بناء أربع نقاط رائعة. مشروع بحث نقاط المثلث الرائع

هناك ما يسمى بأربع نقاط رائعة في المثلث: نقطة تقاطع المتوسطات. نقطة تقاطع المنصفين ونقطة تقاطع المرتفعات ونقطة تقاطع المنصفين المتعامدين. دعونا نفكر في كل منهم.

نقطة تقاطع وسطاء المثلث

نظرية 1

على تقاطع متوسطات المثلث: تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة وتقسم نقطة التقاطع بنسبة $ 2: 1 $ بدءًا من الرأس.

دليل - إثبات.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هو متوسطه. بما أن المتوسطات تقسم الجانبين إلى نصفين. لننظر إلى الخط الأوسط $ A_1B_1 $ (الشكل 1).

الشكل 1. متوسطات المثلث

حسب النظرية 1 ، $ AB || A_1B_1 $ و $ AB = 2A_1B_1 $ ، ومن هنا $ \ angle ABB_1 = \ angle BB_1A_1 ، \ \ angle BAA_1 = \ angle AA_1B_1 $. ومن ثم فإن المثلثين $ ABM $ و $ A_1B_1M $ متشابهان وفقًا لمعيار تشابه المثلث الأول. ثم

وبالمثل ، فقد ثبت أن

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع منصف المثلث

نظرية 2

على تقاطع منصف المثلث: مناصرات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة.

دليل - إثبات.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ AM ، \ BP ، \ CK $ هي منصفاتها. اجعل النقطة $ O $ هي نقطة تقاطع المنصفين $ AM \ و \ BP $. ارسم من هذه النقطة بشكل عمودي على جانبي المثلث (الشكل 2).

الشكل 2. منصفات مثلث

نظرية 3

كل نقطة من المنصف لزاوية غير موسعة هي على مسافة متساوية من جوانبها.

حسب النظرية 3 ، لدينا: $ OX = OZ ، \ OX = OY $. ومن ثم $ OY = OZ $. ومن ثم فإن النقطة $ O $ تقع على مسافة متساوية من جانبي الزاوية $ ACB $ وبالتالي تقع على منصفها $ CK $.

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع المستقيمات العمودية لمثلث

نظرية 4

تتقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث عند نقطة واحدة.

دليل - إثبات.

لنفترض أن المثلث $ ABC $ يعطى ، $ n ، \ m ، \ p $ منصفه العمودي. اجعل النقطة $ O $ هي نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين $ n \ و \ m $ (الشكل 3).

الشكل 3. المنصفات العمودية لمثلث

للدليل نحتاج إلى النظرية التالية.

نظرية 5

كل نقطة من المنصف العمودي على قطعة هي على مسافة متساوية من نهايات المقطع المحدد.

حسب النظرية 3 ، لدينا: $ OB = OC، \ OB = OA $. ومن ثم $ OA = OC $. هذا يعني أن النقطة $ O $ تقع على مسافة متساوية من نهايات القطعة $ AC $ ، وبالتالي تقع على منصفها العمودي $ p $.

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث

نظرية 6

تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة.

دليل - إثبات.

ضع في اعتبارك المثلث $ ABC $ ، حيث $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هو ارتفاعه. ارسم خطًا عبر كل رأس من رؤوس المثلث موازية للضلع المقابل للرأس. نحصل على مثلث جديد $ A_2B_2C_2 $ (الشكل 4).

الشكل 4. ارتفاعات المثلث

بما أن $ AC_2BC $ و $ B_2ABC $ متوازي أضلاع لهما جانب مشترك ، فإن $ AC_2 = AB_2 $ ، أي النقطة $ A $ هي نقطة منتصف الضلع $ C_2B_2 $. وبالمثل ، نحصل على أن النقطة $ B $ هي نقطة منتصف الضلع $ C_2A_2 $ ، والنقطة $ C $ هي نقطة منتصف الضلع $ A_2B_2 $. من البناء لدينا هذا $ (CC) _1 \ bot A_2B_2 ، \ (BB) _1 \ bot A_2C_2 ، \ (AA) _1 \ bot C_2B_2 $. ومن ثم ، فإن $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ هما المنصفان العموديان للمثلث $ A_2B_2C_2 $. ثم ، من خلال النظرية 4 ، لدينا أن الارتفاعات $ (AA) _1 ، \ (BB) _1 ، \ (CC) _1 $ تتقاطع عند نقطة واحدة.

