Огъване (механика). Схеми за проектиране на греди

Прав завой. Плосък напречен огъване 1.1. Построяване на диаграми на коефициенти на вътрешна сила за греди 1.2. Построяване на диаграми Q и M по уравнения 1.3. Построяване на диаграми Q и M по характерни участъци (точки) 1.4. Изчисления за якост при директно огъване на греди 1.5. Основни напрежения на огъване. Пълна проверка на якостта на греди 1.6. Концепцията за центъра на завоя 1.7. Определяне на премествания в греди при огъване. Концепции за деформация на греди и условия на тяхната твърдост 1.8. Диференциалното уравнение на огъната ос на гредата 1.9. Метод на директно интегриране 1.10. Примери за определяне на премествания в греди чрез директно интегриране 1.11. Физически смисъл на константите на интегриране 1.12. Метод на изходни параметри (универсално уравнение на извитата ос на гредата) 1.13. Примери за определяне на премествания в греда по метода на началните параметри 1.14. Определяне на движенията по метода на Мор. Правилото на A.K Верещагин 1.15. Изчисляване на интеграла на Мор според A.K. Верещагин 1.16. Примери за определяне на премествания с помощта на интеграла на Мор Литература 4 1. Право огъване. Плосък напречен завой. 1.1. Построяване на диаграми на коефициенти на вътрешна сила за греди Директното огъване е вид деформация, при която в напречните сечения на пръта възникват два вътрешни силови фактора: огъващ момент и напречна сила. В конкретен случай напречната сила може да бъде равна на нула, тогава огъването се нарича чисто. При плоско напречно огъване всички сили са разположени в една от основните равнини на инерция на пръта и са перпендикулярни на надлъжната му ос, моментите са разположени в една и съща равнина (фиг. 1.1, a, b). Ориз. 1.1 Напречната сила в произволно напречно сечение на гредата е числено равна на алгебричната сума от проекциите върху нормалата към оста на гредата на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение. Напречната сила в m-n сечение на гредата (фиг. 1.2, а) се счита за положителна, ако резултатът на външните сили отляво на сечението е насочен нагоре, а вдясно - надолу и отрицателен - в обратния случай (фиг. 1.2, б). Ориз. 1.2 При изчисляване на напречната сила в даден участък външните сили, лежащи вляво от сечението, се вземат със знак плюс, ако са насочени нагоре, и със знак минус, ако са надолу. За дясната страна на гредата - обратно. 5 Моментът на огъване в произволно напречно сечение на гредата е числено равен на алгебричния сбор от моментите около централната ос z на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение. Моментът на огъване в m-n сечението на гредата (фиг. 1.3, а) се счита за положителен, ако резултантният момент на външните сили е насочен по посока на часовниковата стрелка от сечението вляво от секцията и обратно на часовниковата стрелка вдясно и отрицателно - в обратният случай (фиг. 1.3, б). Ориз. 1.3 При изчисляване на момента на огъване в даден участък моментите на външните сили, лежащи отляво на сечението, се считат за положителни, ако са насочени по посока на часовниковата стрелка. За дясната страна на гредата - обратно. Удобно е да се определи знакът на момента на огъване според естеството на деформацията на гредата. Моментът на огъване се счита за положителен, ако в разглеждания участък отсечената част на гредата се огъва с изпъкналост надолу, т.е. долните влакна са опънати. В противен случай моментът на огъване в сечението е отрицателен. Между огъващия момент M, напречната сила Q и интензивността на натоварването q има диференциални зависимости. 1. Първата производна на напречната сила по абсцисата на сечението е равна на интензитета на разпределеното натоварване, т.е. . (1.1) 2. Първата производна на огъващия момент по абсцисата на сечението е равна на напречната сила, т.е. (1.2) 3. Втората производна на абсцисата на сечението е равна на интензитета на разпределеното натоварване, т.е. (1.3) Разпределеният товар, насочен нагоре, считаме за положителен. От диференциалните зависимости между M, Q, q следват редица важни изводи: 1. Ако върху сечението на гредата: а) напречната сила е положителна, тогава огъващият момент нараства; б) напречната сила е отрицателна, тогава моментът на огъване намалява; в) напречната сила е нула, тогава огъващият момент има постоянна стойност (чисто огъване); 6 г) напречната сила преминава през нула, променяйки знака от плюс на минус, max M M, в противен случай M Mmin. 2. Ако няма разпределен товар върху секцията на гредата, тогава напречната сила е постоянна, а моментът на огъване се променя линейно. 3. Ако има равномерно разпределен товар върху сечението на гредата, тогава напречната сила се променя по линеен закон, а моментът на огъване - според закона на квадратната парабола, изпъкнала обърната към натоварването (в случай на начертаване M от страната на опънатите влакна). 4. В участъка под концентрираната сила диаграмата Q има скок (по големината на силата), диаграмата M има прекъсване в посоката на силата. 5. В участъка, където се прилага концентриран момент, диаграмата M има скок, равен на стойността на този момент. Това не е отразено в Q графиката. При сложно натоварване гредите изобразяват напречни сили Q и огъващи моменти M. Графика Q(M) е графика, показваща закона за промяна на напречната сила (огъващ момент) по дължината на гредата. Въз основа на анализа на диаграмите M и Q се установяват опасни участъци от гредата. Положителните ординати на Q диаграмата се нанасят нагоре, а отрицателните ординати се нанасят надолу от основната линия, изтеглена успоредно на надлъжната ос на гредата. Положителните ординати на диаграмата M са поставени, а отрицателните ординати са нанесени нагоре, т.е. диаграмата M е построена от страната на опънатите влакна. Изграждането на диаграми Q и M за греди трябва да започне с дефинирането на опорните реакции. За лъч с единия фиксиран край и другия свободен край, начертаването на Q и M може да започне от свободния край, без да се дефинират реакциите в вграждането. 1.2. Построяването на диаграмите Q и M по уравненията на Балк е разделено на участъци, в които функциите за огъващия момент и силата на срязване остават постоянни (нямат прекъсвания). Границите на участъците са точките на приложение на концентрирани сили, двойки сили и местата на промяна в интензивността на разпределения товар. Във всеки участък се взема произволен разрез на разстояние x от началото и за този участък се съставят уравнения за Q и M. С помощта на тези уравнения се изграждат графики Q и M. Пример 1.1 Построете графики на срязващите сили Q и моментите на огъване M за даден лъч (фиг. 1.4а). Решение: 1. Определяне на реакциите на опорите. Съставяме уравненията на равновесието: от които получаваме Реакциите на подпорите са дефинирани правилно. Гредата има четири секции Фиг. 1.4 зареждания: CA, AD, DB, BE. 2. Начертаване Q. Парцел SA. На секция CA 1 рисуваме произволен участък 1-1 на разстояние x1 от левия край на гредата. Определяме Q като алгебрична сума от всички външни сили, действащи отляво на раздел 1-1: 1 Q 3 0 kN. Знакът минус се взема, защото силата, действаща отляво на сечението, е насочена надолу. Изразът за Q не зависи от променливата x1. Графикът Q в този раздел ще бъде изобразен като права линия, успоредна на оста x. Парцел АД. На сайта рисуваме произволен участък 2-2 на разстояние x2 от левия край на гредата. Ние дефинираме Q2 като алгебрична сума от всички външни сили, действащи отляво на секция 2-2: Стойността на Q е постоянна на сечението (не зависи от променливата x2). Графика Q на графиката е права линия, успоредна на оста x. DB сайт. На сайта рисуваме произволен участък 3-3 на разстояние x3 от десния край на гредата. Ние дефинираме Q3 като алгебричната сума от всички външни сили, действащи вдясно от раздел 3-3: . Полученият израз е уравнението на наклонена права линия. Парцел B.E. На сайта рисуваме секция 4-4 на разстояние x4 от десния край на гредата. Ние дефинираме Q като алгебрична сума от всички външни сили, действащи вдясно на секция 4-4: Тук знакът плюс се взема, тъй като резултантното натоварване отдясно на секция 4-4 е насочено надолу. Въз основа на получените стойности изграждаме диаграми Q (фиг. 1.4, б). 3. Начертаване М. Парцел SA m1. Определяме момента на огъване в секция 1-1 като алгебрична сума от моментите на силите, действащи отляво на секция 1-1. е уравнението на права линия. парцел. 3Определяме момента на огъване в секция 2-2 като алгебрична сума от моментите на силите, действащи отляво на секция 2-2. е уравнението на права линия. парцел. 4Определяме момента на огъване в раздел 3-3 като алгебрична сума от моментите на силите, действащи отдясно на раздел 3-3. е уравнението на квадратна парабола. 9 Намираме три стойности в краищата на сечението и в точката с координата xk, където от тук имаме kNm. парцел. 1Определяме момента на огъване в секция 4-4 като алгебрична сума от моментите на силите, действащи вдясно от раздел 4-4. - по уравнението на квадратна парабола намираме три стойности на M4: Въз основа на получените стойности изграждаме графика M (фиг. 1.4, c). В участъци CA и AD графиката Q е ограничена от прави линии, успоредни на оста на абсцисата, а в участъци DB и BE - от наклонени прави линии. В секциите C, A и B на диаграмата Q има скокове по големината на съответните сили, което служи за проверка на коректността на конструкцията на диаграмата Q. В участъци, където Q 0, моментите се увеличават отляво вдясно. В участъци, където Q 0, моментите намаляват. Под концентрираните сили има извивки в посоката на действие на силите. Под концентрирания момент има скок със стойността на момента. Това показва коректността на изобразяването на M. Пример 1.2 Построете графики Q и M за греда върху две опори, натоварени с разпределен товар, чийто интензитет варира линейно (фиг. 1.5, а). Разтвор Определяне на поддържащи реакции. Резултатът от разпределения товар е равен на площта на триъгълника, представляващ диаграмата на натоварването и се прилага в центъра на тежестта на този триъгълник. Ние съставяме сумите от моментите на всички сили спрямо точки A и B: Начертаваме Q. Нека начертаем произволно сечение на разстояние x от лявата опора. Ординатата на диаграмата на натоварването, съответстваща на сечението, се определя от сходството на триъгълници. Резултатът от тази част от товара, която се намира вляво от секцията. Силата на срязване в сечението е равна на нула: Графикът Q е показан в фиг. 1.5, б. Моментът на огъване в произволен участък е равен на Моментът на огъване се променя според закона на кубичната парабола: Максималната стойност на огъващия момент е в сечението, където Q 0, т.е. 1.5, c. 1.3. Построяване на диаграми Q и M по характерни участъци (точки) Използвайки диференциалните връзки между M, Q, q и произтичащите от тях изводи, е препоръчително да се изградят диаграми Q и M по характерни разрези (без формулиране на уравнения). Използвайки този метод, стойностите на Q и M се изчисляват в характерни секции. Характерните участъци са граничните участъци на секциите, както и участъците, в които даденият вътрешен силовия фактор има екстремна стойност. В границите между характерните участъци контурът 12 на диаграмата се установява на базата на диференциални зависимости между M, Q, q и произтичащите от тях изводи. Пример 1.3 Построете диаграми Q и M за гредата, показана на фиг. 1.6, а. Започваме да начертаваме Q и M диаграми от свободния край на гредата, докато реакциите в вграждането могат да бъдат пропуснати. Гредата има три зони за натоварване: AB, BC, CD. Няма разпределено натоварване в секции AB и BC. Напречните сили са постоянни. Графикът Q е ограничен от прави линии, успоредни на оста x. Моментите на огъване се променят линейно. Графиката M е ограничена до прави линии, наклонени към оста x. На секция CD има равномерно разпределен товар. Напречните сили се променят линейно, а моментите на огъване се променят според закона на квадратната парабола с изпъкналост в посоката на разпределения товар. На границата на участъци AB и BC напречната сила се променя рязко. На границата на участъците BC и CD моментът на огъване се променя рязко. 