Най-простото едноцифрено просто число. Формули за прости числа
В тази статия ще проучим прости и съставни числа. Първо, ние даваме определения на прости и съставни числа, а също така даваме примери. След това доказваме, че има безкрайно много прости числа. След това пишем таблица с прости числа и разглеждаме методите за съставяне на таблица с прости числа, особено внимателно ще се спрем на метода, наречен ситото на Ератостен. В заключение подчертаваме основните моменти, които трябва да се вземат предвид при доказване, че дадено число е просто или съставно.
Навигация в страницата.
Прости и съставни числа - определения и примери
Понятията за прости числа и съставни числа се отнасят до тези, които са по-големи от едно. Такива цели числа в зависимост от броя на техните положителни делители се делят на прости и съставни числа. Така че да се разбере дефиниции на прости и съставни числа, трябва да имате добра представа какво представляват делителите и кратните.
Определение.
прости числаса цели числа, по-големи от едно, които имат само два положителни делителя, а именно себе си и 1.
Определение.
Съставни числаса цели числа, по-големи от едно, които имат поне три положителни делителя.
Отделно отбелязваме, че числото 1 не се отнася нито за прости, нито за съставни числа. Единицата има само един положителен делител, който е самото число 1. Това отличава числото 1 от всички други положителни числа, които имат поне два положителни делителя.
Като се има предвид, че положителните цели числа са , и че единицата има само един положителен делител, могат да бъдат дадени други формулировки на изразените дефиниции на прости и съставни числа.
Определение.
прости числаса естествени числа, които имат само два положителни делителя.
Определение.
Съставни числаса естествени числа, които имат повече от два положителни делителя.
Обърнете внимание, че всяко положително цяло число, по-голямо от едно, е или просто число, или съставно число. С други думи, няма нито едно цяло число, което да не е нито просто, нито съставно. Това следва от свойството за делимост, което казва, че числата 1 и a винаги са делители на всяко цяло число a.
Въз основа на информацията в предишния параграф можем да дадем следната дефиниция на съставните числа.
Определение.
Естествени числа, които не са прости, се наричат съставна.
Да донесем примери за прости и съставни числа.
Като примери за съставни числа даваме 6 , 63 , 121 и 6697 . Това твърдение също се нуждае от обяснение. Числото 6, в допълнение към положителните делители 1 и 6, има и делители 2 и 3, тъй като 6 \u003d 2 3, следователно 6 наистина е съставно число. Положителните делители на 63 са числата 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 63 . Числото 121 е равно на произведението на 11 11 , така че неговите положителни делители са 1 , 11 и 121 . А числото 6697 е съставно, тъй като неговите положителни делители, освен 1 и 6697, са и числата 37 и 181.
В заключение на този параграф бих искал също така да обърна внимание на факта, че простите числа и взаимно простите числа далеч не са едно и също нещо.
Таблица с прости числа
Простите числа, за удобство на по-нататъшното им използване, се записват в таблица, която се нарича таблица на простите числа. По-долу е таблица с прости числадо 1000.
Възниква логичен въпрос: „Защо попълнихме таблицата на простите числа само до 1000, не е ли възможно да се направи таблица на всички съществуващи прости числа“?
Нека първо отговорим на първата част на този въпрос. За повечето задачи, които включват прости числа, ще са достатъчни прости числа до хиляда. В други случаи най-вероятно ще трябва да прибягвате до някои специални техники за решение. Въпреки че, разбира се, можем да таблица прости числа до произволно голямо крайно положително цяло число, независимо дали е 10 000 или 1 000 000 000 , в следващия параграф ще говорим за методите за съставяне на таблици с прости числа, по-специално ще анализираме метода Наречен.
Сега нека разгледаме възможността (или по-скоро невъзможността) за съставяне на таблица с всички съществуващи прости числа. Не можем да направим таблица с всички прости числа, защото има безкрайно много прости числа. Последното твърдение е теорема, която ще докажем след следващата помощна теорема.
