حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس. طريقة غاوس للدمى: حل التسرب بسهولة

دعونا نفكر في الطرق الدقيقة لحل النظام ؛ هنا مصفوفة البعد

يتم تصنيف طريقة حل مشكلة ما على أنها دقيقة إذا كانت ، على افتراض عدم وجود تقريب ، تعطي حلاً دقيقًا للمشكلة بعد عدد محدود من العمليات الحسابية والمنطقية. إذا كان عدد العناصر غير الصفرية في مصفوفة النظام بترتيب ، فبالنسبة لمعظم الطرق الدقيقة المستخدمة حاليًا لحل مثل هذه الأنظمة ، يكون العدد المطلوب من العمليات بترتيب. لذلك ، من أجل تطبيق الأساليب الدقيقة ، من الضروري أن يكون هذا الترتيب لعدد العمليات مقبولاً لجهاز كمبيوتر معين ؛ يتم فرض قيود أخرى من خلال حجم وهيكل ذاكرة الكمبيوتر.

العبارة حول "الأساليب المستخدمة حاليًا" لها المعنى التالي. توجد طرق لحل مثل هذه الأنظمة بعدد أقل من العمليات ، لكنها لا تُستخدم بنشاط بسبب الحساسية القوية للنتيجة للخطأ الحسابي.

أشهر الطرق الدقيقة لحل أنظمة المعادلات الخطية هي طريقة جاوس للحذف. دعنا نفكر في أحد تطبيقاته الممكنة. بافتراض ذلك ، المعادلة الأولى للنظام

اقسم على المعامل ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

ثم ، من كل من المعادلات المتبقية ، يتم طرح المعادلة الأولى ، مضروبة في المعامل المناسب. نتيجة لذلك ، يتم تحويل هذه المعادلات إلى النموذج

تم استبعاد المجهول الأول من جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى. علاوة على ذلك ، بافتراض أننا نقسم المعادلة الثانية على المعامل ونستبعد المجهول من جميع المعادلات ، بدءًا من الثانية وهكذا. ونتيجة للحذف المتتالي للمجهول ، يتحول نظام المعادلات إلى نظام من المعادلات مع مصفوفة مثلثة

مجموعة العمليات الحسابية التي تم خلالها تحويل المشكلة الأصلية إلى الشكل (2) تسمى المسار المباشر لطريقة غاوس.

من معادلة النظام (2) نحدد ، من ، إلخ. حتى. يُطلق على مجموع هذه الحسابات اسم المسار العكسي لطريقة غاوس.

من السهل التحقق من أن تنفيذ الحركة الأمامية لطريقة غاوس تتطلب عمليات حسابية ، وأن التشغيل العكسي يتطلب عمليات حسابية.

يحدث الاستثناء نتيجة للعمليات التالية: 1) قسمة المعادلة على ، 2) طرح المعادلة التي تم الحصول عليها بعد هذا القسمة ، مضروبة في ، من المعادلات ذات الأرقام ك. العملية الأولى تعادل ضرب نظام المعادلات على اليسار في المصفوفة القطرية

العملية الثانية تعادل الضرب على اليسار بالمصفوفة

وبالتالي ، يمكن كتابة النظام (2) الذي تم الحصول عليه نتيجة لهذه التحولات على شكل

حاصل ضرب المصفوفات المثلثية اليسرى (اليمنى) هو مصفوفة مثلثة يسرى (يمين) ، لذا فإن C هي مصفوفة مثلثة يسار. من صيغة عناصر المصفوفة العكسية

ويترتب على ذلك أن معكوس المصفوفة إلى مثلث يسار (يمين) هو مثلث يسار (يمين). لذلك ، تُترك المصفوفة مثلثة.

دعنا نقدم الترميز. وفقًا للبناء ، كل شيء والمصفوفة D مثلثان صحيحان. من هنا نحصل على تمثيل المصفوفة A كمنتج للمصفوفات المثلثية اليمنى واليسرى:

تشكل المساواة ، جنبًا إلى جنب مع الشرط ، نظامًا من المعادلات فيما يتعلق بعناصر المصفوفات المثلثية B و:. منذ ذلك الحين ولأجل ، يمكن كتابة هذا النظام كـ

(3)

أو ، وهو نفس الشيء ،

باستخدام الشرط الذي نحصل عليه جميعًا نظام علاقات التكرار لتحديد العناصر و:

يتم إجراء الحسابات بالتسلسل للمجموعات. هنا وأدناه ، في الحالة التي يكون فيها الحد الأعلى للتجميع أقل من الحد الأدنى ، يُفترض أن المجموع بأكمله يساوي صفرًا.

وبالتالي ، بدلاً من التحويلات المتتالية للنظام (1) إلى النموذج (2) ، يمكن للمرء حساب المصفوفات B مباشرةً واستخدام الصيغ (4). لا يمكن إجراء هذه الحسابات إلا إذا كانت جميع العناصر مختلفة عن الصفر. لنفترض أن المصفوفات الأساسية للقصر بترتيب المصفوفات A ، B ، D. وفقًا لـ (3). لأنه عندها . بالتالي،

لذلك ، من أجل إجراء العمليات الحسابية وفقًا للصيغ (4) ، من الضروري والكافي لاستيفاء الشروط

في بعض الحالات ، من المعروف مسبقًا أن الشرط (5) مستوفي. على سبيل المثال ، يتم اختزال العديد من مشكلات الفيزياء الرياضية في حل الأنظمة باستخدام مصفوفة محددة موجبة أ. ومع ذلك ، في الحالة العامة ، لا يمكن قول هذا مسبقًا. مثل هذه الحالة ممكنة أيضًا: كل شيء ، ولكن من بين الكميات هناك كميات صغيرة جدًا ، وعند تقسيمها ، سيتم الحصول على أعداد كبيرة بها أخطاء مطلقة كبيرة. نتيجة لذلك ، سيكون الحل مشوهًا بشدة.

دعنا نشير. منذ ذلك الحين ، وبعد ذلك تم تثبيت المساواة. وهكذا ، بعد تحليل مصفوفة النظام الأصلي إلى ناتج المصفوفات المثلثية اليمنى واليسرى ، يتم تقليل حل النظام الأصلي إلى الحل المتسلسل لنظامين بمصفوفات مثلثة ؛ سيتطلب هذا عمليات حسابية.

غالبًا ما يكون من المناسب دمج تسلسل العمليات لتحليل المصفوفة A إلى منتج مصفوفات مثلثة ولتحديد المتجه د. المعادلات

يمكن كتابة الأنظمة كـ

لذلك ، يمكن حساب القيم في وقت واحد مع باقي القيم باستخدام الصيغ (4).

عند حل المشكلات العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري حل أنظمة المعادلات بمصفوفة تحتوي على عدد كبير من العناصر الصفرية.

عادةً ما تحتوي هذه المصفوفات على ما يسمى ببنية النطاق. بتعبير أدق ، تسمى المصفوفة أ -قطرية أو لها بنية نطاق ، إذا كانت في. الرقم يسمى عرض الشريط. اتضح أنه عند حل نظام من المعادلات باستخدام مصفوفة الشريط بطريقة غاوس ، يمكن تقليل عدد العمليات الحسابية والكمية المطلوبة من ذاكرة الكمبيوتر بشكل كبير.

المهمة 1. تحقق من خصائص طريقة Gauss وطريقة حل النظام باستخدام تحلل مصفوفة النطاق A في حاصل ضرب المصفوفات المثلثية اليمنى واليسرى. أظهر أن العمليات الحسابية مطلوبة لإيجاد الحل (لـ). ابحث عن العضو الرائد في عدد العمليات تحت الشرط.

المهمة 2. تقدير مقدار ذاكرة الكمبيوتر المحملة في طريقة Gauss لمصفوفات النطاق.

عند الحساب بدون مساعدة الكمبيوتر ، يكون احتمال حدوث أخطاء عشوائية مرتفعًا. للقضاء على مثل هذه الأخطاء ، يتم في بعض الأحيان تقديم نظام تحكم ، يتكون من عناصر التحكم في معادلات النظام

عند تحويل المعادلات ، يتم إجراء نفس العمليات على عناصر التحكم كما في الأعضاء الأحرار في المعادلات. نتيجة لذلك ، يجب أن يكون عنصر التحكم لكل معادلة جديدة مساويًا لمجموع معاملات هذه المعادلة. يشير الاختلاف الكبير بينهما إلى وجود أخطاء في الحسابات أو عدم استقرار خوارزمية الحساب فيما يتعلق بالخطأ الحسابي.

