С това видео започвам поредица от уроци по системи от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавянеТова е един от най-простите начини, но в същото време един от най-ефективните.

Методът на добавяне се състои от три прости стъпки:

1. Погледнете системата и изберете променлива, която има същите (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
2. Извършете алгебрично изваждане (за противоположни числа - събиране) на уравнения едно от друго и след това изведете подобни членове;
3. Решете новото уравнение, получено след втората стъпка.

Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- Няма да е трудно да се реши. След това остава само да замените намерения корен в оригиналната система и да получите окончателния отговор.

На практика обаче не е толкова просто. Има няколко причини за това:

• Решаването на уравнения чрез събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви/противоположни коефициенти. Ами ако това изискване не е изпълнено?
• Не винаги след добавяне/изваждане на уравнения по този начин ще получим красива конструкция, която лесно се решава. Възможно ли е по някакъв начин да се опрости изчисленията и да се ускорят изчисленията?

За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да се справите с няколко допълнителни тънкости, които много студенти „пропускат“, гледайте моя видео урок:

С този урок започваме поредица от лекции по системи от уравнения. И ще започнем с най-простите от тях, а именно тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.

Системите е материал за 7-ми клас, но този урок ще бъде полезен и за ученици от гимназията, които искат да усъвършенстват знанията си по тази тема.

Като цяло има два метода за решаване на такива системи:

1. Метод на добавяне;
2. Метод за изразяване на една променлива чрез друга.

Днес ще се занимаваме с първия метод – ще използваме метода на изваждане и събиране. Но за това трябва да разберете следния факт: след като имате две или повече уравнения, можете да вземете всяко две от тях и да ги съберете заедно. Добавят се термин по термин, т.е. Към "Xs" се добавят "Xs" и се дават подобни, "игри" към "игри" - отново се дават подобни, а това, което е вдясно от знака за равенство, също се добавя едно към друго, а подобни са също се дава там.

Резултатите от такива машинации ще бъдат ново уравнение, което, ако има корени, със сигурност ще бъде сред корените на оригиналното уравнение. Така че нашата задача е да направим изваждането или събирането по такъв начин, че или $x$, или $y$ да изчезне.

Как да постигнем това и какъв инструмент да използваме за това - ще говорим за това сега.

Решаване на лесни задачи с помощта на метода на добавяне

И така, ние се учим да прилагаме метода на събиране, използвайки примера на два прости израза.

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Обърнете внимание, че $y$ има коефициент $-4$ в първото уравнение и $+4$ във второто. Те са взаимно противоположни, така че е логично да предположим, че ако ги съберем, тогава в полученото количество „игрите“ ще се унищожат взаимно. Добавяме и получаваме:

Решаваме най-простата конструкция:

Страхотно, намерихме X. Какво да правя с него сега? Можем да го заместим във всяко от уравненията. Нека го сложим в първия:

\[-4y=12\left| :\ляво(-4 \вдясно) \вдясно.\]

Отговор: $\left(2;-3\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Тук ситуацията е напълно подобна, само че с Xs. Нека ги съберем заедно:

Получихме най-простото линейно уравнение, нека го решим:

Сега нека намерим $x$:

Отговор: $\left(-3;3\right)$.

Важни точки

И така, току-що решихме две прости системи от линейни уравнения, използвайки метода на събиране. Още веднъж ключовите точки:

1. Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
2. Заместваме намерената променлива в някое от уравненията на системата, за да намерим втората.
3. Окончателният запис на отговора може да бъде представен по различни начини. Например, така - $x=...,y=...$, или под формата на координати на точки - $\left(...;... \right)$. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че първата координата е $x$, а втората е $y$.
4. Правилото за записване на отговора под формата на точкови координати не винаги е приложимо. Например, не може да се използва, когато ролята на променливите не е $x$ и $y$, а например $a$ и $b$.

В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.

Решаване на лесни задачи с помощта на метода на изваждане

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто уравнение от първото уравнение:

Сега заместваме стойността на $x$ във всяко от уравненията на системата. Нека първо:

Отговор: $\left(2;5\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Отново виждаме същия коефициент $5$ за $x$ в първото и второто уравнение. Следователно е логично да приемем, че трябва да извадите второто от първото уравнение:

Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втория, например, като заместим стойността на $y$ във втората конструкция:

Отговор: $\left(-3;-2 \right)$.

