مهمة 1.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلًا خطيًا. سيتم تحديد نظام المتجهات بواسطة مصفوفة النظام ، والتي تتكون أعمدةها من إحداثيات المتجهات.

.

قرار.دع التركيبة الخطية يساوي صفر. بعد كتابة هذه المساواة في الإحداثيات ، نحصل على نظام المعادلات التالي:

.

يسمى نظام المعادلات هذا بالمثلث. لديها الحل الوحيد. . ومن هنا جاءت النواقل مستقلة خطيًا.

المهمة 2.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلًا خطيًا.

.

قرار.ثلاثة أبعاد مستقلة خطيًا (انظر المشكلة 1). دعنا نثبت أن المتجه هو مجموعة خطية من المتجهات . معاملات تمدد المتجه من نظام المعادلات

.

هذا النظام ، مثله مثل المثلث ، له حل فريد.

لذلك ، نظام النواقل تعتمد خطيا.

تعليق. يتم استدعاء المصفوفات كما في المشكلة 1 الثلاثي ، وفي المشكلة 2 - صعدت الثلاثي . يمكن حل مسألة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات بسهولة إذا كانت المصفوفة المكونة من إحداثيات هذه المتجهات ثلاثية التدريجي. إذا لم يكن للمصفوفة شكل خاص ، فاستخدم تحويلات السلسلة الأولية مع الحفاظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة ، يمكن اختزالها إلى شكل مثلث متدرج.

تحويلات السلسلة الأوليةتسمى المصفوفات (EPS) العمليات التالية على المصفوفة:

1) تبديل الخطوط ؛

2) ضرب سلسلة بعدد غير صفري ؛

3) إضافة سلسلة أخرى ، مضروبة في رقم عشوائي.

المهمة 3.أوجد الحد الأقصى للنظام الفرعي المستقل خطيًا واحسب رتبة نظام المتجهات

.

قرار.دعنا نخفض مصفوفة النظام بمساعدة EPS إلى شكل مثلث متدرج. لشرح الإجراء ، سيتم الإشارة إلى السطر الذي يحتوي على رقم المصفوفة المراد تحويلها بواسطة الرمز. يُظهر العمود بعد السهم الإجراءات التي يجب تنفيذها على صفوف المصفوفة المحولة للحصول على صفوف المصفوفة الجديدة.

.

من الواضح أن أول عمودين من المصفوفة الناتجة مستقلين خطيًا ، والعمود الثالث هو تركيبة خطية ، والرابع لا يعتمد على الأولين. ثلاثة أبعاد تسمى الأساسية. هم يشكلون أقصى نظام فرعي مستقل خطيًا للنظام ، ورتبة النظام ثلاثة.

الأساس والإحداثيات

المهمة 4.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة المتجهات الهندسية التي تتوافق إحداثياتها مع الشرط .

قرار. المجموعة عبارة عن طائرة تمر عبر الأصل. يتكون الأساس التعسفي على المستوى من متجهين غير متصلين. يتم تحديد إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المقابل.

هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة ، عندما يمكنك إيجاد الأساس بالإحداثيات.

إحداثيات المسافات ليست إحداثيات على المستوى ، لأنها مرتبطة بالعلاقة ، أي أنهم ليسوا مستقلين. المتغيرات المستقلة و (يطلق عليها مجانية) تحدد بشكل فريد المتجه على المستوى ، وبالتالي ، يمكن اختيارها كإحداثيات في. ثم الأساس يتكون من نواقل تقع في وتتوافق مع مجموعات من المتغيرات الحرة و ، بمعنى آخر .

المهمة 5.ابحث عن أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة جميع المتجهات في الفضاء ، والتي تكون إحداثياتها الفردية متساوية مع بعضها البعض.

قرار. نختار ، كما في المشكلة السابقة ، الإحداثيات في الفضاء.

مثل ، ثم المتغيرات الحرة تعريف متجه بشكل فريد من ، وبالتالي ، فهي إحداثيات. الأساس المقابل يتكون من ناقلات.

المهمة 6.ابحث عن أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة جميع مصفوفات النموذج ، أين هي أرقام عشوائية.

قرار. يمكن تمثيل كل مصفوفة بشكل فريد على النحو التالي:

هذه العلاقة هي توسيع المتجه من حيث الأساس
مع الإحداثيات .

المهمة 7.أوجد أبعاد وأساس الامتداد الخطي لنظام المتجهات

.

قرار.باستخدام EPS ، نقوم بتحويل المصفوفة من إحداثيات متجهات النظام إلى شكل مثلث متدرج.

.

الأعمدة من المصفوفة الأخيرة مستقلة خطيًا ، والأعمدة يتم التعبير عنها خطيًا من خلالها. ومن هنا جاءت النواقل تشكل الأساس ، و .

تعليق. أساس في تم اختياره بشكل غامض. على سبيل المثال ، النواقل تشكل أيضا الأساس .

النواقل وخصائصها وأفعالها معها

النواقل ، الإجراءات مع المتجهات ، الفضاء المتجه الخطي.

المتجهات هي مجموعة مرتبة من عدد محدود من الأرقام الحقيقية.

أجراءات: 1. ضرب متجه برقم: lambda * vector x \ u003d (lamda * x 1، lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4، 0. 7) * 3 \ u003d (9، 12،0.21 )

2. إضافة نواقل (تنتمي إلى نفس مساحة المتجه) المتجه x + متجه y \ u003d (x 1 + y 1، x 2 + y 2، ... x n + y n،)

3. المتجه 0 = (0،0… 0) --- n E n - n الأبعاد (مسافة خطية) متجه x + متجه 0 = متجه x

نظرية. لكي يكون نظام من المتجهات n في الفضاء الخطي ذي البعد n معتمداً خطياً ، من الضروري والكافي أن يكون أحد المتجهات مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى.

نظرية. أي مجموعة من المتجه الأول n + 1st للفضاء الخطي ذي الأبعاد n yavl. تعتمد خطيا.

إضافة المتجهات ، وضرب المتجهات بالأرقام. طرح النواقل.