1. Начертаване на Q. Изчисляваме стойностите на напречните сили Q в граничните участъци на секциите: Въз основа на резултатите от изчисленията изграждаме диаграма Q за гредата (фиг. 1, б). От диаграмата Q следва, че напречната сила в сечението CD е равна на нула в сечението, разположено на разстояние qa a q  от началото на това сечение. В този раздел моментът на огъване има максимална стойност. 2. Построяване на диаграма M. Изчисляваме стойностите на огъващите моменти в граничните участъци на секциите: При Kx3, максималният момент на сечението Въз основа на резултатите от изчисленията изграждаме диаграмата M (фиг. 5.6, ° С). Пример 1.4 Съгласно дадената диаграма на моментите на огъване (фиг. 1.7, а) за гредата (фиг. 1.7, б), определете действащите натоварвания и начертайте Q. Кръгът показва върха на квадратната парабола. Решение: Определете натоварванията, действащи върху гредата. Секция AC е натоварена с равномерно разпределен товар, тъй като диаграмата M в тази секция е квадратна парабола. В референтния участък B към гредата се прилага концентриран момент, действащ по посока на часовниковата стрелка, тъй като на диаграмата M имаме скок нагоре с големината на момента. В секцията NE лъчът не се натоварва, тъй като диаграмата M в този участък е ограничена от наклонена права линия. Реакцията на опората B се определя от условието, че моментът на огъване в сечение C е равен на нула, т.е. сили вдясно и се равняват на нула.Сега определяме реакцията на опора А. За да направим това ще съставим израз за моментите на огъване в сечението като сума от моментите на силите вляво от откъдето Фиг. 1.7 Проверка Проектната схема на греда с товар е показана на фиг. 1.7, c. Започвайки от левия край на гредата, изчисляваме стойностите на напречните сили в граничните участъци на секциите: Графикът Q е показан на фиг. 1.7, г. Разглежданият проблем може да бъде решен чрез съставяне на функционални зависимости за M, Q във всеки раздел. Нека изберем началото на координатите в левия край на лъча. На сечението AC графиката M се изразява с квадратна парабола, чието уравнение е от вида Константи a, b, c, намираме от условието, че параболата преминава през три точки с известни координати: Заместване на координатите на точките в уравнението на параболата, получаваме: Изразът за огъващия момент ще бъде Диференцирайки функцията M1 , получаваме зависимостта за напречната сила След диференциране на функцията Q, получаваме израз за интензитета на разпределеното натоварване. В участъка NE изразът за момента на огъване е представен като линейна функция.За определяне на константите a и b използваме условията тази права да минава през две точки, чиито координати са известни.Получаваме две уравнения: от които имат a 10, b  20. Уравнението за огъващия момент в сечение CB ще бъде След двукратно диференциране на M2 ще намерим.Въз основа на намерените стойности на M и Q изграждаме диаграми на огъващи моменти и напречни сили за гредата. В допълнение към разпределеното натоварване към гредата се прилагат концентрирани сили в три участъка, където има скокове на Q диаграмата и концентрирани моменти в участъка, където има скок на M диаграмата. Пример 1.5 За греда (фиг. 1.8, а) определете рационалното положение на шарнира C, при което най-големият момент на огъване в участъка е равен на момента на огъване в вграждането (в абсолютна стойност). Изграждане на диаграми Q и M. Решение Определяне на реакциите на опорите. Въпреки факта, че общият брой на опорните връзки е четири, гредата е статично определена. Моментът на огъване в шарнира C е равен на нула, което ни позволява да направим допълнително уравнение: сумата от моментите около шарнира на всички външни сили, действащи от едната страна на тази панта, е равна на нула. Съставете сумата от моментите на всички сили вдясно от пантата C. Диаграма Q за гредата е ограничена от наклонена права линия, тъй като q = const. Определяме стойностите на напречните сили в граничните участъци на гредата: Абсцисата xK на сечението, където Q = 0, се определя от уравнението, откъдето графиката M за гредата е ограничена от квадратна парабола. Изразите за огъващи моменти в сечения, където Q = 0, и в вграждането се записват съответно, както следва: От условието за равенство на моментите получаваме квадратно уравнение по отношение на желания параметър x: Реална стойност. Определяме числените стойности на напречните сили и моментите на огъване в характерните сечения на гредата. 1.8, c - графика M. Разглежданият проблем може да бъде решен чрез разделяне на шарнирната греда на съставните й елементи, както е показано на фиг. 1.8, г. В началото се определят реакциите на опорите VC и VB. Графиките Q и M са построени за окачващата греда SV от действието на приложеното към нея натоварване. След това те се придвижват към главната греда AC, като я натоварват с допълнителна сила VC, която е силата на натиск на гредата CB върху гредата AC. След това се изграждат диаграми Q и M за AC лъча. 1.4. Изчисления на якост за директно огъване на греди Изчисление на якост за нормални и срязващи напрежения. При директно огъване на греда в нейните напречни сечения възникват нормални и срязващи напрежения (фиг. 1.9). Нормалните напрежения са свързани с момента на огъване, напреженията на срязване са свързани със силата на срязване. При директно чисто огъване напреженията на срязване са равни на нула. Нормалните напрежения в произволна точка от напречното сечение на гредата се определят по формулата (1.4) където M е огъващият момент в даденото сечение; Iz е инерционният момент на сечението спрямо неутралната ос z; y е разстоянието от точката, където се определя нормалното напрежение, до неутралната ос z. Нормалните напрежения по височината на сечението се изменят линейно и достигат най-голяма стойност в точките, най-отдалечени от неутралната ос.Ако сечението е симетрично спрямо неутралната ос (фиг. 1.11), то 1.11 най-големите напрежения на опън и натиск са еднакви и се определят по формулата - модул на аксиално сечение при огъване. За правоъгълно сечение с ширина b и височина h: (1.7) За кръгло сечение с диаметър d: (1.8) За пръстеновидно сечение (1.9), където d0 и d са вътрешният и външният диаметър на пръстена, съответно. За греди, изработени от пластмасови материали, най-рационалните са симетричните форми с 20 сечения (I-лъч, кутия с форма, пръстеновидни). За греди, изработени от крехки материали, които не издържат еднакво на опън и компресия, секциите, които са асиметрични спрямо неутралната ос z (ta-br., U-образна, асиметрична I-лъча), са рационални. За греди с постоянно сечение, изработени от пластмасови материали със симетрични форми на сечението, условието за якост се записва, както следва: (1.10) където Mmax е максималният огъващ момент по модул; - допустимо напрежение за материала. За греди с постоянно сечение, изработени от пластични материали с асиметрични форми на напречното сечение, условието за якост се записва в следния вид: yP,max, yC,max са разстоянията от неутралната ос до най-отдалечените точки на разтегнато и компресирано зони на опасния участък, съответно; - допустими напрежения, съответно при опън и натиск. Фиг.1.12. 21 Ако диаграмата на огъващия момент има разрези с различни знаци (фиг. 1.13), тогава в допълнение към проверката на участък 1-1, където действа Mmax, е необходимо да се изчислят максималните напрежения на опън за участък 2-2 (с най-голям момент от противоположния знак). Ориз. 1.13 Наред с основното изчисление за нормални напрежения, в някои случаи е необходимо да се провери якостта на гредата за напрежения на срязване. Напреженията на срязване в греди се изчисляват по формулата на D. I. Zhuravsky (1.13), където Q е напречната сила в разглежданото напречно сечение на гредата; Szots е статичният момент около неутралната ос на площта на частта от сечението, разположена от едната страна на правата линия, проведена през дадена точка и успоредна на оста z; b е ширината на секцията на нивото на разглежданата точка; Iz е моментът на инерция на цялото сечение около неутралната ос z. В много случаи максималните напрежения на срязване възникват на нивото на неутралния слой на гредата (правоъгълник, I-лъч, кръг). В такива случаи условието за якост за напреженията на срязване се записва като, (1.14) където Qmax е напречната сила с най-висок модул; - допустимо напрежение на срязване за материала. За правоъгълно сечение на гредата състоянието на якост има формата 22 (1,15) A - площта на напречното сечение на гредата. За кръгъл участък условието за якост се представя като (1.16) За I-секция условието за якост се записва, както следва: (1.17) d е дебелината на стената на I-лъча. Обикновено размерите на напречното сечение на гредата се определят от условието за якост за нормални напрежения. Проверката на якостта на гредите за напрежения на срязване е задължителна за къси греди и греди с всякаква дължина, ако в близост до опорите има големи концентрирани сили, както и за дървени, нитовани и заварени греди. Пример 1.6. Проверете здравината на греда с кутия с квадратно сечение (фиг. 1.14) за нормални и срязващи напрежения, ако е 0 MPa. Изградете диаграми в опасния участък на гредата. Ориз. 1.14 Решение 23 1. Начертайте Q и M графики от характерни участъци. Разглеждайки лявата страна на гредата, получаваме Диаграмата на напречните сили е показана на фиг. 1.14, c. . Графиката на моментите на огъване е показана на фиг. 5.14, ж. 2. Геометрични характеристики на напречното сечение 3. Най-високите нормални напрежения в сечение C, където Mmax действа (модуло): Максималните нормални напрежения в гредата са почти равни на допустимите. 4. Най-големите тангенциални напрежения в сечение C (или A), където действа - статичен момент на площта на полусечението спрямо неутралната ос; b2 cm е ширината на сечението на нивото на неутралната ос. 5. Тангенциални напрежения в точка (в стена) в сечение C: Тук е статичният момент на площта на частта от сечението, разположена над линията, минаваща през точка K1; b2 cm е дебелината на стената на нивото на точка K1. Диаграмите за сечение C на гредата са показани на фиг. 1.15. Пример 1.7 За гредата, показана на фиг. 1.16, а се изисква: 1. Построете диаграми на напречни сили и огъващи моменти по характерни сечения (точки). 2. Определете размерите на напречното сечение под формата на кръг, правоъгълник и I-лъч от условието за якост за нормални напрежения, сравнете площите на напречното сечение. 3. Проверете избраните размери на секциите на гредата за напрежения на срязване. Решение: 1. Определете реакциите на опорите на гредата откъдето Проверете: 2. Начертайте Q и M диаграми. Следователно в тези секции диаграмата Q е ограничена до прави линии, наклонени към оста. В секцията DB, интензитетът на разпределеното натоварване q = 0, следователно в този участък диаграмата Q е ограничена до права линия, успоредна на оста x. Диаграма Q за гредата е показана на фиг. 1.16b. Стойности на моментите на огъване в характерните участъци на гредата: Във втория участък определяме абсцисата x2 на секцията, в която Q = 0: Максималният момент във втория участък Диаграма M за гредата е показана на фиг. . 