خصائص التقدم الحسابي للصيغة. مجموع مصطلحات n الأولى للتقدم الحسابي

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم أ مُسَمًّى العضو التاسع في التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 مُسَمًّى تالي (تجاه أ )، أ أ — سابق (تجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د مُسَمًّى الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د ها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها يساوي المتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أولاً ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاثة من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ثم يتزايد.
• لو د < 0 ثم يتناقص.
• لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف ها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن شروط التقدم الهندسي مع المقام ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- ك -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

لو ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، إنه

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، الذي - التي

سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.

غالبًا ما يكون هذا الموضوع صعبًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف ، المصطلح التاسع للتقدم ، الاختلاف في التقدم - كل هذا مربك إلى حد ما ، نعم ... دعنا نفهم معنى التقدم الحسابي وسيعمل كل شيء على الفور.)

مفهوم التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط للغاية وواضح. شك؟ عبثا.) انظر بنفسك.

سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 2, 3, 4, 5, ...

هل يمكنك تمديد هذا الخط؟ ما هي الأرقام التي ستذهب بعد ذلك ، بعد الخمسة؟ الجميع ... آه ... ، باختصار ، سيكتشف الجميع أن الأرقام 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، إلخ ، ستذهب إلى أبعد من ذلك.

دعونا نعقد المهمة. أعطي سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

2, 5, 8, 11, 14, ...

يمكنك التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابعرقم الصف؟

إذا اكتشفت أن هذا الرقم هو 20 - أهنئك! لم تشعر فقط النقاط الرئيسية للتقدم الحسابي ،ولكن أيضًا استخدمتها بنجاح في الأعمال! إذا كنت لا تفهم ، واصل القراءة.

الآن دعنا نترجم النقاط الرئيسية من الأحاسيس إلى الرياضيات.)

النقطة الرئيسية الأولى.

يتعامل التقدم الحسابي مع سلسلة من الأرقام.هذا محير في البداية. تعودنا على حل المعادلات وبناء الرسوم البيانية وكل ذلك ... ثم تمديد المتسلسلة ، وإيجاد رقم المتسلسلة ...

لا بأس. إنه فقط أن التعاقب هو أول معرفة بفرع جديد للرياضيات. يسمى هذا القسم "سلسلة" ويعمل مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. اعتد عليه.)

النقطة الرئيسية الثانية.

في التقدم الحسابي ، يختلف أي رقم عن الرقم السابق بنفس المقدار.

في المثال الأول ، هذا الاختلاف واحد. مهما كان الرقم الذي تأخذه ، فهو أكثر من الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم أكبر بثلاث مرات من الرقم السابق. في الواقع ، هذه هي اللحظة التي تمنحنا الفرصة لالتقاط النمط وحساب الأرقام اللاحقة.

النقطة الرئيسية الثالثة.

هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر ، نعم ... لكنها مهمة جدًا جدًا. ها هو: كل رقم تقدم في مكانه.يوجد الرقم الأول ، هناك السابع ، هناك الخامس والأربعون ، وهكذا. إذا قمت بخلطهم عشوائيًا ، فسيختفي النمط. سيختفي التقدم الحسابي أيضًا. إنها مجرد سلسلة من الأرقام.

هذا هو بيت القصيد.

بالطبع ، تظهر مصطلحات ورموز جديدة في الموضوع الجديد. إنهم بحاجة إلى أن يعرفوا. خلاف ذلك ، لن تفهم المهمة. على سبيل المثال ، عليك أن تقرر شيئًا مثل:

اكتب الحدود الستة الأولى للتقدم الحسابي (أ ن) إذا كانت 2 = 5 ، د = -2.5.

هل يلهمك؟) الرسائل ، بعض الفهارس ... وبالمناسبة ، لا يمكن أن تكون المهمة أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والترميز. الآن سوف نتقن هذا الأمر ونعود إلى المهمة.

الشروط والتعيينات.

المتوالية العدديةعبارة عن سلسلة من الأرقام يختلف فيها كل رقم عن الرقم السابق بنفس المقدار.

هذه القيمة تسمى . دعونا نتعامل مع هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

فرق التقدم الحسابي.

فرق التقدم الحسابيهو المبلغ الذي به أي رقم تقدم أكثرالسابقة.

نقطة مهمة واحدة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر".رياضيا ، هذا يعني أنه يتم الحصول على كل رقم تقدم مضيفاالفرق في التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.

لحساب ، دعنا نقول ثانيةأرقام الصف ، فمن الضروري أولاًرقم يضيفهذا الاختلاف ذاته في التقدم الحسابي. للحساب الخامس- الاختلاف ضروري يضيفل الرابعحسنًا ، إلخ.

فرق التقدم الحسابيربما إيجابيثم سيصبح كل رقم من السلسلة حقيقيًا أكثر من السابق.هذا التقدم يسمى في ازدياد.على سبيل المثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

هنا كل رقم مضيفارقم موجب ، +5 إلى الرقم السابق.

يمكن أن يكون الاختلاف سلبيثم كل رقم في السلسلة سيكون أقل من السابق.يسمى هذا التقدم (لن تصدق ذلك!) تناقص.

على سبيل المثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا مضيفاإلى الرقم السابق ، ولكن السالب بالفعل ، -5.

بالمناسبة ، عند العمل مع التقدم ، من المفيد جدًا تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. إنه يساعد كثيرًا في العثور على اتجاهاتك في القرار ، واكتشاف أخطائك وتصحيحها قبل فوات الأوان.

فرق التقدم الحسابيعادة ما يشار إليها بالحرف د.

كيف تجد د؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم من المتسلسلة سابقرقم. طرح او خصم. بالمناسبة ، نتيجة الطرح تسمى "فرق".)

دعنا نحدد ، على سبيل المثال ، دلزيادة التقدم الحسابي:

2, 5, 8, 11, 14, ...

نأخذ أي رقم من الصف الذي نريده ، على سبيل المثال ، 11. اطرح منه الرقم السابقأولئك. 8:

هذا هو الجواب الصحيح. بالنسبة لهذا التقدم الحسابي ، يكون الفرق ثلاثة.

يمكنك فقط أن تأخذ أي عدد من التعاقب ،لأن لتقدم معين د-دائما نفس الشيء.على الأقل في مكان ما في بداية الصف ، على الأقل في المنتصف ، أو في أي مكان على الأقل. لا يمكنك أن تأخذ الرقم الأول فقط. فقط لأن الرقم الأول لا سابقة.)

