نظرية التقدم الحسابي والهندسي. صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي
ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل البدء في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا للحصول على أكثر الموارد فائدة
تسلسل رقمي
لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. علي سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:
تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:
الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.
عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.
في حالتنا هذه:
أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي العمليات الحسابية والهندسية. في هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.
لماذا نحتاج إلى التقدم الهندسي وتاريخه.
حتى في العصور القديمة ، تعامل عالم الرياضيات الإيطالي ، الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) ، مع الاحتياجات العملية للتجارة. واجه الراهب مهمة تحديد ما هو أصغر عدد من الأوزان يمكن استخدامه لوزن البضائع؟ يثبت فيبوناتشي في كتاباته أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع التقدم الهندسي ، والتي ربما سمعت عنها ولديك على الأقل فكرة عامة عنها. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا ، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟
في الوقت الحاضر ، في ممارسة الحياة ، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك ، عندما يتم تحميل مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. بمعنى آخر ، إذا قمت بوضع أموال على وديعة لأجل في بنك ادخار ، فإن الوديعة ستزيد خلال عام من المبلغ الأصلي ، أي سيكون المبلغ الجديد مساويًا للمساهمة مضروبة في. في عام آخر ، سيزداد هذا المبلغ بمقدار ، أي. يتم ضرب المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف حالة مماثلة في مشاكل الحوسبة ما يسمى ب الفائدة المركبة- تؤخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود على الحساب مع مراعاة الفائدة السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.
هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. على سبيل المثال ، انتشار الإنفلونزا: قام شخص ما بإصابة شخص ما ، وقام بدوره بإصابة شخص آخر ، وبالتالي الموجة الثانية من العدوى - شخص ، وقاموا بدورهم بإصابة شخص آخر ... وهكذا .. .
بالمناسبة ، الهرم المالي ، نفس MMM ، هو حساب بسيط وجاف وفقًا لخصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا نفهم ذلك.
المتوالية الهندسية.
لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:
ستجيب على الفور أنه سهل وأن اسم مثل هذا التسلسل مع اختلاف أعضائه. ماذا عن شيء مثل هذا:
إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي ، فسترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وما إلى ذلك) ، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم تالي يكون أكبر بمرات من الرقم السابق !
هذا النوع من التسلسل يسمى المتوالية الهندسيةويتم وضع علامة.
التقدم الهندسي () هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
القيود التي تشير إلى أن المصطلح الأول () ليس مساويًا وليست عشوائية. لنفترض أنه لا يوجد شيء ، والمصطلح الأول لا يزال متساويًا ، و q هو ، hmm .. دعنا نتضح:
توافق على أن هذا ليس تقدمًا.
كما تفهم ، سوف نحصل على نفس النتائج إذا كان أي رقم بخلاف الصفر ، ولكن. في هذه الحالات ، لن يكون هناك تقدم ببساطة ، لأن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما جميع الأصفار ، أو رقم واحد ، وجميع الأصفار المتبقية.
الآن دعنا نتحدث بمزيد من التفاصيل عن مقام التقدم الهندسي ، أي حول.
دعنا نكرر: - هذا رقم ، كم مرة يتغير كل مصطلح لاحقالمتوالية الهندسية.
ماذا تعتقد يمكن أن يكون؟ هذا صحيح ، إيجابي وسلبي ، لكن ليس صفرًا (تحدثنا عن هذا أعلى قليلاً).
لنفترض أن لدينا إيجابية. دعونا في حالتنا ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟ يمكنك بسهولة الإجابة على ما يلي:
حسنا. وفقًا لذلك ، إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - هم إيجابي.
ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟
إنها قصة مختلفة تمامًا
حاول أن تحسب مصطلح هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي ، إذا ، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي ، إذا رأيت تقدمًا بعلامات بديلة في أعضائها ، فإن قاسمها يكون سالبًا. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة في اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
الآن دعنا نتدرب قليلاً: حاول تحديد أي التسلسلات العددية هي تسلسل هندسي ، وأيها متسلسل حسابي:
فهمتك؟ قارن إجاباتنا:
- التقدم الهندسي - 3 ، 6.
- التقدم الحسابي - 2 ، 4.
- إنه ليس تطورًا حسابيًا ولا هندسيًا - 1 ، 5 ، 7.
دعنا نعود إلى التقدم الأخير ، ودعونا نحاول إيجاد حده بنفس الطريقة كما في الحساب. كما قد تكون خمنت ، هناك طريقتان للعثور عليه.
نضرب كل حد على التوالي في.
إذن ، العضو -th في التقدم الهندسي الموصوف يساوي.
كما تخمن بالفعل ، ستشتق الآن معادلة تساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل سبق لك أن أخرجته لنفسك ، واصفة كيفية العثور على العضو ال على مراحل؟ إذا كان الأمر كذلك ، فتحقق من صحة تفكيرك.
دعنا نوضح ذلك بمثال العثور على العضو -th في هذا التقدم:
بعبارات أخرى:
اكتشف لنفسك قيمة عضو في تقدم هندسي معين.
حدث؟ قارن إجاباتنا:
انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما ضربنا على التوالي كل عضو سابق في التقدم الهندسي.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:
الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الموجبة والسالبة. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.
هل تحسب؟ دعنا نقارن النتائج:
توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على عضو في التقدم بنفس طريقة العضو ، ومع ذلك ، هناك احتمال لسوء التقدير. وإذا وجدنا بالفعل الحد الخامس للتقدم الهندسي ، أ ، فما الذي يمكن أن يكون أسهل من استخدام الجزء "المبتور" من الصيغة.
تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
في الآونة الأخيرة ، تحدثنا عن ما يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر ، ومع ذلك ، هناك قيم خاصة يُطلق عليها اسم التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي.
لماذا تعتقد أنه يحمل مثل هذا الاسم؟
بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من أعضاء.
دعنا نقول ، إذن:
نرى أن كل مصطلح لاحق أقل من السابق في الأوقات ، لكن هل سيكون هناك أي رقم؟ تجيب على الفور - "لا". هذا هو سبب التناقص اللامتناهي - النقصان ، النقصان ، لكن لا يصبح صفرًا أبدًا.
