Посочете реда на диференциалното уравнение онлайн. Решение на най-простите диференциални уравнения от първи ред

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и дефиниции

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, желаната функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва, както следва:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако желаната функция зависи от една независима променлива.

Чрез решаване на диференциалното уравнениесе нарича такава функция, която превръща това уравнение в тъждество.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциалното уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, чрез заместване y"в уравнението получаваме - идентичност.

А това означава, че функцията y = 5 ln x– е решението на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" + 6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина ли, .

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , - тъждество.

А това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процесът на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениесе нарича функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениесе нарича решението, получено от общото решение за различни числови стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на окръжността, е удобно да се представи произволна константа С във формата .

е общото решение на диференциалното уравнение.

Конкретно решение на уравнение, което удовлетворява началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; С=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x2+y2 = 5 2 .

Това е частно решение на диференциалното уравнение, получено от общото решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от вида , където C е произволна константа. Действително, замествайки в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C, равенството определя различни решения на уравнението.

Например, чрез директно заместване може да се провери дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която се изисква да се намери конкретно решение на уравнението y" = f(x, y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x0) = y0, се нарича проблемът на Коши.

Решение на уравнение y" = f(x, y), удовлетворяващо първоначалното условие, y(x0) = y0, се нарича решение на проблема на Коши.

Решението на задачата на Коши има просто геометричен смисъл. Всъщност, според тези дефиниции, за решаване на проблема на Коши y" = f(x, y)предвид това y(x0) = y0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x, y)който минава през дадена точка M0 (x0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение от вида F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнението y" = f(x, y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общо решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от вида , която съдържа една произволна константа.

Пример.Помислете за диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията .

Наистина, като заменим в това уравнение с неговата стойност, получаваме

т.е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява първоначалното условие y(1)=1Заместване на началните условия x=1, y=1в общото решение на уравнението , получаваме откъдето C=0.

По този начин получаваме конкретно решение от общото, като заместим в това уравнение получената стойност C=0е частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с отделими променливи

Диференциалното уравнение с разделими променливи е уравнение от вида: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)и g(y)са дадени функции.

За тези г, за което , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението в който променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x присъства само от дясната страна. Казват: „В уравнението y"=f(x)g(yразделяне на променливите.

Тип уравнение се нарича уравнение с отделна променлива.

След интегриране на двете части на уравнението На х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)и F(x)са някои антипроизводни, съответно, на функции и f(x), ° Спроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

реши уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"замени с

разделяме променливите

Нека интегрираме двете части на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, ако y 0 = 3при x0 = 1

Това е отделно уравнение с променлива. Нека го представим в диференциали. За да направите това, ние пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете части на последното равенство, намираме

Заместване на началните стойности x 0 = 1, y 0 = 3намирам С 9=1-1+° С, т.е. С = 9.

Следователно желаният частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка М(2;-3)и имащи допирателна с наклон

Решение. Според условието

Това е разделимо уравнение с променлива. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете части на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х=2и y=-3намирам ° С:

Следователно желаното уравнение има формата

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от вида y" = f(x)y + g(x)

където f(x)и g(x)- някои дадени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)наречен хетерогенен.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yдадено по формулата: къде Се произволна константа.

По-специално, ако C \u003d 0,тогава решението е y=0Ако линейното хомогенно уравнение има вида y" = kyкъдето ке някаква константа, то общото й решение има вида: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)дадено от формулата ,

тези. е равно на сбора от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

където ки б- някои числа и конкретно решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата.

Пример. реши уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Представяме уравнението във формата y" = -2y - 3където k=-2, b=-3Общото решение се дава по формулата .

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решение на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)се свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи с помощта на заместването y=uv, където uи v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Разграничете това равенство y"=u"v + uv"

3. Заместител ги y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението, така че uизвади го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е отделимо уравнение:

Разделете променливите и вземете:

Където . .

6. Заместете получената стойност vв уравнението (от т. 4):

и намерете функцията Това е разделимо уравнение:

7. Запишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0ако y=1при х=0

Решение. Нека го решим със замяна y=uv,.y"=u"v + uv"

Заместване ги y"в това уравнение получаваме

Групирайки втория и третия член от лявата страна на уравнението, изваждаме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби на нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с отделни променливи. Интегрираме двете части на това уравнение: Намерете функцията v:

Заменете получената стойност vв уравнението получаваме:

Това е отделно уравнение с променлива. Интегрираме двете части на уравнението: Да намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y=1при х=0:

III. Диференциални уравнения от по-висок порядък

3.1. Основни понятия и дефиниции

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни не по-високи от втория ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от вида , който включва две произволни константи C1и C2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общото за някои стойности на произволни константи C1и C2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни съотношения.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентисе нарича уравнение на формата y" + py" + qy = 0, където стри qса постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Запишете диференциалното уравнение във вида: y" + py" + qy = 0.

2. Съставете характерното му уравнение, като означите y"през r2, y"през r, гв 1: r2 + pr +q = 0

Този онлайн калкулатор ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите "производната на функцията" с апостроф и щракнете върху бутона "решете уравнение". И системата, внедрена на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще даде подробна информация решение на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също да зададете задача на Коши, за да изберете от целия набор от възможни решения конкретно, отговарящо на дадени начални условия. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.

Диференциално уравнение

По подразбиране в уравнението функцията ге функция на променлива х. Въпреки това, можете да зададете своя собствена променлива нотация, ако напишете, например, y(t) в уравнение, калкулаторът автоматично ще разпознае, че ге функция на променлива т. С калкулатора можете решаване на диференциални уравненияс всякаква сложност и вид: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи или втори и по-високи порядки, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Решение диф. уравнението е дадено в аналитичен вид, има подробно описание. Диференциалните уравнения са много разпространени във физиката и математиката. Без тяхното изчисление е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).

