Вълнова функция, нейното физическо значение. §217
В нашия проблем функцията U(x) има специална, прекъсната форма: тя е равна на нула между стените, а в краищата на кладенеца (по стените) става безкрайна:
Нека напишем уравнението на Шрьодингер за стационарни състояния на частици в точки, разположени между стените:
или, ако вземем предвид формулата (1.1)
Уравнението (1.3) трябва да бъде допълнено с гранични условия по стените на кладенеца. Нека вземем предвид, че вълновата функция е свързана с вероятността за намиране на частици. Освен това, според условията на проблема, частица не може да бъде открита извън стените. Тогава вълновата функция по стените и отвъд тях трябва да изчезне и граничните условия на проблема приемат проста форма:
Сега нека започнем да решаваме уравнение (1.3) . По-специално, може да се вземе предвид, че неговото решение са вълни на де Бройл. Но една вълна на дьо Бройл като решение очевидно не се отнася за нашия проблем, тъй като със сигурност описва свободна частица, „тичаща“ в една посока. В нашия случай частицата върви "напред-назад" между стените. В този случай, въз основа на принципа на суперпозицията, желаното решение може да бъде представено като две вълни на де Бройл, движещи се една към друга с импулси p и -p, тоест във формата:
Константите и могат да бъдат намерени от едно от граничните условия и условието за нормализиране. Последното предполага, че ако съберете всички вероятности, тоест намерите вероятността да намерите електрон между стените като цяло на (всяко място), тогава ще получите една (вероятността за надеждно събитие е 1), т.е.:
Според първото гранично условие имаме:
Така получаваме решението на нашия проблем:
Както е известно,. Следователно намереното решение може да бъде пренаписано като:
Константата A се определя от условието за нормализиране. Но тук това не представлява особен интерес. Второто гранично условие остава неизползвано. Какъв резултат дава? Приложено към намереното решение (1.5), то води до уравнението:
От него виждаме, че в нашата задача импулсът p може да приема не каквито и да е стойности, а само стойностите
Между другото, n не може да бъде равно на нула, тъй като тогава вълновата функция ще бъде равна на нула навсякъде в интервала (0…l)! Това означава, че частицата между стените не може да бъде в покой! Тя трябва да се движи. Електроните на проводимост се намират в подобни условия в метал. Полученото заключение важи и за тях: електроните в метала не могат да бъдат неподвижни.
Най-малкият възможен импулс на движещ се електрон е
Ние показахме, че импулсът на електрона променя знака, когато се отрази от стените. Следователно на въпроса какъв е импулсът на електрона, когато е заключен между стените, не може да се отговори определено: или +p, или -p. Инерцията е неопределена. Неговата степен на несигурност очевидно е дефинирана, както следва: =p-(-p)=2p. Неопределеността на координатата е равна на l; ако се опитате да "хванете" електрон, тогава той ще бъде намерен в границите между стените, но къде точно не е известно. Тъй като най-малката стойност на p е , получаваме:
Потвърдихме съотношението на Хайзенберг при условията на нашия проблем, тоест при условие, че съществува най-малката стойност на p. Ако имаме предвид произволно възможна стойност на импулса, тогава отношението на неопределеността приема следната форма:
Това означава, че първоначалният постулат на Хайзенберг-Бор относно несигурността определя само долната граница на неопределеността, възможна при измерванията. Ако в началото на движението системата е била надарена с минимална несигурност, то с течение на времето те могат да нараснат.
Формула (1.6) обаче насочва към друг изключително интересен извод: оказва се, че импулсът на една система в квантовата механика не винаги е в състояние да се променя непрекъснато (както винаги е в класическата механика). Спектърът на импулса на частиците в нашия пример е дискретен; импулсът на частиците между стените може да се променя само в скокове (кванти). Стойността на скок в разглежданата задача е постоянна и равна на .
На фиг. 2. Ясно е показан спектърът на възможните стойности на импулса на частицата. Така дискретността на промяната на механичните величини, която е напълно чужда на класическата механика, в квантовата механика следва от нейния математически апарат. На въпроса защо се променя инерцията при скокове, не е възможно да се намери ясен. Такива са законите на квантовата механика; от тях логично следва нашето заключение - това е цялото обяснение.
