الكسور العادية والعشرية والعمليات عليها. كسور دورية لانهائية

يحدث أنه لتسهيل العمليات الحسابية ، من الضروري تحويل كسر عادي إلى عدد عشري والعكس صحيح. سنتحدث عن كيفية القيام بذلك في هذه المقالة. سنحلل قواعد تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية والعكس صحيح ، ونقدم أيضًا أمثلة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

سننظر في تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، مع الالتزام بتسلسل معين. أولاً ، ضع في اعتبارك كيف يتم تحويل الكسور العادية ذات المقام مضاعف لـ 10 إلى كسور عشرية: 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. الكسور التي تحتوي على هذه القواسم ، في الواقع ، هي أكثر تعقيدًا من تدوين الكسور العشرية.

بعد ذلك ، سننظر في كيفية تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية بأي مقام ، وليس فقط من مضاعفات العدد 10. لاحظ أنه عند تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، لا يتم الحصول على الكسور العشرية المحدودة فحسب ، بل يتم أيضًا الحصول على كسور عشرية دورية لا نهائية.

هيا بنا نبدأ!

ترجمة الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. إلى الكسور العشرية

بادئ ذي بدء ، لنفترض أن بعض الكسور تحتاج إلى بعض التحضير قبل تحويلها إلى صورة عشرية. ما هذا؟ قبل الرقم في البسط ، من الضروري إضافة العديد من الأصفار بحيث يصبح عدد الأرقام في البسط مساويًا لعدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، بالنسبة للكسر 3100 ، يجب إضافة الرقم 0 مرة واحدة إلى يسار 3 في البسط. الكسر 610 ، وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه ، لا يحتاج إلى تحسين.

ضع في اعتبارك مثالًا آخر ، وبعد ذلك نقوم بصياغة قاعدة مناسبة بشكل خاص للاستخدام في البداية ، بينما لا توجد خبرة كبيرة في التعامل مع الكسور. إذن ، الكسر 1610000 بعد إضافة الأصفار في البسط سيبدو مثل 001510000.

كيفية ترجمة كسر عادي مقامه 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. عشري؟

قاعدة تحويل الكسور العادية العادية إلى كسور عشرية

1. اكتب 0 وضع فاصلة بعدها.
2. نكتب الرقم من البسط ، والذي ظهر بعد إضافة الأصفار.

الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.

مثال 1. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

حوّل الكسر المشترك 39100 إلى عدد عشري.

أولاً ، ننظر إلى الكسر ونرى أنه لا توجد حاجة إلى إجراءات تحضيرية - عدد الأرقام في البسط يتطابق مع عدد الأصفار في المقام.

باتباع القاعدة ، اكتب 0 ، ضع علامة عشرية بعدها واكتب الرقم من البسط. نحصل على الكسر العشري 0 ، 39.

دعنا نحلل حل مثال آخر حول هذا الموضوع.

مثال 2. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

لنكتب الكسر 105 10000000 في صورة كسر عشري.

عدد الأصفار في المقام هو 7 ، والبسط يتكون من ثلاثة أرقام فقط. دعونا نضيف 4 أصفار أخرى أمام الرقم في البسط:

0000105 10000000

نكتب الآن 0 ونضع علامة عشرية بعدها ونكتب الرقم من البسط. نحصل على الكسر العشري 0 ، 0000105.

الكسور المدروسة في جميع الأمثلة هي كسور عادية عادية. لكن كيف يتم تحويل كسر شائع غير فعلي إلى كسر عشري؟ لنفترض على الفور أنه لا داعي للتحضير بإضافة أصفار لمثل هذه الكسور. دعونا نصيغ قاعدة.

قاعدة تحويل الكسور العادية غير الفعلية إلى كسور عشرية

1. نكتب الرقم الموجود في البسط.
2. باستخدام الفاصلة العشرية ، نفصل عددًا من الأرقام على اليمين يساوي عدد الأصفار في مقام الكسر العادي الأصلي.

فيما يلي مثال على استخدام هذه القاعدة.

مثال 3. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

لنحول الكسر 56888038009 100000 من عدد غير منتظم إلى عدد عشري.

أولاً ، اكتب الرقم من البسط:

الآن ، على اليمين ، نفصل خمسة أرقام بعلامة عشرية (عدد الأصفار في المقام هو خمسة). نحن نحصل:

السؤال التالي الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو كيفية تحويل رقم كسري إلى كسر عشري إذا كان مقام الجزء الكسري هو الرقم 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. للتحويل إلى كسر عشري لمثل هذا الرقم ، يمكنك استخدام القاعدة التالية.

قاعدة لتحويل الأعداد الكسرية إلى الكسور العشرية

1. نقوم بإعداد الجزء الكسري من الرقم ، إذا لزم الأمر.
2. نكتب الجزء الصحيح من الرقم الأصلي ونضع فاصلة بعده.
3. نكتب الرقم من بسط الجزء الكسري مع الأصفار الملحقة.

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 4. تحويل الأعداد الكسرية إلى الكسور العشرية

حوّل العدد الكسري 23 17 10000 إلى عدد عشري.

في الجزء الكسري ، لدينا المقدار 17 10000. لنعده ونضيف صفرين آخرين إلى يسار البسط. حصلنا على: 0017 10000.

الآن نكتب الجزء الصحيح من الرقم ونضع فاصلة بعده: 23 ،. .

بعد الفاصلة ، نكتب الرقم من البسط مع الأصفار. نحصل على النتيجة:

23 17 10000 = 23 , 0017

تحويل الكسور العادية إلى كسور دورية محدودة ولانهائية

بالطبع ، يمكنك التحويل إلى كسور عشرية وكسور عادية ذات مقام لا يساوي 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ.

غالبًا ما يمكن اختزال الكسر بسهولة إلى مقام جديد ، ثم استخدام القاعدة الموضحة في الفقرة الأولى من هذه المقالة. على سبيل المثال ، يكفي ضرب بسط ومقام الكسر 25 في 2 ، ونحصل على الكسر 410 ، والذي يتم اختزاله بسهولة إلى الصورة العشرية 0.4.

ومع ذلك ، لا يمكن دائمًا استخدام طريقة تحويل كسر عادي إلى كسر عشري. أدناه سننظر في ما يجب فعله إذا كان من المستحيل تطبيق الطريقة المدروسة.

هناك طريقة جديدة أساسية لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري وهي قسمة البسط على المقام على عمود. تشبه هذه العملية إلى حد بعيد تقسيم الأعداد الطبيعية بواسطة عمود ، ولكن لها خصائصها الخاصة.

عند القسمة ، يتم تمثيل البسط في صورة كسر عشري - توضع فاصلة على يمين آخر رقم في البسط وتُضاف الأصفار. في حاصل القسمة الناتج ، يتم وضع الفاصلة العشرية عند انتهاء قسمة الجزء الصحيح من البسط. كيف تعمل هذه الطريقة بالضبط سوف تتضح بعد النظر في الأمثلة.

مثال 5. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

دعنا نترجم الكسر العادي 621 4 إلى صورة عشرية.

لنمثل الرقم 621 من البسط في صورة كسر عشري ، بإضافة بضعة أصفار بعد الفاصلة العشرية. 621 = 621 00

الآن سنقسم العمود 621 ، 00 على 4. ستكون خطوات القسمة الثلاث الأولى هي نفسها عند قسمة الأعداد الطبيعية ، ونحصل عليها.

عندما وصلنا إلى النقطة العشرية في المقسوم ، والباقي غير صفري ، نضع العلامة العشرية في حاصل القسمة ، ونواصل القسمة ، ولم نعد ننتبه إلى الفاصلة في المقسوم.

نتيجة لذلك ، نحصل على الكسر العشري 155 ، 25 ، وهو نتيجة انعكاس الكسر العادي 621 4

621 4 = 155 , 25

ضع في اعتبارك حل مثال آخر لإصلاح المادة.

مثال 6. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

دعونا نعكس الكسر العادي 21800.

للقيام بذلك ، قسّم الكسر 21000 على 800 في عمود. ستنتهي قسمة الجزء الصحيح عند الخطوة الأولى ، لذا بعد ذلك مباشرة نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ونواصل القسمة ، متجاهلين الفاصلة في المقسوم حتى نحصل على الباقي يساوي صفرًا.

نتيجة لذلك ، حصلنا على: 21800 = 0. 02625.

ولكن ماذا لو ، عند القسمة ، لم نحصل أبدًا على الباقي من الصفر. في مثل هذه الحالات ، يمكن مواصلة القسمة إلى أجل غير مسمى. ومع ذلك ، بدءًا من خطوة معينة ، سوف تتكرر القيم المتبقية بشكل دوري. وفقًا لذلك ، سيتم أيضًا تكرار الأرقام الموجودة في حاصل القسمة. هذا يعني أن الكسر العادي يُترجم إلى كسر دوري عشري لا نهائي. دعنا نوضح ما قيل بمثال.

مثال 7. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

لنحول الكسر العادي 1944 إلى عدد عشري. للقيام بذلك ، نقوم بإجراء القسمة على عمود.