Една от стъпките при решаването на диференциални уравнения е интегрирането на функции. Има стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е уравненията да се приведат във вида с отделими променливи y и x и отделните функции да се интегрират отделно. За да направите това, понякога трябва да направите определена подмяна.

Диференциалното уравнение е уравнение, което включва функция и една или повече от нейните производни. В повечето практически задачи функциите са физически величини, производните съответстват на скоростите на промяна на тези величини и уравнението определя връзката между тях.

Тази статия разглежда методите за решаване на някои видове обикновени диференциални уравнения, чиито решения могат да бъдат записани във формата елементарни функции, тоест полиномни, експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции, както и техните обратни функции. Много от тези уравнения се срещат в реалния живот, въпреки че повечето други диференциални уравнения не могат да бъдат решени с тези методи и за тях отговорът се записва като специални функции или степенни редове, или се намира чрез числени методи.

За да разберете тази статия, трябва да знаете диференциално и интегрално смятане, както и да имате известно разбиране за частни производни. Препоръчва се също да се познават основите на линейната алгебра, приложени към диференциални уравнения, особено диференциални уравнения от втори ред, въпреки че познаването на диференциалното и интегралното смятане е достатъчно за решаването им.

Предварителна информация

• Диференциалните уравнения имат обширна класификация. Тази статия говори за обикновени диференциални уравнения, тоест за уравнения, които включват функция на една променлива и нейните производни. Обикновените диференциални уравнения са много по-лесни за разбиране и решаване, отколкото частни диференциални уравнения, които включват функции на няколко променливи. Тази статия не разглежда частни диференциални уравнения, тъй като методите за решаване на тези уравнения обикновено се определят от тяхната специфична форма.
  • По-долу са дадени някои примери за обикновени диференциални уравнения.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • По-долу са дадени някои примери за частни диференциални уравнения.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\частично y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Поръчкадиференциалното уравнение се определя от реда на най-високата производна, включена в това уравнение. Първото от горните обикновени диференциални уравнения е от първи ред, докато второто е от втори ред. Степенна диференциално уравнение се нарича най-високата степен, до която се повдига един от членовете на това уравнение.
  • Например, уравнението по-долу е от трети ред и втора степен.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ вдясно)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Диференциалното уравнение е линейно диференциално уравнениеако функцията и всички нейни производни са на първа степен. В противен случай уравнението е нелинейно диференциално уравнение. Линейните диференциални уравнения са забележителни с това, че от техните решения могат да се правят линейни комбинации, които също ще бъдат решения на това уравнение.
  • По-долу са дадени някои примери за линейни диференциални уравнения.
  • По-долу са дадени някои примери за нелинейни диференциални уравнения. Първото уравнение е нелинейно поради синусоидния член.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Общо решениеобикновеното диференциално уравнение не е уникално, то включва произволни константи на интегриране. В повечето случаи броят на произволните константи е равен на реда на уравнението. На практика стойностите на тези константи се определят от дадено начални условия, тоест от стойностите на функцията и нейните производни при x = 0. (\displaystyle x=0.)Броят на началните условия, които са необходими за намиране частно решениедиференциално уравнение, в повечето случаи също е равно на реда на това уравнение.
  • Например, тази статия ще разгледа решаването на уравнението по-долу. Това е линейно диференциално уравнение от втори ред. Неговото общо решение съдържа две произволни константи. За да се намерят тези константи, е необходимо да се знаят началните условия при x (0) (\displaystyle x(0))и x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Обикновено началните условия се дават в точката x = 0 , (\displaystyle x=0,), въпреки че това не е задължително. Тази статия също ще разгледа как да се намерят конкретни решения за дадени начални условия.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Стъпки

Част 1

Когато използвате тази услуга, част от информацията може да бъде прехвърлена в YouTube.

1. Линейни уравнения от първи ред.В този раздел се разглеждат методи за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред в общи и специални случаи, когато някои членове са равни на нула. Нека се преструваме y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))и q (x) (\displaystyle q(x))са функции х . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Според една от основните теореми на математическия анализ интегралът от производната на функция също е функция. По този начин е достатъчно просто да интегрирате уравнението, за да намерите неговото решение. В този случай трябва да се има предвид, че при изчисляване на неопределения интеграл се появява произволна константа.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Ние използваме метода разделяне на променливи. В този случай различни променливи се прехвърлят към различни страни на уравнението. Например, можете да прехвърлите всички членове от y (\displaystyle y)в едно, а всички членове с x (\displaystyle x)от другата страна на уравнението. Членовете също могат да бъдат премествани d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)и d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), които са включени в производни изрази, но трябва да се помни, че това е просто конвенция, която е удобна при диференциране на сложна функция. Обсъждане на тези термини, които се наричат диференциали, е извън обхвата на тази статия.

   • Първо, трябва да преместите променливите от противоположните страни на знака за равенство.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Интегрираме двете страни на уравнението. След интегриране от двете страни се появяват произволни константи, които могат да бъдат прехвърлени в дясната страна на уравнението.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.1.В последната стъпка използвахме правилото e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))и заменен e C (\displaystyle e^(C))на C (\displaystyle C), тъй като също е произволна константа на интегриране.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(подравнен)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)За да намерим общото решение, въведохме интегриращ факторкато функция на x (\displaystyle x)да се намали лявата част до обща производна и по този начин да се реши уравнението.

   • Умножете двете страни по μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • За да се намали лявата страна до обща производна, трябва да се направят следните трансформации:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Последното равенство означава това d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Това е интегриращ фактор, който е достатъчен за решаване на всяко линейно уравнение от първи ред. Сега можем да изведем формула за решаване на това уравнение по отношение на µ , (\displaystyle \mu,)въпреки че за обучение е полезно да се направят всички междинни изчисления.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.2.В този пример разглеждаме как да намерим конкретно решение на диференциално уравнение с дадени начални условия.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(подравнен)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Решаване на линейни уравнения от първи ред (записано от Intuit - Национален отворен университет).

