Рене правоъгълна координатна система в пространството. Въвеждане на координатната система
Правоъгълна координатна система в пространството е тройка от взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в една точка O, наречена начало.
Координатните оси обикновено се обозначават с букви и се наричат съответно ос на абсцисата, оста y, аппликационната ос или оста Oy, оста (фиг. 33).
Ортите на координатните оси Ox, Oy, Oz се означават съответно или ще използваме основно последното обозначение.
Разграничаване на дясна и лява координатна система.
Координатната система се нарича дясна, ако от края на третия ортез до завоя от първия орден към втория орден се наблюдава протичане срещу часовника (фиг. 34, а).
Координатната система се нарича лява, ако от края на третия единичен вектор се види, че въртенето от първата ос към втората ос се извършва по посока на часовниковата стрелка (фиг. 34, б).
По този начин, ако завиете винта в посока на вектора k, като го завъртите от тогава в случая на дясната система, резбата трябва да е дясна, а при лявата система - лява (фиг. 35).
Много разпоредби на векторната алгебра не зависят от това дали използваме дясната или лявата координатна система. Понякога обаче това обстоятелство има значение. В бъдеще винаги ще използваме правилната координатна система, както е обичайно във физиката.
За да определим позицията на точка в пространството, ще използваме декартови правоъгълни координати (фиг. 2).
Декартовата правоъгълна координатна система в пространството се формира от три взаимно перпендикулярни координатни оси OX, OY, OZ. Координатните оси се пресичат в точката O, която се нарича начало, на всяка ос се избира положителната посока, обозначена със стрелките, и мерната единица на сегментите по осите. Единиците обикновено (не непременно) са еднакви за всички оси. Оста OX се нарича абсцисната ос (или просто абсцисата), оста OY се нарича ординатна ос (ордината), оста OZ се нарича апликатна ос (applicate).
Позицията на точка А в пространството се определя от три координати x, y и z. Координата x е равна на дължината на отсечката OB, координатата y е равна на дължината на отсечката OC, координатата z е дължината на отсечката OD в избраните единици. Сегментите OB, OC и OD се определят от равнини, изтеглени от точка, успоредна на равнините YOZ, XOZ и XOY, съответно.
Координата x се нарича абсцисата на точка A, координатата y се нарича ордината на точка A, а координатата z се нарича апликат на точка A.
Символично се пише така:
или свържете координатен запис към конкретна точка с помощта на индекс:
x A , y A , z A ,
Всяка ос се разглежда като числова права, тоест има положителна посока, а отрицателните координати се присвояват на точките, лежащи на отрицателния лъч (разстоянието се взема със знак минус). Тоест, ако например точка B не лежи, както е на фигурата, върху лъча OX, а върху неговото продължение в обратна посока от точка O (на отрицателната част на оста OX), тогава абсцисата x от точка A би било отрицателно (минус разстоянието OB). По същия начин и за другите две оси.
Координатните оси OX, OY, OZ показани на фиг. 2 образуват дясна координатна система. Това означава, че ако погледнете равнината YOZ по положителната посока на оста OX, тогава движението на оста OY към оста OZ ще бъде по посока на часовниковата стрелка. Тази ситуация може да бъде описана с помощта на правилото на джимлета: ако въртящият се винт (десен винт) се завърти в посока от оста OY към оста OZ, тогава той ще се движи по положителната посока на оста OX.
Вектори с единична дължина, насочени по координатните оси, се наричат координатни вектори. Обикновено се наричат 
(фиг. 3). Има и обозначението 
Ортите формират основата на координатната система.
В случай на дясна координатна система са валидни следните формули с векторни произведения на ортове:
Подредена система от две или три пресичащи се оси, перпендикулярни една на друга с общ произход (произход) и обща единица за дължина, се нарича правоъгълна декартова координатна система .
Обща декартова координатна система (афинна координатна система) може също да включва не непременно перпендикулярни оси. В чест на френския математик Рене Декарт (1596-1662) е наречена такава координатна система, в която за всички оси се брои обща единица за дължина и осите са прави.
Правоъгълна декартова координатна система на равнината има две оси правоъгълна декартова координатна система в пространството - три оси. Всяка точка в равнина или в пространството се определя от подреден набор от координати - числа в съответствие с единичната дължина на координатната система.
