أوجد ميل المماس المرسوم على الرسم البياني. معادلة المماس للرسم البياني للدالة

دعنا نعطي الدالة f ، والتي عند نقطة ما x 0 لها مشتق محدود f (x 0). ثم الخط المار بالنقطة (x 0 ؛ f (x 0)) ، الذي له ميل f '(x 0) ، يسمى الظل.

ولكن ماذا يحدث إذا كانت المشتقة عند النقطة x 0 غير موجودة؟ هناك خياران:

1. ظل الرسم البياني غير موجود أيضًا. المثال الكلاسيكي هو الوظيفة y = | x | عند النقطة (0 ؛ 0).
2. يصبح الظل عموديًا. هذا صحيح ، على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة y = arcsin x عند النقطة (1 ؛ π / 2).

معادلة الظل

يتم الحصول على أي خط مستقيم غير عمودي بواسطة معادلة بالصيغة y = kx + b ، حيث k هو الميل. الظل ليس استثناءً ، ومن أجل تكوين معادلته عند نقطة ما × 0 ، يكفي معرفة قيمة الوظيفة والمشتق في هذه المرحلة.

لذلك ، دع الدالة تُعطى y \ u003d f (x) ، والتي لها مشتق y \ u003d f '(x) على المقطع. ثم عند أي نقطة × 0 ∈ (أ ؛ ب) يمكن رسم الظل للرسم البياني لهذه الوظيفة ، والتي تعطى بواسطة المعادلة:

y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

هنا f '(x 0) هي قيمة المشتق عند النقطة x 0 ، و f (x 0) هي قيمة الوظيفة نفسها.

مهمة. بالنظر إلى الدالة y = x 3. اكتب معادلة لمماس الرسم البياني لهذه الدالة عند النقطة x 0 = 2.

معادلة الظل: y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). النقطة x 0 = 2 معطاة لنا ، لكن القيم f (x 0) و f '(x 0) يجب أن تحسب.

أولًا ، لنجد قيمة الدالة. كل شيء سهل هنا: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ؛
الآن دعنا نجد المشتق: f '(x) \ u003d (x 3)' \ u003d 3x 2 ؛
عوّض في المشتق x 0 = 2: f '(x 0) = f' (2) = 3 2 2 = 12؛
فنحصل على: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
هذه هي معادلة الظل.

مهمة. قم بتكوين معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة f (x) \ u003d 2sin x + 5 عند النقطة x 0 \ u003d π / 2.

هذه المرة لن نصف بالتفصيل كل إجراء - سنشير فقط إلى الخطوات الرئيسية. نملك:

و (س 0) \ u003d و (/ 2) \ u003d 2 ثانية (π / 2) + 5 \ u003d 2 + 5 \ u003d 7 ؛
و '(x) \ u003d (2sin x + 5)' \ u003d 2cos x ؛
f '(x 0) \ u003d f' (π / 2) \ u003d 2cos (π / 2) \ u003d 0 ؛

معادلة الظل:

ص = 0 (س - π / 2) + 7 ص = 7

في الحالة الأخيرة ، كان الخط أفقيًا ، لأن منحدره k = 0. لا حرج في ذلك - لقد وجدنا للتو نقطة قصوى.

في الرياضيات ، أحد المعلمات التي تصف موضع الخط المستقيم على مستوى الإحداثيات الديكارتية هو ميل هذا الخط المستقيم. تحدد هذه المعلمة ميل الخط المستقيم إلى المحور x. لفهم كيفية إيجاد المنحدر ، تذكر أولاً الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم في نظام إحداثيات XY.

بشكل عام ، يمكن تمثيل أي خط بالتعبير ax + by = c ، حيث a و b و c أرقام حقيقية عشوائية ، لكنها بالضرورة 2 + b 2 ≠ 0.

بمساعدة تحويلات بسيطة ، يمكن إحضار مثل هذه المعادلة إلى الصورة y = kx + d ، حيث k و d أرقام حقيقية. الرقم k هو ميل ، ومعادلة الخط المستقيم من هذا النوع تسمى معادلة بميل. اتضح أنه لإيجاد الميل ، ما عليك سوى إحضار المعادلة الأصلية إلى النموذج أعلاه. لفهم أفضل ، ضع في اعتبارك مثالًا محددًا:

المهمة: أوجد ميل الخط المعطى بالمعادلة 36x - 18y = 108

الحل: لنحول المعادلة الأصلية.

الإجابة: الميل المطلوب لهذا الخط هو 2.

إذا حصلنا ، أثناء تحويل المعادلة ، على تعبير من النوع x = const ونتيجة لذلك لا يمكننا تمثيل y كدالة في x ، فإننا نتعامل مع خط مستقيم يوازي المحور X. ميل مثل هذا الخط المستقيم يساوي اللانهاية.

بالنسبة للخطوط التي يتم التعبير عنها بمعادلة مثل y = const ، فإن الميل يساوي صفرًا. هذا نموذجي للخطوط المستقيمة الموازية للمحور x. علي سبيل المثال:

المهمة: أوجد ميل الخط المعطى بالمعادلة 24x + 12y - 4 (3y + 7) = 4

الحل: نأتي بالمعادلة الأصلية إلى صيغة عامة

24 س + 12 ص - 12 ص + 28 = 4

من المستحيل التعبير عن y من التعبير الناتج ، وبالتالي ، فإن ميل هذا الخط المستقيم يساوي اللانهاية ، والخط المستقيم نفسه سيكون موازيًا لمحور Y.

المعنى الهندسي

لفهم أفضل ، دعونا نلقي نظرة على الصورة:

في الشكل ، نرى رسمًا بيانيًا لدالة من النوع y = kx. للتبسيط ، نأخذ المعامل c = 0. في المثلث OAB ، ستكون نسبة الضلع BA إلى AO مساوية للميل k. في نفس الوقت ، النسبة BA / AO هي ظل الزاوية الحادة α في مثلث قائم الزاوية OAB. اتضح أن ميل الخط المستقيم يساوي مماس الزاوية التي يصنعها هذا الخط المستقيم مع المحور x لشبكة الإحداثيات.

لحل مشكلة كيفية إيجاد ميل الخط المستقيم ، نجد ظل الزاوية بينه وبين المحور x لشبكة الإحداثيات. حالات الحدود ، عندما يكون الخط قيد النظر موازيًا لمحاور الإحداثيات ، قم بتأكيد ما سبق. في الواقع ، بالنسبة للخط المستقيم الموصوف في المعادلة y = const ، فإن الزاوية بينه وبين المحور x تساوي صفرًا. ظل الزاوية الصفرية يساوي صفرًا أيضًا ، والميل يساوي صفرًا أيضًا.

بالنسبة للخطوط المستقيمة المتعامدة على المحور x والموصوفة بالمعادلة x = const ، فإن الزاوية بينها وبين المحور x هي 90 درجة. ظل الزاوية القائمة يساوي اللانهاية ، وميل الخطوط المستقيمة المتشابهة يساوي اللانهاية ، مما يؤكد ما كتب أعلاه.

منحدر الظل

من المهام الشائعة ، التي غالبًا ما تتم مواجهتها في الممارسة ، العثور على ميل المماس للرسم البياني للوظيفة في مرحلة ما. الظل هو خط مستقيم ، وبالتالي فإن مفهوم الميل ينطبق عليه أيضًا.

لمعرفة كيفية إيجاد ميل المماس ، علينا تذكر مفهوم المشتق. مشتق أي دالة عند نقطة ما هو ثابت يساوي عدديًا ظل الزاوية التي تتشكل بين الظل عند النقطة المحددة للرسم البياني لهذه الوظيفة ومحور الإحداثي. اتضح أنه لتحديد ميل المماس عند النقطة x 0 ، نحتاج إلى حساب قيمة مشتق الوظيفة الأصلية عند هذه النقطة k \ u003d f "(x 0). دعنا نفكر في مثال:

المهمة: أوجد ميل الخط المماس للدالة y = 12x 2 + 2xe x عند x = 0.1.

الحل: أوجد مشتق الوظيفة الأصلية بشكل عام

y "(0،1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

الإجابة: الميل المطلوب عند النقطة x \ u003d 0.1 هو 4.831

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

يظهر بعض الدالة y = f (x) القابلة للاشتقاق عند النقطة a. النقطة M المميزة بالإحداثيات (أ ؛ و (أ)). من خلال نقطة تعسفية P (a + ∆x؛ f (a + ∆x)) من الرسم البياني ، يتم رسم MP قاطع.

إذا تم تحويل النقطة P على طول الرسم البياني إلى النقطة M ، فإن الخط المستقيم MP سوف يدور حول النقطة M. في هذه الحالة ، سوف تميل ∆x إلى الصفر. من هنا يمكننا صياغة تعريف مماس الرسم البياني للدالة.

الظل لوظيفة الرسم البياني

الظل للرسم البياني للدالة هو الموضع المحدد للقاطع عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر. يجب أن يكون مفهوماً أن وجود مشتق الوظيفة f عند النقطة x0 يعني أنه في هذه النقطة من الرسم البياني يوجد ظلله.

في هذه الحالة ، سيكون ميل المماس مساويًا لمشتق هذه الدالة عند هذه النقطة f '(x0). هذا هو المعنى الهندسي للمشتق. ظل المماس للرسم البياني للدالة f القابلة للاشتقاق عند النقطة x0 عبارة عن خط مستقيم يمر عبر النقطة (x0؛ f (x0)) وله ميل f '(x0).

معادلة الظل

دعنا نحاول الحصول على معادلة المماس للرسم البياني للدالة f عند النقطة A (x0 ؛ f (x0)). معادلة الخط المستقيم بميله k لها الشكل التالي:

بما أن الميل يساوي المشتقة f '(x0)، ثم تأخذ المعادلة الشكل التالي: y = f '(x0)* س + ب.

الآن دعونا نحسب قيمة ب. للقيام بذلك ، نستخدم حقيقة أن الوظيفة تمر بالنقطة أ.

f (x0) = f '(x0) * x0 + b ، من هنا نعبر عن b ونحصل على b = f (x0) - f' (x0) * x0.

نستبدل القيمة الناتجة في معادلة الظل:

y = f '(x0) * x + b = f' (x0) * x + f (x0) - f '(x0) * x0 = f (x0) + f' (x0) * (x - x0).

y = f (x0) + f '(x0) * (x - x0).

ضع في اعتبارك المثال التالي: ابحث عن معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة f (x) \ u003d x 3-2 * x 2 + 1 عند النقطة x \ u003d 2.

2. f (x0) = f (2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3. f '(x) = 3 * x 2-4 * x.

4. f '(x0) = f' (2) = 3 * 2 2-4 * 2 = 4.

5. عوض بالقيم التي تم الحصول عليها في صيغة الظل ، نحصل على: y = 1 + 4 * (x - 2). عند فتح الأقواس وإحضار الحدود المتشابهة ، نحصل على: y = 4 * x - 7.

الجواب: ص = 4 * س - 7.

المخطط العام لتجميع معادلة الظلعلى الرسم البياني للدالة y = f (x):

1. حدد x0.

2. احسب f (x0).

3. احسب f '(x)

يُعطى موضوع "المعامل الزاوي للماس باعتباره ظل زاوية الميل" في امتحان الشهادة عدة مهام في وقت واحد. اعتمادًا على حالتهم ، قد يُطلب من الخريج تقديم إجابة كاملة وإجابة قصيرة. عند التحضير لامتحان الرياضيات ، يجب على الطالب بالتأكيد تكرار المهام المطلوبة لحساب ميل الظل.

ستساعدك البوابة التعليمية Shkolkovo على القيام بذلك. قام خبراؤنا بإعداد وتقديم مواد نظرية وعملية في متناول الجميع قدر الإمكان. بعد التعرف عليها ، سيتمكن الخريجون الحاصلون على أي مستوى من التدريب من حل المشكلات المتعلقة بالمشتقات بنجاح ، حيث يلزم العثور على ظل منحدر الظل.

لحظات أساسية

لإيجاد الحل الصحيح والمنطقي لمثل هذه المهام في الاستخدام ، من الضروري تذكر التعريف الأساسي: المشتق هو معدل تغير الوظيفة ؛ إنه يساوي ظل منحدر الظل المرسوم على الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة. من المهم بنفس القدر إكمال الرسم. سيسمح لك بإيجاد الحل الصحيح لمشكلات الاستخدام على المشتق ، حيث يلزم حساب ظل منحدر الظل. من أجل الوضوح ، من الأفضل رسم رسم بياني على مستوى OXY.

إذا كنت قد تعرفت بالفعل على المادة الأساسية حول موضوع المشتق وكنت مستعدًا لبدء حل المشكلات الخاصة بحساب مماس منحدر الظل ، على غرار مهام الاستخدام ، فيمكنك القيام بذلك عبر الإنترنت. لكل مهمة ، على سبيل المثال ، المهام المتعلقة بموضوع "علاقة المشتق بسرعة الجسم وتسارعه" ، قمنا بتدوين الإجابة الصحيحة وخوارزمية الحل. في هذه الحالة ، يمكن للطلاب ممارسة أداء مهام بمستويات مختلفة من التعقيد. إذا لزم الأمر ، يمكن حفظ التمرين في قسم "المفضلة" ، بحيث يمكنك فيما بعد مناقشة القرار مع المعلم.