في بعض مشاكل الفيزياء ، لا يمكن إنشاء علاقة مباشرة بين الكميات التي تصف العملية. ولكن هناك إمكانية للحصول على مساواة تحتوي على مشتقات الوظائف قيد الدراسة. هذه هي الطريقة التي تنشأ بها المعادلات التفاضلية والحاجة إلى حلها لإيجاد دالة غير معروفة.

هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يواجهون مشكلة حل معادلة تفاضلية تكون فيها الوظيفة غير المعروفة دالة لمتغير واحد. تم بناء النظرية بطريقة تتيح لك القيام بعملك مع عدم فهم المعادلات التفاضلية.

يرتبط كل نوع من المعادلات التفاضلية بطريقة الحل مع شرح مفصل وحلول لأمثلة ومشكلات نموذجية. عليك فقط تحديد نوع المعادلة التفاضلية لمشكلتك ، والعثور على مثال مشابه تم تحليله وتنفيذ إجراءات مماثلة.

لحل المعادلات التفاضلية بنجاح ، ستحتاج أيضًا إلى القدرة على إيجاد مجموعات من المشتقات العكسية (تكاملات غير محددة) من وظائف مختلفة. إذا لزم الأمر ، نوصي بالرجوع إلى القسم.

أولاً ، نأخذ في الاعتبار أنواع المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى التي يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق ، ثم ننتقل إلى المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، ثم نركز على المعادلات ذات الترتيب الأعلى وننتهي من أنظمة المعادلات التفاضلية.

تذكر أنه إذا كانت y دالة في السعة x.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى في الصورة.

دعونا نكتب العديد من الأمثلة على هذا النوع من الهندسة .

المعادلات التفاضلية يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة طرفي المساواة على f (x). في هذه الحالة ، نصل إلى المعادلة التي ستكون مكافئة للمعادلة الأصلية لـ f (x) ≠ 0. ومن الأمثلة على مثل هذه المعادلات الخارجية.

إذا كانت هناك قيم للوسيطة x حيث تتلاشى الدالتان f (x) و g (x) في نفس الوقت ، فستظهر حلول إضافية. حلول إضافية للمعادلة نظرًا لأن x هي أي وظائف محددة لقيم الوسيطة هذه. أمثلة على هذه المعادلات التفاضلية.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

LODE ذو المعاملات الثابتة هو نوع شائع جدًا من المعادلات التفاضلية. حلهم ليس صعبًا بشكل خاص. أولاً ، تم العثور على جذور المعادلة المميزة . بالنسبة إلى p و q المختلفة ، هناك ثلاث حالات ممكنة: يمكن أن تكون جذور المعادلة المميزة حقيقية ومختلفة وحقيقية ومتطابقة أو اقتران معقد. اعتمادًا على قيم جذور المعادلة المميزة ، تتم كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية كـ ، أو ، أو على التوالي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة. جذور معادلته المميزة هي k 1 = -3 و k 2 = 0. الجذور حقيقية ومختلفة ، وبالتالي فإن الحل العام لمعاملات LDE الثابتة هو


المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

يتم البحث عن الحل العام لـ LIDE من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة y كمجموع للحل العام لـ LODE المقابل وحل معين للمعادلة الأصلية غير المتجانسة ، أي. تم تخصيص الفقرة السابقة لإيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معاملات ثابتة. ويتم تحديد حل معين إما بطريقة المعاملات غير المحددة لشكل معين من الدالة f (x) ، يقف على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية ، أو بطريقة تغيير الثوابت التعسفية.

كأمثلة على LIDEs من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة ، نقدمها


لفهم النظرية والتعرف على الحلول التفصيلية للأمثلة ، نقدم لك في الصفحة معادلات تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة.

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة (LODEs) والمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (LNDEs).

حالة خاصة من المعادلات التفاضلية من هذا النوع هي LODE و LODE مع معاملات ثابتة.

يتم تمثيل الحل العام لـ LODE في فترة زمنية معينة من خلال مجموعة خطية من حلين خاصين مستقلين خطيًا y 1 و y 2 من هذه المعادلة ، أي ، .

تكمن الصعوبة الرئيسية تحديدًا في إيجاد حلول جزئية مستقلة خطيًا لهذا النوع من المعادلات التفاضلية. عادة ، يتم اختيار حلول معينة من الأنظمة التالية للوظائف المستقلة خطيًا:


ومع ذلك ، لا يتم تقديم حلول معينة دائمًا في هذا النموذج.

مثال على LODU هو .

يتم البحث عن الحل العام لـ LIDE بالشكل ، حيث يكون الحل العام لـ LODE المقابل ، وهو حل خاص للمعادلة التفاضلية الأصلية. تحدثنا للتو عن إيجاد ، ولكن يمكن تحديده باستخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

مثال على LNDE هو .

المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى.

معادلات تفاضلية تقبل تخفيض الأمر.

ترتيب المعادلة التفاضلية ، التي لا تحتوي على الوظيفة المطلوبة ومشتقاتها حتى ترتيب k-1 ، يمكن اختزالها إلى n-k عن طريق الاستبدال.

في هذه الحالة ، يتم تقليل المعادلة التفاضلية الأصلية إلى. بعد إيجاد الحل p (x) ، يبقى العودة إلى البديل وتحديد الوظيفة غير المعروفة y.

على سبيل المثال ، المعادلة التفاضلية بعد أن يصبح الاستبدال معادلة قابلة للفصل ، وينخفض ​​ترتيبها من الثالث إلى الأول.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة الحل.
المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر شائن ويصعب إتقانه للعديد من الطلاب. Uuuuuu… المعادلات التفاضلية كيف يمكنني النجاة من كل هذا ؟!