Имайте предвид, че, както следва от определението, има декартова координатна система на права линия, тоест в едно измерение. Въвеждането на декартови координати на права линия е един от начините, по които на всяка точка от права линия се приписва добре дефинирано реално число, тоест координата.
Методът на координатите, който възниква в произведенията на Рене Декарт, бележи революционно преструктуриране на цялата математика. Стана възможно да се тълкуват алгебричните уравнения (или неравенства) под формата на геометрични изображения (графики) и, обратно, да се търси решение на геометрични проблеми с помощта на аналитични формули, системи от уравнения. Да, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyи се намира над тази равнина с 3 единици.
С помощта на декартовата координатна система принадлежността на точка към дадена крива съответства на факта, че числата хи гудовлетворява някакво уравнение. И така, координатите на точка от окръжност с център в дадена точка ( а; б) удовлетворяват уравнението (х - а)² + ( г - б)² = Р² .
Правоъгълна декартова координатна система на равнината
Оформят се две перпендикулярни оси на равнина с общ произход и една и съща мащабна единица Декартова координатна система на равнината . Една от тези оси се нарича ос вол, или ос x , другият - оста ой, или y-ос . Тези оси се наричат още координатни оси. Означете с Мхи Мгсъответно проекцията на произволна точка Мна ос воли ой. Как да получите прогнози? Преминете през точката М вол. Тази права пресича оста волв точката Мх. Преминете през точката Мправа линия, перпендикулярна на оста ой. Тази права пресича оста ойв точката Мг. Това е показано на фигурата по-долу.
хи гточки Мще наречем съответно величините на насочените отсечки ОМхи ОМг. Стойностите на тези насочени сегменти се изчисляват съответно като х = х0 - 0 и г = г0 - 0 . Декартови координати хи гточки М абсциса и ординат . Фактът, че точката Мима координати хи г, се обозначава, както следва: М(х, г) .
Координатните оси разделят равнината на четири квадрант , чиято номерация е показана на фигурата по-долу. Той също така посочва подреждането на знаците за координатите на точките в зависимост от местоположението им в един или друг квадрант.
В допълнение към декартовите правоъгълни координати в равнината често се разглежда и полярната координатна система. За метода на преход от една координатна система към друга - в урока полярна координатна система .
Правоъгълна декартова координатна система в пространството
Декартовите координати в пространството се въвеждат по пълна аналогия с декартовите координати на равнина.
Три взаимно перпендикулярни оси в пространството (координатни оси) с общ произход Ои същата форма на единица мащаб Декартова правоъгълна координатна система в пространството .
Една от тези оси се нарича ос вол, или ос x , другият - оста ой, или y-ос , трета - ос Оз, или приложи ос . Нека бъде Мх, Мг Мz- проекции на произволна точка Мпространства по оста вол , ойи Озсъответно.
Преминете през точката М волволв точката Мх. Преминете през точката Мравнина, перпендикулярна на оста ой. Тази равнина пресича оста ойв точката Мг. Преминете през точката Мравнина, перпендикулярна на оста Оз. Тази равнина пресича оста Озв точката Мz.
Декартови правоъгълни координати х , ги zточки Мще наречем съответно величините на насочените отсечки ОМх, ОМги ОМz. Стойностите на тези насочени сегменти се изчисляват съответно като х = х0 - 0 , г = г0 - 0 и z = z0 - 0 .
Декартови координати х , ги zточки Мсе назовават съответно абсциса , ординат и апликация .
Взети по двойки, координатните оси са разположени в координатните равнини xOy , йОзи zOx .
Проблеми за точките в декартовата координатна система
Пример 1
А(2; -3) ;
Б(3; -1) ;
° С(-5; 1) .
Намерете координатите на проекциите на тези точки върху оста x.
Решение. Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста x е разположена върху самата ос x, тоест оста вол, и следователно има абциса, равна на абсцисата на самата точка, и ордината (координата на оста ой, която оста x пресича в точка 0), равно на нула. Така получаваме следните координати на тези точки по оста x:
Аx(2;0);
Бx(3;0);
° Сx(-5;0).
Пример 2Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината
А(-3; 2) ;
Б(-5; 1) ;
° С(3; -2) .
Намерете координатите на проекциите на тези точки върху оста y.
Решение. Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста y е разположена върху самата ос y, тоест оста ой, и следователно има ордината, равна на ординатата на самата точка, и абциса (координата на оста вол, която оста y пресича в точка 0), равно на нула. Така получаваме следните координати на тези точки по оста y:
Аy(0; 2);
Бy (0; 1);
° Сy(0;-2).
