По отношение на фиксирана ос ("аксиален момент на инерция") се нарича стойност J aравен на сбора от произведенията на масите на всички нматериални точки на системата в квадратите на техните разстояния до оста:

• м и- тегло и-та точка,
• r и- разстояние от и-та точка към оста.

Аксиална момент на инерциятяло J aе мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение.

Ако тялото е хомогенно, тоест плътността му е еднаква навсякъде, тогава

Теорема на Хюйгенс-Щайнер

Момент на инерцияна твърдо тяло спрямо която и да е ос зависи не само от масата, формата и размера на тялото, но и от положението на тялото спрямо тази ос. Според теоремата на Щайнер (теоремата на Хюйгенс-Щайнер), момент на инерциятяло Джспрямо произволна ос е равно на сумата момент на инерциятова тяло Jcспрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на разглежданата ос, и произведението на телесната маса мна квадратно разстояние дмежду осите:

където е общата маса на тялото.

Например моментът на инерция на прът около ос, минаваща през неговия край, е:

Аксиални инерционни моменти на някои тела

Тяло	Описание	Позиция на оста а	Момент на инерция J a
	Материална точка на маса м	На разстояние rот точка, фиксирана
	Кух тънкостенен цилиндър или пръстен с радиус rи масите м	Ос на цилиндъра
	Твърден цилиндър или радиус на диска rи масите м	Ос на цилиндъра
	Кух дебелостенен масов цилиндър мс външен радиус r2и вътрешен радиус r1	Ос на цилиндъра
	Твърда дължина на цилиндъра л, радиус rи масите м
	Дължина на кух тънкостенен цилиндър (пръстен). л, радиус rи масите м	Оста е перпендикулярна на цилиндъра и минава през неговия център на маса
	Дължина на права тънка пръчка ли масите м	Оста е перпендикулярна на пръта и минава през неговия център на маса
	Дължина на права тънка пръчка ли масите м	Оста е перпендикулярна на пръта и минава през неговия край
	Тънкостенна сфера с радиус rи масите м	Оста минава през центъра на сферата
	радиус на топката rи масите м	Оста минава през центъра на топката
	Радиус на конуса rи масите м	конус ос
	Равнобедрен триъгълник с височина з, база аи тегло м	Оста е перпендикулярна на равнината на триъгълника и минава през върха
	Правоъгълен триъгълник със страна аи тегло м	Оста е перпендикулярна на равнината на триъгълника и минава през центъра на масата
	Квадрат със страна аи тегло м	Оста е перпендикулярна на равнината на квадрата и минава през центъра на масата

Извеждане на формули

Тънкостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извличане на формула

Инерционният момент на тялото е равен на сбора от моментите на инерция на съставните му части. Разделяне на тънкостенен цилиндър на елементи с маса дми моменти на инерция DJ и. Тогава

Тъй като всички елементи на тънкостенен цилиндър са на еднакво разстояние от оста на въртене, формула (1) се преобразува във формата

Дебелостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извличане на формула

Нека има хомогенен пръстен с външен радиус Р, вътрешен радиус Р 1, дебел зи плътност ρ. Нека го разбием на тънки кръгчета с дебелина д-р. Маса и инерционен момент на тънък пръстен с радиус rще бъде

Намираме инерционния момент на дебел пръстен като интеграл

Тъй като обемът и масата на пръстена са равни

получаваме крайната формула за момента на инерция на пръстена

Хомогенен диск (твърд цилиндър)

Извличане на формула

Разглеждайки цилиндъра (диска) като пръстен с нулев вътрешен радиус ( Р 1 = 0), получаваме формулата за момента на инерция на цилиндъра (диска):

твърд конус

Извличане на формула

Разделете конуса на тънки дискове с дебелина dh, перпендикулярно на оста на конуса. Радиусът на такъв диск е

където Ре радиусът на основата на конуса, Хе височината на конуса, зе разстоянието от върха на конуса до диска. Масата и инерционният момент на такъв диск ще бъдат

Интегрирайки, получаваме

Твърда еднородна топка

Извличане на формула

Разделете топката на тънки дискове dh, перпендикулярно на оста на въртене. Радиусът на такъв диск, разположен на височина зот центъра на сферата, намираме по формулата

Масата и инерционният момент на такъв диск ще бъдат

Намираме момента на инерция на сферата, като интегрираме:

тънкостенна сфера

Извличане на формула

За извеждане използваме формулата за момента на инерция на хомогенна топка с радиус Р:

Нека изчислим колко ще се промени инерционният момент на топката, ако при постоянна плътност ρ радиусът й се увеличи с безкрайно малка стойност dR.

