عند دراسة الجبر في مدرسة ثانوية (الصف 9) ، فإن أحد الموضوعات المهمة هو دراسة التسلسلات العددية ، والتي تشمل التعاقب - الهندسي والحساب. في هذه المقالة ، سننظر في التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم هذا ، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم قيد النظر ، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

من المعروف أنه في بعض التدرجات الجبرية ، فإن الحد الأول يساوي 6 ، والحد السابع يساوي 18. من الضروري إيجاد الفرق وإعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعنا نستخدم الصيغة لتحديد المصطلح غير المعروف: a n = (n - 1) * d + a 1. نستبدل البيانات المعروفة من الشرط فيها ، أي الأرقام أ 1 و 7 ، لدينا: 18 \ u003d 6 + 6 * د. من هذا التعبير ، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18-6) / 6 = 2. وبالتالي ، تمت الإجابة على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل للعضو السابع ، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري ، أي أ 2 = أ 1 + د ، أ 3 = أ 2 + د ، وهكذا. نتيجة لذلك ، نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6 ، أ 2 = 6 + 2 = 8 ، أ 3 = 8 + 2 = 10 ، أ 4 = 10 + 2 = 12 ، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

المثال رقم 3: إحراز تقدم

دعونا نعقد حالة المشكلة أكثر. أنت الآن بحاجة للإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد التقدم الحسابي. يمكننا أن نعطي المثال التالي: يتم إعطاء رقمين ، على سبيل المثال ، 4 و 5. من الضروري إجراء تقدم جبري بحيث تتناسب ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة ، من الضروري فهم المكان الذي ستشغله الأرقام المعينة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما ، فسيكون هناك 1 \ u003d -4 و 5 \ u003d 5. بعد إثبات ذلك ، ننتقل إلى مهمة مشابهة لتلك السابقة. مرة أخرى ، بالنسبة للمصطلح n ، نستخدم الصيغة ، نحصل على: a 5 \ u003d a 1 + 4 * d. من: د \ u003d (أ 5 - أ 1) / 4 \ u003d (5 - (-4)) / 4 \ u003d 2.25. هنا ، الاختلاف ليس قيمة عدد صحيح ، ولكنه رقم منطقي ، لذلك تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعنا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الأعضاء المفقودين من التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4 ، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75 ، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5 ، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75 ، أ 5 \ u003d 2.75 + 2.25 \ u003d 5 ، التي تزامنت مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: العضو الأول في التقدم

نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المشاكل السابقة ، كان الرقم الأول للتقدم الجبري معروفًا. فكر الآن في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين ، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري أن نجد من أي رقم يبدأ هذا التسلسل.

الصيغ التي تم استخدامها حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في حالة المشكلة. ومع ذلك ، دعنا نكتب التعبيرات لكل حد لدينا معلومات عنه: أ 15 = أ 1 + 14 * د و 43 = أ 1 + 42 * د. حصلنا على معادلتين فيهما كميتين غير معروفين (أ 1 ود). هذا يعني أن المشكلة تختصر في حل نظام المعادلات الخطية.

يسهل حل النظام المحدد إذا عبرت عن 1 في كل معادلة ، ثم قارنت التعابير الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15-14 * د = 50-14 * د ؛ المعادلة الثانية: أ 1 \ u003d أ 43-42 * د \ u003d 37-42 * د. معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على: 50 - 14 * د \ u003d 37-42 * د ، ومن هنا الفرق د \ u003d (37-50) / (42-14) \ u003d - 0.464 (تم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

بمعرفة d ، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ 1. على سبيل المثال ، أولاً: أ 1 \ u003d 50-14 * د \ u003d 50-14 * (- 0.464) \ u003d 56.496.

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة ، فيمكنك التحقق منها ، على سبيل المثال ، تحديد العضو 43 من التقدم المحدد في الشرط. نحصل على: a 43 \ u003d a 1 + 42 * d \ u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \ u003d 37.008. يرجع الخطأ الصغير إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى جزء من الألف في الحسابات.