دعونا نثبت أولاً نظرية منصف الزاوية.

نظرية

دليل - إثبات

1) خذ نقطة تعسفية M على منصف الزاوية BAC ، ارسم العمودين MK و ML على الخطوط المستقيمة AB و AC وأثبت أن MK = ML (الشكل 224). ضع في اعتبارك المثلثات اليمنى AM K و AML. وهما متساويان في الوتر والزاوية الحادة (AM - وتر المثلث الشائع ، ∠1 = ∠2 حسب الشرط). لذلك ، MK = ML.

2) دع النقطة M تقع داخل الزاوية BAC وتكون على مسافة متساوية من جانبيها AB و AC. دعنا نثبت أن الشعاع AM هو منصف الزاوية BAC (انظر الشكل 224). ارسم الخطوط العمودية MK و ML على الخطوط المستقيمة AB و AC. المثلثات ذات الزاوية اليمنى AMK و AML متساوية في الوتر والساق (AM - الوتر الشائع ، MK = ML حسب الحالة). لذلك ، ∠1 = ∠2. لكن هذا يعني أن الشعاع AM هو منصف الزاوية BAC. لقد تم إثبات النظرية.

أرز. 224

النتيجة الطبيعية 1

النتيجة 2

في الواقع ، دعنا نشير بالحرف O إلى نقطة تقاطع المنصفين AA 1 و BB 1 للمثلث ABC ونرسم من هذه النقطة الخطوط العمودية OK و OL و OM ، على التوالي ، إلى الخطوط AB و BC و CA (الشكل 225). من خلال النظرية المثبتة ، OK = OM و OK = OL. لذلك ، OM \ u003d OL ، أي النقطة O متساوية البعد من جوانب الزاوية ACB ، وبالتالي ، تقع على المنصف CC 1 من هذه الزاوية. وبالتالي ، تتقاطع جميع منصفات المثلث ABC الثلاثة عند النقطة O ، والتي كان من المقرر إثباتها.

أرز. 225

خصائص المنصف العمودي على قطعة مستقيمة

المنصف العمودي لقطعة ما هو خط مستقيم يمر عبر نقطة منتصف المقطع المحدد وعمودي عليه.

أرز. 226

دعونا نثبت النظرية على المنصف العمودي لقطعة.

نظرية

دليل - إثبات

دع الخط m هو المنصف العمودي للمقطع AB ، فإن النقطة O هي نقطة المنتصف لهذا المقطع (الشكل 227 ، أ).

أرز. 227

1) ضع في اعتبارك نقطة اعتباطية M للخط m وأثبت أن AM = VM. إذا كانت النقطة M تتطابق مع النقطة O ، فإن هذه المساواة صحيحة ، لأن O هي نقطة المنتصف للجزء AB. دع M و O يكونان نقطتين مميزتين. المثلثات ذات الزاوية اليمنى OAM و OBM متساوية في قدمين (OA = OB ، OM - الساق المشتركة) ، لذلك AM = VM.

2) ضع في اعتبارك نقطة اعتباطية N ، على مسافة متساوية من طرفي المقطع AB ، وأثبت أن النقطة N تقع على الخط m. إذا كانت N نقطة على الخط AB ، فإنها تتطابق مع نقطة المنتصف O للمقطع AB ، وبالتالي تقع على الخط m. إذا كانت النقطة N لا تقع على الخط AB ، فإن المثلث ANB يكون متساوي الساقين ، منذ AN \ u003d BN (الشكل 227 ، ب). القطعة NO هي وسيط هذا المثلث ، ومن ثم الارتفاع. وهكذا ، NO ⊥ AB ؛ لذلك ، يتطابق الخطان ON و m ، أي N هي نقطة من الخط m. لقد تم إثبات النظرية.