Нюанси на решението

И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишни системи. Единствената разлика е, че не събираме уравнения, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.

С други думи, веднага щом видите система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако навсякъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се прилага методът на събиране. Това винаги се прави така, че един от тях да изчезне, а в крайното уравнение, което остава след изваждане, ще остане само една променлива.

Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са непоследователни. Тези. в тях няма такива променливи, които биха били еднакви или противоположни. В този случай за решаване на такива системи се използва допълнителна техника, а именно умножаването на всяко от уравненията със специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, сега ще говорим за това.

Решаване на задачи чрез умножение по коефициент

Пример №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Виждаме, че нито за $x$, нито за $y$ коефициентите не само са взаимно противоположни, но като цяло не корелират по никакъв начин с друго уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавим или извадим уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $y$. За да направите това, умножаваме първото уравнение по коефициента на $y$ от второто уравнение, а второто уравнение по коефициента на $y$ от първото уравнение, без да променяме знака. Умножаваме и получаваме нова система:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Нека да го разгледаме: за $y$, противоположни коефициенти. В такава ситуация е необходимо да се приложи методът на добавяне. Нека добавим:

Сега трябва да намерим $y$. За да направите това, заменете $x$ в първия израз:

\[-9y=18\left| :\ляво(-9 \вдясно) \вдясно.\]

Отговор: $\left(4;-2\right)$.

Пример №2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Отново, коефициентите за нито една от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Нашата нова система е еквивалентна на предишната, но коефициентите на $y$ са взаимно противоположни и затова е лесно да приложим метода на добавяне тук:

Сега намерете $y$, като заместите $x$ в първото уравнение:

Отговор: $\left(-2;1\right)$.

Нюанси на решението

Основното правило тук е следното: винаги умножете само по положителни числа - това ще ви спаси от глупави и обидни грешки, свързани със смяната на знаците. Като цяло схемата на решението е доста проста:

1. Разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
2. Ако видим, че нито за $y$, нито за $x$ коефициентите са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите в тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто и второто, съответстващо, умножим по коефициента от първото, тогава в крайна сметка ще получим система, която е напълно еквивалентна на предишната, а коефициентите при $ y$ ще бъде последователен. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
3. Намираме една променлива.
4. Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
5. Записваме отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $x$ и $y$.

Но дори и такъв прост алгоритъм има свои собствени тънкости, например коефициентите на $x$ или $y$ могат да бъдат дроби и други "грозни" числа. Сега ще разгледаме тези случаи поотделно, защото в тях можете да действате по малко по-различен начин, отколкото според стандартния алгоритъм.

Решаване на задачи с дробни числа

Пример №1

\[\left\( \begin(подравняване)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(подравняване) \вдясно.\]

Първо, имайте предвид, че второто уравнение съдържа дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4$ на $0,8$. Получаваме $5$. Нека умножим второто уравнение по $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме уравненията едно от друго:

$n$ намерихме, сега изчисляваме $m$:

Отговор: $n=-4;m=5$

Пример №2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ правилно.\]

Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, но за нито една от променливите коефициентите не се вписват един в друг цял брой пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(подравняване) \вдясно.\]

Нека използваме метода на изваждане:

Нека намерим $p$, като заместим $k$ във втората конструкция:

Отговор: $p=-4;k=-2$.

Нюанси на решението

Това е всичко оптимизация. В първото уравнение изобщо не умножихме по нищо, а второто беше умножено по $5$. В резултат на това получихме последователно и дори същото уравнение за първата променлива. Във втората система действахме по стандартния алгоритъм.

Но как да намерите числата, с които трябва да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножим по дробни числа, ще получим нови дроби. Следователно дробите трябва да се умножат по число, което би дало ново цяло число, а след това променливите трябва да се умножат по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.

В заключение бих искал да обърна вниманието ви към формата на записа за отговор. Както вече казах, тъй като тук нямаме $x$ и $y$ тук, а други стойности, използваме нестандартна нотация на формата:

Решаване на сложни системи от уравнения

Като последен щрих към днешния видео урок, нека разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои във факта, че те ще съдържат променливи както отляво, така и отдясно. Следователно, за да ги разрешим, ще трябва да приложим предварителна обработка.

