لفهم كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر ، يجب أولاً تحديد معنى المصطلح "مضاعف".

مضاعف A هو رقم طبيعي يقبل القسمة على A بدون باقي ، وبالتالي يمكن اعتبار 15 و 20 و 25 وما إلى ذلك من مضاعفات الرقم 5.

يمكن أن يكون هناك عدد محدود من القواسم على رقم معين ، ولكن هناك عدد لا حصر له من المضاعفات.

المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية هو الرقم الذي يقبل القسمة عليه بدون باقي.

كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام

المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) للأرقام (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل هذه الأرقام بالتساوي.

للعثور على شهادة عدم الممانعة ، يمكنك استخدام عدة طرق.

بالنسبة للأعداد الصغيرة ، من الملائم كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام في سطر حتى يتم العثور على رقم مشترك بينها. يتم الإشارة إلى المضاعفات في السجل بحرف كبير K.

على سبيل المثال ، يمكن كتابة مضاعفات العدد 4 على النحو التالي:

ك (4) = (8،12 ، 16 ، 20 ، 24 ، ...)

ك (6) = (12 ، 18 ، 24 ، ...)

لذلك ، يمكنك أن ترى أن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 4 و 6 هو الرقم 24. ويتم تنفيذ هذا الإدخال على النحو التالي:

المضاعف المشترك الأصغر (4، 6) = 24

إذا كانت الأرقام كبيرة ، فابحث عن المضاعف المشترك لثلاثة أرقام أو أكثر ، فمن الأفضل استخدام طريقة أخرى لحساب المضاعف المشترك الأصغر.

لإكمال المهمة ، من الضروري تحليل الأرقام المقترحة إلى عوامل أولية.

تحتاج أولاً إلى كتابة توسيع أكبر الأرقام في الخط ، وأسفله - الباقي.

في توسيع كل رقم ، قد يكون هناك عدد مختلف من العوامل.

على سبيل المثال ، دعنا نحلل العددين 50 و 20 في العوامل الأولية.

في تحلل العدد الأصغر ، يجب على المرء أن يؤكد على العوامل الغائبة في تحلل الرقم الأكبر الأول ، ثم يضيفها إليه. في المثال المعروض ، شيطان مفقود.

يمكننا الآن حساب المضاعف المشترك الأصغر بين 20 و 50.

المضاعف المشترك الأصغر (20 ، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

وبالتالي ، فإن حاصل ضرب العوامل الأولية للعدد الأكبر وعوامل الرقم الثاني ، والتي لم يتم تضمينها في تحلل العدد الأكبر ، سيكون المضاعف المشترك الأصغر.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، يجب تحليلها جميعًا إلى عوامل أولية ، كما في الحالة السابقة.

كمثال ، يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 16 ، 24 ، 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

لذلك ، اثنين فقط من التعادل من تحلل ستة عشر (واحد في تحلل 24) لم يدخل في تحليل عدد أكبر.

وبالتالي ، يجب إضافتهم إلى تحلل عدد أكبر.

المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 16 ، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

هناك حالات خاصة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر. لذلك ، إذا كان من الممكن قسمة أحد الأرقام دون الباقي على آخر ، فسيكون أكبر عدد من هذه الأرقام هو المضاعف المشترك الأصغر.

على سبيل المثال ، شهادة عدم الممانعة من اثني عشر وأربعة وعشرين ستكون أربعة وعشرين.

إذا كان من الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأرقام حقوق النشر التي لا تحتوي على نفس القواسم ، فسيكون المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم مساويًا لمنتجهم.

على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (10 ، 11) = 110.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة بالتساوي على أعداد طبيعية أخرى.

علي سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ؛

العدد 36 قابل للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ، على 18 ، على 36.