2. Нелинейни уравнения от първи ред. В този раздел са разгледани методи за решаване на някои нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Въпреки че няма общ метод за решаване на такива уравнения, някои от тях могат да бъдат решени с помощта на методите по-долу.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Ако функцията f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))може да се раздели на функции на една променлива, такова уравнение се нарича отделимо диференциално уравнение. В този случай можете да използвате горния метод:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )х)
   • Пример 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ начало(подравнено)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(подравнен)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)Нека се преструваме g (x, y) (\displaystyle g(x, y))и h (x, y) (\displaystyle h(x, y))са функции x (\displaystyle x)и y . (\displaystyle y.)Тогава хомогенно диференциално уравнениее уравнение, в което g (\displaystyle g)и h (\displaystyle h)са хомогенни функциисъщата степен. Тоест функциите трябва да отговарят на условието g (α x , α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)където k (\displaystyle k)се нарича степен на хомогенност. Всяко хомогенно диференциално уравнение може да бъде дадено от подходящо промяна на променливите (v = y / x (\displaystyle v=y/x)или v = x / y (\displaystyle v=x/y)) за преобразуване в уравнение с отделими променливи.

   • Пример 1.4.Горното описание на хомогенността може да изглежда неясно. Нека разгледаме тази концепция с пример.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Като начало трябва да се отбележи, че това уравнение е нелинейно по отношение на y . (\displaystyle y.)Виждаме също, че в този случай е невъзможно да се разделят променливите. Това диференциално уравнение обаче е хомогенно, тъй като и числителят, и знаменателят са хомогенни със степен 3. Следователно можем да направим промяна на променливите v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)В резултат на това имаме уравнение за v (\displaystyle v)със споделени променливи.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Това е Диференциално уравнение на Бернули- специален вид нелинейно уравнение от първа степен, чието решение може да бъде написано с помощта на елементарни функции.

   • Умножете двете страни на уравнението по (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Използваме правилото за диференциране на комплексна функция от лявата страна и трансформираме уравнението в линейно уравнение по отношение на y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)които могат да бъдат решени с горните методи.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x))=0.)Това е общо диференциално уравнение. Необходимо е да се намери т.нар потенциална функция φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), което отговаря на условието d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • За да изпълните това условие е необходимо да имате обща производна. Общата производна взема предвид зависимостта от други променливи. За изчисляване на общата производна φ (\displaystyle \varphi )На x , (\displaystyle x,)предполагаме, че y (\displaystyle y)може също да зависи от х . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x)))
   • Сравняването на термини ни дава M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))и N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Това е типичен резултат за уравнения с няколко променливи, където смесените производни на гладките функции са равни една на друга. Понякога този случай се нарича Теорема на Клеро. В този случай диференциалното уравнение е уравнение в общите диференциали, ако е изпълнено следното условие:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Методът за решаване на уравнения в тотални диференциали е подобен на намирането на потенциални функции при наличието на няколко производни, които ще обсъдим накратко. Първо се интегрираме M (\displaystyle M)На х . (\displaystyle x.)Дотолкова доколкото M (\displaystyle M)е функция и x (\displaystyle x), и y , (\displaystyle y,)при интегриране получаваме непълна функция φ , (\displaystyle \varphi ,)обозначен като φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Резултатът включва и зависимите от y (\displaystyle y)константа на интегриране.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • След това, за да получите c (y) (\displaystyle c(y))можете да вземете частичната производна на получената функция по отношение на y , (\displaystyle y,)приравнете резултата N (x, y) (\displaystyle N(x, y))и интегрирайте. Човек може също да се интегрира първо N (\displaystyle N), и след това вземете частната производна по отношение на x (\displaystyle x), което ще ни позволи да намерим произволна функция d(x). (\displaystyle d(x).)И двата метода са подходящи и обикновено за интегриране се избира по-простата функция.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ частичен (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)(\mathrm (d) )y)))
   • Пример 1.5.Можете да вземете частични производни и да се уверите, че уравнението по-долу е общо диференциално уравнение.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)(\mathrm (d) )y))\end(подравнен)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ако диференциалното уравнение не е общо диференциално уравнение, в някои случаи можете да намерите интегриращ фактор, който ще ви позволи да го преобразувате в общо диференциално уравнение. Въпреки това, такива уравнения рядко се използват на практика и въпреки че са интегриращият фактор съществуват, намери, че се случва не е толкова лесно, така че тези уравнения не се разглеждат в тази статия.

Част 2

1. Хомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Тези уравнения се използват широко в практиката, така че тяхното решаване е от първостепенно значение. В този случай не говорим за хомогенни функции, а за това, че в дясната страна на уравнението има 0. В следващия раздел ще покажем как съответните хетерогенендиференциални уравнения. По-долу а (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)са константи.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение. Това диференциално уравнение е забележително с това, че може да бъде решено много лесно, ако обърнете внимание какви свойства трябва да притежават неговите решения. От уравнението може да се види, че y (\displaystyle y)и неговите производни са пропорционални една на друга. От предишните примери, които бяха разгледани в раздела за уравнения от първи ред, знаем, че само експоненциалната функция има това свойство. Следователно е възможно да се изложи анзац(проучено предположение) за това какво ще бъде решението на даденото уравнение.

