

2) إسقاط نقطة على مستو Oxzيقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي له حدودي ويطبق مساويًا لحدود الحد الأقصى ويطبق على النقطة المعينة ، والإحداثيات التي تساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط Oxz :

أxz (4 ؛ 0 ؛ 5);

بxz (-3 ؛ 0 ؛ 1);

جxz (2 ؛ 0 ؛ 0).

3) إسقاط نقطة على مستو عوزيقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي يحتوي على إحداثيات وتطبيق مساوٍ للإحداثيات وتطبيق نقطة معينة ، وقيمة الإحداثيّة تساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط عوز :

أyz (0 ؛ 3 ؛ 5);

بyz (0 ؛ 2 ؛ 1);

جyz (0 ؛ -3 ؛ 0).

4) كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، يقع إسقاط نقطة على المحور السيني على المحور السيني نفسه ، أي المحور ثور، وبالتالي يكون له حدودي يساوي حد السيني للنقطة نفسها ، والإحداثيات وتطبيق الإسقاط تساوي الصفر (لأن المحاور التنسيقية والتطبيقية تتقاطع مع الإحداثي السيني عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على المحور x:

أ× (4 ؛ 0 ؛ 0);

بس (-3 ؛ 0 ؛ 0);

جس (2 ؛ 0 ؛ 0).

5) يقع إسقاط نقطة على المحور الصادي على المحور الصادي نفسه ، أي المحور أوي، وبالتالي يحتوي على إحداثيات مساوية لإحداثيات النقطة نفسها ، ويكون الحد الأقصى للإسقاط وتطبيقه مساويًا للصفر (نظرًا لأن المحور الاحداثي والمحاور المطبقة يتقاطعان مع المحور الإحداثي عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على المحور الصادي:

أص (0 ؛ 3 ؛ 0);

بص (0 ؛ 2 ؛ 0);

جص (0 ؛ -3 ؛ 0).

6) يقع إسقاط نقطة على المحور المطبق على المحور المطبق نفسه ، أي المحور أوز، وبالتالي يحتوي على تطبيق مساوٍ لتطبيق النقطة نفسها ، ويكون الإحداثي والإحداثي للإسقاط مساوياً للصفر (نظرًا لأن المحورين الإحداثي والإحداثيات يتقاطعان مع المحور المطبق عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على محور التطبيق:

أض (0 ؛ 0 ؛ 5);

بض (0 ؛ 0 ؛ 1);

جض (0 ؛ 0 ؛ 0).

المثال 9يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء

أ(2; 3; 1) ;

ب(5; -3; 2) ;

ج(-3; 2; -1) .

ابحث عن إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط فيما يتعلق بـ:

1) الطائرة أوكسي ;

2) الطائرة Oxz ;

3) الطائرة عوز ;

4) المحور السيني ؛

5) المحور ص.

6) محور زين.

7) أصل الإحداثيات.

1) "قدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور أوكسي أوكسي، سيكون لها إحداثي وإحداثية مساوية للإحداثية والإحداثية للنقطة المعينة ، وتطبيق مساوٍ من حيث الحجم لتطبيق النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى أوكسي :

أ"(2; 3; -1) ;

ب"(5; -3; -2) ;

ج "(-3; 2; 1) .

2) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور Oxzلنفس المسافة. وفقًا للشكل الذي يعرض مساحة الإحداثيات ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور Oxz، سيكون لها إحداثي وتطبق مساويًا للإحداثيات وتطبق النقطة المعينة ، وإحداثية مساوية في الحجم لإحداثيات النقطة المعينة ، ولكن في الاتجاه المعاكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى Oxz :

أ"(2; -3; 1) ;

ب"(5; 3; 2) ;

ج "(-3; -2; -1) .

3) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور عوزلنفس المسافة. وفقًا للشكل الذي يعرض مساحة الإحداثيات ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور عوز، سيكون لها إحداثي وتطبيق يساوي الإحداثي وتطبيق من النقطة المعينة ، وقيمة الإحداثي تساوي في الحجم حدود النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى عوز :

أ"(-2; 3; 1) ;

ب"(-5; -3; 2) ;

ج "(3; 2; -1) .

عن طريق القياس مع النقاط المتماثلة على المستوى والنقاط في الفضاء المتماثلة مع البيانات المتعلقة بالمستويات ، نلاحظ أنه في حالة التناظر حول بعض محاور نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ، فإن التنسيق على المحور الذي تم تعيين التناظر حوله سوف احتفظ بعلامته ، وستكون الإحداثيات الموجودة على المحورين الآخرين هي نفسها في القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة المعينة ، ولكن عكسها في الإشارة.

4) سيحتفظ الإحداثي السيني بعلامته ، بينما يتغير الإحداثي والتطبيق. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور x:

أ"(2; -3; -1) ;

ب"(5; 3; -2) ;

ج "(-3; -2; 1) .

5) سيحتفظ الإحداثي بعلامته ، بينما سيتغير الإحداثي والإحداثي. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور y:

أ"(-2; 3; -1) ;

ب"(-5; -3; -2) ;

ج "(3; 2; 1) .

6) سيحتفظ الطالب بعلامته ، وسيغير الإحداثي والإحداثي اللافتات. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور المطبق:

أ"(-2; -3; 1) ;

ب"(-5; 3; 2) ;

ج "(3; -2; -1) .

7) عن طريق القياس مع التناظر في حالة النقاط على المستوى ، في حالة التناظر حول أصل الإحداثيات ، فإن جميع إحداثيات نقطة متماثلة مع نقطة معينة ستكون مساوية في القيمة المطلقة لإحداثيات نقطة معينة ، لكن العكس في تسجيل الدخول لهم. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات بالنسبة إلى الأصل.

إذا قمنا من خلال النقطة O في الفضاء برسم ثلاثة خطوط لكل قلم ، نسميها ، نأخذها على اليمين ، للدلالة على قطع مفردة ، ثم سنحصل على مستطيل Si-ste-mu ko-or-di-nat في الفضاء. محاور ko-or-di-nat هي na-zy-va-yut-sya مثل هذا: أوه - محور abs-ciss ، Oy - محور or-di-nat و Oz - محور up-pli-cat. تعني كلمة si-ste-ma ko-or-di-nat بأكملها-me-cha-et-sya-Oxyz. بهذه الطريقة ، هناك ثلاثة طائرات co-or-di-nat-nye: Oxy، Oxz، Oyz.

نعطي مثالاً على بناء النقطة B (4 ؛ 3 ؛ 5) في نظام مستطيل من co-or-di-nat (انظر الشكل 1).

أرز. 1. بناء النقطة B في الفضاء

أول نقطة co-or-di-na-ta B - 4 ، لذلك من cla-dy-va-em إلى Ox 4 ، قمنا بتعتيم شبه مباشر ولكن المحور Oy لإعادة الاستعادة - نشوئها بخط مستقيم يمر عبر y \ u003d 3. بهذه الطريقة ، نحصل على النقطة K. هذه النقطة تقع في المستوى Oxy ولها co-or-di-na-you K (4 ؛ 3 ؛ 0). أنت الآن بحاجة إلى pro-ve-sti-par-ral-lel-لكن محور Oz. وبشكل مباشر ، يمر شخص ما من خلال نقطة باستخدام app-pli-ka-that 5 و para-ral-lel-on dia-go-on-سواء كان pa-ral-le-lo-gram -ma في طائرة Oxy. في re-se-che-nii الخاص بهم ، سوف نحصل على النقطة المطلوبة B.

ضع في اعتبارك توزيع النقاط ، بالنسبة للبعض ، واحد أو اثنين من co-or-di-na-أنت تساوي 0 (انظر الشكل 2).