النتيجة الطبيعية 1

النتيجة 2

لإثبات هذه العبارة ، ضع في اعتبارك المنصفين العموديين m و n على الجانبين AB و BC للمثلث ABC (الشكل 228). تتقاطع هذه الخطوط عند نقطة ما O. في الواقع ، إذا افترضنا العكس ، فهذا يعني أن m || n ، ثم الخط BA ، كونه عموديًا على الخط m ، سيكون أيضًا عموديًا على الخط n الموازي له ، ثم يمر خطان BA و BC ، متعامدين على الخط n ، عبر النقطة B ، وهو أمر مستحيل .

أرز. 228

وفقًا للنظرية المثبتة ، OB = OA و OB = OS. لذلك ، OA \ u003d OC ، أي النقطة O على مسافة متساوية من نهايات المقطع AC ، وبالتالي ، تقع على المنصف العمودي p لهذا المقطع. لذلك ، تتقاطع جميع المنصات الثلاثة العمودية m و n و p على جانبي المثلث ABC عند النقطة O.

نظرية تقاطع المثلث

لقد أثبتنا أن منصفات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة ، والمنصرات العمودية على جانبي المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. ثبت في وقت سابق أن متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة (القسم 64). اتضح أن ارتفاعات المثلث لها خاصية مماثلة.

نظرية

دليل - إثبات

ضع في اعتبارك مثلثًا عشوائيًا ABC وأثبت أن الخطين AA 1 BB 1 و CC 1 الذي يحتوي على ارتفاعاته يتقاطعان عند نقطة واحدة (الشكل 229).

أرز. 229

ارسم خطًا عبر كل رأس من رؤوس المثلث ABC يوازي الضلع المقابل. نحصل على مثلث أ 2 ب 2 ج 2. النقاط A و B و C هي نقاط المنتصف لأضلاع هذا المثلث. في الواقع ، AB \ u003d A 2 C و AB \ u003d CB 2 كأضلاع متقابلة من متوازي الأضلاع ABA 2 C و ABCB 2 ، وبالتالي A 2 C \ u003d CB 2. وبالمثل ، C 2 A \ u003d AB 2 و C 2 B \ u003d BA 2. بالإضافة إلى ذلك ، على النحو التالي من البناء ، CC 1 ⊥ A 2 B 2 و AA 1 ⊥ B 2 C 2 و BB 1 A 2 C 2. وهكذا ، فإن الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 هي منصفات عمودية على جانبي المثلث A 2 B 2 C 2. لذلك ، يتقاطعان عند نقطة واحدة. لقد تم إثبات النظرية.

لذلك ، ترتبط أربع نقاط بكل مثلث: نقطة تقاطع المتوسطات ، ونقطة تقاطع المنصفين ، ونقطة تقاطع الخطوط العمودية المتوسطة على الجانبين ، ونقطة تقاطع المرتفعات (أو امتداداتهم) . تسمى هذه النقاط الأربع نقاط رائعة للمثلث.

مهام

674. من النقطة M للمنصف للزاوية غير الممتدة O ، يتم رسم العمودين MA و MB على جانبي هذه الزاوية. أثبت أن AB ⊥ OM.

675. تلامس جوانب الزاوية O كل دائرتين لهما مماس مشترك عند النقطة A. أثبت أن مراكز هذه الدوائر تقع على الخط O A.

676. أضلاع الزاوية A تلمس دائرة مركزها O نصف قطرها r. أوجد: أ) OA ، إذا كانت r = 5 cm ، ∠A = 60 ° ؛ ب) د ، إذا كان A = 14 دسم ​​، A = 90 درجة.

677. منصفات الزوايا الخارجية عند الرؤوس B و C للمثلث ABC تتقاطع عند النقطة O. اثبت أن النقطة O هي مركز دائرة مماس للخطين AB و BC و AC.

