فكرة عامة عن الأعداد الصحيحة. المضاعف المشترك الأكبر والصغير المشترك

ماذا يعني عدد صحيح

لذلك ، ضع في اعتبارك ما تسمى الأرقام بالأعداد الصحيحة.

وبالتالي ، ستشير الأعداد الصحيحة إلى هذه الأرقام: $ 0 $ ، $ ± 1 $ ، $ ± 2 $ ، $ ± 3 $ ، $ ± 4 $ ، إلخ.

مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الصحيحة ، أي أي عدد طبيعي سيكون عددًا صحيحًا ، ولكن ليس أي عدد صحيح هو عدد طبيعي.

عدد صحيح موجب وعدد صحيح سالب

التعريف 2

زائد.

الأرقام $ 3 ، 78 ، 569 ، 10450 $ هي أعداد صحيحة موجبة.

التعريف 3

هي أعداد صحيحة موقعة ناقص.

الأعداد $ −3، −78، −569، -10450 $ أعداد صحيحة سالبة.

ملاحظة 1

الرقم صفر لا يشير إلى الأعداد الصحيحة الموجبة أو الأعداد الصحيحة السالبة.

أعداد كاملة موجبةهي أعداد صحيحة أكبر من الصفر.

أعداد سالبة كاملةهي أعداد صحيحة أقل من الصفر.

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة ، ومجموعة جميع الأضداد للأعداد الطبيعية هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة السالبة.

عدد صحيح غير موجب وعدد صحيح غير سالب

يتم استدعاء جميع الأعداد الصحيحة الموجبة والرقم صفر أعداد صحيحة غير سالبة.

عدد صحيح غير موجبكلها أعداد صحيحة سالبة والرقم $ 0 $.

ملاحظة 2

هكذا، رقم كامل غير سالبهي الأعداد الصحيحة أكبر من الصفر أو تساوي الصفر ، و عدد صحيح غير موجبهي أعداد صحيحة أقل من الصفر أو تساوي صفرًا.

على سبيل المثال ، الأعداد الصحيحة غير الموجبة: $ −32، −123، 0، −5 $ والأعداد الصحيحة غير السالبة: $ 54، 123، 0.856 342. $

وصف تغيير القيم باستخدام الأعداد الصحيحة

تستخدم الأعداد الصحيحة لوصف التغييرات في عدد العناصر.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

مثال 1

لنفترض أن متجرًا يبيع عددًا معينًا من العناصر. عندما يتلقى المتجر 520 دولارًا من العناصر ، سيزداد عدد العناصر في المتجر ، ويظهر الرقم 520 دولارًا تغييرًا إيجابيًا في الرقم. عندما يبيع المتجر سلعًا بقيمة 50 دولارًا ، سينخفض ​​عدد العناصر في المتجر ، وسيعبر الرقم 50 دولارًا عن تغيير سلبي في الرقم. إذا لم يجلب المتجر البضائع أو يبيعها ، فسيظل عدد البضائع دون تغيير (أي يمكننا التحدث عن تغيير صفري في الرقم).

في المثال أعلاه ، يتم وصف التغيير في عدد البضائع باستخدام الأعداد الصحيحة 520 دولارًا و 50 دولارًا و 0 دولارًا على التوالي. تشير القيمة الموجبة للعدد الصحيح $ 520 $ إلى تغيير إيجابي في الرقم. تشير القيمة السالبة للعدد الصحيح $ 50 $ إلى تغيير سلبي في الرقم. يشير العدد الصحيح $ 0 $ إلى ثبات الرقم.

الأعداد الصحيحة ملائمة للاستخدام ، لأن ليست هناك حاجة إلى إشارة صريحة إلى زيادة العدد أو النقصان - تشير علامة العدد الصحيح إلى اتجاه التغيير ، وتشير القيمة إلى تغيير كمي.

باستخدام الأعداد الصحيحة ، لا يمكنك التعبير عن تغيير في الكمية فحسب ، بل أيضًا عن تغيير في أي قيمة.

ضع في اعتبارك مثالاً للتغيير في تكلفة المنتج.

مثال 2

يتم التعبير عن الزيادة في التكلفة ، على سبيل المثال ، بمقدار 20 دولارًا للروبل باستخدام عدد صحيح موجب 20 دولارًا. إن تقليل التكلفة ، على سبيل المثال ، بمقدار $ 5 روبل يوصف باستخدام عدد صحيح سالب $ 5 $. إذا لم تكن هناك تغييرات في التكلفة ، فسيتم تحديد هذا التغيير باستخدام العدد الصحيح $ 0 $.

بشكل منفصل ، ضع في اعتبارك قيمة الأعداد الصحيحة السالبة كحجم الدين.

مثال 3

على سبيل المثال ، الشخص لديه 5000 روبل. ثم ، باستخدام عدد صحيح موجب 5000 دولار ، يمكنك إظهار عدد الروبلات التي لديه. يجب على الشخص أن يدفع إيجارًا بمبلغ 7000 روبل ، لكنه لا يملك هذا النوع من المال ؛ في هذه الحالة ، يوصف مثل هذا الموقف بعدد صحيح سالب $ 7000 دولار. في هذه الحالة ، يكون لدى الشخص 7000 دولار روبل ، حيث تشير "-" إلى الدين ، والرقم 7000 دولار يوضح مقدار الدين.

تشكل المعلومات الواردة في هذه المقالة فكرة عامة عن الأعداد الكلية. أولا ، تعريف الأعداد الصحيحة معطى والأمثلة. بعد ذلك ، يتم النظر في الأعداد الصحيحة الموجودة على خط الأعداد ، والتي من خلالها يتضح أي الأرقام تسمى الأعداد الصحيحة الموجبة وأيها الأعداد الصحيحة السالبة. بعد ذلك ، يتضح كيف يتم وصف التغييرات في الكميات باستخدام الأعداد الصحيحة ، ويتم اعتبار الأعداد الصحيحة السالبة بمعنى الدين.

التنقل في الصفحة.

الأعداد الصحيحة - التعريف والأمثلة

تعريف.