   • Решението ще бъде под формата на експоненциална функция e r x , (\displaystyle e^(rx),)където r (\displaystyle r)е константа, чиято стойност трябва да се намери. Заместете тази функция в уравнението и получете следния израз
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Това уравнение показва, че произведението на експоненциална функция и полином трябва да бъде нула. Известно е, че експонентът не може да бъде равен на нула за никакви стойности на степента. Оттук заключаваме, че полиномът е равен на нула. По този начин ние сведохме проблема за решаване на диференциално уравнение до много по-прост проблем за решаване на алгебрично уравнение, който се нарича характеристично уравнение за дадено диференциално уравнение.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Имаме два корена. Тъй като това диференциално уравнение е линейно, неговото общо решение е линейна комбинация от частични решения. Тъй като това е уравнение от втори порядък, знаем, че е така наистина лиобщо решение и няма други. По-строго обосновка за това се крие в теоремите за съществуването и уникалността на решението, които могат да бъдат намерени в учебниците.
   • Полезен начин да проверите дали две решения са линейно независими е да се изчисли Вронскиан. Вронскиан W (\displaystyle W)- това е детерминантата на матрицата, в колоните на която има функции и техните последователни производни. Теоремата за линейната алгебра гласи, че функциите в Wronskian са линейно зависими, ако Wronskian е равен на нула. В този раздел можем да проверим дали две решения са линейно независими, като се уверим, че Wronskian е различен от нула. Вронскианът е важен при решаването на нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти чрез метода на вариация на параметрите.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • От гледна точка на линейната алгебра, наборът от всички решения на дадено диференциално уравнение образува векторно пространство, чиято размерност е равна на реда на диференциалното уравнение. В това пространство човек може да избира основа от линейно независимирешения един от друг. Това е възможно поради факта, че функцията y (x) (\displaystyle y(x))валиден линеен оператор. Производна елинеен оператор, тъй като трансформира пространството на диференцируемите функции в пространството на всички функции. Уравненията се наричат ​​хомогенни в случаите, когато за някакъв линеен оператор L (\displaystyle L)необходимо е да се намери решение на уравнението L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Нека сега се обърнем към няколко конкретни примера. Случаят на множество корени на характеристичното уравнение ще бъде разгледан малко по-късно, в раздела за редукция на реда.

   Ако корените r ± (\displaystyle r_(\pm ))са различни реални числа, диференциалното уравнение има следното решение

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Два сложни корена.От основната теорема на алгебрата следва, че решенията на решението на полиномни уравнения с реални коефициенти имат корени, които са реални или образуват спрегнати двойки. Следователно, ако комплексното число r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )тогава е коренът на характеристичното уравнение r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )е и коренът на това уравнение. По този начин решението може да бъде записано във формата c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)това обаче е комплексно число и е нежелателно при решаване на практически задачи.

   • Вместо това можете да използвате формула на Ойлер e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), което ви позволява да напишете решението под формата на тригонометрични функции:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Сега можете вместо постоянно c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))записвам c 1 (\displaystyle c_(1)), и изразът i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))заменен от c 2 . (\displaystyle c_(2).)След това получаваме следното решение:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Има и друг начин да се напише решението по амплитуда и фаза, който е по-подходящ за физически проблеми.
   • Пример 2.1.Нека намерим решението на даденото по-долу диференциално уравнение с дадени начални условия. За това е необходимо да вземете получения разтвор, както и производната му, и ги заместваме в началните условия, което ще ни позволи да определим произволни константи.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )и)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\вдясно)\end(подравнен)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Решаване на диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти (записано от Intuit - Национален отворен университет).

2. Ред за понижаване.Редукцията на реда е метод за решаване на диференциални уравнения, когато е известно едно линейно независимо решение. Този метод се състои в намаляване на реда на уравнението с единица, което позволява уравнението да бъде решено с помощта на методите, описани в предишния раздел. Нека решението е известно. Основната идея за намаляване на реда е да се намери решение във формата по-долу, където е необходимо да се дефинира функцията v (x) (\displaystyle v(x)), замествайки го в диференциалното уравнение и намирайки v(x). (\displaystyle v(x).)Нека разгледаме как намаляването на реда може да се използва за решаване на диференциално уравнение с постоянни коефициенти и множество корени.

   
   

   Множество коренихомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Припомнете си, че уравнението от втори ред трябва да има две линейно независими решения. Ако характеристичното уравнение има множество корени, наборът от решения необразува пространство, тъй като тези решения са линейно зависими. В този случай редуцирането на реда трябва да се използва за намиране на второ линейно независимо решение.

   • Нека характеристичното уравнение има множество корени r (\displaystyle r). Приемаме, че второто решение може да се запише като y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), и го заместете в диференциалното уравнение. В този случай повечето от термините, с изключение на термина с втората производна на функцията v , (\displaystyle v,)ще бъдат намалени.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Пример 2.2.Като се има предвид следното уравнение, което има множество корени r = − 4. (\displaystyle r=-4.)При заместване повечето от термините се анулират.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\край(подравнено)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(подравнен )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\отказ (32ve^(-4x)))+(\отказ (16ve^(-4x)))=0\end(подравнен)))
   • Подобно на нашия анзац за диференциално уравнение с постоянни коефициенти, в този случай само втората производна може да бъде равна на нула. Интегрираме два пъти и получаваме желания израз за v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Тогава общото решение на диференциално уравнение с постоянни коефициенти, ако характеристичното уравнение има множество корени, може да се запише в следния вид. За удобство можете да запомните, че за да получите линейна независимост, е достатъчно просто да умножите втория член по x (\displaystyle x). Този набор от решения е линейно независим и по този начин сме намерили всички решения на това уравнение.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Намаляването на поръчката е приложимо, ако решението е известно y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), който може да бъде намерен или даден в формулировката на проблема.

   • Търсим решение във формата y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))и го включете в това уравнение:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Дотолкова доколкото y 1 (\displaystyle y_(1))е решение на диференциалното уравнение, всички термини с v (\displaystyle v)се свиват. В резултат на това остава линейно уравнение от първи ред. За да видим това по-ясно, нека променим променливите w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ако интегралите могат да бъдат изчислени, получаваме общото решение като комбинация от елементарни функции. В противен случай решението може да се остави в интегрална форма.

3. Уравнение на Коши-Ойлер.Уравнението на Коши-Ойлер е пример за диференциално уравнение от втори ред с променливикоефициенти, което има точни решения. Това уравнение се използва на практика, например, за решаване на уравнението на Лаплас в сферични координати.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение.Както можете да видите, в това диференциално уравнение всеки член съдържа коефициент на мощност, чиято степен е равна на реда на съответната производна.

