هرم. الهرم المقطوع

هرميسمى متعدد السطوح ، أحد وجوهه عبارة عن مضلع ( يتمركز ) ، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات برأس مشترك ( الوجوه الجانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صيح ، إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وتم إسقاط قمة الهرم في مركز القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف رباعي الوجوه .

ضلع جانبييسمى الهرم جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الأضلاع الجانبية للهرم العادي متساوية مع بعضها البعض ، وجميع الوجوه الجانبية متساوية في مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم مرسوم من القمة عتمة . قسم قطري يسمى قسم الهرم بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

مساحة السطح الجانبيةالهرم يسمى مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية في الهرم متساوية الأطوال ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع الوجوه في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم التعسفي ، تكون الصيغة صحيحة:

أين الخامس- الصوت؛

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

حهو ارتفاع الهرم.

بالنسبة للهرم العادي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح أ- صيدلانية

ح- ارتفاع؛

S ممتلئ

الجانب S.

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

الخامسهو حجم الهرم المنتظم.

هرم مبتوريسمى جزء الهرم المحاط بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع الصحيح يسمى جزء الهرم المنتظم ، محاطًا بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسسهرم مبتور - مضلعات مماثلة. الوجوه الجانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع يسمى المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع عبارة عن قطعة تربط رؤوسها التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري يسمى جزء الهرم المقطوع بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

بالنسبة للهرم المقطوع ، الصيغ صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2 - مناطق القواعد العلوية والسفلية ؛

S ممتلئهي المساحة الإجمالية ؛

الجانب S.هي مساحة السطح الجانبية

ح- ارتفاع؛

الخامسهو حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع العادي ، فإن الصيغة التالية صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 - محيط القاعدة ؛

ح أ- عرافة هرم مبتور منتظم.

مثال 1في هرم مثلثي منتظم ، تكون الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة 60º. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

قرار.لنقم برسم (الشكل 18).

الهرم منتظم ، مما يعني أن القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع وأن جميع وجوه الأضلاع متساوية في مثلثات متساوية الساقين. الزاوية ثنائية الأضلاع في القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. ستكون الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عمودين: أي يظهر الجزء العلوي من الهرم في وسط المثلث (مركز الدائرة المحصورة والدائرة المنقوشة في المثلث ABC). زاوية ميل الضلع الجانبي (على سبيل المثال SB) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع SBهذه الزاوية ستكون الزاوية SBD. للعثور على الظل ، تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو OB. دع طول المقطع BDهو 3 أ. نقطة االقطعة المستقيمة BDينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: من نجد:

إجابه:

مثال 2أوجد حجم هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم إذا كانت أقطار قاعدته سم و سم وكان الارتفاع 4 سم.

قرار.لإيجاد حجم الهرم المقطوع ، نستخدم الصيغة (4). لإيجاد مساحات القواعد ، تحتاج إلى إيجاد جوانب مربعات القاعدة ، مع معرفة أقطارها. ضلعي القاعدتين 2 سم و 8 سم على التوالي ، وهذا يعني مساحات القواعد واستبدال جميع البيانات في الصيغة ، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابه: 112 سم 3.

مثال 3أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع ، طول ضلعه الأساسيين 10 سم و 4 سم ، وارتفاع الهرم 2 سم.

قرار.لنقم برسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة القواعد والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الحالة ، يبقى الارتفاع فقط غير معروف. تجده من أين لكن 1 هعمودي من نقطة لكن 1 على مستوى القاعدة السفلية ، أ 1 د- عمودي من لكن 1 في تيار متردد. لكن 1 ه\ u003d 2 سم ، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. لايجاد DEسنقوم بعمل رسم إضافي ، حيث سنصور منظرًا علويًا (الشكل 20). نقطة ا- إسقاط مراكز القاعدة العلوية والسفلية. منذ ذلك الحين (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعمهو نصف قطر الدائرة المنقوشة و أومهو نصف قطر الدائرة المنقوشة:

MK = DE.

وفقًا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابه:

مثال 4في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدتهما أو ب (أ> ب). يشكل كل جانب زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد مساحة السطح الكلية للهرم.