الأعداد الكليةهي الأعداد الطبيعية ، الرقم صفر ، وكذلك الأعداد المقابلة للأرقام الطبيعية.

ينص تعريف الأعداد الصحيحة على أن أيًا من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، ... ، الرقم 0 وأيضًا أي من الأرقام −1 ، −2 ، −3 ، ... هو عدد صحيح. الآن يمكننا إحضارها بسهولة أمثلة عدد صحيح. على سبيل المثال ، الرقم 38 هو عدد صحيح ، والعدد 70040 هو أيضًا عدد صحيح ، والصفر هو عدد صحيح (تذكر أن الصفر ليس عددًا طبيعيًا ، والصفر هو عدد صحيح) ، والأرقام −999 ، −1 ، −8934832 هي أيضا أمثلة على الأعداد الصحيحة.

من الملائم تمثيل جميع الأعداد الصحيحة كسلسلة من الأعداد الصحيحة ، والتي لها الشكل التالي: 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ... يمكن أيضًا كتابة تسلسل الأعداد الصحيحة على النحو التالي: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

يستنتج من تعريف الأعداد الصحيحة أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الصحيحة. لذلك ، كل عدد طبيعي هو عدد صحيح ، ولكن ليس كل عدد صحيح هو عدد طبيعي.

عدد صحيح على خط الإحداثيات

تعريف.

عدد صحيح موجبهي أعداد صحيحة أكبر من الصفر.

تعريف.

عدد صحيح سالبهي أعداد صحيحة أقل من الصفر.

يمكن أيضًا تحديد الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة من خلال موضعها على خط الإحداثيات. على خط إحداثيات أفقي ، تقع النقاط التي تكون إحداثياتها أعداد صحيحة موجبة على يمين الأصل. في المقابل ، تقع النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة السالبة على يسار النقطة O.

من الواضح أن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة هي مجموعة الأعداد الطبيعية. في المقابل ، فإن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة السالبة هي مجموعة جميع الأعداد المقابلة للأرقام الطبيعية.

بشكل منفصل ، نلفت انتباهك إلى حقيقة أنه يمكننا بأمان استدعاء أي رقم طبيعي عددًا صحيحًا ، ولا يمكننا استدعاء أي عدد صحيح رقمًا طبيعيًا. يمكننا استدعاء أي عدد صحيح موجب طبيعي فقط ، لأن الأعداد الصحيحة السالبة والصفر ليست طبيعية.

عدد صحيح غير موجب وعدد صحيح غير سالب

دعونا نعطي تعريفات الأعداد الصحيحة غير الموجبة والأعداد الصحيحة غير السالبة.

تعريف.

يتم استدعاء جميع الأعداد الصحيحة الموجبة مع الصفر أعداد صحيحة غير سالبة.

تعريف.

عدد صحيح غير موجبكلها أعداد صحيحة سالبة مع الرقم 0.

بمعنى آخر ، العدد الصحيح غير السالب هو عدد صحيح أكبر من أو يساوي الصفر ، والعدد الصحيح غير الموجب هو عدد صحيح أقل من أو يساوي الصفر.

أمثلة على الأعداد الصحيحة غير الموجبة هي الأعداد -511 ، -10 030 ، 0 ، -2 ، وكأمثلة على الأعداد الصحيحة غير السالبة ، دعنا نعطي الأعداد 45 ، 506 ، 0 ، 900321.

في أغلب الأحيان ، يتم استخدام المصطلحين "الأعداد الصحيحة غير الموجبة" و "الأعداد الصحيحة غير السالبة" للإيجاز. على سبيل المثال ، بدلاً من العبارة "الرقم a هو عدد صحيح ، و a أكبر من الصفر أو يساوي الصفر" ، يمكنك أن تقول "a هو عدد صحيح غير سالب".

وصف تغيير القيم باستخدام الأعداد الصحيحة

حان الوقت للحديث عن ماهية الأعداد الصحيحة.

الغرض الرئيسي من الأعداد الصحيحة هو أنه من السهل بمساعدتهم وصف التغيير في عدد العناصر. دعونا نتعامل مع هذا مع الأمثلة.

افترض أن هناك كمية معينة من الأجزاء في المخزون. على سبيل المثال ، إذا تم إحضار 400 جزء إضافي إلى المستودع ، فسيزداد عدد الأجزاء في المستودع ، ويعبر الرقم 400 عن هذا التغيير في الكمية في اتجاه إيجابي (في اتجاه الزيادة). على سبيل المثال ، إذا تم أخذ 100 جزء من المستودع ، فسوف ينخفض ​​عدد الأجزاء في المستودع ، وسيعبر الرقم 100 عن التغيير في الكمية في اتجاه سلبي (في اتجاه الانخفاض). لن يتم إحضار الأجزاء إلى المستودع ، ولن يتم أخذ الأجزاء بعيدًا عن المستودع ، ثم يمكننا التحدث عن ثبات عدد الأجزاء (أي يمكننا التحدث عن تغيير صفري في الكمية).

في الأمثلة المقدمة ، يمكن وصف التغيير في عدد الأجزاء باستخدام الأعداد الصحيحة 400 و 100 و 0 على التوالي. يشير العدد الصحيح الموجب 400 إلى تغير إيجابي في الكمية (زيادة). العدد الصحيح السالب 100 يعبر عن تغير سلبي في الكمية (نقصان). يشير العدد الصحيح 0 إلى أن الكمية لم تتغير.

إن الراحة في استخدام الأعداد الصحيحة مقارنة باستخدام الأعداد الطبيعية هي أنه لا توجد حاجة للإشارة صراحة إلى ما إذا كانت الكمية تتزايد أم تتناقص - فالعدد الصحيح يحدد التغيير كميًا ، وتشير علامة العدد الصحيح إلى اتجاه التغيير.

يمكن للأعداد الصحيحة أيضًا أن تعبر ليس فقط عن تغيير في الكمية ، ولكن أيضًا عن تغيير في بعض القيمة. دعنا نتعامل مع هذا باستخدام مثال تغير درجة الحرارة.

