كيف هي الأعداد الصحيحة ، إلخ. أنواع الأعداد

الصفحة الرئيسية

مضخات الآبار

الرقم هو تجريد يستخدم لتقدير الأشياء. نشأت الأرقام في المجتمع البدائي فيما يتعلق بضرورة عد الناس للأشياء. بمرور الوقت ، مع تطور العلم ، أصبح الرقم أهم مفهوم رياضي.

لحل المشاكل وإثبات النظريات المختلفة ، تحتاج إلى فهم أنواع الأعداد. تشمل الأنواع الرئيسية للأرقام: الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأرقام المنطقية ، والأرقام الحقيقية.

عدد صحيح- هذه هي الأرقام التي تم الحصول عليها من خلال العد الطبيعي للأشياء ، أو بالأحرى ، مع ترقيمها ("الأول" ، "الثاني" ، "الثالث" ...). يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني ن (يمكن تذكرها بناءً على الكلمة الإنجليزية طبيعية). يمكن قول ذلك ن ={1,2,3,....}

الأعداد الكليةهي أرقام من المجموعة (0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2 ، ....). تتكون هذه المجموعة من ثلاثة أجزاء - الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة السالبة (عكس الأعداد الطبيعية) والرقم 0 (صفر). يتم الإشارة إلى الأعداد الصحيحة بحرف لاتيني ض . يمكن قول ذلك ض ={1,2,3,....}.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن تمثيلها في صورة كسر ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. يستخدم الحرف اللاتيني للدلالة على الأرقام المنطقية س . جميع الأعداد الطبيعية والصحيحة منطقية. أيضًا ، كأمثلة على الأرقام المنطقية ، يمكنك إعطاء: ،.

أرقام حقيقية (حقيقية)هي أرقام تستخدم لقياس الكميات المستمرة. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف اللاتيني R. تتضمن الأعداد الحقيقية أرقامًا منطقية وأرقامًا غير منطقية. الأرقام غير النسبية هي الأرقام التي يتم الحصول عليها من خلال إجراء عمليات مختلفة على الأرقام المنطقية (على سبيل المثال ، استخراج جذر ، وحساب اللوغاريتمات) ، ولكنها ليست عقلانية. أمثلة على الأرقام غير المنطقية هي ،.

يمكن عرض أي رقم حقيقي على خط الأعداد:

بالنسبة لمجموعات الأرقام المذكورة أعلاه ، فإن العبارة التالية صحيحة:

أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية مدرجة في مجموعة الأعداد الصحيحة. يتم تضمين مجموعة الأعداد الصحيحة في مجموعة الأعداد المنطقية. ومجموعة الأعداد النسبية مدرجة في مجموعة الأعداد الحقيقية. يمكن توضيح هذا البيان باستخدام دوائر أويلر.

عدد صحيح

تعريف الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة موجبة. تستخدم الأعداد الطبيعية لعد الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. ها هي الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
الصفر رقم طبيعي؟ لا ، الصفر ليس عددًا طبيعيًا.
كم عدد الأعداد الطبيعية هناك؟ هناك مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ لا يمكن تحديده ، لأن هناك مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن ، جمع الأعداد الطبيعية أ وب:

ناتج الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن ، حاصل ضرب الأعداد الطبيعية أ و ب:

c دائمًا رقم طبيعي.

اختلاف الأعداد الطبيعية لا يوجد دائمًا عدد طبيعي. إذا كان الحد الأدنى أكبر من المطروح ، فإن الفرق في الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي ، وإلا فهو ليس كذلك.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية لا يوجد دائمًا عدد طبيعي. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث c عدد طبيعي ، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b بالتساوي. في هذا المثال ، a هو المقسوم ، b هو القاسم ، c هو حاصل القسمة.

