Когато няма корени в квадратно уравнение. Квадратни уравнения

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен тричлен. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и разлагане на множители.

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корените на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, тогава полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако изобразим графика на функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича абсцисната ос (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
където
; .

И така, получихме формулата за полинома от втора степен във формата:
.
От това се вижда, че уравнението

извършва при
и .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме разлагането на квадратния трином на множители:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича оста x (ос) в две точки:
и .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен се нарича кратно. Тоест те считат, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича абсцисата (оста). Следователно няма истински корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Да работим с квадратни уравнения. Това са много популярни уравнения! В най-общия си вид квадратното уравнение изглежда така:

Например:

Тук а =1; b = 3; ° С = -4

Тук а =2; b = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; b = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

Как се решават квадратни уравнения?Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко е просто. Запомнете вълшебната дума дискриминанта . Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решете чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака на корена е същият дискриминанта. Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cв тази формула и помислете. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение а =1; b = 3; ° С= -4. Тук пишем:

Пример почти решен:

Това е всичко.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Дали коренът се извлича добре или зле е друг въпрос. Важно е какво се добива по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но това играе роля при неравенствата, където ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. Отрицателното число не взема корен квадратен. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Всичко е много просто. И как мислите, не можете да сбъркате? Ами да, как...
Най-честите грешки са объркване със знаците на стойностите a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде има да се бърка?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се запазва подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, Така че, го направи!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; b = -5; c=-1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще спадне рязко. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно? Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Просто ще се окаже правилно. Особено ако прилагате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси ще се разреши лесно и без грешки!

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихме. Или научих, което също е добре. Можете ли правилно да идентифицирате a, b и c. Знаеш ли как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбрахте ли, че ключовата дума тук е - внимателно?

Квадратните уравнения обаче често изглеждат малко по-различно. Например така:

то непълни квадратни уравнения . Те също могат да бъдат решени чрез дискриминанта. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.

Осъзнах? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Изобщо не съществува! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и всичко ще ни се нареди. По същия начин и с втория пример. Тук нямаме само нула с, а b !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никаква дискриминация. Разгледайте първото непълно уравнение. Какво може да се направи от лявата страна? Можете да извадите X от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! не вярвате? Е, тогава измислете две ненулеви числа, които при умножаване ще дадат нула!
Не работи? нещо...
Следователно можем уверено да напишем: х = 0, или х = 4

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете стават. Когато заместваме някое от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто, отколкото чрез дискриминанта.

Второто уравнение също може лесно да бъде решено. Преместваме 9 в дясната страна. Получаваме:

Остава да извлечете корена от 9 и това е всичко. Вземете:

също два корена . x = +3 и x = -3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез изваждане на X извън скобите, или чрез просто прехвърляне на числото вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези методи. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби ...

Сега обърнете внимание на практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Тези, които се дължат на невнимание ... За които тогава е болезнено и обидно ...

Първи прием. Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение, за да го приведете в стандартна форма. Какво означава това?
Да предположим, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Изградете примера правилно. Първо х на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът преди х на квадрат може да ви разстрои много. Лесно е да го забравиш... Отърви се от минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием.Проверете корените си! Според теоремата на Виета. Не се притеснявайте, ще ви обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, с която записахме формулата на корените. Ако (както в този пример) коеф а = 1, проверете корените лесно. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен термин, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, значи вече са объркали някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да има съотношение bс противоположност знак. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди x, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко е, че е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! Ще има по-малко грешки.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в предишния раздел. Когато работите с дроби, грешките по някаква причина се изкачват ...

Между другото, обещах зъл пример с куп минуси за опростяване. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е забавно!

Така че нека повторим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го точно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния фактор.

4. Ако х на квадрат е чисто, коефициентът за него е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез теоремата на Виета. Направи го!

Дробни уравнения. ОДЗ.

Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният изглед дробни уравнения. Или те също се наричат ​​много по-солидни - дробни рационални уравнения. Това е същото.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменателя. Поне в едно. Например:

Нека ви напомня, ако само в знаменателите числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? На първо място, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или в неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. По-долу ще го спомена.

Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на всички същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели да намалеят! Всичко веднага ще стане по-лесно. Обяснявам с пример. Да кажем, че трябва да решим уравнението:

Как са ги учили в началното училище? Прехвърляме всичко в една посока, свеждаме го до общ знаменател и т.н. Забравете колко лош сън! Това е, което трябва да направите, когато събирате или изваждате дробни изрази. Или работете с неравенства. И в уравненията ние веднага умножаваме двете части по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна, за да намалите знаменателя, трябва да умножите по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Така че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Ние умножаваме:

Това е обичайното умножение на дроби, но ще напиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобите. (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна е намален изцяло (x+2), а в дясно 2. Както е необходимо! След намаляване получаваме линеенуравнението:

Всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1 може да се напише:

И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - от дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с x, е необходимо дробта да се умножи по (x - 2). И единиците не са ни пречка. Е, нека да умножим. всичколявата страна и всичкоправилната страна:

Отново скоби (x - 2)не разкривам. Работя със скобата като цяло, все едно е един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.

