المضاعف المشترك الأصغر المكون من ثلاثة أرقام. كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام

كيف تجد المضاعف المشترك الأصغر؟

من الضروري إيجاد كل عامل من العددين اللذين نجد لهما المضاعف المشترك الأصغر ، ثم ضرب العوامل التي تصادفت مع الرقمين الأول والثاني في بعضهما البعض. ستكون نتيجة المنتج هي المضاعف المطلوب.

على سبيل المثال ، لدينا الرقمان 3 و 5 ونحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر). نحن يجب أن تتضاعفوثلاثة وخمسة لجميع الأعداد التي تبدأ من 1 2 3 ...وهكذا حتى نرى نفس العدد هناك وهناك.

نضرب الثلاثة ونحصل على: 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15

اضرب خمسة لتحصل على: 5، 10، 15

طريقة التحليل الأولي هي الطريقة الأكثر كلاسيكية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام المتعددة. تم توضيح هذه الطريقة بوضوح وبساطة في الفيديو التالي:

تعد عمليات الجمع والضرب والقسمة والاختزال إلى قاسم مشترك والعمليات الحسابية الأخرى نشاطًا مثيرًا للغاية ، فالأمثلة التي تشغل ورقة كاملة تحظى بإعجاب خاص.

إذن ، أوجد المضاعف المشترك لرقمين ، والذي سيكون أصغر عدد يقبل به رقمان القسمة. أريد أن أشير إلى أنه ليس من الضروري اللجوء إلى الصيغ في المستقبل للعثور على ما تبحث عنه ، إذا كان بإمكانك الاعتماد في ذهنك (ويمكن تدريب هذا) ، فستظهر الأرقام نفسها في رأسك ثم الكسور تنقر مثل المكسرات.

بادئ ذي بدء ، سنتعلم أنه يمكننا ضرب عددين مقابل بعضهما البعض ، ثم تقليل هذا الرقم وقسمته بالتناوب على هذين العددين ، لذلك سنجد أصغر مضاعف.

على سبيل المثال ، عددين 15 و 6. نضرب ونحصل على 90. من الواضح أن هذا رقم أكبر. علاوة على ذلك ، 15 قابلة للقسمة على 3 و 6 قابلة للقسمة على 3 ، مما يعني أننا نقسم أيضًا 90 على 3. نحصل على 30. نحاول قسمة 30 على 15 هي 2. و 30 قسمة 6 هي 5. نظرًا لأن 2 هي النهاية ، اتضح أن أصغر مضاعف للأرقام 15 و 6 سيكون 30.

مع وجود المزيد من الأرقام ، سيكون الأمر أكثر صعوبة بقليل. ولكن إذا كنت تعرف أي الأرقام تعطي الباقي صفرًا عند القسمة أو الضرب ، إذن ، من حيث المبدأ ، لا توجد صعوبات كبيرة.

• كيف تجد شهادة عدم الممانعة

  إليك مقطع فيديو يوضح لك طريقتين للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM). من خلال التدرب على استخدام أول الطرق المقترحة ، يمكنك فهم المضاعف الأقل شيوعًا بشكل أفضل.

إليك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر. دعنا نلقي نظرة على مثال توضيحي.

من الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام في وقت واحد: 16 و 20 و 28.

• نحن نمثل كل رقم على أنه حاصل ضرب عوامله الأولية:
• نكتب قوى جميع العوامل الأولية:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• نختار جميع القواسم الأولية (المضاعفات) ذات الدرجات الأكبر ، ونضربها ونجد المضاعف المشترك الأصغر:

المضاعف المشترك الأصغر = 2 ^ 24 ^ 15 ^ 17 ^ 1 = 4457 = 560.

المضاعف المشترك الأصغر (16 ، 20 ، 28) = 560.

وهكذا ، نتيجة للحساب ، تم الحصول على الرقم 560 ، وهو المضاعف المشترك الأصغر ، أي أنه قابل للقسمة على كل من الأرقام الثلاثة بدون باقي.

المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يمكن تقسيمه على عدة أرقام معينة بدون باقي. من أجل حساب مثل هذا الرقم ، عليك أن تأخذ كل رقم وتحللها إلى عوامل بسيطة. تتم إزالة تلك الأرقام المطابقة. يترك الجميع واحدًا تلو الآخر ، واضربهم فيما بينهم بالتبادل واحصل على المضاعف المطلوب - أقل المضاعف المشترك.