Нека сега се обърнем към енергията на частицата. Енергията е свързана с импулса чрез формула (1). Ако спектърът на импулса е дискретен, тогава автоматично се оказва, че спектърът на стойностите на енергията на частиците между стените също е дискретен. И той е елементарен. Ако възможните стойности съгласно формула (1.6) се заменят с формула (1.1), получаваме:
където n = 1, 2,..., и се нарича квантово число.
Така получихме енергийни нива.
ориз. 3.
Ориз. 3 изобразява подреждането на енергийните нива, съответстващи на условията на нашия проблем. Ясно е, че за друг проблем подредбата на енергийните нива ще бъде различна. Ако частицата е заредена (например, това е електрон), тогава, тъй като не е на най-ниското енергийно ниво, тя ще може спонтанно да излъчва светлина (под формата на фотон). В същото време той ще премине на по-ниско енергийно ниво в съответствие с условието:
Вълновите функции за всяко стационарно състояние в нашия проблем са синусоиди, чиито нулеви стойности непременно падат върху стените. Две такива вълнови функции за n = 1,2 са показани на фиг. един.
Необходимостта от вероятностен подход към описанието на микрочастиците е най-важната отличителна черта на квантовата теория. Могат ли вълните на дьо Бройл да се интерпретират като вероятностни вълни, т.е. смятат, че вероятността за откриване на микрочастица в различни точки на пространството варира според вълновия закон? Подобна интерпретация на вълните на дьо Бройл вече е неправилна, дори и само защото тогава вероятността за намиране на частица в някои точки от пространството може да бъде отрицателна, което няма смисъл.
За да премахне тези трудности, немският физик М. Роден през 1926 г. предполага, че според вълновия закон не се променя самата вероятност, а количеството, наречено амплитуда на вероятносттаи означени ψ(x,y,z,t).Тази стойност се нарича вълнова функция(или ψ-функция). Амплитудата на вероятността може да бъде сложна, а вероятността Упропорционално на квадрата на неговия модул:
(|Y| 2 =YY*, Y * - комплексна конюгирана функция на Y). По този начин описанието на състоянието на микрообект с помощта на вълновата функция има статистически, вероятностен характер:квадратният модул на вълновата функция (квадратът на модула на амплитудата на вълните на де Бройл) определя вероятността за намиране на частица в даден момент Tв областта с координати хи x+dx, yи y+dy, zи z+dz.
В квантовата механика състоянието на микрочастиците се описва по принципно нов начин - с помощта на вълновата функция, която е основният носител на информация затехните корпускулярни и вълнови свойства. Вероятност за намиране на частица в елемент с обем d Vе равно на
Стойност
(квадрат модул на Y-функцията) има смисъл плътност на вероятността,т.е. определя вероятността за намиране на частица в единичен обем в околността на точка с координати x, y, z.Следователно не самата Y-функция има физическо значение, а квадратът на нейния модул |Y| 2, което е дадено интензитет на вълните на дьо Бройл.
Вероятност за намиране на частица в даден момент Tв крайния том V,според теоремата за добавяне на вероятности, е равно на
Тъй като |Y| 2г Vсе дефинира като вероятност, тогава е необходимо да се нормализира вълновата функция Y, така че вероятността за определено събитие да се превърне в единица, ако обемът Vвземете безкрайния обем на цялото пространство. Това означава, че при това условие частицата трябва да е някъде в пространството. Следователно условието за нормализиране на вероятностите
където този интеграл се изчислява по цялото безкрайно пространство, т.е. по координатите x, y, zот –¥ до ¥.Така условието показва обективното съществуване на частица в пространството.
За да бъде вълновата функция обективна характеристика на състоянието на микрочастиците, тя трябва да отговаря на редица ограничителни условия. Функцията Y, която характеризира вероятността за откриване на действието на микрочастица в обемен елемент, трябва да бъде краен(вероятността не може да бъде по-голяма от единица), недвусмислено(вероятността не може да бъде двусмислена) и непрекъснато(вероятността не може да се промени рязко).