يتم التعبير عن الزيادة في درجة الحرارة بمقدار 4 درجات ، على سبيل المثال ، في صورة عدد صحيح موجب 4. يمكن وصف الانخفاض في درجة الحرارة ، على سبيل المثال ، بمقدار 12 درجة بعدد صحيح سالب −12. وثبات درجة الحرارة هو تغيرها ، محددًا بالعدد الصحيح 0.

بشكل منفصل ، يجب أن يقال عن تفسير الأعداد الصحيحة السالبة كمقدار الدين. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 3 تفاحات ، فإن العدد الصحيح الموجب 3 يمثل عدد التفاحات التي نمتلكها. من ناحية أخرى ، إذا كان علينا إعطاء 5 تفاحات لشخص ما ، ولم تكن متوفرة لدينا ، فيمكن وصف هذا الموقف باستخدام عدد صحيح سالب −5. في هذه الحالة ، "نمتلك" 5 تفاحات ، وتشير علامة الطرح إلى الدين ، بينما يشير الرقم 5 إلى الدين.

يسمح فهم العدد الصحيح السالب كدين ، على سبيل المثال ، بتبرير القاعدة لإضافة أعداد صحيحة سالبة. لنأخذ مثالا. إذا كان أحدهم مدينًا بتفاحتين لشخص واحد وتفاحة لآخر ، فإن إجمالي الدين هو 2 + 1 = 3 تفاحات ، لذلك −2 + (- 1) = - 3.

فهرس.

• فيلينكين ن. إلخ الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.

ل الأعداد الكليةتشمل الأعداد الطبيعية والصفر والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية.

عدد صحيحهي أعداد صحيحة موجبة.

على سبيل المثال: 1 ، 3 ، 7 ، 19 ، 23 ، إلخ. نستخدم هذه الأرقام للعد (هناك 5 تفاحات على الطاولة ، والسيارة بها 4 عجلات ، وما إلى ذلك).

الحرف اللاتيني \ mathbb (N) - يُشار إليه مجموعة من الأعداد الطبيعية.

لا يمكن أن تتضمن الأرقام الطبيعية سالبة (لا يمكن أن يحتوي الكرسي على عدد سالب من الأرجل) وأرقام كسرية (لم يتمكن إيفان من بيع 3.5 دراجات).

الأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة السالبة: -8 ، -148 ، -981 ، ....

العمليات الحسابية مع الأعداد الصحيحة

ماذا يمكنك ان تفعل مع الاعداد الصحيحه؟ يمكن ضربها وإضافتها وطرحها من بعضها البعض. دعنا نحلل كل عملية في مثال محدد.

إضافة عدد صحيح

يتم إضافة عددين صحيحين بنفس العلامات على النحو التالي: تتم إضافة وحدات هذه الأرقام ويسبق المجموع الناتج بعلامة نهائية:

(+11) + (+9) = +20

طرح الأعداد الصحيحة

يُضاف عددين صحيحين بعلامات مختلفة على النحو التالي: يُطرح مقياس العدد الأصغر من مقياس العدد الأكبر ، وتوضع علامة الرقم المعياري الأكبر أمام الإجابة:

(-7) + (+8) = +1

الضرب الصحيح

لضرب عدد صحيح في آخر ، تحتاج إلى ضرب الوحدات النمطية لهذه الأرقام ووضع علامة "+" أمام الإجابة المستلمة إذا كانت الأرقام الأصلية بنفس العلامات ، وعلامة "-" إذا كانت الأرقام الأصلية بعلامات مختلفة:

(-5) \ cdot (+3) = -15

(-3) \ cdot (-4) = +12

يجب أن تتذكر ما يلي قاعدة ضرب العدد الصحيح:

+ \ cdot + = +

+ \ cdot - = -

- \ cdot + = -

- \ cdot - = +

هناك قاعدة لضرب عدة أعداد صحيحة. لنتذكرها:

ستكون علامة المنتج "+" إذا كان عدد العوامل التي بها علامة سالبة زوجي و "-" إذا كان عدد العوامل التي بها علامة سالبة فرديًا.

(-5) \ cdot (-4) \ cdot (+1) \ cdot (+6) \ cdot (+1) = +120

تقسيم الأعداد الصحيحة

يتم قسمة عددين صحيحين على النحو التالي: يُقسَّم مقياس أحد الأرقام على معامل الآخر ، وإذا كانت علامات الأرقام متطابقة ، يتم وضع علامة "+" أمام حاصل القسمة الناتج ، وإذا كانت إشارات الأرقام الأصلية مختلفة ، يتم وضع علامة "-".

(-25) : (+5) = -5

خواص جمع وضرب الأعداد الصحيحة

دعنا نحلل الخصائص الأساسية للجمع والضرب لأي أعداد صحيحة أ وب وج:

1. أ + ب = ب + أ - خاصية تبادلية للإضافة ؛
2. (أ + ب) + ج \ u003d أ + (ب + ج) - الخاصية الترابطية للإضافة ؛
3. أ \ cdot ب = ب \ cdot أ - خاصية تبادلية للضرب ؛
4. (a \ cdot c) \ cdot b = a \ cdot (b \ cdot c)- الخواص الترابطية لعملية الضرب ؛
5. أ \ cdot (ب \ cdot ج) = أ \ cdot ب + أ \ cdot جهي خاصية توزيع الضرب.

في القرن الخامس قبل الميلاد ، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينو من إيليا كتابه الشهير أبوريا ، وأشهرها أبوريا "أخيل والسلحفاة". إليك كيف يبدو الأمر:

لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من السلحفاة وخلفه بألف خطوة. خلال الوقت الذي يقطع فيه أخيل هذه المسافة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر درجات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا التفكير صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، جيلبرت ... كلهم ​​، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحاضر ، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات ... تم تضمين التحليل الرياضي ، ونظرية المجموعات ، والنهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة القضية ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولاً عالميًا للمشكلة ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الكل يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.