مجموع المتجهين هو المتجه الموجه من بداية المتجه إلى نهاية المتجه ، بشرط أن تتزامن البداية مع نهاية المتجه. إذا تم إعطاء المتجهات من خلال توسعاتها من حيث متجهات الأساس ، فإن إضافة المتجهات تضيف إحداثيات كل منها.

لنفكر في هذا باستخدام مثال نظام الإحداثيات الديكارتية. اسمحوا ان

دعونا نظهر ذلك

يوضح الشكل 3 ذلك

يمكن العثور على مجموع أي عدد محدود من المتجهات باستخدام قاعدة المضلع (الشكل 4): لإنشاء مجموع عدد محدود من المتجهات ، يكفي مطابقة بداية كل متجه لاحق مع نهاية المتجه السابق وقم بإنشاء متجه يربط بين بداية المتجه الأول بنهاية المتجه الأخير.

خصائص عملية إضافة المتجه:

في هذه التعبيرات م ، ن أعداد.

الفرق بين المتجهات يسمى المتجه ، والحد الثاني هو متجه عكس المتجه في الاتجاه ، ولكنه يساوي في الطول.

وبالتالي ، يتم استبدال عملية الطرح المتجه بعملية الجمع

المتجه ، الذي تكون بدايته في أصل الإحداثيات ، والنهاية عند النقطة A (x1 ، y1 ، z1) ، يسمى متجه نصف القطر للنقطة A ويشار إليه أو ببساطة. نظرًا لأن إحداثياتها تتطابق مع إحداثيات النقطة A ، فإن توسعها من حيث المتجهات له الشكل

يمكن كتابة المتجه الذي يبدأ عند النقطة A (x1، y1، z1) وينتهي عند النقطة B (x2، y2، z2) بالشكل

حيث r 2 هو متجه نصف قطر النقطة B ؛ r 1 - متجه نصف قطر النقطة A.

لذلك ، فإن توسع المتجه من حيث الخواص له الشكل

طوله يساوي المسافة بين النقطتين أ وب

عمليه الضرب

لذلك في حالة وجود مشكلة مسطحة ، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه بواسطة a = (ax ؛ ay) والرقم b بواسطة الصيغة

أ ب = (فأس ب ؛ ع ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه a = (1 ؛ 2) في 3.

3 أ = (3 1 ؛ 3 2) = (3 ؛ 6)

لذلك في حالة وجود مشكلة مكانية ، يتم العثور على منتج المتجه a = (ax ؛ ay ؛ az) والرقم ب بواسطة الصيغة

أ ب = (فأس ب ؛ ay ب ؛ az ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1 ؛ 2 ؛ -5) في 2.

2 أ = (2 1 ؛ 2 2 ؛ 2 (-5)) = (2 ؛ 4 ؛ -10)

حاصل الضرب النقطي للناقلات و أين هي الزاوية بين المتجهات و ؛ إذا كان كذلك ، إذن

من تعريف المنتج العددي ، يتبع ذلك

حيث ، على سبيل المثال ، هي قيمة إسقاط المتجه على اتجاه المتجه.

مربع عددي لمتجه:

خصائص المنتج النقطي:

حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

اذا كان من ثم

الزاوية بين النواقل

الزاوية بين المتجهات - الزاوية بين اتجاهات هذه المتجهات (أصغر زاوية).

منتج المتجه (المنتج المتجه لمتجهين.) -هو ناقل كاذب عمودي على المستوى مبني بواسطة عاملين ، والذي هو نتيجة العملية الثنائية "الضرب المتجه" على المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. المنتج ليس تبادليًا ولا ترابطيًا (إنه مضاد للتبادل) ويختلف عن المنتج النقطي للمتجهات. في العديد من المشاكل الهندسية والفيزيائية ، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء ناقل عمودي على اثنين من المتجهات الحالية - منتج المتجه يوفر هذه الفرصة. يكون حاصل الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودية المتجهات - طول الضرب العرضي لمتجهين يساوي حاصل ضرب أطوالهما إذا كانا متعامدين ، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو مضادة متوازية.

يتم تعريف منتج المتجه فقط في الفراغات ثلاثية الأبعاد وسبع الأبعاد. تعتمد نتيجة منتج المتجه ، مثل المنتج القياسي ، على مقياس المساحة الإقليدية.

على عكس صيغة حساب المنتج القياسي من إحداثيات المتجهات في نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد ، تعتمد صيغة منتج المتجه على اتجاه نظام إحداثيات المستطيل ، أو بمعنى آخر ، "شراليته"

العلاقة الخطية المتداخلة من النواقل.

يتم استدعاء متجهين غير صفريين (لا يساويان 0) خطي خطي إذا كانا يقعان على خطوط متوازية أو على نفس الخط. نحن نسمح بالمرادف ، ولكن لا نوصي به - ناقلات "موازية". يمكن توجيه النواقل الخطية في نفس الاتجاه ("التوجيه المشترك") أو توجيهها بشكل معاكس (في الحالة الأخيرة يطلق عليها أحيانًا "anticollinear" أو "antiparallel").

منتج مختلط من النواقل ( أ ، ب ، ج)- حاصل الضرب القياسي للمتجه أ والمنتج المتجه للمتجهين ب وج:

(أ ، ب ، ج) = أ ⋅ (ب × ج)

في بعض الأحيان يطلق عليه المنتج النقطي الثلاثي للمتجهات ، على ما يبدو بسبب حقيقة أن النتيجة هي عددية (بتعبير أدق ، مقياس كاذب).

المعنى الهندسي: معامل المنتج المختلط يساوي عدديًا حجم خط الموازي الذي تشكله المتجهات (أ ، ب ، ج) .

ملكيات

يعتبر المنتج المختلط متماثلاً فيما يتعلق بجميع حججه: أي ، ه.تغيير أي عاملين يغير علامة المنتج. ويترتب على ذلك أن المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح (في أساس متعامد) يساوي محدد المصفوفة المكونة من المتجهات و:

المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الأيسر (في أساس متعامد) يساوي محدد مصفوفة مكونة من متجهات ويؤخذ بعلامة ناقص:

خاصه،

إذا كان أي متجهين متوازيين ، فمع أي متجه ثالث يشكلان منتجًا مختلطًا يساوي صفرًا.

