القواعد هي نفس الدرجة لمعادلة. المعادلات الأسية وعدم المساواة
محاضرة: "طرق حل المعادلات الأسية".
1 . المعادلات الأسية.
المعادلات التي تحتوي على مجاهيل في الأس تسمى المعادلات الأسية. أبسطها هو المعادلة ax = b ، حيث a> 0 و a ≠ 1.
1) للحصول على ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) بالنسبة لـ b> 0 ، باستخدام رتابة الوظيفة ونظرية الجذر ، يكون للمعادلة جذر واحد. من أجل العثور عليه ، يجب تمثيل b على أنه b = aс ، ax = bс ó x = c أو x = logab.
تؤدي المعادلات الأسية من خلال التحويلات الجبرية إلى معادلات قياسية يتم حلها بالطرق التالية:
1) طريقة الاختزال إلى قاعدة واحدة ؛
2) طريقة التقييم.
3) طريقة الرسم.
4) طريقة إدخال المتغيرات الجديدة.
5) طريقة التحليل.
6) معادلات القوة الأسية ؛
7) أسي مع معلمة.
2 . طريقة الاختزال إلى أساس واحد.
تعتمد الطريقة على خاصية الدرجات التالية: إذا كانت درجتان متساويتان وقواعدهما متساوية ، فإن الأسس متساويان ، أي يجب محاولة اختزال المعادلة إلى النموذج
أمثلة. حل المعادلة:
1 . 3 س = 81 ؛
دعنا نمثل الجانب الأيمن من المعادلة بالصورة 81 = 34 ونكتب المعادلة المكافئة للقيمة الأصلية 3 × = 34 ؛ س = 4. الإجابة: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> وانتقل إلى معادلة الأس 3x + 1 = 3-5x ؛ 8x = 4 ؛ س = 0.5 الإجابة: 0.5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width =" 105 "height =" 47 ">
لاحظ أن الأرقام 0.2 و 0.04 و √5 و 25 هي قوى للرقم 5. لنستفيد من هذا ونحول المعادلة الأصلية على النحو التالي:
,
من أين 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 ، ومنه نجد الحل x = -1. الجواب: -1.
5. 3 س = 5. حسب تعريف اللوغاريتم ، س = لوغاريتم 35. الجواب: log35.
6. 62 س + 4 = 33 س. 2x + 8.
دعونا نعيد كتابة المعادلة على النحو التالي: 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8 ، أي .. png "width =" 181 "height =" 49 src = "> ومن ثم x - 4 = 0، x = 4. الإجابة: 4.
7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. باستخدام خصائص القوى ، نكتب المعادلة بالصيغة e. x + 1 = 2، x = 1. الجواب: 1.
بنك المهام رقم 1.
حل المعادلة:
رقم الاختبار 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3 ؛ 1 2) -3 ؛ -1 3) 0 ؛ 2 4) لا جذور |
1) 7 ؛ 1 2) بلا جذور 3) -7 ؛ 1 4) -1 ؛ -7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
أ 6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
اختبار رقم 2
أ 1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
أ 2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2؛ -1 2) بلا جذور 3) 0 4) -2؛ 1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 طريقة التقييم.
نظرية الجذر: إذا زادت الدالة f (x) (تنقص) في الفترة I ، فإن الرقم a هو أي قيمة مأخوذة بواسطة f في هذه الفترة الزمنية ، فإن المعادلة f (x) = a لها جذر واحد في الفترة I.
عند حل المعادلات بطريقة التقدير ، يتم استخدام هذه النظرية وخصائص رتابة الوظيفة.
أمثلة. حل المعادلات: 1. 4 س = 5 - س.
قرار. لنعد كتابة المعادلة كما يلي: 4x + x = 5.
1. إذا كانت x \ u003d 1 ، إذن 41 + 1 \ u003d 5 ، 5 \ u003d 5 صحيحة ، فإن 1 هو جذر المعادلة.
تتزايد الدالة f (x) = 4x على R و g (x) = x تتزايد على R => h (x) = f (x) + g (x) على R كمجموع وظائف متزايدة ، إذن ، x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة 4x = 5 - x. الجواب: 1.
2.
قرار. نعيد كتابة المعادلة بالصورة 
.
1. إذا كانت x = -1 ، إذن 
، 3 = 3-صحيح ، إذن x = -1 هو جذر المعادلة.
2. إثبات أنها فريدة من نوعها.
3. الدالة f (x) = - تنقص في R ، و g (x) = - x - تنقص في R => h (x) = f (x) + g (x) - تنقص في R ، كمجموع من الوظائف المتناقصة. إذن ، من خلال نظرية الجذر ، فإن x = -1 هو الجذر الوحيد للمعادلة. الجواب: -1.
بنك المهام رقم 2. حل المعادلة
أ) 4x + 1 = 6 - x ؛
ب) 
ج) 2 س - 2 = 1 - س ؛
4. طريقة إدخال متغيرات جديدة.
تم وصف الطريقة في القسم 2.1. عادة ما يتم إدخال متغير جديد (استبدال) بعد عمليات التحويل (التبسيط) لشروط المعادلة. ضع في اعتبارك الأمثلة.
أمثلة.
صأكل المعادلة: 1.
.
دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" width = "210" height = "45">
قرار. دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف: 
أشر إلى https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - غير مناسب.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> معادلة غير منطقية. لاحظ أن 
حل المعادلة هو x = 2.5 ≤ 4 ، لذا فإن 2.5 هو جذر المعادلة. الجواب: 2.5.
قرار. دعونا نعيد كتابة المعادلة بالصورة ونقسم كلا الطرفين على 56x + 6 ≠ 0. نحصل على المعادلة
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1 ، لذا .. png "width =" 118 "height =" 56 ">
جذور المعادلة التربيعية - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
قرار . نعيد كتابة المعادلة بالصورة
ولاحظ أنها معادلة متجانسة من الدرجة الثانية.
قسّم المعادلة على 42x ، نحصل على 
استبدل https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.
الجواب: 0؛ 0.5
بنك المهام # 3. حل المعادلة
ب) 
ز) 
اختبار # 3 مع اختيار الإجابات. المستوى الأدنى.
أ 1 | 1) -0.2 ؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0. | 1) 2 ؛ 1 2) -1 ؛ 0 3) بلا جذور 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) بلا جذور. 2) 2 ؛ 4 3) 3 4) -1 ؛ 2 |
اختبار رقم 4 مع اختيار الإجابات. مستوى عام.
أ 1 | 1) 2 ؛ 1 2) ½ ؛ 0 3) 2 ؛ 0 4) 0 |
А2 2x - (0.5) 2x - (0.5) x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) لا جذور |
5. طريقة التحليل إلى عوامل.
1. حل المعادلة: ٥ س + ١ - ٥ س - ١ = ٢٤.
الحل..png "العرض =" 169 "الارتفاع =" 69 "> ، من أين
2. 6 س + 6 س + 1 = 2 س + 2 س + 1 + 2 س + 2.
قرار. لنخرج 6x في الجانب الأيسر من المعادلة و 2 x في الجانب الأيمن. نحصل على المعادلة 6 س (1 + 6) = 2 س (1 + 2 + 4) ó 6 س = 2 س.
بما أن 2x> 0 لكل x ، يمكننا قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على 2x دون الخوف من فقدان الحلول. نحصل على 3 س = 1 س = 0.