678. يتقاطع المنصفان AA 1 و BB 1 للمثلث ABC عند النقطة M. أوجد الزاويتين ACM و BCM إذا: أ) ∠AMB = 136 ° ؛ ب) ∠AMB = 111 درجة.

679. المنصف العمودي على الضلع BC للمثلث ABC يتقاطع مع الجانب AC عند النقطة D.. أوجد: أ) AD و CD إذا كان BD = 5 cm، Ac = 8.5 cm؛ ب) AC ، إذا كان BD = 11.4 سم ، AD = 3.2 سم.

680. يتقاطع المنصفان العموديان على الضلع AB و AC للمثلث ABC عند النقطة D من الضلع BC. أثبت أن: أ) النقطة D هي نقطة منتصف الضلع BC ؛ ب) ∠A - B + C.

681. المنصف العمودي على الضلع AB لمثلث متساوي الساقين ABC يتقاطع مع الضلع BC عند النقطة E. أوجد القاعدة AC إذا كان محيط المثلث AEC يساوي 27 سم و AB = 18 سم.

682. للمثلثين متساوي الساقين ABC و ABD أساس مشترك AB. برهن على أن الخط CD يمر عبر نقطة المنتصف للجزء AB.

683. أثبت أنه إذا كان الضلعان AB و AC في المثلث ABC غير متساويين ، فإن الوسيط AM للمثلث ليس ارتفاعًا.

684. منصفات الزوايا عند القاعدة AB لمثلث متساوي الساقين ABC يتقاطعان عند النقطة M. برهن أن الخط CM متعامد مع الخط AB.

685. يتقاطع ارتفاعات AA 1 و BB 1 لمثلث متساوي الساقين ABC ، ​​مرسومين على الجانبين ، عند النقطة M. برهن أن الخط MC هو المنصف العمودي للمقطع AB.

686- قم ببناء المنصف العمودي على قطعة معينة.

المحلول

لنفترض أن AB هو الجزء المحدد. لنقم ببناء دائرتين بمراكز عند النقطتين A و B من نصف القطر AB (الشكل 230). تتقاطع هذه الدوائر عند نقطتين M 1 و M 2. الأجزاء AM 1 و AM 2 و VM 1 و VM 2 متساوية مع بعضها مثل نصف قطر هذه الدوائر.

أرز. 230

لنرسم خطًا مستقيمًا م 1 م 2. إنه المنصف العمودي المطلوب للقطعة AB. في الواقع ، تقع النقطتان M 1 و M 2 على مسافة متساوية من طرفي المقطع AB ، لذلك تقعان على المنصف العمودي على هذا الجزء. ومن ثم ، فإن الخط M 1 M 2 هو المنصف العمودي للقطعة AB.

687. يتم إعطاء خط أ ونقطتين أ وب تقع على نفس الجانب من هذا الخط. على الخط أ ، أنشئ نقطة م ، على مسافة متساوية من النقاط أ إلى ب.

688. الزاوية والقطعة معطاة. أنشئ نقطة داخل الزاوية المعطاة ، على مسافة متساوية من جوانبها وبمسافة متساوية عن طرفي المقطع المحدد.

إجابات على المهام

674. تعليمات. أثبت أولاً أن المثلث AOB متساوي الساقين.

676. أ) 10 سم ؛ ب) 7√2 دسم.

678. أ) 46 درجة و 46 درجة ؛ ب) 21 درجة و 21 درجة.

679. أ) AB = 3.5 سم ، CD = 5 سم ؛ ب) التيار المتردد = 14.6 سم.

683- تعليمات. استخدم طريقة الإثبات بالتناقض.

687- تعليمات. استخدم نظرية البند 75.

688. تعليمات. لاحظ أن النقطة المرغوبة تقع على منصف الزاوية المعطاة.

1 أي أنها على مسافة متساوية من الخطوط التي تحتوي على جوانب الزاوية.