الأرقام التي يمكن القسمة على الرقم 12 (الرقم 12 هو 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) تسمى عدد القواسم. القاسم على عدد طبيعي أهو الرقم الطبيعي الذي يقسم الرقم المحدد أدون أن يترك أثرا. يسمى الرقم الطبيعي الذي يحتوي على أكثر من عاملين مركب .

لاحظ أن العددين 12 و 36 لهما قواسم مشتركة. هذه هي الأرقام: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12. أكبر قاسم على هذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين العددين أو بهو الرقم الذي يمكن به القسمة على كلا الرقمين المعينين بدون باقي أو ب.

المضاعف المشتركعدة أرقام تسمى الرقم الذي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام. علي سبيل المثال، فإن المضاعف المشترك للأرقام 9 و 18 و 45 هو 180. لكن 90 و 360 هما أيضًا مضاعفاتهما المشتركة. من بين جميع مضاعفات jcommon ، يوجد دائمًا أصغر واحد ، وفي هذه الحالة يكون 90. يسمى هذا الرقم الأقلالمضاعف المشترك (LCM).

دائمًا ما يكون المضاعف المشترك الأصغر عددًا طبيعيًا ، والذي يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تحديدها من أجلها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.

التبادلية:

الترابطية:

على وجه الخصوص ، إذا كانت وأرقام حقوق الملكية الفكرية ، إذن:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو القاسم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك ، مجموعة المضاعفات المشتركة م ، نيتطابق مع مجموعة مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر ( م ، ن).

يمكن التعبير عن مقاربات من حيث عدد الوظائف النظرية.

لذا، وظيفة Chebyshev. إلى جانب:

هذا يتبع من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يلي من قانون توزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

شهادة عدم ممانعة ( أ ، ب) بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا ، فيمكنك استخدام علاقته مع المضاعف المشترك الأصغر:

2. دع التحليل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية معروفًا:

أين ص 1 ، ... ، ص كهي أعداد أولية مختلفة ، و د 1 ، ... ، dkو ه 1 ، ... ، إلخهي أعداد صحيحة غير سالبة (يمكن أن تكون صفراً إذا لم يكن الشرط المقابل في التوسع).

ثم LCM ( أ,ب) حسب الصيغة:

بمعنى آخر ، يحتوي توسع المضاعف المشترك الأصغر على جميع العوامل الأولية المضمنة في واحد على الأقل من توسعات الأرقام أ ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا العامل.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متتالية للمضاعف المشترك الأصغر لرقمين:

القاعدة.للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لسلسلة من الأرقام ، تحتاج إلى:

- تحلل الأرقام إلى عوامل أولية ؛

- نقل التوسع الأكبر إلى عوامل المنتج المطلوب (ناتج عوامل أكبر عدد من المعطيات) ، ثم إضافة عوامل من توسع الأرقام الأخرى التي لا تحدث في الرقم الأول أو الموجودة فيه عدد أقل من المرات

- حاصل ضرب العوامل الأولية الناتج سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المعطاة.

أي رقمين طبيعيين أو أكثر لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا لم تكن الأرقام مضاعفات لبعضها البعض أو لم يكن لها نفس العوامل في التوسع ، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

تم استكمال العوامل الأولية للعدد 28 (2 ، 2 ، 7) بعامل 3 (الرقم 21) ، المنتج الناتج (84) سيكون أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و 28.

تم استكمال العوامل الأولية لأكبر رقم 30 بعامل 5 من الرقم 25 ، والمنتج الناتج 150 أكبر من أكبر رقم 30 وقابل للقسمة على جميع الأرقام المعطاة بدون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150 ، 250 ، 300 ...) كل الأرقام المعطاة هي مضاعفات.

الأعداد 2،3،11،37 أولية ، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

القاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية ، عليك ضرب كل هذه الأعداد معًا.

خيار اخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاجها:

1) تمثل كل رقم كمنتج من عوامله الأولية ، على سبيل المثال:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7 ،

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7 \ u003d 2 3 3 2 7 1 ،

3) اكتب جميع القواسم الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام ؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منهم والموجودة في جميع توسعات هذه الأرقام ؛

5) اضرب هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168 ، 180 ، 3024.