قرار.لنقم برسم (الشكل 21). المساحة الإجمالية للهرم SABCDيساوي مجموع مساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع وجوه الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة ، فإن الرأس يُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة ا- إسقاط الرأس سعند قاعدة الهرم. مثلث SODهو الإسقاط المتعامد للمثلث CSDإلى مستوى القاعدة. وفقًا للنظرية الخاصة بمنطقة الإسقاط المتعامد لشكل مسطح ، نحصل على:

وبالمثل ، فهذا يعني وهكذا ، تم تقليل المشكلة إلى إيجاد منطقة شبه المنحرف ا ب ت ث. ارسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة اهو مركز دائرة منقوشة في شبه منحرف.

نظرًا لأنه يمكن نقش دائرة في شبه منحرف ، إذن أو حسب نظرية فيثاغورس لدينا

في هذا الدرس ، سننظر في الهرم المقطوع ، ونتعرف على الهرم المقطوع الصحيح ، وندرس خصائصه.

دعونا نتذكر مفهوم الهرم n-gonal باستخدام مثال الهرم الثلاثي. تم إعطاء المثلث ABC. خارج مستوى المثلث ، تؤخذ النقطة P ، متصلة برؤوس المثلث. يسمى السطح متعدد السطوح الناتج هرمًا (الشكل 1).

أرز. 1. الهرم الثلاثي

دعونا نقطع الهرم بمستوى موازٍ لمستوى قاعدة الهرم. الشكل الذي تم الحصول عليه بين هذه المستويات يسمى الهرم المقطوع (الشكل 2).

أرز. 2. الهرم المقطوع

العناصر الرئيسية:

قاعدة علوية

القاعدة السفلية ABC ؛

وجه جانبي

إذا كان PH هو ارتفاع الهرم الأصلي ، فإن ارتفاع الهرم المقطوع.

تنبع خصائص الهرم المقطوع من طريقة بنائه ، أي من موازاة مستويات القواعد:

جميع أوجه الهرم المقطوع هي شبه منحرف. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، وجهًا. لها خاصية المستويات المتوازية (نظرًا لأن المستويات متوازية ، فإنها تقطع الوجه الجانبي لهرم ABP الأصلي على طول خطوط متوازية) ، وفي نفس الوقت لا تكون متوازية. من الواضح أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، مثل جميع الوجوه الجانبية للهرم المقطوع.

نسبة القواعد هي نفسها لجميع شبه المنحرف:

لدينا عدة أزواج من المثلثات المتشابهة بنفس معامل التشابه. على سبيل المثال ، تتشابه المثلثات و RAB بسبب التوازي بين المستويات ومعامل التشابه:

في الوقت نفسه ، تتشابه المثلثات و RCS مع معامل التشابه:

من الواضح أن معاملات التشابه لجميع الأزواج الثلاثة للمثلثات المتشابهة متساوية ، وبالتالي فإن نسبة القواعد هي نفسها لجميع شبه المنحرفات.

الهرم المقطوع المنتظم هو هرم مبتور يتم الحصول عليه بقطع هرم منتظم بمستوى موازٍ للقاعدة (الشكل 3).

أرز. 3. الهرم المقطوع الصحيح

تعريف.

الهرم المنتظم يسمى الهرم ، الذي يقع في قاعدته n-gon منتظم ، ويتم إسقاط رأسه في مركز n-gon (مركز الدائرة المنقوشة والمحدودة).

في هذه الحالة ، يقع مربع عند قاعدة الهرم ، ويتم إسقاط الرأس على نقطة تقاطع أقطارها. يحتوي الهرم المقطوع المنتظم ذو الزوايا المنتظمة على ABCD - القاعدة السفلية - القاعدة العلوية. ارتفاع الهرم الأصلي - RO ، الهرم المقطوع - (الشكل 4).

أرز. 4. منتظم رباعي الزوايا الهرم المقطوع

تعريف.

ارتفاع الهرم المقطوع عمودي مرسوم من أي نقطة في قاعدة واحدة إلى مستوى القاعدة الثانية.