   • Така човек може да се опита да потърси решение във формата y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)къде да се дефинира n (\displaystyle n), точно както търсихме решение под формата на експоненциална функция за линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. След диференциране и заместване получаваме
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • За да използваме характеристичното уравнение, трябва да приемем, че x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). точка x = 0 (\displaystyle x=0)Наречен редовна единична точкадиференциално уравнение. Такива точки са важни при решаване на диференциални уравнения с помощта на степенни редове. Това уравнение има два корена, които могат да бъдат различни и реални, множествени или комплексно спрегнати.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Два различни реални корена.Ако корените n ± (\displaystyle n_(\pm ))са реални и различни, то решението на диференциалното уравнение има следния вид:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Два сложни корена.Ако характеристичното уравнение има корени n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), решението е сложна функция.

   • За да трансформираме решението в реална функция, правим промяна на променливите x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)т.е t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)и използвайте формулата на Ойлер. Подобни действия бяха извършени по-рано при дефиниране на произволни константи.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Тогава общото решение може да се запише като
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha)(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Множество корени.За да се получи второ линейно независимо решение, е необходимо отново да се намали поръчката.

   • Отнема доста изчисления, но принципът е същият: ние заместваме y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))в уравнение, чието първо решение е y 1 (\displaystyle y_(1)). След редукции се получава следното уравнение:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Това е линейно уравнение от първи ред по отношение на v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Неговото решение е v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)По този начин решението може да бъде записано в следната форма. Доста лесно е да се запомни - за да получите второто линейно независимо решение, ви трябва само допълнителен член с ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Нехомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Нехомогенните уравнения имат формата L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)където f (x) (\displaystyle f(x))- т.нар безплатен член. Според теорията на диференциалните уравнения, общото решение на това уравнение е суперпозиция частно решение y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))и допълнително решение y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)В този случай обаче конкретно решение не означава решение, дадено от началните условия, а по-скоро решение, което се дължи на наличието на нехомогенност (свободен член). Допълнителното решение е решението на съответното хомогенно уравнение, в което f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Общото решение е суперпозиция на тези две решения, т.к L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), и тъй като L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)такава суперпозиция наистина е общо решение.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Метод на неопределени коефициенти.Методът на неопределените коефициенти се използва в случаите, когато свободният член е комбинация от експоненциални, тригонометрични, хиперболични или степенни функции. Само тези функции са гарантирани, че имат краен брой линейно независими производни. В този раздел ще намерим конкретно решение на уравнението.

   • Сравнете термините в f (x) (\displaystyle f(x))с термини в игнориране на постоянни фактори. Възможни са три случая.
     • Няма идентични членове.В този случай, специално решение y p (\displaystyle y_(p))ще бъде линейна комбинация от термини от y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) където n (\displaystyle n) е нула или цяло положително число и този член съответства на един корен от характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))ще се състои от комбинация от функцията x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)неговите линейно независими производни, както и други термини f (x) (\displaystyle f(x))и техните линейно независими производни.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член h (x) , (\displaystyle h(x),) което е произведение x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) където n (\displaystyle n) е равно на 0 или положително цяло число и този термин съответства на многократникорен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))е линейна комбинация от функцията x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(където s (\displaystyle s)- кратност на корена) и неговите линейно независими производни, както и други членове на функцията f (x) (\displaystyle f(x))и неговите линейно независими производни.
   • Да запишем y p (\displaystyle y_(p))като линейна комбинация от горните термини. Поради тези коефициенти в линейна комбинация този метод се нарича "метод на неопределените коефициенти". При появата на съдържащите се в y c (\displaystyle y_(c))техните членове могат да бъдат изхвърлени поради наличието на произволни константи в y c . (\displaystyle y_(c).)След това заместваме y p (\displaystyle y_(p))в уравнение и приравняване на подобни термини.
   • Определяме коефициентите. На този етап се получава система от алгебрични уравнения, които обикновено могат да бъдат решени без особени проблеми. Решението на тази система дава възможност за получаване y p (\displaystyle y_(p))и по този начин реши уравнението.
   • Пример 2.3.Да разгледаме нехомогенно диференциално уравнение, чийто свободен член съдържа краен брой линейно независими производни. Конкретно решение на такова уравнение може да се намери по метода на неопределените коефициенти.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(подравнен)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ край (случаи)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Метод на Лагранж.Методът на Лагранж или методът на вариация на произволни константи е по-общ метод за решаване на нехомогенни диференциални уравнения, особено в случаите, когато свободният член не съдържа краен брой линейно независими производни. Например с безплатни членове тен ⁡ x (\displaystyle \tan x)или x − n (\displaystyle x^(-n))за намиране на конкретно решение е необходимо да се използва методът на Лагранж. Методът на Лагранж може дори да се използва за решаване на диференциални уравнения с променливи коефициенти, въпреки че в този случай, с изключение на уравнението на Коши-Ойлер, се използва по-рядко, тъй като допълнителното решение обикновено не се изразява чрез елементарни функции.

   • Да приемем, че решението има следния вид. Неговата производна е дадена на втория ред.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Тъй като предложеното решение съдържа двенеизвестни количества, е необходимо да се наложат допълнителенсъстояние. Избираме това допълнително условие в следната форма:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Сега можем да получим второто уравнение. След като замените и преразпределите членове, можете да групирате членове с v 1 (\displaystyle v_(1))и членове от v 2 (\displaystyle v_(2)). Тези условия се отменят, тъй като y 1 (\displaystyle y_(1))и y 2 (\displaystyle y_(2))са решения на съответното хомогенно уравнение. В резултат на това получаваме следната система от уравнения
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+) v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(подравнен)))
   • Тази система може да се трансформира в матрично уравнение от вида A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)чието решение е x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)За матрица 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)обратната матрица се намира чрез разделяне на детерминанта, пермутиране на диагоналните елементи и обръщане на знака на извъндиагоналните елементи. Всъщност детерминантата на тази матрица е Вронскиан.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ край(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Изрази за v 1 (\displaystyle v_(1))и v 2 (\displaystyle v_(2))са изброени по-долу. Както при метода за редукция, в този случай по време на интегрирането се появява произволна константа, която включва допълнително решение в общото решение на диференциалното уравнение.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Лекция на Националния отворен университет Intuit на тема "Линейни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти".