على سبيل المثال ، في حالة إحضار نظام المعادلات إلى النموذج باستخدام الصيغ (4) ، يتم حساب عنصر التحكم لكل معادلة من معادلات النظام باستخدام نفس الصيغ (4). بعد حساب جميع العناصر في عنصر تحكم ثابت ، يتم إجراء التحقق من المساواة

يصاحب المسار العكسي لطريقة غاوس أيضًا حساب عناصر التحكم في صفوف النظام.

لتجنب التأثير الكارثي للخطأ الحسابي ، يتم استخدام طريقة Gaussian مع اختيار العنصر الرئيسي.

اختلافها عن مخطط طريقة Gaussian الموصوفة أعلاه هو كما يلي. دعونا ، في سياق القضاء على المجهول ، نظام المعادلات

دعونا نجد ذلك ونعيد الإشارة إليه ؛ ثم سنزيل المجهول من جميع المعادلات ، بدءًا من. تؤدي إعادة التصميم هذه إلى تغيير في ترتيب إزالة المجهول وفي كثير من الحالات يقلل بشكل كبير من حساسية الحل لتقريب الأخطاء في الحسابات.

غالبًا ما يكون مطلوبًا حل عدة أنظمة من المعادلات ، بنفس المصفوفة أ. ومن الملائم المضي قدمًا على النحو التالي: عن طريق إدخال الترميز

دعونا نجري العمليات الحسابية باستخدام الصيغ (4) ، ونحسب العناصر في. نتيجة لذلك ، سيتم الحصول على أنظمة p من المعادلات مع مصفوفة مثلثة ، المقابلة للمسألة الأصلية

نحن نحل هذه الأنظمة كل على حدة. اتضح أن العدد الإجمالي للعمليات الحسابية في حل أنظمة المعادلات بهذه الطريقة هو.

يتم استخدام التقنية الموضحة أعلاه أحيانًا للحصول على حكم بشأن خطأ الحل ، والذي ينتج عن تقريب الأخطاء في الحسابات ، دون تكاليف إضافية كبيرة. يتم إعطاؤها بواسطة المتجه z مع المكونات التي لها ، إن أمكن ، نفس الترتيب والإشارة كمكونات الحل المطلوب ؛ غالبًا بسبب نقص المعلومات الكافية التي يأخذونها. يتم حساب المتجه ، ومع نظام المعادلات الأصلي ، يتم حل النظام.

دعونا نحصل على حلول هذه الأنظمة. يمكن الحصول على الحكم على خطأ الحل المطلوب بناءً على الفرضية: الأخطاء النسبية في حل بطريقة الحذف للأنظمة ذات المصفوفة نفسها والجوانب اليمنى المختلفة ، على التوالي ، القيم و ، تختلف ليس بعدد كبير جدًا من المرات.

هناك طريقة أخرى للحصول على حكم حول القيمة الحقيقية للخطأ الذي ينشأ بسبب التقريب في الحسابات وهي تغيير المقياس ، مما يغير صورة تراكم الخطأ الحسابي.

إلى جانب النظام الأصلي ، يتم حل النظام بنفس الطريقة

من أجل و ، والتي ليست قوى صحيحة لاثنين ، مقارنة المتجهات وتعطي فكرة عن حجم الخطأ الحسابي. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ.

تؤدي دراسة العديد من المسائل إلى الحاجة إلى حل أنظمة المعادلات الخطية بمصفوفة محددة موجبة متماثلة. تنشأ مثل هذه الأنظمة ، على سبيل المثال ، عند حل المعادلات التفاضلية بطريقة العناصر المحدودة أو طرق الفروق المحدودة. في هذه الحالات ، تحتوي مصفوفة النظام أيضًا على بنية نطاق.

لحل مثل هذه الأنظمة ، وكذلك أنظمة المعادلات ذات الشكل الأكثر عمومية مع مصفوفة Hermitian التي ليست بالضرورة محددة موجبة ، يتم استخدام طريقة الجذر التربيعي (طريقة Cholesky). يتم تمثيل المصفوفة A كـ

حيث S هي مصفوفة مثلثة قائمة ، هي مرافقها ، أي

حيث تكون جميعها عبارة عن مصفوفة قطرية بها عناصر تساوي أو -1. تشكل مساواة المصفوفة (6) نظام المعادلات

يتم تجاهل المعادلات المماثلة لـ ، لأن المعادلات المقابلة للأزواج ومتكافئة. من هنا نحصل على الصيغ المتكررة لتحديد العناصر و:

المصفوفة S هي مثلث قائم الزاوية ، وبالتالي ، بعد الحصول على التمثيل (6) ، يتم أيضًا تقليل حل النظام الأصلي إلى الحل المتسلسل لنظامين مع مصفوفات مثلثة. لاحظ أنه في حالة كل و.

المهمة 3. تقدير عدد العمليات الحسابية وحمل ذاكرة الكمبيوتر (بافتراض انخفاض حجم الذاكرة المطلوبة لتخزين المصفوفة أ) عند حل نظام بمصفوفة محددة موجبة حقيقية بطريقة الجذر التربيعي.

يتم تنظيم العديد من حزم البرامج لحل مشاكل القيمة الحدية للفيزياء الرياضية بطريقة العناصر المحدودة وفقًا للمخطط التالي. بعد تشكيل مصفوفة النظام A عن طريق إعادة ترتيب الصفوف والأعمدة (يتم إعادة ترتيب كل من الصفوف والأعمدة في وقت واحد) ، يتم تحويل النظام إلى النموذج مع أصغر عرض للشريط. بعد ذلك ، يتم تطبيق طريقة الجذر التربيعي. في نفس الوقت ، لتقليل مقدار العمليات الحسابية عند حل نظام ذي جوانب يمنى أخرى ، يتم حفظ المصفوفة S.

في هذه المقالة ، تعتبر الطريقة كطريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAE). الطريقة تحليلية ، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية الحل بشكل عام ، ثم استبدال القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس ، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. أو ليس لديهم على الإطلاق.

ماذا يعني غاوس؟

تحتاج أولاً إلى كتابة نظام المعادلات الخاص بنا في يبدو هكذا. النظام مأخوذ:

تتم كتابة المعاملات في شكل جدول ، وعلى اليمين في عمود منفصل - أعضاء أحرار. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء حرة لتسهيل الأمر ، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود الموسعة.

علاوة على ذلك ، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى الشكل المثلثي العلوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام بطريقة غاوس. ببساطة ، بعد بعض المعالجات ، يجب أن تبدو المصفوفة هكذا ، بحيث لا يوجد سوى أصفار في الجزء السفلي الأيسر منها:

بعد ذلك ، إذا كتبت المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام معادلات ، فستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور ، والتي يتم استبدالها بعد ذلك في المعادلة أعلاه ، وتم العثور على جذر آخر ، وهكذا.

هذا وصف للحل بطريقة غاوس في المصطلحات الأكثر عمومية. وماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا حصر له منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى ، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في الحل بواسطة طريقة Gauss.

المصفوفات وخصائصها

لا يوجد معنى خفي في المصفوفة. إنها مجرد طريقة ملائمة لتسجيل البيانات لعمليات لاحقة. حتى أطفال المدارس يجب ألا يخافوا منهم.

تكون المصفوفة دائمًا مستطيلة ، لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة Gauss ، حيث يتلخص كل شيء في بناء مصفوفة مثلثة ، يظهر مستطيل في المدخل ، مع وجود أصفار فقط في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. يمكن حذف الأصفار ، لكنها ضمنية.

المصفوفة لها حجم. "عرضه" هو عدد الصفوف (م) ، "طوله" هو عدد الأعمدة (ن). ثم حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف اللاتينية الكبيرة لتسميتها) سيتم الإشارة إليها على أنها A m × n. إذا كانت m = n ، فإن هذه المصفوفة مربعة ، و m = n هو ترتيبها. وفقًا لذلك ، يمكن الإشارة إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة A برقم صفها وعمودها: a xy ؛ س - رقم الصف ، التغييرات ، رقم العمود ص ، التغييرات.

ب ليست النقطة الرئيسية في الحل. من حيث المبدأ ، يمكن إجراء جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها ، لكن التدوين سيكون أكثر تعقيدًا ، وسيكون من الأسهل بكثير الخلط فيه.

محدد

المصفوفة لها أيضًا محدد. هذه ميزة مهمة للغاية. معرفة معناه الآن لا يستحق كل هذا العناء ، يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابه ، ثم تحديد خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة لإيجاد المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الخيالية في المصفوفة ؛ تتضاعف العناصر الموجودة على كل منها ، ثم تُضاف المنتجات الناتجة: الأقطار ذات المنحدر إلى اليمين - بعلامة "زائد" ، ومنحدر إلى اليسار - بعلامة "ناقص".