NOC أو أقل مضاعف مشترك، هو أصغر عدد طبيعي مكون من رقمين أو أكثر يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام المعطاة بدون باقي الأرقام.

فيما يلي مثال على كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 30 و 42.

• الخطوة الأولى هي تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.

بالنسبة لـ 30 ، فهي 2 × 3 × 5.

بالنسبة إلى 42 ، هذا هو 2 × 3 × 7. بما أن 2 و 3 في مفكوك العدد 30 ، فإننا نشطبهما.

• نكتب العوامل التي تدخل في مفكوك العدد 30. هذا هو 2 × 3 × 5.
• الآن تحتاج إلى ضربهم في العامل المفقود ، الذي لدينا عند تحليل 42 ، وهذا هو 7. نحصل على 2 × 3 × 5 × 7.
• نجد ما يساوي 2 × 3 × 5 × 7 ونحصل على 210.

نتيجة لذلك ، نحصل على المضاعف المشترك الأصغر للعددين 30 و 42 هو 210.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، عليك اتباع بعض الخطوات البسيطة بالتسلسل. ضع في اعتبارك هذا باستخدام مثال رقمين: 8 و 12

1. نقوم بتحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية: 8 = 2 * 2 * 2 و 12 = 3 * 2 * 2
2. نقوم بتقليل المضاعفات نفسها لأحد الأرقام. في حالتنا ، 2 * 2 تطابق ، نقوم بتقليلها للرقم 12 ، ثم 12 سيكون لها عامل واحد: 3.
3. أوجد حاصل ضرب جميع العوامل المتبقية: 2 * 2 * 2 * 3 = 24

التحقق ، نتأكد من أن 24 يقبل القسمة على كل من 8 و 12 ، وهذا هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام. نحن هنا ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر.

سأحاول أن أشرح باستخدام مثال الأرقام 6 و 8. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يمكن تقسيمه على هذه الأرقام (في حالتنا ، 6 و 8) ولن يكون هناك باقٍ.

لذلك ، نبدأ في الضرب 6 في 1 ، 2 ، 3 ، وما إلى ذلك ، و 8 في 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.

موضوع "تعدد الأعداد" يدرس في الصف الخامس من المدرسة الاساسية. هدفها هو تحسين المهارات الكتابية والشفوية للحسابات الرياضية. في هذا الدرس ، تم تقديم مفاهيم جديدة - "الأعداد المتعددة" و "القواسم" ، تقنية إيجاد القواسم ومضاعفات العدد الطبيعي ، القدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.

هذا الموضوع مهم جدا. يمكن تطبيق المعرفة عليه عند حل الأمثلة مع الكسور. للقيام بذلك ، عليك إيجاد المقام المشترك بحساب المضاعف المشترك الأصغر (م.م.س).

مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.

كل رقم طبيعي له عدد لا حصر له من مضاعفاته. يعتبر الأقل. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.

من الضروري إثبات أن الرقم 125 هو أحد مضاعفات الرقم 5. للقيام بذلك ، تحتاج إلى قسمة الرقم الأول على الثاني. إذا كان 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي ، فالجواب هو نعم.

هذه الطريقة قابلة للتطبيق للأعداد الصغيرة.

عند حساب المضاعف المشترك الأصغر ، توجد حالات خاصة.

1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لرقمين (على سبيل المثال ، 80 و 20) ، حيث يكون أحدهما (80) قابلاً للقسمة دون الباقي على الآخر (20) ، فإن هذا الرقم (80) هو الأصغر مضاعف هذين الرقمين.

المضاعف المشترك الأصغر (80، 20) = 80.

2. إذا لم يكن للاثنين قاسم مشترك ، فيمكننا القول إن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما هو حاصل ضرب هذين العددين.

المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 7) = 42.

تأمل المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 قواسم. يقسمون مضاعفات دون الباقي.

في هذا المثال ، 6 و 7 عبارة عن قواسم زوجية. حاصل ضربهم يساوي أكثر عدد مضاعف (42).