Вълновата функция удовлетворява принцип на суперпозиция:ако системата може да бъде в различни състояния, описани от вълновите функции Y 1 , Y 2 ,..., Y н,... тогава може да бъде и в състояние Y, описано чрез линейна комбинация от тези функции:
където C н (н=1, 2, ...) са произволни комплексни числа. Добавяне вълнови функции(амплитуди на вероятността), не вероятности(определя се от квадратите на модулите на вълновите функции) фундаментално разграничава квантовата теория от класическата статистическа теория, в която за независими събития важи следното: теорема за добавяне на вероятности.
Вълновата функция Y, като основна характеристика на състоянието на микрообектите, прави възможно в квантовата механика да се изчислят средните стойности на физическите величини, характеризиращи даден микрообект. Например средното разстояние á rñ на електрон от ядрото се изчислява по формулата
Уравнение на Шрьодингер за стационарни състояния.Основното уравнение на нерелативистката квантова механика е формулирано през 1926 г. от Е. Шрьодингер. Уравнението на Шрьодингер, както всички основни уравнения на физиката (например уравненията на Нютон в класическата механика и уравненията на Максуел за електромагнитното поле), не се извежда, а се постулира. Правилността на това уравнение се потвърждава от съгласието с опита на резултатите, получени с негова помощ, което от своя страна му придава характер на естествен закон. Уравнението на Шрьодингер има формата
където ћ=h/(2p), m-маса на частиците, D-оператор на Лаплас 
i е въображаемата единица, U(x, y, z, t) е потенциалната функция на частицата в силовото поле, в което се движи, Y(x, y, z, t) е необходимата вълнова функция на частицата .
Уравнението е валидно за всяка частица (със спин " собствен неразрушим механичен ъглов импулс на електрона"
, не е свързано с движението на електрон в пространството, равно на 0;), движещи се с малка (в сравнение със скоростта на светлината) скорост, т.е. със скорост v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные 
трябва да бъде непрекъснат; 3) функцията |Y| 2 трябва да бъде интегрируем; това условие в най-простите случаи се свежда до условието за нормализиране на вероятностите.
Уравнението
е общото уравнение на Шрьодингер. Нарича се още зависимо от времето уравнение на Шрьодингер. За много физически явления, случващи се в микрокосмоса, уравнението му може да бъде опростено, като се елиминира зависимостта на Y от времето, с други думи, да се намери уравнението на Шрьодингер за стационарни състояния - състояния с фиксирани енергийни стойности. Това е възможно, ако силовото поле, в което се движи частицата, е неподвижно, т.е. функцията U=U(x, y, z) не зависи явно от времето и има значението на потенциална енергия. В този случай решението на уравнението на Шрьодингер може да бъде представено като продукт на две функции, едната от които е функция само на координати, другата е само функция на времето, а зависимостта от времето се изразява с коефициента , така че
където E е общата енергия на частицата, която е постоянна в случай на неподвижно поле. Замествайки в общото уравнение на Шрьодингер, получаваме
откъдето, след разделяне на общ фактор и съответните трансформации, стигаме до уравнение, което дефинира функцията y:
Това уравнение се нарича уравнение на Шрьодингер за стационарни състояния. Това уравнение включва общата енергия E на частицата като параметър. В теорията на диференциалните уравнения се доказва, че такива уравнения имат безкраен брой решения, от които чрез налагане на гранични условия се избират решения, които имат физическо значение. За уравнението на Шрьодингер такива условия са условията за редовност на вълновите функции: вълновите функции трябва да бъдат крайни, еднозначни и непрекъснати заедно с първите им производни. По този начин само решенията, които се изразяват с регулярни функции на y, имат реално физическо значение. Но регулярни решения не се извършват за никакви стойности на параметъра E, а само за определен набор от тях, което е характерно за дадения проблем. Тези енергийни стойности се наричат собствени стойности. Решенията, които съответстват на собствените стойности на енергията, се наричат собствени функции. Собствените стойности E могат да образуват непрекъсната или дискретна серия. В първия случай се говори за непрекъснат или непрекъснат спектър, във втория – за дискретен спектър.
В развитието на идеята на дьо Бройл за вълновите свойства на частиците, Шрьодингер през 1926 г. получава уравнението
104. (20)
където m е масата на частицата, е въображаемата единица, U е потенциалната енергия на частицата, D е операторът на Лаплас [виж (1.10)].