3. 
قرار. نحل المعادلة بالتحليل.
نختار مربع ذات الحدين 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width =" 500 "height =" 181 ">
x = -2 هو جذر المعادلة.
المعادلة س + 1 = 0 "النمط =" تصغير الحدود: الانهيار ؛ الحد: لا شيء ">
أ 1 5 س -1 + 5 س -5 س + 1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
أ ٢ ٣ س + ١ + ٣ س ١ = ٢٧٠.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x + 1-108 = 0.x = 1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x = 4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
اختبار رقم 6 مستوى عام.
أ 1 (22 س -1) (24 س + 22 س + 1) = 7. | 1) ½ 2) 2 3) -1 ؛ 3 4) 0.2 |
أ 2 | 1) 2.5 2) 3 ؛ 4 3) سجل 43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. الأسي - معادلات القوة.
ترتبط المعادلات الأسية بما يسمى معادلات القوة الأسية ، أي المعادلات من النموذج (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).
إذا كان معروفًا أن f (x)> 0 و f (x) ≠ 1 ، فإن المعادلة ، مثل المعادلة الأسية ، يتم حلها عن طريق معادلة الأس g (x) = f (x).
إذا كان الشرط لا يستبعد إمكانية f (x) = 0 و f (x) = 1 ، فعلينا النظر في هاتين الحالتين عند حل معادلة القوة الأسية.
1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">
2. 
قرار. x2 + 2x-8 - منطقي لأي x ، لأن كثيرة الحدود ، لذا فإن المعادلة تكافئ المجموعة
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width =" 137 "height =" 35 ">
ب) 
7. المعادلات الأسية مع المعلمات.
1. ما هي قيم المعلمة p التي تحتوي المعادلة 4 (5 - 3) 2 + 4p2–3p = 0 (1) على حل فريد؟
قرار. دعونا نقدم التغيير 2x = t ، t> 0 ، ثم المعادلة (1) ستأخذ الشكل t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)
مميز المعادلة (2) هو D = (5p - 3) 2-4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.
المعادلة (1) لها حل فريد إذا كانت المعادلة (2) لها جذر موجب واحد. هذا ممكن في الحالات التالية.
1. إذا كانت D = 0 ، أي ، p = 1 ، فإن المعادلة (2) ستأخذ الصيغة t2 - 2t + 1 = 0 ، وبالتالي t = 1 ، لذلك ، فإن المعادلة (1) لها حل فريد x = 0.
2. إذا كان p1 ، ثم 9 (p - 1) 2> 0 ، فإن المعادلة (2) لها جذرين مختلفين t1 = p ، t2 = 4p - 3. مجموعة الأنظمة تفي بشرط المشكلة
لدينا استبدال t1 و t2 في الأنظمة
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
قرار. اسمحوا ان 
ثم المعادلة (3) ستأخذ الشكل t2 - 6t - a = 0. [4)
دعونا نجد قيم المعلمة a التي يلبي فيها جذر واحد على الأقل من المعادلة (4) الشرط t> 0.
دعونا نقدم الوظيفة f (t) = t2 - 6t - a. الحالات التالية ممكنة.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
الحالة 2. المعادلة (4) لها حل إيجابي فريد إذا
D = 0 ، إذا كانت a = - 9 ، فستأخذ المعادلة (4) الشكل (t - 3) 2 = 0 ، t = 3 ، x = - 1.
الحالة الثالثة: للمعادلة (4) جذران ، لكن أحدهما لا يفي بالمتباينة t> 0. هذا ممكن إذا
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}
وبالتالي ، في المعادلة (4) a 0 لها جذر موجب واحد 
. ثم المعادلة (3) لها حل فريد 
ل< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
اذا كان< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
إذا كانت أ = - 9 ، إذن س = - 1 ؛
إذا كانت 0 ، إذن
دعونا نقارن طرق حل المعادلتين (1) و (3). لاحظ أنه عند حل المعادلة (1) تم اختزاله إلى معادلة تربيعية ، يكون المميز منها مربعًا كاملًا ؛ وهكذا ، تم حساب جذور المعادلة (2) على الفور من خلال صيغة جذور المعادلة التربيعية ، ومن ثم تم استخلاص النتائج فيما يتعلق بهذه الجذور. تم اختزال المعادلة (3) إلى معادلة تربيعية (4) ، ومميزها ليس مربعًا كاملًا ، لذلك عند حل المعادلة (3) ، يُنصح باستخدام النظريات حول موقع جذور مربع ثلاثي الحدود و نموذج رسومي. لاحظ أنه يمكن حل المعادلة (4) باستخدام نظرية فييتا.
لنحل المعادلات الأكثر تعقيدًا.
المهمة 3. حل المعادلة 
قرار. ODZ: x1 ، x2.
دعونا نقدم بديل. دع 2x = t، t> 0، ثم نتيجة للتحولات، ستأخذ المعادلة الشكل t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) ابحث عن قيم a التي لها جذر واحد على الأقل من المعادلة (*) تفي بالشرط t> 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
الجواب: إذا كانت a> - 13 ، a 11 ، a 5 ، ثم إذا a - 13 ،
أ = 11 ، أ = 5 ، فلا توجد جذور.
فهرس.
1. أسس جوزيف لتكنولوجيا التعليم.
2. تقنية جوزيف: من الاستقبال إلى الفلسفة.
M. "Headmaster" No. 4، 1996
3. أشكال التعليم Guzeev والتنظيمية.
4. جوزيف وممارسة تقنية تعليمية متكاملة.
M. "تعليم الناس" ، 2001
5. جوزيف من أشكال الدرس - ندوة.
الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1987 ، ص 9 - 11.
6. تقنيات سيليفكو التعليمية.
م. "تعليم الناس" ، 1998
7. أطفال مدارس Episheva يتعلمون الرياضيات.
م. "التنوير" ، 1990
8. إيفانوف لإعداد الدروس - ورش العمل.
الرياضيات في المدرسة رقم 6 ، 1990 ، ص. 37-40.
9. نموذج سميرنوف لتعليم الرياضيات.
الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1997 ، ص. 32-36.
10. Tarasenko طرق تنظيم العمل العملي.
الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1993 ، ص. 27 - 28.
11. حول أحد أنواع العمل الفردي.
الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1994 ، ص 63 - 64.
12. قدرات الخزنكين الإبداعية لدى أطفال المدارس.
الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1989 ، ص. عشرة.
13. سكانافي. الناشر ، 1997
14. وآخرون ، الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية ل
15. مهام Krivonogov في الرياضيات.
م "الأول من سبتمبر" 2002
16. تشيركاسوف. كتيب لطلاب المدارس الثانوية و
دخول الجامعات. - مدرسة الصحافة عام 2002
17. Zhevnyak للمتقدمين للجامعات.
مينسك و RF "مراجعة" ، 1996
18. كتابي د. التحضير لامتحان الرياضيات. إم رولف ، 1999
19. وغيرها تعلم حل المعادلات وعدم المساواة.
م. مركز الفكر 2003
20. وغيرها. المواد التعليمية والتدريبية للتحضير لـ E G E.