المقسوم على العدد الطبيعي هو العدد الطبيعي الذي يقبل القسمة على الرقم الأول بالتساوي.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية البسيطة لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. هنا نقصد الانقسام التام. مثال ، أرقام 2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 7 يقبل القسمة على 1 وعلى نفسها. هذه أعداد طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددًا أوليًا.

تسمى الأعداد الأكبر من واحد والتي ليست أولية بالأرقام المركبة. أمثلة على الأرقام المركبة:

واحد لا يعتبر رقمًا مركبًا.

تتكون مجموعة الأعداد الطبيعية من واحد ، أعداد أولية وأرقام مركبة.

يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N.

خصائص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

الملكية الترابطية للإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) ؛

خاصية تبادلية الضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أب) ج = أ (قبل الميلاد) ؛

خاصية التوزيع الضرب

أ (ب + ج) = أب + ج ؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية ، صفر وعكس الأعداد الطبيعية.

الأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة سالبة ، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;...

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد النسبية هي الأعداد الصحيحة والكسور.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي في صورة كسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

يمكن أن نرى من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري بفترة صفر.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي في صورة كسر m / n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. دعنا نمثل الرقم 3 ، (6) من المثال السابق على هذا النحو كسر.

عدد صحيح

تسمى الأرقام المستخدمة في العد الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، 1،2،3 دولار وما إلى ذلك. تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة الأعداد الطبيعية التي يُرمز إليها بـ $ N $ ، وتأتي هذه التسمية من الكلمة اللاتينية ناتوراليس-طبيعي.

أرقام مقابل

التعريف 1

إذا كان هناك رقمان مختلفان في العلامات فقط ، فيتم استدعاؤهما في الرياضيات أرقام معاكسة.

على سبيل المثال ، الأرقام $ 5 و $ -5 $ أرقام متقابلة ، لأن تختلف فقط في العلامات.

ملاحظة 1

لأي رقم يوجد رقم معاكس ، بالإضافة إلى رقم واحد فقط.

ملاحظة 2

الصفر هو عكس نفسه.

الأعداد الكلية

التعريف 2

كاملالأعداد الطبيعية ، الأعداد المقابلة لها والصفر تسمى أرقامًا.

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الطبيعية وأضدادها.

دلالة على الأعداد الصحيحة $ Z. $

الأعداد الكسرية

أرقام النموذج $ \ frac (m) (n) $ تسمى الكسور أو الأرقام الكسرية. أيضًا ، يمكن كتابة الأعداد الكسرية بالتدوين العشري ، أي في شكل كسور عشرية.

على سبيل المثال: $ \ \ frac (3) (5) $ ، 0.08 $ إلخ.

تمامًا مثل الأعداد الصحيحة ، يمكن أن تكون الأعداد الكسرية موجبة أو سالبة.

أرقام نسبية

التعريف 3

أرقام نسبيةهي مجموعة من الأرقام التي تحتوي على مجموعة من الأعداد الصحيحة والأرقام الكسرية.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي ، سواء أكان عددًا صحيحًا أم كسريًا ، ككسر $ \ frac (a) (b) $ ، حيث $ a $ عدد صحيح و $ b $ رقم طبيعي.

وبالتالي ، يمكن كتابة نفس العدد المنطقي بطرق مختلفة.

فمثلا،

يوضح هذا أنه يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر عشري محدد أو كسر دوري عشري لا نهائي.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام المنطقية بواسطة $ Q $.

نتيجة لإجراء أي عملية حسابية على أرقام منطقية ، ستكون الإجابة الناتجة عددًا منطقيًا. تم إثبات ذلك بسهولة ، نظرًا لحقيقة أنه عند جمع الكسور العادية وطرحها وضربها وتقسيمها ، تحصل على كسر عادي

أرقام غير منطقية

أثناء دراسة مقرر الرياضيات ، غالبًا ما يصادف المرء في حل الأرقام غير المنطقية.