سيلتشينكوف إيليا

مواد الدرس ، العرض التقديمي مع الرسوم المتحركة

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

خط الوسط للمثلث هو الجزء الذي يربط بين نقطتي منتصف ضلعه ويساوي نصف هذا الضلع. ووفقًا للنظرية أيضًا ، فإن خط الوسط للمثلث يوازي أحد أضلاعه ويساوي نصف هذا الضلع.

إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.

نقاط مثلث ملحوظة

نقطة تقاطع متوسطة لنقاط المثلث اللافتة (النقطه الوسطى من المثلث) ؛ نقطة تقاطع المنصفين ، مركز الدائرة المنقوشة ؛ نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين ؛ نقطة تقاطع المرتفعات (orthocenter) ؛ خط أويلر ودائرة من تسع نقاط ؛ يشير جيرغون وناجل. بوينت فيرمات توريشيلي ؛

نقطة تقاطع وسطي

وسيط المثلث هو قطعة مستقيمة تربط رأس أي زاوية في المثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل.

1. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقسم كل وسيط بنسبة 2: 1 ، بدءًا من القمة.

دليل - إثبات:

أ ب ج أ 1 ج 1 ب 1 1 2 3 4 0 2. المقطع A 1 B 1 موازٍ للجانب AB و 1/2 AB \ u003d A 1 B 1 أي AB \ u003d 2A1B1 (وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث) ، وبالتالي 1 \ u003d 4 و 3 \ u003d 2 ( لأنها زوايا متقاطعة داخلية مع خطوط متوازية AB و A 1 B 1 و BB 1 للقطع 1 و 4 و AA 1 لـ 3 ، 2 3. لذلك ، المثلثات AOB و A 1 OB 1 متشابهة في زاويتين ، و ، لذلك ، جوانبها متناسبة ، أي أن نسب أضلاع AO و A 1 O و BO و B 1 O و AB و A 1 B 1 متساوية. لكن AB = 2A 1 B 1 ، وبالتالي AO \ u003d 2A 1 O و BO \ u003d 2B 1 O. وهكذا ، فإن نقطة التقاطع O للمتوسطين BB 1 و AA 1 تقسم كل منهما في النسبة 2: 1 ، العد من الأعلى. تم إثبات النظرية. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت حول متوسطان آخران

يطلق على مركز الكتلة أحيانًا اسم النقطه الوسطى. هذا هو السبب في أنهم يقولون إن نقطة تقاطع الوسيط هي النقطه الوسطى للمثلث. يقع مركز كتلة الصفيحة المثلثية المتجانسة في نفس النقطة. إذا تم وضع لوحة مماثلة على دبوس بحيث يصل طرف الدبوس إلى النقطه الوسطى بالضبط من المثلث ، فستكون اللوحة في حالة توازن. كما أن نقطة تقاطع المتوسطات هي مركز دائرة مثلثها الوسيط. ترتبط خاصية مثيرة للاهتمام لنقطة تقاطع المتوسطات بالمفهوم المادي لمركز الكتلة. اتضح أنه إذا تم وضع كتل متساوية عند رؤوس المثلث ، فإن مركزها سوف يقع بالضبط عند هذه النقطة.

نقطة تقاطع المنصفين

منصف المثلث - جزء من منصف الزاوية يربط رأس إحدى زوايا المثلث بنقطة تقع على الجانب المقابل.

منصفات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة متساوية البعد من أضلاعه.

دليل - إثبات:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. أشر بالحرف O إلى نقطة تقاطع المنصفين AA 1 و BB 1 للمثلث ABC. 3. دعنا نستخدم حقيقة أن كل نقطة من المنصف لزاوية غير مطوية تكون على مسافة متساوية من جوانبها والعكس صحيح: كل نقطة تقع داخل الزاوية وعلى مسافة متساوية من جانبي الزاوية تقع على منصفها. ثم OK = OL و OK = OM. هذا يعني OM \ u003d OL ، أي النقطة O متساوية البعد من جانبي المثلث ABC ، ​​وبالتالي ، تقع على المنصف CC1 للزاوية C. 4. نتيجة لذلك ، تتقاطع جميع منصفات المثلث ABC الثلاثة عند النقطة O. K L M وقد تم إثبات النظرية. 2. ارسم من هذه النقطة الخطوط العمودية OK و OL و OM على التوالي للخطوط المستقيمة AB و BC و CA.