مثل هذا الرأي ومثل هذا الموقف هو خطأ جوهريا ، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية بسيطة وممتعة حتى. ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على تعلم حل المعادلات التفاضلية؟ لدراسة الاختلافات بنجاح ، يجب أن تكون جيدًا في التكامل والتمييز. كلما تمت دراسة الموضوعات بشكل أفضل مشتق دالة لمتغير واحدو تكامل غير محدد، سيكون من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول أكثر من ذلك ، إذا كانت لديك مهارات تكامل أكثر أو أقل ، فهذا يعني إتقان الموضوع عمليًا! كلما زادت أنواع التكاملات المختلفة التي يمكنك حلها ، كان ذلك أفضل. لماذا ا؟ عليك أن تندمج كثيرًا. وتفرق. ايضا موصى بة بشدةتعلم أن تجد.

في 95٪ من الحالات ، هناك 3 أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى في أوراق الاختبار: معادلات قابلة للفصل، والتي سنغطيها في هذا الدرس ؛ معادلات متجانسةو معادلات خطية غير متجانسة. للمبتدئين لدراسة الناشرين ، أنصحك بقراءة الدروس في هذا التسلسل ، وبعد دراسة أول مقالتين ، لن يضرك تعزيز مهاراتك في ورشة عمل إضافية - المعادلات التي تختزل إلى متجانسة.

هناك أنواع نادرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات في مجموع الفروق ، معادلات برنولي ، وبعض المعادلات الأخرى. من النوعين الأخيرين ، الأهم هي المعادلات في مجموع الفروق ، لأنه بالإضافة إلى DE ، أنا أفكر في مادة جديدة - تكامل جزئي.

إذا لم يتبق لديك سوى يوم أو يومين، من ثم لتحضير فائق السرعةهناك دورة مداهماتبتنسيق pdf.

لذلك ، تم تعيين المعالم - دعنا نذهب:

دعونا أولاً نتذكر المعادلات الجبرية المعتادة. تحتوي على متغيرات وأرقام. أبسط مثال:. ماذا يعني حل معادلة عادية؟ هذا يعني أن تجد مجموعة من الأرقامالتي ترضي هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأبناء لها جذر واحد:. من أجل المتعة ، دعنا نجري فحصًا ، استبدل الجذر الموجود في المعادلة:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل موجود بشكل صحيح.

يتم ترتيب المنشورات بنفس الطريقة إلى حد كبير!

المعادلة التفاضلية الطلب الأولعلى العموم يحتوي على:
1) متغير مستقل.
2) المتغير التابع (الوظيفة) ؛
3) المشتق الأول للدالة:.

في بعض المعادلات من الترتيب الأول ، قد لا يكون هناك "x" أو (و) "y" ، لكن هذا ليس ضروريًا - الأهميةبحيث في DU كانالمشتق الأول و لم يكن لديمشتقات الطلبات الأعلى - ، إلخ.

ماذا يعني ؟لحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد مجموعة من جميع الوظائفالتي ترضي هذه المعادلة. غالبًا ما يكون لمثل هذه المجموعة من الوظائف الشكل (ثابت تعسفي) ، والذي يسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ قرار?

أولًا ، عليك إعادة كتابة المشتق بصيغة مختلفة قليلًا. نتذكر التدوين المرهق ، الذي ربما اعتقد الكثير منكم أنه سخيف وغير ضروري. هذا هو الذي يحكم في الناشرون!

في الخطوة الثانية ، دعنا نرى ما إذا كان ذلك ممكنًا متغيرات الانقسام؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة للمغادرة فقط "ألعاب"، أ على الجانب الأيمنتنظم س فقط. يتم فصل المتغيرات بمساعدة التلاعب "بالمدرسة": الأقواس ، ونقل المصطلحات من جزء إلى آخر مع تغيير علامة ، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب ، إلخ.

الفوارق كاملة المضاعفات والمشاركين النشطين في الأعمال العدائية. في هذا المثال ، يمكن فصل المتغيرات بسهولة عن طريق التقليب العوامل وفقًا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر - فقط "لعبة" ، على الجانب الأيمن - فقط "X".

المرحلة المقبلة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط ، نحن نعلق التكاملات على كلا الجزأين:

بالطبع ، يجب أخذ التكاملات. في هذه الحالة ، تكون جدولة:

كما نتذكر ، يتم تخصيص ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا ، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة (لأن الثابت + ثابت لا يزال مساويًا لثابت آخر). في معظم الحالات ، يتم وضعه على الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بعد أخذ التكاملات ، تعتبر المعادلة التفاضلية قد تم حلها. الشيء الوحيد هو أن "y" لدينا لا يتم التعبير عنها من خلال "x" ، أي أن الحل مقدم في الضمنيشكل. يسمى الحل الضمني للمعادلة التفاضلية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. هذا هو ، هو التكامل العام.

الإجابة في هذا النموذج مقبولة تمامًا ، لكن هل هناك خيار أفضل؟ دعنا نحاول الحصول عليها قرار مشترك.

على الرحب والسعة، تذكر التقنية الأولى، وهو شائع جدًا وغالبًا ما يستخدم في المهام العملية: إذا ظهر لوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل ، فمن المستحسن أيضًا في كثير من الحالات (ولكن ليس دائمًا بأي حال من الأحوال!) كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

بمعنى آخر، بدلاً منعادة ما يتم كتابة السجلات .