بالمناسبة ، مع العلم بذلك د = 3، العثور على الرقم السابع من هذا التقدم بسيط للغاية. نضيف 3 إلى العدد الخامس - نحصل على السادس ، سيكون 17. نضيف ثلاثة إلى الرقم السادس ، ونحصل على الرقم السابع - عشرون.

دعنا نحدد دلتقدم حسابي متناقص:

8; 3; -2; -7; -12; .....

أذكرك أنه ، بغض النظر عن العلامات ، لتحديد دمطلوب من أي رقم يسلب السابق.نختار أي عدد من التقدم ، على سبيل المثال -7. رقمه السابق هو -2. ثم:

د = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

يمكن أن يكون الاختلاف في التقدم الحسابي أي رقم: عدد صحيح ، كسري ، غير منطقي ، أي.

مصطلحات وتسميات أخرى.

يتم استدعاء كل رقم في السلسلة عضو في التقدم الحسابي.

كل عضو في التقدم لديه رقمه.الأرقام مرتبة بدقة ، دون أي حيل. الأول ، الثاني ، الثالث ، الرابع ، إلخ. على سبيل المثال ، في التقدم 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ... اثنان هو العضو الأول ، وخمسة هو الثاني ، وأحد عشر هو الرابع ، حسنًا ، أنت تفهم ...) يرجى فهم ذلك بوضوح - الأرقام نفسهايمكن أن يكون أيًا ، كليًا ، كسريًا ، سالبًا ، أيًا كان ، ولكن الترقيم- بالترتيب بدقة!

كيف تكتب التقدم بشكل عام؟ لا مشكلة! كل رقم في السلسلة مكتوب كحرف. للإشارة إلى التقدم الحسابي ، كقاعدة عامة ، يتم استخدام الحرف أ. يُشار إلى رقم العضو بالفهرس الموجود أسفل اليمين. تتم كتابة الأعضاء مفصولة بفواصل (أو فاصلة منقوطة) ، مثل هذا:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، أ 4 ، أ 5 ، .....

أ 1هو الرقم الأول أ 3- الثالث ، إلخ. لا شيء صعب. يمكنك كتابة هذه السلسلة باختصار مثل هذا: (أ).

هناك تعاقب محدود ولانهائي.

ذروةالتقدم لديه عدد محدود من الأعضاء. خمسة ، وثمانية وثلاثون ، أيا كان. لكنه عدد محدود.

بلا نهايةالتقدم - يحتوي على عدد لا حصر له من الأعضاء ، كما قد تتخيل.)

يمكنك كتابة تقدم نهائي من خلال سلسلة مثل هذه ، كل الأعضاء ونقطة في النهاية:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، 4 ، أ 5.

أو هكذا ، إذا كان هناك العديد من الأعضاء:

أ 1 ، أ 2 ، ... أ 14 ، أ 15.

في الإدخال القصير ، سيتعين عليك الإشارة أيضًا إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضوًا) ، مثل هذا:

(أ ن) ، ن = 20

يمكن التعرف على التقدم اللانهائي بواسطة علامة الحذف في نهاية الصف ، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.

الآن يمكنك بالفعل حل المهام. المهام بسيطة ، فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.

أمثلة على مهام التقدم الحسابي.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المهمة أعلاه:

1. اكتب أول ستة أعضاء من التقدم الحسابي (أ ن) ، إذا كانت 2 = 5 ، د = -2.5.

نترجم المهمة إلى لغة مفهومة. بالنظر إلى التقدم الحسابي اللانهائي. الرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 = 5.فرق التقدم المعروف: د = -2.5.نحتاج إلى إيجاد الأعضاء الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.

للتوضيح ، سأقوم بتدوين سلسلة حسب حالة المشكلة. أول ستة أعضاء حيث يكون العضو الثاني خمسة:

أ 1 ، 5 ، أ 3 ، أ 4 ، أ 5 ، أ 6 ، ...

أ 3 = أ 2 + د

نعوض في التعبير أ 2 = 5و د = -2.5. لا تنسى الطرح!

أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

المصطلح الثالث أقل من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان الرقم أكبر من الرقم السابق سلبيالقيمة ، لذلك سيكون الرقم نفسه أقل من الرقم السابق. التقدم آخذ في التناقص. حسنًا ، دعنا نأخذ ذلك في الاعتبار.) نحن نعتبر العضو الرابع في سلسلتنا:

أ 4 = أ 3 + د

أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

أ 5 = أ 4 + د

أ 5=0+(-2,5)= - 2,5

أ 6 = أ 5 + د

أ 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

لذلك ، تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. نتج عن ذلك سلسلة:

أ 1 ، 5 ، 2.5 ، 0 ، -2.5 ، -5 ، ....

يبقى إيجاد المصطلح الأول أ 1وفقًا للثانية المعروفة. هذه خطوة في الاتجاه الآخر ، إلى اليسار). ومن ثم ، فإن الاختلاف في التقدم الحسابي دلا ينبغي أن يضاف إلى أ 2، أ يبعد:

أ 1 = أ 2 - د

أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

هذا كل ما في الامر. استجابة المهمة:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

بالمرور ، ألاحظ أننا حللنا هذه المهمة متكررطريق. هذه الكلمة الرهيبة تعني فقط البحث عن عضو في التقدم بالرقم السابق (المجاور).ستتم مناقشة طرق أخرى للعمل مع التقدم لاحقًا.

يمكن استخلاص استنتاج واحد مهم من هذه المهمة البسيطة.

يتذكر:

إذا عرفنا عضوًا واحدًا على الأقل والاختلاف في التقدم الحسابي ، فيمكننا العثور على أي عضو في هذا التقدم.

يتذكر؟ يتيح لنا هذا الاستنتاج البسيط حل معظم مشاكل الدورة المدرسية حول هذا الموضوع. تدور جميع المهام حول ثلاث معلمات رئيسية: عضو في التقدم الحسابي ، فرق التقدم ، عدد أعضاء التقدم.الجميع.

بالطبع ، لا يتم إلغاء كل الجبر السابق.) المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى مرتبطة بالتقدم. لكن حسب التقدم- كل شيء يدور حول ثلاث معايير.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك بعض المهام الشائعة في هذا الموضوع.

2. اكتب التقدم الحسابي النهائي على شكل سلسلة إذا كان n = 5 و d = 0.4 و a 1 = 3.6.