نرى أنه عند القسمة ، يتكرر الباقيان 8 و 36. في نفس الوقت ، يتكرر الرقمان 1 و 8 في حاصل القسمة. هذه هي الفترة في النظام العشري. عند الكتابة ، يتم أخذ هذه الأرقام بين قوسين.

وهكذا ، يتم ترجمة الكسر العادي الأصلي إلى كسر عشري دوري لانهائي.

19 44 = 0 , 43 (18) .

دعونا نحصل على جزء عادي غير قابل للاختزال. ما الشكل الذي ستتخذه؟ ما الكسور العادية التي يتم تحويلها إلى كسور عشرية محدودة ، وأي منها إلى كسور دورية غير محدودة؟

لنفترض أولاً أنه إذا أمكن اختزال كسر إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 .. ، فسيبدو ككسر عشري نهائي. من أجل اختزال الكسر إلى أحد هذه القواسم ، يجب أن يكون مقامه مقسومًا على واحد على الأقل من الأرقام 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. من قواعد تحليل الأعداد إلى عوامل أولية ، يتبع ذلك قاسم الأعداد 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. يجب ، عند تحللها إلى عوامل أولية ، أن تحتوي فقط على الأرقام 2 و 5.

لنلخص ما قيل:

1. يمكن اختزال الكسر العادي إلى شكل كسر عشري نهائي إذا كان من الممكن تحلل مقامه إلى عاملين أوليين 2 و 5.
2. إذا ، بالإضافة إلى العددين 2 و 5 ، هناك أعداد أولية أخرى في توسيع المقام ، يتم تقليل الكسر إلى شكل كسر عشري دوري لانهائي.

لنأخذ مثالا.

مثال 8. تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية

أي من الكسور المعطاة ٤٧ ٢٠ ، ٧ ١٢ ، ٢١ ٥٦ ، ٣١ ١٧ تم تحويله إلى كسر عشري نهائي ، وأي واحد - إلى كسر دوري فقط. سنقدم إجابة لهذا السؤال بدون التحويل المباشر لكسر عادي إلى كسر عشري.

كما ترى بسهولة الكسر 47 20 بضرب البسط والمقام في 5 يتم تصغيره إلى مقام جديد 100.

4720 = 235100. من هذا نستنتج أن هذا الكسر قد تمت ترجمته إلى كسر عشري نهائي.

بتحليل مقام الكسر 7 12 إلى عوامل ، نحصل على 12 = 2 2 3. نظرًا لأن العامل البسيط 3 يختلف عن 2 وعن 5 ، لا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري محدد ، ولكن سيكون له شكل كسر دوري لا نهائي.

الكسر 21 56 ، أولاً ، عليك تقليله. بعد الاختزال بمقدار 7 ، نحصل على كسر غير قابل للاختزال 3 8 ، حيث يؤدي توسيع مقامه إلى عوامل إلى 8 = 2 · 2 · 2. لذلك ، فهو رقم عشري نهائي.

في حالة الكسر 31 17 ، تحليل المقام هو الرقم الأولي 17 نفسه. وفقًا لذلك ، يمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري دوري لا نهائي.

لا يمكن تحويل الكسر العادي إلى كسر عشري لانهائي وغير متكرر

أعلاه ، تحدثنا فقط عن الكسور الدورية المحدودة واللانهائية. ولكن هل يمكن تحويل أي جزء عادي إلى كسر غير دوري لانهائي؟

نجيب: لا!

مهم!

عندما تقوم بتحويل كسر لا نهائي إلى رقم عشري ، تحصل إما على كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري لا نهائي.

دائمًا ما يكون باقي القسمة أقل من المقسوم عليه. بمعنى آخر ، وفقًا لنظرية القسمة ، إذا قسمنا عددًا طبيعيًا على الرقم q ، فلا يمكن أن يكون باقي القسمة على أي حال أكبر من q-1. بعد انتهاء التقسيم ، يكون أحد المواقف التالية ممكنًا:

1. نحصل على باقي 0 ، وهنا تنتهي عملية القسمة.
2. نحصل على الباقي ، والذي يتكرر أثناء القسمة اللاحقة ، ونتيجة لذلك لدينا كسر دوري لا نهائي.

لا توجد خيارات أخرى عند تحويل كسر عادي إلى كسر عشري. لنفترض أيضًا أن طول الفترة (عدد الأرقام) في الكسر الدوري اللانهائي يكون دائمًا أقل من عدد الأرقام في مقام الكسر العادي المقابل.

حول الكسور العشرية إلى كسور مشتركة

حان الوقت الآن للنظر في العملية العكسية لتحويل كسر عشري إلى كسر عادي. دعونا نصيغ قاعدة ترجمة تتضمن ثلاث مراحل. كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر مشترك؟

قاعدة تحويل الكسور العشرية إلى كسور مشتركة

1. في البسط نكتب الرقم من الكسر العشري الأصلي ، مع تجاهل الفاصلة وجميع الأصفار على اليسار ، إن وجدت.
2. في المقام نكتب واحدًا وبعده أكبر عدد من الأصفار حيث توجد أرقام في الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية.
3. إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الكسر العادي الناتج.

ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة مع الأمثلة.

مثال 8. تحويل الكسور العشرية إلى عادية

لنمثل الرقم 3 ، 025 في صورة كسر عادي.

1. في البسط نكتب الكسر العشري نفسه ، ونتجاهل الفاصلة: 3025.
2. في المقام نكتب واحدًا ، وبعده ثلاثة أصفار - هذا هو عدد الأرقام التي يحتويها الكسر الأصلي بعد الفاصلة العشرية: 3025 1000.
3. يمكن اختزال الكسر الناتج 3025 1000 بمقدار 25 ، ونتيجة لذلك نحصل على: 3025 1000 = 121 40.

مثال 9. تحويل الكسور العشرية إلى عادية

فلنحول الكسر 0 ، 0017 من عدد عشري إلى عادي.

1. في البسط نكتب الكسر 0 ، 0017 ، ونتجاهل الفاصلة والأصفار على اليسار. احصل على 17.
2. نكتب واحدًا في المقام ، وبعده نكتب أربعة أصفار: 17 10000. هذا الجزء غير قابل للاختزال.

إذا كان هناك جزء صحيح في الكسر العشري ، فيمكن تحويل هذا الكسر على الفور إلى رقم مختلط. كيف افعلها؟

لنقم بصياغة قاعدة أخرى.

قاعدة تحويل الكسور العشرية إلى أعداد كسرية.

1. يتم كتابة الرقم حتى الفاصلة العشرية كجزء من العدد الكسري.
2. في البسط ، نكتب الرقم الموجود في الكسر بعد الفاصلة العشرية ، ونتجاهل الأصفار الموجودة على اليسار ، إن وجدت.
3. في مقام الجزء الكسري ، نضيف واحدًا وعددًا من الأصفار حيث توجد أرقام في الجزء الكسري بعد العلامة العشرية.

لنلقي نظرة على مثال

مثال 10: تحويل رقم عشري إلى رقم كسري

لنمثل الكسر 155 ، 06005 في صورة عدد كسري.

1. نكتب العدد 155 كجزء عدد صحيح.
2. في البسط نكتب الأعداد بعد الفاصلة العشرية ، ونتجاهل الصفر.
3. نكتب في المقام واحدًا وخمسة أصفار

تعليم عدد كسري: 1556005 100000

يمكن اختزال الجزء الكسري بمقدار 5. نخفض ونحصل على النتيجة النهائية:

155 , 06005 = 155 1201 20000

تحويل الأعداد العشرية المتكررة اللانهائية إلى كسور مشتركة

لنلقِ نظرة على أمثلة حول كيفية ترجمة الكسور العشرية الدورية إلى كسور عادية. قبل أن نبدأ ، دعنا نوضح: أي كسر عشري دوري يمكن تحويله إلى كسر عادي.

أبسط حالة هي أن دورة الكسر تساوي صفرًا. يتم استبدال الكسر الدوري بفترة صفر بكسر عشري محدد ، ويتم تقليل عملية عكس هذا الكسر إلى عكس كسر عشري نهائي.

مثال 11. تحويل رقم عشري دوري إلى كسر مشترك

دعونا نعكس الكسر الدوري 3 ، 75 (0).

بإسقاط الأصفار على اليمين ، نحصل على الكسر العشري الأخير 3 ، 75.

بتحويل هذا الكسر إلى جزء عادي وفقًا للخوارزمية التي تمت مناقشتها في الفقرات السابقة ، نحصل على:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

ماذا لو كانت فترة الكسر غير صفرية؟ يجب اعتبار الجزء الدوري على أنه مجموع أعضاء التقدم الهندسي الذي يتناقص. لنوضح هذا بمثال:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

توجد صيغة لمجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص لانهائي. إذا كان الحد الأول من التقدم هو b وكان مقام q هو 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة باستخدام هذه الصيغة.