لماذا هذا مطلوب؟ ولتسهيل التعبير عن "y". نستخدم خاصية اللوغاريتمات . في هذه الحالة:

يمكن الآن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

إجابه: قرار مشترك: .

من السهل التحقق من إجابات العديد من المعادلات التفاضلية. في حالتنا ، يتم ذلك بكل بساطة ، نأخذ الحل الذي تم العثور عليه ونفرقه:

ثم نعوض بالمشتق في المعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل العام يفي بالمعادلة التي كان مطلوبًا التحقق منها.

بإعطاء قيم مختلفة ثابتة ، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من قرارات خاصةالمعادلة التفاضلية. من الواضح أن أيًا من الوظائف ، وما إلى ذلك. يفي بالمعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يسمى الحل العام عائلة الوظائف. في هذا المثال ، الحل العام هي عائلة من الدوال الخطية ، أو بالأحرى عائلة من النسب المباشرة.

بعد مناقشة مفصلة للمثال الأول ، من المناسب الإجابة على بعض الأسئلة الساذجة حول المعادلات التفاضلية:

1)في هذا المثال ، تمكنا من فصل المتغيرات. هل من الممكن دائما أن تفعل هذا؟لا، ليس دائما. وحتى في كثير من الأحيان لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال ، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولىيجب استبداله أولا. في أنواع أخرى من المعادلات ، على سبيل المثال ، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى ، تحتاج إلى استخدام حيل وطرق مختلفة لإيجاد حل عام. المعادلات المتغيرة القابلة للفصل التي أخذناها في الاعتبار في الدرس الأول هي أبسط نوع من المعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائمًا تكامل معادلة تفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "خيالية" لا يمكن دمجها ، بالإضافة إلى وجود تكاملات لا يمكن أخذها. لكن يمكن حل مثل هذه العناصر تقريبًا باستخدام طرق خاصة. يضمن D'Alembert و Cauchy ... ... آه ، lurkmore.to قرأت كثيرًا الآن ، لقد أضفت تقريبًا "من العالم الآخر".

3) في هذا المثال ، حصلنا على حل في شكل تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام ، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. علي سبيل المثال: . طيب كيف يمكنني التعبير عن "y" هنا ؟! في مثل هذه الحالات ، يجب كتابة الإجابة كجزء متكامل عام. بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الأحيان يمكن العثور على حل عام ، ولكن يتم كتابته بشكل مرهق وغير متقن لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

4) ... ربما يكفي الآن. في المثال الأول التقينا نقطة أخرى مهمةولكن لكي لا أغطي "الدمى" بسيل من المعلومات الجديدة ، سأترك الأمر حتى الدرس التالي.

دعونا لا نسرع. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر:

مثال 2

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

قرار: حسب الحالة المراد إيجادها حل خاص DE الذي يفي بشرط أولي معين. يسمى هذا النوع من الاستجواب أيضًا مشكلة كوشي.

أولاً ، نجد حلاً عامًا. لا يوجد متغير "x" في المعادلة ، لكن هذا لا ينبغي أن يكون محرجًا ، الشيء الرئيسي هو أنه يحتوي على المشتق الأول.

نعيد كتابة المشتق بالشكل المطلوب:

من الواضح أنه يمكن تقسيم المتغيرات ، الأولاد على اليسار ، البنات على اليمين:

ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بنجمة مميزة ، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

نحاول الآن تحويل التكامل العام إلى حل عام (عبر عن "y" صراحة). نتذكر المدرسة القديمة الجيدة: . في هذه الحالة:

لا يبدو الثابت في المؤشر بطريقة ما كوشير ، لذلك عادةً ما يتم إنزاله من السماء إلى الأرض. بالتفصيل ، يحدث مثل هذا. باستخدام خاصية الدرجات ، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا ، فهو ثابت أيضًا ، فقم بإعادة تصميمه بالحرف:

تذكر أن "هدم" ثابت هو التقنية الثانية، والذي يستخدم غالبًا في سياق حل المعادلات التفاضلية.

لذا فإن الحل العام هو: هذه عائلة لطيفة من الوظائف الأسية.

في المرحلة النهائية ، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. إنه بسيط أيضًا.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط مثلقيمة الثابت للوفاء بالشرط.

يمكنك ترتيبها بطرق مختلفة ، ولكن ربما يكون الأمر الأكثر قابلية للفهم على هذا النحو. في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، نعوض اثنين:



بمعنى آخر،

إصدار التصميم القياسي:

الآن نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها للثابت في الحل العام:
- هذا هو الحل الخاص الذي نحتاجه.

إجابه: private solution:

لنقم بفحص. يتضمن التحقق من حل معين مرحلتين:

أولاً ، من الضروري التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلاً من "x" نستبدل الصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم ، في الواقع ، تم الحصول على شيطان ، مما يعني أن الشرط الأولي مستوفى.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المعين الناتج ونجد المشتق:

استبدل في المعادلة الأصلية:

- الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على حل معين بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر أهمية.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

قرار:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

تقييم ما إذا كان يمكن فصل المتغيرات؟ تستطيع. ننقل المصطلح الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير العلامة:

ونقلب العوامل حسب قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات ، دعنا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك ، يوم القيامة قادم. إذا لم تكن قد تعلمت جيدًا تكاملات غير محددة، تم حل بعض الأمثلة ، فلا يوجد مكان تذهب إليه - عليك إتقانها الآن.