1.16, c. 2. Съставяме якостното условие за нормални напрежения, от което определяме необходимия модул на аксиално сечение от израза, определен необходимия диаметър d на кръгла греда Площ на кръгло сечение За правоъгълна греда Необходима височина на сечение Площ на правоъгълно сечение. Според таблиците на GOST 8239-89 намираме най-близката по-голяма стойност на аксиалния момент на съпротивление, която съответства на I-лъч № 33 със следните характеристики: Проверка на толерантността: (подтоварване с 1% от допустимите 5 %) най-близкият I-лъч No 30 (W  472 cm3) води до значително претоварване (повече от 5%). Най-накрая приемаме I-лъч № 33. Сравняваме площите на кръгли и правоъгълни сечения с най-малката площ A на I-лъча: От трите разгледани секции, I-секцията е най-икономична. 3. Изчисляваме най-големите нормални напрежения в опасния участък 27 на двутавровата греда (фиг. 1.17, а): Нормални напрежения в стената близо до фланеца на секцията на двутавровата греда. 1.17b. 5. Определяме най-големите напрежения на срязване за избраните секции на гредата. а) правоъгълно сечение на гредата: б) кръгло сечение на гредата: в) I-сечение на гредата: Напрежения на срязване в стената близо до фланеца на I-лъча в опасния участък A (вдясно) (при точка 2): Диаграмата на напреженията на срязване в опасните участъци на двутавровата греда е показана на фиг. 1,17, инча Максималните напрежения на срязване в гредата не надвишават допустимите напрежения. Пример 1.8 Определете допустимото натоварване на гредата (фиг. 1.18, а), ако са дадени размерите на напречното сечение (фиг. 1.19, а). Построете диаграма на нормалните напрежения в опасния участък на гредата при допустимото натоварване. Фиг. 1.18 1. Определяне на реакциите на опорите на гредата. Поради симетрията на системата VVB A8qa . 29 2. Построяване на диаграми Q и M по характерни разрези. Срязващи сили в характерните участъци на гредата: Диаграма Q за гредата е показана на фиг. 5.18b. Огъващи моменти в характерните сечения на гредата За втората половина на гредата ординатите M са по осите на симетрия. Диаграма M за гредата е показана на фиг. 1.18b. 3. Геометрични характеристики на разреза (фиг. 1.19). Разделяме фигурата на два прости елемента: I-лъч - 1 и правоъгълник - 2. Фиг. 1.19 Съгласно асортимента за I-лъч No 20 имаме За правоъгълник: Статичен момент на площта на сечението спрямо оста z1 Разстояние от оста z1 до центъра на тежестта на сечението Инерционен момент на сечението отн. към главната централна ос z на целия участък по формулите за преход към успоредни оси опасна точка "а" (фиг. 1.19) в опасния участък I (фиг. 1.18): След заместване на числови данни 5. Под допустимото натоварване q в опасния участък, нормалните напрежения в точки "a" и "b" ще бъдат равни: Графика на нормалните напрежения за опасен участък 1-1 е показана на фиг. 1.19b. Пример 1.9. Определете необходимите размери на напречното сечение на чугунена греда (фиг. 1.20.), като предварително сте избрали рационално разположение на сечението. Вземете решение 1. Определяне на реакциите на опорите на гредата. 2. Построяване на парцели Q и M. Парцелите са показани на фиг. 1.20, в, g. Най-големият (модулен) момент на огъване възниква в участъка "b". В този участък опънатите влакна са разположени в горната част. По-голямата част от материала трябва да е в зоната на разтягане. Следователно е рационално участъкът на гредата да се подреди, както е показано на фиг. 1.20, б. 3. Определяне на положението на центъра на тежестта на секцията (по аналогия с предишния пример): 4. Определяне на инерционния момент на сечението спрямо неутралната ос: 5. Определяне на необходимите размери на гредата сечение от състоянието на якост за нормални напрежения. Означете с y, съответно, разстоянията от неутралната ос до най-отдалечените точки в зоните на напрежение и компресия (за секция B): , тогава точките от разтегната зона, които са най-отдалечени от неутралната ос, са опасни. Изготвяме якостното условие за точка m в сечение B: или след заместване на числови стойности.В този случай напреженията в точка n, най-отдалечена от неутралната ос в компресираната зона (в сечение B), ще бъдат MPa. Сюжет М е двусмислен. Необходимо е да се провери здравината на гредата в сечение C. Тук е моментът B, но долните влакна са разтегнати. Точка n ще бъде опасна точка: В този случай напреженията в точка m ще бъдат окончателно взети от изчисленията Диаграмата на нормалните напрежения за опасен участък C е показана на фиг. 1.21. Ориз. 1.21 1.5. Основни напрежения на огъване. Пълна проверка на якостта на греди По-горе са разгледани примери за изчисляване на якост на греди според нормалното и срязващо напрежение. В по-голямата част от случаите това изчисление е достатъчно. Въпреки това, при тънкостенни греди от I-образна греда, Т-образна греда, канални и кутийни сечения възникват значителни напрежения на срязване в кръстовището на стената с фланеца. Това се случва в случаите, когато върху гредата се прилага значителна напречна сила и има участъци, в които M и Q са едновременно големи. Един от тези участъци ще бъде опасен и се проверява 34 от главните напрежения с помощта на една от теориите за якост. Проверката на здравината на гредите за нормални, тангенциални и главни напрежения се нарича пълна проверка на якост на греди. Такова изчисление е разгледано по-долу. Основното е изчисляването на гредата според нормалните напрежения. Условието на якост за греди, чийто материал еднакво издържа на опън и натиск, има формата [ ]─ допустимо нормално напрежение за материала. От условието за якост (1) определете необходимите размери на напречното сечение на гредата. Избраните размери на секцията на гредата се проверяват за напрежения на срязване. Условието на якост за напреженията на срязване има формата (формулата на Д. И. Журавски): където Qmax е максималната напречна сила, взета от Q диаграмата; Szots.─ статичен момент (спрямо неутралната ос) на отсечната част на напречното сечение, разположен от едната страна на нивото, при което се определят напреженията на срязване; I z ─ инерционен момент на цялото напречно сечение спрямо неутралната ос; b─ ширина на сечението на гредата на нивото, където се определят напреженията на срязване; ─ допустимо напрежение на срязване на материала по време на огъване. Нормалният стрес тест се отнася до точката, която е най-отдалечена от неутралната ос в участъка, където е валидно Mmax. Изпитването за якост на срязване се отнася до точка, разположена на неутралната ос в участъка, където Qmax е валиден. При греди с тънкостенно сечение (I-лъч и др.), точка, разположена в стената в участъка, където M и Q са големи, може да бъде опасна. В този случай изпитването на якост се извършва според основните напрежения. Основните и екстремните напрежения на срязване се определят от аналитични зависимости, получени от теорията за плоското напрегнато състояние на телата: Например, според третата теория за най-големите напрежения на срязване, след като заменим стойностите на основните напрежения, накрая получаваме (1.23) Според четвъртата енергийна теория на якостта, условието за якост има формата (1.24 ) От формули (1.6) и (1.7) се вижда, че проектното напрежение Eqv зависи от. Следователно елемент от материала на гредата подлежи на проверка, за която те ще бъдат едновременно големи. Това се извършва в такива случаи: 1) огъващият момент и напречната сила достигат максималната си стойност в едно и също сечение; 2) ширината на лъча се променя драстично в близост до ръбовете на секцията (I-лъч и др.). Ако тези условия не са изпълнени, тогава е необходимо да се разгледат няколко напречни сечения, в които най-високото уравнение. Пример 1.10 Заварена греда с напречно сечение на I-образна греда с обхват l = 5 m, свободно поддържана в краищата, се натоварва с равномерно разпределен товар с интензитет q и концентрирана сила P 5qa, приложена на разстояние a = 1 m от дясната опора (фиг. 1.22). Определете допустимото натоварване на гредата от условието за якост за нормални напрежения и проверете за тангенциални и главни напрежения съгласно 36 от 4-та (енергийна) теория на якостта. Конструирайте диаграми в опасен участък според главните напрежения и изследвайте състоянието на напрежение на избрания елемент в стената близо до фланеца в посочения участък. Допустимо напрежение на опън и натиск: при огъване 160 MPa; и за смяна от 100 MPa. Ориз. 1.22 Решение 1. Определяне на реакциите на опорите на гредата: 2. Построяване на диаграми M и Q по характерни сечения (точки): 3. Изчисляване на геометричните характеристики на сечението на гредата. а) Аксиален инерционен момент на сечението спрямо неутралната ос z: 37 б) Аксиален момент на съпротивление спрямо неутралната ос z: 4. Определяне на допустимото натоварване на гредата от якостното условие за нормални напрежения: Допустимо натоварване върху гредата 5. Проверка на якостта на гредата за срязващи напрежения по формулата D.I.Zhuravsky Статичен момент на полусечение на I-греда спрямо неутралната ос z: Ширина на сечението на ниво точка 3: Максимална напречна сила Максимални напрежения на срязване в гредата 6. Проверка на здравината на гредата според основните напрежения. Опасен по отношение на главните напрежения е участъкът D, в който и M и Q са големи, а опасните точки в този участък са точки 2 и 4, където  и  са големи (фиг. 1.23). За точки 2 и 4 проверяваме якостта за основните напрежения с помощта на 4-та теория на якостта, където  (2) и (2) са съответно нормално и срязващо напрежение в точка 2 (4) (фиг. 1.2). Ориз. 1.23 разстояние от неутралната ос до точката 2. където Sz po (lk ─) е статичният момент на рафта спрямо неутралната ос z. cm ─ ширина на сечението по линията, минаваща през точка 3. Еквивалентни напрежения според 4-та теория на якостта в точка 2 от сечение D: Удовлетворено е якостното условие съгласно 4-та теория на якостта. 7. Построяване на диаграми на нормални, тангенциални, главни и екстремни срязващи напрежения в опасен участък D (на база главни напрежения). а) изчисляваме напреженията в точки (1-5) от сечение D по съответните формули. Точка 2 (в стената) Преди това бяха изчислени стойностите на нормалните и срязващи напрежения в точка 2. Откриваме основното и екстремното напрежение на срязване в една и съща точка 2: Точка 3. Нормално и срязващо напрежение в точка 3: основни и екстремни напрежения на срязване в точка 3: По същия начин напреженията се намират в точки 4 и 5. Въз основа на получените данни изграждаме диаграми, макс. 8. Напрегнатото състояние на избрания елемент в близост до точка 2 в сечение D е показано на фиг. 1.24, ъгълът на наклон на основните платформи 1.6. Концепцията за центъра на огъване Както бе споменато по-горе, напреженията на срязване в напречните сечения на тънкостенни пръти по време на огъване (например I-лъч или канал) се определят по формулата на фиг. 194 показва диаграми на напреженията на срязване в I-сечение. Използвайки техниката, описана в параграф 63, можете да начертаете 41 и за канала. Да разгледаме случая, когато каналът е вграден в стената, а в другия край е натоварен със сила P, приложена към центъра на тежестта на секцията. Ориз. 1.25 Общият изглед на диаграмата τ във всеки раздел е показан на фиг. 1,25 а. Напреженията на срязване τу се появяват във вертикалната стена. В резултат на действието на напреженията τу възниква обща сила на срязване T2 (фиг. 1.25, б). Ако пренебрегнем тангенциалните напрежения τу в рафтовете, тогава можем да запишем приблизително равенство.