حجم هرم قاعدته مستطيلة. حجم الهرم المنتظم

الصفحة الرئيسية

صرف الأمطار

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

يسمى متعدد السطوح قاعدته مثلث منتظم والأوجه الأخرى مثلثات متساوية الساقين الهرم الثلاثيهرم آخر من هذا القبيل يسمى رباعي الوجوه.

للهرم العادي العديد من الخصائص المشتقة من الشخصيات المكونة له:

جميع جوانب القاعدة متساوية مع بعضها البعض ، لأنها ممثلة بمثلث منتظم ؛
جميع حواف الهرم متساوية أيضًا ؛
لان يشكل كل وجه مثلث متساوي الساقين تكون فيه الحواف متساوية والقواعد متساوية ، ثم يمكننا القول أن مساحة كل وجه هي نفسها ؛
جميع الزوايا ثنائية الأضلاع في القاعدة متساوية.

يتم حسابه كمجموع مناطق القاعدة والمسح الجانبي. يمكن إيجاده أيضًا عن طريق حساب مساحة أحد الوجوه الجانبية والقاعدة. تُشتق صيغة حجم الهرم الثلاثي أيضًا من خصائص المثلثات التي يتكون منها:

يتم حساب مساحة الأساس من الصيغة:

تأمل في مثال لحساب حجم الهرم الثلاثي.

دعونا نعطي هرم مثلثي. طول ضلع القاعدة أ = 2 سم ، وارتفاعه ع = 2√3. أوجد حجم المجسم المحدد.
أولًا ، لنجد مساحة القاعدة. للقيام بذلك ، نقوم باستبدال البيانات المعروفة في الصيغة أعلاه:

الآن نستخدم القيمة التي تم العثور عليها لحساب حجم الهرم الثلاثي:

يمكن أيضًا استخدام صيغة مختصرة لحساب مساحة الهرم الثلاثي. يجمع بين مساحة القاعدة والارتفاع ، ويقرأ مثل هذه الصيغة مثل ثلث حاصل ضرب منطقة القاعدة وارتفاع الهرم:

باستخدام هذه الصيغة ، من المهم اتباع الحسابات والتخفيضات بدقة. خطأ واحد صغير يمكن أن يؤدي إلى نتيجة غير صحيحة. بشكل عام ، إيجاد حجم هرم ثلاثي منتظم أمر بسيط للغاية.

تعريف الهرم

هرمهو متعدد الوجوه قاعدته مضلع ووجوه مثلثات.

آلة حاسبة على الانترنت

الهرم ضلوع. يمكننا القول إنهم منجذبون إلى نقطة تسمى قمةهذا الهرم. لها أساسيمكن أن يكون مضلعًا عشوائيًا. حافة- هذا هو الشكل الذي تم تكوينه نتيجة اتحاد أقرب حافتين مع جانب القاعدة. وجه الهرم مثلث. المسافة من أعلى الهرم إلى منتصف جانب القاعدة تسمى عتمة. ارتفاعالهرم يسمى طول العمودي من أعلى إلى مركز قاعدته.

أنواع الأهرامات

هناك أنواع الأهرامات التالية.

مستطيلي- حافته تشكل زاوية 90 درجة مع القاعدة.
صحيح- قاعدته عبارة عن مضلع منتظم ، والرأس مسقط في مركز هذه القاعدة.
رباعي الوجوههرم بقاعدته مثلث.

صيغ حجم الهرم

تم العثور على حجم الهرم بعدة طرق.

حسب مساحة القاعدة وارتفاع الهرم

الضرب البسيط لثلث مساحة القاعدة في ارتفاع الهرم هو حجمه.

حجم الهرم حسب مساحة القاعدة والارتفاع

V = 1 3 ⋅ S main ⋅ h V = \ frac (1) (3) \ cdot S _ (\ text (main)) \ cdot hالخامس =3 1 ⋅ س رئيسي ⋅ ح

S main S _ (\ text (main)) س رئيسي - مساحة قاعدة الهرم.
ح ح حهو ارتفاع الهرم.

مهمة 1

مساحة قاعدة الهرم هي 100 سم 2100 \ نص (سم) ^ 2 1 0 0 سم2 ، وارتفاعه 30 سم 30 \ نص (سم) 3 0 سم. أوجد حجم الجسم.

المحلول

S main = 100 S _ (\ text (main)) = 100س رئيسي = 1 0 0
ع = 30 ساعة = 30 ح =3 0

نعلم جميع الكميات ، نعوض بقيمها العددية في الصيغة ونجد:

V = 1 3 ⋅ S main ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 cm 3 V = \ frac (1) (3) \ cdot S _ (\ text (main)) \ cdot h = \ frac (1) ( 3) \ cdot 100 \ cdot 30 = 1000 \ نص (سم) ^ 3الخامس =3 1 ⋅ س رئيسي ⋅ ح =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 سم3

إجابه

1000 سم 3. 1000 \ نص (سم) ^ 3.1 0 0 0 سم3 .

صيغة حجم الهرم الثلاثي المنتظم

هذه الطريقة مناسبة إذا كان الهرم منتظم ومثلث.

حجم الهرم الثلاثي المنتظم

V = h ⋅ a 2 4 3 V = \ frac (h \ cdot a ^ 2) (4 \ sqrt (3))الخامس =4 3 ح ⋅ أ 2

ح ح ح- ارتفاع الهرم.
ا أ

المهمة 2

احسب حجم هرم مثلث منتظم إذا كانت قاعدته مثلث متساوي الأضلاع فيه ضلع يساوي 5 سم 5 \ نص (سم) 5 سم، وارتفاع الهرم 19 سم 19 \ نص (سم) 1 9 سم.

المحلول

أ = 5 أ = 5 أ =5
ع = 19 ساعة = 19 ح =1 9

فقط استبدل هذه القيم في صيغة الحجم:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68.6 سم 3 (4 \ sqrt (3)) \ تقريبًا 68.6 \ نص (سم) ^ 3الخامس =4 3 ح ⋅ أ 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 سم3

إجابه

68.6 سم 3. 68.6 \ نص (سم) ^ 3.6 8 . 6 سم3 .

صيغة حجم الهرم العادي رباعي الزوايا

حجم هرم رباعي الزوايا منتظم

V = 1 3 ⋅ ح ⋅ أ 2 ف = \ فارك (1) (3) \ cdot ح \ cdot a ^ 2الخامس =3 1 ⋅ ح ⋅أ 2

ح ح ح- ارتفاع الهرم.
ا أجانب من قاعدة الهرم.

المهمة 3

إعطاء هرم منتظم رباعي الزوايا. احسب حجمه إذا كان ارتفاعه 7 سم 7 \ نص (سم) 7 سم، وجانب القاعدة - 2 سم 2 \ نص (سم) 2 سم.

المحلول

أ = 2 أ = 2 أ =2
ع = 7 س = 7 ح =7

احسب وفقًا للصيغة:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9.3 cm 3 V = \ frac (1) (3) \ cdot h \ cdot a ^ 2 = \ frac (1) (3) \ cdot 7 \ cdot 2 ^ 2 \ حوالي 9.3 \ نص (سم) ^ 3الخامس =3 1 ⋅ ح ⋅أ 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 سم3

إجابه

9.3 سم 3. 9.3 \ نص (سم) ^ 3.9 . 3 سم3 .

صيغة الحجم لرباعي الوجوه

حجم رباعي الوجوه

V = 2 ⋅ a 3 12 V = \ frac (\ sqrt (2) \ cdot a ^ 3) (12)الخامس =1 2 2 ⋅ أ 3

ا أهو طول حافة رباعي الوجوه.

المهمة 4

طول حافة رباعي الوجوه هو 13 سم 13 \ نص (سم) 1 3 سم. أوجد حجمها.

المحلول

أ = 13 أ = 13 أ =1 3

بديل ا أفي صيغة حجم رباعي الوجوه:

ع = 2 ⋅ أ 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 سم 3 3) (12) \ تقريبًا 259 \ نص (سم) ^ 3الخامس =1 2 2 ⋅ أ 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 سم3

إجابه

$\ نص (سم) ^ 3.$

صيغة الهرم كمحدد

ربما تكون الطريقة الأكثر غرابة لحساب حجم جسم معين.

دع المتجهات التي بُني عليها الهرم تُعطى كما هي على الجانبين. ثم سيكون حجمه مساويًا لسدس حاصل الضرب المختلط للمتجهات. الأخير ، بدوره ، يساوي المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات. إذن ، إذا كان الهرم مبنيًا على ثلاثة نواقل:

$\ vec (أ) = (أ_كس ، أ_ ص ، أ_ز)$

ثم يكون حجم الهرم المقابل محددًا:

حجم الهرم من خلال المحدد

$\ frac (1) (6) \ cdot \ start (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) )$

المهمة 5

أوجد حجم الهرم من خلال حاصل الضرب المختلط للمتجهات التي إحداثياتها: $أ = (2, 3, 5), ب = (1, 4, 4), ج = (3, 5, 7) .$

المحلول

$\ vec (أ) = (2،3،5)$

حسب الصيغة:

$\ frac (1) (6) \ cdot \ start (vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \ end (vmatrix) = \ frac (1) (6) \ cdot (2 \ cdot4 \ cdot7 + 3 \ cdot4 \ cdot3 + 5 \ cdot1 \ cdot5 - 5 \ cdot4 \ cdot3 - 2 \ cdot4 \ cdot5 - 3 \ cdot1 \ cdot7) = \ frac (1) (6) \ cdot (56 + 36 + 25 - 60 - 40-21) = \ frac (1) (6) \ cdot (-4) = - \ frac (2) (3) \ تقريبًا -0.7$

يجب أن نأخذ مقياس هذا الرقم ، لأن الحجم قيمة غير سالبة:

$\ نص (سم) ^ 3$

إجابه

$\ نص (سم) ^ 3.$

هرم رباعي الزوايايسمى متعدد السطوح متعدد السطوح قاعدته مربعة ، وجميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين متطابقة.

يحتوي هذا متعدد الوجوه على العديد من الخصائص المختلفة:

أضلاعه الجانبية وزوايا ثنائية الأضلاع المجاورة متساوية مع بعضها البعض ؛
مناطق الوجوه الجانبية هي نفسها ؛
يوجد مربع عند قاعدة هرم رباعي الزوايا ؛
يتقاطع الارتفاع المنحدر من قمة الهرم مع نقطة تقاطع أقطار القاعدة.

كل هذه الخصائص تجعل من السهل العثور عليها. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، بالإضافة إلى ذلك ، يلزم حساب حجم متعدد السطوح. للقيام بذلك ، قم بتطبيق صيغة حجم الهرم رباعي الزوايا:

أي أن حجم الهرم يساوي ثلث ناتج ارتفاع الهرم ومساحة القاعدة. نظرًا لأنه يساوي حاصل ضرب أضلاعه المتساوية ، فإننا ندخل فورًا معادلة المساحة المربعة في تعبير الحجم.
ضع في اعتبارك مثال لحساب حجم هرم رباعي الزوايا.

لنفترض أن هرم رباعي الزوايا يقع في قاعدته مربع ضلع فيه أ = 6 سم ، والوجه الجانبي للهرم ب = 8 سم ، أوجد حجم الهرم.

لإيجاد حجم مجسم معين ، نحتاج إلى طول ارتفاعه. لذلك ، سنجدها من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس. أولًا ، لنحسب طول القطر. في المثلث الأزرق ، سيكون الوتر. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن أقطار المربع متساوية مع بعضها البعض وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع:

الآن من المثلث الأحمر نجد الارتفاع الذي نحتاجه h. ستكون مساوية لـ:

استبدل القيم المطلوبة وابحث عن ارتفاع الهرم:

الآن ، بمعرفة الارتفاع ، يمكننا استبدال جميع القيم في صيغة حجم الهرم وحساب القيمة المطلوبة:

بهذه الطريقة ، بمعرفة بعض الصيغ البسيطة ، تمكنا من حساب حجم هرم رباعي الزوايا منتظم. لا تنس أن هذه القيمة تقاس بوحدات تكعيبية.

تعريف. وجه جانبي- هذا مثلث تقع فيه إحدى زواياه أعلى الهرم ، ويتطابق الجانب المقابل له مع ضلع القاعدة (المضلع).

تعريف. الضلوع الجانبيةهي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. للهرم عدد من الحواف يساوي عدد الزوايا في المضلع.

تعريف. ارتفاع الهرمهو عمودي يسقط من أعلى الهرم إلى قاعدته.

تعريف. Apothem- هذا هو عمودي الوجه الجانبي للهرم ، مخفض من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.

تعريف. قسم قطري- هذا جزء من الهرم بمستوى يمر عبر قمة الهرم وقطر القاعدة.

تعريف. الهرم الصحيح- هذا الهرم تكون قاعدته مضلعا منتظما وينخفض ارتفاعه إلى مركز القاعدة.

حجم ومساحة سطح الهرم

معادلة. حجم الهرممن خلال مساحة القاعدة والارتفاع:

خصائص الهرم

إذا كانت جميع الأضلاع متساوية ، فيمكن تحديد دائرة حول قاعدة الهرم ، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. أيضًا ، العمود العمودي الساقط من الأعلى يمر عبر مركز القاعدة (الدائرة).

إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية متساوية ، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة عند نفس الزوايا.

تكون الأضلاع الجانبية متساوية عندما تكون زوايا متساوية مع مستوى القاعدة ، أو إذا كان بالإمكان وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بزاوية واحدة ، فيمكن عندئذٍ كتابة دائرة في قاعدة الهرم ، ويتم إسقاط قمة الهرم في مركزها.

إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بزاوية واحدة ، فإن الأوجه الجانبية للوجوه الجانبية متساوية.

خصائص الهرم المنتظم

1. قمة الهرم على مسافة متساوية من جميع زوايا القاعدة.

2. جميع الحواف الجانبية متساوية.

3. تميل جميع الأضلاع الجانبية بنفس زوايا القاعدة.

4. Apothems من جميع الوجوه الجانبية متساوية.

5. مساحات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

6. جميع الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية الأضلاع (المسطحة).

7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة الموصوفة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.

8. يمكن نقش كرة في هرم. سيكون مركز الكرة المنقوشة نقطة تقاطع المنصفات المنبثقة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.

9. إذا تزامن مركز الكرة المحيطية مع مركز الكرة المُحددة ، فإن مجموع الزوايا المسطحة عند القمة يساوي π أو العكس بالعكس ، زاوية واحدة تساوي π / n ، حيث n هو الرقم من الزوايا عند قاعدة الهرم.

ارتباط الهرم بالكرة

يمكن وصف كرة حول الهرم عندما يقع متعدد السطوح عند قاعدة الهرم يمكن وصف دائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط المنتصف للحواف الجانبية للهرم.

يمكن دائمًا وصف الكرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.

يمكن نقش كرة في هرم إذا تقاطعت مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكاف). ستكون هذه النقطة مركز الكرة.

ارتباط الهرم بالمخروط

يسمى المخروط منقوشًا في هرم إذا تزامنت رؤوسه وكانت قاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.

يمكن نقش مخروط في هرم إذا كانت أفرع الهرم متساوية.

يسمى المخروط مقيّدًا حول الهرم إذا تزامنت رؤوسه وكانت قاعدة المخروط محصورة حول قاعدة الهرم.

يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع جوانب الهرم متساوية مع بعضها البعض.

توصيل هرم بأسطوانة

يُقال إن الهرم مكتوب في أسطوانة إذا كان قمة الهرم يقع على قاعدة واحدة من الأسطوانة ، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الأسطوانة.

يمكن إحاطة الأسطوانة بالهرم إذا كان من الممكن وضع دائرة حول قاعدة الهرم.

تعريف. هرم مبتور (منشور هرمي)- هذا متعدد السطوح يقع بين قاعدة الهرم ومستوى مقطع موازٍ للقاعدة. وهكذا يكون للهرم قاعدة كبيرة وقاعدة أصغر تشبه القاعدة الأكبر. الوجوه الجانبية شبه منحرفة.

تعريف. الهرم الثلاثي (رباعي الوجوه)- هذا هرم فيه ثلاثة وجوه والقاعدة مثلثات عشوائية.

رباعي الوجوه له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف ، حيث لا يوجد أي طرفين رؤوس مشتركة لكنهما لا يتلامسان.

يتكون كل رأس من ثلاثة أوجه وحواف زاوية ثلاثية السطوح.

يسمى الجزء الذي يربط رأس رباعي السطوح بمركز الوجه المعاكس وسيط رباعي الوجوه(GM).

بيميديانيسمى المقطع الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المعاكسة التي لا تلمس (KL).

تتقاطع جميع ذوات البميديين والوسيطات في رباعي الوجوه عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة ، يتم تقسيم ثنائي البيميديا إلى نصفين ، والوسيطات بنسبة 3: 1 بدءًا من الأعلى.

تعريف. هرم مائلهو هرم تشكل فيه إحدى حوافه زاوية منفرجة (β) مع قاعدته.

تعريف. هرم مستطيلهو هرم يكون أحد وجوهه متعامداً مع قاعدته.

تعريف. الهرم بزاوية حادةهو هرم يكون طوله أكبر من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. هرم منفرجهو هرم يكون فيه الجسم أقل من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. منتظم رباعي السطوحرباعي السطوح وجوهه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. إنه واحد من خمسة مضلعات منتظمة. في رباعي السطوح العادي ، تكون جميع الزوايا ثنائية الأضلاع (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند الرأس) متساوية.

تعريف. مستطيل رباعي السطوحيسمى رباعي السطوح بزاوية قائمة بين ثلاثة حواف في الرأس (تكون الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مستطيلة ثلاثية السطوحوالوجوه مثلثات قائمة والقاعدة مثلث اعتباطي. حجم أي وجه يساوي نصف جانب القاعدة التي يقع عليها الحرف.

تعريف. إيزوهيدرال رباعي السطوحيسمى رباعي الوجوه حيث تكون الوجوه الجانبية متساوية مع بعضها البعض ، والقاعدة عبارة عن مثلث منتظم. وجوه مثل هذا رباعي السطوح هي مثلثات متساوية الساقين.

تعريف. تقويم العظام رباعي السطوحيسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (العمودية) التي يتم خفضها من أعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.

تعريف. هرم النجميسمى متعدد السطوح قاعدته نجمة.

تعريف. بيبيراميد- متعدد الوجوه يتكون من هرمين مختلفين (يمكن أيضًا قطع الأهرام) ، وله قاعدة مشتركة ، وتقع الرؤوس على جوانب متقابلة من مستوى القاعدة.

الأقسام