Система №1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \вдясно )-1=5\ляво(2x-1 \вдясно)+8 \\\край(подравняване) \вдясно\]

Всяко уравнение носи определена сложност. Следователно с всеки израз нека постъпим както при нормална линейна конструкция.

Като цяло получаваме крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Нека разгледаме коефициентите на $y$: $3$ се вписва в $6$ два пъти, така че умножаваме първото уравнение по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Коефициентите на $y$ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$

Сега нека намерим $y$:

Отговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система №2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\ляво(a-5 \вдясно)+b \\\end(подравняване) \вдясно\]

Нека трансформираме първия израз:

Нека се заемем с второто:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Като цяло нашата първоначална система ще приеме следната форма:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Разглеждайки коефициентите на $a$, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме втората от първата конструкция:

Сега намерете $a$:

Отговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Това е всичко. Надявам се, че този видео урок ще ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. По-нататък ще има още много уроци по тази тема: ще анализираме по-сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения вече ще бъдат нелинейни. Ще се видим скоро!

Системите от уравнения намират широко приложение в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути (транспортен проблем) или разполагането на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е термин за две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават верни равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решение на полином.

Видове системи от линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), за които системата се превръща в истинско равенство, или да се установи, че няма подходящи стойности на x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точки, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна част е равна на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или се изразява с функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример за система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи, всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графичния и матричния метод, решението по метода на Гаус.

Основната задача в методите на преподаване на решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е не да запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на определен метод.

Решението на примери за системи от линейни уравнения от 7-ми клас на общообразователната училищна програма е доста просто и е обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решението на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи по метода на заместване

Действията на метода на заместването са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се свежда до единична променлива форма. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x е изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във 2-рото уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във 2-рото уравнение . Решението на този пример не създава затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример за система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на втората неизвестна ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример за система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение с алгебрично събиране

При търсене на решение на системи по метода на събиране се извършва почленно събиране и умножение на уравнения по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

Приложенията на този метод изискват практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на добавяне с брой променливи 3 или повече. Алгебричното събиране е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението по някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Добавете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заменете получената стойност във 2-рото уравнение на системата, за да намерите останалата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

От примера може да се види, че чрез въвеждането на нова променлива t е възможно да се сведе 1-вото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да решите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта по добре познатата формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира чрез метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в нанасяне на графики на всяко включено в системата уравнение върху координатната ос. Координатите на точките на пресичане на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както се вижда от примера, за всяка линия бяха конструирани две точки, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. Точки с координати (0, 3) и (3, 0) бяха отбелязани на графиката и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Точката на пресичане на линиите е решението на системата.

В следващия пример се изисква да се намери графично решение на системата от линейни уравнения: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален тип таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица с една колона с безкрайно възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратна матрица е такава матрица, при умножение на която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Редът на матрицата се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите се различава, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

Когато се умножава матрица, всички матрични елементи се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един по друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите вписвания при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системите се нарича метод за решаване на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливите на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс решението на Гаус се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за гаусово решение е описан, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) бяха получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, казва, че ако едно от уравненията на системата бъде заменено с еквивалентно, тогава получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците от средното училище, но е един от най-интересните начини за развитие на изобретателността на децата, обучаващи се в програмата за напреднали в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнение и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо, те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични операции, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, тоест матрицата се свежда до единична форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата на двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на много неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква грижи и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.

Алгебричен метод на събиране

Можете да решите система от уравнения с две неизвестни по различни начини - графичен метод или метод за промяна на променлива.

В този урок ще се запознаем с друг начин за решаване на системи, който със сигурност ще ви хареса - това е методът на алгебричното събиране.

И откъде дойде идеята – да се сложи нещо в системите? При решаването на системи основният проблем е наличието на две променливи, тъй като не можем да решаваме уравнения с две променливи. Следователно е необходимо да се изключи един от тях по някакъв законен начин. И такива законни начини са математически правила и свойства.