كل شيء بسيط هنا. كل شيء معطى بالفعل. عليك أن تتذكر كيف يتم حساب وحساب وكتابة أعضاء التقدم الحسابي. يُنصح بعدم تخطي الكلمات في شرط المهمة: "نهائي" و " ن = 5لكي لا تحسب حتى يصبح وجهك أزرق تمامًا.) هناك 5 (خمسة) أعضاء فقط في هذا التقدم:

أ 2 \ u003d أ 1 + د \ u003d 3.6 + 0.4 \ u003d 4

أ 3 \ u003d أ 2 + د \ u003d 4 + 0.4 \ u003d 4.4

أ 4 = أ 3 + د = 4.4 + 0.4 = 4.8

أ 5 = أ 4 + د = 4.8 + 0.4 = 5.2

يبقى أن نكتب الجواب:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

مهمة أخرى:

3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 سيكون عضوا في التقدم الحسابي (أ ن) إذا أ 1 \ u003d 4.1 ؛ د = 1.2.

حسنًا ... من يدري؟ كيف تحدد شيئا؟

كيف ... نعم ، اكتب التقدم في شكل سلسلة ومعرفة ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نعتقد:

أ 2 \ u003d أ 1 + د \ u003d 4.1 + 1.2 \ u003d 5.3

أ 3 \ u003d أ 2 + د \ u003d 5.3 + 1.2 \ u003d 6.5

أ 4 = أ 3 + د = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

من الواضح الآن أننا سبعة فقط تسللوا عبربين 6.5 و 7.7! السبعة لم يدخلوا في سلسلة الأعداد الخاصة بنا ، وبالتالي ، فإن السبعة لن يكونوا عضوًا في التقدم المعين.

الجواب: لا.

وهذه مهمة تستند إلى نسخة حقيقية من GIA:

4. يتم كتابة عدة أعضاء متتاليين من التقدم الحسابي:

... ؛ 15؛ X ؛ 9 ؛ 6 ؛ ...

هنا سلسلة بلا نهاية وبداية. لا توجد أرقام أعضاء ، لا فرق د. لا بأس. لحل المشكلة ، يكفي فهم معنى التقدم الحسابي. دعونا نرى ونرى ما في وسعنا لتعرفمن هذا الخط؟ ما هي معالم الثلاثة الرئيسية؟

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.

لكن هناك ثلاثة أرقام و- انتباه! - كلمة "متتابع"في حالة. هذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة وبدون ثغرات. هل يوجد اثنان في هذا الصف؟ المجاورةأرقام معروفة؟ نعم لدي! هذان هما 9 و 6. لذا يمكننا حساب الفرق في التقدم الحسابي! نطرح من الستة سابقالرقم ، أي تسع:

هناك مساحات فارغة متبقية. ما الرقم الذي سيكون الرقم السابق لـ x؟ خمسة عشر. لذلك يمكن إيجاد x بسهولة عن طريق الجمع البسيط. ل 15 اجمع فرق التقدم الحسابي:

هذا كل شئ. إجابة: س = 12

نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه الألغاز ليست للصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة من الأرقام والحروف ، ننظر ونفكر.

5. أوجد أول حد موجب من التقدم الحسابي إذا كان 5 = -3 ؛ د = 1.1.

6. من المعروف أن الرقم 5.5 هو عضو في التقدم الحسابي (أ ن) ، حيث أ 1 = 1.6 ؛ د = 1.3. حدد الرقم n لهذا العضو.

7. من المعروف أنه في التقدم الحسابي 2 = 4 ؛ أ 5 \ u003d 15.1. ابحث عن 3.

8. يتم كتابة عدة أعضاء متتاليين من التقدم الحسابي:

... ؛ 15.6 ؛ X ؛ 3.4 ؛ ...

أوجد مصطلح التقدم ، المشار إليه بالحرف x.

9. بدأ القطار في التحرك من المحطة فزادت سرعته تدريجياً بمقدار 30 متراً في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار في خمس دقائق؟ أعط إجابتك بالكيلومتر / الساعة.

10. من المعروف أنه في التدرج الحسابي أ 2 = 5 ؛ أ 6 = -5. ابحث عن 1.

الإجابات (في حالة الفوضى): 7.7 ؛ 7.5 ؛ 9.5 ؛ 9 ؛ 0.3 ؛ 4.

كل شيء على ما يرام؟ مدهش! يمكنك تعلم التقدم الحسابي على مستوى أعلى في الدروس التالية.

ألم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555 ، يتم تقسيم كل هذه الألغاز قطعة قطعة.) وبالطبع ، تم وصف تقنية عملية بسيطة تسلط الضوء على الفور على حل مثل هذه المهام بوضوح ، بوضوح ، كما هو الحال في راحة يدك!

بالمناسبة ، في اللغز حول القطار ، هناك مشكلتان غالبًا ما يتعثر فيهما الناس. الأول - بالتقدم البحت ، والثاني - مشترك في أي مهام في الرياضيات ، والفيزياء أيضًا. هذه ترجمة للأبعاد من واحد إلى آخر. يوضح كيف يجب حل هذه المشاكل.

في هذا الدرس ، قمنا بفحص المعنى الأولي للتقدم الحسابي ومعاييره الرئيسية. هذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف دللأرقام ، اكتب سلسلة ، كل شيء سيتقرر.

يعمل حل الإصبع جيدًا مع الأجزاء القصيرة جدًا من السلسلة ، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس. إذا كانت السلسلة أطول ، تصبح الحسابات أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، إذا كنت في المشكلة 9 في السؤال ، استبدل "خمس دقائق"على "خمس وثلاثون دقيقة"ستزداد المشكلة سوءًا.)

وهناك أيضًا مهام بسيطة من حيث الجوهر ، ولكنها سخيفة تمامًا من حيث الحسابات ، على سبيل المثال:

بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن). أوجد 121 إذا كان a 1 = 3 و d = 1/6.

وماذا سنضيف 1/6 عدة مرات ؟! هل من الممكن أن تقتل نفسك !؟

يمكنك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطة يمكنك من خلالها حل مثل هذه المهام في دقيقة واحدة. ستكون هذه الصيغة في الدرس التالي. وتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في الرياضيات ، تسمى أي مجموعة من الأرقام منظمة بطريقة ما وتتبع بعضها البعض بالتسلسل. من بين جميع التسلسلات الحالية للأرقام ، هناك حالتان مثيرتان للاهتمام: التسلسل الجبري والهندسي.

ما هو التقدم الحسابي؟

يجب أن يقال على الفور أن التقدم الجبري غالبًا ما يسمى الحساب ، حيث يتم دراسة خصائصه من قبل فرع الرياضيات - الحساب.

هذا التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام التي يختلف فيها كل عضو تالٍ عن سابقتها بعدد ثابت. يطلق عليه اختلاف التقدم الجبري. من أجل التحديد ، نشير إليه بالحرف اللاتيني d.