من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من القيمة إلى. هذا الانتقال يعني تطبيق بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم ، فإن الجهاز الرياضي لتطبيق وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا زينو. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات زمنية ثابتة على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر جسدية ، يبدو أن الوقت يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.

إذا قلبنا المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سيتفوق أخيل على السلحفاة بسرعة لانهائية."

كيف نتجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقَ في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى قيم متبادلة. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل ألف خطوة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بثمانمائة خطوة على السلحفاة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكن هذا ليس حلاً كاملاً للمشكلة. إن تصريح أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء مشابه جدًا لما قاله زينو أبوريا "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.

تحكي أبوريا أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.

في هذا الانحراف ، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة يكون السهم الطائر في حالة سكون في نقاط مختلفة في الفضاء ، والتي في الواقع ، هي الحركة. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، يلزم التقاط صورتين من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة ، لكن لا يمكن استخدامهما لتحديد المسافة. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في نفس الوقت ، لكن لا يمكنك تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال ، ما زلت بحاجة إلى بيانات إضافية لإجراء الحسابات ، وسيساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه على وجه الخصوص هو أن نقطتين في الوقت ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا ينبغي الخلط بينهما لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للاستكشاف.

الأربعاء 4 يوليو 2018

جيد جدًا ، تم وصف الاختلافات بين مجموعة و multiset في ويكيبيديا. نحن ننظر.

كما ترى ، "لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عنصرين متطابقين" ، ولكن إذا كانت هناك عناصر متطابقة في المجموعة ، فإن هذه المجموعة تسمى "multiset". الكائنات المعقولة لن تفهم أبدًا منطق العبثية هذا. هذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة ، حيث يغيب العقل عن كلمة "تمامًا". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين ، يكرزون لنا بأفكارهم السخيفة.

ذات مرة ، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبارات الجسر. إذا انهار الجسر ، مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خليقته. إذا كان الجسر يستطيع تحمل الحمل ، فقد بنى المهندس الموهوب جسورًا أخرى.

بغض النظر عن كيفية إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "مانعني ، أنا في المنزل" ، أو بالأحرى "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة" ، هناك حبل سري واحد يربطهم ارتباطًا وثيقًا بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن جالسون في مكتب الصرف ندفع الرواتب. هنا يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة ، حيث نضع سندات من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة راتبه الرياضي". نفسر الرياضيات أنه سيتلقى بقية الفواتير فقط عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي المجموعة التي تحتوي على عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء ، سينجح منطق النواب: "يمكنك تطبيقه على الآخرين ، لكن ليس عليّ!" علاوة على ذلك ، ستبدأ التأكيدات بوجود أرقام مختلفة للأوراق النقدية على الأوراق النقدية من نفس الفئة ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها عناصر متطابقة. حسنًا ، نحسب الراتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سوف يتذكر عالم الرياضيات الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة لها كميات مختلفة من الأوساخ ، والبنية البلورية وترتيب الذرات لكل عملة فريدة من نوعها ...

والآن لدي السؤال الأكثر إثارة للاهتمام: أين الحدود التي بعدها تتحول عناصر مجموعة متعددة إلى عناصر من مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان ، والعلم هنا ليس قريبًا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحة الحقول هي نفسها ، مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا أخذنا في الاعتبار أسماء نفس الملاعب ، فسنحصل على الكثير ، لأن الأسماء مختلفة. كما ترى ، فإن نفس مجموعة العناصر عبارة عن مجموعة ومجموعة متعددة في نفس الوقت. كيف الحق؟ وهنا يخرج عالم الرياضيات الشامان شولر الآس الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. على أي حال ، سيقنعنا أنه على حق.

لفهم كيف يعمل الشامان الحديثون مع نظرية المجموعات ، وربطها بالواقع ، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم ، بدون أي "لا يمكن تصوره على أنه ليس كل واحد" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام العدد هو رقصة الشامان مع الدف ، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم ، في دروس الرياضيات نتعلم أن نجد مجموع أرقام العدد ونستخدمها ، لكنهم شامان لذلك ، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم ، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج الى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد معادلة في الرياضيات يمكنك من خلالها إيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء ، الأرقام هي رموز بيانية نكتب بها الأرقام ، وفي لغة الرياضيات ، تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة ، لكن الشامان يمكنهم حلها بشكل أساسي.

دعنا نفهم ماذا نفعل وكيف نفعل لإيجاد مجموع أرقام عدد معين. وبالتالي ، لنفترض أن لدينا الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا العدد؟ دعنا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز بياني رقمي. هذه ليست عملية رياضية.

2. قمنا بتقطيع صورة واحدة تم استلامها إلى عدة صور تحتوي على أرقام منفصلة. قص الصورة ليس عملية حسابية.

3. تحويل الأحرف الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. اجمع الأرقام الناتجة. الآن هذه رياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القص والخياطة" من الشامان التي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر الرياضيات ، لا يهم في أي نظام رقمي نكتب الرقم. لذلك ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات ، يُشار إلى نظام الأرقام على أنه رمز منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير من 12345 ، لا أريد أن أخدع رأسي ، ضع في اعتبارك الرقم 26 من المقالة حول. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية. لن نفكر في كل خطوة تحت المجهر ، لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا نلقي نظرة على النتيجة.

كما ترى ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. يبدو الأمر كما لو أن حساب مساحة المستطيل بالأمتار والسنتيمتر سيعطيك نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر في جميع أنظمة الأرقام متماثلًا ولا يحتوي على مجموع أرقام. هذه حجة أخرى لصالح حقيقة أن. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يُشار في الرياضيات إلى ما ليس رقمًا؟ ماذا بالنسبة لعلماء الرياضيات ، لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ بالنسبة إلى الشامان ، يمكنني السماح بذلك ، لكن بالنسبة للعلماء ، لا. الواقع ليس مجرد أرقام.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها كدليل على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس الأرقام. بعد كل شيء ، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. إذا كانت نفس الإجراءات بوحدات قياس مختلفة بنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها ، فإن هذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة إجراء رياضي على قيمة الرقم ، ووحدة القياس المستخدمة ، وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

وقع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوتش! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحدودة عند الصعود إلى السماء! نيمبوس على القمة والسهم لأعلى. أي مرحاض آخر؟

أنثى ... هالة في الأعلى وسهم لأسفل ذكر.