لفهم ما يبدو عليه هذا بصريًا بوضوح ، دعنا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذلك ، في حالتنا ، تأخذ الصيغة الشكل التالي:
في الرسوم البيانية ، اعتدنا أن نبني الاعتماد على:
لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول ، أظهرنا اعتماد قيمة عضو التقدم الهندسي على رقمه الترتيبي ، وفي الإدخال الثاني ، أخذنا ببساطة قيمة عضو التقدم الهندسي لـ ، و تم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ ، ولكن كـ. كل ما تبقى هو رسم الرسم البياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:
يرى؟ تتناقص الدالة ، وتميل إلى الصفر ، ولكنها لا تتجاوزها أبدًا ، لذا فهي تتناقص بلا حدود. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني ، وفي نفس الوقت ماذا يعني الإحداثي:
حاول رسم رسم بياني للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان المصطلح الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟
هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:
الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو ، وتعرف كيفية العثور على المصطلح الخاص به ، وأنت تعرف أيضًا ما هو التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.
خاصية التقدم الهندسي.
هل تتذكر خاصية أعضاء التقدم الحسابي؟ نعم ، نعم ، كيف تجد قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لأعضاء هذا التقدم. تذكرت؟ هذه:
نحن الآن نواجه نفس السؤال تمامًا عن شروط التقدم الهندسي. لاشتقاق مثل هذه الصيغة ، لنبدأ في الرسم والاستدلال. سترى ، الأمر سهل للغاية ، وإذا نسيت ، يمكنك إخراجه بنفسك.
لنأخذ تقدمًا هندسيًا بسيطًا آخر نعرفه و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي ، يكون هذا سهلًا وبسيطًا ، ولكن كيف يتم هنا؟ في الواقع ، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى رسم كل قيمة مُعطاة لنا وفقًا للصيغة.
أنت تسأل ، والآن ماذا نفعل بها؟ نعم ، بسيط جدا. بادئ ذي بدء ، دعنا نصور هذه الصيغ في الشكل ، ونحاول إجراء العديد من التلاعبات بها من أجل الوصول إلى قيمة.
نحن نستخلص من الأرقام التي قدمناها ، سنركز فقط على تعبيرها من خلال صيغة. علينا إيجاد القيمة المميزة باللون البرتقالي ، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعنا نحاول تنفيذ إجراءات مختلفة معهم ، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.
إضافة.
دعنا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:
من هذا التعبير ، كما ترى ، لن نتمكن من التعبير بأي شكل من الأشكال ، لذلك سنجرب خيارًا آخر - الطرح.
الطرح.
كما ترى ، لا يمكننا التعبير عن هذا أيضًا ، لذلك سنحاول ضرب هذه التعبيرات في بعضنا البعض.
عمليه الضرب.
انظر الآن بعناية إلى ما لدينا ، بضرب شروط التقدم الهندسي المعطى لنا مقارنة بما يجب إيجاده:
خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح ، لإيجاده ، نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للعدد المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:
نحن سوف. أنت نفسك استنتجت خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. حدث؟
متى نسيت الشرط؟ فكر في سبب أهميته ، على سبيل المثال ، حاول حسابه بنفسك ، على. ما يحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، هراء كامل ، لأن الصيغة تبدو كما يلي:
وعليه لا تنسى هذا القيد.
الآن دعونا نحسب ما هو
اجابة صحيحة - ! إذا لم تنسَ القيمة المحتملة الثانية عند الحساب ، فأنت زميل رائع ويمكنك المتابعة على الفور إلى التدريب ، وإذا نسيت ، اقرأ ما تم تحليله أدناه وانتبه إلى سبب وجوب كتابة كلا الجذور في الإجابة .
دعنا نرسم كلاً من التدرجات الهندسية - أحدهما له قيمة والآخر بقيمة ، ونتحقق مما إذا كان كلاهما لهما الحق في الوجود:
من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا ، من الضروري معرفة ما إذا كان هو نفسه بين جميع أعضائه المعينين؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.
ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن إشارة العضو المطلوب تتوقف على ما إذا كانت موجبة أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ماهيته ، علينا كتابة كلتا الإجابتين بعلامة زائد وناقص.
الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت الصيغة الخاصة بخاصية التقدم الهندسي ، ابحث عن ، وعرف و
قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:
ما رأيك ، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم أعضاء التقدم الهندسي المجاور للعدد المطلوب ، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال ، نحن بحاجة إلى إيجاد وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي اشتقناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة ، ووصف ما تتكون منه كل قيمة ، كما فعلت عند اشتقاق الصيغة من البداية ، بـ.
على ماذا حصلت؟
الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الجواربالشروط المطلوبة للتقدم الهندسي ، ولكن أيضًا مع متساوي البعدمما يبحث عنه الأعضاء.
وهكذا تصبح صيغتنا الأصلية:
أي ، إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى ، نقول الآن إنه يمكن أن يكون مساويًا لأي عدد طبيعي أقل. الشيء الرئيسي هو أن تكون متماثلًا لكلا الرقمين المعينين.
تدرب على أمثلة محددة ، فقط كن حذرًا للغاية!
- و. لايجاد.
- و. لايجاد.
- و. لايجاد.
لقد اتخذت القرار؟ أتمنى أن تكون منتبهاً للغاية ولاحظت مشكلة صغيرة.
نحن نقارن النتائج.
في الحالتين الأوليين ، نطبق الصيغة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:
في الحالة الثالثة ، بعد دراسة دقيقة للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا ، نفهم أنها ليست متساوية مع الرقم الذي نبحث عنه: إنه الرقم السابق ، ولكن تم إزالته في الموضع ، لذلك لا يمكن لتطبيق الصيغة.
كيف حلها؟ في الواقع ليس الأمر صعبًا كما يبدو! دعنا نكتب معك ما يتكون منه كل رقم معطى لنا والرقم المطلوب.
لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا فعله معهم. أقترح تقسيم. نحن نحصل:
نستبدل بياناتنا في الصيغة:
الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها - لهذا علينا أخذ الجذر التكعيبي للعدد الناتج.
الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ، ولكن علينا أن نجد ، وهذا بدوره يساوي:
وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:
جوابنا: .
حاول حل مشكلة أخرى بنفسك:
منح: ،
لايجاد:
كم لم تحصل عليه؟ أملك - .
