Цели на урока:

• Задълбочаване на знанията по темата "Описани окръжности в триъгълници"

Цели на урока:

• Систематизирайте знанията по тази тема
• Подгответе се за справяне със сложни проблеми.

План на урока:

1. Въведение.
2. Теоретична част.
3. За триъгълник.
4. Практическа част.

Въведение.

Темата "Вписани и описани окръжности в триъгълници" е една от най-трудните в курса по геометрия. Тя прекарва много малко време в час.

Геометричните задачи на тази тема са включени във втората част на изпитната работа за USE за курса на гимназията.
За успешното изпълнение на тези задачи са необходими солидни познания за основни геометрични факти и известен опит в решаването на геометрични задачи.

Теоретична част.

Описан многоъгълник- кръг, съдържащ всички върхове на многоъгълника. Центърът е точката (обикновено означавана с O) на пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи към страните на многоъгълника.

Имоти.

Центърът на описаната окръжност на изпъкнал n-ъгълник лежи в пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи към страните му. Като следствие: ако окръжност е описана до n-ъгълник, тогава всички перпендикулярни ъглополовящи на страните му се пресичат в една точка (центъра на окръжността).
Окръжност може да бъде описана около всеки правилен многоъгълник.

За триъгълник.

За окръжност се казва, че е описана близо до триъгълник, ако минава през всичките му върхове.

Окръжност може да бъде описана около всеки триъгълник и само един. Неговият център ще бъде точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи.

Остър триъгълник има центъра на описаната окръжност вътре, в тъп - извън триъгълника, за правоъгълна - в средата на хипотенузата.

Радиусът на описаната окръжност може да се намери по формулите:

Където:
а, б, в- страни на триъгълник
α - ъгъл срещу страна а,
С- площ на триъгълник.

Докажи:

t.O - пресечната точка на средните перпендикуляри на страните ΔABC

доказателство:

1. ΔAOC - равнобедрен, т.к OA=OC (като радиуси)
2. ΔAOC - равнобедрен, перпендикулярен OD - медиана и височина, т.е. t.O лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на страната AC
3. По същия начин е доказано, че TO лежи върху перпендикулярните ъглополовящи на страните AB и BC

Q.E.D.

Коментирайте.

Права, минаваща през средата на отсечка, перпендикулярна на нея, често се нарича бисектриса на перпендикуляра. В тази връзка понякога се казва, че центърът на окръжност, описана около триъгълник, лежи в пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.

Първо ниво

описан кръг. Визуално ръководство (2019)

Първият въпрос, който може да възникне е: описано - около какво?

Е, всъщност понякога се случва около всичко и ще говорим за кръг, описан около (понякога казват „около“) триъгълник. Какво е?

И сега, представете си, се случва невероятен факт:

Защо този факт е удивителен?

Но триъгълниците са различни!

И за всеки има кръг, който ще премине през всичките три върха, тоест описаната окръжност.

Доказателството за този невероятен факт може да се намери в следните нива на теория, но тук само отбелязваме, че ако вземем например четириъгълник, тогава изобщо не за всеки има окръжност, минаваща през четири върха. Тук, да речем, успоредник е отличен четириъгълник, но окръжност, минаваща през всичките му четири върха, не е!

И има само за правоъгълник:

Добре, и всеки триъгълник винаги има своя собствена описана окръжност!И дори винаги е доста лесно да се намери центъра на този кръг.

знаеш ли какво е средноперпендикулярно?

Сега нека видим какво ще стане, ако разгледаме до три перпендикулярни ъглополовящи на страните на триъгълника.

Оказва се (и точно това трябва да се докаже, макар че няма да го направим). И трите перпендикуляра се пресичат в една точка.Погледнете снимката - и трите средни перпендикуляра се пресичат в една точка.

Мислите ли, че центърът на описаната окръжност винаги лежи вътре в триъгълника? Представете си - не винаги!