يسمى الرقم أوليًا إذا كان قابلاً للقسمة على نفسه فقط أو على 1 (3: 1 = 3 ؛ 3: 3 = 1). ويطلق على الباقي مركب.

في مثال آخر ، تحتاج إلى تحديد ما إذا كان الرقم 9 مقسومًا على 42.

42: 9 = 4 (الباقي 6)

الجواب: 9 ليس قاسماً على 42 لأن الإجابة بها باقٍ.

يختلف القاسم عن المضاعف في أن القاسم هو الرقم الذي تقسم به الأعداد الطبيعية ، والمضاعف نفسه قابل للقسمة على هذا الرقم.

أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بمضروبة في أصغر مضاعف لها ، ستعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.

وهي: GCD (أ ، ب) × المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ × ب.

يمكن العثور على المضاعفات الشائعة للأعداد الأكثر تعقيدًا بالطريقة التالية.

على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ 168، 180، 3024.

نحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية ، ونكتبها على أنها نتاج قوى:

168 = 2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

المضاعف المشترك الأصغر (168 ، 180 ، 3024) = 15120.

تعريف.يُطلق على أكبر عدد طبيعي يمكن من خلاله القسمة على الرقمين a و b بدون الباقي القاسم المشترك الأكبر (gcd)هذه الارقام.

لنجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 35.
ستكون قواسم 24 هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 ، والقواسم على 35 ستكون الأرقام 1 ، 5 ، 7 ، 35.
نرى أن العددين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام حقوق النشر.

تعريف.تسمى الأعداد الطبيعية حقوق النشرإذا كان القاسم المشترك الأكبر (gcd) هو 1.

أكبر قاسم مشترك (GCD)يمكن العثور عليها دون كتابة جميع قواسم الأرقام المحددة.

تحليل العددين 48 و 36 ، نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المدرجة في توسيع أول هذه الأرقام ، نحذف تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني (أي اثنين من التعادل).
تبقى العوامل 2 * 2 * 3. حاصل ضربهم 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 36. كما تم إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لايجاد القاسم المشترك الأكبر

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام ، اشطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى ؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

إذا كانت جميع الأرقام المعطاة قابلة للقسمة على أحدها ، فسيكون هذا الرقم القاسم المشترك الأكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال ، القاسم المشترك الأكبر للعدد 15 و 45 و 75 و 180 هو 15 ، لأنه يقسم جميع الأعداد الأخرى: 45 ​​و 75 و 180.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)الأعداد الطبيعية a و b هي أصغر عدد طبيعي يكون من مضاعفات كل من a و b. يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للرقمين 75 و 60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام في صف واحد. للقيام بذلك ، نقوم بتحليل 75 و 60 إلى عوامل بسيطة: 75 \ u003d 3 * 5 * 5 ، و 60 \ u003d 2 * 2 * 3 * 5.
دعنا نكتب العوامل المدرجة في فك أول هذه الأرقام ، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع العدد الثاني (أي أننا نجمع العوامل).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ، منتجها 300. هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60.

ابحث أيضًا عن المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

إلى ابحث عن المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية تحتاج:
1) تحللهم إلى عوامل أولية ؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام ؛
3) أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية ؛
4) أوجد ناتج العوامل الناتجة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام قابلاً للقسمة على جميع الأرقام الأخرى ، فإن هذا الرقم هو أقل مضاعف مشترك لهذه الأرقام.
على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر لـ 12 و 15 و 20 و 60 سيكون 60 ، لأنه قابل للقسمة على جميع الأرقام المعطاة.

درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية الأرقام للقسمة. رقم يساوي مجموع كل مقسوماته (بدون الرقم نفسه) ، أطلقوا على الرقم المثالي. على سبيل المثال ، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3) ، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496 ، 8128 ، 33،550 ، 336. عرف الفيثاغوريون أول ثلاثة أعداد كاملة فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفًا في القرن الأول. ن. ه. تم العثور على الخامس - 33550336 - في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983 ، كان 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن حتى الآن ، لا يعرف العلماء ما إذا كانت هناك أعداد كاملة فردية ، وما إذا كان هناك أكبر عدد مثالي.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدامى بالأعداد الأولية إلى حقيقة أن أي رقم إما أولي أو يمكن تمثيله كمنتج للأعداد الأولية ، أي أن الأعداد الأولية تشبه الطوب الذي تُبنى منه بقية الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها ، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد ، كلما ندرة الأعداد الأولية. السؤال الذي يطرح نفسه: هل يوجد آخر (أكبر) عدد أولي؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) ، في كتابه "البدايات" ، والذي كان الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات لمدة ألفي عام ، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية ، أي أن هناك عددًا زوجيًا وراء كل عدد أولي عدد أولي أكبر.
للعثور على الأعداد الأولية ، ابتكر عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت ، إراتوستينس ، مثل هذه الطريقة. قام بتدوين جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما ، ثم شطب الوحدة ، وهي ليست عددًا أوليًا ولا رقمًا مركبًا ، ثم شطب من خلال واحد جميع الأرقام بعد 2 (الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، أي 4 ، 6 ، 8 ، إلخ). الرقم الأول المتبقي بعد الرقم 2 هو 3. ثم بعد رقم 2 ، تم شطب جميع الأرقام بعد 3 (الأرقام التي هي من مضاعفات 3 ، أي 6 ، 9 ، 12 ، إلخ). في النهاية ، بقيت الأعداد الأولية فقط دون شطب.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة بالتساوي على أعداد طبيعية أخرى.

فمثلا:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ؛

العدد 36 قابل للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ، على 18 ، على 36.

الأرقام التي يمكن القسمة على الرقم 12 (الرقم 12 هو 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) تسمى عدد القواسم. المقسوم على عدد طبيعي أهو الرقم الطبيعي الذي يقسم الرقم المحدد أدون أن يترك أثرا. يسمى الرقم الطبيعي الذي يحتوي على أكثر من عاملين مركب .

لاحظ أن العددين 12 و 36 لهما قواسم مشتركة. هذه هي الأرقام: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12. أكبر قاسم على هذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين العددين أو بهو الرقم الذي يمكن به القسمة على كلا الرقمين المعينين بدون باقي أو ب.

المضاعف المشتركعدة أرقام تسمى الرقم الذي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام. فمثلا، فإن المضاعف المشترك للأرقام 9 و 18 و 45 هو 180. لكن 90 و 360 هما أيضًا مضاعفاتهما المشتركة. من بين جميع مضاعفات jcommon ، يوجد دائمًا أصغر واحد ، وفي هذه الحالة يكون 90. هذا الرقم يسمى الأقلالمضاعف المشترك (LCM).

دائمًا ما يكون المضاعف المشترك الأصغر عددًا طبيعيًا ، والذي يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تحديدها من أجلها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). الخصائص.

التبادلية:

الترابطية:

على وجه الخصوص ، إذا كانت أرقام حقوق الملكية الفكرية ، ثم:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو القاسم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك ، مجموعة المضاعفات المشتركة م ، نيتطابق مع مجموعة مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر ( م ، ن).

يمكن التعبير عن المقاربات من حيث بعض الوظائف النظرية للأرقام.

لذا، وظيفة Chebyshev. إلى جانب:

هذا يتبع من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يتبع قانون توزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

شهادة عدم ممانعة ( أ ، ب) بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا ، فيمكنك استخدام علاقته مع المضاعف المشترك الأصغر:

2. دع التحليل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية معروفًا:

أين ص 1 ، ... ، ص كهي أعداد أولية مختلفة ، و د 1 ، ... ، dkو ه 1 ، ... ، إلخهي أعداد صحيحة غير سالبة (يمكن أن تكون صفراً إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في حالة التحلل).

ثم LCM ( أ,ب) حسب الصيغة:

بعبارة أخرى ، يحتوي توسع LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في واحد على الأقل من توسعات الأرقام أ ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا العامل.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متتالية للمضاعف المشترك الأصغر لرقمين:

قاعدة.للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لسلسلة من الأرقام ، تحتاج إلى:

- تحلل الأرقام إلى عوامل أولية ؛

- نقل التوسع الأكبر إلى عوامل المنتج المطلوب (ناتج عوامل أكبر عدد من المعطيات) ، ثم إضافة عوامل من توسع الأرقام الأخرى التي لا تحدث في الرقم الأول أو الموجودة فيه عدد أقل من المرات

- حاصل ضرب العوامل الأولية الناتج سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المعطاة.