على سبيل المثال ، النقطة أ (3 ؛ -1 ؛ 0). من الضروري الاستمرار في محور Oy إلى اليسار إلى القيمة -1 ، والعثور على النقطة 3 على محور Ox ، وعلى إعادة تحديد الخطوط التي تمر عبر هذه القيم - نحصل على النقطة A. تحتوي النقطة على app-pli-ka-tu 0 ، مما يعني أنها تقع في مستوى Oxy.

النقطة C (0 ؛ 2 ؛ 0) بها abs-cis-su و app-pli-ka-tu 0 - وليس من-me-cha-e. Or-di-na-ta يساوي 2 ، مما يعني أن النقطة C تقع فقط على محور Oy ، شيء من الجنة هو la-is-a-re-re-se-che-no-it is flat stey Oxy و Oyz.

لتحريك النقطة D (-4 ؛ 0 ؛ 3) نواصل محور Ox للخلف لـ na-cha-lo ko-or-di-nat إلى النقطة -4. الآن ، قم باستعادة-a-hundred-nav-li-va-em من هذه النقطة لكل قلم-di-ku-lyar - بشكل مستقيم ، بالتوازي مع محور Oz لإعادة إعادة se-che-niya بخط مستقيم ، بالتوازي مع محور الثور ويمر بالقيمة 3 على محور Oz. وفقًا لـ D الحالي (-4 ؛ 0 ؛ 3). نظرًا لأن النقطة or-di-on-تلك تساوي 0 ، فإن النقطة D تقع في مستوى Oxz.

النقطة التالية هي E (0 ؛ 5 ؛ -3). نقاط Or-di-na-ta 5 ، app-pli-ka-ta -3 ، نقوم بتمرير خطوط مستقيمة تمر عبر هذه القيم عند الرد-المحاور ، وعلى re-se-che-nii ، نحصل على النقطة E (0 ؛ 5 ؛ -3). تحتوي هذه النقطة على أول co-or-di-to-tu 0 ، مما يعني أنها تقع في مستوى Oyz.

2. إحداثيات المتجهات

لعنة الزاوية اليمنى si-ste-mu ko-or-di-nat في Oxyz الفضاء. Za-da-dim في مساحة مستطيلة Si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. على كل من محاور lo-zhi-tel-nyh in-lu-lu من-lo-weep من na-cha-la ko-or-di-nat ناقل واحد ، أي ناقل طارة ، طول الشيء-رو- الذهاب يساوي واحد. نشير إلى متجه واحد لمحور abs-ciss ، ومتجه واحد للمحور أو di-nat ، ومتجه واحد للمحور up-pli-kat (انظر الشكل 1). هذه الجفون مشتركة على اليمين مع محاور على اليمين ، لي ني مي ، لها طول واحد و or-to-go-nal-na - في أزواج-لكن لكل قلم-دي -Ku-lyar-ny. مثل قرن-را-نا-زي-فا-يوت ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-miأو سمك السلور با زي.

أرز. 1. Raz-lo-same-age-that-ra in three-or-di-nat-ny-that-Frames

خذ مذكرة ، في داخلي ، حفزها في na-cha-lo ko-or-di-nat ، وانشر هذا المتجه في ثلاث خطوط معينة من nar-nym - le-zha -shim في مستويات مختلفة - قرن لإطار. للقيام بذلك ، دعنا نخفض إسقاط النقطة M على المستوى Oxy ، ونجد خندقًا متجهًا مشتركًا أو ثنائيًا على متجه ، و. أون-لو-تشا- أكل :. راس-لوك-ريم على من-ديل-نو-ستي كل من هذه القرون-تلك-الخندق. تقع حلقة المتجه على محور الثور ، مما يعني أنه وفقًا لخاصية ضرب المتجه برقم ، يمكن تمثيله كنوع من الرقم x المؤنث على متجه co-or-di-nat-ny. ، وطول الجفن هو بالضبط x مرة أكبر من طول. بالطريقة نفسها ، دعنا ننتقل إلى قرن من الزمان ، وفي لعبة lu-cha-eat Times-lo-same-age-the-ra في ثلاثة ko-or-di-nat-ny قرون إلى ذاكرة الوصول العشوائي:

Co-ef-fi-qi-en-you في هذا الوقت x و y و z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra في الفضاء.