يسهل العثور على تكامل الجانب الأيسر ، مع تكامل ظل التمام نتعامل مع التقنية القياسية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس تكامل التوابع المثلثيةالعام الماضي:

على الجانب الأيمن ، لدينا لوغاريتم ، ووفقًا لتوصيتي الفنية الأولى ، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا لوغاريتمات فقط ، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. عبر الخصائص المعروفةأقصى حد "حزمة" اللوغاريتمات. سأكتب بتفصيل كبير:

العبوة كاملة لتكون ممزقة بوحشية:

هل من الممكن التعبير عن "y"؟ تستطيع. كلا الجزأين يجب تربيعهما.

لكن ليس عليك ذلك.

النصيحة التقنية الثالثة:إذا كنت تريد الحصول على حل عام ، فأنت بحاجة إلى الارتقاء إلى قوة أو أن تتجذر ، إذن في معظم الحالاتيجب أن تمتنع عن هذه الإجراءات وتترك الإجابة في شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو سيئًا - بجذور كبيرة وعلامات ونفايات أخرى.

لذلك ، نكتب الإجابة كتكامل عام. يعتبر تقديمه بشكل جيد شكلًا ، أي على الجانب الأيمن ، إذا أمكن ، اترك فقط ثابتًا. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ؛-)

إجابه:التكامل العام:

! ملحوظة: يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي ، إذا لم تتطابق نتيجتك مع إجابة معروفة مسبقًا ، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

يتم أيضًا فحص التكامل العام بسهولة تامة ، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا. لنفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بالضبط ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

أذكرك أن الخوارزمية تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام ؛
2) إيجاد الحل المعين المطلوب.

يتم إجراء الفحص أيضًا على خطوتين (انظر العينة في المثال رقم 2) ، تحتاج إلى:
1) تأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي الشرط الأولي ؛
2) التحقق من أن حلًا معينًا يفي بالمعادلة التفاضلية بشكل عام.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

مثال 5

أوجد حلًا معينًا لمعادلة تفاضلية ، واستيفاء الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

قرار:لنجد أولًا حلًا عامًا ، فهذه المعادلة تحتوي بالفعل على متفاضلات جاهزة ، مما يعني أن الحل مبسط. المتغيرات المنفصلة:

ندمج المعادلة:

التكامل على اليسار جدولي ، والتكامل على اليمين مأخوذ طريقة جمع الدالة تحت علامة التفاضل:

تم الحصول على التكامل العام ، هل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ تستطيع. نحن نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين. نظرًا لأنها إيجابية ، فإن علامات modulo زائدة عن الحاجة:

(أتمنى أن يفهم الجميع التحول ، يجب أن تكون هذه الأشياء معروفة بالفعل)

لذا فإن الحل العام هو:

لنجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد.
في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، لوغاريتم اثنين:

تصميم مألوف أكثر:

نعوض بالقيمة التي تم إيجادها للثابت في الحل العام.

إجابه:حل خاص:

تحقق: أولاً ، تحقق مما إذا تم استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

لنتحقق الآن مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. نجد المشتق:

لنلقِ نظرة على المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في تفاضلات. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

نعوض بالحل المعين الموجود والمشتق الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل المحدد موجود بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتدقيق معكوسة ومألوفة أكثر: من المعادلة عبر عن المشتق ، لذلك نقسم كل القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل المعين الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. نتيجة للتبسيط ، يجب أيضًا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. عبر عن الإجابة باعتبارها تكامل عام.

هذا مثال على الحل الذاتي والحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما الصعوبات التي تنتظر حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصةً إبريق الشاي) أنه يمكن فصل المتغيرات. ضع في اعتبارك مثالًا شرطيًا:. هنا تحتاج إلى إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور:. كيفية المضي قدمًا أمر واضح.

2) صعوبات في الاندماج نفسه. غالبًا ما تنشأ التكاملات ليست أبسطها ، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات البحث تكامل غير محدد، عندها سيكون الأمر صعبًا مع العديد من الموزعات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المنطق "بما أن المعادلة التفاضلية بسيطة ، لذا اجعل التكاملات أكثر تعقيدًا" شائعًا بين مجمعي المجموعات والأدلة.

3) التحولات ذات ثابت. كما لاحظ الجميع ، يمكن التعامل مع ثابت في المعادلات التفاضلية بحرية تامة ، وبعض التحولات لا تكون دائمًا واضحة للمبتدئين. لنلقِ نظرة على مثال افتراضي آخر: . في ذلك ، يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت ، والذي يمكن الإشارة إليه من خلال: . نعم ، ونظرًا لوجود لوغاريتم في الجانب الأيمن ، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت باعتباره ثابتًا آخر: .

تكمن المشكلة في أنهم غالبًا لا يهتمون بالمؤشرات ويستخدمون نفس الحرف. نتيجة لذلك ، يتخذ سجل القرار النموذج التالي:

ما بدعة؟ ها هي الأخطاء! بالمعنى الدقيق للكلمة ، نعم. ومع ذلك ، من وجهة نظر موضوعية ، لا توجد أخطاء ، لأنه نتيجة لتحويل ثابت متغير ، لا يزال يتم الحصول على ثابت متغير.

أو مثال آخر ، افترض أنه أثناء حل المعادلة ، تم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة ، لذا يُنصح بتغيير إشارة كل مصطلح: . رسميًا ، هناك خطأ مرة أخرى - على اليمين ، يجب كتابته. ولكن من المفهوم ضمنيًا أن "ناقص" لا يزال ثابتًا ( والتي تأخذ أيضًا أي قيم!)، لذا فإن وضع "علامة الطرح" لا معنى له ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب أسلوب الإهمال ، مع الاستمرار في وضع فهارس مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. قم بإجراء فحص.