Тънък прът (ост минава през центъра)

Извличане на формула

Разделете пръчката на малки фрагменти с дължина д-р. Масата и инерционният момент на такъв фрагмент е

Интегрирайки, получаваме

Тънък прът (оста минава през края)

Извличане на формула

При преместване на оста на въртене от средата на пръта до неговия край, центърът на тежестта на пръта се премества спрямо оста на разстояние л/2. Според теоремата на Щайнер новият момент на инерция ще бъде равен на

Безразмерни моменти на инерция на планетите и техните спътници

От голямо значение за изследването на вътрешната структура на планетите и техните спътници са техните безразмерни моменти на инерция. Безразмерен момент на инерция на тяло с радиус rи масите ме равно на съотношението на нейния инерционен момент около оста на въртене към момента на инерция на материална точка със същата маса спрямо фиксирана ос на въртене, разположена на разстояние r(равна на г-н 2). Тази стойност отразява разпределението на масата в дълбочина. Един от методите за измерването му в планети и спътници е да се определи доплеровото изместване на радиосигнала, предаван от AMS, летящ около дадена планета или спътник. За тънкостенна сфера безразмерният момент на инерция е равен на 2/3 (~0,67), за хомогенна топка - 0,4 и като цяло колкото по-малка е, толкова по-голяма е масата на тялото е концентрирана в центъра му. Например, безразмерният момент на инерция на Луната е близо до 0,4 (равен на 0,391), така че се приема, че тя е относително хомогенна, плътността й се променя малко с дълбочината. Безразмерният момент на инерция на Земята е по-малък от този на хомогенна топка (равна на 0,335), което е аргумент в полза на съществуването на плътно ядро.

центробежен момент на инерция

Центробежните моменти на инерция на тяло спрямо осите на правоъгълна декартова координатна система са следните величини:

където х, ги z- координати на малък елемент от тялото с обем dV, плътност ρ и тегло дм.

Оста OX се нарича главна инерционна ос на тялотоако центробежните моменти на инерция Jxyи Jxzса едновременно нула. През всяка точка на тялото могат да се прокарат три основни оси на инерция. Тези оси са взаимно перпендикулярни една на друга. Моменти на инерция на тялотоспрямо трите главни оси на инерция, начертани в произволна точка Отелата се наричат основни моменти на инерция на тялото.

Наричат ​​се главните оси на инерция, минаващи през центъра на масата на тялото главни централни оси на инерция на тялото, а моментите на инерция около тези оси са неговите основни централни моменти на инерция. Оста на симетрия на еднородно тяло винаги е една от основните централни оси на инерция.

Геометричен момент на инерция

Геометричен момент на инерция - геометрична характеристика на разреза на изгледа

където е разстоянието от централната ос до която и да е елементарна област спрямо неутралната ос.

Геометричният момент на инерция не е свързан с движението на материала, той отразява само степента на твърдост на секцията. Използва се за изчисляване на радиуса на въртене, отклонение на гредата, избор на сечение на греди, колони и др.

Мерната единица в SI е m 4 . В строителните изчисления, литературата и асортиментите от валцуван метал, по-специално, е посочено в cm 4.

От него модулът на сечението се изразява:

Централен инерционен момент

Централен инерционен момент(или моментът на инерция около точка O) е количеството

Централният инерционен момент може да бъде изразен чрез главните аксиални или центробежни моменти на инерция: .