Решението на уравнението на Шрьодингер позволява да се намери вълновата функция Y(x, y, z, t) на частицата, която описва микросъстоянието на частицата и нейните вълнови свойства.
Ако полето на външните сили е постоянно във времето (т.е. стационарно), тогава U не зависи изрично от t. В този случай решението на уравнение (20) се разделя на два фактора
Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)
В стационарния случай уравнението на Шрьодингер има вида
(22)
където E, U - обща и потенциална енергия, m - маса на частиците.
Трябва да се отбележи, че исторически името "вълнова функция" възниква поради факта, че уравнение (20) или (22), което определя тази функция, се отнася до формата на вълновите уравнения.
104. Водороден атом и водородоподобни „атоми“ (He + , Li 2+ и други) като най-прости квантовомеханични системи: квантови състояния, радиални и ъглови компоненти на вълновата функция, орбитална симетрия.
Въз основа на своите изследвания, Ръдърфорд през 1911 г. предлага ядрен (планетарно)атомен модел. Според този модел електроните се движат по затворени орбити около положително ядро, образувайки електронната обвивка на атом, в област с линейни размери от порядъка на 10 -10 m. Зарядът на ядрото е Ze(Z--серийния номер на елемента в системата на Менделеев, д -.елементарен заряд), размер 10 -15 - 10 -14 m, маса, почти равна на масата на атом. Тъй като атомите са неутрални, зарядът на ядрото е равен на общия заряд на електроните, тоест трябва да се върти около ядрото Зелектрони.
водороден атом и водородни системи- това са системи, състоящи се от ядро със заряд Ze и един електрон (например йони He +, Li 2+).
Решението на проблема за енергийните нива на електрона за водороден атом (както и водородоподобни системи: хелиев йон He + , двойно йонизиран литий Li + + и др.) се свежда до проблема за движението на електрона в Кулоново поле на ядрото.
Потенциална енергия на взаимодействие на електрон с ядро със заряд Ze(за водороден атом З=1),
където rе разстоянието между електрона и ядрото. Графична функция У(r) е изобразен с удебелена крива на фиг. 6, безкрайно намаляващо (увеличаване. по модул) при намаляване rт.е. когато електрон се приближи до ядрото.
Състоянието на електрона във водороден атом се описва с вълновата функция Ψ, която удовлетворява стационарното уравнение на Шрьодингер, като се вземе предвид стойността (1):"
, (2)
където ме масата на електрона, Ее общата енергия на електрон в атом.
Това е така нареченото стационарно уравнение на Шрьодингер за електрона на водородоподобен атом на VDPA.
1. Енергия.В теорията на диференциалните уравнения се доказва, че уравнения от тип (2) имат решения, които отговарят на изискванията за уникалност, крайност и непрекъснатост на вълновата функция Ψ само за собствените стойности на енергията
(n= 1, 2, 3,…), (3)
т.е. за дискретен набор от отрицателни енергийни стойности.
Така, както в случая на „потенциален кладенец“ с безкрайно високи „стени“, решението на уравнението на Шрьодингер за водородния атом води до появата на дискретни енергийни нива. Възможни стойности Е 1 , Е 2 , Е 3, ... са показани на фиг. 6 като хоризонтални линии. Най-ниското ниво Е 1, съответстваща на минималната възможна енергия, - основен,друго ( E n >E 1 , n = 2, 3,…) – развълнуван. В Е < 0 движение электрона является свързанитой е вътре в хиперболичен "потенциален кладенец". От фигурата следва, че с нарастването на главното квантово число Пенергийните нива са по-тясно разположени n=∞ E ∞ = 0. Кога Е> 0 движението на електрона е Безплатно;континуален регион E >0(защрихована на фиг. 6) съответства на йонизиран атом.Йонизационната енергия на водороден атом е
E i = - E 1 = аз 4 / (8з 2 ε 0 2) = 13,55 eV.
2. Квантови числа.В квантовата механика е доказано, че уравнението на Шрьодингер (2) се удовлетворява от собствените функции 
, определен от три квантови числа: основното P,орбитална ли магнитни m l .