مثال على مثل هذا التسلسل يمكن أن يكون ما يلي: 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ... ، هنا يمكنك أن ترى أن الرقم 5 أكبر من 3 في 2 ، 7 هو أيضًا أكثر من 5 في 2 ، وهكذا على. لذلك في المثال الموضح ، د = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

ما هي التدرجات الحسابية؟

يتم تحديد طبيعة هذه التسلسلات المرتبة للأرقام إلى حد كبير من خلال علامة الرقم د. هناك الأنواع التالية من التعاقب الجبري:

• يزداد عندما تكون d موجبة (d> 0) ؛
• ثابت عندما د = 0 ؛
• يتناقص عندما تكون d سالبة (d<0).

يوضح المثال في الفقرة السابقة تقدمًا متزايدًا. مثال على التسلسل المتناقص هو التسلسل التالي للأرقام: 10 ، 5 ، 0 ، -5 ، -10 ، -15 ... التقدم الثابت ، كما يلي من تعريفه ، هو مجموعة من الأرقام المتطابقة.

نال عضو في التقدم

نظرًا لحقيقة أن كل رقم لاحق في التقدم قيد النظر يختلف بمقدار ثابت d عن الرقم السابق ، يمكن تحديد العضو التاسع بسهولة. للقيام بذلك ، لا تحتاج فقط إلى معرفة د ، ولكن أيضًا 1 - العضو الأول في التقدم. باستخدام نهج تكراري ، يمكن للمرء الحصول على صيغة تقدم جبري لإيجاد الحد النوني. يبدو مثل: a n = a 1 + (n-1) * d. هذه الصيغة بسيطة للغاية ، ويمكنك فهمها على مستوى حدسي.

كما أنه ليس من الصعب استخدامه. على سبيل المثال ، في التقدم الموضح أعلاه (د = 2 ، أ 1 = 3) ، دعنا نحدد العضو الخامس والثلاثين. وفقًا للصيغة ، سيكون مساويًا لـ: 35 \ u003d 3 + (35-1) * 2 \ u003d 71.

صيغة الجمع

عند إعطاء تقدم حسابي ، فإن مجموع مصطلحاته الأولى n هو مشكلة تحدث بشكل متكرر ، إلى جانب تحديد قيمة المصطلح n. تتم كتابة صيغة مجموع التقدم الجبري على النحو التالي: ∑ n 1 \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 ، هنا تشير الأيقونة ∑ n 1 إلى تلخيص الشروط من الأول إلى n.

يمكن الحصول على التعبير أعلاه من خلال اللجوء إلى خصائص نفس العودية ، ولكن هناك طريقة أسهل لإثبات صحتها. لنكتب أول 2 وآخر 2 من هذا المجموع ، ونعبر عنهم بالأرقام a 1 و a n و d ، ونحصل على: a 1 ، a 1 + d ، ... ، a n -d ، a n. لاحظ الآن أنك إذا أضفت المصطلح الأول إلى الأخير ، فسيكون مساويًا تمامًا لمجموع المصطلح الثاني والمصطلح قبل الأخير ، أي 1 + a n. بطريقة مماثلة ، يمكن إثبات أنه يمكن الحصول على نفس المبلغ عن طريق إضافة المصطلحين الثالث قبل الأخير ، وما إلى ذلك. في حالة وجود زوج من الأرقام في المتسلسلة ، نحصل على مجموع n / 2 ، كل منها يساوي a 1 + a n. أي أننا نحصل على الصيغة أعلاه للتقدم الجبري للمبلغ: ∑ n 1 = n * (a 1 + a n) / 2.

بالنسبة لعدد غير مزدوج من الأعضاء n ، يتم الحصول على صيغة مماثلة إذا تم اتباع المنطق أعلاه. فقط تذكر أن تضيف المصطلح المتبقي ، والذي يقع في مركز التقدم.

سنوضح كيفية استخدام الصيغة أعلاه باستخدام مثال التقدم البسيط الذي تم تقديمه أعلاه (3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ...). على سبيل المثال ، من الضروري تحديد مجموع أول 15 من أعضائها. أولاً ، دعنا نحدد 15. باستخدام صيغة المصطلح التاسع (انظر الفقرة السابقة) ، نحصل على: a 15 \ u003d a 1 + (n-1) * d \ u003d 3 + (15-1) * 2 \ u003d 31. الآن يمكنك التقديم صيغة مجموع التقدم الجبري: ∑ 15 1 = 15 * (3 + 31) / 2 = 255.

من المثير للاهتمام ذكر حقيقة تاريخية مثيرة للاهتمام. تم الحصول على صيغة مجموع التقدم الحسابي لأول مرة بواسطة كارل جاوس (عالم الرياضيات الألماني الشهير في القرن الثامن عشر). عندما كان عمره 10 سنوات فقط ، طلب المعلم من المسألة إيجاد مجموع الأرقام من 1 إلى 100. ويقال إن غاوس الصغير حل هذه المشكلة في بضع ثوانٍ ، مع ملاحظة أنه من خلال جمع الأرقام في أزواج من البداية و في نهاية التسلسل ، يمكنك دائمًا الحصول على 101 ، وبما أن هناك 50 من هذه المبالغ ، فقد أعطى الإجابة بسرعة: 50 * 101 = 5050.

مثال على حل المشكلة

كإكمال لموضوع التقدم الجبري ، سنقدم مثالاً على حل مشكلة غريبة أخرى ، وبالتالي تعزيز فهم الموضوع قيد النظر. دعنا نعطي بعض التقدم ، الذي يعرف الفرق d = -3 ، وكذلك الحد 35 a 35 = -114. من الضروري العثور على العضو السابع في التقدم أ 7.

كما يتضح من حالة المشكلة ، فإن قيمة 1 غير معروفة ، وبالتالي ، لا يمكن استخدام صيغة المصطلح n مباشرة. كما أن طريقة العودية غير ملائمة ويصعب تنفيذها يدويًا وهناك احتمال كبير لارتكاب خطأ. دعنا نتابع على النحو التالي: نكتب الصيغ لـ 7 و 35 ، لدينا: 7 \ u003d a 1 + 6 * d و 35 \ u003d a 1 + 34 * d. اطرح التعبير الثاني من التعبير الأول ، نحصل على: أ 7 - أ 35 \ u003d أ 1 + 6 * د - أ 1 - 34 * د. من حيث يلي: أ 7 \ u003d أ 35 - 28 * د. يبقى استبدال البيانات المعروفة من حالة المشكلة وتدوين الإجابة: أ 7 \ u003d -114-28 * (-3) \ u003d -30.