م. "الفكر - المركز" ، 2003 و 2004
21 وغيرها. مركز الاختبارات التابع لوزارة الدفاع الروسية ، 2002 ، 2003
22. معادلات جولدبيرج. "كوانتوم" رقم 3 ، 1971
23. Volovich M. كيفية تدريس الرياضيات بنجاح.
الرياضيات ، 1997 رقم 3.
24 أوكونيف للدرس يا أطفال! التنوير ، 1988
25. Yakimanskaya - التعليم الموجه في المدرسة.
26. Liimets العمل في الدرس. م. المعرفة ، 1975
أمثلة:
\ (4 ^ س = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4،8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)
كيفية حل المعادلات الأسية
عند حل أي معادلة أسية ، نسعى جاهدين لإحضارها إلى النموذج \ (a ^ (f (x)) \ u003d a ^ (g (x)) \) ، ثم الانتقال إلى مساواة المؤشرات ، أي:
\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)
علي سبيل المثال:\ (2 ^ (س + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (س + 1 = 2 \)
الأهمية! من نفس المنطق ، يتبع متطلبان لمثل هذا الانتقال:
- رقم في يجب أن يكون اليسار واليمين متماثلين ؛
- درجة اليسار واليمين يجب أن تكون "نقية"أي يجب ألا يكون هناك أي مضاعفات أو أقسام وما إلى ذلك.
علي سبيل المثال:
لإحضار المعادلة إلى النموذج \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) ويتم استخدامها.
مثال
. حل المعادلة الأسية \ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)
قرار:
|
\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \) |
نعلم أن \ (27 = 3 ^ 3 \). مع وضع هذا في الاعتبار ، نقوم بتحويل المعادلة. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (\ sqrt (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \) |
من خلال خاصية الجذر \ (\ sqrt [n] (a) = a ^ (\ frac (1) (n)) \) نحصل على ذلك \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3) ) ^ (\ frac (1) (2)) \). علاوة على ذلك ، باستخدام خاصية الدرجة \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) ، نحصل على \ (((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (\ frac (3) (2)) \ cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \) |
نعلم أيضًا أن \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c) \). بتطبيق هذا على الجانب الأيسر ، نحصل على: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (\ frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1.5 + س -1) = 3 ^ (س + 0.5) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (x + 0،5) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \) |
الآن تذكر أن: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \). يمكن أيضًا استخدام هذه الصيغة بالعكس: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n) \). ثم \ (\ frac (1) (3) = \ frac (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (س + 0.5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2 س) \) |
بتطبيق الخاصية \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) على الجانب الأيمن ، نحصل على: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- 1) 2x) = 3 ^ (- 2x) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (س + 0.5) = 3 ^ (- 2 س) \) |
والآن لدينا الأسس متساوية ولا توجد معاملات متداخلة ، إلخ. حتى نتمكن من إجراء الانتقال. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
مثال
. حل المعادلة الأسية \ (4 ^ (س + 0.5) -5 2 ^ س + 2 = 0 \)
إجابه : \(-1; 1\). يبقى السؤال - كيف نفهم متى تطبق أي طريقة؟ يأتي مع الخبرة. في غضون ذلك ، لم تنجح في حل المشكلة ، فاستخدم التوصية العامة لحل المشكلات المعقدة - "إذا كنت لا تعرف ما يجب فعله - افعل ما تستطيع." أي ، ابحث عن كيفية تحويل المعادلة من حيث المبدأ ، وحاول القيام بذلك - ماذا لو خرجت؟ الشيء الرئيسي هو أن تفعل فقط التحولات المبررة رياضيا. المعادلات الأسية بدون حلوللنلقِ نظرة على موقفين آخرين غالبًا ما يحيران الطلاب: دعنا نحاول حلها بالقوة الغاشمة. إذا كان x رقمًا موجبًا ، فعندئذٍ كلما زاد x ، ستنمو القوة الكاملة \ (2 ^ x \) فقط: \ (س = 1 \) ؛ \ (2 ^ 1 = 2 \) \ (س = 0 \) ؛ \ (2 ^ 0 = 1 \) الماضي أيضا. هناك سالب x. عند تذكر الخاصية \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \) ، نتحقق من: \ (س = -1 \) ؛ \ (2 ^ (- 1) = \ فارك (1) (2 ^ 1) = \ فارك (1) (2) \) على الرغم من حقيقة أن الرقم يصبح أصغر مع كل خطوة ، إلا أنه لن يصل أبدًا إلى الصفر. لذا فإن الدرجة السالبة لم تنقذنا أيضًا. نصل إلى نتيجة منطقية: الرقم الموجب لأي قوة سيبقى عددًا موجبًا.وبالتالي ، فإن كلا المعادلتين أعلاه ليس لهما حلول. المعادلات الأسية مع قواعد مختلفةمن الناحية العملية ، توجد أحيانًا معادلات أسية ذات قواعد مختلفة لا يمكن اختزالها لبعضها البعض ، وفي نفس الوقت مع نفس الأسس. تبدو كالتالي: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \) ، حيث \ (a \) و \ (b \) أرقام موجبة. علي سبيل المثال: \ (7 ^ (س) = 11 ^ (س) \) يمكن حل مثل هذه المعادلات بسهولة عن طريق القسمة على أي جزء من أجزاء المعادلة (عادةً ما يتم القسمة على الجانب الأيمن ، أي على \ (b ^ (f (x)) \). يمكنك القسمة بهذه الطريقة ، لأن القيمة الموجبة الرقم موجب لأي درجة (أي أننا لا نقسم على صفر.) نحصل على: \ (\ فارك (أ ^ (و (س))) (ب ^ (و (س))) \) \ (= 1 \) مثال
. حل المعادلة الأسية \ (5 ^ (س + 7) = 3 ^ (س + 7) \)
إجابه : \(-7\). أحيانًا لا يكون "تشابه" الأسس واضحًا ، لكن الاستخدام الماهر لخصائص الدرجة يحل هذه المشكلة. مثال
. حل المعادلة الأسية \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)
إجابه : \(2\). |
معدات:
- كمبيوتر،
- جهاز عرض الوسائط المتعددة
- شاشة،
- ملحق 1(عرض شرائح في PowerPoint) "طرق لحل المعادلات الأسية"
- الملحق 2(حل معادلة مثل "ثلاث قواعد مختلفة للدرجات" في Word)
- الملحق 3(نشرة في Word للعمل العملي).
- الملحق 4(نشرة في Word للواجب المنزلي).
خلال الفصول
1. المرحلة التنظيمية
- رسالة موضوع الدرس (مكتوبة على السبورة) ،
- الحاجة إلى درس التعميم في الصفوف 10-11:
مرحلة إعداد الطلاب للاستيعاب النشط للمعرفة
تكرار
تعريف.
المعادلة الأسية هي معادلة تحتوي على متغير في الأس (يجيب الطالب).
ملاحظة المعلم. تنتمي المعادلات الأسية إلى فئة المعادلات المتعالية. يشير هذا الاسم الذي يصعب نطقه إلى أن مثل هذه المعادلات ، بشكل عام ، لا يمكن حلها في شكل صيغ.
لا يمكن حلها إلا بالطرق العددية تقريبًا على أجهزة الكمبيوتر. لكن ماذا عن أسئلة الامتحان؟ الحيلة برمتها هي أن الفاحص يؤلف المشكلة بطريقة تعترف فقط بالحل التحليلي. بمعنى آخر ، يمكنك (ويجب عليك!) إجراء مثل هذه التحولات المتطابقة التي تقلل المعادلة الأسية المعينة إلى أبسط معادلة أسية. هذه أبسط معادلة وتسمى: أبسط معادلة أسية. تم حلها اللوغاريتم.