المثال الخامس: المجموع

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة ذات الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دع التقدم العددي للشكل التالي يعطى: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر ، يمكن حل هذه المشكلة ، أي جمع جميع الأرقام بالتسلسل ، وهو ما سيفعله الكمبيوتر بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك ، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المقدمة هي تقدم جبري ، وفرقها هو 1. بتطبيق صيغة الجمع ، نحصل على: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

من الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "Gaussian" ، لأنه في بداية القرن الثامن عشر ، تمكن الألماني الشهير ، الذي كان لا يزال يبلغ من العمر 10 سنوات فقط ، من حلها في ذهنه في بضع ثوانٍ. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع التقدم الجبري ، لكنه لاحظ أنه إذا أضفت أزواجًا من الأرقام الموجودة عند أطراف المتسلسلة ، فستحصل دائمًا على نفس النتيجة ، أي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ، وبما أن هذه المبالغ ستكون بالضبط 50 (100/2) ، إذن للحصول على الإجابة الصحيحة ، يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع المصطلحات من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، تحتاج إلى إيجاد مجموع شروطه من 8 إلى 14.

تم حل المشكلة بطريقتين. يتضمن أولهما إيجاد حدود غير معروفة من 8 إلى 14 ، ثم تلخيصها بالتتابع. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات ، فإن هذه الطريقة ليست مرهقة بدرجة كافية. ومع ذلك ، يُقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية ، وهي أكثر عالمية.

الفكرة هي الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين المصطلحين m و n ، حيث n> m هي أعداد صحيحة. في كلتا الحالتين ، نكتب تعبيرين للمجمع:

1. S م \ u003d م * (أ م + أ 1) / 2.
2. S n \ u003d n * (a n + a 1) / 2.

بما أن n> m ، فمن الواضح أن مجموع 2 يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المبالغ ، وأضفنا المصطلح a m إليها (في حالة أخذ الفرق ، يتم طرحه من مجموع S n) ، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn \ u003d S n - S m + a m \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \ u003d a 1 * (n - m) / 2 + أ ن * ن / 2 + أ م * (1- م / 2). من الضروري استبدال الصيغتين a n و a m في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2-2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما ، ومع ذلك ، فإن مجموع S mn يعتمد فقط على n و m و a 1 و d. في حالتنا ، a 1 = 3 ، d = 4 ، n = 14 ، m = 8. بالتعويض عن هذه الأرقام ، نحصل على: S mn = 301.

كما يتضح من الحلول المذكورة أعلاه ، تستند جميع المشكلات إلى معرفة التعبير عن المصطلح n ومعادلة مجموع مجموعة المصطلحات الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات ، يوصى بقراءة الحالة بعناية ، وفهم ما تريد البحث عنه بوضوح ، وبعد ذلك فقط المضي قدمًا في الحل.

نصيحة أخرى هي أن تسعى جاهدًا إلى البساطة ، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على السؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة ، فأنت بحاجة إلى فعل ذلك بالضبط ، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال ، في مثال التقدم الحسابي مع الحل رقم 6 ، يمكن للمرء أن يتوقف عند الصيغة S mn \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ، وقم بتقسيم المهمة العامة إلى مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة ، أوجد أولاً المصطلحين a n و a m).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها ، فمن المستحسن التحقق منها ، كما حدث في بعض الأمثلة المقدمة. كيف تجد التقدم الحسابي ، اكتشف. بمجرد اكتشاف ذلك ، لن يكون الأمر بهذه الصعوبة.

يتعامل شخص ما مع كلمة "التقدم" بحذر ، كمصطلح معقد جدًا من أقسام الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه ، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزالون). ولفهم جوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "فهم الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب ، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل رقمي رياضي

من المعتاد استدعاء التسلسل الرقمي لسلسلة من الأرقام ، لكل منها رقمه الخاص.

و 1 هو العضو الأول في التسلسل ؛

و 2 هو العضو الثاني في التسلسل ؛

و 7 هو العضو السابع في التسلسل.

و n هو العضو التاسع في التسلسل ؛

ومع ذلك ، لا تهمنا أي مجموعة من الأرقام والأرقام التعسفية. سنركز اهتمامنا على التسلسل العددي الذي ترتبط فيه قيمة العضو رقم n برقمه الترتيبي من خلال تبعية يمكن صياغتها بشكل واضح رياضيًا. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي بعض وظائف n.

أ - قيمة عضو في التسلسل العددي ؛

n هو رقمه التسلسلي ؛

f (n) هي دالة حيث يكون الترتيب الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادة ما يسمى التقدم الحسابي بالتسلسل العددي الذي يكون فيه كل مصطلح لاحق أكبر (أقل) من السابق بنفس الرقم. صيغة العضو التاسع في المتوالية الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الحسابي ؛

أ ن + 1 - صيغة الرقم التالي ؛

د - فرق (رقم معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d> 0) ، فسيكون كل عضو لاحق في السلسلة قيد الدراسة أكبر من السابق ، وسيزداد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه ، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "زيادة".