إن مجال الهرم الأصلي هو RM (M هو منتصف AB) ، والحلة الرئيسية للهرم المقطوع هي (الشكل 4).

تعريف.

طول أي هرم مبتور هو ارتفاع أي وجه جانبي.

من الواضح أن جميع الحواف الجانبية للهرم المقطوع متساوية مع بعضها البعض ، أي أن الوجوه الجانبية هي شبه منحرف متساوي الساقين.

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم المقطوع تساوي حاصل ضرب نصف مجموع محيطي القواعد والأبوتيم.

إثبات (لهرم مبتور منتظم رباعي الزوايا - الشكل 4):

لذلك نحن بحاجة إلى إثبات:

تتكون مساحة السطح الجانبية هنا من مجموع مساحات الوجوه الجانبية - شبه المنحرف. نظرًا لأن شبه المنحرفين متماثلان ، فلدينا:

مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين هي نتاج نصف مجموع القواعد والارتفاع ، والقطن هو ارتفاع شبه المنحرف. نملك:

Q.E.D.

لهرم n- gonal:

حيث n هو عدد الوجوه الجانبية للهرم ، a و b هما قاعدتا شبه المنحرفين ، هي العروة.

جوانب قاعدة هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم 3 سم و 9 سم ، الارتفاع - 4 سم ، أوجد مساحة السطح الجانبي.

أرز. 5. توضيح للمشكلة 1

قرار. دعنا نوضح الشرط:

منح: ، ،

ارسم خطًا مستقيمًا MN عبر النقطة O الموازية لجهازي القاعدة السفلية ، وبالمثل ارسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة (الشكل 6). نظرًا لأن المربعات والإنشاءات متوازية عند قواعد الهرم المقطوع ، نحصل على شبه منحرف يساوي الوجوه الجانبية. علاوة على ذلك ، سيمر جانبه الجانبي عبر منتصف الحواف العلوية والسفلية للوجوه الجانبية وسيكون مثالًا للهرم المقطوع.

أرز. 6. الإنشاءات الإضافية

ضع في اعتبارك شبه المنحرف الناتج (الشكل 6). في هذا شبه المنحرف ، القاعدة العلوية والقاعدة السفلية والارتفاع معروفة. مطلوب إيجاد الجانب الجانبي ، وهو حجرة الهرم المقطوع المحدد. ارسم عموديًا على MN. دعونا نحذف NQ العمودي من النقطة. نحصل على أن القاعدة الأكبر مقسمة إلى أجزاء من ثلاثة سنتيمترات (). ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية ، تُعرف الأرجل فيه ، إنه مثلث مصري ، وفقًا لنظرية فيثاغورس نحدد طول الوتر: 5 سم.

يوجد الآن كل العناصر لتحديد مساحة السطح الجانبي للهرم:

يتقاطع الهرم بمستوى موازٍ للقاعدة. باستخدام مثال الهرم المثلث ، أثبت أن الحواف الجانبية وارتفاع الهرم تنقسم بواسطة هذا المستوى إلى أجزاء متناسبة.

دليل - إثبات. دعنا نوضح:

أرز. 7. توضيح للمشكلة 2

تم إعطاء الهرم RABC. RO هو ارتفاع الهرم. يتم تشريح الهرم بالطائرة ، علاوة على ذلك ، يتم الحصول على هرم مبتور. نقطة - نقطة تقاطع ارتفاع RO مع مستوى قاعدة الهرم المقطوع. من الضروري إثبات:

مفتاح الحل هو خاصية المستويات المتوازية. تقطع طائرتان متوازيتان أي مستوى ثالث بحيث تكون خطوط التقاطع متوازية. من هنا: . يشير التوازي بين الخطوط المقابلة إلى وجود أربعة أزواج من المثلثات المتشابهة:

من تشابه المثلثات يتبع تناسب الأضلاع المقابلة. ميزة مهمة هي أن معاملات التشابه لهذه المثلثات هي نفسها:

Q.E.D.

يتم تشريح هرم ثلاثي منتظم RABC بارتفاع وجانب القاعدة بواسطة طائرة تمر عبر نقطة منتصف ارتفاع PH موازية للقاعدة ABC. أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع الناتج.

قرار. دعنا نوضح:

أرز. 8. توضيح المشكلة 3

DIA هو مثلث منتظم ، H هو مركز هذا المثلث (وسط الدوائر المنقوشة والمحدودة). RM هو علم الهرم المعطى. - علم الهرم المقطوع. وفقًا لخاصية المستويات المتوازية (تقطع طائرتان متوازيتان أي مستوى ثالث بحيث تكون خطوط التقاطع متوازية) ، لدينا عدة أزواج من المثلثات المتشابهة مع معامل تشابه متساوٍ. على وجه الخصوص ، نحن مهتمون بالعلاقة:

دعونا نجد NM. هذا هو نصف قطر دائرة منقوشة في القاعدة ، ونعرف الصيغة المقابلة:

الآن ، من المثلث القائم الزاوية РНМ ، من خلال نظرية فيثاغورس ، نجد РМ - أبوتيم الهرم الأصلي:

من النسبة الأولية:

الآن نحن نعرف جميع العناصر لإيجاد مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع:

لذلك ، تعرفنا على مفاهيم الهرم المقطوع والهرم المبتور المنتظم ، وقدمنا ​​تعريفات أساسية ، وخصائص مدروسة ، وأثبتنا النظرية على مساحة السطح الجانبية. سيركز الدرس التالي على حل المشكلات.

فهرس

1. آي إم سميرنوفا ، في.أ. سميرنوف. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة ، القس. وإضافية - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض.
2. Sharygin I. F. الهندسة. الصف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / Sharygin I. F. - M.: Bustard، 1999. - 208 p: ill.
3. إي في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات / E. في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. - الطبعة السادسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 2008. - 233 ص: م.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

الواجب المنزلي

سيساعدك هذا الدرس في الحصول على فكرة حول موضوع "الهرم. الهرم المنتظم والمبتور. في هذا الدرس ، سنتعرف على مفهوم الهرم المنتظم ، ونعطيه تعريفًا. ثم نثبت النظرية على السطح الجانبي للهرم المنتظم والنظرية على السطح الجانبي لهرم مبتور منتظم.

الموضوع: الهرم

الدرس: الأهرامات المنتظمة والمقطوعة

تعريف:الهرم المنتظم n-gonal هرم قاعدته n-gon منتظم ، والارتفاع مُسقط في مركز n-gon (الشكل 1).

أرز. واحد

هرم مثلثي منتظم

بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك ∆ABC (الشكل 2) ، حيث AB = BC = CA (أي مثلث منتظم يقع في قاعدة الهرم). في المثلث المنتظم ، يتطابق مركز الدوائر المنقوشة والمحددة ويكون مركز المثلث نفسه. في هذه الحالة ، يوجد المركز على النحو التالي: نجد منتصف AB - C 1 ، ونرسم القطعة SS 1 ، وهي الوسيط والمنصف والارتفاع ؛ وبالمثل نجد نقطة الوسط AC - B 1 ونرسم الجزء BB 1. سيكون تقاطع BB 1 و CC 1 هو النقطة O ، وهي مركز ∆ABC.

إذا وصلنا مركز المثلث O بقمة الهرم S ، فسنحصل على ارتفاع الهرم SO ⊥ ABC ، ​​SO = h.

ربط النقطة S بالنقاط A و B و C ، نحصل على الحواف الجانبية للهرم.

لقد حصلنا على هرم ثلاثي منتظم SABC (الشكل 2).

- هذا متعدد السطوح يتكون من قاعدة الهرم وقسم مواز له. يمكننا القول أن الهرم المقطوع هو هرم ذو قمة مقطوعة. هذا الرقم له العديد من الخصائص الفريدة:

• الوجوه الجانبية للهرم هي شبه منحرف.
• تكون الأضلاع الجانبية للهرم المنتظم المقطوع من نفس الطول وتميل إلى القاعدة عند نفس الزاوية ؛
• القواعد هي مضلعات متشابهة ؛
• في الهرم العادي المقطوع ، تكون الوجوه شبه منحرف متساوي الساقين ، مساحتها متساوية. تميل أيضًا إلى القاعدة بزاوية واحدة.

صيغة مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع هي مجموع مساحات أضلاعه:

نظرًا لأن جوانب الهرم المقطوع شبه منحرف ، فسيتعين عليك استخدام الصيغة لحساب المعلمات منطقة شبه منحرف. بالنسبة للهرم المقطوع المنتظم ، يمكن تطبيق صيغة أخرى لحساب المساحة. نظرًا لأن جميع جوانبها ووجوهها وزواياها عند القاعدة متساوية ، فمن الممكن تطبيق محيطي القاعدة والقسم ، وكذلك اشتقاق المساحة من خلال الزاوية عند القاعدة.

إذا تم ، وفقًا للشروط الموجودة في الهرم المقطوع المنتظم ، تحديد طول الضلع (ارتفاع الضلع) وأطوال جوانب القاعدة ، فيمكن عندئذٍ حساب المنطقة من خلال نصف حاصل ضرب مجموع محيطات القواعد والصيدلة:

لنلق نظرة على مثال لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع.
إعطاء هرم خماسي منتظم. Apothem ل= 5 سم طول الوجه في القاعدة الكبيرة أ\ u003d 6 سم ، والوجه عند القاعدة الأصغر ب= 4 سم احسب مساحة الهرم المقطوع.

أولًا ، لنجد محيط القاعدتين. نظرًا لأننا حصلنا على هرم خماسي ، فإننا نفهم أن القواعد خماسية. هذا يعني أن القواعد عبارة عن شكل له خمسة أضلاع متطابقة. أوجد محيط القاعدة الأكبر:

بالطريقة نفسها ، نجد محيط القاعدة الأصغر:

يمكننا الآن حساب مساحة الهرم المقطوع المنتظم. نستبدل البيانات في الصيغة:

وهكذا ، قمنا بحساب مساحة الهرم المقطوع المنتظم من خلال المحيطات والمقصورة.

طريقة أخرى لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم المنتظم هي الصيغة من خلال الزوايا عند القاعدة ومنطقة هذه القواعد بالذات.

لنلقِ نظرة على مثال حسابي. تذكر أن هذه الصيغة تنطبق فقط على هرم مبتور منتظم.

دعونا نعطي هرم منتظم رباعي الزوايا. وجه القاعدة السفلية أ = 6 سم ، ووجه الجزء العلوي ب = 4 سم ، والزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة β = 60 درجة. أوجد مساحة السطح الجانبية لهرم مبتور منتظم.

أولًا ، لنحسب مساحة القاعدتين. نظرًا لأن الهرم منتظم ، فإن جميع وجوه القواعد متساوية مع بعضها البعض. إذا كانت القاعدة رباعية ، فإننا نفهم أنه سيكون من الضروري إجراء الحساب مساحة مربعة. إنه حاصل ضرب العرض والطول ، لكن تربيع هذه القيم هي نفسها. أوجد مساحة القاعدة الأكبر:


الآن نستخدم القيم التي تم العثور عليها لحساب مساحة السطح الجانبية.

بمعرفة بعض الصيغ البسيطة ، قمنا بسهولة بحساب مساحة شبه المنحرف الجانبي لهرم مبتور من خلال قيم مختلفة.

في هذا الدرس ، سننظر في الهرم المقطوع ، ونتعرف على الهرم المقطوع الصحيح ، وندرس خصائصه.

دعونا نتذكر مفهوم الهرم n-gonal باستخدام مثال الهرم الثلاثي. تم إعطاء المثلث ABC. خارج مستوى المثلث ، تؤخذ النقطة P ، متصلة برؤوس المثلث. يسمى السطح متعدد السطوح الناتج هرمًا (الشكل 1).

أرز. 1. الهرم الثلاثي

دعونا نقطع الهرم بمستوى موازٍ لمستوى قاعدة الهرم. الشكل الذي تم الحصول عليه بين هذه المستويات يسمى الهرم المقطوع (الشكل 2).