С чувство на дълбоко задоволство режем (x - 2)и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!

И сега отваряме скобите:

Даваме подобни, прехвърляме всичко от лявата страна и получаваме:

Класическо квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите на -1. Но ако се вгледате внимателно в примера, ще забележите, че е най-добре да разделите това уравнение на -2! С един замах минусът ще изчезне и коефициентите ще станат по-хубави! Делим на -2. От лявата страна - термин по термин, а отдясно - просто разделете нула на -2, нула и вземете:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме според теоремата на Виета. Получаваме x=1 и x=3. Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, а тук то е квадратно. Случва се, след като се отървете от дроби, всички x се намаляват. Има нещо останало, като 5=5. Означава, че x може да бъде всичко. Каквото и да е, все ще бъде намалено. И разберете чистата истина, 5=5. Но след като се отървете от дробите, може да се окаже, че е напълно невярно, като например 2=7. И това означава, че няма решения! При произволно x то се оказва невярно.

Осъзнах основния начин за решаване дробни уравнения? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че всичко, което не ни харесва, да изчезне. Или пречи. В този случай това са дроби. Ще направим същото с всякакви сложни примери с логаритми, синуси и други ужасии. Ние винагище се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, от която се нуждаем според правилата, да ... Разработката на която е подготовката за изпита по математика. Тук се учим.

Сега ще научим как да заобиколим един от основните засади на изпита! Но първо, нека видим дали попадате в него или не?

Да вземем прост пример:

Материята вече е позната, умножаваме двете части по (x - 2), получаваме:

Запомнете, със скоби (x - 2)работим като с едно цялостно изражение!

Тук вече не написах този в знаменателите, недостойно ... И не нарисувах скоби в знаменателите, с изключение на х - 2няма нищо, не можете да рисувате. Съкращаваме:

Отваряме скобите, преместваме всичко вляво, даваме подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. х = 2и х = 3. Отлично.

Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие бяха устроени от засада. И задачата няма да ви бъде зачетена. Напразно са работили... Верният отговор е 3.

Какъв е проблема?! И се опитайте да проверите. Заменете стойностите на неизвестното в оригиналенпример. И ако при х = 3всичко расте заедно чудесно, получаваме 9 = 9, след това с х = 2дели на нула! Какво категорично не може да се направи. Средства х = 2не е решение и не се взема предвид в отговора. Това е така нареченият външен или допълнителен корен. Просто го изхвърляме. Има само един последен корен. х = 3.

Как така?! Чувам възмутени възгласи. Учеха ни, че едно уравнение може да се умножи по израз! Това е същата трансформация!

Да, идентични. При малко условие - изразът, с който умножаваме (делим) - различен от нула. НО х - 2при х = 2е равно на нула! Така че всичко е честно.

И сега какво мога да направя?! Не умножавайте по израз? Проверявате ли всеки път? Пак неясно!

Спокойно! Без паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво си мислеше. Правилно! то ОДЗ . Област на валидни стойности.

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. Дискриминантът ви позволява да решавате всякакви квадратни уравнения, като използвате общата формула, която има следната форма:

Дискриминантната формула зависи от степента на полинома. Горната формула е подходяща за решаване на квадратни уравнения от следната форма:

Дискриминантът има следните свойства, които трябва да знаете:

* "D" е 0, когато полиномът има множество корени (равни корени);

* "D" е симетричен полином по отношение на корените на полинома и следователно е полином в своите коефициенти; освен това коефициентите на този полином са цели числа, независимо от разширението, в което са взети корените.

Да предположим, че ни е дадено квадратно уравнение със следната форма:

1 уравнение

Според формулата имаме:

Тъй като \, тогава уравнението има 2 корена. Нека ги дефинираме:

Къде мога да реша уравнението чрез дискриминантния онлайн инструмент за решаване?

Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт.А ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Задачите за квадратно уравнение се изучават както в училищната програма, така и в университетите. Те се разбират като уравнения под формата a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, където х-променлива, a,b,c – константи; а<>0 . Проблемът е да се намерят корените на уравнението.

Геометричният смисъл на квадратното уравнение

Графиката на функция, която е представена от квадратно уравнение, е парабола. Решенията (корените) на квадратно уравнение са точките на пресичане на параболата с оста x. От това следва, че има три възможни случая:
1) параболата няма пресечни точки с оста x. Това означава, че е в горната равнина с клони нагоре или в долната с клони надолу. В такива случаи квадратното уравнение няма реални корени (то има два комплексни корена).