Пример 3Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината
А(2; 3) ;
Б(-3; 2) ;
° С(-1; -1) .
вол .
вол вол вол, ще има същата абциса като дадената точка, а ординатата е равна по абсолютна стойност на ординатата на дадената точка и противоположна по знак на нея. Така получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки около оста вол :
А"(2; -3) ;
Б"(-3; -2) ;
° С"(-1; 1) .
Решете сами проблеми в декартовата координатна система и след това разгледайте решенията
Пример 4Определете в кои квадранти (четвъртини, фигура с квадранти - в края на параграфа "Правоъгълна декартова координатна система на равнината") може да се намира точката М(х; г) , ако
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) х − г = 0 ;
4) х + г = 0 ;
5) х + г > 0 ;
6) х + г < 0 ;
7) х − г > 0 ;
8) х − г < 0 .
Пример 5Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината
А(-2; 5) ;
Б(3; -5) ;
° С(а; б) .
Намерете координатите на точките, симетрични на тези точки около оста ой .
Продължаваме да решаваме проблемите заедно
Пример 6Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината
А(-1; 2) ;
Б(3; -1) ;
° С(-2; -2) .
Намерете координатите на точките, симетрични на тези точки около оста ой .
Решение. Завъртете на 180 градуса около оста ойнасочена отсечка от ос ойдо този момент. На фигурата, където са посочени квадрантите на равнината, виждаме, че точката е симетрична на дадената по отношение на оста ой, ще има същата ордината като дадената точка и абциса, равна по абсолютна стойност на абсцисата на дадената точка и противоположна по знак на нея. Така получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки около оста ой :
А"(1; 2) ;
Б"(-3; -1) ;
° С"(2; -2) .
Пример 7Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината
А(3; 3) ;
Б(2; -4) ;
° С(-2; 1) .
Намерете координатите на точките, които са симетрични на тези точки по отношение на началото.
Решение. Завъртаме се на 180 градуса около началото на насочения сегмент, минаващ от началото до дадената точка. На фигурата, където са посочени квадрантите на равнината, виждаме, че точка, симетрична на дадена по отношение на началото на координатите, ще има абциса и ордината, равни по абсолютна стойност на абсцисата и ординатата на дадената точка , но противоположни по знак на тях. Така получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки по отношение на началото:
А"(-3; -3) ;
Б"(-2; 4) ;
° С(2; -1) .
Пример 8
А(4; 3; 5) ;
Б(-3; 2; 1) ;
° С(2; -3; 0) .
Намерете координатите на проекциите на тези точки:
1) в самолет Окси ;
2) до самолета Охз ;
3) до самолета Oyz ;
4) по оста на абсцисата;
5) по оста y;
6) по оста на апликацията.
1) Проекция на точка върху равнина Оксиразположен на самата тази равнина и следователно има абсцис и ордината, равни на абсцисата и ординатата на дадената точка, и апликация, равна на нула. Така получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Окси :
Аxy(4;3;0);
Бxy (-3; 2; 0);
° Сxy(2;-3;0).
2) Проекция на точка върху равнина Охзразположен на самата тази равнина и следователно има абсцис и приложение, равни на абсцисата и апликата на дадената точка, и ордината, равна на нула. Така получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Охз :
Аxz (4; 0; 5);
Бxz (-3; 0; 1);
° Сxz(2;0;0).
3) Проекция на точка върху равнина Oyzсе намира на самата тази равнина и следователно има ордината и апликат, равни на ординатата и апликата на дадена точка, и абсцисата, равна на нула. Така получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Oyz :
Аyz (0; 3; 5);
Бyz (0; 2; 1);
° Сyz(0;-3;0).
4) Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста x е разположена върху самата ос x, тоест оста вол, и следователно има абциса, равна на абсцисата на самата точка, а ординатата и апликацията на проекцията са равни на нула (тъй като осите на ординатата и приложението пресичат абсцисата в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста x:
Аx(4;0;0);
Бx(-3;0;0);
° Сx(2;0;0).
5) Проекцията на точка върху оста y е разположена върху самата ос y, т.е. ой, и следователно има ордината, равна на ординатата на самата точка, а абсцисата и приложението на проекцията са равни на нула (тъй като осите на абсцисата и приложението пресичат оста на ординатата в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста y:
Аy(0;3;0);
Бy(0;2;0);
° Сy(0;-3;0).