أرز. 2. الهرم المقطوع

العناصر الرئيسية:

قاعدة علوية

القاعدة السفلية ABC ؛

وجه جانبي

إذا كان PH هو ارتفاع الهرم الأصلي ، فإن ارتفاع الهرم المقطوع.

تنبع خصائص الهرم المقطوع من طريقة بنائه ، أي من موازاة مستويات القواعد:

جميع أوجه الهرم المقطوع هي شبه منحرف. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، وجهًا. لها خاصية المستويات المتوازية (نظرًا لأن المستويات متوازية ، فإنها تقطع الوجه الجانبي لهرم ABP الأصلي على طول خطوط متوازية) ، وفي نفس الوقت لا تكون متوازية. من الواضح أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، مثل جميع الوجوه الجانبية للهرم المقطوع.

نسبة القواعد هي نفسها لجميع شبه المنحرف:

لدينا عدة أزواج من المثلثات المتشابهة بنفس معامل التشابه. على سبيل المثال ، تتشابه المثلثات و RAB بسبب التوازي بين المستويات ومعامل التشابه:

في الوقت نفسه ، تتشابه المثلثات و RCS مع معامل التشابه:

من الواضح أن معاملات التشابه لجميع الأزواج الثلاثة للمثلثات المتشابهة متساوية ، وبالتالي فإن نسبة القواعد هي نفسها لجميع شبه المنحرفات.

الهرم المقطوع المنتظم هو هرم مبتور يتم الحصول عليه بقطع هرم منتظم بمستوى موازٍ للقاعدة (الشكل 3).

أرز. 3. الهرم المقطوع الصحيح

تعريف.

الهرم المنتظم يسمى الهرم ، الذي يقع في قاعدته n-gon منتظم ، ويتم إسقاط رأسه في مركز n-gon (مركز الدائرة المنقوشة والمحدودة).

في هذه الحالة ، يقع مربع عند قاعدة الهرم ، ويتم إسقاط الرأس على نقطة تقاطع أقطارها. يحتوي الهرم المقطوع المنتظم ذو الزوايا المنتظمة على ABCD - القاعدة السفلية - القاعدة العلوية. ارتفاع الهرم الأصلي - RO ، الهرم المقطوع - (الشكل 4).

أرز. 4. منتظم رباعي الزوايا الهرم المقطوع

تعريف.

ارتفاع الهرم المقطوع عمودي مرسوم من أي نقطة في قاعدة واحدة إلى مستوى القاعدة الثانية.

إن مجال الهرم الأصلي هو RM (M هو منتصف AB) ، والحلة الرئيسية للهرم المقطوع هي (الشكل 4).

تعريف.

طول أي هرم مبتور هو ارتفاع أي وجه جانبي.

من الواضح أن جميع الحواف الجانبية للهرم المقطوع متساوية مع بعضها البعض ، أي أن الوجوه الجانبية هي شبه منحرف متساوي الساقين.

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم المقطوع تساوي حاصل ضرب نصف مجموع محيطي القواعد والأبوتيم.

إثبات (لهرم مبتور منتظم رباعي الزوايا - الشكل 4):

لذلك نحن بحاجة إلى إثبات:

تتكون مساحة السطح الجانبية هنا من مجموع مساحات الوجوه الجانبية - شبه المنحرف. نظرًا لأن شبه المنحرفين متماثلان ، فلدينا:

مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين هي نتاج نصف مجموع القواعد والارتفاع ، والقطن هو ارتفاع شبه المنحرف. نملك:

Q.E.D.

لهرم n- gonal:

حيث n هو عدد الوجوه الجانبية للهرم ، a و b هما قاعدتا شبه المنحرفين ، هي العروة.

جوانب قاعدة هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم 3 سم و 9 سم ، الارتفاع - 4 سم ، أوجد مساحة السطح الجانبي.

أرز. 5. توضيح للمشكلة 1

قرار. دعنا نوضح الشرط:

منح: ، ،

ارسم خطًا مستقيمًا MN عبر النقطة O الموازية لجهازي القاعدة السفلية ، وبالمثل ارسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة (الشكل 6). نظرًا لأن المربعات والإنشاءات متوازية عند قواعد الهرم المقطوع ، نحصل على شبه منحرف يساوي الوجوه الجانبية. علاوة على ذلك ، سيمر جانبه الجانبي عبر منتصف الحواف العلوية والسفلية للوجوه الجانبية وسيكون مثالًا للهرم المقطوع.