2) параболата има една пресечна точка с оста Ox. Такава точка се нарича връх на параболата, а квадратното уравнение в нея придобива своята минимална или максимална стойност. В този случай квадратното уравнение има един реален корен (или два еднакви корена).

3) Последният случай е по-интересен от практиката - има две точки на пресичане на параболата с абсцисната ос. Това означава, че има два реални корена на уравнението.

Въз основа на анализа на коефициентите при степените на променливите могат да се направят интересни заключения относно разположението на параболата.

1) Ако коефициентът a е по-голям от нула, тогава параболата е насочена нагоре, ако е отрицателна, клоновете на параболата са насочени надолу.

2) Ако коефициентът b е по-голям от нула, тогава върхът на параболата лежи в лявата полуравнина, ако приема отрицателна стойност, тогава в дясната.

Извеждане на формула за решаване на квадратно уравнение

Нека прехвърлим константата от квадратното уравнение

за знака за равенство получаваме израза

Умножете двете страни по 4а

За да получите пълен квадрат отляво, добавете b ^ 2 в двете части и извършете трансформацията

От тук намираме

Формула на дискриминанта и корените на квадратното уравнение

Дискриминантът е стойността на радикалния израз.Ако е положителен, тогава уравнението има два реални корена, изчислени по формулата Когато дискриминантът е нула, квадратното уравнение има едно решение (два съвпадащи корена), които лесно се получават от горната формула за D = 0. Когато дискриминантът е отрицателен, няма реални корени на уравнението. Въпреки това, за да се изследват решенията на квадратното уравнение в комплексната равнина, тяхната стойност се изчислява по формулата

Теорема на Виета

Разгледайте два корена на квадратно уравнение и постройте квадратно уравнение на тяхна основа.От нотацията лесно следва самата теорема на Виета: ако имаме квадратно уравнение от вида тогава сумата от неговите корени е равна на коефициента p, взет с обратен знак, а произведението от корените на уравнението е равно на свободния член q. Формулата за горното ще изглежда така. Ако константата a в класическото уравнение е различна от нула, тогава трябва да разделите цялото уравнение на нея и след това да приложите теоремата на Vieta.

График на квадратното уравнение върху фактори

Нека се постави задачата: да се разложи квадратното уравнение на множители. За да го изпълним, първо решаваме уравнението (намираме корените). След това заместваме намерените корени във формулата за разширяване на квадратното уравнение.Тази задача ще бъде решена.

Задачи за квадратно уравнение

Задача 1. Намерете корените на квадратно уравнение

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишете коефициентите и ги заменете във формулата за дискриминант

Коренът на тази стойност е 14, лесно е да го намерите с калкулатор или да го запомните с честа употреба, но за удобство в края на статията ще ви дам списък с квадрати на числа, които често могат да бъдат открити в такива задачи.
Намерената стойност се замества в кореновата формула

и получаваме

Задача 2. реши уравнението

2x2+x-3=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение, напишете коефициентите и намерете дискриминанта


Използвайки добре известни формули, намираме корените на квадратното уравнение

Задача 3. реши уравнението

9x2 -12x+4=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение. Определете дискриминанта

Получихме случая, когато корените съвпадат. Намираме стойностите на корените по формулата

Задача 4. реши уравнението

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаите, когато има малки коефициенти за x, е препоръчително да се приложи теоремата на Vieta. По условието му получаваме две уравнения

От второто условие получаваме, че произведението трябва да е равно на -6. Това означава, че един от корените е отрицателен. Имаме следната възможна двойка решения(-3;2), (3;-2) . Като вземем предвид първото условие, отхвърляме втората двойка решения.
Корените на уравнението са

Задача 5. Намерете дължините на страните на правоъгълник, ако неговият периметър е 18 cm и площта е 77 cm 2.

Решение: Половината от периметъра на правоъгълник е равна на сбора от съседните му страни. Нека означим x - по-голямата страна, тогава 18-x е по-малката му страна. Площта на правоъгълник е равна на произведението на тези дължини:
x(18x)=77;
или
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Намерете дискриминанта на уравнението

Изчисляваме корените на уравнението

Ако x=11,тогава 18x=7 ,обратното също е вярно (ако x=7, тогава 21-x=9).

Задача 6. Факторизирайте квадратното уравнение 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Изчислете корените на уравнението, за това намираме дискриминанта

Заместваме намерената стойност във формулата на корените и изчисляваме

Прилагаме формулата за разширяване на квадратното уравнение по корени

Разгъвайки скобите, получаваме идентичността.

Квадратно уравнение с параметър

Пример 1. За какви стойности на параметъра а ,има ли уравнението (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 един корен?