Теорема.
Най-малкият положителен делител на естествено число, по-голямо от 1, различно от 1, е просто число.
Доказателство.
Нека бъде a е естествено число, по-голямо от едно, а b е най-малко положителният неединствен делител на a. Нека докажем, че b е просто число от противоречие.
Да предположим, че b е съставно число. Тогава има делител на числото b (нека го означим b 1 ), който е различен и от 1, и от b . Ако вземем предвид също, че абсолютната стойност на делителя не надвишава абсолютната стойност на дивидента (знаем това от свойствата на делимост), тогава условието 1
Тъй като числото a се дели на b по условие и казахме, че b се дели на b 1 , тогава концепцията за делимост ни позволява да говорим за съществуването на такива цели числа q и q 1, че a=b q и b=b 1 q 1 , откъдето a= b 1 ·(q 1 ·q) . От това следва, че произведението на две цели числа е цяло число, тогава равенството a=b 1 ·(q 1 ·q) показва, че b 1 е делител на числото a . Като се вземат предвид горните неравенства 1
Сега можем да докажем, че има безкрайно много прости числа.
Теорема.
Има безкрайно много прости числа.
Доказателство.
Да приемем, че не е. Тоест, да предположим, че има само n прости числа и тези прости числа са p 1 , p 2 , …, p n . Нека покажем, че винаги можем да намерим просто число, различно от посочените.
Да разгледаме число p, равно на p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Ясно е, че това число е различно от всяко от простите числа p 1 , p 2 , …, p n . Ако числото p е просто, тогава теоремата е доказана. Ако това число е съставно, тогава, по силата на предишната теорема, има прост делител на това число (нека го означим p n+1 ). Нека покажем, че този делител не съвпада с нито едно от числата p 1 , p 2 , …, p n .
Ако това не беше така, тогава според свойствата на делимост произведението p 1 ·p 2 ·…·p n би се делило на p n+1 . Но числото p също се дели на p n+1, равно на сумата p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Това означава, че вторият член на тази сума, който е равен на единица, трябва да се дели на p n+1, а това е невъзможно.
По този начин се доказва, че винаги може да се намери ново просто число, което не се съдържа сред нито един предварително зададен брой прости числа. Следователно има безкрайно много прости числа.
И така, поради факта, че има безкрайно много прости числа, при съставянето на таблици с прости числа те винаги се ограничават отгоре до някакво число, обикновено 100, 1000, 10 000 и т.н.
Сито на Ератостен
Сега ще обсъдим начините за съставяне на таблици с прости числа. Да предположим, че трябва да направим таблица с прости числа до 100.
Най-очевидният метод за решаване на този проблем е последователната проверка на положителни цели числа, започващи с 2 и завършващи със 100 , за наличието на положителен делител, който е по-голям от 1 и по-малък от проверяваното число (от свойствата на делимост, ние Знайте, че абсолютната стойност на делителя не надвишава абсолютната стойност на дивидента, различна от нула). Ако такъв делител не бъде намерен, тогава проверяваното число е просто и се вписва в таблицата на простите числа. Ако се намери такъв делител, тогава проверяваното число е съставно, то НЕ се въвежда в таблицата с прости числа. След това има преход към следващото число, което по подобен начин се проверява за наличието на делител.
Нека опишем първите няколко стъпки.
Започваме с числото 2. Числото 2 няма положителни делители, различни от 1 и 2. Следователно, той е прост, следователно го въвеждаме в таблицата на простите числа. Тук трябва да се каже, че 2 е най-малкото просто число. Да преминем към номер 3. Неговият възможен положителен делител, различен от 1 и 3, е 2. Но 3 не се дели на 2, следователно 3 е просто число и също трябва да бъде въведено в таблицата с прости числа. Да преминем към номер 4. Неговите положителни делители, различни от 1 и 4, могат да бъдат 2 и 3, нека ги проверим. Числото 4 се дели на 2, следователно 4 е съставно число и не е необходимо да се въвежда в таблицата с прости числа. Имайте предвид, че 4 е най-малкото съставно число. Да преминем към номер 5. Проверяваме дали поне едно от числата 2, 3, 4 е негов делител. Тъй като 5 не се дели нито на 2, нито на 3, нито на 4, то е просто и трябва да бъде записано в таблицата с прости числа. След това има преход към числата 6, 7 и така нататък до 100.