كما ترون ، في الواقع ، أنت بحاجة تذكر صيغة واحدة فقط-. كل ما تبقى يمكنك الانسحاب دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك ، اكتب ببساطة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق واكتب ما ، وفقًا للصيغة أعلاه ، كل رقم من أرقامها يساوي.
مجموع شروط التقدم الهندسي.
الآن ضع في اعتبارك الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع شروط التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:
لاشتقاق صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المحدود ، نضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحن نحصل:
انظر عن كثب: ما هو القاسم المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح ، الأعضاء العاديون ، على سبيل المثال وما إلى ذلك ، باستثناء العضو الأول والأخير. دعنا نحاول طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟
عبر الآن من خلال صيغة عضو في التقدم الهندسي واستبدل التعبير الناتج في صيغتنا الأخيرة:
تجميع التعبير. يجب ان تحصل على:
كل ما تبقى هو التعبير عن:
تبعا لذلك ، في هذه الحالة.
ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل إذن؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة بشكل صحيح ، على التوالي ، ستبدو الصيغة كما يلي:
كما هو الحال مع التقدم الحسابي والهندسي ، هناك العديد من الأساطير. واحد منهم هو أسطورة سيث ، خالق الشطرنج.
يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي ، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المواقف الممكنة فيها. عندما علم أنه اخترعها أحد رعاياه ، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. اتصل بالمخترع وأمره أن يطلب منه ما يريد ، واعدًا بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.
طلب سيتا وقتًا للتفكير ، وعندما ظهر في اليوم التالي أمام الملك ، فاجأ الملك بتواضع لا مثيل له في طلبه. طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج ، وقمحًا للمربع الثاني ، والثالث ، والرابع ، وهكذا.
كان الملك غاضبًا وطرد Seth بعيدًا ، قائلاً إن طلب الخادم لا يستحق كرم الملك ، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبيباته مقابل جميع خلايا اللوحة.
والسؤال الآن هو: باستخدام صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي ، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يتلقاها Seth؟
لنبدأ بالمناقشة. نظرًا لأن سيث ، وفقًا للشرط ، طلب حبة قمح للخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، للخلية الثانية ، للخلية الثالثة ، للرابع ، إلخ ، نرى أن المشكلة تتعلق بالتقدم الهندسي. ما هو المتساوي في هذه الحالة؟
بشكل صحيح.
مجموع خلايا رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات ، يبقى فقط الاستبدال في الصيغة والحساب.
لتمثيل "مقاييس" رقم معين على الأقل تقريبًا ، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:
بالطبع ، إذا أردت ، يمكنك أن تأخذ آلة حاسبة وتحسب نوع الرقم الذي ستنتهي به ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتعين عليك أن تأخذ كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
بمعنى آخر:
كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.
فوه) إذا كنت تريد تخيل ضخامة هذا الرقم ، فعليك تقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
مع ارتفاع الحظيرة م وعرض م ، يجب أن يمتد طولها إلى كيلومتر ، أي ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.
إذا كان الملك قويًا في الرياضيات ، فيمكنه أن يعرض على العالم نفسه لعد الحبوب ، لأنه من أجل عد مليون حبة ، سيحتاج على الأقل يومًا من العد الدؤوب ، وبالنظر إلى أنه من الضروري عد الكوينتيليونات ، يجب أن تحسب الحبوب طوال حياته.
والآن سنحل مسألة بسيطة تتعلق بمجموع حدود التقدم الهندسي.
أصيب فاسيا ، طالب الصف الخامس ، بالأنفلونزا ، لكنه استمر في الذهاب إلى المدرسة. كل يوم ، يصيب فاسيا شخصين يصيبان بدوره شخصين آخرين ، وهكذا دواليك. فقط شخص واحد في الفصل. في كم يوم سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟
إذن ، أول عضو في التقدم الهندسي هو فاسيا ، أي شخص. العضو العاشر في التقدم الهندسي ، هذان الشخصان اللذان أصابهما في اليوم الأول من وصوله. المجموع الإجمالي لأعضاء التقدم يساوي عدد الطلاب 5A. وفقًا لذلك ، نحن نتحدث عن تقدم يتم فيه:
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغة لمجموع شروط التقدم الهندسي:
سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تؤمن بالصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "إصابة" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظر كيف تبدو بالنسبة لي:
احسب لنفسك عدد الأيام التي سيصاب فيها الطلاب بالأنفلونزا إذا أصاب الجميع شخصًا ما ، وكان هناك شخص في الفصل.
ما هي القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأوا يمرضون بعد يوم.
كما ترون ، فإن مثل هذه المهمة والرسم لها يشبه الهرم ، حيث "يجلب" كل شخص لاحقًا أشخاصًا جددًا. ومع ذلك ، عاجلاً أم آجلاً ، تأتي لحظة لا يستطيع فيها الأخير جذب أي شخص. في حالتنا ، إذا تخيلنا أن الفصل معزول ، فإن الشخص من يغلق السلسلة (). وبالتالي ، إذا كان شخص ما متورطًا في هرم مالي تم تقديم المال فيه إذا أحضرت مشاركين آخرين ، فلن يقوم الشخص (أو في الحالة العامة) بإحضار أي شخص ، على التوالي ، سيخسر كل ما استثمره في عملية الاحتيال المالية هذه .
كل ما قيل أعلاه يشير إلى تناقص أو زيادة التقدم الهندسي ، ولكن كما تتذكر ، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. كيف تحسب مجموع أعضائها؟ ولماذا هذا النوع من التقدم له ميزات معينة؟ دعونا نفهمها معًا.
لذا ، بالنسبة للمبتدئين ، دعونا ننظر مرة أخرى إلى هذه الصورة للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:
والآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي ، المشتقة قبل ذلك بقليل:
أو
ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح ، يوضح الرسم البياني أنه يميل إلى الصفر. أي عندما تكون متساوية تقريبًا ، على التوالي ، عند حساب التعبير ، سنحصل تقريبًا. في هذا الصدد ، نعتقد أنه عند حساب مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يمكن إهمال هذه الشريحة ، لأنها ستكون متساوية.
- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
الأهمية!لا نستخدم صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحةً على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع بلا نهايةعدد الأعضاء.
إذا تمت الإشارة إلى رقم محدد n ، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حد n ، حتى لو أو.