على سبيل المثال ، للتحقق من وجود مجموعة من الأرقام غير المنطقية ، نقوم بحل المعادلة $ x ^ 2 = 6 $. جذور هذه المعادلة هي الأرقام $ \ surd 6 $ و - $ \ surd 6 $. هذه الأرقام لن تكون منطقية.

أيضًا ، عند إيجاد قطر مربع ضلع 3 $ ، بتطبيق نظرية فيثاغورس ، نحصل على أن القطر سيساوي $ \ surd 18 $. هذا الرقم ليس منطقيًا أيضًا.

تسمى هذه الأرقام غير منطقي.

لذلك ، يسمى الرقم غير النسبي بكسر عشري لا نهائي.

أحد الأرقام غير المنطقية الأكثر شيوعًا هو الرقم $ \ pi $

عند إجراء عمليات حسابية بأرقام غير منطقية ، قد يتبين أن النتيجة التي تم الحصول عليها هي عدد منطقي وغير منطقي.

سنثبت ذلك بمثال إيجاد حاصل ضرب الأعداد غير النسبية. لنجد:

$ \ \ sqrt (6) \ cdot \ sqrt (6) $

$ \ \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) $

قرار

$ \ \ sqrt (6) \ cdot \ sqrt (6) = 6 $

$ \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (6) $

يوضح هذا المثال أن النتيجة يمكن أن تكون إما عددًا منطقيًا أو عددًا غير منطقي.

إذا كانت الأرقام المنطقية وغير المنطقية متضمنة في العمليات الحسابية في نفس الوقت ، فستكون النتيجة عددًا غير نسبي (باستثناء ، بالطبع ، الضرب بـ $ 0).

الأعداد الحقيقية

مجموعة الأعداد الحقيقية هي المجموعة التي تحتوي على مجموعة الأعداد المنطقية وغير المنطقية.

مجموعة الأعداد الحقيقية يُرمز لها بـ $ R $. من الناحية الرمزية ، يمكن الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ب $ (-؟؛ +؟). $

قلنا سابقًا أن الكسر العشري غير المنتهي يسمى عددًا غير نسبي ، ويمكن تمثيل أي رقم منطقي على أنه كسر عشري محدد أو كسر دوري عشري لا نهائي ، لذا فإن أي كسر عشري لا نهائي ولا نهائي سيكون عددًا حقيقيًا.

عند إجراء العمليات الجبرية ، سيتم اتباع القواعد التالية

عند ضرب وقسمة الأرقام الموجبة ، سيكون الرقم الناتج موجبًا
عند ضرب وقسمة الأرقام السالبة ، سيكون الرقم الناتج موجبًا
عند ضرب وقسمة الأعداد السالبة والموجبة ، سيكون الرقم الناتج سالبًا

يمكن أيضًا مقارنة الأرقام الحقيقية مع بعضها البعض.

التحليل الرياضي هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع دراسة الوظائف بناءً على فكرة الوظيفة اللامتناهية في الصغر.

المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي هي كمية ، مجموعة ، دالة ، دالة متناهية الصغر ، حد ، مشتق ، متكامل.

قيمةكل ما يمكن قياسه والتعبير عنه برقم يسمى.

عديدةعبارة عن مجموعة من بعض العناصر التي توحدها بعض السمات المشتركة. يمكن أن تكون عناصر المجموعة أرقامًا وأرقامًا وأشياء ومفاهيم وما إلى ذلك.

يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف كبيرة ، وعناصر المجموعة بأحرف صغيرة. عناصر المجموعة محاطة بأقواس متعرجة.

إذا كان العنصر xينتمي إلى المجموعة X، ثم اكتب x∈X (∈ - ينتمي).
إذا كانت المجموعة أ جزءًا من المجموعة ب ، فاكتب أ ⊂ ب (⊂ - موجود).

يمكن تعريف المجموعة بإحدى طريقتين: بالسرد وبواسطة خاصية تعريف.