Тензор на инерцията и елипсоид на инерцията

Моментът на инерция на тялото около произволна ос, минаваща през центъра на масата и имаща посока, дадена от единичен вектор, може да бъде представен като квадратна (билинейна) форма:

където е тензорът на инерцията. Инерционната тензорна матрица е симетрична, има размери и се състои от компоненти на центробежния момент:

Чрез избор на подходяща координатна система, матрицата на тензора на инерцията може да бъде приведена в диагонална форма. За да направите това, трябва да решите проблема със собствените стойности на тензорната матрица:
,
където е ортогоналната преходна матрица към собствената основа на инерционния тензор. В собствената си основа координатните оси са насочени по главните оси на тензора на инерцията, а също така съвпадат с главните полуоси на елипсоида на инерционния тензор. Величините са основните моменти на инерция. Изразът (1) в собствената му координатна система има вида:

откъде идва уравнението

Помислете сега за проблема определяне на инерционния моментразлични тела. Общ формула за намиране на инерционния моментобект по отношение на оста z има формата

С други думи, трябва да съберете всички маси, като умножите всяка от тях по квадрата на разстоянието й от оста (x 2 i + y 2 i). Имайте предвид, че това е вярно дори за триизмерно тяло, въпреки че разстоянието има такъв "двуизмерен вид". В повечето случаи обаче ще се ограничим до двуизмерни тела.

Като прост пример, разгледайте пръчка, въртяща се около ос, минаваща през неговия край и перпендикулярна на него (фиг. 19.3). Сега трябва да сумираме всички маси, умножени по квадратите на разстоянието x (в този случай всички y са нула). Под сума, разбира се, имам предвид интеграла от x 2, умножен по "елементите" на масата. Ако разделим пръчката на парчета с дължина dx, тогава съответният елемент от масата ще бъде пропорционален на dx, а ако dx беше дължината на целия прът, тогава неговата маса би била равна на M. Следователно

Размерът на инерционния момент винаги е равен на масата, умножена по квадрата на дължината, така че единствената значима стойност, която сме изчислили, е факторът 1/3.

И какъв ще бъде моментът на инерция I, ако оста на въртене премине през средата на пръта? За да го намерим, отново трябва да вземем интеграла, но вече в диапазона от -1/2L до +1/2L. Обърнете внимание обаче на една особеност на този случай. Такъв прът с ос, минаваща през центъра, може да се представи като две пръчки с ос, минаваща през края, като масата на всеки от тях е M / 2, а дължината е L / 2. Инерционните моменти на два такива пръта са равни един на друг и се изчисляват по формула (19.5). Следователно моментът на инерция на целия прът е

По този начин пръчката е много по-лесна за усукване в средата, отколкото в края.

Възможно е, разбира се, да продължим изчисляването на моментите на инерция на други тела, които ни интересуват. Но тъй като подобни изчисления изискват много опит в изчисляването на интеграли (което е много важно само по себе си), те не представляват малък интерес за нас като такива. Тук обаче има някои много интересни и полезни теореми. Нека има някакво тяло и ние искаме да го знаем момент на инерция около някаква ос. Това означава, че искаме да намерим неговата инерция при въртене около тази ос. Ако преместим тялото от пръта, поддържащ центъра на масата му, така че да не се върти по време на въртене около оста (в този случай върху него не действат моменти на инерционни сили, така че тялото няма да се завърти, когато започнем да го движим) , тогава за да го завъртите, ви е необходима точно същата сила, както ако цялата маса е концентрирана в центъра на масата и инерционният момент ще бъде просто равен на I 1 = MR 2 c.m. , където R c.m е разстоянието от центъра на масата до оста на въртене. Тази формула обаче, разбира се, е неправилна. Не дава точния момент на инерция на тялото. В крайна сметка, в действителност, когато се завърта, тялото се върти. Не само центърът на масата се върти (което би дало стойността I 1), самото тяло също трябва да се върти спрямо центъра на масата. По този начин, към момента на инерция I 1 трябва да добавите I c - момента на инерция около центъра на масата. Правилният отговор е, че моментът на инерция спрямо всяка ос е

Тази теорема се нарича теорема за транслация на паралелна ос. Доказва се много лесно. Моментът на инерция около всяка ос е равен на сумата от масите, умножена по сумата от квадратите на x и y, т.е. I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Сега ще насочим вниманието си към x, но същото може да се каже и за y. Нека x-координата е разстоянието на дадена конкретна точка от началото; нека видим обаче как се променят нещата, ако измерим разстоянието x` от центъра на масата вместо x от началото. За да разберем, трябва да пишем
x i = x` i + X c.m.
Възлагайки на квадрат този израз, намираме
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Какво ще стане, ако го умножите по m i и сумирате всички r? Изваждайки константите от знака за сумиране, намираме

