الصفحة الرئيسية

آبار

مساحة الشكل المسطح التي تحدها خطوط الآلة الحاسبة على الإنترنت. آلة حاسبة على الإنترنت. احسب تكاملاً محددًا (مساحة شبه منحني منحني الشكل)

مساحة الشكل المسطح التي تحدها خطوط الآلة الحاسبة على الإنترنت. آلة حاسبة على الإنترنت. احسب تكاملاً محددًا (مساحة شبه منحني منحني الشكل)

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية ، وكحد أدنى ، تكون قادرًا على بناء خط مستقيم وقطع زائد.

شبه المنحرف المنحني الخطي هو شكل مسطح يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لوظيفة مستمرة على مقطع لا يغير العلامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطوط تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا.

من حيث الهندسة ، فإن التكامل المحدد هو المنطقة.

بمعنى آخر،التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حق.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم رسمًا (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا:

إجابه:

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فهذا يعني أن المهمة قد تم حلها بشكل غير صحيح أيضًا.

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

قرار: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:

في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو سبب ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

قرار: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا مهتمون أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.

من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساوييمكن العثور على بعض الوظائف المستمرة ، ثم مساحة الشكل التي يحدها الرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، من خلال الصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبشكل تقريبي ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد الدراسة ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

يتم تحديد الشكل المطلوب بواسطة قطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

مثال 4

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

قرار: لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). ولكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين.

هل حقا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشريحة للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الكلمات الدالة:شبه منحرف متكامل ، منحني الخطوط ، منطقة من الأشكال يحدها الزنابق

معدات: سبورة بيضاء ، كمبيوتر ، جهاز عرض وسائط متعددة

نوع الدرس: درس-محاضرة

أهداف الدرس:

التعليمية:لتشكيل ثقافة العمل العقلي ، لخلق حالة من النجاح لكل طالب ، لتشكيل دافع إيجابي للتعلم ؛ تنمية القدرة على التحدث والاستماع للآخرين.
تطوير:تكوين استقلالية تفكير الطالب في تطبيق المعرفة في المواقف المختلفة ، والقدرة على التحليل واستخلاص النتائج ، وتطوير المنطق ، وتنمية القدرة على طرح الأسئلة بشكل صحيح وإيجاد إجابات لها. تحسين تكوين المهارات الحسابية والحسابية ، وتنمية تفكير الطلاب أثناء أداء المهام المقترحة ، وتطوير ثقافة حسابية.
التعليمية: لتشكيل مفاهيم حول شبه منحرف منحني الأضلاع ، حول جزء لا يتجزأ ، لإتقان مهارات حساب مناطق الأشكال المسطحة

طريقة التعليم:تفسيرية وتوضيحية.

خلال الفصول

في الفصول السابقة ، تعلمنا كيفية حساب مناطق الأشكال التي تكون حدودها عبارة عن خطوط متقطعة. في الرياضيات ، هناك طرق تسمح لك بحساب مساحة الأشكال التي تحدها المنحنيات. تسمى هذه الأشكال شبه المنحنية المنحنية ، ويتم حساب مساحتها باستخدام المشتقات العكسية.

شبه منحرف منحني الخطي ( شريحة 1)

شبه منحرف منحني الخطوط هو شكل يحده الرسم البياني للوظيفة ، ( w م)، مباشرة س = أو س = بوالإحداثيات

أنواع مختلفة من شبه المنحنيات منحنية الخطوط ( الشريحة 2)

نحن نأخذ في الاعتبار أنواعًا مختلفة من شبه المنحنيات المنحنية ونلاحظ: يتدهور أحد الخطوط إلى نقطة ، ويتم لعب دور الوظيفة المحددة بواسطة الخط

مساحة شبه منحرف منحني الخطوط (الشريحة 3)

إصلاح الطرف الأيسر من الفترة الزمنية أ،و صحيح Xسوف نتغير ، على سبيل المثال ، نقوم بتحريك الجدار الأيمن لشكل شبه منحرف منحني الشكل ونحصل على شكل متغير. مساحة شبه المنحني المنحني المتغير التي يحدها الرسم البياني للوظيفة هي المشتق العكسي Fللوظيفة F

وعلى المقطع [ أ؛ ب] مساحة شبه منحرف منحنية الشكل تكونت بواسطة الوظيفة F،تساوي الزيادة في المشتق العكسي لهذه الوظيفة:

التمرين 1:

أوجد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحده رسم بياني للدالة: و (س) = س 2ومباشر ص = 0 ، س = 1 ، س = 2.

قرار: ( وفقًا لخوارزمية الشريحة 3)

ارسم رسمًا بيانيًا للوظيفة والخطوط

ابحث عن أحد المشتقات العكسية للدالة و (س) = س 2 :

شريحة الفحص الذاتي

متكامل

ضع في اعتبارك شبه منحني منحني الأضلاع تعطيه الوظيفة Fفي الجزء [ أ؛ ب]. دعنا نقسم هذا المقطع إلى عدة أجزاء. سيتم تقسيم مساحة شبه المنحرف بالكامل إلى مجموع مناطق شبه المنحنيات الأصغر حجمًا. ( الشريحة 5). يمكن اعتبار كل شبه منحرف مستطيلًا تقريبًا. يعطي مجموع مساحات هذه المستطيلات فكرة تقريبية عن المساحة الكاملة لشبه المنحني ذي الخطوط المنحنية. أصغر نكسر المقطع [ أ؛ ب] ، كلما قمنا بحساب المنطقة بدقة أكبر.

نكتب هذه الاعتبارات في شكل صيغ.

قسّم المقطع [ أ؛ ب] إلى أجزاء n بها نقاط x 0 \ u003d a ، x1 ، ... ، xn \ u003d ب.طول ك-ذ للدلالة به xk = xk - xk-1. دعونا نلخص

هندسيًا ، هذا المجموع هو مساحة الشكل المظللة في الشكل ( shm.)

تسمى مجاميع النموذج المبالغ المتكاملة للوظيفة F. (sch.m.)

تعطي المبالغ المتكاملة قيمة تقريبية للمنطقة. يتم الحصول على القيمة الدقيقة بالتمرير إلى الحد الأقصى. تخيل أننا صقلنا تقسيم المقطع [ أ؛ ب] بحيث تميل أطوال كل الأجزاء الصغيرة إلى الصفر. بعد ذلك ، ستقترب مساحة الشكل المركب من منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع. يمكننا القول أن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي حد المجموع المتكامل ، سك. (sch.m.)أو متكامل ، أي

تعريف:

تكامل الوظيفة و (خ)من عند أقبل بيسمى حد المبالغ المتكاملة

= (sch.m.)

صيغة نيوتن ليبنيز.

تذكر أن حد المجموع المتكامل يساوي مساحة شبه منحرف منحني الخطوط ، لذلك يمكننا كتابة:

سك. = (sch.m.)

من ناحية أخرى ، يتم حساب مساحة شبه منحرف منحني الخطوط بواسطة الصيغة

S إلى. t. (sch.m.)

بمقارنة هذه الصيغ ، نحصل على:

= (sch.m.)

هذه المساواة تسمى صيغة نيوتن-لايبنيز.

لتسهيل العمليات الحسابية ، تتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

= = (sch.m.)

المهام: (sch.m.)

1. احسب التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز: ( تحقق من الشريحة 5)

2. تجميع التكاملات وفقًا للرسم ( تحقق من الشريحة 6)

3. أوجد مساحة الشكل المحدود بالخطوط: y \ u003d x 3، y \ u003d 0، x \ u003d 1، x \ u003d 2. ( شريحة 7)

إيجاد مساحات الأشكال المستوية ( الشريحة 8)

كيف تجد مساحة الأشكال التي ليست شبه منحنية الخطوط؟

دعنا نعطي وظيفتين ، الرسوم البيانية التي تراها على الشريحة . (sch.m.)أوجد مساحة الشكل المظلل . (sch.m.). هل الشكل المعني هو شبه منحرف منحني الأضلاع؟ وكيف يمكنك إيجاد مساحتها باستخدام خاصية الإضافة للمنطقة؟ ضع في اعتبارك اثنين من شبه المنحرفين منحنيي الخطوط واطرح مساحة الآخر من منطقة أحدهما ( w م)

لنقم بعمل خوارزمية لإيجاد المنطقة من الرسم المتحرك على الشريحة:

وظائف المؤامرة
قم بإسقاط نقاط تقاطع الرسوم البيانية على المحور x
ظلل الشكل الذي تم الحصول عليه بعبور الرسوم البيانية
ابحث عن شبه المنحنيات المنحنية التي يكون تقاطعها أو اتحادها هو الشكل المحدد.
احسب مساحة كل منهما
أوجد الفرق أو مجموع المساحات

مهمة شفوية: كيفية الحصول على مساحة الشكل المظلل (أخبر باستخدام الرسوم المتحركة ، الشريحة 8 و 9)

الواجب المنزلي:يحسبون الملخص ، رقم 353 (أ) ، رقم 364 (أ).

فهرس

الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 9-11 من مساء (دوام) مدرسة / تحرير. ج. جليزر. - م: التنوير 1983.
باشماكوف م. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من المدرسة الإعدادية / باشماكوف م. - م: التنوير ، 1991.
باشماكوف م. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات المبتدئة. ومتوسط الأستاذ. التعليم / M.I. باشماكوف. - م: الأكاديمية ، 2010.
كولموغوروف أ. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي يتكون من 10-11 خلية. المؤسسات التعليمية / A.N. Kolmogorov. - م: التنوير ، 2010.
Ostrovsky S.L. كيف أقوم بعمل عرض للدرس؟ / S.L. أوستروفسكي. - م: الأول من سبتمبر 2010.

واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

ننتقل الآن إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. كيفية استخدام تكامل محدد لحساب مساحة الشكل المستوي. أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية ، سيتعين عليك تقريب كوخ صيفي بوظائف أولية وإيجاد مساحته باستخدام جزء تكامل معين.

لإتقان المواد بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل عند المستوى المتوسط. وبالتالي ، يجب على الدمى قراءة الدرس أولاً لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية ، وكحد أدنى ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (يحتاجه الكثيرون) بمساعدة المواد المنهجية ومقال عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة إيجاد المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، وسنتقدم قليلاً في المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعذب الطالب من قبل برج مكروه بحماس يتقن دورة في الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.

لنبدأ مع شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل المسطح الذي يحده المحور ، والخطوط المستقيمة ، والرسم البياني لوظيفة متصلة على مقطع لا يغير علامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطوط تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة الحلقلت أن العدد المحدد هو العدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

بمعنى آخر، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حق.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: في البدايهمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط بعد- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطة، مع تقنية البناء النقطي يمكن العثور عليها في المادة المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم رسمًا (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح عن المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا:

إجابه:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر اثنتي عشرة وحدة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فهذا يعني أن المهمة قد تم حلها بشكل غير صحيح أيضًا.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

قرار: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

في المثال قيد الدراسة ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

يتم تحديد الشكل المطلوب بواسطة قطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . منذ أن تم إعطاء المحور بواسطة المعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلىالمحاور إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

قرار: لنرسم أولاً:

... آه ، خرج الرسم هراء ، لكن يبدو أن كل شيء مقروء.

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. هل حقا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابه:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ يمكن ؟ ولكن أين هو ضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

,

هل حقا، .

الحل الإضافي بسيط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

في الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

قرار: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول ، وأعيد الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس رسمًا ، باختصار ، اليوم هو اليوم =)

بالنسبة للبناء التفصيلي ، من الضروري معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:

مساحة شبه منحرف منحني الخطوط تساوي عدديًا تكاملًا معينًا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الفصل ، قلت إن التكامل المحدد هو الرقم. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

بمعنى آخر، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى منحنىًا معينًا على المستوى (يمكن رسمه دائمًا إذا رغبت في ذلك) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حق.

هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم رسمًا (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح عن المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا:

إجابه:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر اثنتي عشرة وحدة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فهذا يعني أن المهمة قد تم حلها بشكل غير صحيح أيضًا.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

الحل: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تماما تحت المحور، ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

الحل: تحتاج أولاً إلى عمل رسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا مهتمون أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن.

والآن صيغة العمل:إذا كان على قطعة بعض الوظائف المستمرة أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:

في المثال قيد الدراسة ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

يتم تحديد الشكل المطلوب بواسطة قطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة أسفل المحور ، إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

لنرسم أولاً:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما تحتاج إلى العثور على مساحة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. هل حقا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابه:

المثال 8

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

لذلك، .

الحل الإضافي بسيط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

في الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

الحل: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لبناء رسم نقطة بنقطة ، من الضروري معرفة مظهر الجيب (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:

(1) يمكن رؤية كيفية دمج الجيب وجيب التمام في قوى فردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. هذه تقنية نموذجية ، نضغط على جيب واحد.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الأساسية في النموذج

(3) دعنا نغير المتغير ، ثم:

إعادة توزيع جديدة للتكامل:

من هو السيئ حقًا التعامل مع البدائل ، يرجى الذهاب إلى الدرس طريقة الاستبدال في تكامل غير محدد. بالنسبة لأولئك الذين ليسوا واضحين تمامًا بشأن خوارزمية الاستبدال في تكامل محدد ، قم بزيارة الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

مثال 1 . احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: x + 2y - 4 = 0 ، y = 0 ، x = -3 ، و x = 2

دعونا نبني شكلاً (انظر الشكل). نبني خطًا مستقيمًا x + 2y - 4 \ u003d 0 على طول النقطتين A (4 ؛ 0) و B (0 ؛ 2). بالتعبير عن y بدلالة x ، نحصل على y \ u003d -0.5x + 2. وفقًا للصيغة (1) ، حيث f (x) \ u003d -0.5x + 2 ، a \ u003d -3 ، b \ u003d 2 ، نحن تجد

S \ u003d \ u003d [-0.25 = 11.25 قدم مربع. الوحدات

مثال 2 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: x - 2y + 4 \ u003d 0 ، x + y - 5 \ u003d 0 و y \ u003d 0.

قرار. دعونا نبني شخصية.

لنقم ببناء خط مستقيم x - 2y + 4 = 0: y = 0، x = - 4، A (-4؛ 0)؛ س = 0 ، ص = 2 ، ب (0 ؛ 2).

لنقم ببناء خط مستقيم x + y - 5 = 0: y = 0، x = 5، С (5؛ 0)، x = 0، y = 5، D (0؛ 5).

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين بحل نظام المعادلات:

س = 2 ، ص = 3 ؛ م (2 ؛ 3).

لحساب المساحة المطلوبة ، نقسم مثلث AMC إلى مثلثين AMN و NMC ، لأنه عندما تتغير x من A إلى N ، تكون المنطقة محدودة بخط مستقيم ، وعندما تتغير x من N إلى C ، فهي خط مستقيم

بالنسبة لمثلث AMN لدينا: ؛ ص \ u003d 0.5x + 2 ، أي f (x) \ u003d 0.5x + 2 ، a \ u003d - 4 ، b \ u003d 2.

بالنسبة لمثلث NMC لدينا: y = - x + 5 ، أي f (x) = - x + 5 ، a = 2 ، b = 5.

بحساب مساحة كل من المثلثات وإضافة النتائج نجد:

قدم مربع الوحدات

9 + 4 ، 5 = 13.5 قدم مربع الوحدات تحقق: = 0.5AC = 0.5 متر مربع. الوحدات

مثال 3 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y = x 2 ، ص = 0 ، س = 2 ، س = 3.

في هذه الحالة ، يلزم حساب مساحة شبه منحرف منحني الخط يحده قطع مكافئ y = x 2 ، الخطوط المستقيمة x \ u003d 2 و x \ u003d 3 ومحور Ox (انظر الشكل). باستخدام الصيغة (1) ، نجد مساحة شبه منحني منحني

= = 6 كيلو فولت. الوحدات

مثال 4 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d - x 2 + 4 و y = 0

دعونا نبني شخصية. المنطقة المرغوبة محاطة بين القطع المكافئ y \ u003d - x 2 + 4 ومحور اه.

أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. بافتراض y \ u003d 0 ، نجد x \ u003d نظرًا لأن هذا الرقم متماثل حول محور Oy ، فإننا نحسب مساحة الشكل الموجود على يمين محور Oy ، ونضاعف النتيجة: \ u003d + 4x] قدم مربع الوحدات 2 = 2 قدم مربع الوحدات

مثال 5 احسب مساحة شكل محدد بخطوط: y 2 = س ، ص = 1 ، س = 4

مطلوب هنا حساب مساحة شبه المنحني المنحني الخطي الذي يحده الفرع العلوي من القطع المكافئ y 2 \ u003d س ، محور الثور والخطوط المستقيمة س \ u003d 1 س \ u003d 4 (انظر الشكل).

وفقًا للصيغة (1) ، حيث f (x) = a = 1 و b = 4 ، لدينا = (= وحدات مربعة)

مثال 6 . احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y = sinx ، y = 0 ، x = 0 ، x =.

المنطقة المرغوبة محدودة بنصف الموجة الجيبية ومحور الثور (انظر الشكل).

لدينا - cosx \ u003d - cos \ u003d 1 + 1 \ u003d 2 متر مربع. الوحدات

مثال 7 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d - 6x ، y \ u003d 0 و x \ u003d 4.

يقع الشكل تحت محور الثور (انظر الشكل).

لذلك ، تم العثور على مساحتها بواسطة الصيغة (3)

= =

المثال 8 احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y \ u003d و x \ u003d 2. سنبني المنحنى y \ u003d بالنقاط (انظر الشكل). وبالتالي ، يتم العثور على مساحة الشكل بواسطة الصيغة (4)

المثال 9 .

X 2 + ص 2 = ص 2 .

هنا تحتاج إلى حساب المساحة التي تحدها الدائرة x 2 + ص 2 = ص 2 ، أي مساحة دائرة نصف قطرها r المتمركزة في الأصل. لنجد الجزء الرابع من هذه المنطقة ، ونأخذ حدود التكامل من 0

دور. نملك: 1 = = [

لذلك، 1 =

المثال 10 احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: y \ u003d x 2 و ص = 2 س

هذا الرقم محدود بواسطة القطع المكافئ y \ u003d x 2 والخط المستقيم y \ u003d 2x (انظر الشكل). لتحديد نقاط التقاطع للخطوط المحددة ، نقوم بحل نظام المعادلات: x 2 - 2 س = 0 س = 0 و س = 2

باستخدام الصيغة (5) لإيجاد المساحة ، نحصل عليها

= }

الأقسام