المتوالية الهندسية

للكشف عن موضوع المقالة بشكل كامل ، نقدم وصفًا موجزًا ​​لنوع آخر من التقدم - هندسي. في الرياضيات ، يُفهم هذا الاسم على أنه سلسلة من الأرقام التي يختلف فيها كل مصطلح لاحق عن السابق بواسطة بعض العوامل. نشير إلى هذا العامل بالحرف r. يطلق عليه مقام نوع التقدم قيد النظر. مثال على تسلسل الأرقام هذا سيكون: 1 ، 5 ، 25 ، 125 ، ...

كما يتضح من التعريف أعلاه ، فإن التسلسلات الجبرية والهندسية متشابهة في فكرتهم. الفرق بينهما هو أن التغيير الأول أبطأ من الثاني.

يمكن أن يكون التقدم الهندسي أيضًا متزايدًا وثابتًا ومتناقصًا. يعتمد نوعه على قيمة المقام r: إذا كانت r> 1 ، فهناك تقدم متزايد ، إذا كانت r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

صيغ التقدم الهندسي

كما في حالة الجبرية ، يتم تقليل صيغ التقدم الهندسي إلى تعريف العضو n ومجموع n من المصطلحات. فيما يلي هذه التعبيرات:

• أ ن = أ 1 * ص (ن -1) - تتبع هذه الصيغة من تعريف التقدم الهندسي.
• ∑ n 1 \ u003d a 1 * (r n -1) / (r-1). من المهم ملاحظة أنه إذا كانت r = 1 ، فإن الصيغة أعلاه تعطي عدم يقين ، لذلك لا يمكن استخدامها. في هذه الحالة ، سيكون مجموع عدد n مساويًا للمنتج البسيط a 1 * n.

على سبيل المثال ، لنجد مجموع 10 أعضاء فقط من المتتالية 1 ، 5 ، 25 ، 125 ، ... مع العلم أن 1 = 1 و r = 5 ، نحصل على: ∑ 10 1 = 1 * (5 10 -1 ) / 4 = 2441406. القيمة الناتجة هي مثال واضح لمدى سرعة نمو التقدم الهندسي.

ولعل أول ذكر لهذا التقدم في التاريخ هو الأسطورة باستخدام رقعة الشطرنج ، عندما طلب صديق أحد السلطان ، بعد أن علمه لعب الشطرنج ، الحصول على الحبوب لخدمته. علاوة على ذلك ، يجب أن تكون كمية الحبوب على النحو التالي: في الخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، من الضروري وضع حبة واحدة ، في الثانية ضعف الكمية الموجودة على الأولى ، والثالثة مرتين أكثر من الثانية ، و قريباً. وافق السلطان طواعية على هذا الطلب ، لكنه لم يكن يعلم أنه سيضطر إلى إفراغ جميع صناديق بلاده من أجل الوفاء بوعده.

تعليمات

التقدم الحسابي هو تسلسل من النموذج a1، a1 + d، a1 + 2d ...، a1 + (n-1) d. رقم د خطوة التعاقبمن الواضح ، إجمالي الحد النوني التعسفي للحساب التعاقبله الشكل: An = A1 + (n-1) d. ثم معرفة أحد الأعضاء التعاقب، عضو التعاقبوخطوة التعاقب، يمكن أن يكون ، أي عدد مصطلح التقدم. من الواضح أنه سيتم تحديده بواسطة الصيغة n = (An-A1 + d) / d.

دع المصطلح mth يعرف الآن التعاقبوبعض الأعضاء الآخرين التعاقب- n ، لكن n ، كما في الحالة السابقة ، لكن من المعروف أن n و m لا يتطابقان. التعاقبيمكن حسابها بالصيغة: d = (An-Am) / (n-m). ثم n = (An-Am + md) / d.

إذا كان مجموع عدة عناصر حسابية التعاقب، بالإضافة إلى الأول والأخير ، يمكن أيضًا تحديد عدد هذه العناصر. مجموع الحساب التعاقبستكون مساوية لـ: S = ((A1 + An) / 2) n. ثم n = 2S / (A1 + An) هي chdenov التعاقب. باستخدام حقيقة أن An = A1 + (n-1) d ، يمكن إعادة كتابة هذه الصيغة على النحو التالي: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). من هذا يمكن التعبير عن n بحل معادلة تربيعية.

التسلسل الحسابي عبارة عن مجموعة مرتبة من الأرقام ، يختلف كل عضو فيها ، باستثناء الأول ، عن الرقم السابق بنفس المقدار. يسمى هذا الثابت باختلاف التقدم أو خطوته ويمكن حسابه من الأعضاء المعروفين للتقدم الحسابي.

تعليمات

إذا كانت قيم الأول والثاني أو أي زوج آخر من المصطلحات المجاورة معروفة من شروط المشكلة ، لحساب الفرق (د) ، ببساطة اطرح المصطلح السابق من المصطلح التالي. يمكن أن تكون القيمة الناتجة موجبة أو سالبة - يعتمد ذلك على ما إذا كان التقدم يتزايد. بشكل عام ، اكتب الحل للزوج التعسفي (aᵢ و aᵢ₊₁) من الأعضاء المجاورين للتقدم على النحو التالي: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

بالنسبة لزوج من أعضاء مثل هذا التقدم ، أحدهما هو الأول (a₁) والآخر هو أي عضو آخر تم اختياره بشكل تعسفي ، يمكن للمرء أيضًا عمل صيغة لإيجاد الفرق (د). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يجب معرفة الرقم التسلسلي (1) لعضو التسلسل المختار بشكل تعسفي. لحساب الفرق ، اجمع كلا الرقمين ، وقسم النتيجة على الرقم الترتيبي لمصطلح تعسفي مخفض بواحد. بشكل عام ، اكتب هذه الصيغة على النحو التالي: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

إذا ، بالإضافة إلى عضو تعسفي في التقدم الحسابي برقم ترتيبي i ، فإن عضوًا آخر برقم ترتيبي u معروف ، فقم بتغيير الصيغة من الخطوة السابقة وفقًا لذلك. في هذه الحالة ، سيكون الاختلاف (د) في التقدم هو مجموع هذين المصطلحين مقسومًا على الفرق في أرقامهما الترتيبية: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

تصبح معادلة حساب الفرق (د) أكثر تعقيدًا إلى حد ما إذا تم إعطاء قيمة العضو الأول (a₁) ومجموع (Sᵢ) لرقم معين (i) للأعضاء الأوائل في التسلسل الحسابي في شروط المشكلة. للحصول على القيمة المرغوبة ، قسّم المجموع على عدد المصطلحات التي يتكون منها ، واطرح قيمة الرقم الأول في التسلسل ، وضاعف النتيجة. اقسم القيمة الناتجة على عدد المصطلحات التي يتكون منها المجموع مخفضًا بواحد. بشكل عام ، اكتب معادلة حساب المميز على النحو التالي: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

ما هو جوهر الصيغة؟

هذه الصيغة تسمح لك أن تجد أي بأرقامه " ن" .