إذا كان لديك مثل هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم ،

إذن فليس من المستغرب أن تجد فجأة أيقونة غريبة في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً على نفسي لأرى أربع درجات تحت الصفر في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تكوين عدة صور: علامة ناقص ، رقم أربعة ، تعيين درجات). وأنا لا أعتبر هذه الفتاة حمقاء لا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوسية لإدراك الصور الرسومية. ويعلمنا علماء الرياضيات هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليست "أربع درجات تحت الصفر" أو "واحدة أ". هذا هو "رجل يتغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" في نظام الأرقام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يرون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل البدء في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا للحصول على أكثر الموارد فائدة

لتبسيط حياتك كثيرًا عندما تحتاج إلى حساب شيء ما ، لكسب وقت ثمين في OGE أو USE ، لتقليل الأخطاء الغبية - اقرأ هذا القسم!

إليك ما ستتعلمه:

• كيفية حساب استخدام أسرع وأسهل وأكثر دقةتجميع الأرقامعند الجمع والطرح ،
• كيفية الضرب والقسمة بسرعة بدون أخطاء باستخدام قواعد الضرب ومعايير القسمة,
• كيفية تسريع العمليات الحسابية بشكل ملحوظ باستخدام أقل مضاعف مشترك(NOC) و القاسم المشترك الأكبر(GCD).

إن امتلاك تقنيات هذا القسم يمكن أن يقلب الموازين في اتجاه أو آخر ... سواء دخلت جامعة أحلامك أم لا ، سيتعين عليك أنت أو والديك دفع الكثير من المال للتعليم أو ستدخل الميزانية .

دعنا نتعمق في ... (دعنا نذهب!)

ملاحظة. آخر نصيحة قيّمة ...

مجموعة من أعداد صحيحةيتكون من 3 اجزاء:

1. أعداد صحيحة(سننظر فيها بمزيد من التفصيل أدناه) ؛
2. الأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية(كل شيء سيقع في مكانه بمجرد أن تعرف ما هي الأعداد الطبيعية) ؛
3. صفر - " " (أين بدونها؟)

الحرف Z.

عدد صحيح

"خلق الله الأعداد الطبيعية ، وكل شيء آخر هو عمل أيدي البشر" (ج) عالم الرياضيات الألماني كرونيكر.

الأعداد الطبيعيةالأرقام التي نستخدمها لعد الكائنات ، وعلى هذا الأساس يعتمد تاريخ حدوثها - الحاجة إلى عد الأسهم والجلود وما إلى ذلك.

1 ، 2 ، 3 ، 4 ... ن

الحرف ن.

وفقًا لذلك ، لا يشمل هذا التعريف (ألا يمكنك حساب ما هو غير موجود؟) وأكثر من ذلك لا يشمل القيم السالبة (هل هناك تفاحة؟).

بالإضافة إلى ذلك ، لا يتم تضمين جميع الأرقام الكسرية (لا يمكننا أيضًا أن نقول "لدي كمبيوتر محمول" أو "لقد بعت سيارات")

أي عدد طبيعييمكن كتابتها باستخدام 10 أرقام:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

إذن 14 ليس رقمًا. هذا رقم. ما هي الأرقام التي تتكون منها؟ هذا صحيح ، من الأرقام و.

إضافة. التجميع عند الجمع لحساب أسرع وأخطاء أقل

ما الأشياء الشيقة التي يمكنك أن تقولها عن هذا الإجراء؟ بالطبع ، ستجيب الآن "قيمة المبلغ لا تتغير من إعادة ترتيب الشروط". يبدو أن القاعدة البدائية مألوفة من الدرجة الأولى ، ومع ذلك ، عند حل الأمثلة الكبيرة ، فإنه نسي على الفور!

لا تنسي أمرهاستخدام التجميعوذلك لتسهيل عملية العد وتقليل احتمالية حدوث أخطاء ، لأنه لن يكون لديك آلة حاسبة للامتحان.

انظر بنفسك أي تعبير أسهل في الإضافة؟

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

بالطبع الثانية! على الرغم من أن النتيجة هي نفسها. لكن! بالنظر إلى الطريقة الثانية ، من غير المرجح أن ترتكب خطأ وستفعل كل شيء بشكل أسرع!

لذلك ، في ذهنك ، تعتقد مثل هذا:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

الطرح. التجميع عند الطرح لحساب أسرع وخطأ أقل

عند الطرح ، يمكننا أيضًا تجميع الأرقام المطروحة ، على سبيل المثال:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

ماذا لو تم تشذير الطرح مع الجمع في المثال؟ يمكنك أيضًا التجميع ، وسوف تجيب ، وبحق. فقط من فضلك لا تنسى العلامات الموجودة أمام الأرقام ، على سبيل المثال: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

تذكر: ستؤدي العلامات الملصقة بشكل غير صحيح إلى نتيجة خاطئة.

عمليه الضرب. كيف تتكاثر في عقلك

من الواضح أن قيمة المنتج لن تتغير أيضًا من تغيير أماكن العوامل:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

لن أخبرك "استخدم هذا عند حل المشكلات" (لقد تلقيت التلميح بنفسك ، أليس كذلك؟) ، ولكن بدلاً من ذلك أخبرك بكيفية مضاعفة بعض الأرقام بسرعة في رأسك. لذا ، انظر بعناية إلى الجدول:

والمزيد عن الضرب. طبعا تتذكر مناسبتين خاصتين .. خمن ماذا أعني؟ هنا حول هذا الموضوع:

أوه نعم ، دعونا نلقي نظرة علامات القسمة. في المجموع ، هناك 7 قواعد لعلامات القسمة ، والتي تعرف بالفعل أول 3 منها بالتأكيد!

لكن الباقي ليس من الصعب تذكره على الإطلاق.

7 علامات على قابلية الأرقام للقسمة ستساعدك على العد بسرعة في رأسك!

• أنت ، بالطبع ، تعرف القواعد الثلاثة الأولى.
• يسهل تذكر الرابع والخامس - عند القسمة على وننظر لمعرفة ما إذا كان مجموع الأرقام التي يتكون منها الرقم قابل للقسمة على هذا.
• عند القسمة على ، ننتبه إلى آخر رقمين من الرقم - هل الرقم الذي يتكونان منه قابل للقسمة؟
• عند القسمة على رقم ، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على وعلى في نفس الوقت. هذا كل ما في الحكمة.

هل تفكر الآن - "لماذا أحتاج كل هذا"؟

أولا ، الامتحان بدون آلة حاسبةوستساعدك هذه القواعد على التنقل في الأمثلة.

وثانياً ، لقد سمعت عن المهام GCDو شهادة عدم ممانعة؟ اختصار مألوف؟ لنبدأ في التذكر والفهم.

القاسم المشترك الأكبر (gcd) - مطلوب لتقليل الكسور والحسابات السريعة

لنفترض أن لديك رقمان: و. ما أكبر عدد يقبل القسمة على هذين الرقمين؟ سوف تجيب دون تردد ، لأنك تعلم أن:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

ما هي الأرقام الشائعة في التوسع؟ هذا صحيح ، 2 * 2 = 4. كانت هذه إجابتك. مع وضع هذا المثال البسيط في الاعتبار ، لن تنسى خوارزمية البحث GCD. حاول أن "تبنيها" في رأسك. حدث؟

للعثور على NOD الذي تحتاجه:

1. قسّم الأرقام إلى عوامل أولية (إلى أعداد لا يمكن تقسيمها بأي شيء آخر غير نفسها أو على سبيل المثال ، 3 ، 7 ، 11 ، 13 ، إلخ).
2. اضربهم.

هل تفهم لماذا احتجنا إلى علامات القسمة؟ حتى تنظر إلى الرقم وتبدأ في القسمة بدون باقي.

على سبيل المثال ، لنجد GCD للأرقام 290 و 485

الرقم الأول -.

بالنظر إليها ، يمكنك على الفور معرفة ما يمكن القسمة عليه ، دعنا نكتب:

لا يمكنك تقسيمه إلى أي شيء آخر ، ولكن يمكنك - ونحصل على:

290 = 29 * 5 * 2

لنأخذ رقمًا آخر - 485.

وبحسب دلالات القابلية للقسمة ، يجب أن يكون قابلاً للقسمة من دون باقي ، لأنه ينتهي بـ. نحن نشارك:

دعنا نحلل الرقم الأصلي.

• لا يمكن القسمة على (الرقم الأخير فردي) ،
• - لا يقبل القسمة على ، لذا فإن الرقم أيضًا لا يقبل القسمة عليه ،
• كما أنه غير قابل للقسمة على و (مجموع الأرقام في الرقم لا يقبل القسمة عليه وعلى)
• كما أنه غير قابل للقسمة ، لأنه لا يقبل القسمة على و ،
• كما أنه لا يقبل القسمة على و ، لأنه لا يقبل القسمة على و.
• لا يمكن تقسيمها بالكامل

لذلك يمكن فقط أن يتحلل الرقم إلى و.

والآن دعونا نجد GCDهذه الأرقام (و). ما هذا الرقم؟ بشكل صحيح.

يجب علينا ممارسة؟

رقم المهمة 1. أوجد GCD للأرقام 6240 و 6800

1) أقسم على الفور على الفور ، لأن كلا الرقمين قابل للقسمة بنسبة 100٪ على:

رقم المهمة 2. أوجد GCD للأرقام 345 و 324

لا يمكنني العثور بسرعة على قاسم مشترك واحد على الأقل هنا ، لذلك أنا فقط أتحلل إلى عوامل أولية (أقل عدد ممكن):

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) - يوفر الوقت ويساعد في حل المشكلات خارج الصندوق

لنفترض أن لديك رقمان - و. ما هو أصغر عدد يقبل القسمة عليه دون أن يترك أثرا(أي تماما)؟ من الصعب تخيل ذلك؟ إليك دليل مرئي لك:

هل تتذكر ما تعنيه هذه الرسالة؟ هذا صحيح ، فقط الأعداد الكلية.إذن ما هو أصغر رقم يناسب س؟ :

في هذه الحالة.

عدة قواعد تتبع من هذا المثال البسيط.

قواعد العثور بسرعة على شهادة عدم الممانعة

القاعدة 1. إذا كان أحد العددين الطبيعيين قابلاً للقسمة على رقم آخر ، فإن أكبر هذين العددين هو المضاعف المشترك الأصغر.

ابحث عن الأرقام التالية:

• شهادة عدم ممانعة (7 ؛ 21)
• شهادة عدم ممانعة (6 ؛ 12)
• شهادة عدم ممانعة (5 ؛ 15)
• شهادة عدم ممانعة (3 ؛ 33)

بالطبع ، لقد تعاملت مع هذه المهمة بسهولة وحصلت على الإجابات - و.

لاحظ أنه في القاعدة نتحدث عن رقمين ، إذا كان هناك المزيد من الأرقام ، فإن القاعدة لا تعمل.

على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (7 ؛ 14 ؛ 21) لا يساوي 21 ، حيث لا يمكن تقسيمه بدون الباقي على.

القاعدة 2. إذا كان رقمان (أو أكثر من رقمين) جريمة مشتركة ، فإن المضاعف المشترك الأصغر يكون مساويًا لمنتجها.

تجد شهادة عدم ممانعةللأرقام التالية:

• شهادة عدم ممانعة (1 ؛ 3 ؛ 7)
• شهادة عدم ممانعة (3 ؛ 7 ؛ 11)
• شهادة عدم ممانعة (2 ؛ 3 ؛ 7)
• شهادة عدم ممانعة (3 ؛ 5 ؛ 2)

هل تحسب؟ ها هي الإجابات - ، ؛ .