إذا كانت ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا (على سبيل المثال ، متحد المستوى ، تقع في نفس المستوى) ، فإن منتجها المختلط هو صفر.

المعنى الهندسي - المنتج المختلط بالقيمة المطلقة يساوي حجم خط الموازي (انظر الشكل) الذي تشكله المتجهات و ؛ تعتمد العلامة على ما إذا كان هذا النواقل الثلاثية يمينًا أم يسارًا.

توافق النواقل.

ثلاثة نواقل (أو أكثر) تسمى متحد المستوى إذا تم اختزالها إلى أصل مشترك ، وتقع في نفس المستوى

خصائص التوافق

إذا كان أحد المتجهات الثلاثة على الأقل صفرًا ، فإن المتجهات الثلاثة تعتبر أيضًا متحد المستوى.

ثلاثي النواقل التي تحتوي على زوج من النواقل الخطية هو متحد المستوى.

منتج مختلط من ناقلات متحد المستوى. هذا هو معيار التوحيد لثلاثة نواقل.

نواقل متحد المستوى تعتمد خطيا. هذا أيضًا معيار لاشتراكية.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تشكل 3 نواقل غير متحد المستوى أساسًا

نواقل معتمدة خطيا ومستقلة خطيا.

أنظمة النواقل المعتمدة والمستقلة خطيًا.تعريف. يسمى نظام النواقل تعتمد خطيا، إذا كان هناك تركيبة خطية واحدة غير تافهة على الأقل من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري. خلاف ذلك ، أي إذا كانت تركيبة خطية تافهة من نواقل معينة تساوي المتجه الصفري ، يتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي). لكي يكون نظام المتجهات في الفضاء الخطي معتمدًا خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون أحد هذه المتجهات على الأقل مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى.

1) إذا كان هناك متجه صفري واحد على الأقل بين المتجهات ، فإن نظام المتجهات بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع ، إذا ، على سبيل المثال ، إذن ، بافتراض أن لدينا تركيبة خطية غير بديهية. ▲

2) إذا كانت بعض النواقل تشكل نظامًا معتمدًا خطيًا ، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع ، دع المتجهات تعتمد خطيًا. ومن ثم ، يوجد تركيبة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري. ولكن بعد ذلك ، على افتراض ، نحصل أيضًا على تركيبة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري.

2. الأساس والأبعاد. تعريف. نظام النواقل المستقلة خطيًا يسمى الفضاء المتجه أساسهذا الفضاء ، إذا كان أي متجه من يمكن تمثيله كمجموعة خطية من نواقل هذا النظام ، أي لكل متجه هناك أرقام حقيقية مثل هذه المساواة. هذه المساواة تسمى ناقلات التحللحسب الأساس والأرقام اتصل إحداثيات المتجهات بالنسبة إلى الأساس(أو في الأساس) .

النظرية (على تفرد التوسع من حيث الأساس). يمكن توسيع كل متجه فضائي من حيث الأساس بطريقة فريدة ، أي إحداثيات كل متجه في الأساس يتم تعريفها بشكل لا لبس فيه.

في هذه المقالة سوف نغطي:

• ما هي النواقل الخطية ؛
• ما هي شروط النواقل الخطية ؛
• ما هي خصائص النواقل الخطية ؛
• ما هو الاعتماد الخطي للناقلات الخطية.

Yandex.RTB R-A-339285-1 التعريف 1

المتجهات الخطية هي نواقل موازية لنفس الخط أو تقع على نفس الخط.

مثال 1

شروط النواقل الخطية

يوجد متجهان على علاقة خطية واحدة إذا تحققت أي من الشروط التالية:

• الشرط 1 . المتجهان a و b متصلان إذا كان هناك رقم λ بحيث يكون a = λ b ؛
• الشرط 2 . المتجهان a و b على علاقة خطية مع نسبة متساوية من الإحداثيات:

أ = (أ 1 ؛ أ 2) ، ب = (ب 1 ؛ ب 2) ⇒ أ ∥ ب ⇔ أ 1 ب 1 = أ 2 ب 2

• الشرط 3 . المتجهان a و b على علاقة خطية شريطة أن يكون حاصل الضرب المتجه والمتجه الصفري متساويين:

أ ∥ ب ⇔ أ ، ب = 0

ملاحظة 1

الشرط 2 لا ينطبق إذا كان أحد إحداثيات المتجه صفرًا.

ملاحظة 2

الشرط 3 تنطبق فقط على تلك النواقل المعطاة في الفضاء.

أمثلة على مشاكل دراسة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات

مثال 1

نفحص المتجهات a \ u003d (1 ؛ 3) و b \ u003d (2 ؛ 1) من أجل العلاقة الخطية المتداخلة.

كيف تقرر؟

في هذه الحالة ، من الضروري استخدام الشرط الثاني من العلاقة الخطية المتداخلة. بالنسبة إلى نواقل معينة ، يبدو الأمر كما يلي:

المساواة خاطئة. من هذا يمكننا أن نستنتج أن المتجهين a و b غير متصلين.

إجابه : أ | | ب

مثال 2

ما هي القيمة m للمتجه a = (1 ؛ 2) و b = (- 1 ؛ m) اللازمة لكي تكون المتجهات على خط مستقيم؟

كيف تقرر؟

باستخدام الشرط الخطي الثاني ، ستكون المتجهات على خط واحد إذا كانت إحداثياتها متناسبة:

هذا يدل على أن م = - 2.

إجابه: م = - 2.

معايير الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأنظمة النواقل

نظرية

لا يعتمد نظام المتجهات في فضاء ناقل خطيًا إلا إذا كان من الممكن التعبير عن أحد نواقل النظام من حيث بقية نواقل النظام.

دليل - إثبات

دع النظام e 1 ، e 2 ،. . . ، e n يعتمد خطيًا. دعونا نكتب التركيبة الخطية لهذا النظام والتي تساوي المتجه الصفري:

أ 1 هـ 1 + أ 2 هـ 2 +. . . + a n e n = 0

حيث لا يساوي أحد معامِلات المجموعة على الأقل صفرًا.

لنفترض أن k ≠ 0 k ∈ 1، 2،. . . ، ن .