يشبه الموقف مع حل المعادلة الأسية رحلة عبر متاهة اخترعها مترجم المشكلة خصيصًا. من هذه الاعتبارات العامة جدًا ، تتبع توصيات محددة تمامًا.
لحل المعادلات الأسية بنجاح ، يجب عليك:
1. لا يعرف فقط جميع الهويات الأسية بشكل نشط ، بل يجد أيضًا مجموعات من قيم المتغير الذي يتم تحديد هذه الهويات بناءً عليه ، بحيث لا يكتسب المرء جذورًا غير ضرورية عند استخدام هذه الهويات ، بل وأكثر من ذلك ، لا يخسر حلول المعادلة.
2. تعرف بنشاط جميع الهويات الأسية.
3. بوضوح ، بالتفصيل وبدون أخطاء ، قم بإجراء تحويلات رياضية للمعادلات (نقل المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر ، مع عدم نسيان تغيير العلامة ، وتقليل الكسر إلى قاسم مشترك ، وما إلى ذلك). هذا يسمى الثقافة الرياضية. في الوقت نفسه ، يجب إجراء الحسابات نفسها تلقائيًا باليد ، ويجب أن يفكر الرأس في الخيط التوجيهي العام للحل. من الضروري إجراء التحولات بعناية وبالتفصيل قدر الإمكان. هذا فقط سيضمن حلاً صحيحًا وخالٍ من الأخطاء. وتذكر: يمكن لخطأ حسابي صغير أن يخلق ببساطة معادلة متعالية لا يمكن حلها تحليليًا من حيث المبدأ. اتضح أنك ضلت طريقك وركضت في جدار المتاهة.
4. تعرف على طرق حل المشكلات (أي تعرف على جميع المسارات عبر متاهة الحل). من أجل التوجيه الصحيح في كل مرحلة ، سيتعين عليك (بوعي أو حدسي!):
- حدد نوع المعادلة;
- تذكر النوع المقابل طريقة الحلمهام.
مرحلة تعميم وتنظيم المادة المدروسة.
يُجري المعلم ، جنبًا إلى جنب مع الطلاب ، بمشاركة جهاز كمبيوتر ، نظرة عامة على التكرار لجميع أنواع المعادلات الأسية وطرق حلها ، ويضع مخططًا عامًا. (تم استخدام برنامج الكمبيوتر التدريبي لـ L.Ya. Borevsky "دورة الرياضيات - 2000" ، ومؤلف عرض PowerPoint التقديمي هو T.N. Kuptsova.)
أرز. واحد.يوضح الشكل مخططًا عامًا لجميع أنواع المعادلات الأسية.
كما يتضح من هذا الرسم البياني ، فإن استراتيجية حل المعادلات الأسية هي تقليل هذه المعادلة الأسية إلى المعادلة ، أولاً وقبل كل شيء ، بنفس الأسس ، ثم - و بنفس الأسس.
بعد الحصول على معادلة بنفس الأسس والأسس ، فإنك تستبدل هذه الدرجة بمتغير جديد وتحصل على معادلة جبرية بسيطة (عادةً ، كسور منطقية أو تربيعية) فيما يتعلق بهذا المتغير الجديد.
بحل هذه المعادلة وإجراء تعويض عكسي ، ينتهي بك الأمر بمجموعة من المعادلات الأسية البسيطة ، والتي يتم حلها بشكل عام باستخدام اللوغاريتمات.
تقف المعادلات منفصلة حيث تحدث فقط منتجات القوى (الخاصة). باستخدام المتطابقات الأسية ، من الممكن إحضار هذه المعادلات على الفور إلى قاعدة واحدة ، على وجه الخصوص ، إلى أبسط معادلة أسية.
ضع في اعتبارك كيفية حل معادلة أسية بثلاث قواعد مختلفة من الدرجات.
(إذا كان لدى المعلم برنامج كمبيوتر تعليمي بواسطة L.Ya. Borevsky "دورة الرياضيات - 2000" ، فنحن نتعامل بشكل طبيعي مع القرص ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكنك طباعة هذا النوع من المعادلة لكل مكتب منه ، كما هو موضح أدناه .)
أرز. 2.خطة حل المعادلة.
أرز. 3.البدء في حل المعادلة
أرز. 4.نهاية حل المعادلة.
القيام بعمل عملي
تحديد نوع المعادلة وحلها.
1. 2. 3. 0,125 4. 5. 6.
تلخيص الدرس
تقدير الدرس.
نهاية الدرس
للمعلم
مخطط إجابات العمل العملي.
يمارس:من قائمة المعادلات ، حدد المعادلات من النوع المحدد (ضع رقم الإجابة في الجدول):
- ثلاث قواعد مختلفة
- قاعدتان مختلفتان - أسس مختلفة
- أسس الصلاحيات - صلاحيات رقم واحد
- نفس الأسس ، الأسس المختلفة
- نفس الأسس - نفس الأسس
- نتاج القوى
- قاعدتان مختلفتان للدرجات - نفس المؤشرات
- أبسط المعادلات الأسية
1. 
(نتاج الصلاحيات)
2. 
(نفس الأسس - دعاة مختلفون)
هذا الدرس مخصص لأولئك الذين بدأوا للتو في تعلم المعادلات الأسية. كالعادة ، لنبدأ بتعريف وأمثلة بسيطة.
إذا كنت تقرأ هذا الدرس ، فأعتقد أن لديك بالفعل على الأقل فهمًا بسيطًا لأبسط المعادلات - الخطية والمربعة: 56x-11 = 0 $ ؛ $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $ ؛ $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $ إلخ. لتكون قادرًا على حل مثل هذه الإنشاءات أمر ضروري للغاية حتى لا يتم "تعليق" الموضوع الذي سيتم مناقشته الآن.
إذن ، المعادلات الأسية. اسمحوا لي أن أقدم لكم بضعة أمثلة:
\ [(2) ^ (x)) = 4 ؛ \ quad ((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) ؛ \ quad ((9) ^ (x)) = - 3 \]
قد يبدو بعضها أكثر تعقيدًا بالنسبة لك ، وبعضها ، على العكس من ذلك ، بسيط للغاية. لكنهم جميعًا متحدون بميزة مهمة واحدة: أنها تحتوي على دالة أسية $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $. وبالتالي ، نقدم التعريف:
المعادلة الأسية هي أي معادلة تحتوي على دالة أسية ، أي تعبير بالصيغة $ ((a) ^ (x)) $. بالإضافة إلى الوظيفة المحددة ، يمكن أن تحتوي هذه المعادلات على أي تركيبات جبرية أخرى - كثيرات الحدود ، والجذور ، وعلم المثلثات ، واللوغاريتمات ، إلخ.
حسنا إذا. فهمت التعريف. الآن السؤال هو: كيف نحل كل هذا الهراء؟ الجواب بسيط ومعقد في نفس الوقت.
لنبدأ بالأخبار السارة: من تجربتي مع العديد من الطلاب ، يمكنني القول أنه بالنسبة لمعظمهم ، المعادلات الأسية أسهل بكثير من نفس اللوغاريتمات ، وحتى أكثر من علم المثلثات.
ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: في بعض الأحيان تتم زيارة جامعي المشكلات لجميع أنواع الكتب المدرسية والامتحانات من خلال "الإلهام" ، ويبدأ دماغهم الملتهب بالمخدرات في إنتاج مثل هذه المعادلات الوحشية التي يصبح من الصعب على الطلاب حلها ليس فقط - حتى أن العديد من المعلمين عالقون في مثل هذه المشاكل.
ومع ذلك ، دعونا لا نتحدث عن الأشياء المحزنة. ودعنا نعود إلى تلك المعادلات الثلاث التي تم تقديمها في بداية القصة. دعنا نحاول حل كل منهم.
المعادلة الأولى: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. حسنًا ، إلى أي قوة يجب رفع الرقم 2 للحصول على الرقم 4؟ ربما الثانية؟ بعد كل شيء ، $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - وقد حصلنا على المساواة العددية الصحيحة ، أي في الواقع $ x = 2 $. حسنًا ، شكرًا يا غطاء ، لكن هذه المعادلة كانت بسيطة جدًا لدرجة أن قطتي يمكنها حلها. :)
لنلقِ نظرة على المعادلة التالية:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \]
لكن الأمر هنا أكثر صعوبة بقليل. يعرف الكثير من الطلاب أن $ ((5) ^ (2)) = 25 $ هو جدول الضرب. يشك البعض أيضًا في أن $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ هو أساسًا تعريف الأس السالب (على غرار الصيغة $ ((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) $).
أخيرًا ، فقط عدد قليل من التخمينات المختارة أنه يمكن دمج هذه الحقائق والمخرجات هي النتيجة التالية:
\ [\ frac (1) (25) = \ frac (1) (((5) ^ (2))) = ((5) ^ (- 2)) \]
وبالتالي ، ستتم إعادة كتابة معادلتنا الأصلية على النحو التالي:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (- 2)) \]
والآن تم حل هذا الأمر بالكامل بالفعل! يوجد على الجانب الأيسر من المعادلة دالة أسية ، وعلى الجانب الأيمن من المعادلة توجد دالة أسية ، لا يوجد شيء غيرهم في أي مكان آخر. لذلك ، من الممكن "تجاهل" القواعد والمساواة بغباء بين المؤشرات:
حصلنا على أبسط معادلة خطية يمكن لأي طالب حلها في سطرين فقط. حسنًا ، في أربعة أسطر:
\ [\ start (align) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]
إذا لم تفهم ما حدث في الأسطر الأربعة الأخيرة ، فتأكد من العودة إلى موضوع "المعادلات الخطية" وتكرارها. لأنه بدون استيعاب واضح لهذا الموضوع ، من السابق لأوانه تناول المعادلات الأسية.
\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]
حسنا كيف تقرر؟ الفكرة الأولى: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $ ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:
\ [((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) = - 3 \]
ثم نتذكر أنه عند رفع درجة إلى قوة ما ، تتضاعف المؤشرات:
\ [((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Rightarrow ((3) ^ (2x)) = - (( 3) ^ (1)) \]
\ [\ start (align) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]
ولمثل هذا القرار ، نحصل على شيطان مستحق بصدق. لأننا ، برباطة جأش بوكيمون ، أرسلنا علامة الطرح أمام الثلاثة إلى قوة هؤلاء الثلاثة. ولا يمكنك فعل ذلك. وهذا هو السبب. ألق نظرة على القوى المختلفة للثلاثية:
\ [\ start (matrix) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frac (1) (3) & ((3) ^ (\ frac (1) ( 2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & ((3) ^ (- 2)) = \ frac (1) (9) & ((3) ^ (\ frac (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & ((3) ^ (- 3)) = \ frac (1) (27) & (( 3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ end (matrix) \]
عند تجميع هذا الجهاز اللوحي ، لم أحرف الانحراف بمجرد أن فعلت ذلك: لقد فكرت في الدرجات الموجبة والسالبة وحتى الجزئية ... حسنًا ، أين يوجد رقم سالب واحد على الأقل هنا؟ انه ليس! ولا يمكن أن تكون كذلك ، لأن الدالة الأسية $ y = ((a) ^ (x)) $ ، أولاً ، تأخذ دائمًا قيمًا موجبة فقط (بغض النظر عن مقدار ضرب واحد أو القسمة على اثنين ، ستظل رقم موجب) ، وثانيًا ، قاعدة هذه الوظيفة ، الرقم $ a $ ، هي بالتعريف رقم موجب!
حسنًا ، كيف نحل المعادلة $ ((9) ^ (x)) = - 3 $؟ لا ، لا جذور. وبهذا المعنى ، فإن المعادلات الأسية تشبه إلى حد بعيد المعادلات التربيعية - قد لا يكون هناك أيضًا جذور. ولكن إذا تم تحديد عدد الجذور في المعادلات التربيعية بواسطة المميز (المميز موجب - جذور 2 ، سالب - بلا جذور) ، ثم في المعادلات الأسية ، كل هذا يتوقف على ما هو على يمين علامة التساوي.
وبالتالي ، نقوم بصياغة الاستنتاج الرئيسي: أبسط معادلة أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) = b $ لها جذر إذا وفقط إذا كان $ b> 0 $. بمعرفة هذه الحقيقة البسيطة ، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كانت المعادلة المقترحة لك لها جذور أم لا. هؤلاء. هل يستحق حلها على الإطلاق أم اكتب على الفور أنه لا توجد جذور.
ستساعدنا هذه المعرفة عدة مرات عندما يتعين علينا حل مشاكل أكثر تعقيدًا. في غضون ذلك ، كلمات كافية - حان الوقت لدراسة الخوارزمية الأساسية لحل المعادلات الأسية.