Ras-look-rim right-vi-la، some-rye poses-in-la-yut وفقًا لـ ko-or-di-on-there نظرًا لقرون لتجد ko-or-di-na- أنت مجموعهم وفرقهم ، بالإضافة إلى co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya لقرن معين على رقم معين.

1) التعقيد:

2) أنت تشي تا ني:

3) الضرب بعدد: ,

Vek-tor ، na-cha-lo-ko-ro-go owl-pa-yes-et with na-cha-scrap ko-or-di-nat، na-zy-va-et-sya نصف القطر-قرن الروم.(الصورة 2). Vector-tor - ra-di-us-vector ، حيث تكون x و y و z متعاونة مع بعضها البعض في هذا القرن من القرن إلى راز وفقًا لـ co-or - di-nat-ny قرن إلى رام ،،. في هذه الحالة ، x هو أول co-or-di-on-ta للنقطة A على محور Ox ، y هو co-or-di-on-ta للنقطة B على محور Oy ، z هو co-or - نقطة دي نا تا ج على محور أوز. وفقًا لـ ri-sun-ku ، من الواضح أن ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one but-time-men-but-la-yut-sya ko- أو-دي-أون-تا-مي النقاط M.

خذ النقطة A (x1؛ y1؛ z1) والنقطة B (x2؛ y2؛ z2) (انظر الشكل 3). نتخيل قرن من الزمان على أنه اختلاف قرن وخندق ، ومن خلال ملكيته ، قرن خندق. علاوة على ذلك ، و- ra-di-us-vek-to-ry ، وشريكهم أو-دي-نا-يو-شارك-با-دا-يوت مع شركاء أو-دي-نا-تا-مي- tsov هؤلاء قرون خندق. ثم يمكننا أن نتخيل ko-or-di-na-you Century-that-ra كفرق مع-from-the-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat Century-that-ditch و:. بهذه الطريقة ، ko-or-di-na-you Century-to-ra ، يمكننا أن نجرب من خلال ko-or-di-na-you of the end و na-cha-la Century-to-ra .

انظر إلى الأمثلة ، وخصائص il-lu-stri-ru-yu-sche لخندق قرن من الزمان وخصائصها نفسها من خلال المشاركة أو الشخصية. Take-meme Century-that-ry ، ،. يُطلب منا متجه shi-va-yut. في هذه الحالة ، فإن العثور عليه يعني أن تجد شريكًا أو دي ناًا أنت قرنًا من الزمان ، شخصًا مصممًا تمامًا من خلال ذلك. Sub-Stand-la-em in you-ra-same-nie بدلاً من مائة قرون-a-ditch مع-from-rep-stven-لكن مشاركتهم أو-on-you. بي-لو-تشا- أكل:

نقوم الآن بضرب الرقم 3 لكل co-or-di-na-tu بين قوسين ، ونفس الـ de-la-em بـ 2:

لدينا مجموع ثلاثة خنادق تعود إلى قرن من الزمان ، نقوم بتخزينها وفقًا للخاصية المدروسة أعلاه:

إجابه:

مثال رقم 2.

معطى: المثلث pi-ra-mi-da AOBC (انظر الشكل 4). طائرات AOB و AOC و OCB - في أزواج ، ولكن لكل قلم. OA = 3 ، OB = 7 ، OC = 4 ؛ م - سير. N - ser.OC ؛ ف - سر. سي بي.

لايجاد: ،،،،،،،.