نقسم جانبي المساواة بمعامل غير صفري:

أ ك - 1 (أ ك - 1 أ 1) ه 1 + (أ ك - 1 أ ك) ه ك +. . . + (أ ك - 1 أ ن) ه ن = 0

دل:

أ ك - ١ أ م ، حيث م ∈ ١ ، ٢ ،. . . ، ك - 1 ، ك + 1 ، ن

في هذه الحالة:

β 1 هـ 1 +. . . + β ل - 1 ه ك - 1 + β ك + 1 ه ك + 1 +. . . + βn e n = 0

أو e k = (- 1) e 1 +. . . + (- β ك - 1) ه ك - 1 + (- β ك + 1) ه ك + 1 +. . . + (- β ن) ه ن

ويترتب على ذلك أن أحد نواقل النظام يتم التعبير عنه من حيث جميع النواقل الأخرى للنظام. وهو المطلوب لإثباته (p.t.d.).

قدرة

دع أحد المتجهات يتم التعبير عنه خطيًا من حيث جميع النواقل الأخرى للنظام:

ه ك = γ 1 ه 1 +. . . + γ ل - 1 ه ك - 1 + γ ك + 1 ه ك + 1 +. . . + γ ن ه ن

ننقل المتجه e k إلى الجانب الأيمن من هذه المساواة:

0 = γ 1 ه 1 +. . . + γ ل - 1 ه ك - 1 - ه ك + γ ك + 1 ه ك + 1 +. . . + γ ن ه ن

نظرًا لأن معامل المتجه e k يساوي - 1 0 ، نحصل على تمثيل غير تافه للصفر بواسطة نظام المتجهات e 1 ، e 2 ،. . . ، e n ، وهذا بدوره يعني أن نظام النواقل المعطى يعتمد خطيًا. وهو المطلوب لإثباته (p.t.d.).

عاقبة:

• يكون نظام المتجهات مستقلاً خطيًا عندما لا يمكن التعبير عن أي من نواقله من حيث جميع النواقل الأخرى للنظام.
• نظام المتجه الذي يحتوي على متجه فارغ أو متجهين متساويين يعتمد خطيًا.

خصائص النواقل المعتمدة خطيا

1. بالنسبة للناقلات ثنائية وثلاثية الأبعاد ، يتم استيفاء الشرط: اثنان من النواقل المعتمدة خطيًا متداخلة. متجهان خطيان يعتمدان خطيًا.
2. بالنسبة للناقلات ثلاثية الأبعاد ، يتم استيفاء الشرط: ثلاثة نواقل مرتبطة خطيًا هي متحد المستوى. (3 متجهات مستوية - تعتمد خطيًا).
3. بالنسبة للناقلات ذات الأبعاد n ، يتم استيفاء الشرط: متجهات n + 1 دائمًا ما تكون مرتبطة خطيًا.

أمثلة على حل مسائل الاعتماد الخطي أو الاستقلال الخطي للناقلات

مثال 3

دعنا نتحقق من المتجهات أ = 3 ، 4 ، 5 ، ب = - 3 ، 0 ، 5 ، ج = 4 ، 4 ، 4 ، د = 3 ، 4 ، 0 من أجل الاستقلال الخطي.

قرار. المتجهات تعتمد خطيًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 4

دعونا نتحقق من المتجهات أ = 1 ، 1 ، 1 ، ب = 1 ، 2 ، 0 ، ج = 0 ، - 1 ، 1 من أجل الاستقلال الخطي.

قرار. نجد قيم المعامِلات التي عندها تساوي التركيبة الخطية المتجه الصفري:

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ص 1 = 0

نكتب معادلة المتجه بصيغة خطية:

س 1 + س 2 = 0 س 1 + 2 س 2 - س 3 = 0 س 1 + س 3 = 0

نقوم بحل هذا النظام باستخدام طريقة Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

من السطر الثاني نطرح الأول من الثالث إلى الأول:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

اطرح الثاني من السطر الأول ، أضف الثاني إلى الثالث:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

يستنتج من الحل أن النظام لديه العديد من الحلول. هذا يعني أن هناك تركيبة غير صفرية لقيم هذه الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 والتي تكون المجموعة الخطية أ ، ب ، ج تساوي متجهًا صفريًا. ومن ثم فإن المتجهات أ ، ب ، ج هي تعتمد خطيا.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

يسمى نظام النواقل تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه الأرقام ، من بينها واحد على الأقل يختلف عن الصفر ، أن المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif "width =" 57 "height =" 24 src = ">.

إذا كانت هذه المساواة صحيحة فقط إذا كانت جميعها ، فسيتم استدعاء نظام النواقل مستقل خطيا.

نظرية.نظام النواقل سوف تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد نواقلها على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

مثال 1متعدد الحدود عبارة عن مجموعة خطية من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif "width =" 88 height = 24 "height =" 24 ">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلاً خطيًا ، نظرًا لأن https متعدد الحدود: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif "width =" 129 "height =" 24 ">.

مثال 2نظام المصفوفة ، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 "height =" 48 src = "> مستقل خطيًا ، نظرًا لأن المجموعة الخطية تساوي مصفوفة صفرية فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif "width =" 69 "height =" 21 "> ، https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif "width =" 40 "height =" 21 "> تابع خطيًا.

قرار.

قم بتكوين مجموعة خطية من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "width =" 97 "height =" 24 "> = 0..gif" width = "360" height = "22">.

معادلة الإحداثيات التي تحمل نفس الاسم للمتجهات المتساوية ، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif "width =" 289 "height =" 69 ">

أخيرا نحصل

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد ، لذا فإن التركيبة الخطية لهذه المتجهات تساوي صفرًا فقط إذا كانت جميع المعاملات صفرًا. لذلك ، فإن نظام النواقل هذا مستقل خطيًا.

مثال 4النواقل مستقلة خطيا. ماذا ستكون أنظمة النواقل

أ).;

ب).?

قرار.

أ).قم بتكوين مجموعة خطية ومساواتها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في مساحة خطية ، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا ، يجب أن تكون معاملات من أجل مساوية للصفر ، أي .. gif "width =" 12 "height =" 23 src = ">

نظام المعادلات الناتج له حل تافه فريد .