على سبيل المثال ، يحدد التعداد المجموعات التالية:

أ = (1،2،3،5،7) - مجموعة من الأرقام
Х = (x 1، x 2، ...، x n) هي مجموعة من بعض العناصر x 1، x 2، ...، x n
N = (1،2 ، ... ، ن) هي مجموعة الأعداد الطبيعية
Z = (0، ± 1، ± 2، ...، ± n) هي مجموعة الأعداد الصحيحة

المجموعة (-∞ ؛ + ∞) تسمى رقم الخط، وأي رقم هو نقطة على هذا الخط. دع النقطة تكون عشوائية على الخط الحقيقي و رقم موجب. الفاصل الزمني (a-δ؛ a + δ) يسمى δ- حي النقطة أ.

يتم تحديد المجموعة X من أعلى (من أسفل) إذا كان هناك رقم ج بحيث يتم تحقيق المتباينة x≤с (x≥c) لأي x ∈ X. الرقم ج في هذه الحالة يسمى الحافة العلوية (السفلية)مجموعات X. مجموعة محدودة على حد سواء أعلى وأسفل تسمى محدود. يتم استدعاء أصغر (أكبر) من الوجوه العلوية (السفلية) للمجموعة الوجه العلوي (السفلي) الدقيقهذه المجموعة.

المجموعات الرقمية الأساسية

ن	(1،2،3 ، ... ، ن) مجموعة الكل
ض	(0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ...) الأعداد الكلية.تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الطبيعية.
س	الكثير من أرقام نسبية. بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة ، توجد أيضًا كسور. الكسر هو تعبير عن الشكل ، أين صهو عدد صحيح ، ف- طبيعي. يمكن أيضًا كتابة الكسور العشرية كـ. على سبيل المثال: 0.25 = 25/100 = 1/4. يمكن أيضًا كتابة الأعداد الصحيحة كـ. على سبيل المثال ، في شكل كسر مقامه "واحد": 2 = 2/1. وبالتالي ، يمكن كتابة أي رقم منطقي في صورة كسر عشري - دوري بشكل محدود أو لانهائي.
ص	كثير من الجميع أرقام حقيقية. الأعداد غير النسبية هي كسور لانهائية غير دورية. وتشمل هذه: تشكل مجموعتان (الأرقام المنطقية وغير المنطقية) معًا مجموعة الأرقام الحقيقية (أو الحقيقية).

إذا كانت المجموعة لا تحتوي على عناصر ، فسيتم استدعاؤها مجموعة فارغةومسجلة Ø .

عناصر الرمزية المنطقية

التدوين ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

محدد الكم

عند كتابة التعبيرات الرياضية ، غالبًا ما تستخدم المحددات الكمية.

محدد الكميسمى الرمز المنطقي الذي يميز العناصر التي تتبعه من الناحية الكمية.

∀- محدد الكم العام، بدلاً من الكلمات "للجميع" ، "لأي شخص".
∃- الكمي الوجودي، بدلا من الكلمات "موجود" ، "لديه". يتم أيضًا استخدام مجموعة الرموز ∃! ، والتي تُقرأ نظرًا لوجود رمز واحد فقط.

العمليات في مجموعات

اثنين المجموعتان A و B متساويتان(أ = ب) إذا كانت تتكون من نفس العناصر.
على سبيل المثال ، إذا كان أ = (1،2،3،4) ، ب = (3،1،4،2) ثم أ = ب.