بالطبع ، أنت بحاجة إلى معرفة الفصل الدراسي الأول أ 1وفرق التقدم د، حسنًا ، بدون هذه المعلمات ، لا يمكنك تدوين تقدم معين.

لا يكفي حفظ (أو الغش) هذه الصيغة. من الضروري استيعاب جوهرها وتطبيق الصيغة في مشاكل مختلفة. نعم ولا تنسى في الوقت المناسب نعم ..) كيف لا تنسى- لا أعرف. و هنا كيف تتذكرإذا لزم الأمر ، سأعطيك تلميحًا. بالنسبة لأولئك الذين يتقنون الدرس حتى النهاية.)

لذا ، لنتعامل مع صيغة العضو رقم n للتقدم الحسابي.

ما هي الصيغة بشكل عام - نتخيل.) ما هو التقدم الحسابي ، رقم العضو ، فرق التقدم - مذكور بوضوح في الدرس السابق. ألقِ نظرة إذا لم تكن قد قرأته. كل شيء بسيط هناك. يبقى أن نعرف ماذا العضو التاسع.

يمكن كتابة التقدم بشكل عام كسلسلة من الأرقام:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، أ 4 ، أ 5 ، .....

أ 1- يشير إلى المصطلح الأول للتقدم الحسابي ، أ 3- عضو ثالث أ 4- الرابع ، وهكذا. إذا كنا مهتمين بالحد الخامس ، فلنفترض أننا نعمل معه أ 5، إذا مائة وعشرون - من أ 120.

كيف تحدد بشكل عام أيعضو في التقدم الحسابي ، ق أيرقم؟ بسيط جدا! مثله:

أ

هذا ما هو عليه العضو التاسع في التقدم الحسابي.تحت الحرف n ، يتم إخفاء جميع أرقام الأعضاء مرة واحدة: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وهكذا.

وماذا يعطينا هذا السجل؟ فكر فقط ، بدلاً من الرقم ، قاموا بتدوين حرف ...

يمنحنا هذا الترميز أداة قوية للعمل مع التدرجات الحسابية. باستخدام الترميز أ، يمكننا أن نجدها بسرعة أيعضو أيالمتوالية العددية. ومجموعة من المهام لحلها في التقدم. سترى المزيد.

في صيغة العضو التاسع في التقدم الحسابي:

أ ن = أ 1 + (س -1) د

أ 1- العضو الأول في التقدم الحسابي ؛

ن- رقم عضوية.

تربط الصيغة المعلمات الرئيسية لأي تقدم: أ ن ؛ أ 1 ؛ دو ن. حول هذه المعايير ، كل الألغاز تدور في التقدم.

يمكن أيضًا استخدام صيغة المصطلح n لكتابة تقدم معين. على سبيل المثال ، في المشكلة ، يمكن القول أن التقدم يتم من خلال الشرط:

أ ن = 5 + (ن -1) 2.

يمكن لمثل هذه المشكلة أن تخلط حتى ... لا توجد سلسلة ولا فرق ... ولكن بمقارنة الحالة بالصيغة ، من السهل معرفة ذلك في هذا التقدم أ 1 \ u003d 5 ، و د \ u003d 2.

ويمكن أن يكون أكثر غضبًا!) إذا أخذنا نفس الحالة: أ ن = 5 + (س -1) 2 ،نعم ، افتح القوسين وأعطِ أقواسًا متشابهة؟ نحصل على صيغة جديدة:

و = 3 + 2 ن.

هذا ليس فقط عام ، ولكن لتقدم معين. هذا هو المكان الذي يكمن فيه المأزق. يعتقد بعض الناس أن المصطلح الأول هو ثلاثة. على الرغم من أن العضو الأول في الواقع هو خمسة ... أقل قليلاً سنعمل مع مثل هذه الصيغة المعدلة.

في مهام التقدم ، هناك رمز آخر - أ ن + 1. هذا هو ، كما خمنت ، مصطلح "n بالإضافة إلى أول" من التقدم. معناها بسيط وغير ضار.) هذا عضو في التقدم ، وعدده أكبر من الرقم ن تلو الآخر. على سبيل المثال ، إذا كنا نتعامل مع بعض المشاكل أالفترة الخامسة إذن أ ن + 1سيكون العضو السادس. إلخ.

في أغلب الأحيان التعيين أ ن + 1يحدث في الصيغ العودية. لا تخف من هذه الكلمة الرهيبة!) هذه مجرد طريقة للتعبير عن مصطلح من التقدم الحسابي من خلال السابق.لنفترض أننا حصلنا على تقدم حسابي بهذا الشكل ، باستخدام الصيغة المتكررة:

أ ن + 1 = أ ن +3

أ 2 = أ 1 + 3 = 5 + 3 = 8

أ 3 = أ 2 + 3 = 8 + 3 = 11

الرابع - خلال الثالث ، والخامس - حتى الرابع ، وهكذا. وكيف نحسب فورًا ، قل المصطلح العشرين ، أ 20؟ لكن بأي حال من الأحوال!) في حين أن المصطلح التاسع عشر غير معروف ، لا يمكن حساب القرن العشرين. هذا هو الاختلاف الأساسي بين الصيغة العودية وصيغة الحد التاسع. العودية تعمل فقط من خلال سابقالمصطلح ، وصيغة المصطلح n - خلال أولاًويسمح حالاتجد أي عضو برقمه. عدم احتساب سلسلة الأرقام كاملة بالترتيب.

في التقدم الحسابي ، يمكن بسهولة تحويل الصيغة العودية إلى صيغة عادية. عد زوجًا من المصطلحات المتتالية ، واحسب الفرق د،ابحث ، إذا لزم الأمر ، عن المصطلح الأول أ 1، اكتب الصيغة بالشكل المعتاد ، واعمل معها. في الجماعة الإسلامية المسلحة ، غالبًا ما توجد مثل هذه المهام.

تطبيق صيغة العضو رقم n للتقدم الحسابي.

أولاً ، لنلقِ نظرة على التطبيق المباشر للصيغة. في نهاية الدرس السابق كانت هناك مشكلة:

بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن). أوجد 121 إذا كان a 1 = 3 و d = 1/6.

يمكن حل هذه المشكلة بدون أي معادلات ، ببساطة بناءً على معنى التقدم الحسابي. أضف ، نعم أضف ... ساعة أو ساعتين.)