نقطة تقاطع المنصفات العمودية

المتوسط ​​العمودي هو خط مستقيم يمر عبر نقطة المنتصف لقطعة معينة وعمودي عليها.

تتقاطع المنصفات العمودية على جانبي المثلث عند نقطة واحدة على مسافة متساوية من رءوس المثلث.

دليل - إثبات:

B C A m n 1. قم بالإشارة بالحرف O إلى نقطة تقاطع المنصفين العموديين m و n على الجانبين AB و BC للمثلث ABC. O 2. باستخدام النظرية القائلة بأن كل نقطة في المنصف العمودي على المقطع تكون على مسافة متساوية من طرفي هذا المقطع والعكس صحيح: تقع كل نقطة على مسافة متساوية من نهايات المقطع على المنصف العمودي لها ، نحصل على ذلك OB = OA و OB = OC. 3. لذلك ، OA \ u003d OC ، أي النقطة O على مسافة متساوية من نهايات المقطع AC ، وبالتالي تقع على المنصف العمودي لهذا المقطع. 4. لذلك ، تتقاطع جميع المنصات الثلاثة العمودية m و n و p على جانبي المثلث ABC عند النقطة O. وقد تم إثبات النظرية. ص

نقطة تقاطع الارتفاعات (أو امتداداتها)

ارتفاع المثلث هو عمودي مرسوم من رأس أي زاوية في المثلث على الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل.

تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة ، والتي قد تقع في المثلث ، أو قد تكون خارجه.

دليل - إثبات:

دعنا نثبت أن الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 تتقاطع عند نقطة واحدة. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ارسم خطًا خلال كل رأس من رؤوس المثلث ABC موازيًا للضلع المقابل. نحصل على مثلث أ 2 ب 2 ج 2. 2. النقاط A و B و C هي نقاط المنتصف لأضلاع هذا المثلث. في الواقع ، AB \ u003d A 2 C و AB \ u003d CB 2 كأضلاع متقابلة من متوازي الأضلاع ABA 2 C و ABCB 2 ، وبالتالي A 2 C \ u003d CB 2. وبالمثل ، C 2 A \ u003d AB 2 و C 2 B \ u003d BA 2. بالإضافة إلى ذلك ، كما يلي من البناء ، CC 1 عمودي على A 2 B 2 ، AA 1 عمودي على B 2 C 2 و BB 1 متعامد مع A 2 C 2 (من النتيجة الطبيعية للخطوط المتوازية والنظرية القاطعة) . وهكذا ، فإن الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 هي منصفات عمودية على جانبي المثلث A 2 B 2 C 2. لذلك ، يتقاطعان عند نقطة واحدة. لقد تم إثبات النظرية.

في هذا الدرس ، سنلقي نظرة على أربع نقاط رائعة للمثلث. سوف نتناول اثنتين منها بالتفصيل ، ونتذكر براهين النظريات المهمة ونحل المشكلة. الاثنان المتبقيان نتذكرهما ونميزهما.

عنوان:إعادة مقرر الهندسة للصف الثامن

الدرس: أربع نقاط رائعة في المثلث

المثلث هو ، أولاً وقبل كل شيء ، ثلاثة أجزاء وثلاث زوايا ، لذا فإن خصائص المقاطع والزوايا أساسية.

تم إعطاء المقطع AB. أي جزء له وسط ، ويمكن رسم عمودي خلاله - نشير إليه بالرمز p. وهكذا فإن p هي المنصف العمودي.

نظرية (الخاصية الأساسية للمنصف العمودي)

أي نقطة تقع على المنصف العمودي تكون على مسافة متساوية من نهايات المقطع.