منذ المساواة (*) تم تنفيذه فقط على https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif "width =" 115 height = 20 "height =" 20 "> - مستقل خطيًا ؛

ب).قم بتكوين المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif "width =" 265 "height =" 24 src = "> (**)

بتطبيق نفس المنطق ، نحصل عليه

نحصل على حل نظام المعادلات بطريقة جاوس

أو

يحتوي النظام الأخير على عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = ">. وبالتالي ، هناك غير- صفر مجموعة من المعاملات التي من أجلها المساواة (**) . لذلك ، نظام النواقل يعتمد خطيا.

مثال 5نظام المتجه مستقل خطيًا ، ونظام المتجه يعتمد خطيًا .. gif "width =" 80 "height =" 24 ">. gif" width = "149 height = 24" height = "24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دل .

يحصل

مهام الحل المستقل (في الفصل)

1. النظام الذي يحتوي على متجه صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا ، أ = 0.

3. النظام الذي يتكون من متجهين يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي ، يتم الحصول على أحدهما من الآخر بضربه في رقم).

4. إذا تمت إضافة متجه إلى نظام تابع خطيًا ، فسيتم الحصول على نظام يعتمد خطيًا.

5. إذا تمت إزالة ناقل من نظام مستقل خطيًا ، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلاً خطيًا.

6. إذا كان النظام سمستقل خطيًا ، لكنه يصبح معتمدًا خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بمعبرًا عنها خطيًا من حيث متجهات النظام س.

ج).نظام المصفوفات ، في فضاء مصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام النواقل أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيًا. إثبات الاستقلال الخطي للأنظمة التالية من النواقل:

أ).أ +ب ، ب ، ج.

ب).أ +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> -عدد التعسفي

ج).أ +ب ، أ + ج ، ب + ج.

11. اسمحوا ان أ،ب،جهي ثلاثة متجهات في المستوى يمكن استخدامها لتشكيل مثلث. هل ستعتمد هذه النواقل خطيًا؟

12. نظرا اثنين من النواقل أ 1 = (1 ، 2 ، 3 ، 4) ،a2 = (0 ، 0 ، 0 ، 1). التقط اثنين من ناقلات 4D أخرى a3 وأ 4بحيث النظام a1 ،a2 ،a3 ،أ 4كانت مستقلة خطيًا .

الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات.
أساس النواقل. نظام إحداثيات أفيني

هناك عربة بها شوكولاتة في الجمهور ، واليوم سيحصل كل زائر على زوج جميل - هندسة تحليلية مع الجبر الخطي. ستتطرق هذه المقالة إلى قسمين من الرياضيات العليا في وقت واحد ، وسنرى كيف يتوافقان في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة ، وتناول تويكس! ... اللعنة ، حسنا ، مجادلة هراء. على الرغم من أنني بخير ، لن أسجل ، في النهاية ، يجب أن يكون هناك موقف إيجابي للدراسة.

الاعتماد الخطي على النواقل, الاستقلال الخطي للناقلات, أساس النواقلوالمصطلحات الأخرى ليس لها تفسير هندسي فحسب ، بل لها معنى جبري قبل كل شيء. إن مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي بعيد كل البعد عن المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على مستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن البرهان ، حاول رسم متجه لفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس ، الذي ذهبت للتو إلى Gismeteo من أجله: - درجة الحرارة والضغط الجوي ، على التوالي. المثال ، بالطبع ، غير صحيح من وجهة نظر خصائص فضاء المتجه ، ولكن ، مع ذلك ، لا أحد يحظر صياغة هذه المعلمات كمتجه. أنفاس الخريف ...

لا ، لن أتحمل نظريًا ، فضاءات متجهية خطية ، المهمة هي تفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (الاعتماد الخطي ، والاستقلالية ، والجمع الخطي ، والأساس ، وما إلى ذلك) على جميع المتجهات من وجهة نظر جبرية ، ولكن سيتم إعطاء أمثلة هندسية. وبالتالي ، كل شيء بسيط ، سهل الوصول إليه ومرئي. بالإضافة إلى مشاكل الهندسة التحليلية ، سننظر أيضًا في بعض المهام النموذجية للجبر. لإتقان المادة ، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمىو كيف تحسب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلالية المتجهات المستوية.
أساس الطائرة ونظام إحداثيات أفيني

ضع في اعتبارك مستوى سطح مكتب الكمبيوتر الخاص بك (مجرد طاولة ، طاولة بجانب السرير ، أرضية ، سقف ، ما تريد). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي ، سطح الطاولة له طول وعرض ، لذلك من الواضح بشكل بديهي أن هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن متجهًا واحدًا لا يكفي ، وثلاثة نواقل أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار ضبط نظام الإحداثيات(تنسيق الشبكة) لتعيين إحداثيات لجميع العناصر الموجودة على الجدول.

لا تتفاجأ ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. علاوة على ذلك ، عليك. من فضلك ضع السبابة لليد اليسرىعلى حافة سطح الطاولة بحيث ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقل. الآن ضع الاصبع الصغير من اليد اليمنىعلى حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها إلى شاشة العرض. سيكون هذا ناقل. ابتسم ، تبدو رائعًا! ماذا يمكن أن يقال عن النواقل؟ ناقلات البيانات علاقة خطية متداخلةمما يعني خطيامعبر عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا ، أو العكس: أين هو رقم غير صفري.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الدرس. ناقلات للدمى، حيث شرحت قاعدة ضرب متجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على مستوى سطح طاولة الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. نواقل خطية تسافر ذهابًا وإيابًا في وحدهالاتجاه ، بينما الطائرة لها طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

المرجعي: تشير الكلمات "خطي" ، "خطي" إلى حقيقة أنه لا توجد مربعات ، أو مكعبات ، أو قوى أخرى ، أو لوغاريتمات ، أو جيب ، وما إلى ذلك في المعادلات الرياضية ، والتعبيرات. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (من الدرجة الأولى).

متجهان مستويان تعتمد خطياإذا وفقط إذا كانت تربطهما علاقة خطية متداخلة.