كما تفهم ، ليس من السهل دائمًا أخذ نفس x والتقاطه ، لذلك بالنسبة للأرقام الأكثر تعقيدًا ، توجد الخوارزمية التالية:

يجب علينا ممارسة؟

أوجد المضاعف المشترك الأصغر - المضاعف المشترك الأصغر (345 ؛ 234)

ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) بنفسك

ما هي الإجابات التي حصلت عليها؟

هذا ما حدث لي:

كم استغرقت من الوقت لتجد شهادة عدم ممانعة؟ وقتي دقيقتان ، وأنا أعلم حقًا خدعة واحدةالذي أقترح أن تفتحه الآن!

إذا كنت منتبهًا جدًا ، فمن المحتمل أنك لاحظت أنه بالنسبة للأرقام المحددة التي بحثنا عنها بالفعل GCDويمكنك أخذ تحليل هذه الأرقام إلى عوامل من هذا المثال ، وبالتالي تبسيط مهمتك ، لكن هذا أبعد ما يكون عن كل شيء.

انظر إلى الصورة ، ربما تأتيك بعض الأفكار الأخرى:

نحن سوف؟ سأعطيك تلميحًا: حاول الضرب شهادة عدم ممانعةو GCDفيما بينهم واكتب جميع العوامل التي ستكون عند الضرب. هل تستطيع فعلها؟ يجب أن ينتهي بك الأمر بسلسلة مثل هذا:

ألق نظرة فاحصة عليها: قارن العوامل بكيفية تحللها.

ما هو الاستنتاج الذي يمكنك استخلاصه من هذا؟ بشكل صحيح! إذا ضربنا القيم شهادة عدم ممانعةو GCDفيما بينهم ، نحصل على حاصل ضرب هذه الأرقام.

تبعا لذلك ، وجود الأرقام والمعنى GCD(أو شهادة عدم ممانعة)، نحن نستطيع ان نجد شهادة عدم ممانعة(أو GCD) بالطريقة الآتية:

1. ابحث عن ناتج الأرقام:

2. نقسم الناتج الناتج على GCD (6240; 6800) = 80:

هذا كل شئ.

لنكتب القاعدة بشكل عام:

في محاولة لايجاد GCDإذا عُرف أن:

هل تستطيع فعلها؟ .

الأعداد السالبة - "الأعداد الخاطئة" واعتراف الجنس البشري بها.

كما فهمت بالفعل ، هذه أرقام معاكسة للأرقام الطبيعية ، أي:

يمكن إضافة الأعداد السالبة وطرحها وضربها وتقسيمها - تمامًا مثل الأعداد الطبيعية. يبدو أنهم مميزون جدا؟ لكن الحقيقة هي أن الأرقام السالبة "فازت" بمكانتها الصحيحة في الرياضيات حتى القرن التاسع عشر (حتى تلك اللحظة كان هناك قدر كبير من الجدل حول ما إذا كانت موجودة أم لا).

نشأ الرقم السالب نفسه بسبب هذه العملية ذات الأعداد الطبيعية مثل "الطرح". في الواقع ، اطرح من - هذا رقم سالب. هذا هو السبب في أن مجموعة الأرقام السالبة تسمى غالبًا "امتدادًا للمجموعة الأعداد الطبيعية».

لم يتم التعرف على الأرقام السلبية من قبل الناس لفترة طويلة. لذلك ، مصر القديمة وبابل واليونان القديمة - لم تتعرف أضواء عصرهم على الأرقام السالبة ، وفي حالة الحصول على جذور سلبية في المعادلة (على سبيل المثال ، كما فعلنا) ، تم رفض الجذور باعتبارها مستحيلة.

لأول مرة حصلت الأعداد السالبة على حقها في الوجود في الصين ، ثم في القرن السابع في الهند. ما رأيك في هذا الاعتراف؟ هذا صحيح ، بدأت الأرقام السالبة تشير إلى الديون (وإلا - النقص). كان يُعتقد أن الأرقام السالبة هي قيمة مؤقتة ، ونتيجة لذلك ستتغير إلى قيمة موجبة (أي ، ستظل الأموال تُعاد إلى الدائن). ومع ذلك ، فقد نظر عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا بالفعل في الأعداد السالبة على قدم المساواة مع الأرقام الإيجابية.

في أوروبا ، جاءت فائدة الأرقام السالبة ، فضلاً عن حقيقة أنها يمكن أن تشير إلى الديون ، بعد ذلك بكثير ، أي الألفية. تمت الإشارة لأول مرة في عام 1202 في "كتاب العداد" بواسطة ليونارد بيزا (أقول على الفور أن مؤلف الكتاب لا علاقة له ببرج بيزا المائل ، لكن أرقام فيبوناتشي هي عمله ( لقب ليوناردو بيزا هو فيبوناتشي)). علاوة على ذلك ، توصل الأوروبيون إلى استنتاج مفاده أن الأرقام السالبة لا تعني الديون فحسب ، بل تعني أيضًا عدم وجود أي شيء ، ومع ذلك ، لم يدرك الجميع ذلك.

لذلك ، في القرن السابع عشر ، اعتقد باسكال ذلك. كيف تعتقد انه برر ذلك؟ هذا صحيح ، "لا شيء يمكن أن يكون أقل من لا شيء". يبقى صدى تلك الأوقات حقيقة أن الرقم السالب وعملية الطرح يتم الإشارة إليها بنفس الرمز - ناقص "-". و صحيح: . هل الرقم "" موجب يطرح من أم سالب يضاف إليه؟ .. شيء من سلسلة "الذي يأتي أولاً: الدجاجة أم البيضة؟" هنا نوع من هذه الفلسفة الرياضية.

ضمنت الأرقام السالبة حقهم في الوجود مع ظهور الهندسة التحليلية ، بعبارة أخرى ، عندما قدم علماء الرياضيات شيئًا مثل المحور الحقيقي.