الاتحاد (المبلغ)المجموعة A و B تسمى المجموعة A ∪ B ، والتي تنتمي عناصرها إلى واحدة على الأقل من هذه المجموعات.
على سبيل المثال ، إذا كانت A = (1،2،4) ، B = (3،4،5،6) ، إذن A ∪ B = (1،2،3،4،5،6)

تقاطع (منتج)المجموعة A و B تسمى المجموعة A ∩ B ، والتي تنتمي عناصرها إلى كل من المجموعة A والمجموعة B.
على سبيل المثال ، إذا كانت A = (1،2،4) ، ب = (3،4،5،2) ، إذن A ∩ B = (2،4)

فرقتسمى المجموعتان A و B بالمجموعة AB ، والتي تنتمي عناصرها إلى المجموعة A ، ولكنها لا تنتمي إلى المجموعة B.
على سبيل المثال ، إذا كانت A = (1،2،3،4) ، ب = (3،4،5) ، إذن AB = (1،2)

فرق متماثلالمجموعة A و B تسمى المجموعة A Δ B ، وهي اتحاد الاختلافات بين المجموعتين AB و BA ، أي A Δ B = (AB) ∪ (BA).
على سبيل المثال ، إذا كان A = (1،2،3،4) ، B = (3،4،5،6) ، إذن A Δ B = (1،2) ∪ (5،6) = (1،2 ، 5.6)

خصائص عمليات المجموعة

خصائص النفاذية

أ ∪ ب = ب ∪ أ
أ ∩ ب = ب ∩ أ

ملكية مشتركة

(أ ∪ ب) ∪ ج = أ ∪ (ب ، ج)
(أ ∩ ب) ∩ ج = أ ∩ (ب ، ج)

مجموعات معدودة وغير معدودة

من أجل مقارنة أي مجموعتين A و B ، يتم إنشاء تطابق بين عناصرهما.

إذا كانت هذه التطابق واحد لواحد ، فإن المجموعات تسمى مكافئة أو مكافئة ، أ ب أو ب أ.

مثال 1

مجموعة نقاط الضلع BC والوتر AC للمثلث ABC متساويان في القوة.

الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي بدأ بها كل شيء من قبل. واليوم هذه هي الأرقام الأولى التي يلتقي بها الشخص في حياته عندما يتعلم في طفولته الاعتماد على أصابعه أو عد العصي.

تعريف: تسمى الأعداد الطبيعية بالأرقام التي تُستخدم لحساب عدد الكائنات (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...) [الرقم 0 ليس طبيعيًا. كما أن لها تاريخها المنفصل في تاريخ الرياضيات وظهرت بعد الأعداد الطبيعية بكثير.]

يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...) بالحرف N.

الأعداد الكلية

بعد أن تعلمنا العد ، فإن الشيء التالي الذي نقوم به هو تعلم إجراء العمليات الحسابية على الأرقام. عادة ، أولاً (في عد العصي) يتعلمون القيام بالجمع والطرح.

بالإضافة إلى ذلك ، كل شيء واضح: إضافة أي رقمين طبيعيين ، ونتيجة لذلك نحصل دائمًا على نفس العدد الطبيعي. لكن في عملية الطرح ، نجد أنه لا يمكننا طرح الأكبر من الأصغر بحيث تكون النتيجة عددًا طبيعيًا. (3 - 5 = ماذا؟) هنا تأتي فكرة الأعداد السالبة. (الأرقام السلبية لم تعد طبيعية)

في مرحلة حدوث الأعداد السالبة (وظهرت بعد كسور)وكان هناك أيضا خصومهم الذين اعتبروهم هراء. (يمكن عرض ثلاثة أشياء على الأصابع ، ويمكن إظهار عشرة ، ويمكن تمثيل ألف كائن بالقياس. وما هو "ناقص ثلاثة أكياس"؟ - في ذلك الوقت ، على الرغم من استخدام الأرقام بالفعل بمفردها ، بمعزل عن أشياء محددة ، العدد الذي يحددونه ، كانت لا تزال في أذهان الناس أقرب بكثير إلى هذه الموضوعات المحددة مما هو عليه اليوم.) ولكن ، مثل الاعتراضات ، فإن الحجة الرئيسية لصالح الأرقام السالبة جاءت من الممارسة: الأرقام السالبة جعلت ذلك ممكنًا لتتبع الديون بسهولة. 3 - 5 = -2 - كان لدي 3 عملات ، أنفقت 5. لذلك ، لم ينفد لدي من العملات المعدنية فحسب ، ولكني أيضًا مدين بعملة معدنية لشخص ما. إذا أعدت واحدًا ، سيتغير الدين إلى −2 + 1 = −1 ، ولكن يمكن أيضًا تمثيله كرقم سالب.

