Изваждане на числа с различни знаци. Събиране на цяло числа: обща идея, правила, примери

Събиране на отрицателни числа.

Сборът от отрицателни числа е отрицателно число. Модулът на сбора е равен на сбора от модулите на членовете.

Нека видим защо сборът от отрицателни числа също ще бъде отрицателно число. За това ще ни помогне координатната линия, върху която ще извършим събирането на числата -3 и -5. Нека отбележим точка на координатната права, съответстваща на числото -3.

Към числото -3 трябва да добавим числото -5. Накъде отиваме от точката, съответстваща на числото -3? Точно вдясно, наляво! За 5 единични сегмента. Маркираме точката и записваме съответстващото й число. Това число е -8.

Така че, когато добавяме отрицателни числа с помощта на координатна линия, ние винаги сме вляво от референтната точка, следователно е ясно, че резултатът от добавянето на отрицателни числа също е отрицателно число.

Забележка.Добавихме числата -3 и -5, т.е. намери стойността на израза -3+(-5). Обикновено, когато добавят рационални числа, те просто записват тези числа с техните знаци, сякаш изброяват всички числа, които трябва да се добавят. Такава нотация се нарича алгебрична сума. Приложете (в нашия пример) запис: -3-5=-8.

Пример.Намерете сбора от отрицателни числа: -23-42-54. (Съгласете се, че този запис е по-кратък и по-удобен по следния начин: -23+(-42)+(-54))?

Ние решавамепо правилото за събиране на отрицателни числа: събираме модулите на членовете: 23+42+54=119. Резултатът ще бъде със знак минус.

Обикновено го записват така: -23-42-54 \u003d -119.

Събиране на числа с различни знаци.

Сборът от две числа с различни знаци има знака на събираемото с голям модул. За да намерите модула на сбора, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул.

Нека извършим събирането на числа с различни знаци с помощта на координатната линия.

1) -4+6. Необходимо е да добавите числото -4 към числото 6. Отбелязваме числото -4 с точка на координатната линия. Числото 6 е положително, което означава, че от точката с координата -4 трябва да отидем вдясно с 6 единични сегмента. Стигнахме вдясно от началото (от нула) с 2 единични сегмента.

Резултатът от сбора на числата -4 и 6 е положителното число 2:

— 4+6=2. Как можахте да получите числото 2? Извадете 4 от 6, т.е. извадете по-малкото от по-голямото. Резултатът има същия знак като термина с голям модул.

2) Нека изчислим: -7+3 с помощта на координатната линия. Отбелязваме точката, съответстваща на числото -7. Отиваме вдясно с 3 единични сегмента и получаваме точка с координата -4. Бяхме и останахме вляво от началото: отговорът е отрицателно число.

— 7+3=-4. Можем да получим този резултат по следния начин: извадихме по-малкия от по-големия модул, т.е. 7-3=4. В резултат на това се задава знакът на термина с по-голям модул: |-7|>|3|.

Примери.Изчисли: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

В тази статия ще разгледаме подробно как цяло число. Първо, нека формираме обща представа за събирането на цели числа и да видим какво представлява събирането на цели числа на координатна линия. Това знание ще ни помогне да формулираме правилата за добавяне на положителни, отрицателни и цели числа с различни знаци. Тук ще анализираме подробно прилагането на правилата за събиране при решаване на примери и ще научим как да проверяваме получените резултати. В заключение на статията ще говорим за събирането на три или повече цели числа.

Навигация в страницата.

Разбиране на събирането на цяло число

Нека да дадем примери за събиране на цели противоположни числа. Сборът от числата −5 и 5 е нула, сборът от 901+(−901) е нула, а сборът от противоположните цели числа 1 567 893 и −1 567 893 също е нула.

Добавяне на произволно цяло число и нула

Нека използваме координатната линия, за да разберем какъв е резултатът от добавянето на две цели числа, едното от които е равно на нула.

Добавянето на произволно цяло число a към нула означава преместване на единични сегменти от началото на разстояние a. Така се озоваваме в точка с координата а. Следователно резултатът от добавянето на нула и произволно цяло число е добавеното цяло число.