كيفية حل المعادلات الأسية
لذا ، لنقم بصياغة المشكلة. من الضروري حل المعادلة الأسية:
\ [((أ) ^ (س)) = ب ، \ رباعي أ ، ب> 0 \]
وفقًا للخوارزمية "الساذجة" التي استخدمناها سابقًا ، من الضروري تمثيل الرقم $ b $ كقوة للعدد $ a $:
بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان هناك أي تعبير بدلاً من المتغير $ x $ ، فسنحصل على معادلة جديدة يمكن حلها بالفعل. علي سبيل المثال:
\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Rightarrow x = 3 ؛ \\ & ((3) ^ (- x)) = 81 \ Rightarrow ((3) ^ (- x)) = ((3) ^ (4)) \ Rightarrow -x = 4 \ Rightarrow x = -4 ؛ \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Rightarrow ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Rightarrow 2x = 3 \ Rightarrow x = \ frac (3) ( 2). \\\ end (محاذاة) \]
والغريب أن هذا المخطط يعمل في حوالي 90٪ من الحالات. ماذا عن الـ 10٪ الباقية إذن؟ 10٪ المتبقية هي معادلات أسية "انفصام الشخصية" بشكل طفيف:
\ [((2) ^ (x)) = 3 ؛ \ quad ((5) ^ (x)) = 15 ؛ \ quad ((4) ^ (2x)) = 11 \]
إلى أي قوة تحتاج لرفع 2 للحصول على 3؟ في الاول؟ لكن لا: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ لا يكفي. في الثانية؟ لا أحد: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ كثير جدًا. ماذا بعد؟
من المحتمل أن يكون الطلاب المطلعون قد خمّنوا بالفعل: في مثل هذه الحالات ، عندما يكون من المستحيل حل المشكلة "بشكل جميل" ، يتم ربط "المدفعية الثقيلة" بالحالة - اللوغاريتمات. دعني أذكرك أنه باستخدام اللوغاريتمات ، يمكن تمثيل أي رقم موجب كقوة لأي رقم موجب آخر (باستثناء واحد):
تذكر هذه الصيغة؟ عندما أخبر طلابي عن اللوغاريتمات ، فأنا أحذرك دائمًا: هذه الصيغة (وهي أيضًا الهوية اللوغاريتمية الأساسية ، أو ، إذا أردت ، تعريف اللوغاريتم) ستطاردك لفترة طويلة جدًا و "تظهر" في أغلب الأحيان أماكن غير متوقعة. حسنًا ، ظهرت على السطح. لنلقِ نظرة على معادلتنا وهذه الصيغة:
\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ end (align) \]
إذا افترضنا أن $ a = 3 $ هو رقمنا الأصلي على اليمين ، و $ b = 2 $ هو أساس الدالة الأسية التي نريد تقليل الجانب الأيمن إليها ، فسنحصل على ما يلي:
\ [\ start (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightarrow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )) ؛ \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Rightarrow x = ( (\ سجل) _ (2)) 3. \\\ end (محاذاة) \]
حصلنا على إجابة غريبة بعض الشيء: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. في مهمة أخرى ، مع مثل هذه الإجابة ، قد يشك الكثيرون ويبدأون في التحقق مرة أخرى من حلهم: ماذا لو كان هناك خطأ في مكان ما؟ أسارع إلى إرضائك: لا يوجد خطأ هنا ، واللوغاريتمات في جذور المعادلات الأسية هي حالة نموذجية تمامًا. حتى تعتاد على ذلك. :)
الآن نحل المعادلتين المتبقيتين عن طريق القياس:
\ [\ start (align) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Rightarrow ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Rightarrow x = ((\ log) _ (5)) 15 ؛ \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Rightarrow ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Rightarrow 2x = ( (\ سجل) _ (4)) 11 \ Rightarrow x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ end (محاذاة) \]
هذا كل شئ! بالمناسبة ، يمكن كتابة الإجابة الأخيرة بشكل مختلف:
نحن من أدخلنا المضاعف في حجة اللوغاريتم. لكن لا أحد يمنعنا من إضافة هذا العامل إلى القاعدة:
علاوة على ذلك ، فإن الخيارات الثلاثة جميعها صحيحة - فهي مجرد أشكال مختلفة لكتابة نفس الرقم. أي واحد تختاره وتدوينه في هذا القرار متروك لك.
وهكذا ، تعلمنا حل أي معادلات أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) = b $ ، حيث تكون الأرقام $ a $ و $ b $ موجبة تمامًا. ومع ذلك ، فإن الواقع القاسي لعالمنا هو أن مثل هذه المهام البسيطة ستلتقي بك في حالات نادرة جدًا. في كثير من الأحيان ستصادف شيئًا كهذا:
\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 ؛ \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ end (محاذاة) \]
حسنا كيف تقرر؟ هل يمكن حل هذا على الإطلاق؟ وإذا كان الأمر كذلك ، فكيف؟
لا تخاف. يتم اختزال كل هذه المعادلات بسرعة وببساطة إلى تلك الصيغ البسيطة التي درسناها بالفعل. تحتاج فقط إلى معرفة تذكر بعض الحيل من دورة الجبر. وبالطبع ، لا توجد قواعد للعمل مع الدرجات العلمية هنا. سأتحدث عن كل هذا الآن. :)
تحويل المعادلات الأسية
أول شيء يجب تذكره هو أن أي معادلة أسية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، يجب اختزالها بطريقة أو بأخرى إلى أبسط المعادلات - تلك التي درسناها بالفعل والتي نعرف كيفية حلها. بمعنى آخر ، يبدو مخطط حل أي معادلة أسية كما يلي:
- اكتب المعادلة الأصلية. على سبيل المثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $ ؛
- قم ببعض الهراء الغبي. أو حتى بعض الهراء يسمى "تحويل المعادلة" ؛
- عند الإخراج ، احصل على أبسط التعبيرات مثل $ ((4) ^ (x)) = 4 $ أو شيء آخر من هذا القبيل. علاوة على ذلك ، يمكن أن تعطي معادلة أولية عدة تعابير في وقت واحد.
مع النقطة الأولى ، كل شيء واضح - حتى قطتي يمكنها كتابة المعادلة على ورقة. مع النقطة الثالثة أيضًا ، يبدو أنها أكثر أو أقل وضوحًا - لقد حللنا بالفعل مجموعة كاملة من هذه المعادلات أعلاه.
لكن ماذا عن النقطة الثانية؟ ما هي التحولات؟ إلى ماذا تتحول إلى ماذا؟ وكيف؟
حسنًا ، دعنا نفهم ذلك. بادئ ذي بدء ، أود أن أشير إلى ما يلي. تنقسم جميع المعادلات الأسية إلى نوعين:
- تتكون المعادلة من وظائف أسية لها نفس القاعدة. مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $ ؛
- تحتوي الصيغة على وظائف أسية بقواعد مختلفة. أمثلة: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ و $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09 دولار.
لنبدأ بالمعادلات من النوع الأول - فهي الأسهل في الحل. وفي حلهم ، ستساعدنا تقنية مثل اختيار التعبيرات المستقرة.
إبراز تعبير مستقر
لنلقِ نظرة على هذه المعادلة مرة أخرى:
\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]
ماذا نرى؟ يتم رفع الأربعة إلى درجات مختلفة. لكن كل هذه القوى عبارة عن مجاميع بسيطة للمتغير $ x $ مع أرقام أخرى. لذلك ، من الضروري تذكر قواعد العمل مع الدرجات العلمية:
\ [\ start (align) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) ؛ \\ & ((a) ^ (x-y)) = ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (ص))). \\\ end (محاذاة) \]
ببساطة ، يمكن تحويل إضافة الأس إلى منتج قوى ، ويمكن تحويل الطرح بسهولة إلى قسمة. دعنا نحاول تطبيق هذه الصيغ على القوى من معادلتنا:
\ [\ start (align) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (خ)) \ cdot \ frac (1) (4) ؛ \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ end (محاذاة) \]
نعيد كتابة المعادلة الأصلية مع مراعاة هذه الحقيقة ، ثم نجمع كل الحدود على اليسار:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -أحد عشر؛ \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ end (محاذاة) \]
تحتوي المصطلحات الأربعة الأولى على العنصر $ ((4) ^ (x)) $ - لنخرجه من القوس:
\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (4) -4 \ right) + 11 = 0 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (4 + 1-16) (4) + 11 = 0 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) = - 11. \\\ end (محاذاة) \]
يبقى تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على الكسر $ - \ frac (11) (4) $ ، أي اضرب بشكل أساسي في الكسر المقلوب - $ - \ frac (4) (11) $. نحن نحصل:
\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) \ cdot \ left (- \ frac (4) (11) \ right ) = - 11 \ cdot \ يسار (- \ frac (4) (11) \ يمين) ؛ \\ & ((4) ^ (x)) = 4 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)) ؛ \\ & x = 1. \\\ end (محاذاة) \]
هذا كل شئ! اختزلنا المعادلة الأصلية إلى أبسطها وحصلنا على الحل النهائي.