نتيجة لذلك ، ظهرت الأرقام السالبة في الرياضيات ، والآن لدينا عدد لا حصر له من الأعداد الطبيعية (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...) وهناك نفس العدد من أضدادها (1 ، −2 ، - 3 ، −4 ، ...). دعونا نضيف صفرًا آخر إليهم ، ومجموعة كل هذه الأعداد ستسمى أعدادًا صحيحة.

تعريف: تشكل الأعداد الطبيعية وأضدادها والصفر مجموعة الأعداد الصحيحة. يشار إليه بالحرف Z.

يمكن طرح أي عددين صحيحين من بعضهما البعض أو إضافته للحصول على عدد صحيح نتيجة لذلك.

تقترح فكرة إضافة عدد صحيح بالفعل إمكانية الضرب باعتباره مجرد طريقة أسرع لإجراء عملية الجمع. إذا كان لدينا 7 أكياس تزن كل منها 6 كيلوغرامات ، فيمكننا إضافة 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (أضف 6 إلى المجموع الحالي سبع مرات) ، أو يمكننا ببساطة أن نتذكر أن مثل هذه العملية ستؤدي دائمًا إلى 42. مثل إضافة ستة سبعة ، 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 ستعطي دائمًا 42.

نتائج عملية الإضافة تأكيدأرقام مع نفسها تأكيديتم كتابة عدد المرات لجميع أزواج الأعداد من 2 إلى 9 ويشكل جدول الضرب. لضرب الأعداد الصحيحة الأكبر من 9 ، يتم اختراع قاعدة الضرب في عمود. (وهذا ينطبق أيضًا على الكسور العشرية ، والتي سيتم تناولها في إحدى المقالات التالية.) أي عددين صحيحين مضروبين في بعضهما البعض سينتج عنه دائمًا عدد صحيح.

أرقام نسبية

الانقسام. بالقياس على أن الطرح هو معكوس الجمع ، توصلنا إلى فكرة القسمة على أنها معكوس الضرب.

عندما حصلنا على 7 أكياس من 6 كيلوغرامات ، باستخدام الضرب ، حسبنا بسهولة أن الوزن الإجمالي لمحتويات الأكياس هو 42 كيلوغرامًا. تخيل أننا سكبنا جميع محتويات الأكياس في كومة واحدة تزن 42 كجم. ثم غيروا رأيهم وأرادوا إعادة توزيع المحتويات على 7 أكياس. كم كيلوغراما سيقع في كيس واحد إذا وزعناها بالتساوي؟ - من الواضح 6.

وإذا أردنا توزيع 42 كيلو جرام على 6 أكياس؟ نحن هنا نفكر في ما يمكن أن يكون عليه نفس إجمالي 42 كيلوغرامًا إذا سكبنا 6 أكياس من 7 كيلوغرامات في كومة. وهذا يعني أنه عند تقسيم 42 كجم إلى 6 أكياس بالتساوي ، نحصل على 7 كجم في كيس واحد.

وإذا قسمت 42 كيلو جرام بالتساوي إلى 3 أكياس؟ وهنا أيضًا ، نبدأ في تحديد رقم ، عند ضربه في 3 ، سيعطي 42. بالنسبة لقيم "الجدول" ، كما في حالة 6 7 = 42 => 42: 6 = 7 ، نقوم بإجراء عملية القسمة ، ببساطة تذكر جدول الضرب. بالنسبة للحالات الأكثر تعقيدًا ، يتم استخدام التقسيم إلى عمود ، والذي سيتم مناقشته في إحدى المقالات التالية. في حالة 3 و 42 ، يمكن للمرء أن يتذكر من خلال "الاختيار" أن 3 · 14 = 42. ومن ثم ، 42: 3 = 14. كل كيس سوف يحتوي على 14 كيلو جرام.