Практическа употреба

Диференциалните уравнения установяват връзка между функция и една или повече от нейните производни. Тъй като такива връзки са толкова често срещани, диференциалните уравнения са намерили широко приложение в голямо разнообразие от области и тъй като живеем в четири измерения, тези уравнения често са диференциални уравнения в частендеривати. Този раздел обсъжда някои от най-важните уравнения от този тип.

• Експоненциален растеж и упадък.радиоактивен разпад. Сложна лихва. Скоростта на химичните реакции. Концентрацията на лекарства в кръвта. Неограничен растеж на населението. Закон на Нютон-Ричман. В реалния свят има много системи, в които скоростта на растеж или разпадане във всеки даден момент е пропорционална на количеството в този момент от време или може да бъде добре апроксимирана от модел. Това е така, защото решението на това диференциално уравнение, експоненциалната функция, е една от най-важните функции в математиката и други науки. По-общо казано, при контролиран растеж на населението, системата може да включва допълнителни термини, които ограничават растежа. В уравнението по-долу, константата k (\displaystyle k)може да бъде по-голямо или по-малко от нула.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Хармонични вибрации.Както в класическата, така и в квантовата механика, хармоничният осцилатор е една от най-важните физически системи поради своята простота и широко приложение за апроксимиране на по-сложни системи като обикновено махало. В класическата механика хармоничните трептения се описват с уравнение, което свързва позицията на материална точка с нейното ускорение чрез закона на Хук. В този случай също могат да се вземат предвид амортисьорните и движещите сили. В израза по-долу x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- производна по време на x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )е параметър, който описва силата на затихване, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- ъглова честота на системата, F (t) (\displaystyle F(t))е зависима от времето движеща сила. Хармоничният осцилатор присъства и в електромагнитните осцилаторни вериги, където може да бъде реализиран с по-голяма точност, отколкото в механичните системи.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• уравнение на Бесел.Диференциалното уравнение на Бесел се използва в много области на физиката, включително решението на вълновото уравнение, уравнението на Лаплас и уравнението на Шрьодингер, особено при наличието на цилиндрична или сферична симетрия. Това диференциално уравнение от втори ред с променливи коефициенти не е уравнение на Коши-Ойлер, така че неговите решения не могат да бъдат записани като елементарни функции. Решенията на уравнението на Бесел са функциите на Бесел, които са добре проучени поради факта, че се използват в много области. В израза по-долу α (\displaystyle \alpha)е константа, която съвпада поръчкаФункции на Бесел.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)(\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• уравнения на Максуел.Заедно със силата на Лоренц, уравненията на Максуел формират основата на класическата електродинамика. Това са четири частни диференциални уравнения за електрически E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))и магнитни B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))полета. В изразите по-долу ρ = ρ (r, t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- плътност на заряда, J = J (r, t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))е плътността на тока, и ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))и μ 0 (\displaystyle \mu _(0))са електрическата и магнитната константа, съответно.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(cdot)\na (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(подравнен)))
• уравнение на Шрьодингер.В квантовата механика уравнението на Шрьодингер е основното уравнение на движението, което описва движението на частиците според промяна във вълновата функция Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))с време. Уравнението на движението се описва от поведението хамилтонов H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - оператор, която описва енергията на системата. Един от добре познатите примери за уравнението на Шрьодингер във физиката е уравнението за една нерелативистична частица, която е подложена на потенциала V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Много системи се описват чрез зависимо от времето уравнение на Шрьодингер, като уравнението е от лявата страна E Ψ , (\displaystyle E\psi ,)където E (\displaystyle E)е енергията на частицата. В изразите по-долу ℏ (\displaystyle \hbar )е редуцираната константа на Планк.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \psi )(\partial t))=(\hat (H))\psi)
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r, t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• вълново уравнение.Невъзможно е да си представим физиката и технологиите без вълни, те присъстват във всички видове системи. Най-общо вълните се описват с уравнението по-долу, в което u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t))е желаната функция и c (\displaystyle c)- експериментално определена константа. д'Аламбер е първият, който открива, че за едномерния случай решението на вълновото уравнение е всякаквифункция с аргумент x − c t (\displaystyle x-ct), който описва произволна вълна, разпространяваща се вдясно. Общото решение за едномерния случай е линейна комбинация от тази функция с втора функция с аргумент x + c t (\displaystyle x+ct), което описва вълна, разпространяваща се вляво. Това решение е представено във втория ред.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Уравнения на Навие-Стокс.Уравненията на Навие-Стокс описват движението на течности. Тъй като течностите присъстват в почти всяка област на науката и технологиите, тези уравнения са изключително важни за прогнозиране на времето, дизайн на самолети, океански течения и много други приложения. Уравненията на Навие-Стокс са нелинейни частни диференциални уравнения и в повечето случаи е много трудно да се решат, тъй като нелинейността води до турбуленция и за да се получи стабилно решение чрез числени методи, е необходимо да се разделяне на много малки клетки, което изисква значителна изчислителна мощност. За практически цели в хидродинамиката се използват методи като усредняване на времето за моделиране на турбулентни потоци. Още по-основни въпроси, като съществуването и уникалността на решенията на нелинейни частни диференциални уравнения, са сложни проблеми и доказването на съществуването и уникалността на решенията на уравненията на Навие-Стокс в три измерения е сред математическите проблеми на хилядолетието . По-долу са уравнението за потока на несвиваемата течност и уравнението за непрекъснатост.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Много диференциални уравнения просто не могат да бъдат решени чрез методите по-горе, особено тези, споменати в последния раздел. Това се прилага, когато уравнението съдържа променливи коефициенти и не е уравнение на Коши-Ойлер, или когато уравнението е нелинейно, освен в няколко много редки случая. Въпреки това, горните методи ви позволяват да решавате много важни диференциални уравнения, които често се срещат в различни области на науката.
• За разлика от диференцирането, което ви позволява да намерите производната на всяка функция, интегралът от много изрази не може да бъде изразен в елементарни функции. Ето защо, не губете време, опитвайки се да изчислите интеграла, когато това е невъзможно. Вижте таблицата на интегралите. Ако решението на диференциално уравнение не може да бъде изразено чрез елементарни функции, понякога то може да бъде представено в интегрална форма и в този случай няма значение дали този интеграл може да бъде изчислен аналитично.