والآن دعونا نتدرب.
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي مع و.
- أوجد مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود باستخدام و.
أتمنى أن تكون حذرا جدا. قارن إجاباتنا:
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي ، وقد حان الوقت للانتقال من النظرية إلى الممارسة. المشاكل الأسية الأكثر شيوعًا الموجودة في الاختبار هي مشاكل الفائدة المركبة. سنتحدث عنهم.
مشاكل حساب الفائدة المركبة.
لابد أنك سمعت عن ما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ما تعنيه؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلنكتشف ذلك ، لأنك بعد أن أدركت العملية نفسها ، ستفهم على الفور ما يجب أن يفعله التقدم الهندسي بها.
نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: هذا هو المصطلح ، والصيانة الإضافية ، والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.
مع مصلحة بسيطةكل شيء واضح إلى حد ما: يتم تحصيل الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. أي ، إذا كنا نتحدث عن وضع 100 روبل سنويًا أقل من ذلك ، فسيتم تقييدها فقط في نهاية العام. وفقًا لذلك ، بحلول نهاية الإيداع ، سوف نتلقى روبل.
الفائدة المركبةهو الخيار الذي رسملة الفائدة، بمعنى آخر. إضافتهم إلى مبلغ الوديعة والحساب اللاحق للدخل ليس من المبلغ الأولي ، ولكن من المبلغ المتراكم للإيداع. لا تحدث الكتابة بالأحرف الكبيرة باستمرار ، ولكن مع بعض التواتر. كقاعدة عامة ، تكون هذه الفترات متساوية ، وغالبًا ما تستخدم البنوك شهرًا أو ربعًا أو سنة.
لنفترض أننا وضعنا كل الروبلات نفسها سنويًا ، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نحصل؟
هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن كذلك ، فلنأخذ الأمر خطوة بخطوة.
أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر ، يجب أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من روبلنا بالإضافة إلى الفائدة عليه ، أي:
أنا موافق؟
يمكننا إخراجها من القوس ثم نحصل على:
موافق ، هذه الصيغة تشبه بالفعل الصيغة التي كتبناها في البداية. يبقى التعامل مع النسب المئوية
في حالة حدوث المشكلة ، يتم إخبارنا عن السنوي. كما تعلم ، نحن لا نضرب في - نقوم بتحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية ، أي:
حق؟ الآن تسأل ، من أين أتى الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: حالة المشكلة تقول عنها سنويالفوائد المستحقة شهريا. كما تعلم ، في غضون عام من الأشهر ، على التوالي ، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:
أدرك؟ حاول الآن كتابة الشكل الذي سيبدو عليه هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة تحسب يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ دعنا نقارن النتائج:
أتقنه! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا للشهر الثاني ، مع الأخذ في الاعتبار أن الفائدة يتم خصمها على مبلغ الإيداع المتراكم.
هذا ما حدث لي:
أو بعبارة أخرى:
أعتقد أنك قد لاحظت بالفعل نمطًا ورأيت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سيساوي أعضائه ، أو بعبارة أخرى ، مقدار الأموال التي سنحصل عليها في نهاية الشهر.
صنع؟ تدقيق!
كما ترى ، إذا وضعت أموالًا في أحد البنوك لمدة عام بفائدة بسيطة ، فستتلقى روبل ، وإذا وضعتها بسعر مركب ، فستتلقى روبل. الفائدة صغيرة ، لكن هذا يحدث فقط خلال العام الثالث ، ولكن لفترة أطول ، تكون الرسملة أكثر ربحية:
ضع في اعتبارك نوعًا آخر من مشاكل الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته ، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. لذا فإن المهمة هي:
بدأت Zvezda الاستثمار في الصناعة في عام 2000 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2001 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. ما مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة Zvezda في نهاية عام 2003 ، إذا لم يتم سحب الربح من التداول؟
عاصمة شركة زفيزدا عام 2000.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2001.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2002.
- عاصمة شركة زفيزدا 2003.
أو يمكننا أن نكتب باختصار:
لحالتنا:
2000 و 2001 و 2002 و 2003.
على التوالى:
روبل
لاحظ أنه في هذه المشكلة ليس لدينا قسمة إما بواسطة أو بواسطة ، حيث يتم إعطاء النسبة المئوية سنويًا ويتم احتسابها سنويًا. أي عند قراءة مشكلة الفائدة المركبة ، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة ، وفي أي فترة يتم تحصيلها ، وبعد ذلك فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.
اكتشف - حل.
- ابحث عن مصطلح للتقدم الهندسي إذا كان معروفًا ، و
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي ، إذا كان معروفًا ذلك ، و
- بدأت MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2004 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. بدأت شركة "MSK Cash Flows" الاستثمار في الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار ، وبدأت في تحقيق ربح في عام 2006 بمبلغ. ما هو عدد الدولارات التي يفوق رأس مال شركة واحدة رأس مال شركة أخرى في نهاية عام 2007 ، إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
الإجابات:
- نظرًا لأن حالة المشكلة لا تنص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب للعثور على مجموع عدد معين من أعضائها ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة "MDM Capital":2003 ، 2004 ، 2005 ، 2006 ، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
على التوالى:
روبل
التدفقات النقدية لل MSK:2005 ، 2006 ، 2007.
- يزيد بمقدار مرات.
على التوالى:
روبل
روبل
دعونا نلخص.
1) التقدم الهندسي () هو تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر ، وكل حد يبدأ من الثاني يساوي السابق مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
2) معادلة أعضاء التدرج الهندسي -.
3) يمكن أن تأخذ أي قيمة ، باستثناء و.
- إذا ، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم لديهم نفس العلامة - هم إيجابي;
- إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة
- عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.
4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (الشروط المجاورة)
أو
، في (شروط متساوية البعد)
عندما تجده ، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتان..
علي سبيل المثال،
5) يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:
أو
أو
الأهمية!لا نستخدم الصيغة الخاصة بمجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحة على أنه من الضروري إيجاد مجموع عدد لا نهائي من المصطلحات.
6) تُحسب أيضًا مهام الفائدة المركبة وفقًا لصيغة العضو العاشر في التعاقب الهندسي ، بشرط ألا يتم سحب الأموال من التداول:
المتوالية الهندسية. باختصار حول الرئيسي
المتوالية الهندسية() هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.
مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - فهم إيجابيون ؛
- إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة ؛
- عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.
معادلة أعضاء التقدم الهندسي - .
مجموع شروط التقدم الهندسيمحسوبة بالصيغة:
أو
إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي ، فحينئذٍ:
حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.
لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!
الآن أهم شيء.
لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.
المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...
لماذا؟
لاجتياز الامتحان بنجاح ، للقبول في المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.
لن أقنعك بشيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...
الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.
لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.
الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...
لكن فكر بنفسك ...
ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟
املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.
في الامتحان لن يطلب منك النظرية.
سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.
وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.
إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.
ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!
يمكنك استخدام مهامنا (ليس بالضرورة) ونحن نوصي بها بالتأكيد.
من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.
كيف؟ هناك خياران:
- فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
- افتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل
نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.
يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.
ختاماً...
إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.
"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. تحتاج كلاهما.
البحث عن المشاكل وحلها!
يعد التقدم الهندسي ، جنبًا إلى جنب مع الحساب ، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في مقرر الجبر المدرسي في الصف التاسع. في هذه المقالة ، سننظر في مقام التقدم الهندسي وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.
تعريف التقدم الهندسي
بادئ ذي بدء ، نقدم تعريف سلسلة الأرقام هذه. التقدم الهندسي عبارة عن سلسلة من الأعداد المنطقية التي تتكون عن طريق الضرب المتتالي لعنصرها الأول في رقم ثابت يسمى المقام.
على سبيل المثال ، الأرقام في السلسلة 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ... هي تقدم هندسي ، لأننا إذا ضربنا 3 (العنصر الأول) في 2 ، فسنحصل على 6. إذا ضربنا 6 في 2 ، فسنحصل على 12 ، وهلم جرا.
عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai ، حيث يمثل i عددًا صحيحًا يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.
يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم بلغة الرياضيات على النحو التالي: a = bn-1 * a1 ، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1 ، إذن b1-1 = 1 ، ونحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2 ، فعندئذٍ = b * a1 ، ونتوصل مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام قيد الدراسة. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل لقيم n الكبيرة.
مقام التقدم الهندسي
يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستتضمنه سلسلة الأرقام بالكامل. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من واحدًا أو أصغر منه. تؤدي جميع الخيارات المذكورة أعلاه إلى تسلسلات مختلفة:
- ب> 1. هناك سلسلة متزايدة من الأرقام المنطقية. على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا ، فإن التسلسل الكامل سيزيد من modulo فقط ، لكنه ينخفض مع مراعاة علامة الأرقام.
- ب = 1. غالبًا لا تسمى مثل هذه الحالة تقدمًا ، نظرًا لوجود سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال ، -4 ، -4 ، -4.
صيغة الجمع
قبل الشروع في النظر في مشاكل محددة باستخدام مقام نوع التقدم قيد النظر ، يجب إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصرها الأولى n. الصيغة هي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في تسلسل متكرر لأعضاء التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه ، يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط لإيجاد مجموع عدد تعسفي من المصطلحات.
التسلسل المتناقص بلا حدود
أعلاه كان تفسيرا لما هو عليه. الآن ، بمعرفة صيغة Sn ، دعنا نطبقها على سلسلة الأرقام هذه. نظرًا لأن أي عدد لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة ، أي ب∞ => 0 إذا -1
نظرًا لأن الاختلاف (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا ، بغض النظر عن قيمة المقام ، فإن علامة مجموع التدرج الهندسي المتناقص بلا حدود S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال علامة العنصر الأول لها a1.
الآن سننظر في العديد من المشاكل ، حيث سنعرض كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.
رقم المهمة 1. حساب العناصر غير المعروفة للتقدم والمبلغ
بالنظر إلى التقدم الهندسي ، فإن مقام التقدم هو 2 ، والعنصر الأول هو 3. ماذا سيكون حديها السابع والعاشر ، وما مجموع عناصرها السبعة الأولية؟
حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ أعلاه. لذلك ، لحساب العنصر بالرقم n ، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1 ، باستبدال البيانات المعروفة ، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. نفعل الشيء نفسه للعضو العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.
نستخدم الصيغة المعروفة للمبلغ ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى من السلسلة. لدينا: S7 = (27-1) * 3 / (2-1) = 381.
رقم المهمة 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم
لنفترض أن -2 هو مقام التقدم الأسي bn-1 * 4 ، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ، ضمناً.
لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها بطريقتين مختلفتين. من أجل الاكتمال ، نقدم كلاهما.
الطريقة الأولى: فكرتها بسيطة: تحتاج إلى حساب الجمعين المتناظرين للمصطلحين الأول ، ثم طرح الآخر من أحدهما. احسب المجموع الأصغر: S10 = ((-2) 10-1) * 4 / (-2-1) = -1364. الآن نحسب المبلغ الكبير: S4 = ((-2) 4-1) * 4 / (-2-1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير ، تم تلخيص 4 مصطلحات فقط ، حيث تم تضمين المصطلح الخامس بالفعل في المجموع الذي يجب حسابه وفقًا لحالة المشكلة. أخيرًا ، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والحساب ، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين المصطلحين m و n للسلسلة المعنية. نحن نتصرف بنفس الطريقة تمامًا كما في الطريقة 1 ، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1-1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2-1) = -1344.
رقم المهمة 3. ما هو المقام؟
لنفترض أن a1 = 2 ، أوجد مقام التقدم الهندسي ، بشرط أن يكون مجموعها اللامتناهي 3 ، ومن المعروف أن هذه سلسلة متناقصة من الأرقام.
وفقًا لظروف المشكلة ، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. بالطبع ، لمجموع تقدم متناقص بشكل لا نهائي. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: ب \ u003d 1-2 / 3 \ u003d -1 / 3 أو -0.333 (3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعياً إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل ، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما ترى ، | -1 / 3 |
رقم المهمة 4. استعادة سلسلة من الأرقام
دعنا نعطي عنصرين من سلسلة أرقام ، على سبيل المثال ، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. من الضروري استعادة السلسلة بأكملها من هذه البيانات ، مع العلم أنها تفي بخصائص التقدم الهندسي.