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i

Третата сума е лесна за изчисляване; това е просто MX 2 ts.m. . Вторият член се състои от два фактора, единият от които е Σm i x` i ; тя е равна на x`-координата на центъра на масата. Но това трябва да е нула, тъй като x` се измерва от центъра на масата и в тази координатна система средната позиция на всички частици, претеглени от техните маси, е нула. Първият член, очевидно, е част от x от I c. Така стигаме до формула (19.7).

Нека проверим формулата (19.7) с един пример. Нека просто проверим дали ще е приложимо за пръчката. Вече установихме, че моментът на инерция на пръта спрямо неговия край трябва да бъде равен на ML 2 /3. И центърът на масата на пръта, разбира се, е на разстояние L/2. Така че трябва да получим, че ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Тъй като една четвърта + една дванадесета = една трета, не сме допуснали грешка.

Между другото, за да се намери моментът на инерция (19.5), изобщо не е необходимо да се изчислява интегралът. Може просто да се предположи, че е равно на стойността на ML 2, умножена по някакъв неизвестен коефициент γ. След това може да се използва разсъждението за две половини и да се получи коефициентът 1/4γ за момента на инерция (19.6). Използвайки сега теоремата за транслация на паралелна ос, доказваме, че γ=1/4γ + 1/4, откъдето γ=1/3. Винаги можете да намерите някакво заобикаляне!

Когато прилагаме теоремата за успоредните оси, е важно да запомним, че оста I c трябва да бъде успоредна на оста, около която искаме да изчислим момента на инерция.

Може би си струва да споменем още едно свойство, което често е много полезно при намиране на момента на инерция на някои видове тела. Състои се в следното: ако имаме плоска фигура и тройка координатни оси с начало, разположено в тази равнина и ос z, насочена перпендикулярно към нея, тогава инерционният момент на тази фигура спрямо оста z е равен на сумата от моментите на инерция около осите x и y . Доказва се съвсем просто. забележи това

Инерционният момент на хомогенна правоъгълна плоча, например, с маса M, ширина ω и дължина L около перпендикулярна на нея ос и минаваща през нейния център, е просто

тъй като моментът на инерция около ос, лежаща в равнината на плочата и успоредна на нейната дължина, е равен на Mω 2 /12, т.е. точно същият като за прът с дължина ω, а инерционният момент около друга ос в същата равнина е равна на ML 2 / 12, същата като за пръчка с дължина L.

И така, нека изброим свойствата на момента на инерция около дадена ос, която ще наречем z-ос:

1. Инерционният момент е

2. Ако един обект се състои от няколко части и моментът на инерция на всяка от тях е известен, тогава общият момент на инерция е равен на сбора от инерционните моменти на тези части.
3. Моментът на инерция около дадена ос е равен на момента на инерция около успоредна ос през центъра на масата, плюс произведението на общата маса, умножено на квадрата на разстоянието на тази ос от центъра на масата.
4. Инерционният момент на плоска фигура около ос, перпендикулярна на нейната равнина, е равен на сбора от моментите на инерция спрямо всякакви две взаимно перпендикулярни оси, лежащи в равнината на фигурата и пресичащи се с перпендикулярната ос.

В табл. 19.1 показва моментите на инерция на някои елементарни фигури, които имат еднаква плътност на масата, а в табл. 19.2 - инерционни моменти на някои фигури, които могат да бъдат получени от табл. 19.1, използвайки свойствата, изброени по-горе.

Телата около всяка ос могат да бъдат намерени чрез изчисление. Ако веществото в тялото се разпределя непрекъснато, тогава изчисляването на неговия инерционен момент се свежда до изчисляването на интеграла

при което r- разстояние от масовия елемент дмкъм оста на въртене.

Инерционен момент на тънък хомогенен прът около перпендикулярна ос.Оставете оста да премине през края на пръта НО(фиг. 4.4).