في نفس الوقت ، أثناء عملية الحل ، اكتشفنا (بل واستخرجنا من القوس) العامل المشترك $ ((4) ^ (x)) $ - هذا هو التعبير الثابت. يمكن تعيينه كمتغير جديد ، أو يمكنك ببساطة التعبير عنه بدقة والحصول على إجابة. على أي حال ، فإن المبدأ الأساسي للحل هو كما يلي:
ابحث في المعادلة الأصلية عن تعبير ثابت يحتوي على متغير يمكن تمييزه بسهولة عن جميع الدوال الأسية.
الخبر السار هو أن كل معادلة أسية تقريبًا تقبل مثل هذا التعبير المستقر.
ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: مثل هذه التعبيرات يمكن أن تكون خادعة للغاية ، وقد يكون من الصعب جدًا التمييز بينها. لذلك دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0،2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]
ربما سيطرح أحد الآن سؤالاً: "باشا ، هل رجمت بالحجارة؟ فيما يلي قواعد مختلفة - 5 و 0.2. لكن دعونا نحاول تحويل قوة أساسها 0.2. على سبيل المثال ، دعنا نتخلص من الكسر العشري ، ونجعله على النحو المعتاد:
\ [((0،2) ^ (- x-1)) = ((0،2) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (2) (10 ) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right)) ) \]
كما ترى ، لا يزال الرقم 5 يظهر ، وإن كان في المقام. في نفس الوقت ، تمت إعادة كتابة المؤشر على أنه سلبي. والآن نتذكر إحدى أهم قواعد العمل بالدرجات:
\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ ( - \ يسار (x + 1 \ يمين))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ right)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]
هنا ، بالطبع ، خدعت قليلاً. لأنه من أجل الفهم الكامل ، يجب كتابة صيغة التخلص من المؤشرات السلبية على النحو التالي:
\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((\ left (\ frac (1) (a) \ right)) ^ (n )) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ يمين)) ^ (س + 1)) = ((5) ^ (س + 1)) \]
من ناحية أخرى ، لا شيء يمنعنا من العمل بجزء واحد فقط:
\ [((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ يمين)) ^ (- \ يسار (س + 1 \ يمين))) = ((5) ^ (\ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (- \ يسار (س + 1 \ يمين) \ يمين) )) = ((5) ^ (x + 1)) \]
لكن في هذه الحالة ، يجب أن تكون قادرًا على رفع درجة إلى درجة أخرى (أذكرك: في هذه الحالة ، تتم إضافة المؤشرات). لكن لم يكن علي أن "أقلب" الكسور - ربما سيكون الأمر أسهل بالنسبة لشخص ما. :)
في أي حال ، ستتم إعادة كتابة المعادلة الأسية الأصلية على النحو التالي:
\ [\ start (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2 ؛ \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (س + 2)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ end (محاذاة) \]
لذلك اتضح أن حل المعادلة الأصلية أسهل في الحل من المعادلة السابقة: هنا لا تحتاج حتى إلى تحديد تعبير ثابت - فقد تم تقليل كل شيء من تلقاء نفسه. يبقى فقط أن نتذكر أن $ 1 = ((5) ^ (0)) $ ، من أين نحصل على:
\ [\ start (align) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)) ؛ \\ & x + 2 = 0 ؛ \\ & x = -2. \\\ end (محاذاة) \]
هذا هو الحل الكامل! حصلنا على الإجابة النهائية: $ x = -2 $. في الوقت نفسه ، أود أن أشير إلى خدعة واحدة سهّلت بشكل كبير جميع الحسابات بالنسبة لنا:
في المعادلات الأسية ، تأكد من التخلص من الكسور العشرية ، وترجمتها إلى كسور عادية. سيسمح لك ذلك برؤية نفس قواعد الدرجات وتبسيط الحل بشكل كبير.
الآن دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدًا حيث توجد قواعد مختلفة ، والتي لا يمكن اختزالها بشكل عام لبعضها البعض باستخدام القوى.
باستخدام خاصية الأس
دعني أذكرك أن لدينا معادلتين قاسيتين بشكل خاص:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ end (محاذاة) \]
تكمن الصعوبة الرئيسية هنا في أنه ليس من الواضح ماذا وإلى أي أساس يجب أن يقود. أين التعابير الثابتة؟ أين هي الأرضية المشتركة؟ لا يوجد شيء من هذا.
لكن دعونا نحاول الذهاب في الاتجاه الآخر. إذا لم تكن هناك قواعد متطابقة جاهزة ، يمكنك محاولة العثور عليها من خلال تحليل القواعد المتاحة.
لنبدأ بالمعادلة الأولى:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Rightarrow ((21) ^ (3x)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ end (محاذاة) \]
لكن يمكنك القيام بالعكس - قم بتكوين الرقم 21 من الرقمين 7 و 3. من السهل بشكل خاص القيام بذلك على اليسار ، لأن مؤشرات كلتا الدرجتين هي نفسها:
\ [\ start (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (x + 6 )) = ((21) ^ (x + 6)) ؛ \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & x + 6 = 3x ؛ \\ & 2x = 6 ؛ \\ & x = 3. \\\ end (محاذاة) \]
هذا كل شئ! لقد أخرجت الأس من الناتج وحصلت على الفور على معادلة جميلة يمكن حلها في سطرين.
الآن دعونا نتعامل مع المعادلة الثانية. كل شيء هنا أكثر تعقيدًا:
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09 \]
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (27) (10) \ right)) ^ (1-x)) = \ frac (9) (100) \]
في هذه الحالة ، تبين أن الكسور غير قابلة للاختزال ، ولكن إذا كان من الممكن تقليل شيء ما ، فتأكد من تقليله. سينتج عن هذا غالبًا أسباب مثيرة للاهتمام يمكنك العمل معها بالفعل.
لسوء الحظ ، لم نتوصل إلى أي شيء. لكننا نرى أن الأسس على اليسار في حاصل الضرب عكس ذلك:
دعني أذكرك: للتخلص من علامة الطرح في الأس ، ما عليك سوى "قلب" الكسر. لذلك دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية:
\ [\ start (align) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9 ) (100) ؛ \\ & ((\ left (100 \ cdot \ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100) ؛ \\ & ((\ left (\ frac (1000) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\ end (محاذاة) \]
في السطر الثاني ، وضعنا بين قوسين إجمالي الناتج وفقًا للقاعدة $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ left (a \ cdot b \ right )) ^ (x)) $ ، وفي الأخير قاموا ببساطة بضرب الرقم 100 في كسر.