В хоризонталните рафтове възникват срязващи напрежения τx, които са насочени хоризонтално. Най-голямото напрежение на срязване във фланеца τx max е Тук S1OTS е статичният момент на областта на фланеца спрямо оста Ox: Следователно, общата сила на срязване във фланеца се определя като площта на диаграмата на напрежението на срязване, умножена по дебелина на фланеца.На долния фланец действа точно същата сила на срязване, както и на горната, но е насочена в обратна посока. Две сили T1 образуват двойка с момента (1.25) Така поради напреженията на срязване τу и τх се появяват три вътрешни сили на срязване, които са показани на фиг. 1,25 б. От тази фигура може да се види, че силите T1 и T2 се стремят да завъртят секцията на канала спрямо центъра на тежестта в същата посока. Ориз. 1.25 Следователно в участъка на канала има вътрешен въртящ момент, насочен по посока на часовниковата стрелка. Така че, когато каналната греда се огъва от сила, приложена в центъра на тежестта на секцията, лъчът едновременно се усуква. Трите тангенциални сили могат да се сведат до главния вектор и главния момент. Величината на главния момент зависи от позицията на точката, до която се довеждат силите. Оказва се, че може да се избере точка А, по отношение на която главният момент е равен на нула. Тази точка се нарича център на завоя. Приравнявайки момента на тангенциалните сили към нула: получаваме Като се вземе предвид израз (1.25), накрая намираме разстоянието от оста на вертикалната стена до центъра на завоя: Ако външна сила е приложена не в центъра на тежестта на сечението, но в центъра на завоя, тогава той ще създаде същия момент спрямо центъра на тежестта, както създава вътрешни тангенциални сили, но само с противоположен знак. При такова натоварване (фиг. 1.25, в) каналът няма да се усуква, а само ще се огъва. Ето защо точка А се нарича център на завоя. Подробно представяне на изчислението на тънкостенни пръти е дадено в гл. XIII. 1.7. Определяне на премествания в греди при огъване. Концепции за деформация на гредите и условия на тяхната коравина Под действието на външно натоварване гредата се деформира и оста й се огъва. Кривата, в която се завива оста на гредата след прилагане на натоварването, се нарича еластична линия, при условие че напреженията на гредата не надвишават границата на пропорционалност. В зависимост от посоката на натоварването, разположението на диаграмите, еластичната линия може да има издутина нагоре (фиг. 1.26, а), надолу (фиг. 1.26, б) или агрегат (фиг. 1.26, в). В този случай центровете на тежестта на напречните сечения се движат съответно нагоре или надолу, а самите секции се въртят спрямо неутралната ос, оставайки перпендикулярни на извитата ос на гредата (фиг. 1.26, а). Строго погледнато, центровете на тежестта на напречните сечения също се движат по посока на надлъжната ос на гредата. Въпреки това, с оглед на малкостта на тези премествания за греди, те се пренебрегват, т.е. считат, че центърът на тежестта на сечението се движи перпендикулярно на оста на гредата. Нека обозначим това преместване през y и в бъдеще ще го разбираме като отклонение на гредата (виж фиг. 1.26). Отклонението на греда в даден участък е изместването на центъра на тежестта на секцията в посока, перпендикулярна на оста на гредата. Ориз. 1.26 Отклоненията в различни секции на гредата зависят от позицията на секциите и са променлива стойност. Така че за лъч (фиг. 1.26, а) в точка B отклонението ще има максимална стойност, а в точка D ще бъде нула. Както вече беше отбелязано, заедно с изместването на центъра на тежестта на секцията, секциите се въртят спрямо неутралната ос на секцията. Ъгълът, с който сечението се завърта спрямо първоначалното му положение, се нарича ъгъл на завъртане на секцията. Ще обозначим ъгъла на въртене чрез (фиг. 1.26, а). Тъй като, когато гредата е огъната, напречното сечение винаги остава перпендикулярно на нейната огъната ос, ъгълът на въртене може да бъде представен като ъгълът между допирателната към огъната ос в дадена точка и първоначалната ос на гредата (фиг. 1.26, а) или перпендикулярно на оригиналната и огъната ос на гредата във въпросната точка. Ъгълът на завъртане на секцията за гредите също е променлив. Например, за греда (фиг. 1.26, b) тя има максимална стойност в шарнирни опори и минимална стойност от 0 за участък, в който отклонението има максимална стойност. За конзолна греда (фиг. 1.26, а) максималният ъгъл на въртене ще бъде в свободния й край, т.е. в точка B. За да се осигури нормална работа на гредите, не е достатъчно те да отговарят на условието за здравина. Също така е необходимо гредите да имат достатъчна твърдост, тоест максималното отклонение и ъгълът на въртене да не надвишават допустимите стойности, определени от работните условия на гредите. Това положение се нарича условие за твърдост на гредите при огъване. В кратка математическа форма условията на твърдост имат формата: където [y] и съответно допустимото отклонение и ъгъла на въртене. 45 Допустимото отклонение обикновено се дава като част от разстоянието между опорите на гредата (дължина на участъка l), т.е. където m е коефициент в зависимост от стойността и работните условия на системата, в която се използва тази греда. Във всеки клон на машиностроенето тази стойност се определя от стандартите за проектиране и варира в широк диапазон. Както следва: - за кранови греди m = 400 - 700; - за железопътни мостове m = 1000; - за шпиндели на струг m= 1000-2000. Допустимите ъгли на въртене за гредите обикновено не надвишават 0,001 rad. Лявата част на уравненията (1.26) включва максималното отклонение ymax и ъгъла на въртене max, които се определят чрез изчисление на базата на известни методи: аналитичен, графичен и графичен, някои от които са разгледани по-долу. 1.8. Диференциалното уравнение на извитата ос на гредата Под действието на външни сили оста на гредата се огъва (виж фиг. 1.26, а). Тогава уравнението на огъната ос на гредата може да се запише във формата и ъгълът на завъртане  за произволен участък ще бъде равен на ъгъла на наклона на допирателната към огъната ос в дадена точка. Тангенсът на този ъгъл е числено равен на производната на отклонението по абсцисата на текущото сечение x, т.е. Тъй като отклоненията на гредата са малки в сравнение с дължината му l (виж по-горе), може да се приеме, че ъгълът на въртене (1.27) При извеждане на формулата за нормални напрежения при огъване е установено, че съществува следната зависимост между кривината на неутралния слой и момента на огъване: Тази формула показва, че кривината се променя по дължината на гредата според същият закон, който променя стойността на Mz. Ако греда с постоянно сечение изпитва чисто огъване (фиг. 5.27), при което моментът по дължината не се променя, неговата кривина: Следователно за такъв лъч радиусът на кривината също е постоянна стойност и гредата в тази случай ще се огъне по дъга на окръжност. Въпреки това, в общия случай не е възможно директно да се приложи закона за изменението на кривината за определяне на отклонения. За аналитичното решение на задачата използваме израза за кривина, известен от математиката. (1.29) Замествайки (1.28) в (1.29), получаваме точното диференциално уравнение за извитата ос на гредата: . (1.30) Уравнението (1.30) е нелинейно и интегрирането му е свързано с големи трудности. Като се има предвид, че отклоненията и ъглите на въртене за реални греди, използвани в машиностроенето, строителството и др. малка, стойността може да се пренебрегне. Имайки предвид това, както и факта, че за дясната координатна система огъващият момент и кривина имат еднакъв знак (фиг. 1.26), то за дясната координатна система знакът минус в уравнение (1.26) може да бъде пропуснат. Тогава приблизителното диференциално уравнение ще има вида 1.9. Метод на директно интегриране Този метод се основава на интегрирането на уравнение (1.31) и ви позволява да получите уравнението на еластичната ос на гредата под формата на отклонения y f (x) и уравнението на ъглите на въртене Чрез интегриране на уравнение (1.31) за първи път получаваме уравнението на ъглите на въртене (1.32), където C е константата на интегриране . Интегрирайки втори път, получаваме уравнението на отклонението, където D е втората константа на интегриране. Константите C и D се определят от граничните условия на опората на гредата и граничните условия на нейните сечения. Така за греда (фиг. 1.26, а), на мястото на вграждане (x l), отклонението и ъгълът на завъртане на секцията са равни на нула, а за гредата (виж фиг. 1.26, b) отклонението y и отклонение yD 0, при x .l на опорна греда с конзоли (фиг. 1.28), когато началото на координатите е подравнено с края на лявата опора и е избрана дясната координатна система, граничните условия приемат формата Приемайки като се отчитат граничните условия, се определят константите на интегриране. След заместване на константите на интегриране в уравненията на ъглите на въртене (1.32) и отклоненията (1.33), се изчисляват ъглите на въртене и отклоненията на даден участък. 1.10. Примери за определяне на премествания в греди чрез директно интегриране Пример 1.11 Определете максималното отклонение и ъгъла на въртене за конзолна греда (фиг. 1.26, а). Решение Началото на координатите е подравнено с левия край на лъча. Моментът на огъване в произволно сечение на разстояние x от левия край на гредата се изчислява по формулата Като се вземе предвид момента, приблизителното диференциално уравнение има вида Интегриране за първи път, имаме (1.34) Интегриране за втори път на намерените константи на интегриране C и D, уравнението на ъглите на въртене и отклонения ще изглежда така: Когато (виж фиг. 1.26, а) ъгълът на въртене и отклонение имат максимални стойности: часова стрелка. Отрицателна стойност y означава, че центърът на тежестта на секцията се движи надолу. 1.11. Физическият смисъл на интегриращите константи Ако се обърнем към уравнения (1.32), (1.33) и (1.34), (1.35) на разгледаните по-горе примери, е лесно да се види, че за x 0 те следват По този начин можем да заключим, че интегриращите константи C и D са произведение на коравината на гредата съответно от ъгъла на завъртане 0 и отклонението y0 в началото. Зависимостите (1.36) и (1.37) винаги са валидни за греди с едно натоварване, ако изчислим момента на огъване от силите, разположени между сечението и началото. Същото остава валидно за греди с произволен брой натоварващи секции, ако използваме специални методи за интегриране на диференциалното уравнение на извитата ос на гредата, което ще бъде разгледано по-долу. 1.12. Метод на изходните параметри (универсално уравнение на извитата ос на гредата) При определяне на отклонения и ъгли на въртене чрез директно интегриране е необходимо да се намерят две интегрални константи C и D дори в случаите, когато гредата има една натоварваща секция. На практика се използват греди с няколко товарни секции. В тези случаи законът за огъващия момент ще бъде различен в различните области на натоварване. Тогава диференциалното уравнение на извитата ос ще трябва да се състави за всеки от участъците на гредата и за всеки от тях да се намерят своите интегриращи константи C и D. Очевидно, ако гредата има n натоварващи секции, тогава броят на интегриращите константи ще бъде равен на удвоения брой секции. За да ги определите, ще е необходимо да се решат 2 уравнения. Тази задача е трудоемка. За решаване на проблеми, които имат повече от една зона на натоварване, методът на началните параметри, който е развитие на метода на директно интегриране, е широко разпространен. Оказва се, че при спазване на определени условия, методи за съставяне и интегриране на уравнения по секции е възможно броят на интегриращите константи, независимо от броя на натоварващите секции, да се намали до две, представляващи отклонението и ъгъла на въртене при произход. Помислете за същността на този метод, като използвате примера на конзолна греда (фиг. 1.28), натоварена с произволен товар, но създаваща положителен момент във всеки участък от гредата. Нека е дадена греда с постоянно сечение, докато сечението има ос на симетрия, съвпадаща с оста y, и целият товар е разположен в една равнина, минаваща през тази ос. Нека да поставим задачата да установим зависимости, които определят ъгъла на завъртане и отклонение на произволен участък от гредата. Ориз. 1.29 При решаване на задачи ще се съгласим: 1. Началото на координатите ще бъде свързано с левия край на гредата и е общо за всички секции. 2. Моментът на огъване в произволен участък винаги ще се изчислява за сечението на гредата, разположено вляво от секцията, т.е. между началото и сечението. 3. Интегрирането на диференциалното уравнение на кривата ос на всички отсечки ще се извърши без отваряне на скобите на някои изрази, съдържащи скоби. Така например интегрирането на израз от вида P x(b) се извършва без отваряне на скоби, а именно по следната формула Интегрирането по тази формула се различава от интегрирането с предварително отваряне на скоби само със стойността на произволна константа. 4. При съставяне на израза за огъващия момент в произволен участък, причинен от външния концентриран момент M, ще добавим коефициента (x)a0 1. Придържайки се към тези правила, ние съставяме и интегрираме приблизително диференциално уравнение за всяка от петте секции на гредата, посочени на фиг. 1,28 с римски цифри. Приблизителното диференциално уравнение за тези участъци има същия вид: (1.38), но за всеки участък огъващият момент има свой собствен закон за промяна. Моментите на огъване за секциите имат вида: Замествайки изразите на огъващия момент в уравнение (1.38), за всяко от секциите след интегриране получаваме две уравнения: уравнението на ъглите на въртене и уравнението на отклонението, което ще включва техните две константи на интегриране Ci и Di . С оглед на факта, че лъчът има пет секции, ще има десет такива константи на интегриране. Въпреки това, като се има предвид, че извитата ос на гредата е непрекъсната и еластична линия, тогава на границите на съседните секции отклонението и ъгълът на въртене имат едни и същи стойности, т.е. при и т.н. Поради това от сравнение на уравненията на ъглите на въртене и отклоненията на съседни секции, получаваме, че интегриращите константи По този начин вместо десет интегрални константи, за да се реши задачата, е необходимо да се определят само две интегрални константи C и D . От разглеждането на интегралните уравнения от първия раздел следва, че за x 0: т.е. те представляват едни и същи зависимости (1.36) и (1.37). Началните параметри 0 и y0 о се определят от граничните условия, които бяха разгледани в предишния раздел. Анализирайки получените изрази за ъглите на въртене и отклоненията y, виждаме, че най-общата форма на уравненията съответства на петия раздел. Като се вземат предвид константите на интегриране, тези уравнения имат формата: Първото от тези уравнения представлява уравнението на ъглите на въртене, а второто - отклоненията. Тъй като върху греда може да действа повече от една концентрирана сила, момент или греда могат да имат повече от едно сечение с разпределен товар, тогава за общия случай уравненията (1.38), (1.39) ще бъдат записани във вида: Уравнения ( 1.41), (1.42) се наричат ​​универсални уравнения на извита ос на гредата. Първото от тези уравнения е уравнението за ъгъла на въртене, а второто е уравнението на отклонението. С помощта на тези уравнения е възможно да се определят отклоненията и ъглите на завъртане на секциите за всякакви статично определени греди, за които коравината по дължината им е постоянна EI  const. В уравнения (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ външен товар, разположен между началото на координатите и участъка, в който се определят преместванията (ъгъл на въртене и отклонение); a, b, c, d ─ разстояния от началото на координатите до точките на приложение, съответно на момента M, концентрирана сила P, начало на равномерно разпределен товар и начало на неравномерно разпределен товар. Необходимо е да се обърне внимание на: 53 1. При противоположна посока на външното натоварване, която се приема при извеждане на универсални уравнения, знакът пред съответния член на уравненията се променя на обратен, тоест на минус. 2. Последните два члена от уравнения (1.41), (1.42) са валидни само ако разпределеният товар не се счупи преди участъка, в който се определят отклонението и ъгълът на въртене. Ако товарът не достигне този участък, тогава той трябва да продължи към този участък и в същото време да добави същия разпределен товар, но противоположен по знак, към разширения участък, тази идея е обяснена на фиг. 1.30. Пунктираната линия показва добавеното разпределено натоварване върху удължената секция. Ориз. 1.30 При определяне на ъглите на завъртане  и отклоненията y, началото на координатите трябва да се постави в левия край на гредата, насочвайки оста y нагоре, а оста x ─ надясно. В уравнението на ъглите на въртене и отклонения се включват само онези сили, които са разположени вляво от сечението, т.е. върху сечението на гредата между началото и сечението, в което се определят отклонението и ъгълът на въртене (включително силите, действащи в участъка, съвпадащ с началото). 1.13. Примери за определяне на премествания в греда по метода на началните параметри Пример 1.12 За греда (фиг. 1.31), притисната от левия край и натоварена с концентрирана сила P, се определя ъгълът на въртене и отклонение в точката на приложение на силата, както и свободния край (участък D). Коравина на гредата Фиг. 1.31 Решение на равновесното уравнение на статиката: 1) Имайте предвид, че реактивният момент е насочен обратно на часовниковата стрелка, така че ще влезе в уравнението на извитата ос със знак минус. 2. Комбинираме началото на координатите с точка B и задаваме началните параметри. При прищипване ()B ъгълът на отклонение и въртене липсват, т.е. 0 0. Записваме уравнението на ъглите на въртене и отклоненията за произволен участък от втория участък, разположени на разстояние x от началото на координатите Като се вземат предвид реактивните сили, както и нулевите начални параметри, тези уравнения имат формата, като се завъртат върху дясната опора на греда, натоварена в средата на участъка с концентрирана сила ( Фиг. 1.32). Решение 1. Определете опорните реакции От уравненията на статиката имаме B 2. Поставете началото в левия край на гредата (точка B). Ориз. 1.32 3. Задайте първоначалните параметри. Отклонение в началото By0, тъй като опората не позволява вертикално движение. Трябва да се отбележи, че ако опората беше с пружина, тогава отклонението в началото ще бъде равно на тягата на деформация на пружината. Ъгълът на завъртане в началото не е равен на нула, т.е. 4. Определете ъгъла на завъртане в началото 0 . За да направим това, използваме условието, че при x l отклонението е равно на нула yD 0: 3 Тъй като гредата е симетрична по отношение на натоварването P, ъгълът на въртене на дясната опора е равен на ъгъла на въртене на лява опора. 2 BD 16z Pl EI . Максималното отклонение ще бъде в средата на гредата при x. Следователно, Пример 1.14 Определете отклонението в средата на участъка и в десния край на гредата (фиг. 1.33), ако гредата е направена от I-лъч № 10 (момент на инерция Iz 198 csmm4), натоварен с разпределен товар q 2, N / m, концентриран момент M сила. P kkNN Фиг. 1.33 Решение 1 . Определяме опорните реакции Откъде Проверка на коректността на определяне на реакциите 2. Комбинираме началото на координатите с точка B и задаваме началните параметри. От фиг. 1.33 следва, че в началото на координатите отклонението y0 0 и ъгълът на въртене. 57 3. Определете началните параметри y0 и 0 . За да направим това, използваме граничните условия, които при: За изпълнение на граничните условия съставяме уравнението на извита ос. за две секции: участък BC 0 mm1: При написването на това уравнение беше взето предвид, че разпределеният товар е прекъснат в точка C, следователно, съгласно горното, той беше продължен и беше въведено компенсиращо натоварване със същата величина в разширения участък, но в обратна посока. Като се вземат предвид граничните условия (т. 3) и натоварването, уравненията (1.43) и (1.44) имат вида: От общото решение на тези уравнения имаме 4. Определяме отклонението в участъците K и E. За сечението K при x 2 mm имаме 1,14. Определяне на преместванията по метода на Мор Правило A.K. Методът на Верещагин Мор е общ метод за определяне на премествания в линейно деформируеми пръчкови системи. Определянето на преместванията (линейни, ъглови) в изчислените сечения се извършва по формулата на Мор (интеграл), която е лесно да се получи въз основа на теоремата за взаимността на работата (теоремата на Бети) и теоремата за реципрочността на премествания (теоремата на Максуел). Нека например е дадена плоска еластична система под формата на греда (фиг. 1.34), натоварена с плосък балансиран произволен товар. Даденото състояние на системата ще се нарича товарно състояние и ще се означава с буквата P. Под действието на външно натоварване ще настъпи деформация и ще настъпят измествания в точка K, по-специално в посока, перпендикулярна на оста - отклонение cr. Да въведем ново (спомагателно) състояние на същата система, но натоварена в точка K в посока на желаното преместване  (cr) от единична безразмерна сила (фиг. 1.34). Това състояние на системата ще бъде обозначено с буквата i и ще бъде наречено единично състояние. 59 Фиг. 1.34 Въз основа на теоремата на Бети, възможната работа на силите на товарното състояние pi A и силите на единичното състояние pi A е равна на (1.45) ), (1.47) от (1.45) имаме (1.48) където M p , Qp, Np ─ съответно огъващ момент, напречни и надлъжни сили, възникващи в системата от външно натоварване; Mi, Qi, Ni са съответно огъващият момент, напречните и надлъжните сили, възникващи в системата от единично натоварване, приложено в посоката на определяното преместване; k ─ коефициент, отчитащ неравномерността на напреженията на срязване по сечението; I ─ аксиален момент на инерция спрямо главната централна ос; A─ площ на напречното сечение на пръта в секцията; 60 E , G ─ модули на еластичност на материала. Неравномерното разпределение на напреженията на срязване в сечението зависи от формата на секцията. За правоъгълни и триъгълни сечения k 1.2, кръгло сечение k 1.11, кръгло пръстеновидно сечение k 2. Формула (1.48) ви позволява да определите изместването във всяка точка на плоска еластична система. При определяне на отклонението в сечението (K) прилагаме единична сила (безразмерна) в тази точка. В случай на определяне на ъгъла на въртене на секцията в точка K е необходимо да се приложи единичен безразмерен момент