قرار:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. المتغيرات المنفصلة:

ندمج:

لا يلزم تعريف الثابت هنا تحت اللوغاريتم ، لأنه لن يأتي منه أي خير.

إجابه:التكامل العام:

تحقق: ميّز الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور ، لذلك نضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

المثال 8

ابحث عن حل خاص لـ DE.
,

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". التلميح الوحيد هو أنك هنا تحصل على تكامل عام ، والأصح ، تحتاج إلى التفكير في إيجاد ليس حلًا معينًا ، ولكن تكامل خاص. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

6.1 المفاهيم الأساسية والتعاريف

عند حل المشكلات المختلفة للرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والطب ، غالبًا ما لا يكون من الممكن إنشاء اعتماد وظيفي على الفور في شكل صيغة تربط المتغيرات التي تصف العملية قيد الدراسة. عادة ، يتعين على المرء استخدام المعادلات التي تحتوي ، بالإضافة إلى المتغير المستقل والدالة غير المعروفة ، على مشتقاتها أيضًا.

تعريف.تسمى المعادلة المتعلقة بمتغير مستقل ، وظيفة غير معروفة ، ومشتقاتها من أوامر مختلفة التفاضليه.

عادة ما يتم الإشارة إلى الوظيفة غير المعروفة ص (س)أو ببساطة ذومشتقاته ذ ", ذ "إلخ.

الرموز الأخرى ممكنة أيضًا ، على سبيل المثال: if ذ= x (t) إذن x "(t) ، x" "(t)هي مشتقاتها ، و رهو متغير مستقل.

تعريف.إذا كانت الوظيفة تعتمد على متغير واحد ، فإن المعادلة التفاضلية تسمى عادية. الشكل العام المعادلة التفاضلية العادية:

أو

المهام Fو Fقد لا تحتوي على بعض الحجج ، ولكن لكي تكون المعادلات تفاضلية ، فإن وجود المشتق ضروري.

تعريف.ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب أعلى مشتق متضمن فيه.

علي سبيل المثال، × 2 ص "- ذ= 0، y "+ الخطيئة x= 0 هي معادلات من الدرجة الأولى ، و ذ "+ 2 ذ "+ 5 ذ= xهي معادلة من الدرجة الثانية.

عند حل المعادلات التفاضلية ، يتم استخدام عملية التكامل ، والتي ترتبط بظهور ثابت عشوائي. إذا تم تطبيق إجراء التكامل نمرات ، إذن ، من الواضح أن الحل سيحتوي نثوابت اعتباطية.

6.2 معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى

الشكل العام معادلة تفاضلية من الدرجة الأولىيتم تعريفه من خلال التعبير

قد لا تحتوي المعادلة صراحة xو ذولكنه يحتوي بالضرورة على y ".

إذا كان من الممكن كتابة المعادلة كـ

ثم نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى يتم حلها فيما يتعلق بالمشتق.

تعريف.الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى (6.3) (أو (6.4)) هو مجموعة الحلول ، أين معثابت اعتباطي.

يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية منحنى متكامل.

إعطاء ثابت اعتباطي معقيم مختلفة ، فمن الممكن الحصول على حلول معينة. على السطح xOyالحل العام عبارة عن مجموعة من المنحنيات المتكاملة المقابلة لكل حل معين.

إذا قمت بتعيين نقطة أ (س 0 ، ص 0) ،والتي من خلالها يجب أن يمر المنحنى المتكامل ، كقاعدة عامة ، من مجموعة الوظائف يمكن تمييزها - حل معين.

تعريف.قرار خاصالمعادلة التفاضلية هو حلها الذي لا يحتوي على ثوابت عشوائية.

اذا كان هو حل عام ، ثم من الشرط

يمكنك العثور على ملف مع.الشرط يسمى الشرط الأولي.

مشكلة إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية (6.3) أو (6.4) يحقق الشرط الأولي في اتصل مشكلة كوشي.هل هذه المشكلة دائما لها حل؟ الجواب موجود في النظرية التالية.

نظرية كوشي(نظرية الوجود وتفرد الحل). دعونا في المعادلة التفاضلية ذ "= و (س ، ص)وظيفة و (س ، ص)وهي

اشتقاق جزئي محددة ومستمرة في بعض

المناطق د،تحتوي على نقطة ثم في المنطقة ديوجد

الحل الوحيد للمعادلة التي تحقق الشرط الأولي في

تنص نظرية كوشي على أنه في ظل ظروف معينة يوجد منحنى متكامل فريد ذ= و (خ) ،يمر عبر نقطة النقاط التي لا يتم فيها استيفاء شروط النظرية

تسمى القطط مميز.فواصل عند هذه النقاط F(س ، ص) أو.

إما أن تمر عدة منحنيات متكاملة عبر نقطة مفردة ، أو لا شيء.

تعريف.إذا كان الحل (6.3) ، (6.4) موجود في النموذج F(س ، ص ، ج)= 0 غير مسموح به فيما يتعلق بـ y ، ثم يتم استدعاؤه التكامل المشتركالمعادلة التفاضلية.

تضمن نظرية كوشي فقط وجود حل. نظرًا لعدم وجود طريقة واحدة لإيجاد حل ، سننظر فقط في بعض أنواع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى القابلة للتكامل في مربعات.

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية تكامل في التربيعات ،إذا تم تقليل البحث عن حلها إلى تكامل الوظائف.

6.2.1. معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى بمتغيرات منفصلة

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى معادلة بـ المتغيرات القابلة للفصل ،

الجانب الأيمن من المعادلة (6.5) هو نتاج وظيفتين ، تعتمد كل منهما على متغير واحد فقط.

على سبيل المثال ، المعادلة هي معادلة مع فصل

تمرير المتغيرات
والمعادلة

لا يمكن تمثيلها بالصيغة (6.5).

بشرط ، نعيد كتابة (6.5) بالشكل

من هذه المعادلة نحصل على معادلة تفاضلية بمتغيرات منفصلة ، حيث تحتوي الفروق على وظائف تعتمد فقط على المتغير المقابل:

دمج مصطلح تلو الآخر ، لدينا

حيث C = C 2 - C 1 ثابت اعتباطي. التعبير (6.6) هو التكامل العام للمعادلة (6.5).

بقسمة كلا الجزأين من المعادلة (6.5) على ، يمكننا أن نفقد تلك الحلول التي ، في الواقع ، إذا في

من ثم من الواضح أن حل المعادلة (6.5).

مثال 1أوجد حلاً للمعادلة مرضيًا

شرط: ذ= 6 في x= 2 (ذ(2) = 6).

قرار.دعنا نستبدل في"لذلك . اضرب كلا الطرفين في

DX ،لأنه في مزيد من التكامل من المستحيل المغادرة DXفي المقام:

ثم قسمة كلا الجزأين على نحصل على المعادلة

التي يمكن دمجها. ندمج:

ثم ؛ بالتعزيز ، نحصل على y = C. (x + 1) - ob-

المحلول.

بناءً على البيانات الأولية ، نحدد ثابتًا تعسفيًا عن طريق استبدالها في الحل العام

أخيرا نحصل ذ= 2 (x + 1) حل خاص. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة الأخرى لحل المعادلات باستخدام المتغيرات القابلة للفصل.

مثال 2ابحث عن حل للمعادلة

قرار.بشرط ، نحن نحصل .

تكامل طرفي المعادلة ، لدينا

أين

مثال 3ابحث عن حل للمعادلة قرار.نقسم كلا الجزأين من المعادلة على تلك العوامل التي تعتمد على متغير لا يتطابق مع المتغير تحت العلامة التفاضلية ، أي بواسطة ودمج. ثم نحصل

وأخيرا

مثال 4ابحث عن حل للمعادلة

قرار.معرفة ما سنحصل عليه. الجزء-

المتغيرات ليم. ثم

التكامل ، نحصل

تعليق.في الأمثلة 1 و 2 ، الوظيفة المطلوبة ذصراحة (حل عام). في الأمثلة 3 و 4 - ضمنيًا (تكامل عام). في المستقبل ، لن يتم تحديد شكل القرار.

مثال 5ابحث عن حل للمعادلة قرار.

مثال 6ابحث عن حل للمعادلة مرضيه

شرط ص (هـ)= 1.

قرار.نكتب المعادلة في الصورة

ضرب طرفي المعادلة في DXوهكذا نحصل

تكامل طرفي المعادلة (يتم أخذ التكامل على الجانب الأيمن بالأجزاء) ، نحصل عليها

لكن بشرط ذ= 1 في x= ه. ثم

استبدل القيم التي تم العثور عليها معفي حل عام:

يسمى التعبير الناتج حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية.

6.2.2. المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى

تعريف.يتم استدعاء المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى متجانسإذا كان يمكن تمثيله على أنه

نقدم خوارزمية لحل معادلة متجانسة.

1. بدلا من ذلك ذإدخال وظيفة جديدة ثم وبالتالي

2. من حيث الوظيفة شتأخذ المعادلة (6.7) الشكل

أي أن الاستبدال يقلل من المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

3. لحل المعادلة (6.8) ، نجد أولاً u ثم بعد ذلك ذ= ux.

مثال 1حل المعادلة قرار.نكتب المعادلة في الصورة

نجعل الاستبدال:
ثم

دعنا نستبدل

اضرب ب dx: اقسم على xو على من ثم

دمج كلا الجزأين من المعادلة بالنسبة للمتغيرات المقابلة ، لدينا

أو بالعودة إلى المتغيرات القديمة ، نحصل عليها أخيرًا

مثال 2حل المعادلة قرار.اسمحوا ان من ثم

اقسم طرفي المعادلة على x2: لنفتح الأقواس ونعيد ترتيب المصطلحات:

بالانتقال إلى المتغيرات القديمة ، نصل إلى النتيجة النهائية:

مثال 3ابحث عن حل للمعادلة بشرط

قرار.إجراء بديل قياسي نحن نحصل

أو

أو

إذن الحل المعين له الشكل مثال 4ابحث عن حل للمعادلة

قرار.

مثال 5ابحث عن حل للمعادلة قرار.

عمل مستقل

أوجد حلاً للمعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة (1-9).

إيجاد حل للمعادلات التفاضلية المتجانسة (9-18).

6.2.3. بعض تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

مشكلة الاضمحلال الإشعاعي

يتناسب معدل اضمحلال Ra (الراديوم) في كل لحظة من الوقت مع كتلته المتاحة. ابحث عن قانون الاضمحلال الإشعاعي لرع إذا كان معروفًا أنه في اللحظة الأولى كان هناك رع ونصف عمر رع هو 1590 عامًا.

قرار.دعونا في هذه اللحظة تكون الكتلة رع x= س (ر)ز و ثم معدل اضمحلال رع هو

حسب المهمة

أين ك

نحصل على فصل المتغيرات في المعادلة الأخيرة والتكامل

أين

لتحديد جنستخدم الشرط الأولي: .

ثم وبالتالي ،

عامل التناسب كتحدد من الشرط الإضافي:

نملك

من هنا والصيغة المطلوبة

مشكلة معدل تكاثر البكتيريا

معدل تكاثر البكتيريا يتناسب مع عددها. في اللحظة الأولى كان هناك 100 بكتيريا. في غضون 3 ساعات تضاعف عددهم. ابحث عن اعتماد عدد البكتيريا في الوقت المناسب. كم مرة سيزداد عدد البكتيريا في غضون 9 ساعات؟

قرار.اسمحوا ان x- عدد البكتيريا في الوقت الحالي ر.ثم حسب الشرط

أين ك- معامل التناسب.

من هنا ومن المعروف من الشرط أن . وسائل،

من الشرط الإضافي . ثم

الوظيفة المطلوبة:

لذلك ، في ر= 9 x= 800 أي خلال 9 ساعات زاد عدد البكتيريا 8 مرات.

مهمة زيادة كمية الانزيم

في استزراع خميرة البيرة ، يتناسب معدل نمو الإنزيم النشط مع الكمية الأولية. x.الكمية الأولية للإنزيم أتضاعف في غضون ساعة. ابحث عن التبعية

س (ر).

قرار.حسب الشرط ، فإن المعادلة التفاضلية للعملية لها الشكل

من هنا

لكن . وسائل، ج= أوثم

ومن المعروف أيضا أن

لذلك،

6.3 معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية

6.3.1. مفاهيم أساسية

تعريف.معادلة تفاضلية من الدرجة الثانيةتسمى العلاقة التي تربط المتغير المستقل والوظيفة المرغوبة ومشتقاتها الأولى والثانية.

في حالات خاصة ، قد تكون x غائبة في المعادلة ، فيأو y ". ومع ذلك ، يجب أن تحتوي معادلة الدرجة الثانية بالضرورة على y". في الحالة العامة ، تتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي:

أو ، إن أمكن ، بالشكل المسموح به للمشتق الثاني:

كما في حالة معادلة الدرجة الأولى ، يمكن أن يكون لمعادلة الدرجة الثانية حل عام وحل خاص. يبدو الحل العام كما يلي:

إيجاد حل خاص

في ظل الظروف الأولية - معطى

رقم) مشكلة كوشي.هندسيًا ، هذا يعني أنه مطلوب إيجاد منحنى متكامل في= ص (س) ،يمر عبر نقطة معينة وله ظل عند هذه النقطة ، وهو حوالي

شوكات مع اتجاه المحور الموجب ثورزاوية معينة. ه. (الشكل 6.1). مشكلة كوشي لها حل فريد إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة (6.10) ، غير جاهز

غير متصل وله مشتقات جزئية مستمرة فيما يتعلق بـ أنت ، أنت "في بعض الأحياء من نقطة البداية

لإيجاد ثابت المدرجة في حل معين ، فمن الضروري السماح للنظام

أرز. 6.1منحنى متكامل

المعادلة التفاضلية العادية تسمى معادلة تتعلق بمتغير مستقل ، وظيفة غير معروفة لهذا المتغير ومشتقاته (أو فروقه) من أوامر مختلفة.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى الموجود فيه.

بالإضافة إلى المعادلات العادية ، يتم أيضًا دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. هذه معادلات تتعلق بالمتغيرات المستقلة ، وهي دالة غير معروفة لهذه المتغيرات ومشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بنفس المتغيرات. لكننا سننظر فقط المعادلات التفاضلية العادية وبالتالي فإننا نحذف كلمة "عادية" للإيجاز.

أمثلة على المعادلات التفاضلية:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

المعادلة (1) من الدرجة الرابعة ، والمعادلة (2) من الدرجة الثالثة ، والمعادلتان (3) و (4) من الدرجة الثانية ، والمعادلة (5) من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية نلا يجب أن يحتوي النظام بشكل صريح على دالة ، كل مشتقاتها من الأول إلى نالترتيب العاشر ومتغير مستقل. قد لا تحتوي بشكل صريح على مشتقات لبعض الأوامر أو دالة أو متغير مستقل.

على سبيل المثال ، في المعادلة (1) من الواضح أنه لا توجد مشتقات من الرتبتين الثالثة والثانية ، وكذلك الوظائف ؛ في المعادلة (2) - مشتق ودالة من الدرجة الثانية ؛ في المعادلة (4) - متغير مستقل ؛ في المعادلة (5) - دوال. تحتوي المعادلة (3) فقط صراحةً على جميع المشتقات والدالة والمتغير المستقل.

بحل المعادلة التفاضلية أي وظيفة تسمى ص = و (س)، مع استبدال أي في المعادلة ، يتحول إلى متطابقة.

تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية دمج.

مثال 1أوجد حلاً للمعادلة التفاضلية.

قرار. نكتب هذه المعادلة في الصورة. الحل هو إيجاد الدالة من خلال مشتقها. الوظيفة الأصلية ، كما هو معروف من حساب التفاضل والتكامل ، هي المشتق العكسي لـ ، أي

هذا ما هو عليه حل المعادلة التفاضلية المعطاة . تغيير فيه جسنحصل على حلول مختلفة. اكتشفنا أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

الحل العام للمعادلة التفاضلية نالترتيب هو الحل المعبر عنه صراحةً فيما يتعلق بالوظيفة المجهولة والاحتواء نثوابت اعتباطية مستقلة ، أي

حل المعادلة التفاضلية في المثال 1 عام.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية يسمى حلها ، حيث يتم تعيين قيم عددية محددة إلى ثوابت عشوائية.

مثال 2أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية والحل الخاص لها .

قرار. نقوم بدمج كلا الجزأين من المعادلة بعدد المرات التي يكون فيها ترتيب المعادلة التفاضلية متساويًا.

,

.

نتيجة لذلك ، حصلنا على الحل العام -

بالنظر إلى المعادلة التفاضلية من الدرجة الثالثة.

لنجد الآن حلًا معينًا في ظل الظروف المحددة. للقيام بذلك ، نستبدل قيمها بدلاً من المعاملات العشوائية ونحصل عليها

.

إذا تم ، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية ، إعطاء الشرط الأولي في النموذج ، عندئذٍ تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي . تم العثور على القيم واستبدالها في الحل العام للمعادلة وقيمة الثابت التعسفي ج، ثم حل معين لمعادلة القيمة التي تم العثور عليها ج. هذا هو الحل لمشكلة كوشي.

مثال 3حل مسألة كوشي للمعادلة التفاضلية من المثال 1 تحت الشرط.

قرار. نعوض في الحل العام بالقيم من الشرط الأولي ذ = 3, x= 1. نحصل

نكتب حل مسألة كوشي للمعادلة التفاضلية المعطاة من الرتبة الأولى:

يتطلب حل المعادلات التفاضلية ، حتى أبسطها ، مهارات جيدة في تكامل وأخذ المشتقات ، بما في ذلك الدوال المعقدة. يمكن ملاحظة ذلك في المثال التالي.

مثال 4أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

قرار. تمت كتابة المعادلة في مثل هذا الشكل بحيث يمكن دمج كلا الجانبين على الفور.

.

نطبق طريقة التكامل عن طريق تغيير المتغير (الاستبدال). دعنا إذن.

مطلوب لاتخاذ DXوالآن - انتباه - نقوم بذلك وفقًا لقواعد تمايز دالة معقدة ، منذ ذلك الحين xوهناك وظيفة معقدة ("تفاحة" - استخراج الجذر التربيعي أو ، وهو نفسه - رفع إلى القوة "ثانية واحدة" ، و "اللحم المفروم" - التعبير نفسه تحت الجذر):

نجد التكامل:

العودة إلى المتغير x، نحن نحصل:

.

هذا هو الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

لن تكون المهارات من الأقسام السابقة للرياضيات العليا مطلوبة فقط في حل المعادلات التفاضلية ، ولكن أيضًا المهارات من المرحلة الابتدائية ، أي الرياضيات المدرسية. كما ذكرنا سابقًا ، في معادلة تفاضلية لأي ترتيب قد لا يكون هناك متغير مستقل ، أي متغير x. ستساعد المعرفة بالنسب التي لم يتم نسيانها (ومع ذلك ، أي شخص لديه مثل ذلك) من مقعد المدرسة على حل هذه المشكلة. هذا هو المثال التالي.

المعادلة التفاضلية (DE) هي المعادلة
حيث تكون المتغيرات المستقلة ، y دالة ومشتقات جزئية.

المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد فقط.

المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغيرين مستقلين أو أكثر.

يمكن حذف الكلمات "العادية" و "المشتقات الجزئية" إذا كان من الواضح المعادلة التي يتم النظر فيها. فيما يلي ، يتم النظر في المعادلات التفاضلية العادية.

ترتيب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى.

فيما يلي مثال على معادلة من الدرجة الأولى:

فيما يلي مثال على معادلة من الدرجة الرابعة:

في بعض الأحيان يتم كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى من حيث الفروق:

في هذه الحالة ، المتغيران x و y متساويان. أي أن المتغير المستقل يمكن أن يكون إما x أو y. في الحالة الأولى ، y دالة في المتغير x. في الحالة الثانية ، x دالة في y. إذا لزم الأمر ، يمكننا تحويل هذه المعادلة إلى صيغة يدخل فيها المشتق y صراحةً.
بقسمة هذه المعادلة على dx ، نحصل على:
.
منذ و ، يتبع ذلك
.

حل المعادلات التفاضلية

يتم التعبير عن مشتقات الوظائف الأولية من حيث الوظائف الأولية. غالبًا لا يتم التعبير عن تكاملات الوظائف الأولية من حيث الوظائف الأولية. مع المعادلات التفاضلية ، يكون الوضع أسوأ. كنتيجة للحل ، يمكنك الحصول على:

• الاعتماد الواضح لوظيفة على متغير ؛

  حل المعادلة التفاضلية هل الوظيفة y = u (خ)، الذي تم تعريفه ، يمكن اشتقاقه n مرة ، و.

• الاعتماد الضمني في شكل معادلة من النوع Φ (س ، ص) = 0أو أنظمة المعادلات ؛

  تكامل المعادلة التفاضلية هو حل لمعادلة تفاضلية لها شكل ضمني.

• الاعتماد المعبر عنه من خلال الوظائف الأولية والتكاملات منها ؛

  حل المعادلة التفاضلية في التربيعات - هذا هو إيجاد حل في شكل مجموعة من الوظائف الأولية وتكاملاتها.

• قد لا يتم التعبير عن الحل من حيث الوظائف الأولية.

بما أن حل المعادلات التفاضلية يختصر في حساب التكاملات ، فإن الحل يتضمن مجموعة من الثوابت C 1 ، C 2 ، C 3 ، ... C n. عدد الثوابت يساوي ترتيب المعادلة. التكامل الجزئي لمعادلة تفاضلية هو التكامل العام للقيم المعطاة للثوابت C 1، C 2، C 3، ...، C n.

مراجع:
في. ستيبانوف ، دورة المعادلات التفاضلية ، LKI ، 2015.
ن. غونتر ، R.O. كوزمين ، مجموعة المسائل في الرياضيات العليا ، لان ، 2003.