قرار. 168 \ u003d 2 2 2 3 7 \ u003d 2 3 3 1 7 1 ،

180 \ u003d 2 2 3 3 5 \ u003d 2 2 3 2 5 1 ،

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب أكبر قوى لجميع القواسم الأولية ونضربها:

المضاعف المشترك الأصغر = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

تعريف.يُطلق على أكبر عدد طبيعي يمكن من خلاله القسمة على الرقمين a و b بدون الباقي القاسم المشترك الأكبر (gcd)هذه الارقام.

لنجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 35.
ستكون قواسم 24 هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 ، والقواسم على 35 ستكون الأرقام 1 ، 5 ، 7 ، 35.
نرى أن العددين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام حقوق النشر.

تعريف.تسمى الأعداد الطبيعية حقوق النشرإذا كان القاسم المشترك الأكبر (gcd) هو 1.

أكبر قاسم مشترك (GCD)يمكن العثور عليها دون كتابة جميع قواسم الأرقام المعطاة.

تحليل العددين 48 و 36 ، نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المدرجة في توسيع أول هذه الأرقام ، نحذف تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني (أي اثنين من التعادل).
تبقى العوامل 2 * 2 * 3. حاصل ضربهم 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 36. كما تم إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لايجاد القاسم المشترك الأكبر

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام ، اشطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى ؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

إذا كانت جميع الأرقام المعطاة قابلة للقسمة على أحدها ، فسيكون هذا الرقم القاسم المشترك الأكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال ، القاسم المشترك الأكبر للعدد 15 و 45 و 75 و 180 هو 15 ، لأنه يقسم جميع الأعداد الأخرى: 45 ​​و 75 و 180.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)الأعداد الطبيعية a و b هي أصغر عدد طبيعي يكون من مضاعفات كل من a و b. يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للرقمين 75 و 60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام في صف واحد. للقيام بذلك ، نقوم بتحليل 75 و 60 إلى عوامل بسيطة: 75 \ u003d 3 * 5 * 5 ، و 60 \ u003d 2 * 2 * 3 * 5.
دعنا نكتب العوامل المتضمنة في توسيع أول هذه الأرقام ، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثاني (أي نقوم بدمج العوامل).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ، حاصل ضربها 300. هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60.

ابحث أيضًا عن المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

ل أوجد المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية تحتاج:
1) تحللهم إلى عوامل أولية ؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام ؛
3) أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية ؛
4) أوجد ناتج العوامل الناتجة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام قابلاً للقسمة على جميع الأرقام الأخرى ، فإن هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.
على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر لـ 12 و 15 و 20 و 60 سيكون 60 ، لأنه قابل للقسمة على جميع الأرقام المعطاة.

درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية الأرقام للقسمة. رقم يساوي مجموع كل مقسوماته (بدون الرقم نفسه) ، أطلقوا على الرقم المثالي. على سبيل المثال ، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3) ، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496 ، 8128 ، 33.550 ، 336. عرف الفيثاغوريون أول ثلاثة أعداد كاملة فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفًا في القرن الأول. ن. ه. تم العثور على الخامس - 33550336 - في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983 ، كان 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن حتى الآن ، لا يعرف العلماء ما إذا كانت هناك أعداد كاملة فردية ، وما إذا كان هناك أكبر عدد مثالي.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدامى بالأعداد الأولية إلى حقيقة أن أي رقم إما أولي أو يمكن تمثيله كمنتج للأعداد الأولية ، أي أن الأعداد الأولية تشبه الطوب الذي تُبنى منه بقية الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها ، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد ، كلما ندرة الأعداد الأولية. السؤال الذي يطرح نفسه: هل يوجد آخر (أكبر) عدد أولي؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) ، في كتابه "البدايات" ، والذي كان الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات لمدة ألفي عام ، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ، أي أن هناك عددًا زوجيًا وراء كل عدد أولي عدد أولي أكبر.
للعثور على الأعداد الأولية ، ابتكر عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت ، إراتوستينس ، مثل هذه الطريقة. قام بتدوين جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما ، ثم شطب الوحدة ، وهي ليست رقمًا أوليًا ولا رقمًا مركبًا ، ثم شطب من خلال واحد جميع الأرقام بعد 2 (الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، أي 4 ، 6 ، 8 ، إلخ). كان الرقم الأول المتبقي بعد 2 هو 3. ثم بعد رقم 2 ، تم شطب جميع الأرقام بعد 3 (الأرقام التي هي من مضاعفات 3 ، أي 6 ، 9 ، 12 ، إلخ). في النهاية ، بقيت الأعداد الأولية فقط دون شطب.