مثال 12. تحويل رقم عشري دوري إلى كسر مشترك

لنفترض أن لدينا كسرًا دوريًا 0 ، (8) وعلينا تحويله إلى كسر عادي.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

لدينا هنا تقدم هندسي متناقص لانهائي مع الحد الأول 0 ، 8 والمقام 0 ، 1.

دعنا نطبق الصيغة:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

هذا هو الكسر العادي المطلوب.

لدمج المادة ، ضع في اعتبارك مثالًا آخر.

مثال 13. تحويل عدد عشري دوري إلى عادي

اقلب الكسر 0، 43 (18).

أولاً ، نكتب الكسر كمجموع لا نهائي:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

ضع في اعتبارك المصطلحات الموجودة بين قوسين. يمكن تمثيل هذا التقدم الهندسي على النحو التالي:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

نضيف الكسر الناتج إلى الكسر النهائي 0 ، 43 \ u003d 43 100 ونحصل على النتيجة:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

بعد جمع هذه الكسور واختزالها ، نحصل على الإجابة النهائية:

0 , 43 (18) = 19 44

في نهاية هذه المقالة ، سنقول أنه لا يمكن تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية إلى كسور عادية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

§ 114. تحويل كسر عادي إلى كسر عشري.

يعني تحويل كسر عادي إلى كسر عشري إيجاد كسر عشري يساوي كسرًا عاديًا معطى. عند تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، سنواجه حالتين:

1) عندما يمكن تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية بالضبط;

2) عندما يمكن تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية فقط تقريبًا. دعونا ننظر في هذه الحالات بالتسلسل.

1. كيفية تحويل كسر عادي غير قابل للاختزال إلى عدد عشري ، أو بعبارة أخرى ، كيفية استبدال كسر عادي بكسر عشري مساو له؟

في الحالة التي يمكن أن تكون فيها الكسور العادية بالضبطتحويلها إلى عشري ، هناك بطريقتينمثل هذا النداء.

لنتذكر كيف نستبدل كسرًا بآخر يساوي الأول ، أو كيف ننتقل من كسر إلى آخر دون تغيير قيمة الكسر الأول. هذا ما فعلناه عندما اختزلنا الكسور إلى مقام مشترك (§86). عندما نختصر الكسور إلى مقام مشترك ، ننتقل إلى ما يلي: نجد قاسمًا مشتركًا لهذه الكسور ، ونحسب عاملًا إضافيًا لكل كسر ، ثم نضرب بسط كل كسر في هذا العامل ومقامه.

بعد ملاحظة ذلك ، لنأخذ الكسر غير القابل للاختزال 3/20 ونحاول تحويله إلى عدد عشري. مقام هذا الكسر هو 20 ، وعليك نقله إلى مقام آخر يمثله وحدة بها أصفار. سنبحث عن أصغر المقامات معبرًا عنها بواحد متبوعًا بالأصفار.

اول طريقيعتمد تحويل الكسر العادي إلى عدد عشري على تحلل المقام إلى عوامل بسيطة.

من الضروري معرفة الرقم 20 الذي يجب ضربه بحيث يتم التعبير عن حاصل الضرب بواحد بأصفار. لمعرفة ذلك ، يجب أن تتذكر أولاً العوامل الأولية التي تتحلل فيها الأعداد التي يمثلها واحد به أصفار. فيما يلي الأعطال:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

نرى أن الرقم الذي يمثله وحدة بها أصفار يتحلل إلى اثنين وخمسة فقط ، ولا توجد عوامل أخرى في التحلل. بالإضافة إلى ذلك ، يدخل اثنان وخمسة في التوسع بنفس الرقم. وأخيرًا ، فإن عدد هذه العوامل وعوامل أخرى بشكل منفصل يساوي عدد الأصفار بعد واحد في صورة رقم معين.

لنرى الآن كيف تتحلل 20 إلى عوامل أولية: 20 \ u003d 2 2 5. هذا يوضح أن هناك اثنين في مفكوك العدد 20 ، وخمسة واحدة. لذا ، إذا أضفنا خمسة إلى هذه العوامل ، فسنحصل على رقم يمثله وحدة بها أصفار. بمعنى آخر ، لكي يحصل المقام على رقم يمثله رقم واحد به أصفار بدلاً من الرقم 20 ، عليك أن تضرب 20 في 5 ، ولكي لا تتغير قيمة الكسر ، عليك الضرب في 5 وبسطه ، أي

وبالتالي ، من أجل تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، تحتاج إلى تحليل مقام هذا الكسر العادي إلى عوامل بسيطة ثم معادلة عدد اثنين وخمسة ، وإدخاله فيه (وبالطبع ، في البسط ) العوامل الناقصة في العدد المطلوب.

لنطبق هذا الاشتقاق على بعض الكسور.

حوّل إلى عدد عشري 3/50. يتسع مقام هذا الكسر كما يلي:

هذا يعني أنه يفتقر إلى شيطان واحد. دعنا نضيفه:

حوّل إلى عدد عشري 7/40.

يتحلل مقام هذا الكسر على النحو التالي: 40 \ u003d 2 2 2 5 ، أي أنه يوجد فتاتان مفقودتان فيه. نقدمها في البسط والمقام كعاملين:

مما ذكر ، ليس من الصعب استنتاج الكسور العادية التي تتحول بالضبط إلى كسور عشرية. من الواضح تمامًا أن الكسر العادي غير القابل للاختزال ، والذي لا يحتوي مقامه على أي عوامل أولية أخرى غير 2 و 5 ، يتحول تمامًا إلى عدد عشري. يحتوي الكسر العشري ، الذي يتم الحصول عليه من انعكاس جزء عادي ، على العديد من المنازل العشرية مثل عدد مرات مقام الكسر العادي بعد تصغيره الذي يتضمن عاملًا سائدًا عدديًا 2 أو 5.

إذا أخذنا كسرًا 9/40 ، إذن ، أولاً ، سيتحول إلى رقم عشري ، لأن مقامه يتضمن العوامل 2 2 2 5 ، وثانيًا ، سيتكون الكسر العشري الناتج من 3 منازل عشرية ، لأن العامل السائد عدديًا 2 يدخل التوسع ثلاث مرات. في الواقع:

الطريقة الثانية(بقسمة البسط على المقام).

فليكن مطلوبًا التحويل إلى كسر عشري 3/4. نعلم أن 3/4 هو خارج قسمة 3 مقسومًا على 4. ويمكننا إيجاد حاصل القسمة بقسمة 3 على 4. لنفعل هذا:

إذن 3/4 = 0.75.

مثال آخر: تحويل 5/8 إلى رقم عشري.

إذن 5/8 = 0.625.

لذلك ، لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يكفي قسمة بسط الكسر العادي على مقامه.

2. دعونا الآن ننظر في الحالة الثانية من الحالات المشار إليها في بداية الفقرة ، أي الحالة التي لا يمكن فيها تحويل الكسر العادي إلى عدد عشري دقيق.

لا يمكن أن يتحول الكسر العادي غير القابل للاختزال الذي يحتوي مقامه على أي عوامل أولية بخلاف 2 و 5 إلى عدد عشري. في الواقع ، على سبيل المثال ، لا يمكن أن يكون الكسر 8/15 عشريًا ، حيث يتحلل مقامه 15 إلى عاملين: 3 و 5.

لا يمكننا استبعاد الثلاثي من المقام ولا يمكننا اختيار مثل هذا العدد الصحيح الذي ، بعد ضرب المقام المحدد به ، سيتم التعبير عن المنتج كوحدة بأصفار.

في مثل هذه الحالات ، يمكن للمرء أن يتحدث فقط عن التحويل التقريبيالكسور العادية إلى الكسور العشرية.

كيف يتم ذلك؟ يتم ذلك عن طريق قسمة بسط الكسر العادي على المقام ، أي في هذه الحالة ، يتم استخدام الطريقة الثانية لتحويل الكسر العادي إلى كسر عشري. هذا يعني أن هذه الطريقة تستخدم لكل من الانعكاس الدقيق والتقريبي.

إذا تم تحويل الكسر العادي تمامًا إلى رقم عشري ، فسيتم الحصول على الكسر العشري الأخير من القسمة.

إذا لم يتحول الكسر العادي إلى رقم عشري دقيق ، فسيتم الحصول على كسر عشري لانهائي من القسمة.

نظرًا لأنه لا يمكننا إجراء عملية قسمة لا نهائية ، يجب علينا إيقاف القسمة عند منزلة عشرية ، أي إجراء قسمة تقريبية. يمكننا ، على سبيل المثال ، إيقاف القسمة عند أول منزلة عشرية ، أي أن نقتصر على أجزاء من عشرة ؛ إذا لزم الأمر ، يمكننا التوقف عند العلامة العشرية الثانية ، والحصول على أجزاء من المئات ، إلخ. في هذه الحالات ، نقول إننا نقرب كسرًا عشريًا لا نهائيًا. يتم التقريب بالدقة اللازمة لحل هذه المشكلة.

115. مفهوم الكسر الدوري.