За момента на инерция можем да запишем I A = kml 2, където л- дължина на пръта, к- коефициент на пропорционалност. Пръчка център Се неговият център на маса. Според теоремата на Щайнер I A = I C + m(л/2) 2 . стойността ИНТЕГРАЛНА СХЕМАможе да се представи като сума от инерционните моменти на два пръта, SAи ЮЗ, дължината на всеки от които е л/2, тегло м/2 и следователно инерционният момент е Така, I C = км(л/ 2) 2 . Замествайки тези изрази във формулата за теоремата на Щайнер, получаваме

,

където k = 1/3. В резултат на това намираме

(4.16)

Инерционен момент на безкрайно тънък кръгъл пръстен(кръгове). Момент на инерция около оста З(фиг. 4.5) е равно на

I Z = mR 2 , (4.17)

където Ре радиусът на пръстена. Заради симетрията I X = I Y.

Формулата (4.17) очевидно дава и инерционния момент на кух хомогенен цилиндър с безкрайно тънки стени около геометричната му ос.

Ориз. 4.5 Фиг. 4.6

Инерционен момент на безкрайно тънък диск и твърд цилиндър.Предполага се, че дискът и цилиндърът са хомогенни, т.е. веществото е разпределено в тях с постоянна плътност. Нека оста Зпреминава през центъра на диска Сперпендикулярно на нейната равнина (фиг. 4.6). Помислете за безкрайно тънък пръстен с вътрешен радиус rи външен радиус r + dr. Площта на такъв пръстен dS = 2стр rdr. Неговият инерционен момент се намира по формулата (4.17), той е равен на dIz = r 2 дм.Моментът на инерция на целия диск се определя от интеграла Поради еднородността на диска dm= , където S=стр Р 2 е площта на целия диск. Въвеждайки този израз под знака на интеграла, получаваме

(4.18)

Формулата (4.18) дава и инерционния момент на хомогенен твърд цилиндър спрямо неговата надлъжна геометрична ос.

Изчисляването на момента на инерция на тяло около ос често може да бъде опростено, като първо се изчисли момент на инерциянеговата спрямо точката. Сам по себе си моментът на инерция на тялото спрямо точката не играе никаква роля в динамиката. Това е чисто спомагателна концепция, която служи за опростяване на изчисленията. Моментът на инерция на тялото около точка ОНаречен сумата от произведенията на масите на материалните точки, от които се състои тялото, по квадратите на техните разстояния R до точка O:q = Σ mR 2. В случай на непрекъснато разпределение на масата, тази сума се свежда до интеграла q = ∫R 2 dm. От само себе си се разбира, че моментът θ не трябва да се бърка с момента на инерция азоколо оста. В случай на момент азмаси дмсе умножават по квадратите на разстоянията до тази ос, а в случая на момента θ - до фиксирана точка.

Да разгледаме първо една материална точка с маса ми с координати х, в,zспрямо правоъгълната координатна система (фиг. 4.7). Квадратите на неговите разстояния до координатните оси х,Й,Зравни съответно y 2 + z 2,z2 + x2,x 2 + y 2, и моментите на инерция около същите оси

I X= м(г 2 + z 2), аз = м(z 2 + х 2),

аз З = м(х 2 + г 2).

Събирайки тези три равенства, получаваме I X + I Y + I Z = 2м(х 2 + y 2 +z 2).

Но х 2 + y 2 +z 2 = R 2, където Р- разстояние на точка m от началото ОТака

I X + I Y + I Z = 2θ . (4.19)

Това съотношение е валидно не само за една материална точка, но и за произволно тяло, тъй като тялото може да се разглежда като набор от материални точки. По този начин, сумата от моментите на инерция на тяло около три взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в една точка O, е равна на удвоения момент на инерция на същото тяло около тази точка.

Момент на инерция на куха сфера с безкрайно тънки стени.