كيف تجد المضاعف المشترك الأصغر؟

من الضروري إيجاد كل عامل من العددين اللذين نجد لهما المضاعف المشترك الأصغر ، ثم ضرب العوامل التي تصادفت مع الرقمين الأول والثاني في بعضهما البعض. ستكون نتيجة المنتج هي المضاعف المطلوب.

على سبيل المثال ، لدينا العددين 3 و 5 وعلينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر). نحن يجب أن تتضاعفوثلاثة وخمسة لجميع الأعداد التي تبدأ من 1 2 3 ...وهكذا حتى نرى نفس الرقم هناك وهناك.

نضرب الثلاثة ونحصل على: 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15

اضرب بخمسة لتحصل على: 5، 10، 15

طريقة التحليل الأولي هي الطريقة الأكثر كلاسيكية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام المتعددة. تم توضيح هذه الطريقة بوضوح وبساطة في الفيديو التالي:

تعد عمليات الجمع والضرب والقسمة والاختزال إلى قاسم مشترك والعمليات الحسابية الأخرى نشاطًا مثيرًا للغاية ، فالأمثلة التي تشغل ورقة كاملة تحظى بإعجاب خاص.

إذن ، أوجد المضاعف المشترك لرقمين ، والذي سيكون أصغر عدد يقبل به رقمان. أريد أن أشير إلى أنه ليس من الضروري اللجوء إلى الصيغ في المستقبل للعثور على ما تبحث عنه ، إذا كنت تستطيع الاعتماد في ذهنك (وهذا يمكن تدريبه) ، فستظهر الأرقام نفسها في رأسك ثم الكسور تنقر مثل المكسرات.

بادئ ذي بدء ، سنتعلم أنه يمكننا ضرب عددين مقابل بعضهما البعض ، ثم تقليل هذا الرقم والقسمة بالتناوب على هذين العددين ، لذلك سنجد أصغر مضاعف.

على سبيل المثال ، عددين 15 و 6. نضرب ونحصل على 90. من الواضح أن هذا رقم أكبر. علاوة على ذلك ، 15 قابلة للقسمة على 3 و 6 قابلة للقسمة على 3 ، مما يعني أننا نقسم أيضًا 90 على 3. نحصل على 30. نحاول قسمة 30 على 15 هي 2. و 30 قسمة 6 هي 5. نظرًا لأن 2 هي النهاية ، اتضح أن أصغر مضاعف للأرقام 15 و 6 سيكون 30.

مع وجود المزيد من الأرقام سيكون الأمر أكثر صعوبة بقليل. ولكن إذا كنت تعرف أي الأرقام تعطي الباقي صفرًا عند القسمة أو الضرب ، إذن ، من حيث المبدأ ، لا توجد صعوبات كبيرة.

• كيف تجد شهادة عدم الممانعة

  إليك مقطع فيديو يوضح لك طريقتين للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM). من خلال التدرب على استخدام أول الطرق المقترحة ، يمكنك فهم المضاعف الأقل شيوعًا بشكل أفضل.