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. بالنسبة إلى المصفوفة المستطيلة ، يمكنك القيام بما يلي: اختر أصغر عدد من الصفوف وعدد الأعمدة (لنكن k) ، ثم ضع علامة عشوائية على k أعمدة و k صفوف في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة مصفوفة مربعة جديدة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة هو رقم غير الصفر ، فإنه يسمى الأساس الصغرى للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

قبل الشروع في حل نظام المعادلات بطريقة غاوس ، لا يضر حساب المحدد. إذا اتضح أنها صفر ، فيمكننا أن نقول على الفور أن المصفوفة إما بها عدد لا نهائي من الحلول ، أو لا يوجد حل واحد على الإطلاق. في مثل هذه الحالة المحزنة ، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتكتشف رتبة المصفوفة.

تصنيف النظام

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الحد الأقصى لترتيب المحدد غير الصفري (تذكر الأساس الثانوي ، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

وفقًا لكيفية سير الأمور بالرتبة ، يمكن تقسيم SLAE إلى:

• مشترك. فيبالنسبة لأنظمة المفاصل ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون فقط من المعاملات) تتطابق مع مرتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات الحرة). هذه الأنظمة لها حل ، ولكن ليس بالضرورة حل واحد ، لذلك ، يتم تقسيم الأنظمة المشتركة بالإضافة إلى ذلك إلى:
• - تأكيد- وجود حل فريد. في أنظمة معينة ، تتساوى رتبة المصفوفة وعدد المجهول (أو عدد الأعمدة وهو نفس الشيء) ؛
• - غير محدد -مع عدد لا حصر له من الحلول. رتبة المصفوفات لهذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
• غير متوافق. فيمثل هذه الأنظمة ، لا تتطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

تعتبر طريقة Gauss جيدة من حيث أنها تسمح للشخص بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (بدون حساب محددات المصفوفات الكبيرة) أو حل عام لنظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

التحولات الأولية

قبل الشروع مباشرة في حل النظام ، من الممكن جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة للحسابات. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المذكورة أعلاه صالحة فقط للمصفوفات ، والتي كان مصدرها هو SLAE بالتحديد. فيما يلي قائمة بهذه التحولات:

1. تبديل السلسلة. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام ، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي ، من الممكن أيضًا تبادل الصفوف في مصفوفة هذا النظام ، دون أن ننسى بالطبع عمود الأعضاء الأحرار.
2. ضرب كل عناصر السلسلة ببعض العوامل. مفيد جدا! باستخدامه ، يمكنك تقليل الأعداد الكبيرة في المصفوفة أو إزالة الأصفار. مجموعة الحلول ، كالعادة ، لن تتغير ، وستصبح أكثر ملاءمة لإجراء المزيد من العمليات. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
3. احذف الصفوف ذات المعاملات المتناسبة. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في المصفوفة معاملات متناسبة ، فعند ضرب / قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب ، يتم الحصول على صفين (أو أكثر) متطابقين تمامًا ، ويمكنك إزالة الصفوف الزائدة ، وترك فقط واحد.
4. إزالة السطر الفارغ. إذا تم الحصول على سلسلة أثناء عمليات التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر ، بما في ذلك العضو الحر ، صفرًا ، فيمكن عندئذٍ تسمية هذه السلسلة بالصفر ويتم التخلص منها من المصفوفة.
5. إضافة عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) إلى عناصر صف واحد ، مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضًا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيها بمزيد من التفصيل.

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم ، يجدر تفكيك هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2

لنفترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني ، مضروبًا في المعامل "-2".

أ "21 \ u003d أ 21 + -2 × أ 11

أ "22 \ u003d أ 22 + -2 × أ 12

أ "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n

ثم في المصفوفة ، يتم استبدال الصف الثاني بواحد جديد ، ويبقى الصف الأول دون تغيير.

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ "21 أ" 22 ... أ "2 ن | ب 2

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار عامل الضرب بطريقة تجعل أحد عناصر السلسلة الجديدة يساوي صفرًا نتيجة إضافة سلسلتين. لذلك ، من الممكن الحصول على معادلة في النظام ، حيث ستكون هناك معادلة غير معروفة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل ، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي بالفعل على مجهولين أقل. وإذا كنا ننتقل في كل مرة إلى صفر معامل واحد لجميع الصفوف الأقل من المعامل الأصلي ، فيمكننا ، مثل الخطوات ، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات واحد غير معروف. هذا يسمى حل النظام باستخدام طريقة جاوس.

على العموم

يجب ألا يكون هناك نظام. لها معادلات م ون جذور غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. يُضاف عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الممتدة ويفصل بينهم شريط للراحة.

• يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 / a 11) ؛
• يضاف الصف الأول المعدل والصف الثاني من المصفوفة ؛
• بدلاً من الصف الثاني ، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة ؛
• الآن المعامل الأول في الصف الثاني الجديد هو 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

الآن يتم إجراء نفس سلسلة التحويلات ، يتم تضمين الصفين الأول والثالث فقط. وفقًا لذلك ، في كل خطوة من الخوارزمية ، يتم استبدال العنصر a 21 بـ 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41 ، ... a m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف يساوي صفرًا. نحتاج الآن إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

• المعامل k \ u003d (-a 32 / a 22) ؛
• يضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي" ؛
• يتم استبدال نتيجة الإضافة في الأسطر الثالث والرابع وهكذا ، بينما يظل الأول والثاني بدون تغيير ؛
• في صفوف المصفوفة ، أول عنصرين يساوي الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m، m-1 / a mm). هذا يعني أن آخر مرة تم فيها تنفيذ الخوارزمية كانت للمعادلة السفلية فقط. تبدو المصفوفة الآن كمثلث ، أو لها شكل متدرج. الخلاصة تحتوي على المساواة أ م ن × س ن = ب م. المعامل والمصطلح الحر معروفان ، ويتم التعبير عن الجذر من خلالهما: x n = b m / a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في الصف العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1، n × (b m / a mn)) ÷ a m-1، n-1. وهكذا عن طريق القياس: في كل سطر تالٍ يوجد جذر جديد ، وبعد أن وصلت إلى "قمة" النظام ، يمكنك إيجاد العديد من الحلول. سيكون الوحيد.

عندما لا توجد حلول

إذا كانت جميع العناصر في أحد صفوف المصفوفة تساوي صفرًا ، باستثناء المصطلح الحر ، فإن المعادلة المقابلة لهذا الصف تبدو مثل 0 = ب. ليس لها حل. وبما أن مثل هذه المعادلة مدرجة في النظام ، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة ، أي أنها متدهورة.

عندما يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول

قد يتضح أنه في المصفوفة المثلثية المعطاة لا توجد صفوف بها عنصر واحد - معامل المعادلة ، وواحد - عضو حر. لا يوجد سوى السلاسل التي ، عند إعادة كتابتها ، ستبدو كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. هذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟

جميع المتغيرات في المصفوفة مقسمة إلى أساسية ومجانية. أساسي - هذه هي تلك الموجودة "على حافة" الصفوف في المصفوفة المتدرجة. الباقي أحرار. في الحل العام ، تتم كتابة المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات المجانية.

للراحة ، تتم إعادة كتابة المصفوفة أولاً في نظام المعادلات. ثم في الأخير ، حيث بقي متغير أساسي واحد فقط ، يبقى في جانب ، وكل شيء آخر ينتقل إلى الآخر. يتم ذلك لكل معادلة بمتغير أساسي واحد. ثم ، في بقية المعادلات ، حيثما أمكن ، بدلاً من المتغير الأساسي ، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه من أجله. إذا كانت النتيجة مرة أخرى تعبيرًا يحتوي على متغير أساسي واحد فقط ، فسيتم التعبير عنه من هناك مرة أخرى ، وهكذا ، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير يحتوي على متغيرات حرة. هذا هو الحل العام لـ SLAE.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - أعط المتغيرات المجانية أي قيم ، ثم في هذه الحالة بالذات احسب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا نهائي من الحلول الخاصة.

حل بأمثلة محددة

هنا نظام المعادلات.

للراحة ، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور

من المعروف أنه عند الحل بطريقة Gauss ، فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى دون تغيير في نهاية التحويلات. لذلك ، سيكون الأمر أكثر ربحية إذا كان العنصر الأيسر العلوي للمصفوفة هو الأصغر - ثم ستتحول العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني مكان الصف الأول.