Първо намираме момента на инерция θ около центъра на топката. Очевидно е равно на θ = mR 2 . След това прилагаме формула (4.19). Приемайки в него с оглед на симетрията I X = I Y = I Z = I.В резултат намираме момента на инерция на кухата топка спрямо нейния диаметър

Момент на инерция
За да изчислим момента на инерция, трябва мислено да разделим тялото на достатъчно малки елементи, чиито точки могат да се считат за лежащи на същото разстояние от оста на въртене, след което да намерим произведението на масата на всеки елемент от квадрата от разстоянието му от оста и накрая сумирайте всички получени продукти. Очевидно това е много трудоемка задача. За броене
моменти на инерция на тела с правилна геометрична форма, в някои случаи могат да се използват методите на интегралното смятане.
Намирането на крайната сума на инерционните моменти на елементите на тялото ще бъде заменено от сумирането на безкраен брой инерционни моменти, изчислени за безкрайно малки елементи:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (при ∆m → 0).
Нека изчислим инерционния момент на хомогенен диск или твърд цилиндър с височина зоколо оста му на симетрия

Нека разделим диска на елементи под формата на тънки концентрични пръстени с центрове по оста на неговата симетрия. Получените пръстени имат вътрешен диаметър rи външни r + dr, и височината з. Като д-р<< r , тогава можем да приемем, че разстоянието на всички точки на пръстена от оста е r.
За всеки отделен пръстен, моментът на инерция
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
където ΣΔmе масата на целия пръстен.
Сила на звънене 2prhdr. Ако плътността на материала на диска ρ , след това масата на пръстена
ρ2prhdr.
Инерционен момент на пръстена
i = 2πρhr 3dr.
За да се изчисли моментът на инерция на целия диск, е необходимо да се сумират моментите на инерция на пръстените от центъра на диска ( r = 0) до ръба му ( r = R), тоест изчислете интеграла:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
или
I = (1/2)πρhR 4.
Но масата на диска m = ρπhR 2, следователно,
I = (1/2)mR 2.
Представяме (без изчисление) инерционните моменти за някои тела с правилна геометрична форма, изработени от еднородни материали


 1. Моментът на инерция на тънък пръстен около ос, минаваща през центъра му, перпендикулярна на неговата равнина (или тънкостенен кух цилиндър около оста на симетрия):
I = mR 2.
 2. Инерционен момент на дебелостенен цилиндър около оста на симетрия:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
където R1− вътрешни и R2− външни радиуси.
 3. Моментът на инерция на диска около ос, съвпадаща с един от неговите диаметри:
I = (1/4)mR 2.
 4. Моментът на инерция на твърд цилиндър около ос, перпендикулярна на образуващата и минаваща през средата му:
I \u003d m (R 2 / 4 + h 2 / 12)
където Р- радиус на основата на цилиндъра, зе височината на цилиндъра.
 5. Моментът на инерция на тънък прът около ос, минаваща през средата му:
I = (1/12) ml 2,
където ле дължината на пръта.
 6. Моментът на инерция на тънък прът около ос, минаваща през един от неговите краища:
I = (1/3) ml 2
7. Моментът на инерция на топката около ос, съвпадаща с един от нейните диаметри:
I = (2/5)mR 2.

Ако е известен моментът на инерция на тяло около ос, минаваща през центъра на масата му, тогава моментът на инерция спрямо всяка друга ос, успоредна на първата, може да се намери въз основа на така наречената теорема на Хюйгенс-Щайнер.
инерционен момент на тялото азспрямо която и да е ос е равно на инерционния момент на тялото аз соколо ос, успоредна на дадената и минаваща през центъра на масата на тялото, плюс масата на тялото мумножено на квадрата на разстоянието лмежду осите:
I \u003d I c + ml 2.
Като пример изчисляваме момента на инерция на топка с радиус Ри тегло мокачени на нишка с дължина l, спрямо оста, минаваща през точката на окачване О. Масата на конеца е малка в сравнение с масата на топката. От момента на инерция на топката около оста, минаваща през центъра на масата Ic = (2/5)mR 2, и разстоянието
между осите ( l + R), след това моментът на инерция около оста, преминаваща през точката на окачване:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Размер на инерционния момент:
[I] = [m] × = ML 2.

Приложение. Инерционен момент и неговото изчисляване.