Едно от тези свойства звучи така: сборът от противоположни числа е нула. Това означава, че ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава тяхната сума ще бъде равна на нула и ще можем да изключим тази променлива от уравнението. Ясно е, че нямаме право да добавяме само термините с променливата, от която се нуждаем. Необходимо е да се съберат уравненията като цяло, т.е. отделно добавете подобни термини от лявата страна, след това отдясно. В резултат на това ще получим ново уравнение, съдържащо само една променлива. Нека да разгледаме конкретни примери.

Виждаме, че в първото уравнение има променлива y, а във второто противоположното число е y. Така че това уравнение може да бъде решено чрез метода на добавяне.

Едно от уравненията е оставено както е. Който най-много ви харесва.

Но второто уравнение ще се получи чрез добавяне на тези две уравнения член по член. Тези. Добавете 3x към 2x, добавете y към -y, добавете 8 към 7.

Получаваме система от уравнения

Второто уравнение на тази система е просто уравнение с една променлива. От него намираме x \u003d 3. Замествайки намерената стойност в първото уравнение, намираме y = -1.

Отговор: (3; - 1).

Пример за дизайн:

Решаване на системата от уравнения чрез алгебрично събиране

В тази система няма променливи с противоположни коефициенти. Но знаем, че и двете страни на уравнението могат да бъдат умножени по едно и също число. Нека умножим първото уравнение на системата по 2.

Тогава първото уравнение ще приеме формата:

Сега виждаме, че с променливата x има противоположни коефициенти. И така, ще направим същото като в първия пример: ще оставим едно от уравненията непроменено. Например, 2y + 2x \u003d 10. И получаваме второто чрез добавяне.

Сега имаме система от уравнения:

Лесно намираме от второто уравнение y = 1, а след това от първото уравнение x = 4.

Пример за дизайн:

Нека обобщим:

Научихме се как да решаваме системи от две линейни уравнения с две неизвестни, използвайки алгебричния метод на събиране. По този начин вече знаем три основни метода за решаване на такива системи: графичният метод, методът за промяна на променливата и методът на добавяне. С тези методи може да се реши почти всяка система. В по-сложни случаи се използва комбинация от тези техники.

Списък на използваната литература:

1. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, част 1, Учебник за образователни институции / А.Г. Мордкович. - 10-то изд., преработено - Москва, "Мнемозина", 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, част 2, Тетрадка за учебни заведения / [А.Г. Мордкович и др.]; редактиран от A.G. Мордкович - 10-то издание, преработено - Москва, Мнемозина, 2007 г.
3. НЕЯ. Тулчинская, Алгебра 7 клас. Блиц анкета: ръководство за студенти от образователни институции, 4-то издание, преработено и допълнено, Москва, Мнемозина, 2008 г.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематични тестови работи в нова форма за студенти от образователни институции, под редакцията на А.Г. Мордкович, Москва, "Мнемозина", 2011 г.
5. Александрова L.A. Алгебра 7 клас. Самостоятелна работа за студенти от образователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович - 6-то издание, стереотипно, Москва, "Мнемозина", 2010 г.

Използвайки метода на събиране, уравненията на системата се добавят член по член, докато 1 или и двете (няколко) уравнения могат да бъдат умножени по произволно число. В резултат на това те стигат до еквивалентен SLE, където едно от уравненията има само една променлива.

За решаване на системата член по член събиране (изваждане)следвайте следващите стъпки:

1. Избираме променлива, за която ще бъдат направени същите коефициенти.

2. Сега трябва да добавите или извадите уравненията и да получите уравнение с една променлива.

Системно решениеса пресечните точки на графиките на функцията.

Нека разгледаме примери.

Пример 1

Дадена система:

След като анализирате тази система, можете да видите, че коефициентите на променливата са равни по абсолютна стойност и различни по знак (-1 и 1). В този случай уравненията могат лесно да се добавят член по член:

Действията, които са оградени в червено, се извършват в ума.

Резултатът от срочното събиране е изчезването на променливата г. Именно в това и Това всъщност е смисълът на метода - да се отървем от първата от променливите.

-4 - г + 5 = 0 → г = 1,

Като система решението изглежда така:

Отговор: х = -4 , г = 1.

Пример 2

Дадена система:

В този пример можете да използвате метода "училище", но той има доста голям минус - когато изразите произволна променлива от всяко уравнение, ще получите решение в обикновени дроби. А решаването на дроби отнема достатъчно време и вероятността от грешки се увеличава.