إليك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر. دعنا نلقي نظرة على مثال توضيحي.

من الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام في وقت واحد: 16 و 20 و 28.

• نحن نمثل كل رقم على أنه حاصل ضرب عوامله الأولية:
• نكتب قوى جميع العوامل الأولية:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• نختار جميع القواسم الأولية (المضاعفات) ذات الدرجات الأكبر ، ونضربها ونجد المضاعف المشترك الأصغر:

المضاعف المشترك الأصغر = 2 ^ 24 ^ 15 ^ 17 ^ 1 = 4457 = 560.

المضاعف المشترك الأصغر (16 ، 20 ، 28) = 560.

وهكذا ، نتيجة الحساب ، تم الحصول على الرقم 560 ، وهو المضاعف المشترك الأصغر ، أي أنه قابل للقسمة على كل رقم من الأرقام الثلاثة بدون باقي.

المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يمكن تقسيمه على عدة أرقام معينة بدون باقي. لحساب مثل هذا الرقم ، عليك أن تأخذ كل رقم وتحللها إلى عوامل بسيطة. تتم إزالة تلك الأرقام المتطابقة. يترك الجميع واحدًا تلو الآخر ، واضربهم فيما بينهم بالتبادل واحصل على المضاعف المطلوب - أقل المضاعف المشترك.

NOC أو أقل مضاعف مشترك، هو أصغر عدد طبيعي مكون من رقمين أو أكثر يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام المعطاة بدون باقي الأرقام.

فيما يلي مثال على كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 30 و 42.

• الخطوة الأولى هي تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.

بالنسبة لـ 30 ، فهي 2 × 3 × 5.

بالنسبة إلى 42 ، هذا هو 2 × 3 × 7. بما أن 2 و 3 في مفكوك العدد 30 ، فإننا نشطبهما.

• نكتب العوامل التي تدخل في مفكوك العدد 30. هذا هو 2 × 3 × 5.
• الآن تحتاج إلى ضربهم في العامل المفقود ، الذي لدينا عند تحليل 42 ، وهذا هو 7. نحصل على 2 × 3 × 5 × 7.
• نجد ما يساوي 2 × 3 × 5 × 7 ونحصل على 210.

نتيجة لذلك ، نحصل على المضاعف المشترك الأصغر للعددين 30 و 42 هو 210.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، عليك اتباع بعض الخطوات البسيطة بالتسلسل. ضع في اعتبارك هذا باستخدام مثال رقمين: 8 و 12

1. نقوم بتحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية: 8 = 2 * 2 * 2 و 12 = 3 * 2 * 2
2. نقوم بتقليل المضاعفات نفسها لأحد الأرقام. في حالتنا ، 2 * 2 تطابق ، نقوم بتقليلها للرقم 12 ، ثم 12 سيكون لها عامل واحد: 3.
3. أوجد حاصل ضرب كل العوامل المتبقية: 2 * 2 * 2 * 3 = 24

بالتحقق ، نتأكد من أن 24 يقبل القسمة على كل من 8 و 12 ، وهذا هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام. نحن هنا أوجد المضاعف المشترك الأصغر.

سأحاول أن أشرح باستخدام مثال الرقمين 6 و 8. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يمكن تقسيمه على هذه الأرقام (في حالتنا ، 6 و 8) ولن يكون هناك باقٍ.

لذلك ، نبدأ في الضرب 6 في 1 ، 2 ، 3 ، إلخ. و 8 في 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.

كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر)

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو الأصغر بين جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة بالتساوي وبدون باقي الرقمين المعينين.

طريقة 1. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، بدوره ، لكل من الأرقام المعطاة ، تكتب بترتيب تصاعدي جميع الأرقام التي تم الحصول عليها بضربها في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وهكذا.