Основното квантово число n, съгласно (3), определя енергийните нива на електрон в атом и може да приема всякакви цели числа, започвайки от едно:
Уравнението на Шрьодингер е кръстено на австрийския физик Ервин Шрьодингер. Това е основният теоретичен инструмент на квантовата механика. В квантовата механика уравнението на Шрьодингер играе същата роля като уравнението на движението (вторият закон на Нютон) в класическата механика. Уравнението на Шрьодингер е записано за т.нар г- функции (psi - функции). В общия случай функцията psi е функция на координати и време: г = г (x,y,z,t). Ако микрочастицата е в неподвижно състояние, тогава функцията psi - не зависи от времето: г= г (x,y,z).
В най-простия случай на едномерно движение на микрочастица (например само по оста х ) уравнението на Шрьодингер има вида:
където y(x)– psi – функция в зависимост само от една координата х ; м – маса на частиците; - Константа на Планк (= h/2π); Е е общата енергия на частицата, У - потенциална енергия. В класическата физика количеството (ЕС ) ще бъде равна на кинетичната енергия на частицата. В квантовата механика, поради отношения на несигурностконцепцията за кинетичната енергия е безсмислена. Имайте предвид, че потенциалната енергия Уе особеност външно силово полев който се движи частицата. Тази стойност е съвсем определена. В този случай това също е функция на координатите У = У (x,y,z).
В триизмерния случай, когато г = г (x,y,z)вместо първия член в уравнението на Шрьодингер, трябва да се напише сумата от три частни производни на пси-функцията по отношение на три координати.
За какво се използва уравнението на Шрьодингер? Както вече беше отбелязано, това е основното уравнение на квантовата механика. Ако го запишем и решим (което никак не е лесна задача) за конкретна микрочастица, тогава ще получим стойността на пси-функцията във всяка точка от пространството, в което се движи частицата. Какво дава? Квадратът на модула на пси-функцията характеризира вероятностоткриване на частица в определен регион на пространството. Вземете някаква точка от пространството с координати х
,
г
,
z
(фиг. 6). Каква е вероятността да се намери частица в този момент? Отговор: тази вероятност е нула! (точката няма размери, частица просто не може физически да удари точка). Значи въпросът е поставен неправилно. Нека го кажем по друг начин: каква е вероятността да се намери частица в малка област от пространство с обем dV = dx dy dz
центрирано в дадена точка? Отговор:
където dP е елементарната вероятност за откриване на частица в елементарен обем dV . Уравнение (22) е валидно за реална пси-функция (може да бъде и комплексна, като в този случай квадратът на модула на пси-функцията трябва да бъде заместен в уравнение (22). Ако област от пространството има краен обем V , след това вероятността П за откриване на частица в този обем се намира чрез интегриране на израз (22) по обема V :
|
|
Припомнете си това вероятностно описание на движението на микрочастицитее основната идея на квантовата механика. Така с помощта на уравнението на Шрьодингер се решава основният проблем на квантовата механика: описанието на движението на обекта, който се изследва, в този случай квантовомеханична частица.
Отбелязваме и редица други важни факти. Както може да се види от формула (21), уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение от втори ред. Следователно в процеса на решаването му ще се появят две произволни константи. Как да ги намеря? За да направите това, използвайте т.нар гранични условия: от конкретното съдържание на физическия проблем трябва да се знае стойността на пси-функцията в границите на областта на движение на микрочастицата. Освен това т.нар състояние на нормализиране, на което пси-функцията трябва да удовлетворява:
|
|
Значението на това условие е просто: вероятността да се открие частица поне някъде в областта на нейното движение е определено събитие, вероятността за което е равна на единица.
Граничните условия са тези, които изпълват решението на уравнението на Шрьодингер с физически смисъл. Без тези условия решението на уравнение е чисто математически проблем, лишен от физически смисъл. В следващия раздел, използвайки конкретен пример, разглеждаме приложението на граничните условия и условието за нормализиране при решаването на уравнението на Шрьодингер.
пси функция
вълнова функция (държавна функция, пси функция, амплитуда на вероятността) - комплексна функцияизползвано в квантова механиказа вероятностно описаниедържави квантово механична система. В широк смисъл, същото като вектор на състоянието.