ضع أصابعك على الطاولة بحيث يكون هناك أي زاوية بينهما باستثناء 0 أو 180 درجة. متجهان مستويانخطيا ليستعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على علاقة خطية واحدة. لذلك ، يتم استلام الأساس. لا داعي للحرج من أن الأساس اتضح أنه "مائل" مع نواقل غير متعامدة بأطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أنه ليس فقط زاوية 90 درجة مناسبة لبناءها ، وليس فقط متجهات الوحدة ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةموسعة من حيث الأساس:
، أين الأعداد الحقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس.

يقولون ذلك أيضًا المتجهالمقدمة في النموذج تركيبة خطيةناقلات الأساس. وهذا يعني أن التعبير يسمى ناقلات التحللأساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس.

على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يقول إن المتجه يتم توسيعه على أساس متعامد من المستوى ، أو يمكن القول أنه يتم تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا نصيغ تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةهو زوج من المتجهات المستقلة خطيًا (غير خطية) ، ، حيث أيمتجه المستوى هو مزيج خطي من نواقل الأساس.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن النواقل مأخوذة بترتيب معين. القواعد هذه قاعدتان مختلفتان تمامًا! كما يقولون ، لا يمكن تحريك الإصبع الصغير لليد اليسرى إلى مكان الإصبع الصغير لليد اليمنى.

لقد توصلنا إلى الأساس ، ولكن لا يكفي تعيين شبكة الإحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ المتجهات مجانية وتتجول فوق الطائرة بأكملها. إذن كيف يمكنك تعيين إحداثيات لنقاط الجدول الصغيرة المتسخة المتبقية من عطلة نهاية أسبوع جامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. وهذه النقطة المرجعية هي نقطة مألوفة للجميع - أصل الإحداثيات. فهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمىلقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام إحداثيات مستطيل وأساس متعامد. هذه هي الصورة القياسية:

عندما نتحدث عن نظام إحداثيات مستطيل، فغالبًا ما تعني الأصل وتنسيق المحاور والقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام إحداثيات مستطيل" في محرك البحث ، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على مستوى.

من ناحية أخرى ، يحصل المرء على انطباع بأن نظام الإحداثيات المستطيل يمكن تحديده جيدًا من حيث الأساس المتعامد. وكاد يكون. الصياغة تسير على النحو التالي:

الأصل، و متعامدمجموعة الأساس نظام الإحداثيات الديكارتية للطائرة . هذا هو ، نظام إحداثيات مستطيل بالتااكيديتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهات متعامدة من وحدتين. لهذا السبب ، ترى الرسم الذي قدمته أعلاه - في المسائل الهندسية ، غالبًا ما يتم رسم كل من المتجهات ومحاور الإحداثيات (ولكن ليس دائمًا).

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك بمساعدة نقطة (أصل) وأساس متعامد أي نقطة من الطائرة وأي متجه للطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. من الناحية المجازية ، "يمكن ترقيم كل شيء على متن الطائرة".

هل يجب أن تكون نواقل الإحداثيات وحدة؟ لا ، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير صفري. ضع في اعتبارك نقطة ومتجهين متعامدين بطول تعسفي غير صفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يحدد أصل الإحداثيات مع المتجهات شبكة الإحداثيات ، وأي نقطة في المستوى ، أي متجه لها إحداثياتها الخاصة في الأساس المحدد. على سبيل المثال ، أو. الإزعاج الواضح هو أن نواقل الإحداثيات على العموملها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي واحدًا ، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد ، وكذلك أدناه في القواعد الأفينية للطائرة والفضاء ، تعتبر الوحدات على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال ، تحتوي وحدة واحدة على طول الإحداثي على 4 سم ، ووحدة واحدة بطول الإحداثي تحتوي على 2 سم ، وهذه المعلومات كافية لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة" إذا لزم الأمر.

والسؤال الثاني ، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل - هل من الضروري أن تكون الزاوية بين متجهات الأساس 90 درجة؟ لا! كما يقول التعريف ، يجب أن تكون نواقل الأساس فقط غير متداخلة. وفقًا لذلك ، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء باستثناء 0 و 180 درجة.

نقطة على متن الطائرة تسمى الأصل، و غير متداخلةثلاثة أبعاد ، ، جلس نظام إحداثيات أفيني للطائرة :

في بعض الأحيان يسمى نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلالنظام. يتم عرض النقاط والمتجهات كأمثلة في الرسم:

كما تفهم ، فإن نظام الإحداثيات الأفيني أقل ملاءمة ، والصيغ الخاصة بأطوال المتجهات والمقاطع ، التي اعتبرناها في الجزء الثاني من الدرس ، لا تعمل فيه. ناقلات للدمى، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة منتج عددي من النواقل. لكن قواعد إضافة المتجهات وضرب المتجه برقم صحيحة ، وصيغ قسمة مقطع في هذا الصدد ، بالإضافة إلى بعض الأنواع الأخرى من المشاكل التي سننظر فيها قريبًا.

والاستنتاج هو أن الحالة الأكثر ملاءمة لنظام إحداثيات أفيني هي نظام المستطيل الديكارتي. لذلك ، يجب رؤيتها ، هي نفسها ، في أغلب الأحيان. ... ومع ذلك ، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي يكون فيها من المناسب أن يكون لديك منحرف (أو بعض الحالات الأخرى ، على سبيل المثال ، قطبي) نظام الإحداثيات. نعم ، وقد تتذوق مثل هذه الأنظمة البشرية =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. جميع المشكلات في هذا الدرس صالحة لكل من نظام إحداثيات المستطيل والحالة العامة. لا يوجد شيء معقد هنا ، كل المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات المستوية؟

شيء نموذجي. من أجل متجهين مستويين متداخلة ، من الضروري والكافي أن تكون إحداثيات كل منهما متناسبةبشكل أساسي ، هذا هو تنقيح تنسيق تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل النواقل تشكل الأساس؟ ?