الكسر العشري اللانهائي الذي يتكرر فيه رقم واحد أو أكثر بشكل ثابت في نفس التسلسل يسمى كسر عشري دوري. فمثلا:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

يتم استدعاء مجموعة من الأرقام المتكررة فترةهذا الكسر. فترة الكسر الأول المكتوب أعلاه هي 3 ، وفترة الكسر الثاني هي 12 ، وفترة الكسر الثالث هي 234. وهذا يعني أن الفترة يمكن أن تتكون من عدة أرقام - واحد ، اثنان ، ثلاثة ، إلخ. المجموعة الأولى من الأرقام المكررة تسمى الفترة الأولى ، والثانية الكلية - الفترة الثانية ، وما إلى ذلك ، أي

الكسور الدورية نقية ومختلطة. يسمى الكسر الدوري نقيًا إذا بدأت دورته مباشرة بعد العلامة العشرية. هذا يعني أن الكسور الدورية المكتوبة أعلاه ستكون نقية. على العكس من ذلك ، يسمى الكسر الدوري مختلطًا إذا كان يحتوي على واحد أو أكثر من الأرقام غير المكررة بين الفاصلة العشرية والنقطة الأولى ، على سبيل المثال:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

لتقصير الحرف ، يمكنك كتابة أرقام النقطة مرة واحدة بين قوسين ولا تضع علامة حذف بعد الأقواس ، أي بدلاً من 0.33 ... يمكنك كتابة 0 ، (3) ؛ بدلاً من 2.515151 ... يمكنك كتابة 2 ، (51) ؛ بدلاً من 0.2333 ... يمكنك كتابة 0.2 (3) ؛ بدلا من 0.8333 ... يمكنك كتابة 0.8 (3).

تتم قراءة الكسور الدورية على النحو التالي:

0 ، (3) - 0 أعداد صحيحة ، 3 في الفترة.

7،2 (3) - 7 أعداد صحيحة ، 2 قبل الفترة ، 3 في الفترة.

5.00 (17) - 5 أعداد صحيحة ، صفرين قبل الفترة ، 17 في الفترة.

كيف تنشأ الكسور الدورية؟ لقد رأينا بالفعل أنه عند تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، يمكن أن يكون هناك حالتان.

أولاً، لا يحتوي مقام الكسر العادي غير القابل للاختزال على أي عوامل أخرى باستثناء 2 و 5 ؛ في هذه الحالة ، يتحول الكسر العادي إلى عدد عشري نهائي.

ثانيًا،يحتوي مقام الكسر العادي غير القابل للاختزال على أي عوامل بسيطة بخلاف 2 و 5 ؛ في هذه الحالة ، لا يتحول الكسر العادي إلى رقم عشري نهائي. في هذه الحالة الأخيرة ، عندما تحاول تحويل كسر عادي إلى كسر عشري بقسمة البسط على المقام ، تحصل على كسر لا نهائي ، والذي سيكون دائمًا دوريًا.

لرؤية هذا ، دعنا نلقي نظرة على مثال. دعنا نحاول تحويل الكسر - 18/7 إلى عدد عشري.

بالطبع ، نعلم مسبقًا أن كسرًا بهذا المقام لا يمكن أن يتحول إلى عدد عشري محدد ، ونحن نتحدث فقط عن تحويل تقريبي. قسّم البسط 18 على المقام 7.

حصلنا على ثمانية منازل عشرية في حاصل القسمة. لا داعي لمواصلة الانقسام ، لأنه لن ينتهي بأي حال. ولكن من الواضح أن القسمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى ، وبالتالي ، يمكن الحصول على أرقام جديدة في حاصل القسمة. ستظهر هذه الأرقام الجديدة لأننا سنستمر في الحصول على بقايا الطعام طوال الوقت ؛ لكن لا يمكن أن يكون الباقي أكبر من المقسوم عليه ، والذي لدينا هو 7.

دعونا نرى أي نوع من بقايا الطعام لدينا: 4 ؛ 5 ؛ واحد؛ 3 ؛ 2 ؛ ب ، أي ، كانت هذه أرقامًا أقل من 7. من الواضح أنه لا يمكن أن يكون هناك أكثر من ستة منهم ، ومع استمرار القسمة ، يجب تكرارها ، وبعدها سيتم تكرار أرقام حاصل القسمة. يؤكد المثال أعلاه هذه الفكرة: تذهب الخانات العشرية على انفراد بهذا الترتيب: 571428 ، وبعد ذلك ظهرت الأرقام 57 مرة أخرى ، وبذلك نكون قد أنهينا الفترة الأولى وتبدأ الثانية.

في هذا الطريق، سيكون الرقم العشري اللانهائي الناتج عن قلب الكسر المشترك دوريًا دائمًا.

إذا حدث كسر دوري عند حل مشكلة ما ، فسيتم أخذها بالدقة التي تتطلبها حالة المشكلة (حتى عُشر ، وما يصل إلى مائة ، وما يصل إلى ألف ، وما إلى ذلك).

§ 116 عمليات مشتركة مع الكسور العادية والعشرية.

عند حل المشكلات المختلفة ، سنلتقي بمثل هذه الحالات عندما تتضمن المشكلة كلاً من الكسور العادية والعشرية.

في هذه الحالات ، يمكنك الذهاب بطرق مختلفة.

1. حول كل الكسور إلى كسور عشرية.هذا مناسب لأن الحسابات ذات الكسور العشرية أسهل من الحسابات العادية. فمثلا،

حوّل الكسور 3/4 و 1 1/5 إلى كسور عشرية:

2. حول كل الكسور إلى كسور مشتركة.يتم ذلك غالبًا في الحالات التي توجد فيها كسور عادية لا تتحول إلى كسور عشرية نهائية.

فمثلا،

تحويل الكسور العشرية إلى كسور مشتركة:

3. يتم تنفيذ العمليات الحسابية دون تحويل بعض الكسور إلى أخرى.

هذا مفيد بشكل خاص عندما يتضمن المثال الضرب والقسمة فقط. فمثلا،

دعنا نعيد كتابة المثال مثل هذا:

4. في بعض الحالات تحويل جميع الكسور الشائعة إلى كسور عشرية(حتى تلك التي تصبح دورية) وتجد نتيجة تقريبية. فمثلا،

لنحول 2/3 إلى كسر عشري ، مقتصر على جزء من الألف.

الكسر الدوري

كسر عشري لانهائي حيث ، بدءًا من مكان معين ، لا يوجد سوى مجموعة معينة من الأرقام المتكررة بشكل دوري. على سبيل المثال ، 1.3181818 ... ؛ باختصار ، هذا الكسر مكتوب على النحو التالي: 1.3 (18) ، أي أنهم وضعوا النقطة بين قوسين (ويقولون: "18 في الفترة"). يسمى P.D. نقي إذا بدأت الفترة مباشرة بعد الفاصلة العشرية ، على سبيل المثال 2 (71) = 2.7171 ... ، ومختلطة إذا كانت هناك أرقام بعد الفاصلة العشرية التي تسبق الفترة ، على سبيل المثال 1.3 (18). يرجع دور P. d في الحساب إلى حقيقة أنه عند تمثيل الأعداد المنطقية ، أي الكسور العادية (البسيطة) بواسطة الكسور العشرية ، يتم دائمًا الحصول على الكسور المنتهية أو الدورية. بتعبير أدق: يتم الحصول على الكسر العشري النهائي عندما لا يحتوي مقام كسر بسيط غير قابل للاختزال على عوامل أولية أخرى باستثناء 2 و 5 ؛ في جميع الحالات الأخرى ، يحصل المرء على P.D. ، وعلاوة على ذلك ، نقي ، إذا كان مقام الكسر غير القابل للاختزال المعين لا يحتوي على العوامل 2 و 5 على الإطلاق ، ومختلط ، إذا كان أحد هذه العوامل على الأقل واردًا في المقام . يمكن تحويل أي P. d إلى كسر بسيط (أي أنه يساوي عددًا منطقيًا). النقي P. d. يساوي كسرًا بسيطًا ، بسطه هو الفترة ، والمقام يمثله الرقم 9 ، مكتوبًا بعدد مرات عدد الأرقام في الفترة ؛ عند التحويل إلى كسر بسيط من P. d. ، فإن البسط هو الفرق بين الرقم الذي تمثله الأرقام التي تسبق الفترة الثانية والرقم الذي تمثله الأرقام التي تسبق الفترة الأولى ؛ لتجميع المقام ، تحتاج إلى كتابة الرقم 9 عدة مرات مثل عدد الأرقام في الفترة ، وتخصيص العديد من الأصفار إلى اليمين حيث توجد أرقام قبل الفترة. تفترض هذه القواعد أن P. d. صحيح ، أي أنه لا يحتوي على وحدات عدد صحيح ؛ خلاف ذلك ، يتم أخذ الجزء الصحيح في الاعتبار بشكل منفصل.