6) Проекцията на точка върху оста на приложението е разположена върху самата ос на приложението, тоест оста Оз, и следователно има приложение, равно на приложението на самата точка, а абсцисата и ординатата на проекцията са равни на нула (тъй като осите на абсцисата и ординатата пресичат оста на приложението в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху приложимата ос:
Аz(0; 0; 5);
Бz(0;0;1);
° Сz(0; 0; 0).
Пример 9Точките са дадени в декартовата координатна система в пространството
А(2; 3; 1) ;
Б(5; -3; 2) ;
° С(-3; 2; -1) .
Намерете координатите на точките, които са симетрични на тези точки по отношение на:
1) самолет Окси ;
2) самолет Охз ;
3) самолет Oyz ;
4) ос на абсцисата;
5) ос у;
6) ос на апликацията;
7) началото на координатите.
1) "Напред" точката от другата страна на оста Окси Окси, ще има абциса и ордината, равна на абсцисата и ординатата на дадена точка, и апликация, равна по големина на апликата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Окси :
А"(2; 3; -1) ;
Б"(5; -3; -2) ;
° С"(-3; 2; 1) .
2) "Напред" точката от другата страна на оста Охзза същото разстояние. Според фигурата, показваща координатното пространство, виждаме, че точката е симетрична на дадената по отношение на оста Охз, ще има абсцис и апликация, равна на абсцисата и приложение на дадената точка, и ордината, равна по големина на ординатата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Охз :
А"(2; -3; 1) ;
Б"(5; 3; 2) ;
° С"(-3; -2; -1) .
3) "Напред" точката от другата страна на оста Oyzза същото разстояние. Според фигурата, показваща координатното пространство, виждаме, че точката е симетрична на дадената по отношение на оста Oyz, ще има ордината и апликат, равен на ординатата и апликат на дадена точка, и абсцис, равна по големина на абсцисата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Oyz :
А"(-2; 3; 1) ;
Б"(-5; -3; 2) ;
° С"(3; 2; -1) .
По аналогия със симетричните точки на равнината и точките в пространството, симетрични на данните по отношение на равнините, отбелязваме, че в случай на симетрия около някаква ос на декартовата координатна система в пространството, координатата на оста, около която е зададена симетрията ще запази знака си, а координатите по другите две оси ще бъдат същите по абсолютна стойност като координатите на дадената точка, но противоположни по знак.
4) Абсцисата ще запази знака си, докато ординатата и апликацията ще сменят знаците си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за оста x:
А"(2; -3; -1) ;
Б"(5; 3; -2) ;
° С"(-3; -2; 1) .
5) Ординатата ще запази знака си, докато абсцисата и апликацията ще сменят знаците си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за оста y:
А"(-2; 3; -1) ;
Б"(-5; -3; -2) ;
° С"(3; 2; 1) .
6) Заявката ще запази знака си, а абсцисата и ординатата ще сменят знаците си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за приложимата ос:
А"(-2; -3; 1) ;
Б"(-5; 3; 2) ;
° С"(3; -2; -1) .
7) По аналогия със симетрията в случай на точки в равнина, в случай на симетрия около началото на координатите, всички координати на точка, симетрична на дадена, ще бъдат равни по абсолютна стойност на координатите на дадена точка, но противоположни по знак на тях. И така, получаваме следните координати на точки, които са симетрични на данните по отношение на началото.
Ако през точката O в пространството начертаем три per-pen-di-ku-lar-line, ние ги наричаме, ние-вземаме-вдясно-le-nie, обозначавайки единични разрези, тогава ще получим правоъгълна си-сте-му ко-или-ди-нат в пространството. Осите на ko-or-di-nat са na-zy-va-yut-sya така: Oh - оста abs-ciss, Oy - оста на or-di-nat и Оз - ос нагоре-пли-кат. Цялото si-ste-ma ko-or-di-nat означава-me-cha-et-sya - Oxyz. По този начин има три co-or-di-nat-nye самолети: Oxy, Oxz, Oyz.
Даваме пример за изграждане на точка B (4; 3; 5) в правоъгълна система от co-or-di-nat (виж фиг. 1).
Ориз. 1. Построяване на точка В в пространството
Първата точка на co-or-di-na-ta B - 4, така че от-cla-dy-va-em до Ox 4, ние-затъмняваме директна пара-ral-lel-но ос Oy, за да повторим отново -che-tion с права линия, минаваща през y \u003d 3. По този начин получаваме точка K. Тази точка лежи в Oxy равнината и има co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Сега трябва да про-ве-сти директен пара-рал-лел-но оста на Оз. И направо някой-рай минава през точка с app-pli-ka-that 5 и para-ral-lel-on dia-go-on-whether pa-ral-le-lo-gram -ma в Oxy равнината. На техния re-se-che-nii ще получим желаната точка B.
Помислете за разпределението на точките, за някои, една или две co-or-di-na-you са равни на 0 (виж фиг. 2).
Например, точка A(3;-1;0). Необходимо е да продължите оста Oy наляво до стойността -1, да намерите точка 3 на оста Ox и на re-se-ce-ce на линиите, преминаващи през тези стойности -tion, получаваме точка A. Това точката има app-pli-ka-tu 0, което означава, че се намира в Oxy равнината.
Точка C (0; 2; 0) има abs-cis-su и app-pli-ka-tu 0 - не от-me-cha-e. Or-di-na-ta е равно на 2, което означава, че точка C лежи само на оста Oy, нещо-рай е-la-is-a-re-re-se-che-no-това е плосък стей Oxy и Oyz.
За да преместим точка D (-4; 0; 3), продължаваме оста Ox назад за na-cha-lo ko-or-di-nat до точката -4. Сега, възстановете-сто-нав-ли-ва-ем от тази точка per-pen-di-ku-lyar - права, успоредна на оста Oz до повторно re-se-che-niya с права линия, успоредна на оста Ox и преминаваща през стойността 3 по оста Oz. Според текущия D (-4; 0; 3). Тъй като or-di-on-тази точка е равна на 0, тогава точката D лежи в равнината Oxz.
Следващата точка е E(0;5;-3). Or-di-na-ta точки 5, app-pli-ka-ta -3, минаваме прави линии, минаващи през тези стойности по-отговор-th-axe, и по техните re-se-che-nii , получаваме точката E (0; 5; -3). Тази точка има първото co-or-di-to-tu 0, което означава, че се намира в равнината на Oyz.
2. Векторни координати
Проклета прав ъгъл si-ste-mu ko-or-di-nat в космоса Oxyz. Za-da-dim в пространството на правоъгълен si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. На всяка от lo-zhi-tel-nyh in-lu-axe from-lo-weep от na-cha-la ko-or-di-nat един единствен вектор, т.е. вектор-тор, дължината на нещо-ro- go е равно на едно. Означаваме единичен вектор на оста abs-ciss, единичен вектор на оста or-di-nat и единичен вектор на оста up-pli-kat (виж фиг. 1). Тези клепачи са съвместно-на-дясно-le-na с оси на-вдясно-le-ni-i-mi, имат една дължина и или-до-го-нал-на - по двойки -но на-pen-di -ку-ляр-ни. Такъв век-ра-на-зи-ва-ют ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-miили ба-зи-сом.
Ориз. 1. Raz-lo-same-age-that-ra в три co-or-di-nat-ny century-that-frames
Вземете mem-tor, in-me-stim го в na-cha-lo ko-or-di-nat и разпределете този вектор-tor в три определени-план-nar-nym - le-zha -shim в различни равнини - от век до рамка. За да направите това, нека спуснем проекцията на точка M върху Oxy равнината и да намерим co-or-di-on-you вектор-канавка и. On-lu-cha-eat:. Рас-гледай-ръм на от-дел-но-сти всеки от тези векове-то-ров. Векторният тор лежи върху оста Ox, което означава, че според свойството на умножаване на вектора по число, той може да бъде представен като някакво число x женски род на co-or-di-nat-ny вектор. , а дължината на клепача е точно x пъти по-голяма от дължината на . По същия начин, нека стъпим с век-че-ра-ми и, и в лу-ча-ядеш време-ло-същата възраст век-че-ра в три ко-или-ди-нат-ни векове до овен:
Co-ef-fi-qi-en-you от това време x, y и z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra в космоса.
Ras-look-rim right-vi-la, some-rye poses-in-la-yut според ko-or-di-on-там дадени векове-до-ров, за да намерите ko-or-di-na- вие сте тяхната сума и разлика, както и съ-или-ди-на-ти про-от-ве-де-ния на даден век-та-ра на дадено число.