قرار:
أ) اكتشف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب ، بحيث تتحقق المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "foppish" من تطبيق هذه القاعدة ، والتي تعمل جيدًا في الممارسة. الفكرة هي رسم نسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

دعونا نحسب نسبة من نسب إحداثيات المتجهات المقابلة:

نحن نقصر:
، وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة ،

يمكن إجراء العلاقة والعكس صحيح ، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي ، يمكن للمرء استخدام حقيقة أن المتجهات الخطية يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في هذه الحالة ، هناك مساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) متجهان مستويان يشكلان أساسًا إذا لم يكونا على علاقة خطية واحدة (مستقلان خطيًا). ندرس المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك ، من المعادلة الثانية ، مما يعني ، النظام غير متسق(لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن إحداثيات المتجهات المقابلة ليست متناسبة.

خاتمة: النواقل مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو نسخة مبسطة من الحل كما يلي:

يؤلف النسبة من إحداثيات المتجهات المقابلة :
، وبالتالي ، فإن هذه النواقل مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة لا يرفض المراجعون هذا الخيار ، ولكن تظهر مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات مساوية للصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيف تعمل النسبة هنا؟ (حقًا ، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابه:أ) ، ب) النموذج.

مثال إبداعي صغير لحل مستقل:

مثال 2

ما قيمة متجهات المعلمة سيكون على علاقة خطية متداخلة؟

في حل العينة ، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة لفحص المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة. فلننظم معرفتنا ونضيفها فقط كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهي المستوى ، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) النواقل تشكل الأساس ؛
3) النواقل ليست على علاقة خطية واحدة ؛

+ 5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، غير صفري.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) النواقل تعتمد خطيا ؛
2) النواقل لا تشكل الأساس ؛
3) النواقل متداخلة ؛
4) يمكن التعبير عن النواقل خطيًا من خلال بعضها البعض ؛
+ 5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، يساوي صفرًا.

أتمنى أن تكون قد فهمت في الوقت الحالي جميع المصطلحات والبيانات الواردة.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا:. لاستخدام هذه الميزة ، بالطبع ، يجب أن تكون قادرًا على ذلك إيجاد المحددات.

سنقررالمثال الأول بالطريقة الثانية:

أ) احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
، لذلك هذه النواقل على خط واحد.

ب) متجهان مستويان يشكلان أساسًا إذا لم يكونا على علاقة خطية واحدة (مستقلان خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
، ومن ثم تكون المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابه:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل بالنسب.

بمساعدة المادة المدروسة ، من الممكن ليس فقط إنشاء علاقة خطية متداخلة للمتجهات ، ولكن أيضًا لإثبات التوازي بين المقاطع والخطوط المستقيمة. ضع في اعتبارك مشكلتين تتعلقان بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس شكل رباعي. إثبات أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

دليل - إثبات: لا داعي لبناء رسم في المشكلة لأن الحل سيكون تحليلي بحت. تذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي ، حيث تكون الأضلاع المتقابلة متوازية.

وبالتالي ، من الضروري إثبات:
1) التوازي من الجانبين المتقابلين و ؛
2) توازي الضلعين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("حسب المدرسة" - نواقل متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا ، ولكن من الأفضل اتخاذ القرار بشكل صحيح ، مع الترتيب. احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، لذلك فإن هذه المتجهات متداخلة ، و.

خاتمة: أضلاع الشكل الرباعي متوازيتان ، لذا فهو متوازي أضلاع بالتعريف. Q.E.D.

المزيد من الشخصيات الجيدة والمختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس شكل رباعي. إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

من أجل صياغة أكثر صرامة للإثبات ، من الأفضل ، بالطبع ، الحصول على تعريف شبه منحرف ، لكن يكفي فقط تذكر شكله.

هذه مهمة لاتخاذ قرار مستقل. حل كامل في نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهات الفضاء؟

القاعدة متشابهة جدا. لكي يكون متجهان فضاء على علاقة خطية ، من الضروري والكافي أن تكون إحداثياتهما المقابلة متناسبة مع.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت متجهات الفضاء التالية على علاقة خطية أم لا:

أ) ؛
ب)
في)

قرار:
أ) تحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

لا يحتوي النظام على حل ، مما يعني أن المتجهات ليست على علاقة خطية واحدة.

يتم إجراء "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المقابلة ليست متناسبة ، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

إجابه:النواقل ليست على علاقة خطية متداخلة.

ب-ج) هذه نقاط لاتخاذ قرار مستقل. جربه بطريقتين.

توجد طريقة للتحقق من المتجهات المكانية من أجل العلاقة الخطية المتداخلة ومن خلال محدد من الدرجة الثالثة ، تتم تغطية هذه الطريقة في المقالة عبر المنتج من النواقل.

على غرار الحالة المستوية ، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة التوازي بين المقاطع والخطوط المكانية.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلالية ناقلات الفضاء ثلاثية الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات الأفيني

العديد من الإجراءات المنتظمة التي أخذناها في الاعتبار على متن الطائرة ستكون صالحة أيضًا للمساحة. حاولت تقليل ملخص النظرية إلى الحد الأدنى ، لأن نصيب الأسد من المعلومات قد تم مضغه بالفعل. ومع ذلك ، فإنني أوصيك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية ، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن ، بدلاً من مستوى طاولة الكمبيوتر ، دعنا نفحص الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولاً ، دعنا ننشئ أساسه. شخص ما الآن في الداخل ، وهناك شخص ما في الهواء الطلق ، ولكن على أي حال ، لا يمكننا الابتعاد عن الأبعاد الثلاثة: العرض والطول والارتفاع. لذلك ، هناك حاجة إلى ثلاثة نواقل مكانية لبناء الأساس. لا يكفي واحد أو اثنين من النواقل ، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالتسخين على الأصابع. يرجى رفع يدك وانتشارها في اتجاهات مختلفة الإبهام والسبابة والإصبع الأوسط. ستكون هذه متجهات ، وتبدو في اتجاهات مختلفة ، ولها أطوال مختلفة وزوايا مختلفة فيما بينها. مبروك اساس الفضاء ثلاثي الابعاد جاهز! بالمناسبة ، لست بحاجة إلى توضيح ذلك للمعلمين ، بغض النظر عن كيفية تحريك أصابعك ، لكن لا يمكنك الابتعاد عن التعريفات =)

بعد ذلك ، نطرح سؤالًا مهمًا ، ما إذا كان أي من النواقل الثلاثة يشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع على سطح طاولة الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة متجهات في نفس المستوى ، وبشكل تقريبي ، فقدنا أحد القياسات - الارتفاع. هذه النواقل متحد المستوىومن الواضح تمامًا أن أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد لم يتم إنشاؤه.