Ето защо е по-добре да използвате почленно събиране (изваждане) на уравнения. Нека анализираме коефициентите на съответните променливи:

Намерете число, на което може да се дели 3 и нататък 4 , докато е необходимо този брой да е възможно най-малък. Това е най-малко общо кратно. Ако ви е трудно да намерите правилното число, тогава можете да умножите коефициентите:.

Следваща стъпка:

Умножете първото уравнение по ,

Умножете 3-то уравнение по ,

С тази математическа програма можете да решите система от две линейни уравнения с две променливи, като използвате метода на заместване и метода на добавяне.

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така предоставя подробно решение с обяснения на стъпките на решението по два начина: метод на заместване и метод на добавяне.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите за контрол върху решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучението на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Правила за въвеждане на уравнения

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.н.

При въвеждане на уравнения можете да използвате скоби. В този случай уравненията първо се опростяват. Уравненията след опростяване трябва да са линейни, т.е. от вида ax+by+c=0 с точността на реда на елементите.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравненията можете да използвате не само цели числа, но и дробни числа под формата на десетични и обикновени дроби.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
Целите и дробните части в десетичните дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например: 2.1n + 3.5m = 55

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част на дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част се отделя от дроба с амперсанд: &

Примери.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Решете система от уравнения

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на тази задача, не са се заредили и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript във вашия браузър.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Решаване на системи от линейни уравнения. Метод на заместване

Последователността от действия при решаване на система от линейни уравнения по метода на заместване:
1) изразете една променлива от някакво уравнение на системата чрез друга;
2) заместете получения израз с друго уравнение на системата вместо тази променлива;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Нека изразим от първото уравнение y през x: y = 7-3x. Замествайки израза 7-3x вместо y във второто уравнение, получаваме системата:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Лесно е да се покаже, че първата и втората системи имат едни и същи решения. Във втората система второто уравнение съдържа само една променлива. Нека решим това уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Стрелка надясно -5x+14-6x=3 \Стрелка надясно -11x=-11 \Стрелка надясно x=1 $$

Замествайки числото 1 вместо x в уравнението y=7-3x, намираме съответната стойност на y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Стрелка надясно y=4 $$

Двойка (1;4) - решение на системата

Наричат ​​се системи от уравнения в две променливи, които имат еднакви решения еквивалентен. Системите, които нямат решения, също се считат за еквивалентни.

Решаване на системи от линейни уравнения чрез събиране

Помислете за друг начин за решаване на системи от линейни уравнения - методът на добавяне. При решаване на системи по този начин, както и при решаване по метода на заместване, преминаваме от дадена система към друга еквивалентна на нея система, в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Последователността от действия при решаване на система от линейни уравнения по метода на добавяне:
1) умножете уравненията на системния член по член, като изберете факторите така, че коефициентите за една от променливите да станат противоположни числа;
2) добавете член по член лявата и дясната част от уравненията на системата;
3) решаване на полученото уравнение с една променлива;
4) намерете съответната стойност на втората променлива.

Пример. Нека решим системата от уравнения:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

В уравненията на тази система коефициентите на y са противоположни числа. Добавяйки член по член лявата и дясната части на уравненията, получаваме уравнение с една променлива 3x=33. Нека заменим едно от уравненията на системата, например първото, с уравнението 3x=33. Да вземем системата
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

От уравнението 3x=33 намираме, че x=11. Замествайки тази стойност на x в уравнението \(x-3y=38 \), получаваме уравнение с променливата y: \(11-3y=38 \). Нека решим това уравнение:
\(-3y=27 \Стрелка надясно y=-9 \)

Така намерихме решението на системата от уравнения, като добавихме: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)

Възползвайки се от факта, че в уравненията на системата коефициентите на y са противоположни числа, ние намалихме нейното решение до решението на еквивалентна система (чрез сумиране на двете части на всяко от уравненията на оригиналната симема), в която едно от уравненията съдържа само една променлива.

Книги (учебници) Резюме на Единния държавен изпит и OGE тестове онлайн Игри, пъзели Графиране на функции Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на средните училища в Русия Каталог на руските университети Списък със задачи