Този подход за съставяне на таблица с прости числа далеч не е идеален. По един или друг начин той има право да съществува. Имайте предвид, че с този метод за конструиране на таблица с цели числа можете да използвате критерии за делимост, което леко ще ускори процеса на намиране на делители.
Има по-удобен начин за съставяне на таблица с прости числа, наречена . Думата „сито“, присъстваща в името, не е случайна, тъй като действията на този метод помагат сякаш да се „пресят“ през ситото на цели числа на Ератостен, големи единици, за да се отделят простите от сложните.
Нека покажем ситото на Ератостен в действие при съставяне на таблица с прости числа до 50.
Първо, записваме числата 2, 3, 4, ..., 50 в ред.
Първото записано число 2 е просто. Сега, от числото 2, ние последователно се придвижваме надясно с две числа и зачеркваме тези числа, докато стигнем до края на съставената таблица с числа. Така че всички числа, кратни на две, ще бъдат зачертани.
Първото незачертано число след 2 е 3. Това число е просто. Сега от числото 3 последователно се придвижваме надясно с три числа (като вземем предвид вече зачеркнатите числа) и ги зачеркваме. Така че всички числа, които са кратни на три, ще бъдат зачертани.
Първото незачертано число след 3 е 5. Това число е просто. Сега от числото 5 последователно се движим надясно с 5 числа (взимаме и зачеркнатите по-рано числа) и ги зачеркваме. Така че всички числа, кратни на пет, ще бъдат зачертани.
След това зачертаваме числа, които са кратни на 7, след това кратни на 11 и т.н. Процесът приключва, когато не останат числа за зачертаване. По-долу е попълнена таблица с прости числа до 50, получени с помощта на ситото на Ератостен. Всички незачеркнати числа са прости, а всички зачеркнати са съставни.
Нека също така формулираме и докажем теорема, която ще ускори процеса на съставяне на таблица с прости числа с помощта на ситото на Ератостен.
Теорема.
Най-малкият положителен не-един делител на съставно число a не надвишава , където е от a .
Доказателство.
Нека b означава най-малкият делител на съставното число a, който се различава от единицата (числото b е просто, което следва от теоремата, доказана в самото начало на предишния параграф). Тогава има цяло число q такова, че a=b q (тук q е положително цяло число, което следва от правилата за умножение на цели числа) и (когато b>q, условието b е най-малкият делител на a е нарушено, тъй като q също е делител на a поради равенството a=q b ). Умножавайки двете страни на неравенството с положително и по-голямо от едно цяло число b (позволено ни е да направим това), получаваме , откъдето и .
Какво ни дава доказаната теорема относно ситото на Ератостен?
Първо, изтриването на съставни числа, които са кратни на просто число b, трябва да започне с число, равно на (това следва от неравенството ). Например, зачеркването на числа, които са кратни на две, трябва да започне с числото 4, кратно на три - с числото 9, кратно на пет - с числото 25 и т.н.
Второ, съставянето на таблица с прости числа до числото n с помощта на ситото на Ератостен може да се счита за завършено, когато всички съставни числа, които са кратни на прости числа, които не надвишават, са зачертани. В нашия пример, n=50 (тъй като табулираме прости числа до 50) и , така че ситото на Ератостен трябва да отсее всички съставни кратни на простите числа 2, 3, 5 и 7, които не надвишават аритметичния квадратен корен от 50 . Тоест вече не е необходимо да търсим и зачеркваме числа, кратни на прости числа 11 , 13 , 17 , 19 , 23 и така нататък до 47 , тъй като те вече ще бъдат зачертани като кратни на по-малки прости числа 2 , 3, 5 и 7.
Това число просто или съставно ли е?
Някои задачи изискват да се установи дали дадено число е просто или съставно. В общия случай тази задача далеч не е проста, особено за числа, чийто запис се състои от значителен брой знаци. В повечето случаи трябва да потърсите някакъв конкретен начин да го решите. Все пак ще се опитаме да дадем посока на хода на мислите за прости случаи.
Несъмнено може да се опита да използва критерии за делимост, за да докаже, че дадено число е съставно. Ако, например, някакъв критерий за делимост показва, че даденото число се дели на някакво положително цяло число, по-голямо от едно, тогава първоначалното число е съставно.
Пример.
Докажете, че числото 898 989 898 989 898 989 е съставно.
Решение.
Сборът от цифрите на това число е 9 8+9 9=9 17 . Тъй като числото, равно на 9 17, се дели на 9, тогава по критерия за делимост на 9 може да се твърди, че първоначалното число също се дели на 9. Следователно е композитен.
Съществен недостатък на този подход е, че критериите за делимост не ни позволяват да докажем простотата на число. Следователно, когато проверявате число за това дали е просто или съставно, трябва да процедирате по различен начин.
Най-логичният подход е да се изброят всички възможни делители на дадено число. Ако нито един от възможните делители не е истински делител на дадено число, то това число е просто; в противен случай е съставно. От теоремите, доказани в предишния параграф, следва, че делителите на дадено число a трябва да се търсят сред прости числа, които не надвишават . По този начин даденото число a може да бъде разделено последователно на прости числа (които е удобно да се вземат от таблицата с прости числа), опитвайки се да намерим делителя на числото a. Ако се намери делител, числото a е съставно. Ако сред простите числа, които не надвишават , няма делител на числото a, тогава числото a е просто.
Пример.
номер 11 723 просто или сложно?
Решение.
Нека разберем на какво просто число могат да бъдат делителите на числото 11 723. За това оценяваме.
Съвсем очевидно е, че 
, от 200 2 \u003d 40 000 и 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью сравнение на числата). По този начин възможните прости делители на 11 723 са по-малко от 200. Това вече значително опростява нашата задача. Ако не знаехме това, тогава ще трябва да сортираме всички прости числа не до 200, а до числото 11 723.
Ако желаете, можете да прецените по-точно. Тъй като 108 2 = 11 664 и 109 2 = 11 881, тогава 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. По този начин всяко от простите числа по-малко от 109 е потенциално прост делител на даденото число 11 723.
Сега ще разделим последователно числото 11 723 на прости числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 1 , 5 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ако числото 11 723 се раздели изцяло на едно от записаните прости числа, то ще бъде съставно. Ако не се дели на нито едно от записаните прости числа, тогава първоначалното число е просто.
Няма да описваме целия този монотонен и монотонен процес на разделяне. Да кажем, че 11 723
Списък на делителите.По дефиниция, числото не просто само ако не се дели равномерно на 2 и на всякакви цели числа, различни от 1 и себе си. Горната формула премахва ненужните стъпки и спестява време: например след проверка дали числото се дели на 3, няма нужда да проверявате дали се дели на 9.
- Функцията floor(x) закръгля x до най-близкото цяло число, по-малко или равно на x.
Научете повече за модулната аритметика.Операцията "x mod y" (mod е съкращение на латинската дума "modulo", тоест "модул") означава "разделете x на y и намерете остатъка". С други думи, в модулната аритметика, при достигане на определена стойност, която се нарича модул, числата "се връщат" обратно към нула. Например часовник измерва времето с модул 12: показва 10, 11 и 12 часа и след това се връща на 1.
- Много калкулатори имат ключ за мод. Краят на този раздел показва как ръчно да изчислите тази функция за големи числа.
Научете за клопките на Малката теорема на Ферма.Всички числа, за които не са изпълнени условията на теста, са съставни, но останалите числа са само вероятносе считат за прости. Ако искате да избегнете неправилни резултати, потърсете нв списъка на „числата на Кармайкъл“ (съставни числа, които удовлетворяват този тест) и „псевдо-прости числа на Ферма“ (тези числа отговарят на условията на теста само за някои стойности а).
Ако е удобно, използвайте теста на Милър-Рабин.Въпреки че този метод е доста тромав за ръчни изчисления, той често се използва в компютърни програми. Той осигурява приемлива скорост и дава по-малко грешки от метода на Ферма. Съставното число няма да се приема като просто число, ако се правят изчисления за повече от ¼ стойности а. Ако произволно изберете различни стойности аи за всички тях тестът ще даде положителен резултат, можем да приемем с доста висока степен на увереност, че не просто число.
За големи числа използвайте модулна аритметика.Ако нямате под ръка моден калкулатор или ако калкулаторът ви не е проектиран да обработва толкова големи числа, използвайте свойствата на мощността и модулната аритметика, за да улесните изчисленията си. По-долу е даден пример за 3 50 (\displaystyle 3^(50))мод 50:
- Препишете израза в по-удобна форма: mod 50. При ръчно изчисляване може да са необходими допълнителни опростявания.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Тук сме взели предвид свойството на модулното умножение.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25))мод 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25))мод 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25))мод 50) мод 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))мод 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849)мод 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
М. Гарднър цветно разказва как е направено това наблюдение в Mathematical Leisures (М., Мир, 1972). Ето това парче (стр. 413-417):
В зависимост от подредбата на цели числа, простите числа могат да образуват един или друг модел. Веднъж математикът Станислав М. Улам трябваше да присъства на един много дълъг и много скучен, по думите му, доклад. За да се забавлява по някакъв начин, той нарисува вертикални и хоризонтални линии на лист хартия и искаше да започне да съставя шахматни изследвания, но след това промени решението си и започна да номерира пресечките, като постави 1 в центъра и се движи обратно на часовниковата стрелка в спирала . Без никакви скрити мотиви той обгради всички прости числа. Скоро, за негова изненада, кръговете започнаха да се подреждат по правите линии с удивителна упоритост. На фиг. 203 показва как изглежда спиралата със сто първи числа (от 1 до 100). [ Това е съкратена версия за два оборота на фигура 1 по-горе, така че не я включвам тук. — E.G.A.] За удобство числата са вписани в клетки и не стоят на пресечната точка на линиите.
Близо до центъра все още може да се очаква подреждането на простите числа по правите, тъй като плътността на простите числа първоначално е висока и всички те, с изключение на числото 2, са нечетни. Ако клетките на шахматната дъска са номерирани в спирала, тогава всички нечетни числа ще паднат върху клетките от същия цвят. Като вземете 17 пешки (съответстващи на 17 прости числа, ненадвишаващи 64) и ги поставите на случаен принцип върху квадратчета от същия цвят, ще откриете, че пешките са подредени по диагоналните линии. Въпреки това, нямаше причина да се очаква, че в областта на големите числа, където плътността на простите числа е много по-малка, те също ще се подредят по прави линии. Улам се интересуваше как би изглеждала неговата спирала, ако бъде разширена до няколко хиляди прости числа.
В компютърния отдел на лабораторията в Лос Аламос, където работеше Улам, имаше магнитна лента, на която бяха записани 90 милиона прости числа. Улам, заедно с Майрън Л. Щайн и Марк Б. Уелс, написаха програма за компютъра MANIAC, която позволяваше последователни цели числа от 1 до 65 000 да бъдат отпечатани върху спирала. Показан е полученият модел (понякога наричан "покривка за маса от Улам"). на фиг. 204. [ И това е разширена версия на горната фигура 2, затова я представям. — E.G.A.] Обърнете внимание на факта, че дори в ръба на картината, простите числа продължават послушно да се вписват по прави линии.
На първо място, поразителни са струпванията от прости числа по диагоналите, но е доста забележима друга тенденция на простите числа - да се подреждат по вертикални и хоризонтални линии, на които всички клетки, свободни от прости числа, са заети от нечетни числа. Прости числа, попадащи върху линии, удължени извън сегмент, който съдържа последователни числа, лежащи на някакъв завой на спиралата, могат да се разглеждат като стойности на някои квадратни изрази, започващи с член 4 х². Например последователността от прости числа 5, 19, 41, 71, стояща върху един от диагоналите на фиг. 204, са стойностите, взети от квадратния трином 4 х² + 10 х+ 5 в хравно на 0, 1, 2 и 3. От фиг. 204 може да се види, че квадратните изрази, които приемат прости стойности, са „бедни“ (даващи малко прости числа) и „богати“ и че цели „разсипи“ на прости числа се наблюдават на „богати“ линии.
Като започнем спиралата не от 1, а от някакво друго число, получаваме други квадратни изрази за прости числа, подредени по прави линии. Помислете за спирала, започваща с числото 17 (фиг. 205, вляво). Числата по главния диагонал, минаващи от "североизток" към "югозапад", се генерират от квадратния тричлен 4 х² + 2 х+ 17. Заместване на положителни стойности х, получаваме долната половина на диагонала, като заменим отрицателните стойности - горната. Ако разгледаме целия диагонал и пренаредим простите числа във възходящ ред, се оказва (и това е приятна изненада), че всички числа се описват с по-проста формула х² + х+ 17. Това е една от многото „генериращи“ формули за прости числа, открити още през 18 век от великия математик Леонхард Ойлер. В х, който приема стойности от 0 до 15, дава само прости числа. Следователно, разширявайки диагонала, докато запълни квадрата 16x16, виждаме, че целият диагонал е изпълнен с прости числа.
Най-известният квадратен трином на Ойлер, произвеждащ прости числа, х² + х+ 41, ще се окаже, ако започнете спиралата с числото 41 (фиг. 205, вдясно). Този трином ви позволява да получите 40 последователни прости числа, които запълват целия диагонал на 40 × 4 квадрат 0! Отдавна е известно, че от първите 2398 стойности, взети от този трином, точно половината са прости. След като преминаха през всички стойности на известния трином, ненадвишаващ 10 000 000, Улам, Стайн и Уелс откриха, че делът на простите числа между тях е 0,475 ... . Математиците много биха искали да открият формула, която ви позволява да стигнете до всекиобщо взето хразлични прости числа, но досега не е открита такава формула. Може би не съществува.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ориз. 205. Диагонали, пълни с прости числа, генерирани от квадратни тричлени х² + х+ 17 (вляво) и х² + х+ 41 (вдясно). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Спиралата Ulam повдигна много нови въпроси относно моделите и случайността в разпределението на простите числа. Има ли редове, съдържащи безкрайно много прости числа? Каква е максималната плътност на разпределение на простите числа по редовете? Разпределението на плътността на простите числа в квадрантите на покривката на Улам се различават значително, ако приемем, че продължава безкрайно много? Уламската спирала е забавна, но трябва да се приема сериозно.
Простото число е естествено число, което се дели само на себе си и на единица.
Останалите числа се наричат съставни.
Прости естествени числа
Но не всички естествени числа са прости.
Прости естествени числа са само тези, които се делят само на себе си и на единица.
Примери за прости числа:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Прости цели числа
От това следва, че само естествените числа са прости числа.
Това означава, че простите числа са задължително естествени.
Но всички естествени числа също са цели числа.
Следователно всички прости числа са цели числа.
Примери за прости числа:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Дори прости числа
Има само едно четно просто число и това са две.
Всички останали прости числа са нечетни.
Защо четно число, по-голямо от две, не може да бъде просто число?
Но тъй като всяко четно число, по-голямо от две, ще се дели само по себе си, не на едно, а на две, тоест такова число винаги ще има три делителя, а може и повече.