Но ако остър ъгъл, след това - вътре:

Какво да правим с правоъгълен триъгълник?

И с допълнителен бонус:

Тъй като говорим за радиуса на описаната окръжност: на какво е равен за произволен триъгълник? И на този въпрос има отговор: т.нар.

а именно:

И разбира се,

1. Съществуване и център на описаната окръжност

Тук възниква въпросът: съществува ли такъв кръг за всеки триъгълник? Оказва се, че да, за всички. И освен това, сега ще формулираме теорема, която също отговаря на въпроса къде е центърът на описаната окръжност.

Вижте, така:

Нека съберем смелост и докажем тази теорема. Ако вече сте прочели темата „“, разбрахте защо трите ъглополовящи се пресичат в една точка, тогава ще ви бъде по-лесно, но ако не сте я чели, не се притеснявайте: сега ще разберем всичко навън.

Ще извършим доказателството, използвайки концепцията за местоположението на точките (LPT).

Е, например, наборът от топки е "геометрично място" от кръгли предмети? Не, разбира се, защото има кръгли... дини. Но дали набор от хора, едно „геометрично място“, може да говори? Нито едно, защото има бебета, които не могат да говорят. В живота обикновено е трудно да се намери пример за истинско „геометрично място на точките“. Геометрията е по-лесна. Ето, например, точно това, от което се нуждаем:

Тук множеството е средният перпендикуляр, а свойството "" е "да бъде на еднакво разстояние (точка) от краищата на отсечката."

Да проверим? Така че, трябва да се уверите в две неща:

1. Всяка точка, която е еднакво отдалечена от краищата на сегмент, е върху перпендикулярната ъглополовяща на него.

Свържете с и с. Тогава линията е медиана и височина в. И така, - равнобедрен, - ние се уверихме, че всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е еднакво отдалечена от точките и.

Вземете - средата и свържете и. Получих медианата. Но - равнобедрен по условие, не само медиана, но и височина, тоест среден перпендикуляр. Това означава, че точката лежи точно върху перпендикулярната ъглополовяща.

Всичко! Ние напълно проверихме факта, че перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е мястото на точки, еднакво отдалечени от краищата на отсечката.

Всичко това е добре, но забравихме ли за описания кръг? Съвсем не, просто си подготвихме „плацдарм за атака“.

Помислете за триъгълник. Нека начертаем два средни перпендикуляра и, да речем, на сегментите и. Те ще се пресичат в някакъв момент, който ще наречем.

А сега внимание!

Точката лежи върху перпендикулярната ъглополовяща;
точката лежи върху перпендикулярната ъглополовяща.
А това означава и.

От това следват няколко неща:

Първо, точката трябва да лежи върху третата перпендикулярна ъглополовяща, към отсечката.

Тоест перпендикулярната ъглополовяща също трябва да минава през точката и трите перпендикулярни бисектриси се пресичат в една точка.

Второ: ако начертаем окръжност с център в точка и радиус, тогава тази окръжност също ще премине през точката и през точката, тоест ще бъде описаната окръжност. Това означава, че вече съществува, че пресечната точка на трите перпендикулярни ъглополовящи е центърът на описаната окръжност за всеки триъгълник.

И последното: за уникалността. Ясно (почти) е, че точката може да се получи по уникален начин и следователно кръгът е уникален. Е, "почти" - ще го оставим на вас. Тук доказахме теоремата. Можеш да крещиш "Ура!".

И ако проблемът е въпросът "намерете радиуса на описаната окръжност"? Или обратното, радиусът е даден, но искате да намерите нещо друго? Има ли формула, свързваща радиуса на описаната окръжност с другите елементи на триъгълник?

Имайте предвид, че теоремата на синусите казва това за да намерите радиуса на описаната окръжност, имате нужда от едната страна (всякаква!) и ъгъла срещу нея. И това е!

3. Център на кръга – отвътре или отвън

И сега въпросът е: може ли центърът на описаната окръжност да лежи извън триъгълника.
Отговор: колкото е възможно повече. Нещо повече, това винаги е така в тъп триъгълник.

И най-общо казано:

КРЪГЪТ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

1. Окръжност, описана около триъгълник

Това е окръжност, която минава през всичките три върха на този триъгълник.

2. Съществуване и център на описаната окръжност

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 рубли.
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - 499 рубли.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

Първо ниво

описан кръг. Визуално ръководство (2019)

Първият въпрос, който може да възникне е: описано - около какво?

Е, всъщност понякога се случва около всичко и ще говорим за кръг, описан около (понякога казват „около“) триъгълник. Какво е?

И сега, представете си, се случва невероятен факт:

Защо този факт е удивителен?

Но триъгълниците са различни!

И за всеки има кръг, който ще премине през всичките три върха, тоест описаната окръжност.

Доказателството за този невероятен факт може да се намери в следните нива на теория, но тук само отбелязваме, че ако вземем например четириъгълник, тогава изобщо не за всеки има окръжност, минаваща през четири върха. Тук, да речем, успоредник е отличен четириъгълник, но окръжност, минаваща през всичките му четири върха, не е!

И има само за правоъгълник:

Добре, и всеки триъгълник винаги има своя собствена описана окръжност!И дори винаги е доста лесно да се намери центъра на този кръг.

знаеш ли какво е средноперпендикулярно?

Сега нека видим какво ще стане, ако разгледаме до три перпендикулярни ъглополовящи на страните на триъгълника.

Оказва се (и точно това трябва да се докаже, макар че няма да го направим). И трите перпендикуляра се пресичат в една точка.Погледнете снимката - и трите средни перпендикуляра се пресичат в една точка.

Мислите ли, че центърът на описаната окръжност винаги лежи вътре в триъгълника? Представете си - не винаги!

Но ако остър ъгъл, след това - вътре:

Какво да правим с правоъгълен триъгълник?

И с допълнителен бонус:

Тъй като говорим за радиуса на описаната окръжност: на какво е равен за произволен триъгълник? И на този въпрос има отговор: т.нар.

а именно:

И разбира се,

1. Съществуване и център на описаната окръжност

Тук възниква въпросът: съществува ли такъв кръг за всеки триъгълник? Оказва се, че да, за всички. И освен това, сега ще формулираме теорема, която също отговаря на въпроса къде е центърът на описаната окръжност.

Вижте, така:

Нека съберем смелост и докажем тази теорема. Ако вече сте прочели темата „“, разбрахте защо трите ъглополовящи се пресичат в една точка, тогава ще ви бъде по-лесно, но ако не сте я чели, не се притеснявайте: сега ще разберем всичко навън.

Ще извършим доказателството, използвайки концепцията за местоположението на точките (LPT).

Е, например, наборът от топки е "геометрично място" от кръгли предмети? Не, разбира се, защото има кръгли... дини. Но дали набор от хора, едно „геометрично място“, може да говори? Нито едно, защото има бебета, които не могат да говорят. В живота обикновено е трудно да се намери пример за истинско „геометрично място на точките“. Геометрията е по-лесна. Ето, например, точно това, от което се нуждаем:

Тук множеството е средният перпендикуляр, а свойството "" е "да бъде на еднакво разстояние (точка) от краищата на отсечката."

Да проверим? Така че, трябва да се уверите в две неща:

1. Всяка точка, която е еднакво отдалечена от краищата на сегмент, е върху перпендикулярната ъглополовяща на него.

Свържете с и с. Тогава линията е медиана и височина в. И така, - равнобедрен, - ние се уверихме, че всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е еднакво отдалечена от точките и.

Вземете - средата и свържете и. Получих медианата. Но - равнобедрен по условие, не само медиана, но и височина, тоест среден перпендикуляр. Това означава, че точката лежи точно върху перпендикулярната ъглополовяща.

Всичко! Ние напълно проверихме факта, че перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е мястото на точки, еднакво отдалечени от краищата на отсечката.

Всичко това е добре, но забравихме ли за описания кръг? Съвсем не, просто си подготвихме „плацдарм за атака“.

Помислете за триъгълник. Нека начертаем два средни перпендикуляра и, да речем, на сегментите и. Те ще се пресичат в някакъв момент, който ще наречем.

А сега внимание!

Точката лежи върху перпендикулярната ъглополовяща;
точката лежи върху перпендикулярната ъглополовяща.
А това означава и.

От това следват няколко неща:

Първо, точката трябва да лежи върху третата перпендикулярна ъглополовяща, към отсечката.

Тоест перпендикулярната ъглополовяща също трябва да минава през точката и трите перпендикулярни бисектриси се пресичат в една точка.

Второ: ако начертаем окръжност с център в точка и радиус, тогава тази окръжност също ще премине през точката и през точката, тоест ще бъде описаната окръжност. Това означава, че вече съществува, че пресечната точка на трите перпендикулярни ъглополовящи е центърът на описаната окръжност за всеки триъгълник.

И последното: за уникалността. Ясно (почти) е, че точката може да се получи по уникален начин и следователно кръгът е уникален. Е, "почти" - ще го оставим на вас. Тук доказахме теоремата. Можеш да крещиш "Ура!".

И ако проблемът е въпросът "намерете радиуса на описаната окръжност"? Или обратното, радиусът е даден, но искате да намерите нещо друго? Има ли формула, свързваща радиуса на описаната окръжност с другите елементи на триъгълник?

Имайте предвид, че теоремата на синусите казва това за да намерите радиуса на описаната окръжност, имате нужда от едната страна (всякаква!) и ъгъла срещу нея. И това е!

3. Център на кръга – отвътре или отвън

И сега въпросът е: може ли центърът на описаната окръжност да лежи извън триъгълника.
Отговор: колкото е възможно повече. Нещо повече, това винаги е така в тъп триъгълник.

И най-общо казано:

КРЪГЪТ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

1. Окръжност, описана около триъгълник

Това е окръжност, която минава през всичките три върха на този триъгълник.

2. Съществуване и център на описаната окръжност

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 рубли.
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - 499 рубли.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

Темата "Вписани и описани окръжности в триъгълници" е една от най-трудните в курса по геометрия. Тя прекарва много малко време в час.

Геометричните задачи на тази тема са включени във втората част на изпитната работа за USE за курса на гимназията. За успешното изпълнение на тези задачи са необходими солидни познания за основни геометрични факти и известен опит в решаването на геометрични задачи.
Има само една описана окръжност за всеки триъгълник. Това е окръжност, върху която лежат и трите върха на триъгълник с дадени параметри. Намирането на радиуса му може да е необходимо не само в урок по геометрия. Дизайнери, резачки, ключари и представители на много други професии трябва непрекъснато да се справят с това. За да намерите радиуса му, трябва да знаете параметрите на триъгълника и неговите свойства. Центърът на описаната окръжност е в пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи на триъгълника.
Предлагам на вашето внимание всички формули за намиране на радиуса на описаната окръжност, а не само на триъгълника. Формулите за вписаната окръжност могат да се видят.

а, б с -страни на триъгълник

α - ъгъл на противоположната странаа,
С-площ на триъгълник,

п-полупериметър.

След това, за да намерите радиуса ( Р) на описаната окръжност използвайте формулите:

От своя страна площта на триъгълник може да се изчисли с помощта на една от следните формули:

И ето още няколко формули.

1. Радиусът на описаната окръжност около правилен триъгълник. Ако атогава страната на триъгълника

2. Радиусът на описаната окръжност около равнобедрен триъгълник. Нека бъде а, бтогава са страните на триъгълника