هناك أيضًا قواعد معروفة لتحديد طول فترة P.D. المقابلة لكسر عادي معين. على سبيل المثال ، لكسر أ / ص، أين ص -عدد أولي و 1 أ ≤ ص- 1 ، طول الفترة هو القاسم ص - 1. لذلك ، للحصول على تقديرات تقريبية لرقم (انظر Pi) 22/7 و 355/113 الفترة هي 6 و 112 على التوالي.

الموسوعة السوفيتية العظمى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

المرادفات:

شاهد ما هو "الكسر الدوري" في القواميس الأخرى:

كسر عشري لانهائي يتم فيه تكرار مجموعة معينة من الأرقام (فترة) بشكل دوري ، بدءًا من مكان معين ، على سبيل المثال. 0.373737 ... كسر دوري نقي أو 0.253737 ... جزء دوري مختلط ... قاموس موسوعي كبير

الكسر ، الكسر اللانهائي قاموس المرادفات الروسية. جزء دوري ، عدد المرادفات: 2 جزء لانهائي (2) ... قاموس مرادف

عشري يتكرر عدد أرقامه بنفس الترتيب. على سبيل المثال ، 0.135135135 ... هو p.p. الذي مدته 135 والذي يساوي الكسر البسيط 135/999 = 5/37. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. بافلينكوف ف ... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

الكسر العشري هو كسر مقامه 10n ، حيث n هو عدد طبيعي. لها تدوين خاص: الجزء الصحيح في نظام الأرقام العشري ، ثم الفاصلة ثم الجزء الكسري في نظام الأرقام العشري ، وعدد أرقام الجزء الكسري ... ويكيبيديا

كسر عشري لانهائي يتم فيه ، بدءًا من مكان معين ، تكرار مجموعة معينة من الأرقام (فترة) بشكل دوري ؛ على سبيل المثال ، 0.373737 ... كسر دوري خالص ، أو 0.253737 ... جزء دوري مختلط. * * * دورية…… قاموس موسوعي

كسر عشري لانهائي ، حيث يبدأ التعريف من مكان معين بشكل دوري. مجموعة الأرقام (فترة) ؛ على سبيل المثال 0.373737 ... نقي P.d. أو 0.253737 ... مختلط P.d ... علم الطبيعة. قاموس موسوعي

انظر الجزء ... قاموس المرادفات الروسية والعبارات المتشابهة في المعنى. تحت. إد. ن. أبراموفا ، م: قواميس روسية ، 1999. كسر ، شيء صغير ، جزء ؛ دونست ، كرة ، وجبة ، رصاصة ؛ الرقم الكسري قاموس المرادفات الروسية ... قاموس مرادف

عشري دوري- - [L.G. Sumenko. القاموس الإنجليزي الروسي لتكنولوجيا المعلومات. M: GP TsNIIS، 2003.] موضوعات تقنية المعلومات بشكل عام EN تعميم نظام عشري متكرر عشري عشري عشري دوري عشري ... دليل المترجم الفني

إذا كان بعض الأعداد الصحيحة a قابلة للقسمة على عدد صحيح آخر b ، أي أن الرقم x مطلوب للقسمة على الشرط bx = a ، فقد تظهر حالتان: إما في سلسلة الأعداد الصحيحة يوجد رقم x يلبي هذا الشرط ، أو أنه اتضح أن ... القاموس الموسوعي F.A. Brockhaus و I.A. إيفرون

كسر مقامه عدد صحيح من الأس 10. D.d. مكتوب بدون مقام ، ويفصل بين العديد من الأرقام في البسط على اليمين مثل الفاصلة حيث يوجد أصفار في المقام. على سبيل المثال ، في مثل هذا السجل ، الجزء الموجود على اليسار ... ... الموسوعة السوفيتية العظمى

بالفعل في المدرسة الابتدائية ، يواجه الطلاب الكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. من المستحيل نسيان الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك ، تحتاج إلى معرفة جميع المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم بسيطة ، الشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.

لماذا نحتاج الكسور؟

يتكون العالم من حولنا من كائنات كاملة. لذلك ، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليومية تدفع الناس باستمرار للعمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.

على سبيل المثال ، تتكون الشوكولاتة من عدة شرائح. ضع في اعتبارك الموقف الذي يتكون فيه البلاط الخاص به من اثني عشر مستطيلاً. إذا قسمته إلى قسمين ، تحصل على 6 أجزاء. سيتم تقسيمها جيدًا إلى ثلاثة. لكن الخمسة لن يكونوا قادرين على إعطاء عدد كامل من شرائح الشوكولاتة.

بالمناسبة ، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمهم الإضافي إلى ظهور أعداد أكثر تعقيدًا.

ما هو "الكسر"؟

هذا رقم يتكون من أجزاء من واحد. ظاهريًا ، يبدو وكأنه رقمان مفصول بينهما أفقيًا أو شرطة مائلة. تسمى هذه الميزة كسري. الرقم المكتوب في الأعلى (على اليسار) يسمى البسط. واحد في الأسفل (على اليمين) هو المقام.

في الواقع ، تبين أن الشريط الكسري هو علامة قسمة. أي أنه يمكن تسمية البسط بالمقسوم ، ويمكن تسمية المقام بالمقسوم عليه.

ما هي الكسور؟

في الرياضيات ، هناك نوعان فقط منهم: الكسور العادية والعشرية. يتعرف تلاميذ المدارس على الطلاب الأوائل في الصفوف الابتدائية ، ويطلقون عليهم ببساطة "الكسور". الثاني يتعلم في الصف الخامس. هذا عندما تظهر هذه الأسماء.

الكسور الشائعة هي كل تلك المكتوبة كرقمين مفصولين بشريط. على سبيل المثال ، 4/7. العشري هو رقم يحتوي فيه الجزء الكسري على تدوين موضعي ويتم فصله عن العدد الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال ، 4.7. يجب أن يكون الطلاب واضحين في أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.

يمكن كتابة كل كسر بسيط في صورة عدد عشري. هذه العبارة صحيحة دائمًا في الاتجاه المعاكس أيضًا. هناك قواعد تسمح لك بكتابة كسر عشري على هيئة كسر عادي.

ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟

من الأفضل البدء بترتيب زمني ، حيث يتم دراستها. الكسور المشتركة تأتي أولاً. من بينها ، يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.

صحيح. البسط دائمًا أقل من المقام.

خاطئ - ظلم - يظلم. بسطه أكبر من أو يساوي المقام.

قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. هناك شيء آخر مهم ، وهو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك ، فمن المفترض أن يقسموا كلا الجزأين من الكسر ، أي لتقليله.

مختلط. يتم تعيين عدد صحيح إلى الجزء الكسري الصحيح (غير صحيح) المعتاد. وهي دائما تقف على اليسار.

مركب. يتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاث سمات كسرية في آنٍ واحد.

تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:

أخيرًا ، أي الجزء الذي يكون فيه الجزء الكسري محدودًا (له نهاية) ؛

لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد الفاصلة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).

كيفية تحويل عشري إلى عادي؟

إذا كان هذا رقمًا محدودًا ، فسيتم تطبيق ارتباط قائم على القاعدة - كما أسمع ، لذلك أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وتدوينها ، ولكن بدون فاصلة ، ولكن بخط كسور.

كتلميح حول المقام المطلوب ، تذكر أنه دائمًا واحد وبضعة أصفار. يجب كتابة الأخير بقدر الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم المعني.

كيف يتم تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كان الجزء كله مفقودًا ، أي يساوي صفرًا؟ على سبيل المثال ، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة ، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة صفر أعداد صحيحة. لكن لم يتم الإشارة إليه. يبقى لكتابة الأجزاء الكسرية فقط. بالنسبة للرقم الأول ، سيكون المقام 10 ، وللثاني - 100. أي أن الأمثلة المشار إليها سيكون لها أرقام كإجابات: 9/10 ، 5/100. علاوة على ذلك ، فقد تبين أن الأخير يمكن تقليله بمقدار 5. لذلك ، يجب كتابة النتيجة 1/20.

كيف تصنع كسرًا عاديًا من عدد عشري إذا كان الجزء الصحيح مختلفًا عن الصفر؟ على سبيل المثال ، 5.23 أو 13.00108. كلا المثالين يقرأان الجزء الصحيح ويكتبان قيمته. في الحالة الأولى ، هذا هو 5 ، في الحالة الثانية ، 13. ثم عليك الانتقال إلى الجزء الكسري. معهم من الضروري إجراء نفس العملية. الرقم الأول 23/100 ، والثاني 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الإجابة هي كسور مختلطة: 5 23/100 و 13 27/25000.

كيفية تحويل عدد لا نهائي من الكسر العشري إلى كسر مشترك؟

إذا كانت غير دورية ، فلا يمكن تنفيذ مثل هذه العملية. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يتم تحويله دائمًا إلى نهائي أو دوري.

الشيء الوحيد المسموح به مع مثل هذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك ستكون العلامة العشرية مساوية تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل أن تتحول إلى واحدة عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى عشري - لن تعطي القيمة الأولية أبدًا. أي أن الكسور اللانهائية غير الدورية لا تُترجم إلى كسور عادية. يجب أن نتذكر هذا.

كيف تكتب كسر دوري لانهائي في شكل عادي؟

في هذه الأرقام ، يظهر رقم واحد أو أكثر دائمًا بعد الفاصلة العشرية ، والتي تتكرر. يطلق عليهم فترات. على سبيل المثال ، 0.3 (3). هنا "3" في تلك الفترة. يتم تصنيفها على أنها منطقية ، حيث يمكن تحويلها إلى كسور عادية.

أولئك الذين واجهوا كسورًا دورية يعرفون أنه يمكن أن يكونوا نقيًا أو مختلطًا. في الحالة الأولى ، تبدأ الفترة على الفور من الفاصلة. في الجزء الثاني ، يبدأ الجزء الكسري بأي أرقام ، ثم يبدأ التكرار.

القاعدة التي يجب أن تكتب بها عددًا عشريًا لا نهائيًا في شكل كسر عادي ستكون مختلفة لهذين النوعين من الأرقام. من السهل جدًا كتابة كسور دورية صافية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأخيرة ، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط ، وسيكون الرقم 9 هو المقام ، مع تكرار عدد المرات التي توجد فيها أرقام في الفترة.

على سبيل المثال ، 0 ، (5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح ، لذلك عليك المتابعة فورًا إلى الجزء الكسري. اكتب 5 في البسط واكتب 9 في المقام ، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.

قاعدة حول كيفية كتابة كسر عشري مشترك يكون كسرًا مختلطًا.

انظر إلى طول الفترة. 9 سيكون له المقام.

اكتب المقام: أول تسعة ، ثم أصفار.

لتحديد البسط ، عليك كتابة الفرق بين عددين. سيتم تقليل جميع الأرقام بعد الفاصلة العشرية جنبًا إلى جنب مع الفترة. قابل للطرح - بدون فترة.

على سبيل المثال ، 0.5 (8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر مشترك. الجزء الكسري قبل الفترة هو رقم واحد. لذا فإن الصفر سيكون واحدًا. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي تسعة واحد فقط. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.

لتحديد البسط من 58 ، تحتاج إلى طرح 5. اتضح أن 53. على سبيل المثال ، سيكون عليك كتابة 53/90 كإجابة.

كيف يتم تحويل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية؟

أبسط خيار هو رقم مقامه العدد 10 و 100 وهكذا. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة ، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والأجزاء الصحيحة.

هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10 ، 100 ، إلخ. على سبيل المثال ، الأرقام 5 ، 20 ، 25. يكفي ضربهم في 2 و 5 و 4 على التوالي. فقط من الضروري الضرب ليس فقط في المقام ، ولكن أيضًا في البسط بنفس الرقم.

بالنسبة لجميع الحالات الأخرى ، ستكون قاعدة بسيطة مفيدة: اقسم البسط على المقام. في هذه الحالة ، قد تحصل على إجابتين: كسر عشري نهائي أو دوري.

العمليات مع الكسور المشتركة

جمع وطرح

يتعرف الطلاب عليهم في وقت أبكر من غيرهم. في البداية ، يكون للكسرين نفس المقامات ، ثم يختلفان. يمكن اختزال القواعد العامة لمثل هذه الخطة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام.

اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.

اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لهما.

اجمع (اطرح) بسط الكسور واترك المقام المشترك دون تغيير.

إذا كان بسط المطروح أقل من المطروح ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أو كسر مناسب.

في الحالة الأولى ، يجب أن يأخذ الجزء الصحيح واحدًا. أضف مقامًا إلى بسط الكسر. ثم قم بعملية الطرح.

في الثانية - من الضروري تطبيق قاعدة الطرح من عدد أصغر إلى رقم أكبر. أي ، اطرح مقياس الحد الأدنى من مقياس المطروح ، وضع علامة "-" استجابةً لذلك.

انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي ، فمن المفترض أن تحدد الجزء بالكامل. أي اقسم البسط على المقام.

الضرب والقسمة

لتنفيذها ، لا يلزم اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. هذا يجعل من السهل اتخاذ الإجراءات. لكن لا يزال يتعين عليهم اتباع القواعد.

عند ضرب الكسور العادية ، من الضروري مراعاة الأرقام الموجودة في البسط والمقام. إذا كان لأي بسط ومقام عامل مشترك ، فيمكن اختزالهما.

اضرب البسط.

اضرب القواسم.

إذا حصلت على كسر قابل للاختزال ، فمن المفترض أن يتم تبسيطه مرة أخرى.

عند القسمة ، يجب أولاً استبدال القسمة بالضرب والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالمقلوب (بدل البسط والمقام).

ثم تابع الضرب (بدءًا من النقطة 1).

في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح ، من المفترض أن تتم كتابة الأخير ككسر غير لائق. هذا هو ، مع المقام 1. ثم تابع كما هو موضح أعلاه.



العمليات ذات الكسور العشرية

جمع وطرح

بالطبع ، يمكنك دائمًا تحويل الكسر العشري إلى كسر مشترك. والتصرف وفقًا للخطة التي سبق وصفها. لكن في بعض الأحيان يكون من الأنسب العمل بدون هذه الترجمة. ثم ستكون قواعد الجمع والطرح هي نفسها تمامًا.

معادلة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم ، أي بعد الفاصلة العشرية. قم بتعيين العدد المفقود من الأصفار فيه.

اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.

أضف (اطرح) مثل الأعداد الطبيعية.

قم بإزالة الفاصلة.

الضرب والقسمة

من المهم ألا تحتاج إلى إلحاق أصفار هنا. من المفترض ترك الكسور كما وردت في المثال. ثم اذهب وفقا للخطة.

في عملية الضرب ، تحتاج إلى كتابة كسور واحدة تحت الأخرى ، دون الانتباه إلى الفواصل.

اضرب مثل الأعداد الطبيعية.

ضع فاصلة في الإجابة ، مع العد من النهاية اليمنى للإجابة عدد الأرقام كما هو الحال في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.

للقسمة ، عليك أولاً تحويل المقسوم عليه: اجعله رقمًا طبيعيًا. أي اضربها في 10 ، 100 ، إلخ ، اعتمادًا على عدد الأرقام في الجزء الكسري من المقسوم عليه.

اضرب المقسوم في نفس الرقم.

اقسم عددًا عشريًا على رقم طبيعي.

ضع فاصلة في الإجابة في اللحظة التي ينتهي فيها تقسيم الجزء كله.



ماذا لو كان هناك كلا النوعين من الكسور في مثال واحد؟

نعم ، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. هناك نوعان من الحلول الممكنة لهذه المشاكل. تحتاج إلى وزن الأرقام بموضوعية واختيار أفضلها.

الطريقة الأولى: تمثيل الكسور العشرية العادية

يكون مناسبًا إذا تم الحصول على الكسور النهائية عند القسمة أو التحويل. إذا أعطى رقم واحد على الأقل جزءًا دوريًا ، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك ، حتى إذا كنت لا تحب العمل مع الكسور العادية ، فسيتعين عليك حسابها.

الطريقة الثانية: اكتب الكسور العشرية على أنها عادية

هذه التقنية مناسبة إذا كان هناك 1-2 رقم في الجزء الذي يلي الفاصلة العشرية. إذا كان هناك المزيد منها ، فيمكن أن يظهر كسر عادي كبير جدًا وستسمح لك الإدخالات العشرية بحساب المهمة بشكل أسرع وأسهل. لذلك ، من الضروري دائمًا إجراء تقييم رصين للمهمة واختيار أبسط طريقة للحل.

في هذه المقالة ، سوف نحلل كيف تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية، والنظر أيضًا في العملية العكسية - تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية. سنقوم هنا بالتعبير عن القواعد لعكس الكسور وإعطاء حلول مفصلة لأمثلة نموذجية.

التنقل في الصفحة.

تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية

دعونا نشير إلى التسلسل الذي سنتعامل معه تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية.

أولاً ، سننظر في كيفية تمثيل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ككسور عشرية. هذا لأن الكسور العشرية هي أساسًا شكل مضغوط من الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ...

بعد ذلك ، سوف نذهب إلى أبعد من ذلك ونبين كيف يمكن كتابة أي كسر عادي (ليس فقط مع القواسم 10 ، 100 ، ...) ككسر عشري. مع هذا التحويل للكسور العادية ، يتم الحصول على كل من الكسور العشرية المحدودة والكسور العشرية الدورية اللانهائية.

الآن عن كل شيء بالترتيب.

تحويل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية

تحتاج بعض الكسور العادية إلى "إعداد أولي" قبل التحويل إلى كسور عشرية. ينطبق هذا على الكسور العادية ، حيث يكون عدد الأرقام في البسط أقل من عدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، يجب تحضير الكسر الشائع 2/100 أولاً للتحويل إلى كسر عشري ، ولكن لا يلزم تحضير الكسر 9/10.