Свързан е вариант на името "амплитуда на вероятността". статистическа интерпретациявълнова функция: плътността на вероятността за намиране на частица в дадена точка от пространството в даден момент е равна на квадрата на абсолютната стойност на вълновата функция на това състояние.
Физическото значение на квадрата на модула на вълновата функция
Вълновата функция зависи от координатите (или обобщените координати) на системата и като цяло от времето и се формира по такъв начин, че квадратнея модулбеше плътността вероятности(за дискретни спектри - само вероятността) за откриване на системата в позицията, описана от координатите в момента:
След това, в дадено квантово състояние на системата, описано от вълновата функция, може да се изчисли вероятността частица да бъде открита във всяка област на пространството с ограничен обем: 
.
Наборът от координати, които действат като аргументи на функцията, представлява пълен набор от физически величиникоито могат да бъдат измерени в системата. В квантовата механика е възможно да се изберат няколко пълни набора от величини, така че вълновата функция на едно и също състояние може да бъде записана от различни аргументи. Определя пълният набор от количества, избрани за записване на вълновата функция представяне на вълновата функция. Да, възможно координатипроизводителност, импулсивенпрезентация, в квантовата теория на полетоизползван второ квантуванеи представяне на попълващо числоили Представяне на Фоки т.н.
Ако вълновата функция, например, на електрон в атом, е дадена в координатно представяне, тогава квадратът на модула на вълновата функция е плътността на вероятността за намиране на електрон в определена точка от пространството. Ако същата вълнова функция е дадена в представянето на импулса, тогава квадратът на нейния модул е плътността на вероятността за намиране на едно или друго импулсС.
Въведение
Известно е, че курсът на квантовата механика е един от най-трудните за разбиране. Това е свързано не толкова с новия и „необичаен“ математически апарат, а преди всичко с трудността за разбиране на революционните, от гледна точка на класическата физика, идеи, залегнали в основата на квантовата механика, и сложността на интерпретацията на резултатите.
В повечето учебници по квантова механика представянето на материала по правило се основава на анализа на решенията на стационарното уравнение на Шрьодингер. Стационарният подход обаче не позволява директно сравнение на резултатите от решаването на квантовомеханичен проблем с аналогични класически резултати. Освен това много процеси, изучавани в хода на квантовата механика (като преминаване на частица през потенциална бариера, разпадане на квазистационарно състояние и т.н.) по принцип са нестационарни по природа и следователно могат да се разбере изцяло само въз основа на решения на нестационарното уравнение на Шрьодингер. Тъй като броят на аналитично разрешимите задачи е малък, използването на компютър в процеса на изучаване на квантовата механика е особено актуално.
Уравнението на Шрьодингер и физическото значение на неговите решения
Вълново уравнение на Шрьодингер
Едно от основните уравнения на квантовата механика е уравнението на Шрьодингер, което определя промяната в състоянията на квантовите системи във времето. Записано е във формата
където H е хамилтонианът на системата, съвпадащ с енергийния оператор, ако не зависи от времето. Типът на оператора се определя от свойствата на системата. За нерелативисткото движение на частица с маса в потенциално поле U(r), операторът е реален и се представя от сумата от операторите на кинетичната и потенциалната енергия на частицата
Ако частицата се движи в електромагнитно поле, тогава операторът на Хамилтън ще бъде сложен.
Въпреки че уравнение (1.1) е уравнение от първи ред във времето, поради въображаемото единство то има и периодични решения. Следователно уравнението на Шрьодингер (1.1) често се нарича вълново уравнение на Шрьодингер, а неговото решение се нарича зависима от времето вълнова функция. Уравнение (1.1) с известна форма на оператора H ви позволява да определите стойността на вълновата функция във всеки следващ момент от време, ако тази стойност е известна в началния момент от време. Така вълновото уравнение на Шрьодингер изразява принципа на причинно-следствената връзка в квантовата механика.