من هذه اللحظة جاءت المساواة. ومع ذلك ، لا تزال هناك أسئلة أكثر من الإجابات ، على سبيل المثال:

نسبة

هذه النسبة تسمى مفارقة أرنو. فكر في الأمر ، ما المشكوك فيه؟

لنتحدث معا "" أكثر من "" أليس كذلك؟ وبالتالي ، وفقًا للمنطق ، يجب أن يكون الجانب الأيسر من النسبة أكبر من الجانب الأيمن ، لكنهما متساويان ... هنا هو التناقض.

نتيجة لذلك ، اتفق علماء الرياضيات على أن كارل غاوس (نعم ، نعم ، هذا هو الشخص الذي اعتبر مجموع (أو) الأرقام) في عام 1831 قد وضع حدًا له - قال إن الأرقام السالبة لها نفس الحقوق التي تتمتع بها الأعداد الإيجابية ، و حقيقة أنها لا تنطبق على كل الأشياء لا تعني شيئًا ، لأن الكسور لا تنطبق على أشياء كثيرة أيضًا (لا يحدث أن يقوم الحفار بحفر حفرة ، ولا يمكنك شراء تذكرة فيلم ، وما إلى ذلك).

هدأ علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر فقط ، عندما ابتكر ويليام هاملتون وهيرمان جراسمان نظرية الأعداد السالبة.

هذا هو مدى الجدل ، هذه الأرقام السلبية.

ظهور "الفراغ" ، أو سيرة الصفر.

في الرياضيات ، رقم خاص. للوهلة الأولى ، هذا ليس شيئًا: أضف ، اطرح - لن يتغير شيء ، لكن عليك فقط أن تنسبه إلى "" ، وسيكون الرقم الناتج أكبر بعدة مرات من الرقم الأصلي. بالضرب في الصفر ، نحول كل شيء إلى لا شيء ، لكن لا يمكننا القسمة على "لا شيء". في كلمة ، الرقم السحري)

إن تاريخ الصفر طويل ومعقد. تم العثور على أثر للصفر في كتابات الصينيين في عام 2000 م. وحتى في وقت سابق مع المايا. شوهد أول استخدام لرمز الصفر ، كما هو الحال اليوم ، بين علماء الفلك اليونانيين.

هناك إصدارات عديدة من سبب اختيار مثل هذا التعيين "لا شيء". يميل بعض المؤرخين إلى الاعتقاد بأن هذا هو omicron ، أي الحرف الأول من الكلمة اليونانية التي تعني لا شيء هو ouden. وفقًا لإصدار آخر ، فإن كلمة "obol" (عملة معدنية بلا قيمة تقريبًا) أعطت الحياة لرمز الصفر.

يظهر الصفر (أو الصفر) كرمز رياضي أولاً بين الهنود (لاحظ أن الأرقام السالبة بدأت "تتطور" هناك). يعود أول دليل موثوق على كتابة الصفر إلى 876 ، وفيها "" هو أحد مكونات العدد.

جاء الصفر أيضًا إلى أوروبا متأخرًا - فقط في عام 1600 ، وواجه مقاومة تمامًا مثل الأرقام السالبة (ما الذي يمكنك فعله ، فهم أوروبيون).

كتب عالم الرياضيات الأمريكي تشارلز سيف: "غالبًا ما كان الصفر مكروهًا أو مخيفًا أو حتى محظورًا منذ زمن بعيد". إذن ، السلطان التركي عبد الحميد الثاني في نهاية القرن التاسع عشر. أمر مراقبيه بحذف صيغة الماء H2O من جميع كتب الكيمياء ، مع أخذ الحرف "O" للصفر وعدم الرغبة في تشويه الأحرف الأولى من اسمه بقربها من الصفر الحقير.

يمكنك العثور على العبارة على الإنترنت: "الصفر هو أقوى قوة في الكون ، ويمكنه فعل أي شيء! الصفر يخلق نظامًا في الرياضيات ، ويؤدي أيضًا إلى حدوث فوضى فيه. نقطة صحيحة تمامًا :)

ملخص القسم والصيغ الأساسية

تتكون مجموعة الأعداد الصحيحة من 3 أجزاء:

• الأعداد الطبيعية (سننظر فيها بمزيد من التفصيل أدناه) ؛
• أرقام معاكسة للأرقام الطبيعية ؛
• صفر - ""

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الحرف Z.

1. الأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية هي الأرقام التي نستخدمها لحساب عدد الكائنات.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية الحرف ن.

في العمليات ذات الأعداد الصحيحة ، ستحتاج إلى القدرة على إيجاد GCD و LCM.

أكبر قواسم مشتركة (GCD)

للعثور على NOD الذي تحتاجه:

1. حلل الأرقام إلى عوامل أولية (إلى أرقام لا يمكن تقسيمها على أي شيء آخر غير نفسها أو على سبيل المثال ، إلخ).
2. اكتب العوامل التي تشكل جزءًا من كلا العددين.
3. اضربهم.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

للعثور على شهادة عدم الممانعة التي تحتاجها:

1. حلل الأعداد إلى عوامل أولية (أنت تعرف بالفعل كيفية القيام بذلك جيدًا).
2. اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام (من الأفضل أن تأخذ أطول سلسلة).
3. أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية.
4. أوجد ناتج العوامل الناتجة.

2. الأعداد السالبة

هذه أرقام معاكسة للأعداد الطبيعية ، أي:

الآن أريد أن أسمع منك ...

أتمنى أن تكون قد قدّرت "الحيل" المفيدة للغاية في هذا القسم وفهمت كيف ستساعدك في الامتحان.

والأهم من ذلك ، في الحياة. أنا لا أتحدث عن ذلك ، لكن صدقوني ، هذا هو. القدرة على العد بسرعة وبدون أخطاء تحفظ في كثير من مواقف الحياة.

الان حان دورك!

اكتب ، هل ستستخدم طرق التجميع ومعايير القسمة و GCD و LCM في الحسابات؟

ربما كنت قد استخدمتها من قبل؟ أين وكيف؟

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات كيف تحب المقال.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز الامتحان بنجاح ، للقبول في المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على المساعدة من خلال مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. افتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. تحتاج كلاهما.

البحث عن المشاكل وحلها!