لنحاول الآن تقسيم 42 كيلوجرامًا بالتساوي إلى 5 أكياس. 42: 5 =؟
نلاحظ أن 5 8 = 40 (صغير) ، و 5 9 = 45 (كثير). أي ، لا 8 كيلوغرامات في كيس ، ولا 9 كيلوغرامات ، من أصل 5 أكياس ، لن نحصل على 42 كيلوغراماً بأي شكل من الأشكال. في الوقت نفسه ، من الواضح أنه في الواقع لا شيء يمنعنا من تقسيم أي كمية (الحبوب ، على سبيل المثال) إلى 5 أجزاء متساوية.

لا ينتج عن عملية قسمة الأعداد الصحيحة على بعضها عددًا صحيحًا. لذلك توصلنا إلى مفهوم الكسر. 42: 5 \ u003d 42/5 \ u003d 8 كاملة 2/5 (إذا تم حسابها في كسور عادية) أو 42: 5 \ u003d 8.4 (إذا تم حسابها في الكسور العشرية).

الكسور المشتركة والعشرية

يمكننا القول أن أي كسر عادي م / ن (م هو أي عدد صحيح ، ن هو أي عدد طبيعي) هو مجرد شكل خاص من كتابة نتيجة قسمة العدد م على العدد ن. (يسمى m بسط الكسر ، n هو المقام) نتيجة القسمة ، على سبيل المثال ، الرقم 25 على الرقم 5 يمكن أيضًا كتابتها في صورة كسر عادي 25/5. لكن هذا ليس ضروريًا ، لأن نتيجة قسمة 25 على 5 يمكن كتابتها ببساطة على أنها العدد الصحيح 5. (و 25/5 = 5). لكن نتيجة قسمة الرقم 25 على الرقم 3 لم يعد من الممكن تمثيلها كرقم صحيح ، لذلك يصبح من الضروري هنا استخدام كسر ، 25: 3 = 25/3. (يمكنك تحديد الجزء الصحيح 25/3 = 8 كامل 1/3. بمزيد من التفصيل ، ستتم مناقشة الكسور العادية والعمليات ذات الكسور العادية في المقالات التالية.)

الكسور العادية جيدة لأنه من أجل تمثيل نتيجة قسمة أي عددين صحيحين ككسر ، تحتاج فقط إلى كتابة المقسوم في بسط الكسر والمقسوم عليه في المقام. (123: 11 = 123/11 ، 67: 89 = 67/89 ، 127: 53 = 127/53 ، ...) ثم ، إن أمكن ، اختزل الكسر و / أو حدد الجزء الصحيح (هذه العمليات مع الكسور العادية ستكون نوقشت بالتفصيل في المقالات التالية). تكمن المشكلة في أن إجراء العمليات الحسابية (الجمع والطرح) باستخدام الكسور العادية لم يعد مناسبًا كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة.

لتسهيل التدوين (في سطر واحد) ولتيسير العمليات الحسابية (مع إمكانية إجراء حسابات في عمود ، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة العادية) ، بالإضافة إلى الكسور العادية ، تم اختراع الكسور العشرية أيضًا. الكسر العشري هو كسر عادي مكتوب بطريقة خاصة بمقامه 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. على سبيل المثال ، الكسر الشائع 7/10 هو نفس الكسر العشري 0.7. (8/100 = 0.08 ؛ عددان صحيحان 3/10 = 2.3 ؛ 7 أعداد صحيحة 1/1000 = 7.001). سيتم تخصيص مقال منفصل لتحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية والعكس صحيح. العمليات ذات الكسور العشرية - مقالات أخرى.

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر مشترك مقامه 1. (5 = 5/1 ؛ −765 = −765 / 1).