السطر الثاني: ك = (-a 21 / أ 11) = (-3/1) = -3

أ "21 \ u003d أ 21 + ك × أ 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

أ "22 \ u003d أ 22 + ك × أ 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

أ "23 = أ 23 + ك × أ 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

ب "2 \ u003d ب 2 + ك × ب 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

السطر الثالث: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

أ "3 1 = أ 3 1 + ك × أ 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

أ "3 2 = أ 3 2 + ك × أ 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

أ "3 3 = أ 33 + ك × أ 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

الآن ، من أجل عدم الخلط ، من الضروري كتابة المصفوفة بالنتائج الوسيطة للتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك بمساعدة بعض العمليات. على سبيل المثال ، يمكنك إزالة كل "ناقص" من السطر الثاني بضرب كل عنصر في "-1".

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن جميع العناصر في الصف الثالث عبارة عن مضاعفات للعدد ثلاثة. ثم يمكنك تقليل السلسلة بهذا الرقم ، وضرب كل عنصر في "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. علينا الآن ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع السطر الثاني والثالث. تتمثل المهمة في إضافة الصف الثاني إلى الصف الثالث ، مضروبًا في مثل هذا المعامل بحيث يصبح العنصر a 32 مساويًا للصفر.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 كسور ، وعندها فقط ، عندما يتم تلقي الإجابات ، قرر ما إذا كنت تريد التقريب والترجمة إلى شكل آخر من الرموز)

أ "32 = أ 32 + ك × أ 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

أ "33 \ u003d أ 33 + ك × أ 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

تمت كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

كما ترى ، فإن المصفوفة الناتجة لها بالفعل شكل متدرج. لذلك ، لا يلزم إجراء مزيد من التحولات للنظام بطريقة Gauss. ما يمكن عمله هنا هو إزالة المعامل العام "-1/7" من السطر الثالث.

الآن كل شيء جميل. النقطة صغيرة - اكتب المصفوفة مرة أخرى في شكل نظام معادلات واحسب الجذور

س + 2 ص + 4 ع = 12 (1)

7 س + 11 ع = 24 (2)

تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في طريقة غاوس. تحتوي المعادلة (3) على قيمة z:

ص = (24-11 × (61/9)) / 7 = -65/9

وتتيح لك المعادلة الأولى إيجاد x:

x = (12-4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

لدينا الحق في تسمية مثل هذا النظام مشتركًا ، وحتى مؤكدًا ، أي وجود حل فريد. الرد مكتوب بالصيغة التالية:

× 1 \ u003d -2/3 ، ص \ u003d -65/9 ، ض \ u003d 61/9.

مثال على نظام غير محدد

تم تحليل متغير حل نظام معين بطريقة Gauss ، والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير محدد ، أي أنه يمكن العثور على العديد من الحلول بشكل لا نهائي له.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3 س 1 + 2 س 2 + س 3 + س 4 - 3 س 5 = -2 (2)

س 2 + 2 س 3 + 2 س 4 + 6 س 5 = 23 (3)

5 س 1 + 4 س 2 + 3 س 3 + 3 س 4 - س 5 = 12 (4)

شكل النظام نفسه ينذر بالخطر بالفعل ، لأن عدد المجهول هو n = 5 ، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالفعل من هذا الرقم ، لأن عدد الصفوف م = 4 ، أي ، أكبر ترتيب لمُحدد المربع هو 4. وهذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول ، ومن الضروري البحث عن شكله العام. تتيح طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.

أولاً ، كالمعتاد ، يتم تجميع المصفوفة المعززة.

السطر الثاني: المعامل k = (-a 21 / a 11) = -3. في السطر الثالث ، يكون العنصر الأول قبل التحولات ، لذا لا تحتاج إلى لمس أي شيء ، عليك تركه كما هو. السطر الرابع: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

بضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المرغوبة ، نحصل على مصفوفة بالشكل التالي:

كما ترى ، الصفوف الثاني والثالث والرابع تتكون من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. عموماً الثاني والرابع متماثلان ، لذا يمكن إزالة أحدهما على الفور ، والباقي مضروب في المعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة ​​أخرى ، اترك واحدًا من سطرين متطابقين.

اتضح مثل هذه المصفوفة. لم يتم تدوين النظام بعد ، من الضروري هنا تحديد المتغيرات الأساسية - الوقوف عند المعاملين 11 \ u003d 1 و 22 \ u003d 1 ، ومجاني - كل الباقي.

المعادلة الثانية لها متغير أساسي واحد فقط - x 2. ومن ثم ، يمكن التعبير عنها من هناك ، الكتابة من خلال المتغيرات x 3 ، x 4 ، x 5 ، وهي مجانية.

نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.

لقد تم التوصل إلى معادلة يكون فيها المتغير الأساسي الوحيد هو x 1. لنفعل نفس الشيء مع x 2.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية ، التي يوجد منها متغيران ، في شكل ثلاثة متغيرات مجانية ، والآن يمكنك كتابة الإجابة بشكل عام.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة للنظام. في مثل هذه الحالات ، كقاعدة عامة ، يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. ثم تكون الإجابة:

16, 23, 0, 0, 0.

مثال على نظام غير متوافق

حل أنظمة المعادلات غير المتسقة بطريقة غاوس هو الأسرع. تنتهي بمجرد الحصول على معادلة ليس لها حل في إحدى المراحل. أي أن المرحلة مع حساب الجذور ، وهي طويلة جدًا وكئيبة ، تختفي. يعتبر النظام التالي:

س + ص - ض = 0 (1)

2 س - ص - ض = -2 (2)

4 س + ص - 3 ع = 5 (3)

كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

ويتم تقليله إلى شكل متدرج:

ك 1 \ u003d -2 ك 2 \ u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

بعد التحويل الأول ، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج

ليس لديها حل. لذلك ، فإن النظام غير متسق ، والإجابة هي المجموعة الفارغة.

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت أي طريقة لحل SLAE على الورق باستخدام قلم ، فإن الطريقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. في التحولات الأولية ، يكون الخلط أكثر صعوبة مما يحدث إذا كان عليك البحث يدويًا عن محدد أو بعض المصفوفة المعكوسة الصعبة. ومع ذلك ، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع ، على سبيل المثال ، جداول البيانات ، فقد اتضح أن هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد ، والقاصر ، والعكس ، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الآلة ستحسب هذه القيم بنفسها ولن تخطئ ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، لأن تطبيقها يبدأ وينتهي بحساب المحددات والمصفوفات المعكوسة.

طلب

نظرًا لأن الحل Gaussian عبارة عن خوارزمية ، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد ، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن نظرًا لأن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى" ، يجب أن يقال إن أسهل مكان لدفع الطريقة فيه هو جداول البيانات ، على سبيل المثال ، Excel. مرة أخرى ، سيتم اعتبار أي SLAE تم إدخاله في جدول في شكل مصفوفة بواسطة Excel كمصفوفة ثنائية الأبعاد. وللعمليات معهم ، هناك العديد من الأوامر الجيدة: الإضافة (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة (أيضًا مع قيود معينة) ، إيجاد المصفوفات المعكوسة والمحوّلة ، والأهم من ذلك ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد ، فسيكون من الأسرع بكثير تحديد رتبة المصفوفة ، وبالتالي إثبات توافقها أو عدم تناسقها.

نواصل النظر في أنظمة المعادلات الخطية. هذا هو الدرس الثالث في الموضوع. إذا كانت لديك فكرة غامضة عن ماهية نظام المعادلات الخطية بشكل عام ، فأنت تشعر وكأنك إبريق شاي ، ثم أوصي بالبدء بالأساسيات في الصفحة التالية ، فمن المفيد دراسة الدرس.

طريقة جاوس سهلة!لماذا ا؟ تلقى عالم الرياضيات الألماني الشهير يوهان كارل فريدريش جاوس ، خلال حياته ، اعترافًا بأنه أعظم عالم رياضيات في كل العصور ، وعبقري ، وحتى لقب "ملك الرياضيات". وكل شيء عبقري ، كما تعلمون ، بسيط!بالمناسبة ، لا يدخل المال فقط ، بل العباقرة أيضًا - صورة غاوس تتباهى على ورقة من 10 علامات ألمانية (قبل إدخال اليورو) ، ولا يزال غاوس يبتسم بشكل غامض للألمان من طوابع بريد عادية.

طريقة غاوس بسيطة من حيث أنها معرفة كافية لطالب من الدرجة الخامسة لإتقانها. يجب أن تكون قادرًا على الإضافة والمضاعفة!ليس من قبيل المصادفة أن طريقة الحذف المتتالي للمجهول يعتبرها المعلمون غالبًا في مقررات الرياضيات الاختيارية بالمدرسة. إنها مفارقة ، لكن طريقة غاوس تسبب أكبر الصعوبات للطلاب. لا شيء مثير للدهشة - الأمر كله يتعلق بالمنهجية ، وسأحاول أن أخبرك بشكل يسهل الوصول إليه عن خوارزمية الطريقة.