في الحالات التي يكون فيها الاختلاف سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحدد

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة بعض المصطلحات التعسفية أ ن للتقدم الحسابي. يمكنك القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء التقدم الحسابي على التوالي ، من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك ، فهذه الطريقة ليست مقبولة دائمًا إذا كان من الضروري ، على سبيل المثال ، إيجاد قيمة المصطلح خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سيستغرق الحساب التقليدي وقتًا طويلاً. ومع ذلك ، يمكن التحقيق في تقدم حسابي معين باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للمصطلح التاسع: يمكن تحديد قيمة أي عضو في التقدم الحسابي كمجموع للعضو الأول في التقدم مع اختلاف التقدم ، مضروبًا في عدد العضو المطلوب ، ناقص واحد .

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال على حساب قيمة عضو معين

لنحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة العضو رقم n للتقدم الحسابي.

الشرط: هناك تقدم حسابي مع المعلمات:

أول عضو في التسلسل هو 3 ؛

الفرق في سلسلة الأعداد هو 1.2.

المهمة: من الضروري إيجاد قيمة 214 حدًا

الحل: لتحديد قيمة عضو معين ، نستخدم الصيغة:

أ (ن) = أ 1 + د (ن -1)

استبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير ، لدينا:

أ (214) = أ 1 + د (ن -1)

أ (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الجواب: العضو 214 في التسلسل يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - لا يتطلب الحل بأكمله أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من الأعضاء

في كثير من الأحيان ، في سلسلة حسابية معينة ، يلزم تحديد مجموع قيم بعض مقاطعها. كما أنه لا يحتاج إلى حساب قيم كل مصطلح ثم تلخيصها. هذه الطريقة قابلة للتطبيق إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. في حالات أخرى ، يكون استخدام الصيغة التالية أكثر ملاءمة.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي من 1 إلى n يساوي مجموع العضوين الأول والثاني ، مضروبًا في رقم العضو n ومقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة العضو n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة ، نحصل على:

مثال على الحساب

على سبيل المثال ، لنحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من التسلسل هو صفر ؛

الفرق 0.5.

في المشكلة ، يلزم تحديد مجموع شروط السلسلة من 56 إلى 101.

المحلول. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مجموع التقدم:

ق (ن) = (2 ∙ a1 + د ∙ (ن -1)) ∙ ن / 2

أولاً ، نحدد مجموع قيم 101 عضو في التقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2 0 + 0.5 (101-1)) ∙ 101/2 = 2525

من الواضح ، من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101 ، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2 0 + 0.5 (55-1)) 55/2 = 742.5

إذن ، مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 \ u003d 2525 - 742.5 \ u003d 1،782.5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال ، دعنا نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - مقياس التاكسي (عداد سيارة الأجرة). لنفكر في مثل هذا المثال.

ركوب سيارة أجرة (التي تشمل 3 كم) يكلف 50 روبل. يدفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعنا نتجاهل أول 3 كيلومترات ، سعرها مشمول في تكلفة الهبوط.

30-3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو هو عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منه الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هي المجموع.

سيساوي المصطلح الأول في هذه المشكلة 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

العدد الذي يهمنا - قيمة العضو (27 + 1) من التقدم الحسابي - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر 27 - 27.999 ... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28-1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على الصيغ التي تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك ، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام السلاسل العددية المختلفة بنجاح في الإحصاء وفروع الرياضيات التطبيقية الأخرى.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدل تغير كبير مقارنة بالمعدل الحسابي. ليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب ، في كثير من الأحيان ، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة ، على سبيل المثال ، مرض أثناء الوباء ، يقولون إن العملية تتطور بشكل كبير.

يختلف العضو N من سلسلة الأرقام الهندسية عن العنصر السابق في أنه مضروب في عدد ثابت - المقام ، على سبيل المثال ، العضو الأول هو 1 ، والمقام هو 2 ، على التوالي ، ثم:

ن = 1: 1 ∙ 2 = 2

ن = 2: 2 ∙ 2 = 4

ن = 3: 4 ∙ 2 = 8

ن = 4: 8 ∙ 2 = 16

ن = 5:16 ∙ 2 = 32 ،

ب ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الهندسي ؛

ب ن + 1 - صيغة العضو التالي في التقدم الهندسي ؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم ، فإن الرسم البياني الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما في حالة الحساب ، فإن للتقدم الهندسي صيغة لقيمة العضو التعسفي. أي حد من الرتبة n من التقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب المصطلح الأول ومقام التقدم إلى الأس n مخفضًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي مع الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. أوجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 \ u003d ب 1 ∙ س (5-1) \ u003d 3 ∙ 1.5 4 \ u003d 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من الأعضاء باستخدام صيغة خاصة. يساوي مجموع أول n من أعضاء التقدم الهندسي الفرق بين ناتج العضو التاسع في التقدم ومقامه والعضو الأول في التقدم ، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه ، فستأخذ قيمة مجموع n أول أعضاء من سلسلة الأرقام المدروسة الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالمصطلح الأول الذي يساوي 1. والمقام يساوي 3. لنجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

ق 8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3280

مفهوم التسلسل العددي يعني أن كل رقم طبيعي يتوافق مع بعض القيمة الحقيقية. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام عشوائية ولها خصائص معينة - تسلسل. في الحالة الأخيرة ، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق من التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها أعضائها المتجاورين عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة ، بدءًا من الثانية ، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين العضو السابق واللاحق - ثابت ويسمى اختلاف التقدم.

فرق التقدم: التعريف

ضع في اعتبارك تسلسلًا يتكون من قيم j A = a (1) ، a (2) ، a (3) ، a (4) ... a (j) ، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. وفقًا لتعريفه ، هو تسلسل ، حيث أ (3) - أ (2) = أ (4) - أ (3) = أ (5) - أ (4) = ... = أ (ي) - أ (ي -1) = د. قيمة d هي الفرق المطلوب من هذا التقدم.

د = أ (ي) - أ (ي -1).

تخصيص:

• تقدم متزايد ، في هذه الحالة d> 0. مثال: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، ...
• تناقص التقدم ، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

اختلاف التقدم وعناصره التعسفية

إذا تم معرفة عضوين تعسفيين من التقدم (i-th ، k-th) ، فيمكن عندئذٍ تحديد الفرق في هذا التسلسل بناءً على العلاقة:

أ (ط) = أ (ك) + (أنا - ك) * د ، لذلك د = (أ (أنا) - أ (ك)) / (أنا - ك).

فارق التدرج وفترته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد القيمة غير المعروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعها

مجموع التقدم هو مجموع أعضائها. لحساب القيمة الإجمالية لعناصرها الأولى j ، استخدم الصيغة المقابلة:

S (j) = ((a (1) + a (j)) / 2) * j ، لكن منذ ذلك الحين أ (ي) = أ (1) + د (ي - 1) ، ثم S (ي) = ((أ (1) + أ (1) + د (ي - 1)) / 2) * ي = (( 2 أ (1) + د (- 1)) / 2) * ي.

آلة حاسبة على الانترنت.
حل التقدم الحسابي.
معطى: أ ن ، د ، ن
البحث: أ 1

يبحث برنامج الرياضيات هذا عن \ (a_1 \) التقدم الحسابي بناءً على الأرقام المحددة من قبل المستخدم \ (a_n ، d \) و \ (n \).
يمكن تحديد الأرقام \ (a_n \) و \ (d \) ليس فقط كأعداد صحيحة ، ولكن أيضًا ككسور. علاوة على ذلك ، يمكن إدخال رقم كسري ككسر عشري (\ (2.5 \)) وككسر عادي (\ (- 5 \ frac (2) (7) \)).

لا يعطي البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية إيجاد حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية في التحضير للاختبارات والامتحانات ، وعند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحد ، وللآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام ، فننصحك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام

يمكن تحديد الأرقام \ (a_n \) و \ (d \) ليس فقط كأعداد صحيحة ، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن أن يكون الرقم \ (n \) عددًا صحيحًا موجبًا فقط.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
إدخال:
النتيجة: \ (- \ frac (2) (3) \)

يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
إدخال:
النتيجة: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)

وجد أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

تسلسل رقمي

في الممارسة اليومية ، غالبًا ما يستخدم ترقيم العناصر المختلفة للإشارة إلى الترتيب الذي توجد به. على سبيل المثال ، المنازل في كل شارع مرقمة. في المكتبة ، يتم ترقيم اشتراكات القارئ ثم ترتيبها حسب الأرقام المخصصة في خزائن الملفات الخاصة.