أرز. 6. الإنشاءات الإضافية

ضع في اعتبارك شبه المنحرف الناتج (الشكل 6). في هذا شبه المنحرف ، القاعدة العلوية والقاعدة السفلية والارتفاع معروفة. مطلوب إيجاد الجانب الجانبي ، وهو حجرة الهرم المقطوع المحدد. ارسم عموديًا على MN. دعونا نحذف NQ العمودي من النقطة. نحصل على أن القاعدة الأكبر مقسمة إلى أجزاء من ثلاثة سنتيمترات (). ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية ، تُعرف الأرجل فيه ، إنه مثلث مصري ، وفقًا لنظرية فيثاغورس نحدد طول الوتر: 5 سم.

يوجد الآن كل العناصر لتحديد مساحة السطح الجانبي للهرم:

يتقاطع الهرم بمستوى موازٍ للقاعدة. باستخدام مثال الهرم المثلث ، أثبت أن الحواف الجانبية وارتفاع الهرم تنقسم بواسطة هذا المستوى إلى أجزاء متناسبة.

دليل - إثبات. دعنا نوضح:

أرز. 7. توضيح للمشكلة 2

تم إعطاء الهرم RABC. RO هو ارتفاع الهرم. يتم تشريح الهرم بالطائرة ، علاوة على ذلك ، يتم الحصول على هرم مبتور. نقطة - نقطة تقاطع ارتفاع RO مع مستوى قاعدة الهرم المقطوع. من الضروري إثبات:

مفتاح الحل هو خاصية المستويات المتوازية. تقطع طائرتان متوازيتان أي مستوى ثالث بحيث تكون خطوط التقاطع متوازية. من هنا: . يشير التوازي بين الخطوط المقابلة إلى وجود أربعة أزواج من المثلثات المتشابهة:

من تشابه المثلثات يتبع تناسب الأضلاع المقابلة. ميزة مهمة هي أن معاملات التشابه لهذه المثلثات هي نفسها:

Q.E.D.

يتم تشريح هرم ثلاثي منتظم RABC بارتفاع وجانب القاعدة بواسطة طائرة تمر عبر نقطة منتصف ارتفاع PH موازية للقاعدة ABC. أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع الناتج.

قرار. دعنا نوضح:

أرز. 8. توضيح المشكلة 3

DIA هو مثلث منتظم ، H هو مركز هذا المثلث (وسط الدوائر المنقوشة والمحدودة). RM هو علم الهرم المعطى. - علم الهرم المقطوع. وفقًا لخاصية المستويات المتوازية (تقطع طائرتان متوازيتان أي مستوى ثالث بحيث تكون خطوط التقاطع متوازية) ، لدينا عدة أزواج من المثلثات المتشابهة مع معامل تشابه متساوٍ. على وجه الخصوص ، نحن مهتمون بالعلاقة:

دعونا نجد NM. هذا هو نصف قطر دائرة منقوشة في القاعدة ، ونعرف الصيغة المقابلة:

الآن ، من المثلث القائم الزاوية РНМ ، من خلال نظرية فيثاغورس ، نجد РМ - أبوتيم الهرم الأصلي:

من النسبة الأولية:

الآن نحن نعرف جميع العناصر لإيجاد مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع:

لذلك ، تعرفنا على مفاهيم الهرم المقطوع والهرم المبتور المنتظم ، وقدمنا ​​تعريفات أساسية ، وخصائص مدروسة ، وأثبتنا النظرية على مساحة السطح الجانبية. سيركز الدرس التالي على حل المشكلات.

فهرس

1. آي إم سميرنوفا ، في.أ. سميرنوف. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة ، القس. وإضافية - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض.
2. Sharygin I. F. الهندسة. الصف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / Sharygin I. F. - M.: Bustard، 1999. - 208 p: ill.
3. إي في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات / E. في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. - الطبعة السادسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 2008. - 233 ص: م.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

الواجب المنزلي