От друга страна, добавянето на нула към произволно цяло число означава преместване от точката, чиято координата е дадена от даденото цяло число, до разстояние от нула. С други думи, ще останем в началната точка. Следователно резултатът от добавянето на произволно цяло число и нула е даденото цяло число.

Така, сумата от две цели числа, едното от които е нула, е равна на другото цяло число. По-специално, нула плюс нула е нула.

Нека да дадем няколко примера. Сборът от цели числа 78 и 0 е 78; резултатът от добавянето на нула и −903 е −903 ; също 0+0=0.

Проверка на резултата от събирането

След добавяне на две цели числа е полезно да проверите резултата. Вече знаем, че за да проверите резултата от събирането на две естествени числа, трябва да извадите някое от членовете от получената сума и трябва да се получи друг член. Проверка на резултата от събиране на цяло числоизпълнени по подобен начин. Но изваждането на цели числа се свежда до добавяне към минуса на числото, противоположно на това, което се изважда. По този начин, за да проверите резултата от добавянето на две цели числа, трябва да добавите числото, противоположно на който и да е от термините, към получената сума и трябва да се получи друг член.

Нека разгледаме примери с проверка на резултата от добавяне на две цели числа.

Пример.

При добавяне на две цели числа 13 и −9 се получи числото 4, проверете резултата.

Решение.

Нека добавим към получената сума 4 числото -13, обратното на члена 13, и да видим дали ще получим друг член -9.

Така че нека изчислим сумата 4+(−13) . Това е сборът от цели числа с противоположни знаци. Модулите на членовете са съответно 4 и 13. Терминът, чийто модул е ​​по-голям, има знак минус, който помним. Сега изваждаме от по-големия модул изваждаме по-малкия: 13−4=9 . Остава да поставим запомнен знак минус пред полученото число, имаме -9.

При проверка получихме число, равно на друг термин, следователно първоначалната сума беше изчислена правилно.-19 . Тъй като получихме число, равно на друг член, събирането на числата −35 и −19 беше извършено правилно.

Добавяне на три или повече цели числа

До този момент говорихме за добавяне на две цели числа. С други думи, ние разглеждахме суми, състоящи се от два члена. Въпреки това, асоциативното свойство на добавяне на цели числа ни позволява еднозначно да определим сумата от три, четири или повече цели числа.

Въз основа на свойствата на събирането на цели числа можем да твърдим, че сумата от три, четири и т.н. числа не зависи от начина, по който са поставени скобите, указващи реда, в който се извършват действията, както и от ред на условията в сбора. Ние обосноваваме тези твърдения, когато говорихме за събирането на три или повече естествени числа. За цели числа всички аргументи са напълно еднакви и няма да се повтаряме.0+(−101) +(−17)+5 . След това, поставяйки скобите по какъвто и да е позволен начин, все още получаваме числото −113.

Отговор:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.

В този урок ще научим какво е отрицателно число и кои числа се наричат ​​противоположни. Ще научим също как да събираме отрицателни и положителни числа (числа с различни знаци) и ще анализираме няколко примера за събиране на числа с различни знаци.

Вижте тази предавка (вижте фиг. 1).

Ориз. 1. Часовник

Това не е стрелка, която директно показва часа, а не циферблат (виж фиг. 2). Но без тази подробност часовникът не работи.

Ориз. 2. Оборудване вътре в часовника

Какво означава буквата Y? Нищо освен звука Y. Но без него много думи няма да „работят“. Например думата "мишка". Същото е и с отрицателните числа: те не показват никаква сума, но без тях механизмът за изчисление би бил много по-труден.

Знаем, че събирането и изваждането са равни операции и могат да се извършват в произволен ред. В директен ред можем да изчислим: , но няма начин да започнем с изваждане, тъй като все още не сме се разбрали, но какво е .

Ясно е, че увеличаването на броя с и след това намаляването означава, че в резултат намалява с три. Защо да не обозначите този обект и да го преброите по този начин: да добавите означава да извадите. Тогава .

Числото може да означава например ябълки. Новото число не представлява никакво реално количество. Само по себе си, това не означава нищо, като буквата Y. Това е просто нов инструмент за опростяване на изчисленията.

Да назовем нови числа отрицателен. Сега можем да извадим по-голямо число от по-малко число. Технически, все още трябва да извадите по-малкото число от по-голямото число, но да поставите знак минус в отговора: .

Нека разгледаме друг пример: . Можете да правите всички действия подред:.

Въпреки това е по-лесно да извадите третото число от първото число и след това да добавите второто число:

Отрицателните числа могат да се дефинират по друг начин.

За всяко естествено число, например, нека въведем ново число, което означаваме, и да определим, че то има следното свойство: сумата от числото и е равно на : .

Числото ще се нарича отрицателно, а числата и - противоположно. Така получаваме безкраен брой нови числа, например:

Обратното на числото;

Обратното на ;

Обратното на ;

Обратното на ;

Извадете по-голямото число от по-малкото: Нека добавим към този израз: . Имаме нула. Въпреки това, според свойството: число, което събира до пет, дава нула, се обозначава минус пет:. Следователно изразът може да бъде обозначен като .

Всяко положително число има число близнак, което се различава само по това, че се предхожда от знак минус. Такива числа се наричат противоположно(Виж фиг. 3).

Ориз. 3. Примери за противоположни числа

Свойства на противоположни числа

1. Сборът от противоположни числа е равен на нула:.

2. Ако извадите положително число от нула, тогава резултатът ще бъде обратното отрицателно число: .

1. И двете числа могат да бъдат положителни и вече знаем как да ги съберем: .

2. И двете числа могат да бъдат отрицателни.

Вече разгледахме добавянето на такива числа в предишния урок, но ще се погрижим да разберем какво да правим с тях. Например: .

За да намерите тази сума, добавете противоположни положителни числа и поставете знак минус.

3. Едно число може да бъде положително, а друго отрицателно.

Можем да заменим събирането на отрицателно число, ако ни е удобно, с изваждане на положително:.

Още един пример:. Отново запишете сумата като разлика. Можете да извадите по-голямо число от по-малко число, като извадите по-малко число от по-голямо, но поставите знак минус.

Термините могат да се разменят: .

Друг подобен пример: .

Във всички случаи резултатът е изваждане.

За да формулираме накратко тези правила, нека си припомним още един термин. Противоположните числа, разбира се, не са равни едно на друго. Но би било странно да не забележим, че имат нещо общо. Това обичайно наричахме модул на числото. Модулът на противоположните числа е един и същ: за положително число е равно на самото число, а за отрицателно е обратното, положително. Например: , .

За да добавите две отрицателни числа, добавете техния модул и поставете знак минус:

За да добавите отрицателно и положително число, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и да поставите знака на числото с по-големия модул:

И двете числа са отрицателни, следователно добавете техните модули и поставете знак минус:

Две числа с различни знаци, следователно, от модула на числото (по-голям модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знакът на числото с по-голям модул):

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-голям модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знакът на числото с голям модул): .

Две числа с различни знаци, следователно, извадете модула на числото от модула на числото (по-голям модул) и поставете знак плюс (знак на числото с голям модул): .

Положителните и отрицателните числа имат исторически различни роли.

Първо, въведохме естествени числа за броене на обекти:

След това въведохме други положителни числа - дроби, за броене на нецели количества, части: .

Отрицателните числа се появиха като инструмент за опростяване на изчисленията. Нямаше такова нещо в живота да има някакви количества, които да не можем да преброим, и ние измислихме отрицателни числа.

Тоест отрицателните числа не произлизат от реалния свят. Просто се оказаха толкова удобни, че на някои места бяха използвани в живота. Например, често чуваме за отрицателни температури. В този случай никога не срещаме отрицателен брой ябълки. Каква е разликата?

Разликата е, че в реалния живот отрицателните стойности се използват само за сравнение, а не за количества. Ако в хотела е оборудвано мазе и там е пуснат асансьор, тогава, за да се остави обичайното номериране на обикновените етажи, може да се появи минус първия етаж. Това минус едно означава само един етаж под нивото на земята (виж фиг. 1).

Ориз. 4. Минус първи и минус втори етажи

Отрицателната температура е отрицателна само в сравнение с нулата, която е избрана от автора на скалата Андерс Целзий. Има и други везни и същата температура може вече да не е отрицателна там.

В същото време разбираме, че е невъзможно да се промени отправната точка, така че да има не пет, а шест ябълки. Така в живота положителните числа се използват за определяне на количествата (ябълки, торта).

Ние също ги използваме вместо имена. Всеки телефон може да получи собствено име, но броят на имената е ограничен и няма номера. Затова използваме телефонни номера. Също и за поръчка (век следва век).

Отрицателните числа в живота се използват в последния смисъл (минус първия етаж под нулата и първия етаж)

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. "Гимназия", 2006г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. Москва: Образование, 1989.
4. Рурукин A.N., Чайковски I.V. Задачи за курса по математика 5-6 клас. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас на задочно училище MEPhI. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас на СОУ. М .: Образование, Библиотека за учители по математика, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. youtube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Домашна работа

Инструкция

Има четири вида математически операции: събиране, изваждане, умножение и деление. Следователно ще има четири вида примери с. Отрицателните числа в примера са подчертани, за да не се обърка математическата операция. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).

Добавяне. Това действие може да изглежда така: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Замяна на действието: първо се отварят скобите, знакът "+" се обръща, след това по-малкото "3" се изважда от по-голямото (модулно) число "6", след което на отговора се присвоява по-големият знак, т.е. , "-".
2) -3+6=3. Това може да се запише като - ("6-3") или според принципа "извадете по-малкото от по-голямото и припишете знака на по-голямото на отговора."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При отваряне се заменя действието на събиране с изваждане, след което модулите се сумират и на резултата се дава знак минус.

Изваждане.1) 8-(-5)=8+5=13. Скобите се отварят, знакът на действието се обръща и се получава пример за събиране.
2) -9-3=-12. Елементите на примера се събират заедно и им се дава общ знак "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При отваряне на скобите знакът отново се променя на "+", след което по-малкото число се изважда от по-голямото и знакът на по-голямото число се взема от отговора.

Умножение и деление.При извършване на умножение или деление знакът не влияе на самата операция. При умножение или деление на числата на отговора се приписва знак минус, ако числата са с еднакви знаци, резултатът винаги има знак плюс 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Източници:

• таблица с минуси

Как да решим примери? Децата често се обръщат към родителите си с този въпрос, ако трябва да се направи домашна работа. Как правилно да обясним на дете решението на примери за събиране и изваждане на многоцифрени числа? Нека се опитаме да разберем това.

Ще имаш нужда

• 1. Учебник по математика.
• 2. Хартия.
• 3. Дръжка.

Инструкция

Прочетете примера. За да направите това, всяко многозначно е разделено на класове. Започвайки от края на числото, пребройте три цифри и поставете точка (23.867.567). Припомнете си, че първите три цифри от края на числото до единици, следващите три - до класа, след това има милиони. Четем числото: двадесет и три осемстотин шестдесет и седем хиляди шестдесет и седем.

Запишете пример. Моля, имайте предвид, че единиците на всяка цифра се изписват строго една под друга: единици под единици, десетки под десетки, стотици под стотици и т.н.

Извършете събиране или изваждане. Започнете да изпълнявате действието с единици. Запишете резултата под категорията, с която е извършено действието. Ако се оказа число (), тогава записваме единиците на мястото на отговора и добавяме броя на десетките към единиците на разряда. Ако броят на единиците от която и да е цифра в minuend е по-малък от този в изваждането, вземаме 10 единици от следващата цифра, изпълняваме действието.

Прочетете отговора.

Подобни видеа

Забележка

Забранете на детето си да използва калкулатор, дори да провери решението на пример. Събирането се тества чрез изваждане, а изваждането се проверява чрез събиране.

Полезен съвет

Ако детето научи добре техниките на писмени изчисления в рамките на 1000, тогава действията с многоцифрени числа, извършени по аналогия, няма да предизвикат трудности.
Организирайте състезание за вашето дете: колко примера може да реши за 10 минути. Такова обучение ще помогне за автоматизирането на изчислителните техники.

Умножението е една от четирите основни математически операции и е в основата на много по-сложни функции. В този случай всъщност умножението се основава на операцията събиране: познаването на това ви позволява да решите правилно всеки пример.

За да се разбере същността на операцията за умножение, е необходимо да се вземе предвид, че в нея участват три основни компонента. Един от тях се нарича първи фактор и представлява числото, което е подложено на операцията за умножение. Поради тази причина той има второ, малко по-рядко срещано име - "множител". Вторият компонент на операцията за умножение се нарича втори фактор: това е числото, с което се умножава умножението. По този начин и двата компонента се наричат ​​умножители, което подчертава равноправния им статус, както и факта, че те могат да бъдат разменени: резултатът от умножението няма да се промени от това. И накрая, третият компонент на операцията за умножение, произтичащ от нея, се нарича произведение.

Редът на операцията за умножение

Същността на операцията за умножение се основава на по-проста аритметична операция -. Всъщност умножението е сумиране на първия множител или умножението на такъв брой пъти, който съответства на втория фактор. Например, за да умножите 8 по 4, трябва да добавите числото 8 4 пъти, което води до 32. Този метод, освен че осигурява разбиране на същността на операцията за умножение, може да се използва за проверка на получения резултат чрез изчисляване на желания продукт. Трябва да се има предвид, че проверката задължително предполага, че членовете, включени в сумирането, са еднакви и съответстват на първия фактор.

Решаване на примери за умножение

По този начин, за да се реши , свързано с необходимостта от извършване на умножение, може да е достатъчно да добавите необходимия брой първи фактори определен брой пъти. Такъв метод може да бъде удобен за извършване на почти всякакви изчисления, свързани с тази операция. В същото време в математиката доста често има типични такива, в които участват стандартни едноцифрени цели числа. За да се улесни тяхното изчисляване, е създадено така нареченото умножение, което включва пълен списък от произведения на цели положителни едноцифрени числа, тоест числа от 1 до 9. Така, след като сте научили, можете значително да опростите процесът на решаване на примери за умножение, базиран на използването на такива числа. Въпреки това, за по-сложни опции ще е необходимо сами да извършите тази математическа операция.

Подобни видеа

Източници:

• Умножение през 2019 г

Умножението е една от четирите основни аритметични операции, която често се използва както в училище, така и в ежедневието. Как можете бързо да умножите две числа?

В основата на най-сложните математически изчисления са четири основни аритметични операции: изваждане, събиране, умножение и деление. В същото време, въпреки своята независимост, тези операции при по-внимателно разглеждане се оказват взаимосвързани. Такава връзка съществува например между събиране и умножение.

Операция за умножение на числа

Има три основни елемента, участващи в операцията за умножение. Първият от тях, който обикновено се нарича първи множител или множител, е числото, което ще бъде подложено на операцията за умножение. Вторият, който се нарича втори фактор, е числото, с което ще се умножи първият фактор. И накрая, резултатът от извършената операция за умножение най-често се нарича произведение.

Трябва да се помни, че същността на операцията за умножение всъщност се основава на събирането: за нейното изпълнение е необходимо да се съберат определен брой първи фактори, а броят на членовете в тази сума трябва да бъде равен на втория фактор. В допълнение към изчисляването на произведението на двата разглеждани фактора, този алгоритъм може да се използва и за проверка на получения резултат.

Пример за решаване на задача за умножение

Помислете за решенията на проблема с умножението. Да предположим, че според условията на присвояването е необходимо да се изчисли произведението на две числа, сред които първият фактор е 8, а вторият е 4. В съответствие с дефиницията на операцията за умножение, това всъщност означава, че вие трябва да добавите числото 8 4 пъти. Резултатът е 32 - това е произведението, считано за числа, тоест резултатът от тяхното умножение.

Освен това трябва да се помни, че за операцията за умножение се прилага т. нар. комутативен закон, който установява, че промяната на местата на факторите в оригиналния пример няма да промени неговия резултат. По този начин можете да добавите числото 4 8 пъти, което води до същия продукт - 32.

Таблица за умножение

Ясно е, че решаването на голям брой примери от един и същи тип по този начин е доста досадна задача. За да се улесни тази задача, е измислено така нареченото умножение. Всъщност това е списък с произведения на цели положителни едноцифрени числа. Най-просто казано, таблицата за умножение е колекция от резултати от умножение помежду си от 1 до 9. След като научите тази таблица, вече не можете да прибягвате до умножение, когато трябва да решите пример за такива прости числа, а просто запомнете неговия резултат.

Подобни видеа