Предупреждения

• Външен виддиференциалното уравнение може да бъде подвеждащо. Например, по-долу са две диференциални уравнения от първи ред. Първото уравнение се решава лесно с помощта на методите, описани в тази статия. На пръв поглед малка промяна y (\displaystyle y)на y 2 (\displaystyle y^(2))във второто уравнение го прави нелинейно и става много трудно за решаване.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

6.1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ДЕФИНИЦИИ

При решаване на различни задачи по математика и физика, биология и медицина доста често не е възможно незабавно да се установи функционална зависимост под формата на формула, свързваща променливите, които описват изследвания процес. Обикновено трябва да се използват уравнения, съдържащи освен независимата променлива и неизвестната функция и нейните производни.

Определение.Уравнение, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни от различни порядки, се нарича диференциал.

Обикновено се обозначава неизвестната функция y(x)или просто y,и неговите производни са y", y"и т.н.

Възможни са и други обозначения, например: if г= x(t), тогава x"(t), x""(t)са негови производни и те независима променлива.

Определение.Ако функцията зависи от една променлива, тогава диференциалното уравнение се нарича обикновено. Обща форма обикновено диференциално уравнение:

или

Функции Фи еможе да не съдържа някои аргументи, но за да бъдат уравненията диференциални, наличието на производна е от съществено значение.

Определение.Редът на диференциалното уравнениее редът на най-високата производна, включена в него.

Например, x 2 y"- г= 0, y" + sin х= 0 са уравнения от първи ред и y"+ 2 y"+ 5 г= хе уравнение от втори ред.

При решаване на диференциални уравнения се използва операцията за интегриране, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се приложи действието за интегриране нпъти, тогава, очевидно, решението ще съдържа нпроизволни константи.

6.2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ПЪРВИ РЕД

Обща форма диференциално уравнение от първи редсе дефинира от израза

Уравнението може да не съдържа изрично хи y,но задължително съдържа y".

Ако уравнението може да се запише като

тогава получаваме диференциално уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първи ред (6.3) (или (6.4)) е набор от решения , където Се произволна константа.

Графиката за решаване на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Даване на произволна константа Сразлични стойности, е възможно да се получат конкретни решения. На повърхността xOyобщото решение е семейство от интегрални криви, съответстващи на всяко конкретно решение.

Ако поставите точка A(x0, y0),през която трябва да премине интегралната крива, тогава по правило от множеството функции може да се отдели едно - конкретно решение.

Определение.Частно решениена диференциално уравнение е неговото решение, което не съдържа произволни константи.

Ако е общо решение, а след това от условието

можете да намерите постоянен С.Условието се нарича първоначално състояние.

Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциално уравнение (6.3) или (6.4), което удовлетворява първоначалното условие при Наречен проблемът на Коши.Винаги ли този проблем има решение? Отговорът се съдържа в следната теорема.

Теорема на Коши(теорема за съществуването и единствеността на решението). Нека в диференциалното уравнение y"= f(x, y)функция f(x, y)и тя

частична производна дефинирани и непрекъснати в някои

области Д,съдържащи точка След това в района дсъществуват

единственото решение на уравнението, което удовлетворява първоначалното условие при

Теоремата на Коши гласи, че при определени условия съществува уникална интегрална крива г= f(x),преминаване през точка Точки, в които условията на теоремата не са изпълнени

Котките се наричат специален.Счупвания в тези точки е(x, y) или.

Или няколко интегрални криви преминават през единична точка, или нито една.

Определение.Ако решението (6.3), (6.4) се намери във формата е(x, y, ° С)= 0 не е разрешено по отношение на y, тогава се извиква общ интегралдиференциално уравнение.

Теоремата на Коши гарантира само, че решението съществува. Тъй като няма единен метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първи ред, които са интегрируеми в квадратчета.

Определение.Диференциалното уравнение се нарича интегрируеми в квадратури,ако търсенето на неговото решение се сведе до интегриране на функции.

6.2.1. Диференциални уравнения от първи ред с отделими променливи

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича уравнение с отделими променливи,

Дясната страна на уравнение (6.5) е произведение на две функции, всяка от които зависи само от една променлива.

Например, уравнението е уравнение с разделяне

преминаване на променливи
и уравнението

не може да се представи във вида (6.5).

Предвид това , пренаписваме (6.5) като

От това уравнение получаваме диференциално уравнение с отделени променливи, в което диференциалите съдържат функции, които зависят само от съответната променлива:

Интегрирайки термин по термин, имаме

където C= C 2 - C 1 е произволна константа. Изразът (6.6) е общият интеграл на уравнение (6.5).

Разделяйки двете части на уравнение (6.5) на , можем да загубим онези решения, за които, Наистина, ако при

тогава очевидно е решение на уравнение (6.5).

Пример 1Намерете решение на уравнението, което отговаря

състояние: г= 6 at х= 2 (г(2) = 6).

Решение.Да заменим в"за тогава . Умножете двете страни по

dx,тъй като при по-нататъшна интеграция е невъзможно да се напусне dxв знаменателя:

и след това разделяне на двете части на получаваме уравнението,

които могат да бъдат интегрирани. Ние интегрираме:

Тогава ; потенцирайки, получаваме y = C . (x + 1) - ob-

решение.

Въз основа на изходните данни определяме произволна константа, като ги заместваме в общото решение

Най-накрая получаваме г= 2(x + 1) е конкретно решение. Помислете за още няколко примера за решаване на уравнения с отделими променливи.

Пример 2Намерете решение на уравнението

Решение.Предвид това , получаваме .

Интегрирайки двете страни на уравнението, имаме

където

Пример 3Намерете решение на уравнението Решение.Разделяме и двете части на уравнението на онези фактори, които зависят от променлива, която не съвпада с променливата под диференциалния знак, т.е. и интегрирайте. Тогава получаваме

и накрая

Пример 4Намерете решение на уравнението

Решение.Знаейки какво ще получим. Раздел-

lim променливи. Тогава

Интегрирайки, получаваме

Коментирайте.В примери 1 и 2 желаната функция гизразено изрично (общо решение). В примери 3 и 4 - имплицитно (общ интеграл). В бъдеще формата на решението няма да се уточнява.

Пример 5Намерете решение на уравнението Решение.

Пример 6Намерете решение на уравнението удовлетворяващо

състояние y(e)= 1.

Решение.Записваме уравнението във формата

Умножаване на двете страни на уравнението по dxи нататък получаваме

Интегрирайки двете страни на уравнението (интегралът от дясната страна се взема от части), получаваме

Но по условие г= 1 при х= д. Тогава

Заменете намерените стойности Св общо решение:

Полученият израз се нарича конкретно решение на диференциалното уравнение.

6.2.2. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича хомогеннаако може да се представи като

Представяме алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.

1. Вместо това гвъведете нова функция След това и следователно

2. По отношение на функцията uуравнението (6.7) приема формата

т.е. замяната редуцира хомогенното уравнение до уравнение с отделими променливи.

3. Решавайки уравнение (6.8), първо намираме u, а след това г= ux.

Пример 1реши уравнението Решение.Записваме уравнението във формата

Правим замяна:
Тогава

Да заменим

Умножете по dx: Разделете на хи нататък тогава

Интегрирайки двете части на уравнението по отношение на съответните променливи, имаме

или, връщайки се към старите променливи, най-накрая получаваме

Пример 2реши уравнението Решение.Нека бъде тогава

Разделете двете страни на уравнението на x2: Нека отворим скобите и пренаредим термините:

Преминавайки към старите променливи, стигаме до крайния резултат:

Пример 3Намерете решение на уравнението предвид това

Решение.Извършване на стандартна подмяна получаваме

или

или

Така че конкретното решение има формата Пример 4Намерете решение на уравнението

Решение.

Пример 5Намерете решение на уравнението Решение.

Самостоятелна работа

Намерете решение на диференциални уравнения с отделими променливи (1-9).

Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).

6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първи ред

Проблемът с радиоактивния разпад

Скоростта на разпадане на Ra (радия) във всеки момент от време е пропорционална на наличната му маса. Намерете закона за радиоактивния разпад на Ra, ако е известно, че е имало Ra в началния момент и периодът на полуразпад на Ra е 1590 години.

Решение.Нека в момента масата Ra е х= x(t) g и Тогава скоростта на разпадане на Ra е

Според задачата

където к

Разделяйки променливите в последното уравнение и интегрирайки, получаваме

където

За определяне ° Сизползваме началното условие: .

Тогава и следователно,

Коефициент на пропорционалност копределя от допълнителното условие:

Ние имаме

Оттук и желаната формула

Проблемът със скоростта на размножаване на бактериите

Скоростта на размножаване на бактериите е пропорционална на техния брой. В началния момент имаше 100 бактерии. В рамките на 3 часа броят им се удвои. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето. Колко пъти ще се увеличи броят на бактериите в рамките на 9 часа?

Решение.Нека бъде х- броят на бактериите в момента т.Тогава, според условието,

където к- коефициент на пропорционалност.

Оттук От условието се знае, че . означава,

От допълнителното условие . Тогава

Необходима функция:

И така, при т= 9 х= 800, тоест в рамките на 9 часа броят на бактериите се е увеличил 8 пъти.

Задачата за увеличаване на количеството на ензима

В културата на бирена мая скоростта на растеж на активния ензим е пропорционална на първоначалното му количество. х.Първоначално количество ензим асе удвои в рамките на един час. Намерете зависимост

x(t).

Решение.По условие диференциалното уравнение на процеса има вида

оттук

Но . означава, ° С= аи тогава

Известно е също, че

следователно,

6.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВТОРИ РЕД

6.3.1. Основни понятия

Определение.Диференциално уравнение от втори редсе нарича релация, свързваща независимата променлива, желаната функция и нейните първи и втори производни.

В специални случаи, x може да отсъства в уравнението, приили y". Въпреки това, уравнението от втори ред трябва задължително да съдържа y". В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като:

или, ако е възможно, във формата, разрешена за втората производна:

Както в случая на уравнение от първи ред, общо и конкретно решение може да съществува за уравнение от втори ред. Общото решение изглежда така:

Намиране на частно решение

при начални условия - дадени

номер) се нарича проблемът на Коши.Геометрично, това означава, че е необходимо да се намери интегралната крива при= y(x),преминаване през дадена точка и с допирателна в тази точка, което е около

вилици с положителна посока на ос волдаден ъгъл. д. (фиг. 6.1). Проблемът на Коши има уникално решение, ако дясната страна на уравнението (6.10), непредварително

е прекъснат и има непрекъснати частични производни по отношение на ти, ти"в някакъв квартал на изходната точка

За намиране на константа включени в конкретно решение, е необходимо да се разреши на системата

Ориз. 6.1.интегрална крива