Оставете твърдото тяло да се върти около оста Z (Фигура 6). Може да се представи като система от различни материални точки m i , непроменени във времето, всяка от които се движи по окръжност с радиус r илежащи в равнина, перпендикулярна на оста Z. Ъгловите скорости на всички материални точки са еднакви. Моментът на инерция на тялото около оста Z е стойността:

където - моментът на инерция на отделна материална точка спрямо оста OZ. От определението следва, че инерционният момент е количество на добавката, т. е. инерционният момент на тяло, състоящо се от отделни части, е равен на сбора от инерционните моменти на частите.

Фигура 6

Очевидно, [ аз] = кг × m 2. Значението на концепцията за инерционния момент се изразява в три формули:

; ; .

Първият от тях изразява ъгловия импулс на тяло, което се върти около фиксирана ос Z (полезно е тази формула да се сравни с израза за импулса на тяло P = mVc, където Vcе скоростта на центъра на масата). Втората формула се нарича основно уравнение на динамиката на въртеливото движение на тялото около фиксирана ос, т.е., с други думи, вторият закон на Нютон за въртеливо движение (сравнете със закона за движението на центъра на масата: ). Третата формула изразява кинетичната енергия на тяло, въртящо се около фиксирана ос (сравнете с израза за кинетичната енергия на частица ). Сравнението на формулите ни позволява да заключим, че инерционният момент при въртеливо движение играе роля, подобна на масата в смисъл, че колкото по-голям е инерционният момент на тялото, толкова по-малко ъглово ускорение придобива, при равни други условия ( тялото, образно казано, се върти по-трудно). В действителност изчисляването на инерционните моменти се свежда до изчисляване на тройния интеграл и може да се извърши само за ограничен брой симетрични тела и само за осите на симетрия. Броят на осите, около които тялото може да се върти, е безкрайно голям. Сред всички оси се откроява една, която минава през прекрасна точка на тялото - център на тежестта (точка, за да опишем движението на която е достатъчно да си представим, че цялата маса на системата е съсредоточена в центъра на масата и към тази точка се прилага сила, равна на сумата от всички сили). Но има и безкрайно много оси, минаващи през центъра на масата. Оказва се, че за всяко твърдо тяло с произволна форма има три взаимно перпендикулярни оси C x, C y, C z, Наречен оси на свободно въртене , които имат забележително свойство: ако тялото бъде усукано около някоя от тези оси и изхвърлено нагоре, тогава при последващото движение на тялото оста ще остане успоредна на себе си, т.е. няма да падне. Усукването около която и да е друга ос няма това свойство. По-долу е дадена стойността на инерционните моменти на типичните тела около посочените оси. Ако оста минава през центъра на масата, но образува ъгли a, b, g с осите C x, C y, C zсъответно моментът на инерция около такава ос е равен на

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Разгледайте накратко изчисляването на инерционния момент за най-простите тела.

1.Моментът на инерция на дълъг тънък хомогенен прът около ос, минаваща през центъра на масата на пръта и перпендикулярна на него.

Нека бъде т -маса на пръчката, л -дължината му.

,

Индекс " с» в момента на инерция Интегрална схемаозначава, че това е моментът на инерция спрямо оста, минаваща през точката на центъра на масата (центъра на симетрия на тялото), C(0,0,0).

2. Инерционен момент на тънка правоъгълна плоча.

; ;

3. Инерционен момент на правоъгълен паралелепипед.

, т. C(0,0,0)

4. Момент на инерция на тънък пръстен.

;

, т. C(0,0,0)

5. Инерционен момент на тънък диск.

Заради симетрията

; ;

6. Инерционен момент на твърд цилиндър.

;

Поради симетрия:

7. Момент на инерция на твърда топка.

, т. C(0,0,0)

8. Инерционен момент на твърд конус.

, t. C(0,0,0)

където Ре радиусът на основата, зе височината на конуса.

Припомнете си, че cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. И накрая, ако оста O не минава през центъра на масата, тогава инерционният момент на тялото може да се изчисли с помощта на теоремата на Хюйгенс Щайнер

I o \u003d I c + md 2, (**)

където аз ое моментът на инерция на тялото спрямо произволна ос, аз с- моментът на инерция около ос, успоредна на нея, минаваща през центъра на масата,
м- телесна маса, д- разстоянието между осите.

Процедурата за изчисляване на инерционните моменти за тела със стандартна форма по отношение на произволна ос е както следва.