يتكون "الإعداد الأولي" للكسور العادية الصحيحة للتحويل إلى كسور عشرية من إضافة العديد من الأصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح العدد الإجمالي للأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، سيبدو الكسر بعد إضافة الأصفار.

بعد تحضير الكسر العادي الصحيح ، يمكنك البدء في تحويله إلى كسر عشري.

هيا نعطي قاعدة لتحويل كسر مشترك سليم مقامه 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسر عشري. يتكون من ثلاث خطوات:

• اكتب 0 ؛
• ضع علامة عشرية بعدها ؛
• اكتب الرقم من البسط (مع الأصفار المضافة ، إذا أضفناها).

ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة في حل الأمثلة.

مثال.

حوّل الكسر الصحيح 37/100 إلى عدد عشري.

المحلول.

المقام يحتوي على الرقم 100 ، الذي يحتوي على صفرين في مدخله. يحتوي البسط على الرقم 37 ، وهناك رقمان في سجله ، لذلك لا يحتاج هذا الكسر إلى التحضير للتحويل إلى كسر عشري.

نكتب الآن 0 ، ونضع علامة عشرية ، ونكتب الرقم 37 من البسط ، بينما نحصل على الكسر العشري 0.37.

إجابه:

0,37 .

لتعزيز مهارات ترجمة الكسور العادية العادية مع البسط 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية ، سنحلل حل مثال آخر.

مثال.

اكتب الكسر الصحيح 107 / 10،000،000 في صورة عدد عشري.

المحلول.

عدد الأرقام في البسط هو 3 ، وعدد الأصفار في المقام هو 7 ، لذلك يجب تحضير هذا الكسر العادي للتحويل إلى رقم عشري. نحتاج إلى إضافة 7-3 = 4 أصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح إجمالي عدد الأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. نحن نحصل .

يبقى لتشكيل الكسر العشري المطلوب. للقيام بذلك ، أولاً ، نكتب 0 ، ثانيًا ، نضع فاصلة ، ثالثًا ، نكتب الرقم من البسط مع الأصفار 0000107 ، ونتيجة لذلك لدينا كسر عشري 0.0000107.

إجابه:

0,0000107 .

لا تحتاج الكسور الشائعة غير الصحيحة إلى تحضير عند التحويل إلى كسور عشرية. يجب الالتزام بما يلي قواعد تحويل الكسور الشائعة غير الصحيحة ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية:

• اكتب الرقم من البسط ؛
• نفصل بفاصلة عشرية عددًا من الأرقام على اليمين حيث يوجد أصفار في مقام الكسر الأصلي.

دعنا نحلل تطبيق هذه القاعدة عند حل مثال.

مثال.

تحويل الكسر المشترك غير الفعلي 56888038009/100000 إلى عدد عشري.

المحلول.

أولاً ، نكتب الرقم من البسط 56888038009 ، وثانيًا ، نفصل 5 أرقام على اليمين بفاصلة عشرية ، نظرًا لوجود 5 أصفار في مقام الكسر الأصلي. نتيجة لذلك ، لدينا كسر عشري 568 880.38009.

إجابه:

568 880,38009 .

لتحويل رقم كسري إلى كسر عشري ، يكون مقام الجزء الكسري هو الرقم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... ، يمكنك تحويل الرقم الكسري إلى كسر عادي غير فعلي ، وبعد ذلك يكون الكسر الناتج يمكن تحويلها إلى كسر عشري. ولكن يمكنك أيضًا استخدام ما يلي قاعدة تحويل الأعداد الكسرية ذات مقام الجزء الكسري 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسور عشرية:

• إذا لزم الأمر ، فإننا نجري "الإعداد الأولي" للجزء الكسري من العدد الكسري الأصلي عن طريق إضافة العدد المطلوب من الأصفار على اليسار في البسط ؛
• اكتب الجزء الصحيح من العدد الكسري الأصلي ؛
• ضع علامة عشرية
• نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة.

دعنا نفكر في مثال ، في الحل الذي سنفعل فيه جميع الخطوات اللازمة لتمثيل رقم كسري في صورة كسر عشري.

مثال.

تحويل عدد كسري إلى عدد عشري.

المحلول.

يوجد 4 أصفار في مقام الجزء الكسري ، والرقم 17 في البسط ، ويتكون من رقمين ، لذلك نحتاج إلى إضافة صفرين إلى اليسار في البسط بحيث يصبح عدد الأحرف هناك مساويًا لـ عدد الأصفار في المقام. بعمل هذا ، سيكون البسط هو 0017.

نكتب الآن الجزء الصحيح من الرقم الأصلي ، أي الرقم 23 ، ونضع علامة عشرية ، وبعد ذلك نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة ، أي 0017 ، بينما نحصل على الرقم العشري المطلوب كسر 23.0017.

دعنا نكتب الحل الكامل باختصار: .

مما لا شك فيه أنه كان من الممكن أولاً تمثيل الرقم الكسري ككسر غير فعلي ، ثم تحويله إلى كسر عشري. مع هذا النهج ، يبدو الحل كما يلي:

إجابه:

23,0017 .

تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية دورية محدودة ولانهائية

ليس فقط الكسور العادية ذات القواسم 10 ، 100 ، ... يمكن تحويلها إلى كسر عشري ، ولكن الكسور العادية ذات القواسم الأخرى. الآن سنكتشف كيف يتم ذلك.

في بعض الحالات ، يتم اختزال الكسر العادي الأصلي بسهولة إلى أحد القواسم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... (انظر اختزال الكسر العادي إلى مقام جديد) ، وبعد ذلك ليس من الصعب تقديم الناتج ككسر عشري. على سبيل المثال ، من الواضح أن الكسر 2/5 يمكن اختزاله إلى كسر مقامه 10 ، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في 2 ، وهو ما سيعطي كسرًا 4/10 ، والذي وفقًا لـ القواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة ، يمكن تحويلها بسهولة إلى كسر عشري 0 ، أربعة.

في حالات أخرى ، عليك استخدام طريقة مختلفة لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، وهو ما سننظر فيه الآن.

لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يتم تقسيم بسط الكسر على المقام ، ويتم استبدال البسط مسبقًا بكسر عشري متساوٍ مع أي عدد من الأصفار بعد الفاصلة العشرية (تحدثنا عن هذا في القسم يساوي و الكسور العشرية غير المتساوية). في هذه الحالة ، يتم إجراء القسمة بنفس طريقة القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، ويتم وضع الفاصلة العشرية في حاصل القسمة عندما ينتهي تقسيم الجزء الصحيح من المقسوم. كل هذا سيتضح من حلول الأمثلة الواردة أدناه.

مثال.

حوّل الكسر المشترك 621/4 إلى كسر عشري.

المحلول.

نمثل الرقم في البسط 621 في صورة كسر عشري بإضافة فاصلة عشرية وبضعة أصفار بعدها. بادئ ذي بدء ، سنضيف رقمين 0 ، لاحقًا ، إذا لزم الأمر ، يمكننا دائمًا إضافة المزيد من الأصفار. إذن ، لدينا 621.00.

الآن لنقسم الرقم 621000 على 4 على عمود. لا تختلف الخطوات الثلاث الأولى عن القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، وبعد ذلك نصل إلى الصورة التالية:

إذن ، وصلنا إلى النقطة العشرية في المقسوم ، والباقي يختلف عن الصفر. في هذه الحالة ، نضع علامة عشرية في حاصل القسمة ، ونواصل القسمة على عمود ، متجاهلين الفواصل:

اكتملت هذه القسمة ، ونتيجة لذلك حصلنا على الكسر العشري 155.25 والذي يتوافق مع الكسر العادي الأصلي.

إجابه:

155,25 .

لدمج المادة ، ضع في اعتبارك حل مثال آخر.

مثال.

حوّل الكسر المشترك 21/800 إلى عدد عشري.

المحلول.

لتحويل هذا الكسر المشترك إلى عدد عشري ، دعنا نقسم الكسر العشري 21000 ... على 800 على عمود. بعد الخطوة الأولى ، يجب أن نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ثم نواصل القسمة:

أخيرًا ، حصلنا على الباقي 0 ، وبذلك اكتمل تحويل الكسر العادي 21/400 إلى كسر عشري ، ووصلنا إلى الكسر العشري 0.02625.

إجابه:

0,02625 .

قد يحدث أنه عند قسمة البسط على مقام كسر عادي ، لا نحصل أبدًا على باقي 0. في هذه الحالات ، يمكن أن يستمر التقسيم طالما رغب في ذلك. ومع ذلك ، بدءًا من خطوة معينة ، تبدأ الباقي في التكرار بشكل دوري ، بينما تتكرر الأرقام الموجودة في حاصل القسمة أيضًا. هذا يعني أن الكسر الأصلي المشترك يُترجم إلى عدد عشري دوري لا نهائي. دعنا نظهر هذا بمثال.

مثال.

اكتب الكسر المشترك 19/44 في صورة عدد عشري.

المحلول.