ووفقًا للصيغة ، سيستغرق الحل أقل من دقيقة. يمكنك تحديد الوقت.) نحن نقرر.

توفر الشروط جميع البيانات لاستخدام الصيغة: أ 1 \ u003d 3 ، د \ u003d 1/6.يبقى أن نرى ماذا ن.لا مشكلة! نحن بحاجة إلى إيجاد أ 121. نكتب هنا:

من فضلك إنتبه! بدلا من فهرس نظهر رقم محدد: 121. وهو أمر منطقي تمامًا.) نحن مهتمون بعضو التقدم الحسابي رقم مائة وواحد وعشرون.سيكون هذا لدينا ن.هذا هو المعنى ن= 121 سنقوم بالتعويض في الصيغة بين قوسين. استبدل جميع الأرقام الموجودة في الصيغة واحسب:

أ 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

هذا كل ما في الامر. بنفس السرعة يمكن للمرء أن يجد العضو الخمسمائة والعاشر ، والألف والثالث ، أيًا. نضع بدلا من ذلك نالرقم المطلوب في فهرس الحرف " أ"وبين قوسين ، وننظر فيه.

دعني أذكرك بالجوهر: هذه الصيغة تسمح لك بالعثور عليه أيمصطلح التقدم الحسابي بأرقامه " ن" .

لنحل المشكلة بذكاء. لنفترض أن لدينا المشكلة التالية:

أوجد الحد الأول من التقدم الحسابي (أ ن) إذا كان أ 17 = -2 ؛ د = -0.5.

إذا واجهت أي صعوبات ، سأقترح الخطوة الأولى. اكتب صيغة الحد التاسع للتقدم الحسابي!نعم نعم. اكتب باليد ، في دفتر ملاحظاتك مباشرةً:

أ ن = أ 1 + (س -1) د

والآن ، بالنظر إلى أحرف الصيغة ، نفهم ما هي البيانات التي لدينا وما الذي ينقصنا؟ متاح د = -0.5 ،هناك العضو السابع عشر ... كل شيء؟ إذا كنت تعتقد أن هذا كل شيء ، فلا يمكنك حل المشكلة ، نعم ...

لدينا أيضا رقم ن! في الحالة أ 17 = -2مختفي خيارين.هذه هي قيمة العضو السابع عشر (-2) ورقمه (17). أولئك. ن = 17.هذا "الشيء الصغير" غالبًا ما يتخطى الرأس ، وبدون ذلك (بدون "الشيء الصغير" ، وليس الرأس!) لا يمكن حل المشكلة. على الرغم من ... وبدون رأس أيضًا.)

الآن يمكننا استبدال بياناتنا بغباء في الصيغة:

أ 17 \ u003d أ 1 + (17-1) (-0.5)

نعم بالتأكيد، أ 17نعلم أنه -2. حسنًا ، دعنا نضعها في:

-2 \ u003d أ 1 + (17-1) (-0.5)

هذا ، في جوهره ، كل شيء. يبقى التعبير عن المصطلح الأول للتقدم الحسابي من الصيغة ، والحساب. تحصل على الجواب: أ 1 = 6.

تساعد مثل هذه التقنية - كتابة صيغة واستبدال البيانات المعروفة - كثيرًا في المهام البسيطة. حسنًا ، بالطبع ، يجب أن تكون قادرًا على التعبير عن متغير من صيغة ، ولكن ماذا تفعل !؟ بدون هذه المهارة لا يمكن دراسة الرياضيات على الإطلاق ...

مشكلة شائعة أخرى:

أوجد فرق التقدم الحسابي (أ ن) إذا كان 1 = 2 ؛ أ 15 = 12.

ماذا نفعل؟ ستفاجأ ، نكتب الصيغة!)

أ ن = أ 1 + (س -1) د

ضع في اعتبارك ما نعرفه: أ 1 = 2 ؛ أ 15 = 12 ؛ و (تمييز خاص!) ن = 15. لا تتردد في الاستبدال في الصيغة:

12 = 2 + (15-1) د

لنقم بالحسابات.)

12 = 2 + 14 د

د=10/14 = 5/7

هذا هو الجواب الصحيح.

لذا ، المهام أ ن ، أ 1و دمقرر. يبقى معرفة كيفية العثور على الرقم:

الرقم 99 هو عضو في التقدم الحسابي (أ ن) ، حيث أ 1 = 12 ؛ د = 3. أوجد رقم هذا العضو.

نستبدل الكميات المعروفة في صيغة المصطلح التاسع:

أ ن = 12 + (ن -1) 3

للوهلة الأولى ، هناك نوعان من الكميات غير المعروفة هنا: أ ن ون.لكن أهو بعض أعضاء التقدم مع الرقم ن.. وهذا العضو من التقدم نعرفه! إنه 99. لا نعرف رقمه. ن،لذلك يجب العثور على هذا الرقم أيضًا. استبدل مصطلح التقدم 99 في الصيغة:

99 = 12 + (ن -1) 3

نعبر من الصيغة ن، نحن نعتقد. نحصل على الجواب: ن = 30.

والآن مشكلة في نفس الموضوع ، لكنها أكثر إبداعًا):

حدد ما إذا كان الرقم 117 سيكون عضوًا في تقدم حسابي (أ ن):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

لنكتب الصيغة مرة أخرى. ماذا ، لا توجد خيارات؟ حسنًا ... لماذا نحتاج إلى العيون؟) هل نرى العضو الأول في التقدم؟ نحن نرى. هذا هو -3.6. يمكنك كتابة ما يلي بأمان: أ 1 \ u003d -3.6.اختلاف ديمكن تحديدها من المسلسل؟ من السهل أن تعرف ما هو الفرق في التقدم الحسابي:

د = -2.4 - (-3.6) = 1.2

نعم ، لقد فعلنا أبسط شيء. يبقى التعامل مع عدد غير معروف نورقم غير مفهوم 117. في المشكلة السابقة ، على الأقل كان معروفًا أن مصطلح التقدم الذي تم إعطاؤه. لكن هنا لا نعرف حتى ... كيف تكون !؟ حسنًا ، كيف تكون ، كيف تكون ... قم بتشغيل قدراتك الإبداعية!)