أولاً ، ننظم المعرفة حول أنظمة المعادلات الخطية قليلاً. يمكن لنظام المعادلات الخطية:

1) لديك حل فريد. 2) هل لديك عدد لا نهائي من الحلول. 3) ليس لديك حلول (كن غير متوافق).

طريقة Gauss هي الأداة الأقوى والأكثر تنوعًا لإيجاد حل أيأنظمة المعادلات الخطية. كما نتذكر قاعدة كرامر وطريقة المصفوفةغير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام به عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة للتخلص المتتالي من المجهول على أي حاليقودنا إلى الجواب! في هذا الدرس ، سننظر مرة أخرى في طريقة Gauss للحالة رقم 1 (الحل الوحيد للنظام) ، مقال مخصص لمواقف النقاط رقم 2-3. ألاحظ أن خوارزمية الطريقة نفسها تعمل بنفس الطريقة في جميع الحالات الثلاث.

لنعد إلى أبسط نظام من الدرس كيف تحل نظام المعادلات الخطية؟وحلها بطريقة جاوس.

الخطوة الأولى هي الكتابة نظام المصفوفة الممتد:. بأي مبدأ يتم تسجيل المعاملات ، أعتقد أن الجميع يستطيع أن يرى. لا يحمل الخط العمودي داخل المصفوفة أي معنى رياضي - إنه مجرد خط يتوسطه خط لسهولة التصميم.

المرجعي : أوصي أن أتذكر مصلحات الجبر الخطي. مصفوفة النظام هي مصفوفة تتكون فقط من معاملات للمجهول ، في هذا المثال ، مصفوفة النظام: . مصفوفة النظام الممتدة هي نفس مصفوفة النظام بالإضافة إلى عمود من الأعضاء الأحرار ، في هذه الحالة: . يمكن تسمية أي من المصفوفات ببساطة بمصفوفة للإيجاز.

بعد كتابة المصفوفة الموسعة للنظام ، من الضروري تنفيذ بعض الإجراءات معها ، والتي تسمى أيضًا التحولات الأولية.

هناك التحولات الأولية التالية:

1) سلاسلالمصفوفات يستطيع إعادة الترتيبأماكن. على سبيل المثال ، في المصفوفة قيد الدراسة ، يمكنك إعادة ترتيب الصفين الأول والثاني بأمان:

2) إذا كانت هناك (أو ظهرت) صفوف متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة ، فإنها تتبع حذفمن المصفوفة ، كل هذه الصفوف ما عدا واحد. تأمل ، على سبيل المثال ، المصفوفة . في هذه المصفوفة ، الصفوف الثلاثة الأخيرة متناسبة ، لذا يكفي ترك واحد منها فقط: .

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف. لن أرسم ، بالطبع ، خط الصفر هو الخط الذي فيه فقط الأصفار.

4) يمكن أن يكون صف المصفوفة ضرب (قسمة)لأي رقم غير صفرية. تأمل ، على سبيل المثال ، المصفوفة. يُنصح هنا بقسمة السطر الأول على -3 ، وضرب السطر الثاني في 2: . هذا الإجراء مفيد للغاية ، لأنه يبسط المزيد من تحويلات المصفوفة.

5) هذا التحول يسبب معظم الصعوبات ، ولكن في الواقع لا يوجد شيء معقد أيضًا. إلى صف المصفوفة ، يمكنك ذلك إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر. انظر إلى المصفوفة الخاصة بنا من مثال عملي:. أولاً ، سأصف التحول بتفصيل كبير. اضرب الصف الأول في -2: ، و إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في -2: . الآن يمكن تقسيم السطر الأول "للخلف" على -2:. كما ترى ، السطر الذي تمت إضافته LI – لم يتغير. دائماتم تغيير الخط الذي تمت إضافته يوتا.

من الناحية العملية ، بالطبع ، لا يرسمون بمثل هذه التفاصيل ، لكنهم يكتبون أقصر: مرة أخرى: إلى السطر الثاني أضاف الصف الأول مضروبًا في -2. عادة ما يتم ضرب الخط شفهيًا أو في مسودة ، في حين أن المسار الذهني للحسابات هو شيء من هذا القبيل:

"أعدت كتابة المصفوفة وأعد كتابة الصف الأول: »

العمود الأول أولاً. أدناه أحتاج إلى الحصول على صفر. لذلك ، أضرب الوحدة أعلاه في -2: ، وأضف الأول إلى السطر الثاني: 2 + (-2) = 0. أكتب النتيجة في السطر الثاني: »

"الآن العمود الثاني. فوق -1 مرات -2:. أضفت الأول إلى السطر الثاني: 1 + 2 = 3. أكتب النتيجة إلى السطر الثاني: »

"والعمود الثالث. فوق -5 مرات -2:. أقوم بإضافة السطر الأول إلى السطر الثاني: -7 + 10 = 3. أكتب النتيجة في السطر الثاني: »

يرجى التفكير مليًا في هذا المثال وفهم خوارزمية الحساب المتسلسل ، إذا فهمت ذلك ، فإن طريقة Gauss عمليًا "في جيبك". لكن ، بالطبع ، ما زلنا نعمل على هذا التحول.

لا تغير التحولات الأولية حل نظام المعادلات

! الانتباه: تعتبر التلاعب لا يمكن استخدام، إذا عرض عليك مهمة حيث يتم إعطاء المصفوفات "من تلقاء نفسها". على سبيل المثال ، مع "كلاسيكي" المصفوفاتلا ينبغي بأي حال من الأحوال إعادة ترتيب شيء داخل المصفوفات! دعنا نعود إلى نظامنا. لقد تم تقسيمها عمليا إلى أشلاء.

دعونا نكتب المصفوفة المعززة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نختصرها إلى عرض صعدت:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. ومرة أخرى: لماذا نضرب الصف الأول في -2؟ من أجل الحصول على الصفر في الأسفل ، ما يعني التخلص من متغير واحد في السطر الثاني.

(2) اقسم الصف الثاني على 3.

الغرض من التحولات الأولية – تحويل المصفوفة إلى شكل الخطوة: . في تصميم المهمة ، يقومون برسم "السلم" مباشرة بقلم رصاص بسيط ، وكذلك وضع دائرة حول الأرقام الموجودة في "الخطوات". مصطلح "نظرة متدرجة" في حد ذاته ليس نظريًا بالكامل ؛ في الأدبيات العلمية والتعليمية ، غالبًا ما يطلق عليه عرض شبه منحرفأو عرض مثلثي.

نتيجة للتحولات الأولية ، حصلنا عليها ما يعادلنظام المعادلات الأصلي:

الآن يحتاج النظام إلى أن يكون "غير مجدول" في الاتجاه المعاكس - تسمى هذه العملية من الأسفل إلى الأعلى طريقة غاوس العكسي.

في المعادلة السفلية ، لدينا بالفعل النتيجة النهائية:.

ضع في اعتبارك المعادلة الأولى للنظام واستبدل القيمة المعروفة بالفعل لـ "y" فيها:

دعونا نفكر في الموقف الأكثر شيوعًا ، عندما تكون طريقة Gaussian مطلوبة لحل نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل.

مثال 1

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة جاوس:

لنكتب المصفوفة المعززة للنظام:

سأقوم الآن برسم النتيجة التي سنصل إليها في سياق الحل: وأكرر ، هدفنا هو تحويل المصفوفة إلى شكل متدرج باستخدام التحويلات الأولية. من أين تبدأ في اتخاذ الإجراءات؟

أولاً ، انظر إلى الرقم الأيسر العلوي: يجب أن يكون هنا دائمًا تقريبًا وحدة. بشكل عام ، فإن -1 (وأحيانًا أرقام أخرى) يناسب أيضًا ، ولكن بطريقة ما حدث تقليديًا أن يتم وضع الوحدة هناك. كيف تنظم الوحدة؟ ننظر إلى العمود الأول - لدينا وحدة منتهية! التحول الأول: تبديل الخطين الأول والثالث:

الآن سيبقى السطر الأول بدون تغيير حتى نهاية الحل. الآن بخير.

الوحدة في أعلى اليسار منظمة. أنت الآن بحاجة إلى الحصول على أصفار في هذه الأماكن:

يتم الحصول على الأصفار بمساعدة تحول "صعب". أولاً ، نتعامل مع السطر الثاني (2 ، -1 ، 3 ، 13). ما الذي يجب فعله للحصول على الصفر في المركز الأول؟ بحاجة إلى أضف السطر الأول مضروبًا في -2 إلى السطر الثاني. عقليًا أو في مسودة ، نضرب السطر الأول في -2: (-2 ، -4 ، 2 ، -18). ونقوم باستمرار بإضافة (مرة أخرى عقليًا أو على مسودة) ، إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول ، مضروبًا بالفعل في -2:

النتيجة مكتوبة في السطر الثاني:

وبالمثل ، نتعامل مع السطر الثالث (3 ، 2 ، -5 ، -1). للحصول على الصفر في المركز الأول ، أنت بحاجة إلى السطر الثالث ، أضف السطر الأول مضروبًا في -3. عقليًا أو في المسودة ، نضرب السطر الأول في -3: (-3 ، -6 ، 3 ، -27). و إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في -3:

النتيجة مكتوبة في السطر الثالث:

في الممارسة العملية ، عادة ما يتم تنفيذ هذه الإجراءات شفهيًا وتدوينها في خطوة واحدة:

لا حاجة لحساب كل شيء دفعة واحدة وفي نفس الوقت. ترتيب العمليات الحسابية و "إدراج" النتائج ثابتةوعادة مثل هذا: أولاً نعيد كتابة السطر الأول ، ونفث أنفسنا بهدوء - باستمرار و بحرص:
ولقد فكرت بالفعل في المسار الذهني للحسابات نفسها أعلاه.

في هذا المثال ، من السهل القيام بذلك ، نقسم السطر الثاني على -5 (نظرًا لأن جميع الأرقام هناك قابلة للقسمة على 5 بدون باقي). في الوقت نفسه ، نقسم السطر الثالث على -2 ، لأنه كلما كان العدد أصغر ، كان الحل أبسط:

في المرحلة الأخيرة من التحولات الأولية ، يجب هنا الحصول على صفر إضافي:

لهذا إلى السطر الثالث نضيف السطر الثاني مضروبًا في -2:
حاول تحليل هذا الإجراء بنفسك - اضرب عقليًا السطر الثاني في -2 ونفذ الإضافة.

الإجراء الأخير الذي تم إجراؤه هو تسريحة شعر النتيجة ، اقسم السطر الثالث على 3.

نتيجة للتحولات الأولية ، تم الحصول على نظام أولي مكافئ من المعادلات الخطية: رائع.

الآن يأتي دور المسار العكسي للطريقة الغاوسية. المعادلات "حل" من الأسفل إلى الأعلى.

في المعادلة الثالثة ، لدينا بالفعل النتيجة النهائية:

لنلقِ نظرة على المعادلة الثانية:. معنى "z" معروف بالفعل ، وبالتالي:

وأخيرًا المعادلة الأولى:. "Y" و "Z" معروفان ، الأمر صغير:

إجابه:

كما لوحظ مرارًا وتكرارًا ، بالنسبة لأي نظام معادلات ، من الممكن والضروري التحقق من الحل الذي تم العثور عليه ، لحسن الحظ ، هذا ليس صعبًا وسريعًا.

مثال 2

هذا مثال على الحل الذاتي ، وعينة من الإنهاء والإجابة في نهاية الدرس.

وتجدر الإشارة إلى أن ملف مسار العملقد لا يتطابق مع مسار عملي ، وهذه سمة من سمات طريقة جاوس. لكن الإجابات يجب أن تكون هي نفسها!

مثال 3

حل نظام معادلات خطية باستخدام طريقة جاوس

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. هناك يجب أن يكون لدينا وحدة. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا لا يمكن حل أي شيء بإعادة ترتيب الصفوف. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. فعلت هذا: (1) نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأجرينا إضافة السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار "ناقص واحد" ، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لمن يريد الحصول على +1 إجراء إيماءة إضافية: ضرب السطر الأول في -1 (قم بتغيير علامته).

(2) أضيف الصف الأول مضروبًا في 5 إلى الصف الثاني ، وأضيف الصف الأول مضروبًا في 3 إلى الصف الثالث.

(3) تم ضرب السطر الأول ب -1 ، من حيث المبدأ ، هذا مخصص للجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث ونقلها إلى المركز الثاني ، وبالتالي ، في "الخطوة الثانية ، كان لدينا الوحدة المطلوبة.

(4) تمت إضافة السطر الثاني مضروبًا في 2 إلى السطر الثالث.

(5) تم تقسيم الصف الثالث على 3.

العلامة السيئة التي تشير إلى خطأ في الحساب (أقل خطأ مطبعي) هي محصلة نهائية "سيئة". وهذا يعني أنه إذا حصلنا على شيء من هذا القبيل ، وبالتالي ، ، ثم بدرجة عالية من الاحتمالية يمكن القول بأن خطأ قد حدث في سياق التحولات الأولية.

نحن نفرض الحركة العكسية ، في تصميم الأمثلة ، غالبًا ما لا تتم إعادة كتابة النظام نفسه ، ويتم أخذ المعادلات "مباشرة من المصفوفة المعطاة". أذكرك أن الحركة العكسية تعمل من الأسفل إلى الأعلى. نعم ، إليك هدية:

إجابه: .

مثال 4

حل نظام معادلات خطية باستخدام طريقة جاوس

هذا مثال على حل مستقل ، إنه أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لا بأس إذا تم الخلط بين شخص ما. حل كامل وعينة تصميم في نهاية الدرس. قد يختلف حلك عن حلك.

في الجزء الأخير ، نأخذ في الاعتبار بعض ميزات خوارزمية غاوس. الميزة الأولى هي أنه في بعض الأحيان تكون بعض المتغيرات مفقودة في معادلات النظام ، على سبيل المثال: كيف تكتب بشكل صحيح المصفوفة المعززة للنظام؟ لقد تحدثت بالفعل عن هذه اللحظة في الدرس. حكم كرامر. طريقة المصفوفة. في المصفوفة الموسعة للنظام ، نضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة: بالمناسبة ، هذا مثال سهل إلى حد ما ، حيث يوجد بالفعل صفر واحد في العمود الأول ، وهناك عدد أقل من التحويلات الأولية التي يجب إجراؤها.

الميزة الثانية هي هذه. في جميع الأمثلة التي تم بحثها ، وضعنا إما -1 أو +1 على "الخطوات". هل يمكن أن تكون هناك أرقام أخرى؟ في بعض الحالات يمكنهم ذلك. ضع في اعتبارك النظام: .

هنا في "الخطوة" اليسرى العليا لدينا شيطان. لكننا نلاحظ حقيقة أن جميع الأعداد في العمود الأول قابلة للقسمة على 2 بدون باقي - وعلى اثنين وستة آخرين. وسوف يناسبنا الشيطان في أعلى اليسار! في الخطوة الأولى ، تحتاج إلى إجراء التحولات التالية: إضافة السطر الأول مضروبًا في -1 إلى السطر الثاني ؛ إلى السطر الثالث ، أضف السطر الأول مضروبًا في -3. وبالتالي ، سوف نحصل على الأصفار المطلوبة في العمود الأول.

أو مثال افتراضي آخر: . هنا ، يناسبنا أيضًا الثلاثي الموجود في "الدرجة" الثانية ، نظرًا لأن 12 (المكان الذي نحتاج فيه للحصول على صفر) قابل للقسمة على 3 بدون باقي. من الضروري إجراء التحويل التالي: إلى السطر الثالث ، أضف السطر الثاني ، مضروبًا في -4 ، ونتيجة لذلك سيتم الحصول على الصفر الذي نحتاجه.

طريقة غاوس عالمية ، لكن هناك خصوصية واحدة. يمكنك أن تتعلم بثقة كيفية حل الأنظمة بطرق أخرى (طريقة كرامر ، طريقة المصفوفة) حرفيًا من المرة الأولى - هناك خوارزمية صارمة للغاية. ولكن لكي تشعر بالثقة في طريقة Gauss ، يجب "ملء يدك" وحل ما لا يقل عن 5-10 عشرة أنظمة. لذلك ، في البداية قد يكون هناك ارتباك ، وأخطاء في الحسابات ، ولا يوجد شيء غير عادي أو مأساوي في هذا.

طقس خريفي ممطر خارج النافذة .... لذلك ، بالنسبة للجميع ، مثال أكثر تعقيدًا لحل مستقل:

مثال 5

حل نظام من 4 معادلات خطية بأربعة مجاهيل باستخدام طريقة جاوس.

مثل هذه المهمة في الممارسة العملية ليست نادرة جدا. أعتقد أنه حتى إبريق الشاي الذي درس هذه الصفحة بالتفصيل يفهم الخوارزمية لحل مثل هذا النظام بشكل حدسي. في الأساس نفس الشيء - فقط المزيد من العمل.

يتم النظر في الحالات التي لا يتوفر فيها النظام على حلول (غير متسقة) أو لديها عدد لا نهائي من الحلول في الدرس. أنظمة وأنظمة غير متوافقة مع حل مشترك. هناك يمكنك إصلاح الخوارزمية المدروسة لطريقة غاوس.

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

المثال 2: المحلول : دعونا نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل متدرج.
تم إجراء التحولات الأولية: (1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -1. انتباه! هنا قد يكون من المغري طرح الأول من السطر الثالث ، لا أوصي بشدة بالطرح - يزيد خطر الخطأ بشكل كبير. نحن فقط نطوي! (2) تم تغيير علامة السطر الثاني (مضروبة في -1). تم تبديل الخطين الثاني والثالث. ملاحظة أننا في "الخطوات" نشعر بالرضا ليس فقط بخطوة واحدة ، ولكن أيضًا بـ -1 ، وهو الأمر الأكثر ملاءمة. (٣) أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبًا في ٥. (4) تم تغيير علامة السطر الثاني (مضروبة في -1). السطر الثالث قسّم على 14.

حركة عكسية:

إجابه : .

المثال 4: المحلول : نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

التحويلات المنجزة: (1) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الأول. وبالتالي ، يتم تنظيم الوحدة المطلوبة في "الخطوة" اليسرى العلوية. (2) أضيف الصف الأول مضروبًا في 7 إلى الصف الثاني ، وأضيف الصف الأول مضروبًا في 6 إلى الصف الثالث.

مع "الخطوة" الثانية كل شيء أسوأ ، "المرشحون" هم 17 و 23 ، ونحتاج إما واحد أو -1. تهدف التحويلات (3) و (4) إلى الحصول على الوحدة المطلوبة (3) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -1. (4) السطر الثالث ، مضروبًا في -3 ، أضيف إلى السطر الثاني. يتم استلام الشيء الضروري في الخطوة الثانية . (5) نضيف السطر الثاني مضروبًا في 6 إلى السطر الثالث. (6) تم ضرب الصف الثاني ب -1 ، وتم قسمة الصف الثالث على -83.

حركة عكسية:

إجابه :

المثال 5: المحلول : دعونا نكتب مصفوفة النظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

التحويلات المنجزة: (1) تم تبديل الخطين الأول والثاني. (2) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الرابع ، مضروبًا في -3. (3) أضيف السطر الثاني مضروبا في 4 إلى السطر الثالث ، وأضيف السطر الثاني مضروبا في -1 إلى السطر الرابع. (4) تم تغيير علامة السطر الثاني. تم تقسيم السطر الرابع على 3 ووضعه بدلاً من السطر الثالث. (5) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الرابع ، مضروبًا في -5.

حركة عكسية:

إجابه :

نتعامل اليوم مع طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية. يمكنك أن تقرأ عن ماهية هذه الأنظمة في المقالة السابقة المخصصة لحل نفس SLAE بواسطة طريقة Cramer. لا تتطلب طريقة جاوس أي معرفة محددة ، هناك حاجة فقط للعناية والاتساق. على الرغم من حقيقة أنه من وجهة نظر الرياضيات ، فإن الإعداد المدرسي كافٍ لتطبيقها ، إلا أن إتقان هذه الطريقة غالبًا ما يسبب صعوبات للطلاب. في هذه المقالة سنحاول تقليصها إلى لا شيء!

طريقة جاوس

م طريقة جاوسهي الطريقة الأكثر شيوعًا لحل SLAE (باستثناء الأنظمة الكبيرة جدًا). على عكس ما تمت مناقشته سابقًا ، فهو مناسب ليس فقط للأنظمة التي لديها حل فريد ، ولكن أيضًا للأنظمة التي لديها عدد لا حصر له من الحلول. هناك ثلاثة خيارات هنا.

1. يحتوي النظام على حل فريد (محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر) ؛
2. يحتوي النظام على عدد لا حصر له من الحلول ؛
3. لا توجد حلول ، النظام غير متسق.

إذن ، لدينا نظام (دعه يحتوي على حل واحد) ، وسنحله باستخدام طريقة Gaussian. كيف تعمل؟

تتكون طريقة Gaussian من مرحلتين - مباشرة ومعكوسة.

طريقة غاوس المباشرة

أولاً ، نكتب المصفوفة المعززة للنظام. للقيام بذلك ، نضيف عمودًا من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الرئيسية.

الجوهر الكامل للطريقة الغاوسية هو إحضار المصفوفة المعطاة إلى شكل متدرج (أو ، كما يقولون ، مثلث) عن طريق التحولات الأولية. في هذا النموذج ، يجب أن يكون هناك فقط أصفار أسفل (أو أعلى) القطر الرئيسي للمصفوفة.

ماذا يمكن ان يفعل:

1. يمكنك إعادة ترتيب صفوف المصفوفة ؛
2. إذا كانت هناك صفوف متطابقة (أو متناسبة) في المصفوفة ، فيمكنك حذفها كلها باستثناء صف واحد ؛
3. يمكنك ضرب أو قسمة سلسلة بأي رقم (باستثناء الصفر) ؛
4. تتم إزالة الخطوط الصفرية ؛
5. يمكنك إضافة سلسلة مضروبة في رقم غير صفري إلى سلسلة.

طريقة غاوس العكسي

بعد أن نحول النظام بهذه الطريقة ، واحد غير معروف xn يصبح معروفًا ، ومن الممكن إيجاد جميع المجهول المتبقية بترتيب عكسي ، مع استبدال x المعروفة بالفعل في معادلات النظام ، حتى الأول.

عندما يكون الإنترنت دائمًا في متناول اليد ، يمكنك حل نظام المعادلات باستخدام طريقة Gauss عبر الانترنت .كل ما عليك فعله هو إدخال الاحتمالات في الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. لكن يجب أن تعترف أنه من الممتع أكثر أن تدرك أن المثال لم يتم حله بواسطة برنامج كمبيوتر ، ولكن بواسطة عقلك.

مثال على حل نظام معادلات باستخدام طريقة جاوس

والآن - مثال ، بحيث يصبح كل شيء واضحًا ومفهومًا. دع نظام المعادلات الخطية يُعطى ، ومن الضروري حله بطريقة غاوس:

أولاً ، لنكتب المصفوفة المعززة:

الآن دعونا نلقي نظرة على التحولات. تذكر أننا نحتاج إلى تحقيق الشكل الثلاثي للمصفوفة. اضرب الصف الأول ب (3). اضرب الصف الثاني في (-1). دعنا نضيف الصف الثاني إلى الصف الأول ونحصل على:

ثم اضرب الصف الثالث في (-1). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:

اضرب الصف الأول ب (6). اضرب الصف الثاني ب (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

Voila - يتم إحضار النظام بالشكل المناسب. يبقى العثور على المجهول:

النظام في هذا المثال لديه حل فريد. سننظر في حل الأنظمة بمجموعة لا حصر لها من الحلول في مقال منفصل. ربما في البداية لن تعرف من أين تبدأ بتحولات المصفوفة ، ولكن بعد التدريب المناسب ستضع يديك عليها وستضغط على Gaussian SLAE like nuts. وإذا صادفت فجأة SLAU ، والتي تبين أنها صعبة للغاية بحيث لا يمكن كسرها ، فاتصل بمؤلفينا! يمكنك من خلال ترك طلب في المراسلات. معًا سنحل أي مشكلة!

1. نظام المعادلات الجبرية الخطية

1.1 مفهوم نظام المعادلات الجبرية الخطية

نظام المعادلات هو شرط يتكون من التنفيذ المتزامن لعدة معادلات فيما يتعلق بالعديد من المتغيرات. نظام المعادلات الجبرية الخطية (المشار إليها فيما يلي باسم SLAE) الذي يحتوي على معادلات m و n مجهول هو نظام من النموذج:

حيث تسمى الأرقام a ij معاملات النظام ، فإن الأرقام b i هي أعضاء أحرار ، aijو ب ط(أنا = 1 ، ... ، م ؛ ب = 1 ، ... ، ن) هي بعض الأرقام المعروفة ، و x 1 ، ... ، x n- مجهول. في تدوين المعاملات aijيشير الفهرس الأول i إلى رقم المعادلة ، ويشير المؤشر الثاني j إلى عدد المجهول الذي يقف عنده هذا المعامل. رهنا بإيجاد العدد x n. من الملائم كتابة مثل هذا النظام في شكل مصفوفة مضغوطة: AX = ب.هنا A هي مصفوفة معاملات النظام ، تسمى المصفوفة الرئيسية ؛

هو متجه عمود غير معروف xj.
هو ناقل عمود للأعضاء الأحرار ثنائية.