لتحويل كسر عادي إلى رقم عشري ، نقوم بالقسمة على عمود:

من الواضح بالفعل أنه عند القسمة ، بدأ الباقيان 8 و 36 في التكرار ، بينما يتكرر الرقمان 1 و 8 في حاصل القسمة. وهكذا ، تمت ترجمة الكسر العادي الأصلي 19/44 إلى كسر عشري دوري 0.43181818 ... = 0.43 (18).

إجابه:

0,43(18) .

في ختام هذه الفقرة ، سنكتشف الكسور العادية التي يمكن تحويلها إلى كسور عشرية نهائية ، وأي منها يمكن تحويلها إلى كسور دورية فقط.

دعونا نحصل على كسر عادي غير قابل للاختزال أمامنا (إذا كان الكسر قابلاً للاختزال ، فسنقوم أولاً باختزال الكسر) ، ونحتاج إلى معرفة الكسر العشري الذي يمكن تحويله إليه - محدود أو دوري.

من الواضح أنه إذا كان من الممكن اختزال كسر عادي إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ، فيمكن تحويل الكسر الناتج بسهولة إلى كسر عشري نهائي وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة. لكن بالنسبة للمقام 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. لم يتم إعطاء جميع الكسور العادية. يمكن اختزال الكسور فقط إلى مثل هذه القواسم ، والتي تكون مقاماتها واحدة على الأقل من الأعداد 10 ، 100 ، ... وما هي الأرقام التي يمكن أن تكون قواسم على 10 ، 100 ، ...؟ ستسمح لنا الأرقام 10 ، 100 ، ... بالإجابة على هذا السؤال ، وهي كالتالي: 10 = 2 5 ، 100 = 2 2 5 5 ، 1000 = 2 2 2 5 5 5 ، .... ويترتب على ذلك أن القواسم على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. يمكن أن يكون هناك فقط أعداد تحتوي تحليلاتها إلى عوامل أولية على الأرقام 2 و (أو) 5 فقط.

يمكننا الآن التوصل إلى استنتاج عام حول تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية:

• إذا كان الرقمان 2 و (أو) 5 موجودين فقط في تحلل المقام إلى عوامل أولية ، فيمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري نهائي ؛
• إذا ، بالإضافة إلى اثنين وخمسة ، توجد أعداد أولية أخرى في توسيع المقام ، فسيتم ترجمة هذا الكسر إلى كسر دوري عشري لا نهائي.

مثال.

بدون تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، أخبرني أي الكسور 47/20 ، 7/12 ، 21/56 ، 31/17 يمكن تحويلها إلى كسر عشري نهائي ، والتي لا يمكن تحويلها إلا إلى كسر دوري.

المحلول.

التحليل الأولي لمقام الكسر 47/20 له الصيغة 20 = 2 2 5. لا يوجد سوى اثنين وخمسة في هذا التوسع ، لذلك يمكن اختزال هذا الكسر إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... (في هذا المثال ، إلى المقام 100) ، لذلك يمكن تحويله إلى نهائي كسر عشري.

التحليل الأولي لمقام الكسر 7/12 له الصيغة 12 = 2 2 3. نظرًا لأنه يحتوي على عامل بسيط 3 يختلف عن 2 و 5 ، لا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري دوري.

جزء 21/56 - قابل للتقلص ، بعد التخفيض يأخذ الشكل 3/8. يحتوي تحلل المقام إلى عوامل أولية على ثلاثة عوامل تساوي 2 ، لذلك يمكن ترجمة الكسر العادي 3/8 ، وبالتالي الكسر الذي يساوي 21/56 ، إلى كسر عشري نهائي.

أخيرًا ، توسيع مقام الكسر 31/17 هو نفسه 17 ، لذلك لا يمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر دوري لا نهائي.

إجابه:

يمكن تحويل 47/20 و 21/56 إلى رقم عشري نهائي ، بينما لا يمكن تحويل 7/12 و 31/17 إلا إلى رقم عشري دوري.

لا تتحول الكسور الشائعة إلى كسور عشرية غير متكررة لا نهائية

تثير المعلومات الواردة في الفقرة السابقة السؤال التالي: "هل يمكن الحصول على كسر غير دوري لانهائي عند قسمة بسط الكسر على المقام"؟

الجواب: لا. عند ترجمة كسر عادي ، يمكن الحصول على كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري لانهائي. دعونا نشرح سبب ذلك.

من نظرية القسمة مع الباقي ، من الواضح أن الباقي يكون دائمًا أقل من المقسوم عليه ، أي إذا قسمنا بعض الأعداد الصحيحة على عدد صحيح q ، فإن واحدًا فقط من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، ... ، q − 1 يمكن أن يكون الباقي. ويترتب على ذلك أنه بعد أن يقسم العمود الجزء الصحيح من بسط الكسر العادي على المقام q ، بعد ما لا يزيد عن q من الخطوات ، ستظهر إحدى الحالتين التاليتين:

• إما أن نحصل على الباقي 0 ، وهذا سينهي القسمة ، ونحصل على الكسر العشري الأخير ؛
• أو سنحصل على الباقي الذي ظهر بالفعل من قبل ، وبعد ذلك ستبدأ البقية في التكرار كما في المثال السابق (لأنه عند قسمة الأرقام المتساوية على q ، يتم الحصول على الباقي المتساوي ، والذي يتبع نظرية القسمة المذكورة بالفعل) ، لذلك سيتم الحصول على كسر عشري دوري لانهائي.

لا يمكن أن تكون هناك خيارات أخرى ، لذلك ، عند تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، لا يمكن الحصول على كسر عشري لا نهائي غير دوري.

ويترتب على ذلك أيضًا من المنطق المعطى في هذه الفقرة أن طول فترة الكسر العشري يكون دائمًا أقل من قيمة مقام الكسر العادي المقابل.

حول الكسور العشرية إلى كسور مشتركة

لنكتشف الآن كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر عادي. لنبدأ بتحويل الكسور العشرية الأخيرة إلى كسور مشتركة. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك طريقة عكس الكسور العشرية الدورية اللانهائية. في الختام ، دعنا نقول عن استحالة تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية إلى كسور عادية.

تحويل الكسور العشرية النهائية إلى كسور مشتركة

الحصول على كسر عادي مكتوب في صورة كسر عشري نهائي بسيط للغاية. قاعدة تحويل كسر عشري نهائي إلى كسر عادييتكون من ثلاث خطوات:

• أولاً ، اكتب الكسر العشري المعطى في البسط ، بعد تجاهل العلامة العشرية سابقًا وجميع الأصفار الموجودة على اليسار ، إن وجدت ؛
• ثانيًا ، اكتب واحدًا في المقام وأضف إليه عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام بعد الفاصلة العشرية في الكسر العشري الأصلي ؛
• ثالثًا ، إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الكسر الناتج.

دعونا ننظر في الأمثلة.

مثال.

حوّل العدد العشري 3.025 إلى كسر مشترك.

المحلول.

إذا أزلنا العلامة العشرية من الكسر العشري الأصلي ، فسنحصل على الرقم 3025. ليس به أصفار على اليسار يمكننا التخلص منها. إذن ، في بسط الكسر المطلوب نكتب 3025.

نكتب الرقم 1 في المقام ونضيف 3 أصفار إلى يمينه ، نظرًا لوجود 3 أرقام في الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية.

إذن ، حصلنا على كسر عادي 3025/1000. يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار 25 ، نحصل على ذلك .

إجابه:

.

مثال.

حوّل عشري 0.0017 إلى كسر عادي.

المحلول.

بدون علامة عشرية ، يبدو الكسر العشري الأصلي مثل 00017 ، وبغض النظر عن الأصفار الموجودة على اليسار ، نحصل على الرقم 17 ، وهو بسط الكسر العادي المطلوب.

نكتب في المقام وحدة بها أربعة أصفار ، حيث يوجد 4 أرقام في الكسر العشري الأصلي بعد العلامة العشرية.

نتيجة لذلك ، لدينا كسر عادي 17/10000. هذا الكسر غير قابل للاختزال ، وتم الانتهاء من تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي.

إجابه:

.

عندما يكون الجزء الصحيح من الكسر العشري النهائي الأصلي مختلفًا عن الصفر ، فيمكن تحويله على الفور إلى رقم مختلط ، متجاوزًا الكسر العادي. هيا نعطي قاعدة لتحويل عدد عشري نهائي إلى عدد كسري:

• يجب كتابة الرقم قبل العلامة العشرية كجزء صحيح من الرقم المختلط المطلوب ؛
• في بسط الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم الذي تم الحصول عليه من الجزء الكسري من الكسر العشري الأصلي بعد التخلص من جميع الأصفار الموجودة على اليسار فيه ؛
• في مقام الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم 1 ، والذي ، على اليمين ، أضف عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام في إدخال الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية ؛
• إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الجزء الكسري للعدد المختلط الناتج.

ضع في اعتبارك مثالاً لتحويل كسر عشري إلى رقم كسري.

مثال.

عبر عن العلامة العشرية 152.06005 كرقم كسري