لحل المشكلة ، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل عضو معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 and a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول ، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ جذر الدرجة الخامسة لنسبة الأعضاء المعروفة من حالة المشكلة ، ب = 1.148698. نعوض بالرقم الناتج في أحد التعبيرات لعنصر معروف ، نحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
وهكذا ، وجدنا ما هو مقام التقدم bn ، والتقدم الهندسي bn-1 * 17.2304966 = an ، حيث b = 1.148698.
أين يتم استخدام التعاقب الهندسي؟
إذا لم يكن هناك تطبيق لهذه السلسلة العددية في الممارسة العملية ، فسيتم تقليل دراستها إلى اهتمام نظري بحت. ولكن هناك مثل هذا التطبيق.
أشهر 3 أمثلة مذكورة أدناه:
- مفارقة زينو ، حيث لا يستطيع أخيل الرشاقة اللحاق بالسلحفاة البطيئة ، يتم حلها باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بلا حدود.
- إذا تم وضع حبات القمح على كل خلية في رقعة الشطرنج بحيث يتم وضع حبة واحدة في الخلية الأولى ، و 2 - في الثانية ، و 3 - في الثالثة ، وما إلى ذلك ، فستكون هناك حاجة إلى 18446744073709551615 حبة لملء جميع خلايا اللجنة!
- في لعبة "Tower of Hanoi" ، من أجل إعادة ترتيب الأقراص من قضيب إلى آخر ، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1 ، أي أن عددهم ينمو أضعافاً مضاعفة من عدد الأقراص n المستخدمة.
تعليمات
10, 30, 90, 270...
مطلوب للعثور على مقام التقدم الهندسي.
قرار:
1 خيار. لنأخذ عضوًا تعسفيًا من التقدم (على سبيل المثال ، 90) ونقسمه على السابق (30): 90/30 = 3.
إذا كان مجموع العديد من أعضاء التقدم الهندسي أو مجموع جميع أعضاء التقدم الهندسي المتناقص معروفًا ، فعندئذٍ للعثور على مقام التقدم ، استخدم الصيغ المناسبة:
Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q) ، حيث Sn هو مجموع المصطلحات n الأولى للتقدم الهندسي و
S = b1 / (1-q) ، حيث S هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود (مجموع كل أعضاء التقدم بمقام أقل من واحد).
مثال.
الحد الأول من التقدم الهندسي المتناقص يساوي واحدًا ، ومجموع كل حدوده يساوي اثنين.
مطلوب لتحديد مقام هذا التقدم.
قرار:
استبدل البيانات من المهمة بالصيغة. يحصل:
2 = 1 / (1-q) ، من أين - q = 1/2.
التقدم هو سلسلة من الأرقام. في التدرج الهندسي ، يتم الحصول على كل مصطلح لاحق بضرب المصطلح السابق في عدد ما q ، يسمى مقام التقدم.
تعليمات
إذا كان هناك عضوان متجاوران من الأشكال الهندسية b (n + 1) و b (n) معروفين ، من أجل الحصول على المقام ، من الضروري تقسيم الرقم الذي يحتوي على عدد كبير على الرقم الذي يسبقه: q = b (n) +1) / ب (ن). يأتي هذا من تعريف التقدم ومقامه. الشرط المهم هو أن المصطلح الأول والمقام للتقدم لا يساوي الصفر ، وإلا فإنه يعتبر غير محدد.
وبالتالي ، يتم إنشاء العلاقات التالية بين أعضاء التقدم: b2 = b1 q ، b3 = b2 q ، ... ، b (n) = b (n-1) q. بالصيغة b (n) = b1 q ^ (n-1) يمكن حساب أي عضو في التقدم الهندسي ، حيث يُعرف المقام q والعضو b1. أيضًا ، كل من وحدات التقدم تساوي متوسط أعضائها المجاورة: | ب (ن) | = √ ، ومن هنا حصل التقدم.
التناظرية للتقدم الهندسي هي أبسط دالة أسية y = a ^ x ، حيث x في الأس ، a هو رقم ما. في هذه الحالة ، يتطابق مقام التقدم مع المصطلح الأول ويساوي الرقم أ. يمكن فهم قيمة الدالة y على أنها العضو التاسع في التقدم ، إذا تم أخذ الوسيطة x كرقم طبيعي n (عداد).
خاصية أخرى مهمة للتقدم الهندسي ، والتي أعطت التقدم الهندسي
يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي ، أي أن كل حد يختلف عن السابق بمقدار q مرة. (سنفترض أن q ≠ 1 ، وإلا فإن كل شيء تافه للغاية). من السهل ملاحظة أن الصيغة العامة للعضو التاسع في التقدم الهندسي هي b n = b 1 q n - 1 ؛ تختلف الحدود مع الأعداد b n و b m باختلاف q n - m مرة.بالفعل في مصر القديمة ، لم يعرفوا الحساب فحسب ، بل عرفوا أيضًا التقدم الهندسي. هنا ، على سبيل المثال ، مهمة من بردية Rhind: "سبعة وجوه لها سبع قطط ؛ كل قطة تأكل سبعة فئران ، كل فأر يأكل سبع سنابل من الذرة ، كل أذن يمكن أن تنمو سبعة مقاييس من الشعير. ما هو حجم الأرقام في هذه السلسلة ومجموعها؟
 |
|
أرز. 1. مشكلة التقدم الهندسي المصري القديم |
تكررت هذه المهمة عدة مرات مع اختلافات مختلفة بين الشعوب الأخرى في أوقات أخرى. على سبيل المثال ، كتب في القرن الثالث عشر. يوجد في "كتاب العداد" لليوناردو بيزا (فيبوناتشي) مشكلة تظهر فيها سبع نساء كبيرات السن في طريقهن إلى روما (من الواضح أن الحجاج) ، كل واحدة بها 7 بغال ، كل منها بها 7 أكياس ، كل منها يحتوي على 7 أرغفة ، كل منها به 7 سكاكين ، كل منها في 7 أغماد. تسأل المشكلة كم عدد العناصر الموجودة.
مجموع أول ن أعضاء للتقدم الهندسي S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). يمكن إثبات هذه الصيغة ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: S n \ u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
دعنا نضيف الرقم b 1 q n إلى S n ونحصل على:
|
ومن ثم ، S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ، ونحصل على الصيغة اللازمة.