تعريف: تسمى جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها في صورة كسر مشترك أرقامًا منطقية. يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام المنطقية بالحرف Q.

عند قسمة أي عددين صحيحين على بعضهما البعض (إلا عند القسمة على 0) ، نحصل دائمًا على رقم نسبي نتيجة لذلك. بالنسبة للكسور العادية ، توجد قواعد للجمع والطرح والضرب والقسمة ، والتي تسمح لك بإجراء العملية المقابلة بأي كسرين وأيضًا الحصول على رقم نسبي (كسر أو عدد صحيح) كنتيجة لذلك.

مجموعة الأرقام المنطقية هي أول المجموعات التي درسناها ، والتي يمكنك من خلالها الجمع والطرح والضرب والقسمة (باستثناء القسمة على 0) ، ولا تتجاوز هذه المجموعة أبدًا (أي الحصول دائمًا على رقم منطقي مثل نتيجة).

يبدو أنه لا توجد أرقام أخرى ، كل الأرقام منطقية. لكن هذا ليس كذلك أيضًا.

الأعداد الحقيقية

هناك أرقام لا يمكن تمثيلها على أنها كسر م / ن (حيث م عدد صحيح ، ن عدد طبيعي).

ما هذه الأرقام؟ لم نفكر بعد في عملية الأُس. على سبيل المثال ، 4 2 \ u003d 4 4 \ u003d 16. 5 3 \ u003d 5 5 5 \ u003d 125. تمامًا كما أن الضرب هو شكل أكثر ملاءمة لتدوين الجمع وحسابه ، فإن الأس هو شكل من أشكال التدوين لضرب نفس الرقم في نفسه عددًا معينًا من المرات.

لكن الآن فكر في العملية ، عكس الصعود إلى السلطة - استخراج الجذر. الجذر التربيعي لـ 16 هو العدد الذي تربيعه هي 16 ، أي 4. الجذر التربيعي لـ 9 هو 3. لكن الجذر التربيعي لـ 5 أو 2 ، على سبيل المثال ، لا يمكن تمثيله برقم نسبي. (يمكن العثور على إثبات هذا البيان ، أمثلة أخرى للأرقام غير المنطقية وتاريخها ، على سبيل المثال ، في ويكيبيديا)

في GIA في الصف 9 ، هناك مهمة لتحديد ما إذا كان الرقم الذي يحتوي على جذر في مدخله منطقيًا أم غير منطقي. تتمثل المهمة في محاولة تحويل هذا الرقم إلى نموذج لا يحتوي على جذر (باستخدام خصائص الجذور). إذا كان لا يمكن حذف الجذر ، فإن الرقم غير منطقي.

مثال آخر على الرقم غير النسبي هو الرقم π ، المألوف للجميع من علم الهندسة وعلم المثلثات.

تعريف: تسمى الأرقام المنطقية وغير المنطقية معًا أرقامًا حقيقية (أو حقيقية). يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأرقام الحقيقية بالحرف R.

في الأعداد الحقيقية ، على عكس الأعداد النسبية ، يمكننا التعبير عن المسافة بين أي نقطتين على خط أو مستوى.
إذا قمت برسم خط مستقيم واخترت نقطتين تعسفيتين عليه ، أو اخترت نقطتين تعسفيتين على مستوى ، فقد يتضح أن المسافة الدقيقة بين هذه النقاط لا يمكن التعبير عنها برقم منطقي. (مثال - وتر المثلث القائم الزاوية مع الساقين 1 و 1 ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، سيكون مساويًا لجذر اثنين - أي عدد غير نسبي. ويتضمن هذا أيضًا الطول الدقيق لقطر خلية رباعية (طول القطر لأي مربع مثالي بأضلاعه عدد صحيح).)
وفي مجموعة الأعداد الحقيقية ، يمكن التعبير عن أي مسافات على خط مستقيم أو في مستوى أو في الفضاء بالرقم الحقيقي المقابل.

الأقسام