Процесът на проектиране на съвременни сгради и конструкции се регулира от огромен брой различни строителни норми и разпоредби. В повечето случаи стандартите изискват спазването на определени характеристики, като деформация или отклонение на греди на подови плочи при статично или динамично натоварване. Например, SNiP № 2.09.03-85 определя отклонението на гредата за опори и естакади в не повече от 1/150 от дължината на участъка. За таванските етажи тази цифра вече е 1/200, а за междуетажните греди дори по-малко - 1/250. Следователно един от задължителните етапи на проектиране е изчисляването на гредата за отклонение.

Начини за извършване на изчисление и тестване на отклонение

Причината, поради която SNiP поставя такива драконовски ограничения, е проста и очевидна. Колкото по-малка е деформацията, толкова по-голяма е границата на безопасност и гъвкавостта на конструкцията. При отклонение по-малко от 0,5% носещият елемент, гредата или плочата все още запазва еластичните свойства, което гарантира нормалното преразпределение на силите и запазването на целостта на цялата конструкция. С увеличаване на деформацията рамката на сградата се огъва, устоява, но стои, когато границите на допустимата стойност са превишени, връзките се разрушават и конструкцията губи своята твърдост и носеща способност като лавина.

• Използвайте софтуерния онлайн калкулатор, в който стандартните условия са „защитени“ и нищо повече;
• Използвайте готови референтни данни за различни видове и типове греди, за различни опори на диаграми на натоварване. Необходимо е само правилно да се идентифицират вида и размера на гредата и да се определи желаното отклонение;
• Изчислете допустимото отклонение с ръцете и главата си, повечето дизайнери правят това, докато контролиращите архитектурни и строителни инспекции предпочитат втория метод на изчисление.

Забележка! За да разберете наистина защо е толкова важно да знаете размера на отклонението от първоначалното положение, си струва да разберете, че измерването на размера на отклонението е единственият достъпен и надежден начин за определяне на състоянието на лъча на практика.

Измервайки колко е провиснала гредата на тавана, е възможно да се определи с 99% сигурност дали конструкцията е в аварийно състояние или не.

Метод за изчисляване на отклонението

Преди да продължите с изчислението, ще е необходимо да си припомним някои зависимости от теорията на якостта на материалите и да изготвим схема за изчисление. В зависимост от това колко правилно е изпълнена схемата и са взети предвид условията на натоварване, ще зависи точността и коректността на изчислението.

Използваме най-простия модел на натоварена греда, показан на диаграмата. Най-простата аналогия за греда може да бъде дървена линийка, снимка.

В нашия случай лъчът:

1. Има правоъгълно сечение S=b*h, дължината на лежащата част е L;
2. Линийката се натоварва със сила Q, преминаваща през центъра на тежестта на равнината на огъване, в резултат на което краищата се завъртат на малък ъгъл θ, с отклонение спрямо първоначалното хоризонтално положение , равно на f;
3. Краищата на гредата лежат свободно и шарнирно върху фиксирани опори, съответно няма хоризонтален компонент на реакцията, а краищата на линийката могат да се движат в произволна посока.

За определяне на деформацията на тялото под натоварване се използва формулата на модула на еластичност, която се определя от съотношението E = R / Δ, където E е референтна стойност, R е силата, Δ е стойността на деформация на тялото.

Изчисляваме моментите на инерция и силите

За нашия случай зависимостта ще изглежда така: Δ \u003d Q / (S E) . За натоварване q, разпределено по гредата, формулата ще изглежда така: Δ \u003d q h / (S E) .

Следва най-важният момент. Горната диаграма на Young показва отклонението на гредата или деформацията на владетеля, сякаш е смачкан под мощна преса. В нашия случай гредата е огъната, което означава, че в краищата на линийката, спрямо центъра на тежестта, се прилагат два огъващи момента с различни знаци. Диаграмата на натоварване на такава греда е показана по-долу.

За да преобразуваме зависимостта на Янг за момента на огъване, е необходимо да умножим двете страни на уравнението по рамото L. Получаваме Δ*L = Q·L/(b·h·E) .

Ако си представим, че една от опорите е твърдо фиксирана и към втория M max \u003d q * L * 2/8 се прилага еквивалентен балансиращ момент на силите, величината на деформацията на гредата ще бъде изразена с зависимостта Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E). Стойността b·h 2 /6 се нарича момент на инерция и се означава с W. В резултат на това се получава Δx = M x / (W E), основната формула за изчисляване на гредата за огъване W = M / E през момента на инерция и момента на огъване.

За да изчислите точно отклонението, трябва да знаете момента на огъване и инерционния момент. Стойността на първата може да бъде изчислена, но конкретната формула за изчисляване на гредата за отклонение ще зависи от условията на контакт с опорите, върху които е разположена гредата, и метода на натоварване, съответно, за разпределен или концентриран товар . Моментът на огъване от разпределено натоварване се изчислява по формулата Mmax \u003d q * L 2 / 8. Горните формули са валидни само за разпределен товар. За случая, когато натискът върху гредата е концентриран в определена точка и често не съвпада с оста на симетрия, формулата за изчисляване на отклонението трябва да се изведе с помощта на интегрално смятане.

Моментът на инерция може да се разглежда като еквивалент на съпротивлението на гредата срещу натоварване на огъване. Инерционният момент за обикновена правоъгълна греда може да се изчисли по простата формула W=b*h 3 /12, където b и h са размерите на сечението на гредата.

От формулата се вижда, че една и съща линийка или дъска с правоъгълно сечение може да има напълно различен момент на инерция и отклонение, ако го поставите върху опори по традиционния начин или го поставите на ръба. Не без причина почти всички елементи на покривната ферма са направени не от бар 100x150, а от дъска 50x150.

Реалните секции на строителните конструкции могат да имат различни профили, от квадрат, кръг до сложни I-образни или канални форми. В същото време определянето на момента на инерция и размера на отклонение ръчно, "на лист хартия", за такива случаи се превръща в нетривиална задача за непрофесионален строител.

Формули за практическа употреба

На практика най-често има обратен проблем - да се определи границата на безопасност на подове или стени за конкретен случай от известна стойност на отклонение. В строителния бизнес е много трудно да се оцени границата на безопасност чрез други, неразрушителни методи. Често, според големината на отклонението, е необходимо да се извърши изчисление, да се оцени границата на безопасност на сградата и общото състояние на носещите конструкции. Освен това според направените измервания се определя дали деформацията е допустима, според изчислението, или сградата е в аварийно състояние.

Съвет! При изчисляването на граничното състояние на гредата по големината на отклонението изискванията на SNiP предоставят безценна услуга. Чрез задаване на границата на отклонение в относителна стойност, например 1/250, строителните кодове улесняват много по-лесно определянето на аварийното състояние на греда или плоча.

Например, ако възнамерявате да закупите завършена сграда, която е стояла дълго време на проблемна почва, би било полезно да проверите състоянието на пода според съществуващото отклонение. Познавайки максимално допустимата скорост на отклонение и дължината на гредата, е възможно без никакви изчисления да се оцени колко критично е състоянието на конструкцията.

Строителната инспекция при оценка на деформацията и оценка на носещата способност на пода е по-сложен начин:

• Първоначално се измерва геометрията на плочата или гредата, размерът на отклонението е фиксиран;
• Според измерените параметри се определя асортиментът на гредите, след което се избира формулата за момента на инерция от справочника;
• Моментът на силата се определя от отклонението и момента на инерция, след което, познавайки материала, е възможно да се изчислят реалните напрежения в метална, бетонна или дървена греда.

Въпросът е защо е толкова трудно, ако отклонението може да се получи по формулата за обикновена греда върху шарнирни опори f=5/24*R*L 2 /(E*h) при разпределена сила. Достатъчно е да се знае дължината на обхвата L, височината на профила, проектното съпротивление R и модула на еластичност E за конкретен подов материал.

Съвет! Използвайте във вашите изчисления съществуващите ведомствени колекции на различни проектантски организации, в които всички необходими формули за определяне и изчисляване на крайното натоварено състояние са обобщени в компресиран вид.

Заключение

Повечето разработчици и дизайнери на сериозни сгради правят същото. Програмата е добра, помага много бързо да се изчислят деформацията и основните параметри на натоварване на пода, но също така е важно да се предостави на клиента документално доказателство за получените резултати под формата на специфични последователни изчисления на хартия.

броя греда за огъванеима няколко опции:
1. Изчисляване на максималното натоварване, което ще издържи
2. Избор на сечението на тази греда
3. Изчисляване на максимално допустимите напрежения (за проверка)
нека разгледаме общ принцип за избор на сечение на лъча върху две опори, натоварени с равномерно разпределен товар или концентрирана сила.
За начало ще трябва да намерите точка (участък), в която ще има максимален момент. Зависи от опората на гредата или нейното прекратяване. По-долу са дадени диаграми на моментите на огъване за най-често срещаните схеми.

След като намерим момента на огъване, трябва да намерим модула Wx на този участък съгласно формулата, дадена в таблицата:

Освен това, когато разделим максималния момент на огъване на момента на съпротивление в даден участък, получаваме максимално напрежение в гредатаи това напрежение трябва да сравним с напрежението, което нашата греда от даден материал обикновено може да издържи.

За пластмасови материали(стомана, алуминий и др.) максималното напрежение ще бъде равно на граница на провлачване на материала, а за крехки(излято желязо) - издръжливост на опън. Можем да намерим границата на провлачване и якостта на опън от таблиците по-долу.

Нека разгледаме няколко примера:
1. [i] Искате да проверите дали I-лъч № 10 (St3sp5 стомана) с дължина 2 метра, здраво вграден в стената, може да ви издържи, ако се мотаете на него. Нека масата ви е 90 кг.
Първо, трябва да изберем схема за изчисление.

Тази диаграма показва, че максималният момент ще бъде в прекратяването и тъй като нашата I-лъч има същия участък по цялата дължина, тогава максималното напрежение ще бъде в терминацията. Нека го намерим:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Съгласно таблицата на асортимента на I-лъчите намираме момента на съпротивление на I-лъч № 10.

Той ще бъде равен на 39,7 cm3. Преобразувайте в кубични метри и получете 0,0000397 m3.
Освен това, според формулата, намираме максималните напрежения, които имаме в гредата.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

След като намерим максималното напрежение, което възниква в гредата, можем да го сравним с максимално допустимото напрежение, равно на границата на провлачване на стомана St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - вдясно, така че този I-лъч може да издържи маса от 90 кг.

2. [i] Тъй като получихме доста голямо предлагане, ще решим втория проблем, в който ще намерим максималната възможна маса, която може да издържи същата I-лъч № 10 с дължина 2 метра.
Ако искаме да намерим максималната маса, тогава стойностите на границата на провлачване и напрежението, което ще възникне в гредата, трябва да изравним (b = 245 MPa = 245 000 kN * m2).

извивамнаречена деформация, при която оста на пръта и всички негови влакна, т.е. надлъжни линии, успоредни на оста на пръта, се огъват под действието на външни сили. Най-простият случай на огъване се получава, когато външните сили лежат в равнина, минаваща през централната ос на пръта и не се проектират върху тази ос. Такъв случай на огъване се нарича напречно огъване. Разграничете плосък завой и наклонен.

плосък завой- такъв случай, когато извитата ос на пръта е разположена в същата равнина, в която действат външни сили.

Наклонен (сложен) завой- такъв случай на огъване, когато огънатата ос на пръта не лежи в равнината на действие на външни сили.

Огъващата лента обикновено се нарича лъч.

При плоско напречно огъване на греди в сечение с координатна система y0x могат да възникнат две вътрешни сили - напречна сила Q y и огъващ момент M x; по-нататък въвеждаме обозначението Ви М.Ако в сечението или сечението на гредата няма напречна сила (Q = 0) и моментът на огъване не е равен на нула или M е постоянен, тогава такова огъване обикновено се нарича чисти.

Сила на срязваневъв всеки участък на гредата е числено равен на алгебричния сбор от проекциите върху оста на всички сили (включително опорни реакции), разположени от едната страна (всяка и да е) на сечението.

Огъващ моментв секцията на гредата е числено равна на алгебричния сбор от моментите на всички сили (включително опорни реакции), разположени от едната страна (който и да е) на сечението, изтеглено спрямо центъра на тежестта на тази секция, по-точно спрямо оста преминаващ перпендикулярно на равнината на чертежа през центъра на тежестта на начертаното сечение.

Q-силае резултатенразпределени по напречното сечение на вътрешните напрежения на срязване, а момент М– сбор от моментиоколо централната ос на секцията X вътрешна нормални напрежения.

Има диференцирана връзка между вътрешните сили

който се използва при конструирането и проверката на диаграми Q и M.

Тъй като някои от влакната на гредата се разтягат, а някои се компресират и преходът от напрежение към компресия става плавно, без скокове, в средната част на гредата има слой, чиито влакна се огъват само, но не изпитват нито едно от двете. напрежение или компресия. Такъв слой се нарича неутрален слой. Линията, по която неутралният слой се пресича с напречното сечение на гредата, се нарича неутрална линиятор неутрална оссекции. По оста на гредата са нанизани неутрални линии.

Линиите, начертани върху страничната повърхност на гредата, перпендикулярни на оста, остават плоски, когато се огъват. Тези експериментални данни позволяват да се базират изводите на формулите върху хипотезата за плоски сечения. Според тази хипотеза секциите на гредата са плоски и перпендикулярни на оста й преди огъване, остават плоски и стават перпендикулярни на огъната ос на гредата, когато тя се огъва. Напречното сечение на гредата се изкривява по време на огъване. Поради напречната деформация размерите на напречното сечение в компресираната зона на гредата се увеличават, а в зоната на опън те се компресират.

Предположения за извеждане на формули. Нормални напрежения

1) Хипотезата за плоски сечения е изпълнена.

2) Надлъжните влакна не се притискат един към друг и следователно под действието на нормални напрежения работят линейни опъни или компресии.

3) Деформациите на влакната не зависят от положението им по ширината на секцията. Следователно нормалните напрежения, променящи се по височината на секцията, остават същите по цялата ширина.

4) Гредата има поне една равнина на симетрия и всички външни сили лежат в тази равнина.

5) Материалът на гредата се подчинява на закона на Хук, а модулът на еластичност при опън и натиск е еднакъв.

6) Съотношенията между размерите на гредата са такива, че тя работи в условия на плоско огъване без изкривяване или усукване.

Само с чисто огъване на греда върху платформите в нейния разрез нормални напрежения, определено по формулата:

където y е координатата на произволна точка от сечението, измерена от неутралната линия - главната централна ос x.

Нормалните напрежения на огъване по височината на секцията се разпределят върху линеен закон. Върху крайните влакна нормалните напрежения достигат максималната си стойност, а в центъра на тежестта напречните сечения са равни на нула.

Характерът на диаграмите на нормалното напрежение за симетрични сечения по отношение на неутралната линия

Естеството на диаграмите на нормалното напрежение за участъци, които нямат симетрия спрямо неутралната линия

Опасни точки са тези, които са най-отдалечени от неутралната линия.

Нека изберем някой раздел

За която и да е точка от секцията, нека я наречем точка Да се, условието за якост на гредата за нормални напрежения има формата:

, където и.д. - Това неутрална ос

Това модул на аксиално сечениеоколо неутралната ос. Размерът му е cm 3, m 3. Моментът на съпротивление характеризира влиянието на формата и размерите на напречното сечение върху големината на напреженията.

Условие на сила за нормални натоварвания:

Нормалното напрежение е равно на съотношението на максималния огъващ момент към модула на аксиалното сечение спрямо неутралната ос.

Ако материалът издържа неравномерно на разтягане и натиск, тогава трябва да се използват две условия на якост: за зона на разтягане с допустимо напрежение на опън; за зоната на натиск с допустимо напрежение на натиск.

При напречно огъване гредите на платформите в своя разрез действат като нормално, и допирателниволтаж.

За конзолна греда, натоварена с разпределен товар с интензитет kN / m и концентриран момент kN m (фиг. 3.12), е необходимо: за изграждане на диаграми на сили на срязване и моменти на огъване, изберете греда с кръгло напречно сечение при допустимо нормално напрежение kN / cm2 и проверете здравината на гредата според напреженията на срязване при допустимото напрежение на срязване kN/cm2. Размери на гредата m; m; м.

Проектна схема за проблема с директно напречно огъване

Ориз. 3.12

Решаване на проблема с "директно напречно огъване"

Определяне на реакциите на подкрепа

Хоризонталната реакция в вграждането е нула, тъй като външните натоварвания по посока на оста z не действат върху гредата.

Избираме посоките на останалите реактивни сили, които възникват в вграждането: нека насочим вертикалната реакция, например, надолу, а момента - по посока на часовниковата стрелка. Техните стойности се определят от уравненията на статиката:

При съставянето на тези уравнения считаме момента за положителен при въртене обратно на часовниковата стрелка, а проекцията на силата е положителна, ако посоката й съвпада с положителната посока на оста y.

От първото уравнение намираме момента в края:

От второто уравнение - вертикална реакция:

Положителните стойности, получени от нас за момента и вертикалната реакция в края, показват, че сме отгатнали техните посоки.

В съответствие с естеството на закрепването и натоварването на гредата, ние разделяме дължината му на две секции. По границите на всеки от тези участъци очертаваме четири напречни сечения (виж фиг. 3.12), в които ще изчислим стойностите на срязващите сили и моментите на огъване по метода на сеченията (ROZU).

Раздел 1. Нека мислено изхвърлим дясната страна на гредата. Нека заменим действието му върху останалата лява страна със сила на рязане и огъващ момент. За удобство при изчисляването на техните стойности затваряме дясната страна на изхвърлената от нас греда с лист хартия, подравнявайки левия ръб на листа с разглеждания участък.

Припомнете си, че силата на срязване, възникваща във всяко напречно сечение, трябва да балансира всички външни сили (активни и реактивни), които действат върху частта на гредата, която разглеждаме (т.е. видима). Следователно силата на срязване трябва да бъде равна на алгебричната сума на всички сили, които виждаме.

Нека дадем и правилото за знаците за силата на срязване: външна сила, действаща върху разглежданата част от гредата и стремяща се да „завърти“ тази част спрямо секцията по посока на часовниковата стрелка, причинява положителна сила на срязване в сечението. Такава външна сила се включва в алгебричната сума за определението със знак плюс.

В нашия случай виждаме само реакцията на опората, която завърта видимата част на гредата спрямо първата секция (спрямо ръба на листчето) обратно на часовниковата стрелка. Така

kN

Моментът на огъване във всеки участък трябва да балансира момента, създаден от външни сили, които виждаме по отношение на разглеждания участък. Следователно, той е равен на алгебричния сбор от моментите на всички усилия, които действат върху разглежданата част от гредата, спрямо разглеждания участък (с други думи, спрямо ръба на парчето хартия). В този случай външно натоварване, огъващо разглежданата част от гредата с изпъкналост надолу, причинява положителен огъващ момент в сечението. И моментът, създаден от такова натоварване, се включва в алгебричната сума за определението със знак плюс.

Виждаме две усилия: реакцията и момента на прекратяване. Но рамото на силата по отношение на участък 1 е равно на нула. Така

kN m

Взехме знака плюс, защото реактивният момент огъва видимата част на лъча с изпъкналост надолу.

Раздел 2. Както преди, ще покрием цялата дясна страна на лъча с лист хартия. Сега, за разлика от първия участък, силата има рамо: m. Следователно

kN; kN m

Раздел 3. Затваряйки дясната страна на гредата, намираме

kN;

Раздел 4. Нека затворим лявата страна на гредата с листо. Тогава

kN m

kN m

.

Въз основа на намерените стойности изграждаме диаграми на срязващи сили (фиг. 3.12, б) и моменти на огъване (фиг. 3.12, в).

При ненатоварени секции диаграмата на силите на срязване върви успоредно на оста на гредата, а при разпределено натоварване q, по наклонена права линия нагоре. Под опорната реакция на диаграмата има скок надолу със стойността на тази реакция, тоест с 40 kN.

На диаграмата на моментите на огъване виждаме счупване под опорната реакция. Ъгълът на счупване е насочен към реакцията на опората. При разпределен товар q диаграмата се променя по квадратна парабола, чиято изпъкналост е насочена към товара. В раздел 6 на диаграмата има екстремум, тъй като диаграмата на силата на срязване на това място минава през нулевата стойност тук.

Определете необходимия диаметър на напречното сечение на гредата

Условието на якост за нормални напрежения има формата:

,

където е моментът на съпротивление на гредата при огъване. За лъч с кръгло напречно сечение той е равен на:

.

Моментът на огъване с най-голяма абсолютна стойност възниква в третата секция на гредата: kN cm

Тогава необходимият диаметър на гредата се определя по формулата

см.

Приемаме мм. Тогава

kN/cm2 kN/cm2.

"Пренапрежение" е

,

каквото е позволено.

Проверяваме здравината на гредата за най-високите тангенциални напрежения

Най-високите напрежения на срязване, които възникват в напречното сечение на кръгла греда, се изчисляват по формулата

,

където е площта на напречното сечение.

Според графика най-голямата алгебрична стойност на силата на срязване е равна на kN Тогава

kN/cm2 kN/cm2,

тоест условието за якост и напрежения на срязване е изпълнено, освен това, с голям запас.

Пример за решаване на задачата "директно напречно огъване" No2

Пример за състояние на задачата за директно напречно огъване

За шарнирна греда, натоварена с разпределено натоварване с интензитет kN / m, концентрирана сила kN и концентриран момент kN m (фиг. 3.13), е необходимо да се начертаят диаграми на силата на срязване и огъващия момент и да се избере напречно сечение на I-греда с допустимо нормално напрежение kN / cm2 и допустимо напрежение на срязване kN/cm2. Обхват на гредата m.

Пример за задача за прав завой - схема за проектиране

Ориз. 3.13

Решение на пример за проблем с прав огъване

Определяне на реакциите на подкрепа

За дадена шарнирно подпряна греда е необходимо да се намерят три опорни реакции: , и . Тъй като върху гредата действат само вертикални натоварвания, перпендикулярни на нейната ос, хоризонталната реакция на фиксираната шарнирна опора A е равна на нула: .

Посоките на вертикалните реакции и се избират произволно. Да насочим, например, двете вертикални реакции нагоре. За да изчислим техните стойности, съставяме две уравнения на статиката:

Припомнете си, че резултантното линейно натоварване, равномерно разпределено върху участък с дължина l, е равно на, тоест равно на площта на диаграмата на това натоварване и се прилага в центъра на тежестта на тази диаграма, тоест в средата на дължината.

;

kN

Проверяваме:.

Припомнете си, че сили, чиято посока съвпада с положителната посока на оста y, се проектират (проектират) върху тази ос със знак плюс:

това е вярно.

Изграждаме диаграми на срязващи сили и огъващи моменти

Разбиваме дължината на гредата на отделни секции. Границите на тези зони са точките на приложение на концентрирани сили (активни и/или реактивни), както и точки, съответстващи на началото и края на разпределения товар. В нашия проблем има три такива области. По границите на тези сечения очертаваме шест напречни сечения, в които ще изчислим стойностите на срязващите сили и моментите на огъване (фиг. 3.13, а).

Раздел 1. Нека мислено изхвърлим дясната страна на гредата. За удобство при изчисляване на силата на срязване и момента на огъване, възникващи в този участък, затваряме изхвърлената от нас част от гредата с лист хартия, като подравняваме левия ръб на парчето хартия със самата секция.

Силата на срязване в сечението на гредата е равна на алгебричната сума от всички външни сили (активни и реактивни), които виждаме. В този случай виждаме реакцията на опората и линейното натоварване q, разпределено на безкрайно малка дължина. Полученото линейно натоварване е нула. Така

kN

Знакът плюс се взема, защото силата завърта видимата част на лъча спрямо първата секция (ръба на лист хартия) по посока на часовниковата стрелка.

Моментът на огъване в сечението на гредата е равен на алгебричния сбор от моментите на всички сили, които виждаме, спрямо разглежданото сечение (тоест спрямо ръба на лист хартия). Виждаме реакцията на опората и линейното натоварване q, разпределено на безкрайно малка дължина. Въпреки това, лостът на силата е нула. Полученото линейно натоварване също е равно на нула. Така

Раздел 2. Както преди, ще покрием цялата дясна страна на лъча с лист хартия. Сега виждаме реакцията и натоварването q, действащи върху участък с дължина. Полученото линейно натоварване е равно на . Прикрепен е в средата на секция с дължина . Така

Припомнете си, че когато определяме знака на момента на огъване, ние мислено освобождаваме частта от гредата, която виждаме от всички действителни опорни закопчалки и си я представяме като прищипана в разглеждания участък (тоест левия ръб на парчето хартията е мислено представена от нас като твърд печат).

Раздел 3. Нека затворим дясната част. Вземи

Раздел 4. Затваряме дясната страна на гредата с лист. Тогава

Сега, за да контролираме правилността на изчисленията, нека покрием лявата страна на лъча с лист хартия. Виждаме концентрираната сила P, реакцията на дясната опора и линейното натоварване q, разпределени на безкрайно малка дължина. Полученото линейно натоварване е нула. Така

kN m

Тоест всичко е правилно.

Раздел 5. Все още затворете лявата страна на гредата. Ще има

kN;

kN m

Раздел 6. Нека отново затворим лявата страна на лъча. Вземи

kN;

Въз основа на намерените стойности изграждаме диаграми на силите на срязване (фиг. 3.13, б) и моментите на огъване (фиг. 3.13, в).

Убедени сме, че под ненатоварения участък диаграмата на силите на срязване върви успоредно на оста на гредата, а при разпределено натоварване q - по права линия с наклон надолу. На диаграмата има три скока: под реакцията - нагоре с 37,5 kN, под реакцията - нагоре със 132,5 kN и под силата P - надолу с 50 kN.

На диаграмата на моментите на огъване виждаме счупвания под концентрираната сила P и под опорните реакции. Ъглите на счупване са насочени към тези сили. При разпределен товар с интензитет q диаграмата се променя по квадратна парабола, чиято изпъкналост е насочена към товара. Под концентрирания момент има скок от 60 kN m, тоест от величината на самия момент. В раздел 7 на диаграмата има екстремум, тъй като диаграмата на силата на срязване за този участък преминава през нулевата стойност (). Нека определим разстоянието от участък 7 до лявата опора.