بالفعل على أحد الألواح الطينية لبابل القديمة ، التي يعود تاريخها إلى القرن السادس. قبل الميلاد على سبيل المثال ، يحتوي على المجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. صحيح ، كما هو الحال في عدد من الحالات الأخرى ، لا نعرف أين كانت هذه الحقيقة معروفة للبابليين .
يستخدم النمو السريع للتقدم الهندسي في عدد من الثقافات ، على وجه الخصوص ، في الهند ، مرارًا وتكرارًا كرمز مرئي لعظمة الكون. في الأسطورة المعروفة عن ظهور الشطرنج ، يمنح الحاكم مخترعه الفرصة لاختيار مكافأة بنفسه ، ويسأل عن عدد من حبوب القمح التي سيتم الحصول عليها إذا تم وضع أحدهم على الخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، اثنان في الثاني ، أربعة في الثالث ، ثمانية في الرابع ، وما إلى ذلك ، في كل مرة يتم مضاعفة الرقم. اعتقد فلاديكا أنها كانت ، على الأكثر ، مجرد أكياس قليلة ، لكنه أخطأ في الحسابات. من السهل ملاحظة أنه بالنسبة لجميع المربعات الـ 64 من رقعة الشطرنج ، كان من المفترض أن يكون المخترع قد تلقى (2 64-1) حبة ، والتي يتم التعبير عنها كرقم مكون من 20 رقمًا ؛ حتى لو تم زرع سطح الأرض بالكامل ، فسيستغرق الأمر 8 سنوات على الأقل لجمع العدد المطلوب من الحبوب. يتم تفسير هذه الأسطورة أحيانًا على أنها إشارة إلى الاحتمالات غير المحدودة تقريبًا المخبأة في لعبة الشطرنج.
من السهل رؤية حقيقة أن هذا الرقم يتكون بالفعل من 20 رقمًا:
2 64 \ u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \ u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \ u003d 1.6 10 19 (حساب أكثر دقة يعطي 1.84 10 19). لكني أتساءل عما إذا كان بإمكانك معرفة الرقم الذي ينتهي به هذا الرقم؟
يتزايد التقدم الهندسي إذا كان المقام أكبر من 1 في القيمة المطلقة ، أو يتناقص إذا كان أقل من واحد. في الحالة الأخيرة ، يمكن أن يصبح الرقم q n صغيرًا بشكل تعسفي لـ n كبير بدرجة كافية. بينما يزيد الأسي المتزايد بسرعة غير متوقعة ، يتناقص الأسي المتناقص بنفس السرعة.
أكبر n ، أضعف الرقم q n يختلف عن الصفر ، وكلما اقترب مجموع n من أعضاء التقدم الهندسي S n \ u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) إلى الرقم S \ u003d b 1 / (1 - ف). (مسبب لذلك ، على سبيل المثال ، F. Viet). الرقم S يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. ومع ذلك ، لقرون عديدة ، لم يكن السؤال عن معنى مجموع كل التقدم الهندسي ، مع عدد لا حصر له من المصطلحات ، واضحًا بما يكفي لعلماء الرياضيات.
يمكن ملاحظة التقدم الهندسي المتناقص ، على سبيل المثال ، في أبورياس زينو "العض" و "أخيل والسلحفاة". في الحالة الأولى ، من الواضح أن الطريق بأكملها (بافتراض الطول 1) هي مجموع عدد لا حصر له من الأجزاء 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، إلخ. هذا ، بالطبع ، هو كيف هو من وجهة نظر الأفكار حول التقدم الهندسي المحدود اللانهائي. ومع ذلك - كيف يمكن أن يكون هذا؟
|
أرز. 2. التقدم بمعامل 1/2 |
في aporia حول Achilles ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لأن قاسم التقدم هنا لا يساوي 1/2 ، ولكن لبعض الأرقام الأخرى. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن أخيل يجري بسرعة v ، والسلحفاة تتحرك بسرعة u ، والمسافة الأولية بينهما هي l. سيجري أخيل هذه المسافة في الوقت l / v ، وستتحرك السلحفاة لمسافة lu / v خلال هذا الوقت. عندما يمر أخيل خلال هذا الجزء ، ستصبح المسافة بينه وبين السلحفاة مساوية لـ l (u / v) 2 ، وما إلى ذلك. واتضح أن اللحاق بالسلحفاة يعني إيجاد مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مع الأول المصطلح l والمقام u / v. هذا المجموع - الجزء الذي سيديره أخيل في النهاية إلى نقطة الالتقاء بالسلحفاة - يساوي l / (1 - u / v) \ u003d lv / (v - u). لكن ، مرة أخرى ، كيف يجب تفسير هذه النتيجة ولماذا يكون لها أي معنى على الإطلاق ، لم يكن واضحًا للغاية لفترة طويلة.
|
أرز. 3. التدرج الهندسي بمعامل 2/3 |
استخدم أرخميدس مجموع التقدم الهندسي عند تحديد مساحة قطعة من القطع المكافئ. دع الجزء المحدد من القطع المكافئ يتم تحديده بواسطة الوتر AB ودع المماس عند النقطة D من القطع المكافئ يكون موازيًا لـ AB. لنفترض أن C هي نقطة منتصف AB ، و E نقطة منتصف AC ، و F نقطة منتصف CB. ارسم خطوطًا موازية للتيار المستمر من خلال النقاط A و E و F و B ؛ دع المماس مرسومًا عند النقطة D ، تتقاطع هذه الخطوط عند النقاط K ، L ، M ، N. لنرسم أيضًا المقاطع AD و DB. دع الخط EL يتقاطع مع الخط AD عند النقطة G ، والقطع المكافئ عند النقطة H ؛ يتقاطع الخط FM مع الخط DB عند النقطة Q ، والخط المكافئ عند النقطة R. وفقًا للنظرية العامة للمقاطع المخروطية ، فإن DC هو قطر القطع المكافئ (أي قطعة موازية لمحورها) ؛ يمكن أن يكون هو والماس عند النقطة D بمثابة محاور إحداثيات x و y ، حيث يتم كتابة معادلة القطع المكافئ y 2 \ u003d 2px (x هي المسافة من D إلى أي نقطة من قطر معين ، y هو طول a مقطع موازٍ لظل معين من نقطة القطر هذه إلى نقطة ما على القطع المكافئ نفسه).