الحل: دعنا نقدم مستطيل si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz مع بداية العد عند النقطة O. بشرط معرفة النقاط A و B و C على المحاور و se-re -di-ny من حواف pi-ra-mi-dy - M و P و N. وفقًا لـ ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you tops of pi-ra-mi -دي: أ (3 ؛ 0 ؛ 0) ، ب (0 ؛ 7 ؛ 0) ، ج (0 ؛ 0 ؛ 4).

نظام إحداثيات مستطيل (أسماء أخرى - مسطح ، ثنائي الأبعاد) ، سمي على اسم العالم الفرنسي ديكارت (1596-1650) "نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى" ، يتكون من تقاطع محورين عددين على المستوى بزوايا قائمة ( عموديًا) بحيث يشير نصف المحور الموجب لأحدهما إلى اليمين (المحور السيني أو الإحداثيات) ، والثاني - لأعلى (المحور الصادي أو المحور الصادي).

تتطابق نقطة تقاطع المحاور مع النقطة 0 لكل منها وتسمى الأصل.

لكل محور من المحاور ، يتم تحديد مقياس تعسفي (جزء طول الوحدة). تتوافق كل نقطة في المستوى مع زوج واحد من الأرقام ، تسمى إحداثيات هذه النقطة على المستوى. على العكس من ذلك ، فإن أي زوج من الأرقام المرتب يتوافق مع نقطة واحدة من المستوى تكون هذه الأرقام إحداثيات لها.

يسمى الإحداثي الأول لنقطة ما بإحداثية تلك النقطة ، ويسمى الإحداثي الثاني الإحداثي.

مستوى الإحداثيات بأكمله مقسم إلى أربعة أرباع (أرباع). تقع الأرباع من الأول إلى الرابع عكس اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل).

لتحديد إحداثيات نقطة ما ، تحتاج إلى إيجاد المسافة التي تفصلها عن محور الإحداثيات والمحور الإحداثي. نظرًا لأن المسافة (الأقصر) يتم تحديدها بواسطة العمودي ، يتم خفض عمودين (خطوط مساعدة على مستوى الإحداثيات) من النقطة الموجودة على المحور بحيث تكون نقطة تقاطعهم هي مكان النقطة المحددة في مستوى الإحداثيات. تسمى نقاط تقاطع الخطوط العمودية مع المحاور إسقاطات النقطة على محاور الإحداثيات.

الربع الأول مقيد بالمحاور الموجبة للمحدين والإحداثيات. لذلك ، ستكون إحداثيات النقاط في هذا الربع من المستوى موجبة
(علامتا "+" و

على سبيل المثال ، النقطة M (2 ؛ 4) في الشكل أعلاه.

الربع الثاني يحده شبه المحور السالب السالب والمحور الصادي الموجب. لذلك ، ستكون إحداثيات النقاط على طول محور الإحداثي سالبة (علامة "-") ، وعلى طول المحور الإحداثي ستكون موجبة (علامة "+").

على سبيل المثال ، النقطة ج (-4 ؛ 1) في الشكل أعلاه.

الربع الثالث يحده الإحداثي السالب والإحداثي السالب. لذلك ، ستكون إحداثيات النقاط على طول الإحداثي والإحداثيات سالبة (علامتان "-" و "-").

على سبيل المثال ، النقطة د (-6 ؛ -2) في الشكل أعلاه.

الربع الرابع يحده الإحداثي السالب والإحداثيات الموجبة. لذلك ، ستكون إحداثيات النقاط على طول المحور x موجبة (علامة "+"). وعلى طول المحور الإحداثي - سالب (علامة "-").

على سبيل المثال ، النقطة ص (3 ؛ -3) في الشكل أعلاه.

بناء نقطة بإحداثياتها المعطاة

نجد أول إحداثي للنقطة على المحور x ونرسم خطًا إضافيًا من خلاله - العمودي ؛

نجد الإحداثي الثاني للنقطة على المحور y ونرسم خطًا إضافيًا من خلاله - العمودي ؛

نقطة تقاطع عمودين (خطوط مساعدة) وستتوافق مع النقطة ذات الإحداثيات المحددة.