أي رقمين طبيعيين أو أكثر لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا لم تكن الأرقام مضاعفات لبعضها البعض أو لم يكن لها نفس العوامل في التوسع ، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

تم استكمال العوامل الأولية للعدد 28 (2 ، 2 ، 7) بعامل 3 (الرقم 21) ، المنتج الناتج (84) سيكون أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و 28.

تم استكمال العوامل الأولية لأكبر رقم 30 بعامل 5 من الرقم 25 ، والمنتج الناتج 150 أكبر من أكبر رقم 30 وقابل للقسمة على جميع الأرقام المعطاة بدون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150 ، 250 ، 300 ...) تكون جميع الأرقام المعطاة من مضاعفاته.

الأعداد 2،3،11،37 أولية ، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية ، عليك ضرب كل هذه الأعداد معًا.

خيار اخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاجها:

1) تمثل كل رقم كمنتج من عوامله الأولية ، على سبيل المثال:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7 ،

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7 \ u003d 2 3 3 2 7 1 ،

3) اكتب جميع القواسم الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام ؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها ، والموجودة في جميع توسعات هذه الأرقام ؛

5) اضرب هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168 و 180 و 3024.

المحلول. 168 \ u003d 2 2 2 3 7 \ u003d 2 3 3 1 7 1 ،

180 \ u003d 2 2 3 3 5 \ u003d 2 2 3 2 5 1 ،

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب أكبر قوى لجميع القواسم الأولية ونضربها:

المضاعف المشترك الأصغر = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

يرتبط المضاعف المشترك الأصغر لرقمين ارتباطًا مباشرًا بالمقسوم المشترك الأكبر لهذين الرقمين. هذه ربط بين GCD و NOCيتم تعريفه من خلال النظرية التالية.

نظرية.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين a و b يساوي حاصل ضرب العددين a و b مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b ، أي ، المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب).

دليل - إثبات.

يترك م هو بعض مضاعفات الأعداد أ وب. وهذا يعني أن M قابلة للقسمة على a ، ومن خلال تعريف القسمة ، يوجد عدد صحيح k بحيث تكون المساواة M = a · k صحيحة. لكن M يقبل القسمة أيضًا على b ، ثم k يقبل القسمة على b.

تشير إلى gcd (a، b) كـ d. ثم يمكننا كتابة المعادلات a = a 1 · d و b = b 1 · d ، و a 1 = a: d و b 1 = b: d سيكونان أرقامًا للجريمة. لذلك ، يمكن إعادة صياغة الشرط الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة بأن a k قابل للقسمة على b على النحو التالي: a 1 d k قابل للقسمة على b 1 d ، وهذا ، نظرًا لخصائص القابلية للقسمة ، يكافئ الشرط القائل بأن a 1 k يقبل القسمة على ب واحد.

نحتاج أيضًا إلى كتابة نتيجتين مهمتين من النظرية المدروسة.

المضاعفات المشتركة لرقمين هي نفس مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر.

هذا صحيح ، نظرًا لأن أي مضاعف مشترك لأرقام M a و b يتم تعريفه من خلال المساواة M = LCM (a ، b) t لبعض قيمة عدد صحيح t.

المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الموجبة أ و ب يساوي حاصل ضربهما.

الأساس المنطقي لهذه الحقيقة واضح تمامًا. بما أن a و b جريمة مشتركة ، إذن gcd (أ ، ب) = 1 ، لذلك ، المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب) = أ ب: 1 = أ ب.

المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن اختزال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين على التوالي. يشار إلى كيفية القيام بذلك في النظرية التالية: تتطابق أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك مع المضاعفات المشتركة للأرقام م ك 1 و أ ك ، لذلك ، تتطابق مع مضاعفات م ك. وبما أن أصغر مضاعف موجب للعدد م ك هو الرقم م ك نفسه ، فإن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك هو م ك.

فهرس.

• فيلينكين ن. إلخ الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.
• فينوغرادوف إ. أساسيات نظرية الأعداد.
• ميخيلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
• كوليكوف ل. مجموعة مسائل في الجبر ونظرية الأعداد: كتاب مدرسي لطلاب fiz.-mat. تخصصات المعاهد التربوية.