تجدر الإشارة إلى أن المتجهات متحد المستوى لا يجب أن تقع في نفس المستوى ، بل يمكن أن تكون في طائرات متوازية (فقط لا تفعل ذلك بأصابعك ، فقط سلفادور دالي خرج هكذا =)).

تعريف: نواقل تسمى متحد المستوىإذا كان هناك مستوى متوازيين. هنا من المنطقي أن نضيف أنه في حالة عدم وجود مثل هذا المستوى ، فلن تكون المتجهات مستوية.

ثلاثة نواقل متحد المستوى دائمًا تعتمد خطيًا، أي يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. من أجل التبسيط ، تخيل مرة أخرى أنهم يقعون في نفس المستوى. أولاً ، المتجهات ليست فقط متحد المستوى ، بل يمكن أن تكون خطية متداخلة أيضًا ، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية ، إذا لم تكن المتجهات ، على سبيل المثال ، خطية متداخلة ، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من خامات القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحد المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًا، أي أنه لا يتم التعبير عنها بأي شكل من الأشكال من خلال بعضها البعض. ومن الواضح أن هذه النواقل فقط هي التي يمكن أن تشكل أساس فضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعاديسمى ثلاثي النواقل المستقلة خطيًا (غير متحد المستوى) ، مأخوذة بترتيب معين، بينما أي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةيتوسع في الأساس المحدد ، حيث توجد إحداثيات المتجه في الأساس المحدد

للتذكير ، يمكنك أيضًا القول أن المتجه يتم تمثيله كـ تركيبة خطيةناقلات الأساس.

يتم تقديم مفهوم نظام الإحداثيات بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة المستوى ، تكفي نقطة واحدة وأي ثلاثة نواقل مستقلة خطيًا:

الأصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد ، مأخوذة بترتيب معين، جلس نظام إحداثيات أفيني للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالطبع ، شبكة الإحداثيات "مائلة" وغير ملائمة ، ولكن ، مع ذلك ، يتيح لنا نظام الإحداثيات المُنشأ بالتااكيدتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. على غرار الطائرة ، في نظام الإحداثيات الأفيني للفضاء ، لن تعمل بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات الأفيني ، كما يمكن للجميع تخمينها ، هي نظام إحداثيات مساحة مستطيلة:

نقطة في الفضاء تسمى الأصل، و متعامدمجموعة الأساس نظام الإحداثيات الديكارتية للفضاء . صورة مألوفة:

قبل الشروع في المهام العملية ، نقوم بترتيب المعلومات مرة أخرى:

بالنسبة لثلاثة متجهات فضائية ، تكون العبارات التالية متكافئة:
1) النواقل مستقلة خطيًا ؛
2) النواقل تشكل الأساس ؛
3) النواقل ليست متحد المستوى ؛
4) لا يمكن التعبير عن النواقل خطيًا من خلال بعضها البعض ؛
5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، يختلف عن الصفر.

التصريحات المعاكسة ، في اعتقادي ، مفهومة.

يتم التحقق من الاعتماد الخطي / استقلالية متجهات الفضاء بشكل تقليدي باستخدام المحدد (البند 5). ستكون المهام العملية المتبقية ذات طبيعة جبرية واضحة. حان الوقت لتعليق عصا هندسية على مسمار واستخدام مضرب بيسبول الجبر الخطي:

ثلاثة نواقل فضائيةمتحد المستوى إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا: .

ألفت انتباهك إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة ، ولكن أيضًا في الصفوف (قيمة المحدد لن تتغير من هذا - انظر خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة ، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا طرق حساب المحددات قليلاً ، أو ربما يكونون ضعيفي التوجيه على الإطلاق ، أوصي بأحد دروسي القديمة: كيف تحسب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد:

قرار: في الحقيقة ، الحل كله يعتمد على حساب المحدد.

أ) احسب المحدد ، المكون من إحداثيات المتجهات (يتم توسيع المحدد في السطر الأول):

، مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (ليست مستوية) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابه: هذه النواقل تشكل الأساس

ب) هذه نقطة لاتخاذ قرار مستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

هناك أيضًا مهام إبداعية:

مثال 7

في أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات متحد المستوى؟

قرار: المتجهات تكون متحد المستوى إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا:

بشكل أساسي ، مطلوب حل معادلة ذات محدد. نطير إلى الأصفار مثل الطائرات الورقية في الجربوع - من الأكثر ربحية فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

نجري المزيد من التبسيط ونختزل الأمر إلى أبسط معادلة خطية:

إجابه: في

من السهل التحقق هنا ، لذلك تحتاج إلى استبدال القيمة الناتجة بالمحدد الأصلي والتأكد من ذلك من خلال إعادة فتحه.

في الختام ، دعونا ننظر في مشكلة نموذجية أخرى ، والتي هي أكثر من طبيعة جبرية ويتم تضمينها تقليديا في سياق الجبر الخطي. من الشائع جدًا أنه يستحق موضوعًا منفصلاً:

إثبات أن 3 نواقل تشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد
وابحث عن إحداثيات المتجه الرابع في الأساس المحدد

المثال 8

يتم إعطاء النواقل. بيّن أن المتجهات تشكل أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد واعثر على إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

قرار: دعونا نتعامل مع الشرط أولاً. حسب الشرط ، يتم إعطاء أربعة متجهات ، وكما ترى ، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو الأساس - لسنا مهتمين. والشيء التالي مهم: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. والخطوة الأولى هي نفسها تمامًا مثل حل المثال 6 ، من الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا بالفعل:

احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

، ومن ثم تكون المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد.

! الأهمية : إحداثيات متجه بالضرورةاكتب في الأعمدةمحدد وليس سلاسل. خلاف ذلك ، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافي.