Как да нарисувате перпендикулярна ъглополовяща в правоъгълен триъгълник. Свойства на перпендикулярната ъглополовяща на отсечка

В триъгълника има така наречените четири забележителни точки: пресечната точка на медианите. Точката на пресичане на ъглополовящите, пресечната точка на височините и пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи. Нека разгледаме всеки един от тях.

Точка на пресичане на медианите на триъгълник

Теорема 1

На пресечната точка на медианите на триъгълник: Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и разделят пресечната точка в съотношение $2:1$, започвайки от върха.

Доказателство.

Помислете за триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ е неговата медиана. Тъй като медианите разделят страните наполовина. Помислете за средната линия $A_1B_1$ (фиг. 1).

Фигура 1. Медиани на триъгълник

По теорема 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следователно $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Следователно триъгълниците $ABM$ и $A_1B_1M$ са подобни според първия критерий за сходство на триъгълника. Тогава

По същия начин е доказано, че

Теоремата е доказана.

Пресечна точка на симетралите на триъгълник

Теорема 2

На пресечната точка на симетралите на триъгълник: Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $AM,\ BP,\ CK$ са неговите ъглополовящи. Нека точката $O$ е пресечната точка на ъглополовящите $AM\ и\ BP$. Начертайте от тази точка перпендикулярно на страните на триъгълника (фиг. 2).

Фигура 2. Симетрали на триъгълник

Теорема 3

Всяка точка от ъглополовящата на неразширен ъгъл е еднакво отдалечена от страните му.

По теорема 3 имаме: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следователно $OY=OZ$. Следователно точката $O$ е еднакво отдалечена от страните на ъгъла $ACB$ и следователно лежи върху неговата ъглополовяща $CK$.

Теоремата е доказана.

Пресечна точка на перпендикулярните ъглополовящи на триъгълник

Теорема 4

Перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълник се пресичат в една точка.

Доказателство.

Нека е даден триъгълник $ABC$, $n,\ m,\ p$ неговите перпендикулярни ъглополовящи. Нека точката $O$ е пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи $n\ и\ m$ (фиг. 3).

Фигура 3. Перпендикулярни ъглополовящи на триъгълник

За доказателството ни е необходима следната теорема.

Теорема 5

Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е еднакво отдалечена от краищата на дадения сегмент.

По теорема 3 имаме: $OB=OC,\ OB=OA$. Следователно $OA=OC$. Това означава, че точката $O$ е еднакво отдалечена от краищата на отсечката $AC$ и следователно лежи върху перпендикулярната му ъглополовяща $p$.

Теоремата е доказана.

Точката на пресичане на височините на триъгълника

Теорема 6

Височините на триъгълник или техните разширения се пресичат в една точка.

Доказателство.

Помислете за триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ е неговата височина. Начертайте линия през всеки връх на триъгълника, успоредна на страната, противоположна на върха. Получаваме нов триъгълник $A_2B_2C_2$ (фиг. 4).

Фигура 4. Височини на триъгълник

Тъй като $AC_2BC$ и $B_2ABC$ са паралелограми с обща страна, тогава $AC_2=AB_2$, тоест точка $A$ е средата на страна $C_2B_2$. По същия начин получаваме, че точката $B$ е средата на страната $C_2A_2$, а точката $C$ е средата на страната $A_2B_2$. От конструкцията имаме, че $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Следователно $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ са перпендикулярните ъглополовящи на триъгълника $A_2B_2C_2$. Тогава по теорема 4 имаме, че височините $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ се пресичат в една точка.

Средноперпендикулярна (среден перпендикулярили медиатриса) - прав , перпендикулярнодо това сегменти преминаване през него среден.

Имоти

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$където индексът показва страната, към която е начертан перпендикулярът, $С$е площта на триъгълника и също така се приема, че страните са свързани с неравенства $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$и $p\_c\backslash geq\; p\_b.$С други думи, за триъгълник най-малкият среден перпендикуляр се отнася до средния сегмент.

Напишете отзив за статията "Среден перпендикуляр"

Бележки

Откъс, характеризиращ перпендикулярната ъглополовяща

Кутузов, като спря да дъвче, се вторачи във Волцоген изненадан, сякаш не разбираше какво му казват. Волцоген, забелязал вълнението на des alten Herrn, [старият джентълмен (немец)], каза с усмивка:
- Не смятах, че имам право да крия от Ваша милост това, което видях... Войските са в пълен безпорядък...
- Виждал ли си? Видяхте ли? .. - извика намръщено Кутузов, бързо се изправи и напредна към Волцоген. „Как… как смееш…!” извика той, правейки заплашителни жестове с ръкостискане и задавяне. - Как смеете, драги господине, да ми кажете това. ти нищо не знаеш. Кажете на генерал Баркли от мен, че информацията му е невярна и че истинският ход на битката е известен на мен, главнокомандващия, по-добре, отколкото на него.
Волцоген искаше да възрази нещо, но Кутузов го прекъсна.
- Врагът е отблъснат отляво и победен на десния фланг. Ако не сте видели добре, уважаеми господине, тогава не си позволявайте да казвате това, което не знаете. Моля, отидете при генерал Барклай и му предайте незаменимото ми намерение да атакувам врага утре “, каза строго Кутузов. Всички мълчаха и се чуваше тежко дишане на задъхания стар генерал. - Отблъснат навсякъде, за което благодаря на Господ и на нашата храбра армия. Врагът е победен и утре ще го изгоним от свещената руска земя — каза Кутузов, прекръствайки се; и изведнъж избухна в сълзи. Волцоген, свивайки рамене и извивайки устни, мълчаливо се отдръпна, чудейки се на uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [за тази тирания на стария джентълмен. (Немски)]
„Да, ето го, моят герой“, каза Кутузов на пълния, красив чернокос генерал, който по това време влизаше в могилата. Това беше Раевски, който беше прекарал целия ден на главната точка на Бородино поле.
Раевски съобщава, че войските са здраво на местата си и че французите не смеят да атакуват повече. След като го изслуша, Кутузов каза на френски:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Значи не мислите, като другите, че трябва да отстъпим?]

Инструкция

Начертайте линия през пресечните точки на окръжностите. Получихте перпендикулярната ъглополовяща на дадения сегмент.

Сега нека ни дадат точка и права. Необходимо е да се начертае перпендикуляр от тази точка до. Поставете иглата в точката. Начертайте окръжност с радиус (радиусът трябва да е от точка до права, така че окръжността да пресича правата в две точки). Сега имате две точки на линията. Тези точки създават линия. Конструирайте перпендикулярната ъглополовяща на отсечката, краищата са получените точки, съгласно алгоритъма, разгледан по-горе. Перпендикулярът трябва да премине през началната точка.

Изграждането на прави линии е в основата на техническото чертане. Сега това все по-често се прави с помощта на графични редактори, които предоставят на дизайнера големи възможности. Някои принципи на изграждане обаче остават същите като при класическото рисуване - с молив и линийка.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - молив;
• - владетел;
• - компютър със софтуер AutoCAD.

Инструкция

Започнете с класическа конструкция. Определете равнината, в която ще начертаете линията. Нека това е равнината на лист хартия. В зависимост от условията на проблема, подредете . Те могат да бъдат произволни, но е възможно да е дадена координатна система. Произволни точки поставете там, където ви харесва най-много. Маркирайте ги с A и B. Използвайте линийка, за да ги свържете. Според аксиомата винаги е възможно да се направи права линия през две точки и само една.

Начертайте координатна система. Нека ви бъдат дадени точки A (x1; y1). За да ги направите, е необходимо да отделите необходимото число по оста x и да начертаете права линия, успоредна на оста y, през маркираната точка. След това начертайте стойност, равна на y1, по съответната ос. Начертайте перпендикуляр от маркираната точка, докато се пресече с. Мястото на тяхното пресичане ще бъде точка A. По същия начин намерете точка B, чиито координати могат да бъдат обозначени като (x2; y2). Свържете двете точки.

В AutoCAD може да се изгради права линия с няколко . Функцията "от" обикновено е зададена по подразбиране. Намерете раздела "Начало" в горното меню. Ще видите панела за рисуване пред вас. Намерете бутона с права линия и кликнете върху него.

AutoCAD също така ви позволява да зададете координатите и на двете. Въведете командния ред по-долу (_xline). Натиснете Enter. Въведете координатите на първата точка и също натиснете enter. Определете втората точка по същия начин. Може да се посочи и с щракване на мишката, като поставите курсора на желаната точка на екрана.

В AutoCAD можете да изградите права линия не само от две точки, но и от ъгъла на наклон. От контекстното меню Draw изберете права линия и след това опцията Angle. Началната точка може да бъде зададена чрез щракване на мишката или чрез , както в предишния метод. След това задайте размера на ъгъла и натиснете Enter. По подразбиране линията ще бъде позиционирана под желания ъгъл спрямо хоризонталата.

Подобни видеа

На сложен чертеж (диаграма) перпендикулярностдиректно и самолетсе определя от основните разпоредби: ако едната страна на прав ъгъл е успоредна самолетпроекции, тогава прав ъгъл се проектира върху тази равнина без изкривяване; ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави самолет, тя е перпендикулярна на това самолет.

Ще имаш нужда

• Молив, линийка, транспортир, триъгълник.

Инструкция

Пример: през точка M начертайте перпендикуляр на самолетЗа да начертаете перпендикуляр на самолет, има две пресичащи се линии, лежащи в това самолет, и построете права, перпендикулярна на тях. Предната и хоризонталната се избират като тези две пресичащи се линии. самолет.

Фронталната f(f₁f₂) е права линия, лежаща навътре самолети успоредно на предната самолетпрогнози П₂. Така че f₂ е неговата естествена стойност, а f₁ винаги е успоредна на x₁₂. От точка A₂ начертайте h₂ успоредно на x₁₂ и вземете точка 1₂ върху B₂C₂.

С помощта на проекционна линия на комуникационна точка 1₁ върху В₁С₁. Свържете се с A₁ - това е h₁ - естественият размер на хоризонталата. От точка B₁ изтеглете f₁‖x₁₂, върху A₁C₁ вземете точка 2₁. Намерете точката 2₂ на A₂C₂, като използвате линията на свързване на проекцията. Свържете се с точка B₂ - това ще бъде f₂ - пълният размер на предната част.

Изградени естествени хоризонтали h₁ и фронтали f₂ на проекции на перпендикуляра на самолет. От точката M₂ начертайте нейната челна проекция a₂ под ъгъл 90