في بنك التوفير ، من خلال رقم الحساب الشخصي للمودع ، يمكنك بسهولة العثور على هذا الحساب ومعرفة نوع الإيداع لديه. يجب أن يكون هناك وديعة بقيمة 1 روبل في الحساب رقم 1 ، وديعة بقيمة 2 روبل في الحساب رقم 2 ، إلخ. اتضح التسلسل العددي
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن
حيث N هو عدد جميع الحسابات. هنا ، يتم تعيين رقم n لكل رقم طبيعي n من 1 إلى N.

الرياضيات أيضا تدرس تسلسل عدد لانهائي:
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن ، ....
الرقم 1 يسمى أول عضو في التسلسل، رقم أ 2 - العضو الثاني في التسلسل، رقم أ 3 - العضو الثالث في التسلسلإلخ.
الرقم n يسمى nth (nth) عضو في التسلسل، والعدد الطبيعي n هو رقم.

على سبيل المثال ، في تسلسل مربعات الأعداد الطبيعية 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، ... ، ن 2 ، (ن + 1) 2 ، ... و 1 = 1 هو العضو الأول في المتسلسلة ؛ و n = n 2 هو العضو التاسع في التسلسل ؛ a n + 1 = (n + 1) 2 هو العضو (n + 1) th (en بالإضافة إلى الأول) في التسلسل. في كثير من الأحيان يمكن تحديد التسلسل بواسطة صيغة العضو التاسع. على سبيل المثال ، تعطي الصيغة \ (a_n = \ frac (1) (n)، \؛ n \ in \ mathbb (N) \) التسلسل \ (1، \؛ \ frac (1) (2)، \؛ \ frac (1) (3) ، \ ؛ \ frac (1) (4) ، \ النقاط ، \ frac (1) (n) ، \ النقاط \)

المتوالية العددية

يبلغ طول العام 365 يومًا تقريبًا. القيمة الأكثر دقة هي \ (365 \ frac (1) (4) \) يوم ، لذلك كل أربع سنوات يتراكم خطأ ليوم واحد.

لحساب هذا الخطأ ، تتم إضافة يوم إلى كل سنة رابعة ، وتسمى السنة الممدودة بالسنة الكبيسة.

على سبيل المثال ، في الألفية الثالثة ، السنوات الكبيسة هي 2004 ، 2008 ، 2012 ، 2016 ، ....

في هذا التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العضو السابق ، مضافًا بنفس الرقم 4. تسمى هذه التسلسلات التعاقب الحسابي.

تعريف.
التسلسل العددي a 1 ، a 2 ، a 3 ، ... ، a n ، ... يسمى المتوالية العددية، إذا كان لجميع المساواة ن الطبيعية
\ (أ_ (ن + 1) = أ_n + د ، \)
حيث d هو رقم ما.

يتبع من هذه الصيغة أن أ ن + 1 - أ ن = د. الرقم د يسمى الفرق المتوالية العددية.

من خلال تعريف التقدم الحسابي ، لدينا:
\ (أ_ (n + 1) = أ_n + د ، \ رباعي أ_ (ن -1) = أ_ن-د ، \)
أين
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \) ، حيث \ (n> 1 \)

وبالتالي ، فإن كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للعضوين المجاورين له. هذا ما يفسر اسم التقدم "الحسابي".

لاحظ أنه إذا تم إعطاء 1 و d ، فيمكن حساب المصطلحات المتبقية للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة العودية a n + 1 = a n + d. بهذه الطريقة ، ليس من الصعب حساب المصطلحات القليلة الأولى للتقدم ، ومع ذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة لـ 100 ، ستكون هناك حاجة إلى الكثير من العمليات الحسابية بالفعل. عادة ، يتم استخدام صيغة المصطلح n لهذا الغرض. حسب تعريف التقدم الحسابي
\ (أ_2 = أ_1 + د ، \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d، \)
\ (a_4 = a_3 + د = a_1 + 3d \)
إلخ.
عمومًا،
\ (a_n = a_1 + (n-1) د ، \)
نظرًا لأن العضو التاسع في التقدم الحسابي يتم الحصول عليه من العضو الأول بإضافة (n-1) مضروبًا في الرقم d.
هذه الصيغة تسمى صيغة العضو التاسع في التقدم الحسابي.

مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي

لنجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100.
نكتب هذا المجموع بطريقتين:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100 ،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
نضيف هذه المساواة مصطلحًا بمصطلح:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
هناك 100 حد في هذا المجموع.
لذلك ، 2S = 101 * 100 ، حيث S = 101 * 50 = 5050.

فكر الآن في تقدم حسابي تعسفي
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن ، ...
لنفترض أن S n هي مجموع أول n من هذا التقدم:
S n \ u003d a 1، a 2، a 3، ...، a n
ثم مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي هو
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

منذ \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ، ثم استبدال n في هذه الصيغة ، نحصل على صيغة أخرى للبحث مجاميع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) د) (2) \)

مشاكل التقدم الحسابي موجودة منذ العصور القديمة. ظهروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك ، في إحدى البرديات الخاصة بمصر القديمة ، والتي تحتوي على محتوى رياضي - بردية Rhind (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة مقاييس من الخبز إلى عشرة أشخاص ، بشرط أن يكون الفرق بين كل منها واحدًا. ثمن القياس.

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء ، توجد نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. لذلك ، صاغ Hypsicles of Alexandria (القرن الثاني ، الذي جمع العديد من المشكلات الشيقة وأضف الكتاب الرابع عشر إلى "Elements" لإقليدس ، الفكرة التالية: "في التقدم الحسابي مع عدد زوجي من الأعضاء ، مجموع أعضاء النصف الثاني أكبر من مجموع أعضاء الأول من قبل أعضاء المربع 1/2.

يتم الإشارة إلى التسلسل. تسمى أرقام التسلسل أعضائها ويتم الإشارة إليها عادةً بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1 ، a2 ، a3 ... تقرأ: "a 1st" ، "a 2nd" ، "a 3rd "وما إلى ذلك).

يمكن أن يكون التسلسل غير محدود أو محدود.

ما هو التقدم الحسابي؟ يُفهم أنه تم الحصول عليه عن طريق إضافة المصطلح السابق (n) بنفس الرقم d ، وهو اختلاف التقدم.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ، إذن يعتبر هذا التقدم آخذ في الازدياد.

يقال إن التقدم الحسابي محدود إذا تم أخذ عدد قليل من مصطلحاته الأولى في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء ، يعد هذا بالفعل تقدمًا لا نهائيًا.

يتم إعطاء أي تقدم حسابي بالمعادلة التالية:

an = kn + b ، بينما b و k بعض الأرقام.

العبارة ، التي هي عكس ذلك ، صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة مماثلة ، فهذا بالضبط تقدم حسابي ، له الخصائص:

1. كل عضو في التقدم هو المتوسط ​​الحسابي للعضو السابق والعضو التالي.
2. العكس: إذا كان كل مصطلح ، بدءًا من المصطلح الثاني ، هو المتوسط ​​الحسابي للمصطلح السابق والتالي ، أي إذا تم استيفاء الشرط ، فإن التسلسل المحدد هو تقدم حسابي. هذه المساواة هي أيضًا علامة على التقدم ، لذلك تسمى عادةً خاصية مميزة للتقدم.
   بالطريقة نفسها ، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: التسلسل هو تقدم حسابي فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من أعضاء المتسلسلة ، بدءًا من الثانية.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام للتقدم الحسابي بالصيغة a + am = ak + al إذا كانت n + m = k + l (m ، n ، k هي أرقام التقدم).

في التقدم الحسابي ، يمكن العثور على أي مصطلح (Nth) ضروري من خلال تطبيق الصيغة التالية:

على سبيل المثال: يتم إعطاء المصطلح الأول (a1) في التقدم الحسابي ويساوي ثلاثة ، والفرق (د) يساوي أربعة. تحتاج إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ 45 = 1 + 4 (45-1) = 177

تسمح لك الصيغة an = ak + d (n - k) بتحديد العضو n من التقدم الحسابي من خلال أي من أعضائه k ، بشرط أن يكون معروفًا.

يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الحسابي (بافتراض أول ن أعضاء من التقدم النهائي) على النحو التالي:

Sn = (a1 + an) ن / 2.

إذا كان المصطلح الأول معروفًا أيضًا ، فإن صيغة أخرى مناسبة للحساب:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على عدد n من المصطلحات على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على شروط المهام والبيانات الأولية.

السلسلة الطبيعية لأية أرقام مثل 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ن ، ... هي أبسط مثال على التقدم الحسابي.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.