مثالللأرقام 6 و 9.
نضرب الرقم 6 بالتسلسل في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.
نحصل على: 6 ، 12 ، 18 , 24, 30
نضرب الرقم 9 بالتسلسل في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.
نحصل على: 9 ، 18 , 27, 36, 45
كما ترى ، المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 6 و 9 سيكون 18.

هذه الطريقة مناسبة عندما يكون كلا الرقمين صغيرين ومن السهل ضربهما في سلسلة من الأعداد الصحيحة. ومع ذلك ، هناك حالات تحتاج فيها إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المكونة من رقمين أو ثلاثة أرقام ، وأيضًا عندما يكون هناك ثلاثة أرقام أولية أو أكثر.

الطريقة الثانية. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بتحليل الأعداد الأصلية إلى عوامل أولية.
بعد التحلل ، من الضروري شطب نفس الأرقام من سلسلة العوامل الأولية الناتجة. ستكون الأرقام المتبقية من الرقم الأول عاملاً للثاني ، والأرقام المتبقية من الرقم الثاني ستكون عاملاً للأول.

مثالللرقم 75 و 60.
يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60 بدون كتابة مضاعفات هذه الأرقام في صف واحد. للقيام بذلك ، نحلل 75 و 60 إلى عوامل أولية:
75 = 3 * 5 * 5 و
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
كما ترى ، فإن العوامل 3 و 5 تحدث في كلا الصفين. عقليا نحن "شطب" لهم.
دعنا نكتب العوامل المتبقية التي تم تضمينها في فك كل من هذه الأرقام. عند تحليل الرقم 75 ، تركنا الرقم 5 ، وعند تحليل الرقم 60 ، تركنا 2 * 2
لذلك ، لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60 ، نحتاج إلى ضرب الأرقام المتبقية من التوسع 75 (هذا هو 5) في 60 ، والأرقام المتبقية من توسيع الرقم 60 (هذا هو 2 * 2 ) اضرب في 75. أي لسهولة الفهم ، نقول إننا نضرب "بالعرض".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
هذه هي الطريقة التي وجدنا بها المضاعف المشترك الأصغر للعددين 60 و 75. هذا هو الرقم 300.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد ١٢ ، ١٦ ، ٢٤
في هذه الحالة ، ستكون أعمالنا أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لكن ، أولاً ، كما هو الحال دائمًا ، نحلل كل الأعداد إلى عوامل أولية
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
لتحديد المضاعف المشترك الأصغر بشكل صحيح ، نختار الأصغر من بين جميع الأرقام (هذا هو الرقم 12) ونتناول عوامله بالتسلسل ، ونشطبها إذا كان أحد صفوف الأرقام الأخرى على الأقل له نفس العامل الذي لم يتم تجاوزه بعد خارج.

الخطوة 1 . نرى أن 2 * 2 تحدث في جميع سلاسل الأرقام. نقوم بشطبها.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

الخطوة 2. في العوامل الأولية للرقم 12 ، يبقى الرقم 3. فقط. ولكنه موجود في العوامل الأولية للرقم 24. نقوم بشطب الرقم 3 من كلا الصفين ، بينما لا يُتوقع اتخاذ أي إجراء للرقم 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

كما ترى ، عند تحليل الرقم 12 ، "شطبنا" جميع الأرقام. لذلك تم الانتهاء من العثور على شهادة عدم الممانعة. يبقى فقط لحساب قيمتها.
بالنسبة للرقم 12 ، نأخذ العوامل المتبقية من الرقم 16 (الأقرب بترتيب تصاعدي)
12 * 2 * 2 = 48
هذه هي شهادة عدم الممانعة

كما ترى ، في هذه الحالة ، كان العثور على LCM أكثر صعوبة إلى حد ما ، ولكن عندما تحتاج إلى العثور عليه لثلاثة أرقام أو أكثر ، تتيح لك هذه الطريقة القيام بذلك بشكل أسرع. ومع ذلك ، فإن كلا الطريقتين لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر صحيحان.