يتم تعريف حاصل ضرب المصفوفات A * X ، نظرًا لوجود عدد من الأعمدة في المصفوفة A مثل عدد الصفوف في المصفوفة X (قطع n).

المصفوفة الممتدة للنظام هي المصفوفة أ للنظام ، يكملها عمود من الأعضاء الأحرار

1.2 حل نظام المعادلات الجبرية الخطية

حل نظام المعادلات عبارة عن مجموعة مرتبة من الأرقام (قيم المتغيرات) ، عند استبدالها بدلاً من المتغيرات ، تتحول كل معادلة من معادلات النظام إلى مساواة حقيقية.

حل النظام هو قيم n للمجهول x1 = c1 ، x2 = c2 ، ... ، xn = cn ، مع استبدال أي معادلات النظام تتحول إلى مساواة حقيقية. يمكن كتابة أي حل للنظام في صورة عمود مصفوفة

يسمى نظام المعادلات متسقًا إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، وغير متسق إذا لم يكن له حلول.

يسمى نظام المفصل محدد إذا كان لديه حل فريد ، ول أجل غير مسمى إذا كان لديه أكثر من حل واحد. في الحالة الأخيرة ، يُطلق على كل حل من حلوله حلًا خاصًا للنظام. تسمى مجموعة الحلول الخاصة بالحل العام.

يعني حل النظام معرفة ما إذا كان متسقًا أو غير متسق. إذا كان النظام متوافقًا ، فابحث عن حله العام.

يُطلق على نظامين اسم مكافئ (مكافئ) إذا كان لهما نفس الحل العام. بمعنى آخر ، تكون الأنظمة متكافئة إذا كان كل حل لأحدها هو حل الآخر ، والعكس صحيح.

يسمى التحول ، الذي يحول تطبيقه نظامًا إلى نظام جديد مكافئ للنظام الأصلي ، تحويلًا مكافئًا أو مكافئًا. يمكن أن تكون التحولات التالية بمثابة أمثلة للتحولات المكافئة: تبديل معادلتين من النظام ، ومبادلة مجهولين مع معاملات جميع المعادلات ، وضرب كلا الجزأين من أي معادلة في النظام برقم غير صفري.

يسمى نظام المعادلات الخطية بالتجانس إذا كانت جميع المصطلحات الحرة تساوي صفرًا:

دائمًا ما يكون النظام المتجانس ثابتًا ، لأن x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 هو حل للنظام. يسمى هذا الحل باطل أو تافه.

2. طريقة القضاء على Gaussian

2.1 جوهر طريقة القضاء على Gaussian

الطريقة الكلاسيكية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية هي طريقة الحذف المتتالي للمجهول - طريقة جاوس(وتسمى أيضًا طريقة القضاء على Gaussian). هذه طريقة للتخلص من المتغيرات المتتالية ، عندما يتم ، بمساعدة التحولات الأولية ، اختزال نظام المعادلات إلى نظام مكافئ من شكل متدرج (أو ثلاثي) ، حيث يتم العثور على جميع المتغيرات الأخرى بالتتابع ، بدءًا من المتغيرات الأخيرة (بالعدد).

تتكون عملية حل Gaussian من مرحلتين: التحركات للأمام والخلف.

1. التحرك المباشر.

في المرحلة الأولى ، يتم تنفيذ ما يسمى بالتحرك المباشر ، عندما يتم ، عن طريق التحولات الأولية عبر الصفوف ، إحضار النظام إلى شكل متدرج أو ثلاثي ، أو يثبت أن النظام غير متسق. على وجه التحديد ، من بين عناصر العمود الأول من المصفوفة ، يتم اختيار عنصر غير صفري ، ويتم نقله إلى الموضع العلوي عن طريق تبديل الصفوف ، ويتم طرح الصف الأول الذي تم الحصول عليه بعد التقليب من الصفوف المتبقية ، وضربه بقيمة مساوية لنسبة العنصر الأول في كل من هذه الصفوف إلى العنصر الأول من الصف الأول ، مع وضع الصفر على العمود الموجود أسفله.

بعد إجراء التحولات المشار إليها ، يتم شطب الصف الأول والعمود الأول ذهنيًا ويستمران حتى تبقى مصفوفة ذات حجم صفري. إذا لم يتم العثور على رقم غير صفري في بعض التكرارات بين عناصر العمود الأول ، فانتقل إلى العمود التالي وقم بإجراء عملية مماثلة.

في المرحلة الأولى (الجري إلى الأمام) ، يتم تقليل النظام إلى شكل متدرج (على وجه الخصوص ، مثلثي).

النظام أدناه متدرج:

,

تُسمى المعاملات aii بالعناصر الرئيسية (الرائدة) للنظام.

(إذا كان a11 = 0 ، أعد ترتيب صفوف المصفوفة بحيث أ 11 لا تساوي 0. هذا ممكن دائمًا ، لأنه بخلاف ذلك تحتوي المصفوفة على عمود صفري ، فإن محددها يساوي صفرًا والنظام غير متسق).

نقوم بتحويل النظام عن طريق إزالة المجهول x1 في جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى (باستخدام التحولات الأولية للنظام). للقيام بذلك ، اضرب طرفي المعادلة الأولى في

ونضيف مصطلحًا بمصطلح مع المعادلة الثانية للنظام (أو من المعادلة الثانية نطرح مصطلحًا بمصطلح مضروبًا في الأول). ثم نضرب كلا الجزأين من المعادلة الأولى في ونضيفها إلى المعادلة الثالثة للنظام (أو نطرح أول واحد مضروبًا في الحد الثالث حسب الحد). وبالتالي ، نضرب الصف الأول في رقم ونضيفه على التوالي أناالسطر من أجل أنا = 2, 3, …,ن.

استمرارًا لهذه العملية ، نحصل على النظام المكافئ:

- القيم الجديدة لمعاملات المجهول والمصطلحات المجانية في معادلات m-1 الأخيرة للنظام ، والتي تحددها الصيغ:

وهكذا ، في الخطوة الأولى ، يتم تدمير جميع المعاملات تحت العنصر الرئيسي الأول أ 11

0 ، فإن الخطوة الثانية تدمر العناصر الموجودة تحت العنصر الرئيسي الثاني أ 22 (1) (إذا كان 22 (1) 0) ، وهكذا. لمواصلة هذه العملية أكثر ، سنقوم أخيرًا بتقليل النظام الأصلي إلى نظام ثلاثي في ​​الخطوة (م -1).

إذا ، في عملية اختزال النظام إلى شكل متدرج ، تظهر معادلات صفرية ، أي المساواة في الشكل 0 = 0 ، يتم تجاهلها. إذا كان هناك معادلة للشكل

يشير هذا إلى عدم توافق النظام.

هذا يكمل المسار المباشر لطريقة غاوس.

2. عكس الحركة.

في المرحلة الثانية ، يتم تنفيذ ما يسمى بالحركة العكسية ، وجوهرها هو التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية الناتجة من حيث المتغيرات غير الأساسية وبناء نظام أساسي للحلول ، أو إذا كانت جميع المتغيرات أساسية ، ثم عبر عدديًا عن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية.

يبدأ هذا الإجراء بالمعادلة الأخيرة ، والتي يتم من خلالها التعبير عن المتغير الأساسي المقابل (يوجد واحد فقط فيه) واستبداله في المعادلات السابقة ، وهكذا دواليك ، صعودًا "الخطوات".

يتوافق كل سطر مع متغير أساسي واحد بالضبط ، لذلك في كل خطوة ، باستثناء الأخير (الأعلى) ، يكرر الموقف تمامًا حالة السطر الأخير.

ملاحظة: من الناحية العملية ، من الأنسب العمل ليس مع النظام ، ولكن مع مصفوفته الممتدة ، وإجراء جميع التحويلات الأولية في صفوفه. من الملائم أن يكون المعامل a11 مساويًا لـ 1 (أعد ترتيب المعادلات أو اقسم طرفي المعادلة على a11).

2.2 أمثلة على حل SLAE بطريقة Gauss

في هذا القسم ، وباستخدام ثلاثة أمثلة مختلفة ، سوف نوضح كيف يمكن استخدام طريقة Gaussian لحل SLAE.

مثال 1. حل SLAE من الترتيب الثالث.

اضبط المعاملات على صفر عند

في السطر الثاني والثالث. للقيام بذلك ، اضربهم في 2/3 و 1 على التوالي ، وأضفهم إلى السطر الأول: