Точки на възможен екстремум на функцията. Увеличаване, намаляване и екстремум на функция

Помислете за два зъба на добре познат профил на триона. Нека насочим оста по плоската страна на триона, а оста - перпендикулярно на нея. Нека получим графика на някаква функция, показана на фиг. един.

Съвсем очевидно е, че както в точката, така и в точката, стойностите на функцията се оказват най-големите в сравнение със стойностите в съседните точки отдясно и вляво, а в точката - най-малък в сравнение със съседните точки. Точките се наричат ​​точки на екстремум на функцията (от латински extremum - „крайност“), точките и са максималните точки, а точката е минималната точка (от латински максимум и минимум - „най-голям“ и „най-малък“ ”).

Нека прецизираме определението за екстремум.

За функция в точка се казва, че има максимум, ако има интервал, съдържащ точката и принадлежащ на областта на функцията, така че за всички точки от този интервал се оказва . Съответно, функцията в точка има минимум, ако условието е изпълнено за всички точки от определен интервал.

На фиг. Фигури 2 и 3 показват графики на функции, които имат екстремум в дадена точка.

Нека обърнем внимание на факта, че по дефиниция точката на екстремум трябва да лежи вътре в интервала на задаване на функцията, а не в неговия край. Следователно, за функцията, показана на фиг. 1, не може да се приеме, че има минимум в точката.

Ако в това определение на максимума (минимума) на функция заменим строгото неравенство с нестрого , тогава получаваме дефиницията на нестрог максимум (нестрог минимум). Да разгледаме например профила на планински връх (фиг. 4). Всяка точка от плоска област - сегмент е нестрога максимална точка.

При диференциалното смятане изследването на функция за екстремуми е много ефективно и съвсем просто се извършва с помощта на производна. Една от основните теореми на диференциалното смятане, която установява необходимо условие за екстремума на диференцируема функция, е теоремата на Ферма (виж теоремата на Ферма). Нека функцията в дадена точка има екстремум. Ако в тази точка има производна, тогава тя е равна на нула.

На геометричен език теоремата на Ферма означава, че в точката на екстремум допирателната към графиката на функцията е хоризонтална (фиг. 5). Обратното твърдение, разбира се, не е вярно, което е показано например от графиката на фиг. 6.

Теоремата е кръстена на френския математик П. Ферма, който е един от първите, решили редица екстремни задачи. Той все още не е разполагал с понятието производна, но в своето изследване е използвал метод, чиято същност е изразена в изложението на теоремата.

Достатъчно условие за екстремума на диференцируема функция е промяна в знака на производната. Ако в дадена точка производната смени знака от минус на плюс, т.е. неговото намаляване се заменя с увеличение, тогава точката ще бъде минималната точка. Напротив, точката ще бъде максималната точка, ако производната смени знака от плюс на минус, т.е. преминава от възходящо към низходящо.

Точката, в която производната на функцията е равна на нула, се нарича стационарна. Ако се изследва диференцируема функция за екстремум, тогава трябва да се намерят всички нейни стационарни точки и да се разгледат знаците на производната отляво и отдясно от тях.

Изследваме функцията за екстремум.

Нека намерим производната му: .

Намираме стойностите на функцията в точките на екстремум: , . Графиката на функцията е показана на фиг. осем.

Имайте предвид, че има случаи, когато екстремумът се достига в точка, където производната не съществува. Това са екстремалните точки на профила на триона; пример за такава функция също е даден на фиг. един.

Максималните и минималните задачи са от голямо значение във физиката, механиката и различните приложения на математиката. Те бяха проблемите, които доведоха математиката до създаването на диференциалното смятане, а диференциалното смятане предостави мощен общ метод за решаване на екстремни задачи с помощта на производната.

Функционални крайности

Определение 2

Точка $x_0$ се нарича точка на максимум на функцията $f(x)$, ако съществува такава околност на тази точка, че за всички $x$ от тази околност е изпълнено неравенството $f(x)\le f(x_0 )$ е доволен.

Определение 3

Точка $x_0$ се нарича точка на максимум на функцията $f(x)$, ако съществува такава околност на тази точка, че за всички $x$ от тази околност е изпълнено неравенството $f(x)\ge f(x_0 )$ е доволен.

Концепцията за екстремум на функция е тясно свързана с концепцията за критична точка на функция. Нека представим неговата дефиниция.

Определение 4

$x_0$ се нарича критична точка на функцията $f(x)$, ако:

1) $x_0$ - вътрешна точка от областта на дефиниция;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не съществува.

За понятието екстремум могат да се формулират теореми за достатъчни и необходими условия за неговото съществуване.

Теорема 2

Достатъчно екстремно състояние

Нека точката $x_0$ е критична за функцията $y=f(x)$ и лежи в интервала $(a,b)$. Нека на всеки интервал $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ съществува производната $f"(x)$ и поддържа постоянен знак. Тогава:

1) Ако на интервала $(a,x_0)$ производната $f"\left(x\right)>0$, а на интервала $(x_0,b)$ производната $f"\left(x\ правилно)

2) Ако производната $f"\left(x\right)0$ е на интервала $(a,x_0)$, тогава точката $x_0$ е минималната точка за тази функция.

3) Ако и на интервала $(a,x_0)$ и на интервала $(x_0,b)$ производната $f"\left(x\right) >0$ или производната $f"\left(x \вдясно)

Тази теорема е илюстрирана на фигура 1.

Фигура 1. Достатъчно условие за съществуване на екстремуми

Примери за крайности (фиг. 2).

Фигура 2. Примери за точки на екстремум

Правилото за изследване на функция за екстремум

2) Намерете производната $f"(x)$;

7) Направете изводи за наличието на максимуми и минимуми на всеки интервал, като използвате теорема 2.

Възходяща и намаляваща функция

Нека първо представим определенията за нарастващи и намаляващи функции.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, дефинирана на интервал $X$, се нарича нарастваща, ако за всякакви точки $x_1,x_2\in X$ за $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, дефинирана на интервал $X$, се нарича намаляваща, ако за всякакви точки $x_1,x_2\in X$ за $x_1f(x_2)$.

Изследване на функция за нарастване и намаляване

Можете да изследвате функции за увеличаване и намаляване с помощта на производната.

За да проверите дадена функция за интервали на увеличение и намаляване, трябва да направите следното:

1) Намерете домейна на функцията $f(x)$;

2) Намерете производната $f"(x)$;

3) Намерете точките, където равенството $f"\left(x\right)=0$;

4) Намерете точки, където $f"(x)$ не съществува;

5) Маркирайте върху координатната права всички намерени точки и областта на дадената функция;

6) Определете знака на производната $f"(x)$ на всеки получен интервал;

7) Заключение: на интервалите, където $f"\left(x\right)0$ функцията нараства.

Примери за задачи за изследване на функции за нарастване, намаляване и наличие на екстремални точки

Пример 1

Изследвайте функцията за увеличаване и намаляване и наличието на точки на максимуми и минимуми: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Тъй като първите 6 точки са еднакви, първо ще ги изтеглим.

1) Област на дефиниция - всички реални числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ съществува във всички точки от областта на дефиниция;

5) Координатна линия:

Фигура 3

6) Определете знака на производната $f"(x)$ на всеки интервал:

\ \.

Решение

Намерете производната на първоначалната функция по формулата за производната на произведението y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x.Нека изчислим нулите на производната: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Нека подредим знаците на производната и да определим интервалите на монотонност на първоначалната функция на даден интервал.

От фигурата се вижда, че на интервала [-3; 0] първоначалната функция се увеличава и намалява на интервала. По този начин, най-голямата стойност на интервала [-3; 2] се постига при x=0 и е равно на y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Отговор

състояние

Намерете най-голямата стойност на функцията y=12x-12tg x-18 на отсечката \наляво.

Решение

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0.Това означава, че първоначалната функция не се увеличава в разглеждания интервал и приема най-голямата стойност в левия край на сегмента, тоест при x=0. Най-високата стойност е y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

състояние

Намерете минималната точка на функцията y=(x+8)^2e^(x+52).

Решение

Ще намерим минималната точка на функцията с помощта на производната. Нека намерим производната на дадената функция с помощта на формулите за производната на произведението, производната на x^\alpha и e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Нека подредим знаците на производната и да определим интервалите на монотонност на първоначалната функция. e^(x+52)>0 за всяко x . y"=0 когато x=-8, х=-10.

Фигурата показва, че функцията y=(x+8)^2e^(x+52) има една минимална точка x=-8.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

състояние

Намерете максималната точка на функцията y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Решение

ODZ: x \geqslant 0. Намерете производната на оригиналната функция:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Нека изчислим нулите на производната:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

х=64.

Нека подредим знаците на производната и да определим интервалите на монотонност на първоначалната функция.

От фигурата се вижда, че точката x=64 е единствената максимална точка на дадената функция.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

състояние

Намерете най-малката стойност на функцията y=5x^2-12x+2\ln x+37 на отсечката \left[\frac35; \frac75\вдясно].

Решение

ODZ: x>0.

Намерете производната на оригиналната функция:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Нека дефинираме нулите на производната: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\вдясно],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\вдясно].

Подреждаме знаците на производната и определяме интервалите на монотонност на първоначалната функция на разглеждания интервал.

Може да се види от фигурата, която на сегмента \left[\frac35; 1\вдясно]първоначалната функция намалява, а на интервала \налявосе увеличава. По този начин най-малката стойност на сегмента \left[\frac35; \frac75\вдясно]се достига при x=1 и е равно на y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

състояние

Намерете най-голямата стойност на функцията y=(x+4)^2(x+1)+19 на отсечката [-5; -3].

Решение

Намерете производната на първоначалната функция, като използвате формулата за производната на произведението.

Увеличаването и намаляването на интервалите предоставят много важна информация за поведението на функция. Намирането им е част от процеса на изследване и начертаване на функцията. Освен това на точките на екстремум, при които има промяна от увеличение към намаление или от намаление към увеличение, се обръща специално внимание при намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на определен интервал.

В тази статия ще дадем необходимите дефиниции, ще формулираме достатъчен критерий за увеличаване и намаляване на функция на интервал и достатъчни условия за съществуване на екстремум и ще приложим цялата тази теория за решаване на примери и задачи.

Навигация в страницата.

Нарастваща и намаляваща функция на интервал.

Определение на нарастваща функция.

Функцията y=f(x) се увеличава на интервала X, ако за някое и неравенството е изпълнено. С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща дефиниция на функцията.

Функцията y=f(x) намалява на интервала X, ако за някое и неравенството . С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

ЗАБЕЛЕЖКА: ако функцията е дефинирана и непрекъсната в краищата на интервала на увеличение или намаляване (a;b), тоест при x=a и x=b, тогава тези точки се включват в интервала на увеличение или намаляване. Това не противоречи на определенията за нарастваща и намаляваща функция на интервала X .

Например, от свойствата на основните елементарни функции знаем, че y=sinx е дефиниран и непрекъснат за всички реални стойности на аргумента. Следователно, от увеличаването на функцията синус на интервала, можем да твърдим увеличението на интервала .

Точки на екстремум, екстремум на функцията.

Точката се нарича максимална точкафункция y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x от неговата околност. Извиква се стойността на функцията в максималната точка функция максимуми означават .

Точката се нарича минимална точкафункция y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x от неговата околност. Извиква се стойността на функцията в минималната точка функция минимуми означават .

Околността на точка се разбира като интервал , където е достатъчно малко положително число.

Минималната и максималната точки се наричат екстремни точки, и се извикват стойностите на функцията, съответстващи на точките на екстремум функционални екстремуми.

Не бъркайте крайностите на функцията с максималните и минималните стойности на функцията.

На първата фигура максималната стойност на функцията на сегмента се достига в максималната точка и е равна на максимума на функцията, а на втората фигура максималната стойност на функцията се достига в точката x=b , което не е максималната точка.

Достатъчни условия за увеличаване и намаляване на функциите.

На базата на достатъчни условия (знаци) за нарастване и намаляване на функцията се намират интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Ето формулировките на знаците на нарастващи и намаляващи функции на интервала:

• ако производната на функцията y=f(x) е положителна за всяко x от интервала X , тогава функцията се увеличава с X ;
• ако производната на функцията y=f(x) е отрицателна за произволен x от интервала X, тогава функцията намалява на X.

По този начин, за да се определят интервалите на увеличение и намаляване на функция, е необходимо:

Помислете за пример за намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции, за да изясните алгоритъма.

Пример.

Намерете интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Решение.

Първата стъпка е да намерите обхвата на функцията. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да изчезва, следователно, .

Нека преминем към намирането на производната на функцията:

За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функция по достатъчен критерий, решаваме неравенствата и в областта на дефиниране. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият реален корен на числителя е x = 2, а знаменателят изчезва при x=0. Тези точки разделят областта на дефиниция на интервали, в които производната на функцията запазва знака си. Нека отбележим тези точки на числовата права. С плюсове и минуси условно обозначаваме интервалите, на които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу показват схематично увеличаването или намаляването на функцията на съответния интервал.

По този начин, и .

В точката x=2 функцията е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към възходящия, така и към низходящия интервал. В точката x=0 функцията не е дефинирана, така че тази точка не е включена в необходимите интервали.

Представяме графиката на функцията, за да сравним получените резултати с нея.

Отговор:

Функцията се увеличава при , намалява на интервала (0;2] .

Достатъчни условия за екстремум на функция.

За да намерите максимумите и минимумите на функция, можете да използвате всеки от трите знака за екстремум, разбира се, ако функцията удовлетворява техните условия. Най-често срещаният и удобен е първият от тях.

Първото достатъчно условие за екстремум.

Нека функцията y=f(x) е диференцируема в -околност на точката и е непрекъсната в самата точка.

С други думи:

Алгоритъм за намиране на точки на екстремум по първия знак на екстремум на функцията.

• Намиране на обхвата на функцията.
• Намираме производната на функцията в областта на дефиницията.
• Определяме нулите на числителя, нулите на знаменателя на производната и точките от областта, където производната не съществува (всички изброени точки се наричат точки на възможен екстремум, преминавайки през тези точки, производната просто може да промени знака си).
• Тези точки разделят областта на функцията на интервали, в които производната запазва знака си. Определяме знаците на производната на всеки от интервалите (например чрез изчисляване на стойността на производната на функцията във всяка точка от един интервал).
• Избираме точки, в които функцията е непрекъсната и, преминавайки през които, производната сменя знака - те са точките на екстремум.

Твърде много думи, нека разгледаме няколко примера за намиране на точки на екстремум и екстремуми на функция, използвайки първото достатъчно условие за екстремума на функция.

Пример.

Намерете екстремумите на функцията.

Решение.

Обхватът на функцията е целият набор от реални числа, с изключение на x=2.

Намираме производната:

Нулите на числителя са точките x=-1 и x=5, знаменателят отива на нула при x=2. Маркирайте тези точки на числовата права

Определяме знаците на производната на всеки интервал, за това изчисляваме стойността на производната във всяка от точките на всеки интервал, например в точките x=-2, x=0, x=3 и x= 6 .

Следователно производната е положителна на интервала (на фигурата поставяме знак плюс върху този интервал). по същия начин

Следователно поставяме минус върху втория интервал, минус върху третия и плюс върху четвъртия.

Остава да изберете точките, в които функцията е непрекъсната и нейната производна променя знака. Това са екстремалните точки.

В точката x=-1 функцията е непрекъсната и производната сменя знака от плюс на минус, следователно, според първия знак на екстремума, x=-1 е максималната точка, отговаря на максимума на функцията .

В точката x=5 функцията е непрекъсната и производната променя знака от минус на плюс, следователно, x=-1 е минималната точка, съответства на минимума на функцията .

Графична илюстрация.

Отговор:

МОЛЯ, ЗАБЕЛЕЖКА: първият достатъчен знак за екстремум не изисква функцията да бъде диференцируема в самата точка.

Пример.

Намерете екстремни точки и екстремуми на функция .

Решение.

Областта на функцията е целият набор от реални числа. Самата функция може да бъде написана като:

Нека намерим производната на функцията:

В точката x=0 производната не съществува, тъй като стойностите на едностранните граници не съвпадат, когато аргументът клони към нула:

В същото време оригиналната функция е непрекъсната в точка x=0 (вижте раздела за изследване на функция за непрекъснатост):

Намерете стойностите на аргумента, при който производната изчезва:

Отбелязваме всички получени точки на реалната права и определяме знака на производната на всеки от интервалите. За да направите това, ние изчисляваме стойностите на производната в произволни точки от всеки интервал, например, когато x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

т.е.

Така според първия знак на екстремум минималните точки са , максималните точки са .

Изчисляваме съответните минимуми на функцията

Изчисляваме съответните максимуми на функцията

Графична илюстрация.

Отговор:

.

Вторият признак на екстремума на функцията.

Както можете да видите, този знак на екстремума на функцията изисква наличието на производна поне до втори ред в точката .