لاحظ الآن أن الأرقام الموجودة على اليسار (في القاعدة) وعلى اليمين متشابهة إلى حد ما. كيف؟ نعم ، من الواضح: إنها قوى من نفس العدد! نملك:
\ [\ start (align) & \ frac (1000) (27) = \ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ left (\ frac ( 10) (3) \ right)) ^ (3)) ؛ \\ & \ frac (9) (100) = \ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ left (\ frac (3) (10) \ يمين)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]
وبالتالي ، ستتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:
\ [(\ left (((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3)) \ right)) ^ (x-1)) = ((\ left (\ frac (3 ) (10) \ right)) ^ (2)) \]
\ [(\ left (((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3)) \ right)) ^ (x-1)) = ((\ left (\ frac (10 ) (3) \ right)) ^ (3 \ left (x-1 \ right))) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) \]
في الوقت نفسه ، على اليمين ، يمكنك أيضًا الحصول على درجة بنفس القاعدة ، والتي يكفيها "قلب" الكسر:
\ [((\ left (\ frac (3) (10) \ right)) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)) \]
أخيرًا ، ستأخذ معادلتنا الشكل:
\ [\ start (align) & ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)) ؛ \\ & 3x-3 = -2 ؛ \\ & 3x = 1 ؛ \\ & x = \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]
هذا هو الحل الكامل. تتلخص فكرتها الرئيسية في حقيقة أنه حتى مع وجود أسباب مختلفة ، نحاول عن طريق الخطاف أو المحتال تقليل هذه الأسباب إلى نفس السبب. في هذا تساعدنا التحولات الأولية للمعادلات وقواعد العمل مع القوى.
لكن ما هي القواعد ومتى تستخدم؟ كيف نفهم أنه في إحدى المعادلات تحتاج إلى تقسيم كلا الطرفين بشيء ، وفي معادلة أخرى - لتحليل قاعدة الدالة الأسية إلى عوامل؟
ستأتي الإجابة على هذا السؤال بالخبرة. جرب يدك في البداية على معادلات بسيطة ، ثم قم بتعقيد المهام تدريجيًا - وسرعان ما ستكون مهاراتك كافية لحل أي معادلة أسية من نفس الاستخدام أو أي عمل مستقل / اختبار.
ولمساعدتك في هذه المهمة الصعبة ، أقترح تنزيل مجموعة من المعادلات على موقع الويب الخاص بي للحصول على حل مستقل. جميع المعادلات لها إجابات ، لذا يمكنك دائمًا التحقق من نفسك.
إلى قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتكون على علم بجميع دروس الفيديو الجديدة.
أولًا ، لنتذكر الصيغ الأساسية للدرجات وخصائصها.
حاصل ضرب الرقم أيحدث على نفسه n مرة ، يمكننا كتابة هذا التعبير على أنه a… a = a n
1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)
3. أ ن أ م = أ ن + م
4. (أ ن) م = أ نانومتر
5. أ ن ب ن = (أب) ن
7. a n / a m \ u003d a n - m
معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون فيها المتغيرات في قوى (أو أسس) ، والأساس عبارة عن رقم.
أمثلة على المعادلات الأسية:
في هذا المثال ، الرقم 6 هو الأساس ، وهو دائمًا في الأسفل ، والمتغير xدرجة أو قياس.
دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × * 5 = 10
16x-4x-6 = 0
الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟
لنأخذ معادلة بسيطة:
2 س = 2 3
يمكن حل مثل هذا المثال حتى في العقل. يمكن ملاحظة أن x = 3. بعد كل شيء ، لكي يتساوى الجانبان الأيسر والأيمن ، عليك وضع الرقم 3 بدلاً من x.
لنرى الآن كيف يجب اتخاذ هذا القرار:
2 س = 2 3
س = 3
لحل هذه المعادلة ، أزلنا نفس الأسباب(أي التعادل) وكتب ما تبقى ، هذه هي الدرجات. حصلنا على الإجابة التي كنا نبحث عنها.
الآن دعونا نلخص الحل.
خوارزمية لحل المعادلة الأسية:
1. تحتاج إلى التحقق نفس الشيءسواء كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار. إذا لم تكن الأسباب هي نفسها ، فنحن نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد القواعد هي نفسها ، تعادلدرجة وحل المعادلة الجديدة الناتجة.
لنحل الآن بعض الأمثلة:
لنبدأ ببساطة.
القواعد الموجودة على الجانبين الأيسر والأيمن تساوي الرقم 2 ، مما يعني أنه يمكننا تجاهل القاعدة ومساواة درجاتها.
x + 2 = 4 ظهرت أبسط معادلة.
س = 4 - 2
س = 2
الجواب: س = 2
في المثال التالي ، يمكنك أن ترى أن القواعد مختلفة ، وهما 3 و 9.
3 3 س - 9 س + 8 = 0
بادئ ذي بدء ، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن ، نحصل على:
الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نعلم أن 9 = 3 2. لنستخدم صيغة القوة (أ ن) م = أ نانومتر.
3 3x \ u003d (3 2) × + 8
نحصل على 9 × + 8 \ u003d (3 2) × + 8 \ u003d 3 2 × + 16
3 3x \ u003d 3 2x + 16 من الواضح الآن أن القواعد على الجانبين الأيسر والأيمن متساوية وتساوي ثلاثة ، مما يعني أنه يمكننا تجاهلها ومساواة الدرجات.
3x = 2x + 16 حصلنا على أبسط معادلة
3 س -2 س = 16
س = 16
الجواب: س = 16.
لنلقِ نظرة على المثال التالي:
2 2x + 4-10 4 x \ u003d 2 4
أولًا ، ننظر إلى الأسس ، فالقاعدتان مختلفتان عن اثنين وأربعة. وعلينا أن نكون متشابهين. نقوم بتحويل الرباعي وفقًا للصيغة (a n) m = a nm.
4 س = (2 2) س = 2 2 س
ونستخدم أيضًا صيغة واحدة أ ن أ م = أ ن + م:
2 2 س + 4 = 2 2 س 2 4
أضف إلى المعادلة:
2 2x 2 4-10 2 2x = 24
قدمنا مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تتداخل معنا ، فماذا نفعل بهم؟ إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر نكرر 2 2x ، وإليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x من الأقواس:
2 2x (2 4-10) = 24
دعونا نحسب التعبير بين قوسين:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
نقسم المعادلة بأكملها على 6:
تخيل 4 = 2 2:
2 2x \ u003d 2 2 قاعدتان متماثلتان ، وتجاهلهما وساوى الدرجات.
2x \ u003d 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 ، نحصل عليها
س = 1
الجواب: س = 1.
لنحل المعادلة:
9 س - 12 * 3 س + 27 = 0
دعنا نتحول:
9 س = (3 2) س = 3 2 س
نحصل على المعادلة:
3 2 س - 12 3 س +27 = 0
قواعدنا هي نفسها ، تساوي ثلاثة ، في هذا المثال ، من الواضح أن الثلاثية الأولى لها درجة ضعف (2x) من الثانية (x فقط). في هذه الحالة ، يمكنك أن تقرر طريقة الاستبدال. يتم استبدال الرقم ذي الدرجة الأصغر بما يلي:
ثم 3 2x \ u003d (3 x) 2 \ u003d t 2
نستبدل جميع الدرجات بـ x في المعادلة بـ t:
ر 2-12 طن + 27 \ u003d 0
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية. نحل من خلال المميز ، نحصل على:
د = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3
رجوع إلى المتغير x.
نأخذ تي 1:
ر 1 \ u003d 9 \ u003d 3 س
إنه،
3 س = 9
3 س = 3 2
× 1 = 2
تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:
ر 2 \ u003d 3 \ u003d 3 س
3 س = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 \ u003d 2 ؛ × 2 = 1.
على الموقع ، يمكنك في قسم المساعدة في اتخاذ القرار لطرح الأسئلة التي تهمك ، وسوف نجيب عليك بالتأكيد.
انضمام مجموعة