Уравнението на вълната на Шрьодингер може да бъде получено въз основа на следните формални съображения. В класическата механика е известно, че ако енергията е дадена като функция на координати и импулси
след това преходът към класическото уравнение на Хамилтън-Якоби за функцията на действие S
може да се получи от (1.3) чрез формалната трансформация
По същия начин, уравнение (1.1) се получава от (1.3) при преминаване от (1.3) към операторното уравнение чрез формална трансформация
ако (1.3) не съдържа произведения на координати и импулси или съдържа такива произведения от тях, които след преминаване към оператори (1.4), комутират един с друг. Приравнявайки след това преобразуване резултатите от действието върху функцията на операторите на дясната и лявата част на полученото операторно равенство, стигаме до вълновото уравнение (1.1). Не бива обаче да се приемат тези формални трансформации като извеждане на уравнението на Шрьодингер. Уравнението на Шрьодингер е обобщение на експериментални данни. Той не се извежда в квантовата механика, точно както уравненията на Максуел не се извеждат в електродинамиката, принципът на най-малкото действие (или уравненията на Нютон) в класическата механика.
Лесно е да се провери, че уравнението (1.1) е изпълнено за вълновата функция
описващ свободното движение на частица с определена стойност на импулса. В общия случай валидността на уравнението (1.1) се доказва чрез съгласуването с опита на всички заключения, получени с помощта на това уравнение.
Нека покажем, че от уравнение (1.1) следва важното равенство
което показва запазването на нормализирането на вълновата функция във времето. Нека умножим (1.1) отляво по функцията * и умножим комплексното уравнение, конюгирано с (1.1), по функцията и извадим второто уравнение от първото получено уравнение; тогава намираме
Интегрирайки тази връзка по всички стойности на променливите и като вземем предвид самосвързаността на оператора, получаваме (1.5).
Ако във връзка (1.6) заменим изричното изражение на оператора на Хамилтън (1.2) за движението на частица в потенциално поле, тогава ще стигнем до диференциално уравнение (уравнение за непрекъснатост)
където е плътността на вероятността и векторът
може да се нарече вектор на плътността на тока на вероятността.
Сложната вълнова функция винаги може да бъде представена като
където и са реални функции на времето и координатите. Така че плътността на вероятността
и плътността на тока на вероятността
От (1.9) следва, че j = 0 за всички функции, чиято функция Φ не зависи от координатите. По-специално, j= 0 за всички реални функции.
Решенията на уравнението на Шрьодингер (1.1) обикновено се представят от комплексни функции. Използването на сложни функции е много удобно, но не е необходимо. Вместо една сложна функция, състоянието на системата може да се опише с две реални функции и удовлетворяващи две свързани уравнения. Например, ако операторът H е реален, тогава, замествайки функцията в (1.1) и разделяйки реалната и въображаемата част, получаваме система от две уравнения
в този случай плътността на вероятността и плътността на тока на вероятността приемат формата
Вълнови функции в импулсно представяне.
Преобразуването на Фурие на вълновата функция характеризира разпределението на импулсите в квантово състояние. Необходимо е да се изведе интегрално уравнение за с преобразуването на Фурие на потенциала като ядро.
Решение. Има две взаимно обратни отношения между функциите и.
Ако релацията (2.1) се използва като дефиниция и към нея се приложи операция, тогава, като се вземе предвид дефиницията на триизмерна функция,
в резултат, както е лесно да се види, получаваме обратното отношение (2.2). Подобни съображения се използват по-долу при извеждането на съотношение (2.8).
след това за образа на Фурие на потенциала, който имаме
Ако приемем, че вълновата функция удовлетворява уравнението на Шрьодингер
Замествайки тук вместо и, съответно, изрази (2.1) и (2.3), получаваме
В двойния интеграл преминаваме от интегриране върху променлива към интегриране върху променлива и след това отново означаваме тази нова променлива с. Интегралът над изчезва при всяка стойност само ако самият интеграл е равен на нула, но тогава
Това е желаното интегрално уравнение с преобразуването на Фурие на потенциала като ядро. Разбира се, интегралното уравнение (2.6) може да се получи само при условие, че съществува преобразуването на Фурие на потенциала (2.4); за това, например, потенциалът трябва да намалява на големи разстояния, поне както, къде.
Трябва да се отбележи, че от условието за нормализиране
следва равенство
Това може да се покаже чрез заместване на израз (2.1) за функцията в (2.7):
Ако тук първо извършим интегриране по, тогава лесно ще получим съотношение (2.8).