بحكم معادلة القطع المكافئ ، DL 2 = 2 ∙ p LH ، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ، وبما أن DK = 2DL ، ثم KA = 4LH. منذ KA = 2LG ، LH = HG. مساحة المقطع ADB للقطع المكافئ تساوي مساحة المثلث ΔADB ومناطق المقطعين AHD و DRB مجتمعين. في المقابل ، مساحة مقطع AHD تساوي بالمثل مساحة المثلث AHD والأجزاء المتبقية AH و HD ، مع كل منهما يمكن إجراء نفس العملية - مقسمة إلى مثلث (Δ) و الجزءان المتبقيان () ، إلخ:
مساحة المثلث ΔAHD تساوي نصف مساحة المثلث ΔALD (لديهم قاعدة مشتركة AD ، والارتفاعات تختلف بمقدار مرتين) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المثلث ΔAKD ، وبالتالي نصف مساحة المثلث ΔACD. وبالتالي ، فإن مساحة المثلث ΔAHD تساوي ربع مساحة المثلث ΔACD. وبالمثل ، فإن مساحة المثلث ΔDRB تساوي ربع مساحة المثلث ΔDFB. إذن ، مساحة المثلثات ∆AHD و ∆DRB ، مجتمعة ، تساوي ربع مساحة المثلث ∆ADB. سيؤدي تكرار هذه العملية كما هو مطبق على المقاطع AH و HD و DR و RB إلى تحديد مثلثات منها ، حيث ستكون مساحتها ، مجتمعة ، أقل 4 مرات من مساحة المثلثات ΔAHD و ΔDRB ، مجتمعة ، وبالتالي تقل 16 مرة عن مساحة المثلث ADB. إلخ:
وهكذا ، أثبت أرخميدس أن "كل جزء محاط بين خط مستقيم ومقطع مكافئ هو أربعة ثلث مثلث ، له نفس القاعدة والارتفاع المتساوي."
المتتاليات العددية VI
§ ل 48. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي
حتى الآن ، عند الحديث عن المبالغ ، افترضنا دائمًا أن عدد المصطلحات في هذه المبالغ محدود (على سبيل المثال ، 2 ، 15 ، 1000 ، إلخ). ولكن عند حل بعض المشكلات (خاصة الرياضيات العليا) ، يتعين على المرء التعامل مع مبالغ عدد لا حصر له من المصطلحات
S = أ 1 + أ 2 + ... + أ ن + ... . (1)
ما هي هذه المبالغ؟ الدير مجموع عدد لا حصر له من المصطلحات أ 1 , أ 2 , ..., أ ن ، ... يسمى حد المجموع S. ن أول ص الأرقام متى ص -> ∞ :
S = S. ن = (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن ). (2)
بالطبع ، قد يكون الحد (2) موجودًا وقد لا يكون موجودًا. وفقًا لذلك ، يُقال أن المجموع (1) موجود أو غير موجود.
كيف تعرف ما إذا كان المجموع (1) موجودًا في كل حالة على حدة؟ يتجاوز الحل العام لهذا السؤال نطاق برنامجنا. ومع ذلك ، هناك حالة خاصة واحدة مهمة يتعين علينا النظر فيها الآن. سنتحدث عن مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
اسمحوا ان أ 1 , أ 1 ف , أ 1 ف 2 ، ... هو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. هذا يعني أن | ف |< 1. Сумма первых ص أعضاء هذا التقدم يساوي
من النظريات الأساسية حول حدود المتغيرات (انظر الفقرة 136) نحصل على:
لكن 1 = 1 ، أ ف ن = 0. لذلك
إذن ، مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود يساوي الحد الأول من هذا التقدم مقسومًا على واحد ناقص مقام هذا التقدم.
1) مجموع التقدم الهندسي 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ... هو
ومجموع التقدم الهندسي هو 12 ؛ -6 ؛ 3 ؛ - 3/2 ، ... يساوي
2) كسر دوري بسيط 0.454545 ... يتحول إلى كسر عادي.
لحل هذه المشكلة ، نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:
الجانب الأيمن من هذه المساواة هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، المصطلح الأول منه هو 45/100 والمقام 1/100. لذا
بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية البسيطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38):
لتحويل كسر دوري بسيط إلى كسر عادي ، تحتاج إلى المضي قدمًا على النحو التالي: ضع فترة الكسر العشري في البسط ، وفي المقام - عدد يتكون من تسع مرات مأخوذ من عدد من الأرقام في الفترة من الكسر العشري.
3) الكسر الدوري المختلط 0.58333 .... يتحول إلى كسر عادي.
دعنا نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:
على الجانب الأيمن من هذه المساواة ، تشكل جميع المصطلحات ، بدءًا من 3/1000 ، تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، الحد الأول منه هو 3/1000 ، والمقام هو 1/10. لذا
بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية المختلطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38). نحن عمدا لا ندرجها هنا. ليست هناك حاجة لحفظ هذه القاعدة المرهقة. من المفيد أكثر معرفة أن أي كسر دوري مختلط يمكن تمثيله كمجموع للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي وبعض الأرقام. والصيغة
لمجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يجب على المرء ، بالطبع ، أن يتذكر.
كتدريب ، ندعوك ، بالإضافة إلى المشاكل رقم 995-1000 أدناه ، للعودة مرة أخرى إلى المشكلة رقم 301 § 38.
تمارين
995. ما يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود؟
996- أوجد مبالغ للتعاقب الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:
997. لما القيم X تقدم
يتناقص بلا حدود؟ ابحث عن مجموع مثل هذا التقدم.
998. في مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع أ يتم تسجيل مثلث جديد عن طريق توصيل نقاط المنتصف من جوانبه ؛ يتم كتابة مثلث جديد في هذا المثلث بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية.
أ) مجموع محيط كل هذه المثلثات ؛
ب) مجموع مناطقهم.
999. في مربع مع ضلع أ مربع جديد منقوش عن طريق ربط نقاط المنتصف من جوانبه ؛ مربع مكتوب في هذا المربع بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية. أوجد مجموع محيط كل هذه المربعات ومجموع مساحتها.
1000. قم بعمل تسلسل هندسي متناقص بشكل لا نهائي ، بحيث يكون مجموعها 25/4 ، ومجموع مربعات حدودها يساوي 625/24.