اثبت ذلك

دليل - إثبات:

النظر في المثلثات و (انظر الشكل 1). إنها مستطيلة ومتساوية ، لأن. لدينا ساق مشتركة OM ، وساقان AO و OB متساويتان حسب الشرط ، وبالتالي ، لدينا مثلثين بزاوية قائمة متساوية في ساقين. ويترتب على ذلك أن وتر المثلثات متساوية أيضًا ، أي ما كان يجب إثباته.

أرز. واحد

نظرية العكس صحيحة.

نظرية

تقع كل نقطة على مسافة متساوية من نهايات مقطع ما على المنصف العمودي على هذا الجزء.

يُعطى المقطع AB ، الوسيط العمودي عليه p ، النقطة M ، على مسافة متساوية من طرفي المقطع (انظر الشكل 2).

أثبت أن النقطة M تقع على المنصف العمودي للقطعة.

أرز. 2

دليل - إثبات:

لنفكر في المثلث. إنه متساوي الساقين ، حسب الشرط. ضع في اعتبارك متوسط ​​المثلث: النقطة O هي نقطة منتصف القاعدة AB ، OM هي الوسيط. وفقًا لخاصية مثلث متساوي الساقين ، فإن الوسيط المرسوم إلى قاعدته هو ارتفاع ومنصف. ومن ثم يتبع ذلك. لكن الخط المستقيم p عمودي أيضًا على AB. نحن نعلم أنه يمكن رسم خط عمودي واحد على القطعة AB على النقطة O ، مما يعني أن الخطين OM و p متطابقان ، ومن ثم فإن النقطة M تنتمي إلى السطر p ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

إذا كان من الضروري وصف دائرة حول جزء واحد ، فيمكن القيام بذلك ، وهناك عدد لا نهائي من هذه الدوائر ، لكن مركز كل منها يقع على المنصف العمودي للمقطع.

يقال إن المنصف العمودي هو موضع النقاط على مسافة متساوية من نهايات القطعة.

يتكون المثلث من ثلاثة أجزاء. لنرسم خط عمودي متوسط ​​على اثنين منهم ونحصل على النقطة O من تقاطعهما (انظر الشكل 3).

تنتمي النقطة O إلى المنصف العمودي على الضلع BC من المثلث ، مما يعني أنها تقع على مسافة متساوية من رأسيها B و C ، دعنا نشير إلى هذه المسافة على أنها R :.

بالإضافة إلى ذلك ، تقع النقطة O على المنصف العمودي للجزء AB ، أي ، ومع ذلك ، من هنا.

وبالتالي ، فإن النقطة O الخاصة بتقاطع نقطتي وسط

أرز. 3

تقع عمودي المثلث على مسافة متساوية من رءوسه ، مما يعني أنه يقع أيضًا على المنصف العمودي الثالث.

لقد كررنا إثبات نظرية مهمة.

تتقاطع المنصفات الثلاثة العمودية للمثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المُحددة.

لذا ، فقد أخذنا في الاعتبار أول نقطة ملحوظة في المثلث - نقطة تقاطع منصفه العمودي.

دعنا ننتقل إلى خاصية الزاوية التعسفية (انظر الشكل 4).

بالنظر إلى زاوية ، منصفها AL ، فإن النقطة M تقع على المنصف.

أرز. أربعة

إذا كانت النقطة M تقع على منصف الزاوية ، فإنها تكون على مسافة متساوية من جانبي الزاوية ، أي أن المسافات من النقطة M إلى AC و BC لأضلاع الزاوية متساوية.

دليل - إثبات:

ضع في اعتبارك المثلثات و. هذه مثلثات قائمة الزاوية ، وهي متساوية لأن. لها وتر مشترك AM ، والزوايا ومتساوية ، لأن AL هو منصف الزاوية. وهكذا ، فإن المثلثات القائمة الزاوية متساوية في الوتر والزاوية الحادة ، ومن هنا يتبع ذلك ، الذي كان مطلوبًا لإثباته. وبالتالي ، فإن النقطة الموجودة على منصف الزاوية تكون على مسافة متساوية من جانبي تلك الزاوية.