نحن يفترضأن 117 ، بعد كل شيء ، هو عضو في تقدمنا. برقم غير معروف ن. وكما في المسألة السابقة ، فلنحاول إيجاد هذا الرقم. أولئك. نكتب الصيغة (نعم ، نعم!)) ونستبدل أرقامنا:

117 = -3.6 + (ن -1) 1.2

مرة أخرى نعبر من الصيغةن، نحسب ونحصل على:

أُووبس! تحول الرقم كسري!مائة وواحد ونصف. والأعداد الكسرية في التعاقب لا يمكن.ما هو الاستنتاج الذي نستخلصه؟ نعم! رقم 117 ليسعضو في تقدمنا. يقع في مكان ما بين العضو 101 و 102. إذا تبين أن الرقم طبيعي ، أي عدد صحيح موجب ، فإن الرقم سيكون عضوًا في التقدم مع الرقم الموجود. وفي حالتنا ستكون إجابة المشكلة: لا.

مهمة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:

يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الشرط:

أ n \ u003d -4 + 6.8n

أوجد الحدين الأول والعاشر للتقدم.

هنا يتم تعيين التقدم بطريقة غير عادية. نوع من الصيغة ... يحدث.) ومع ذلك ، هذه الصيغة (كما كتبت أعلاه) - أيضا صيغة العضو n من التقدم الحسابي!كما تسمح العثور على أي عضو في التقدم برقمه.

نحن نبحث عن العضو الأول. من يفكر. أن الحد الأول هو ناقص أربعة ، خطأ قاتل!) لأن الصيغة في المسألة معدلة. المصطلح الأول للتقدم الحسابي فيه مختفي.لا شيء ، سنجده الآن.)

كما في المهام السابقة ، نستبدل ن = 1في هذه الصيغة:

أ 1 \ u003d -4 + 6.8 1 \ u003d 2.8

هنا! المدة الأولى 2.8 وليس -4!

وبالمثل ، فإننا نبحث عن الحد العاشر:

أ 10 \ u003d -4 + 6.8 10 \ u003d 64

هذا كل ما في الامر.

والآن ، بالنسبة لأولئك الذين قرأوا حتى هذه السطور ، المكافأة الموعودة.)

لنفترض ، في موقف قتالي صعب لـ GIA أو امتحان الدولة الموحد ، أنك نسيت الصيغة المفيدة للعضو n من التقدم الحسابي. شيء ما يتبادر إلى الذهن ، ولكن بطريقة ما غير مؤكدة ... سواء نهناك ، أو n + 1 ، أو ن -1 ...كيف تكون!؟

هادئ! هذه الصيغة سهلة الاشتقاق. ليس صارمًا للغاية ، ولكنه بالتأكيد كافٍ للثقة والقرار الصحيح!) في الختام ، يكفي أن نتذكر المعنى الأساسي للتقدم الحسابي وأن يكون لديك بضع دقائق من الوقت. تحتاج فقط إلى رسم صورة. للتوضيح.

نرسم محورًا رقميًا ونضع علامة على المحور الأول عليه. الثاني ، الثالث ، إلخ. أعضاء. ولاحظ الفرق دبين الأعضاء. مثله:

ننظر إلى الصورة ونفكر: ما هو المصطلح الثاني؟ ثانية واحد د:

أ 2 = أ 1 + 1 د

ما هي العهدة الثالثة؟ ثالثالمصطلح يساوي الفصل الأول زائد اثنين د.

أ 3 = أ 1 + 2 د

هل حصلت عليه؟ لا أضع بعض الكلمات بالخط العريض من أجل لا شيء. حسنًا ، خطوة أخرى.)

ما هو المصطلح الرابع؟ الرابعةالمصطلح يساوي الفصل الأول زائد ثلاثة د.

أ 4 = أ 1 + 3 د

حان الوقت لإدراك أن عدد الفجوات ، أي د، دائماً واحد أقل من عدد العضو الذي تبحث عنه ن. هذا هو ، حتى الرقم ن ، عدد الفجواتسوف ن -1.إذن ، ستكون الصيغة (لا توجد خيارات!):

أ ن = أ 1 + (س -1) د

بشكل عام ، الصور المرئية مفيدة جدًا في حل العديد من المشكلات في الرياضيات. لا تهمل الصور. ولكن إذا كان من الصعب رسم صورة ، إذن ... فقط معادلة!) بالإضافة إلى ذلك ، تسمح لك صيغة المصطلح التاسع بربط ترسانة الرياضيات القوية بالكامل بالحل - المعادلات ، وعدم المساواة ، والأنظمة ، إلخ. لا يمكنك وضع صورة في معادلة ...

مهام القرار المستقل.

للإحماء:

1. في التدرج الحسابي (أ ن) أ 2 = 3 ؛ أ 5 \ u003d 5.1. ابحث عن 3.

تلميح: حسب الصورة يتم حل المشكلة في 20 ثانية ... حسب المعادلة يتبين أنها أكثر صعوبة. ولكن من أجل إتقان الصيغة ، يكون أكثر فائدة.) في القسم 555 ، يتم حل هذه المشكلة من خلال الصورة والصيغة. تشعر الفرق!)

وهذا لم يعد احماء).

2. في التقدم الحسابي (أ ن) أ 85 = 19.1 ؛ أ 236 = 49 ، 3. أوجد 3.

ماذا ، ممانعة لرسم صورة؟) مع ذلك! صيغة أفضل ، نعم ...

3. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط:أ 1 \ u003d -5.5 ؛ أ ن + 1 = أ ن +0.5. أوجد الحد الخامس والعشرين بعد المائة من هذا التقدم.

في هذه المهمة ، يتم إعطاء التقدم بطريقة متكررة. لكن العد حتى الفصل مائة وخمسة وعشرون ... لا يمكن لأي شخص أن يقوم بمثل هذا العمل الفذ.) لكن معادلة المصطلح التاسع هي في متناول الجميع!

4. إعطاء تقدم حسابي (أ ن):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

أوجد عدد أصغر حد موجب في التقدم.

5. طبقًا لشرط المهمة 4 ، أوجد مجموع أصغر الشروط الإيجابية والسلبية للتقدم.

6. حاصل ضرب الحد الخامس والثاني عشر للتقدم الحسابي المتزايد هو -2.5 ، ومجموع الحدين الثالث والحادي عشر هو صفر. ابحث عن 14.

ليست أسهل مهمة ، نعم ...) هنا لن تعمل الطريقة "على الأصابع". عليك كتابة الصيغ وحل المعادلات.

الإجابات (في حالة فوضى):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

حدث؟ جميل!)

لا يعمل كل شيء؟ يحدث. بالمناسبة ، في المهمة الأخيرة هناك نقطة واحدة دقيقة. مطلوب الانتباه عند قراءة المشكلة. والمنطق.

يتم مناقشة حل كل هذه المشاكل بالتفصيل في القسم 555. وعنصر الخيال للرابع ، واللحظة الدقيقة للسادس ، والنهج العام لحل أي مشاكل لصيغة المصطلح التاسع - كل شيء مرسوم. أوصي.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.