Решение: Чрез директно заместване на стойността a=3 виждаме, че тя няма решение. Освен това ще използваме факта, че с нулев дискриминант уравнението има един корен с кратност 2. Нека напишем дискриминанта

опростете го и приравнете към нула

Получихме квадратно уравнение по отношение на параметъра a, чието решение е лесно да се получи с помощта на теоремата на Виета. Сборът на корените е 7, а произведението им е 12. Чрез просто изброяване установяваме, че числата 3.4 ще бъдат корените на уравнението. Тъй като вече отхвърлихме решението a=3 в началото на изчисленията, единственото правилно ще бъде - а=4.Така, за a = 4, уравнението има един корен.

Пример 2. За какви стойности на параметъра а ,уравнението a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повече от един корен?

Решение: Помислете първо за сингулярните точки, те ще бъдат стойностите a=0 и a=-3. Когато a=0, уравнението ще бъде опростено до формата 6x-9=0; x=3/2 и ще има един корен. За a= -3 получаваме идентичността 0=0.
Изчислете дискриминанта

и намерете стойностите на a, за които е положителен

От първото условие получаваме a>3. За второто намираме дискриминанта и корените на уравнението


Нека дефинираме интервалите, в които функцията приема положителни стойности. Като заместим точката a=0 получаваме 3>0 . И така, извън интервала (-3; 1/3) функцията е отрицателна. Не забравяйте точката а=0което трябва да се изключи, тъй като първоначалното уравнение има един корен в него.
В резултат на това получаваме два интервала, които отговарят на условието на проблема

На практика ще има много подобни задачи, опитайте се да се справите сами със задачите и не забравяйте да вземете предвид условията, които се изключват взаимно. Проучете добре формулите за решаване на квадратни уравнения, те доста често са необходими при изчисления в различни проблеми и науки.

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *По-нататък в текста „КУ“.Приятели, изглежда, че в математиката може да бъде по-лесно от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии Yandex дава на заявка на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души месечно търсят тази информация и това е лято, а какво ще стане през учебната година - ще има два пъти повече заявки. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, търсят тази информация, а учениците също се опитват да освежат паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които казват как се решава това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на сайта ми по тази заявка; второ, в други статии, когато се появи речта „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратно уравнение е уравнение от формата:

където коефициентите a,bи с произволни числа, с a≠0.

В училищния курс материалът е даден в следната форма - разделянето на уравненията в три класа е условно:

1. Имате два корена.

2. * Има само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие много проста формула:

Формулите на корените са както следва:

*Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и да решите:

Пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

В този случай, когато дискриминантът е нула, в училищния курс се казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Така е, но...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, оказват се два равни корена и за да бъдете математически точни, тогава два корена трябва да бъдат написани в отговора:

x 1 = 3 x 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има само един корен.

Сега следният пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Ето как геометрично изглежда решението. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще, в една от статиите, ще анализираме подробно решението на квадратно неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c са дадени числа, където a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) или нито една (дискриминантът е отрицателен). Повече за квадратичната функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.

Помислете за примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = -12

* Можете веднага да разделите лявата и дясната страна на уравнението на 2, тоест да го опростите. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Реши x2–22 х+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получихме, че x 1 \u003d 11 и x 2 \u003d 11

В отговора е допустимо да напишете x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаването на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната конкретна роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Понятието комплексно число.

Малко теория.

Комплексно число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената имагинерна единица.

а+би е ЕДИНСТВЕНО ЧИСЛО, а не събиране.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега разгледайте уравнението:

Вземете два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Решават се лесно без никакви дискриминанти.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението приема формата:

Нека трансформираме:

Пример:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението приема формата:

Трансформиране, факторизиране:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициентите.

Има свойства, които позволяват решаване на уравнения с големи коефициенти.

ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а + b+ c = 0,тогава

— ако за коефициентите на уравнението ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а+ с =b, тогава

Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумата на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, така че

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенство а+ с =b, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0, коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако в уравнението ax 2 + bx - c = 0 коефициент "b" е равно на (a 2 – 1), и коефициентът „c“ числено равен на коефициента "а", тогава неговите корени са равни

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0, коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Разгледайте уравнението 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, човек може да изрази сумата и произведението на корените на произволен KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Общо числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения веднага устно.

Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това през цялото време.

МЕТОД ЗА ПРЕХВЪРЛЯНЕ

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, като че ли се "прехвърля" върху него, поради което се нарича метод на прехвърляне.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако а± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:

2х 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Съгласно теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Получените корени на уравнението трябва да се разделят на 2 (тъй като двете са "хвърлени" от x 2), получаваме

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно, разделяме резултата на 2.

*Ако хвърлим три от един вид, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

кв. ur-ie и изпита.

Ще кажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШАВАТЕ бързо и без да мислите, трябва да знаете формулите на корените и дискриминанта наизуст. Голяма част от задачите, които са част от задачите за USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си струва да се отбележи!

1. Формата на уравнението може да бъде "неявна". Например е възможен следният запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го доведете до стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Запомнете, че x е неизвестна стойност и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и др.