نظرية العكس صحيحة.

نظرية

إذا كانت نقطة ما على مسافة متساوية من جانبي زاوية غير ممتدة ، فإنها تقع على منصفها (انظر الشكل 5).

أعطيت زاوية غير متطورة ، النقطة M ، بحيث تكون المسافة بينها وبين جانبي الزاوية متساوية.

إثبات أن النقطة M تقع على منصف الزاوية.

أرز. 5

دليل - إثبات:

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمود العمودي. ارسم من النقطة M المتعامدة MK على الضلع AB ومن MP إلى الضلع AC.

ضع في اعتبارك المثلثات و. هذه مثلثات قائمة الزاوية ، وهي متساوية لأن. لديهم وتر مشترك AM ، والساقين MK و MR متساويتان حسب الحالة. وهكذا ، فإن المثلثات القائمة تتساوى في الوتر والساق. من المساواة بين المثلثات يتبع المساواة بين العناصر المقابلة ، والزوايا المتساوية تقع على أرجل متساوية ، وبالتالي ، ، لذلك ، النقطة M تقع على منصف الزاوية المعطاة.

إذا كان من الضروري تسجيل دائرة بزاوية ، فيمكن القيام بذلك ، وهناك عدد لا نهائي من هذه الدوائر ، لكن مراكزها تقع على منصف الزاوية المحددة.

يقال إن المنصف هو موقع النقاط على مسافات متساوية من جوانب الزاوية.

يتكون المثلث من ثلاث زوايا. نقوم ببناء المنصفين لاثنين منهم ، نحصل على النقطة O من تقاطعهم (انظر الشكل 6).

تقع النقطة O على منصف الزاوية ، مما يعني أنها تقع على مسافة متساوية من جانبيها AB و BC ، دعنا نشير إلى المسافة على أنها r :. أيضًا ، النقطة O تقع على منصف الزاوية ، مما يعني أنها تقع على مسافة متساوية من جانبيها AC و BC: ، ، وبالتالي.

من السهل ملاحظة أن نقطة تقاطع المنصفين متساوية البعد عن جوانب الزاوية الثالثة ، مما يعني أنها تقع عليها

أرز. 6

زاوية منصف. وهكذا ، تتقاطع جميع منصفات المثلث الثلاثة عند نقطة واحدة.

لذلك ، تذكرنا إثبات نظرية مهمة أخرى.

منصفات زوايا المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المنقوشة.

لذا ، فقد درسنا النقطة الرائعة الثانية في المثلث - نقطة تقاطع المنصفين.

درسنا منصف الزاوية ولاحظنا خصائصه المهمة: نقاط المنصف متساوية البعد عن جوانب الزاوية ، بالإضافة إلى ذلك ، فإن مقاطع الظل المرسومة إلى الدائرة من نقطة واحدة متساوية.

دعنا نقدم بعض الرموز (انظر الشكل 7).

تشير إلى أجزاء متساوية من الظل بواسطة x و y و z. يُشار إلى الضلع BC الواقع مقابل الرأس A بالرمز a ، وبالمثل AC مثل b ، و AB مثل c.

أرز. 7

المشكلة الأولى: في المثلث ، يُعرف مقياس نصف القطر وطول الضلع أ. أوجد طول الظل المرسوم من الرأس A - AK ، والمشار إليه بـ x.

من الواضح أن المثلث غير محدد تمامًا ، وهناك العديد من هذه المثلثات ، لكن اتضح أن لديهم بعض العناصر المشتركة.

بالنسبة للمشكلات التي نتحدث فيها عن دائرة منقوشة ، يمكننا اقتراح تقنية الحل التالية:

1. ارسم منصفًا واحصل على مركز الدائرة المنقوشة.

2. من المركز O ، ارسم الخطوط العمودية على الجانبين واحصل على نقاط الاتصال.

3. قم بتمييز الظلال المتساوية.

4. اكتب العلاقة بين جانبي المثلث والظلمات.