1) Сложност:
2) You-chi-ta-nie:
3) Умножение по число: 
,
Век-тор, на-ча-ло-ко-ро-го бухал-па-да-ет с на-ча-скрап ко-или-ди-нат, на-зи-ва-ет-ся радиус-век-ром.(фиг. 2). Vector-tor - ra-di-us-vector, където x, y и z са co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion на този век-to-ra според co-or - ди-нат-ни век-до-рам,,. В този случай x е първият co-or-di-on-ta на точка A по оста Ox, y е co-or-di-on-ta на точка B по оста Oy, z е co-or - di-na-ta точка C по оста Oz. Според ri-sun-ku е ясно, че ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men- but is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi точки M.
Вземете точка A(x1;y1;z1) и точка B(x2;y2;z2) (виж фиг. 3). Представяме си един век-тор като разлика от век-и-ров и по свойство век-ров. Освен това, и - ra-di-us-vek-to-ry, и техните co-or-di-na-you co-pa-da-yut с co-or-di-na-ta-mi con- tsov тези векове-ров. Тогава можем да си представим ko-or-di-na-you century-that-ra като разлика с-from-the-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat century-that-ditch и : . По този начин, ко-или-ди-на-ти век-до-ра, можем да ви-ра-зитваме през ко-или-ди-на-ти от края и на-ча-ла век-до-ра .
Ras-вижте примерите, il-lu-stri-ru-yu-sche свойства на вековна канавка и тяхното you-ra-same-tion чрез co-or-di-on-you. Take-meme century-that-ry , , . Ние сме попитани-shi-va-yut вектор. В този случай да го намериш означава да намериш ко-или-ди-на-ти век-че-ра, някой, който е напълно определен от него. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie вместо сто века-a-ditch with-from-rep-stven-но тяхното съ-или-ди-на-ти. By-lu-cha-eat:
Сега умножаваме числото 3 за всеки co-or-di-na-tu в скоби и същото de-la-em с 2:
Имаме сбора от три вековни ровове, съхраняваме ги според проученото по-горе свойство:
Отговор: 
Пример №2.
Дадена е: Триъгълна pi-ra-mi-da AOBC (виж фиг. 4). Самолети AOB, AOC и OCB - по двойки, но per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P - сер. CB.
Да намеря: ,,,,,,,.
Решение: Нека въведем правоъгълен si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz с началото на броенето в точка O. По условието на знаем точките A, B и C по осите и se-re -di-ny на ръбовете на pi-ra-mi-dy - M, P и N. Според ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you върховете на pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).
Правоъгълна (други имена - плоска, двуизмерна) координатна система, наречена на френския учен Декарт (1596-1650) "декартова координатна система на равнината", се образува от пресичането на равнината под прав ъгъл (перпендикулярно) на две числови оси, така че положителната полуос на едната сочи надясно (ос x, или абсцис), а втората - нагоре (ос y, или ос y).
Точката на пресичане на осите съвпада с точката 0 на всяка от тях и се нарича начало.
За всяка от осите се избира произволен мащаб (сегмент с единична дължина). Всяка точка от равнината съответства на една двойка числа, наречени координати на тази точка от равнината. Обратно, всяка подредена двойка числа съответства на една точка от равнината, за която тези числа са координати.
Първата координата на точка се нарича абсцисата на тази точка, а втората координата се нарича ордината.
Цялата координатна равнина е разделена на 4 квадранта (четвъртини). Квадрантите са разположени от първия до четвъртия обратно на часовниковата стрелка (виж фиг.).
За да определите координатите на точка, трябва да намерите нейното разстояние до оста на абсцисата и оста на ординатата. Тъй като разстоянието (най-краткото) се определя от перпендикуляра, два перпендикуляра (спомагателни линии в координатната равнина) се спускат от точката на оста, така че точката на тяхното пресичане е мястото на дадената точка в координатната равнина. Точките на пресичане на перпендикулярите с осите се наричат проекции на точката върху координатните оси.
Първият квадрант е ограничен от положителните полуоси на абсцисата и ординатата. Следователно координатите на точките в тази четвърт на равнината ще бъдат положителни
(знаци "+" и
Например точка M (2; 4) на фигурата по-горе.
Вторият квадрант е ограничен от отрицателната полуос на абсцисата и положителната ос y. Следователно координатите на точките по оста на абсцисата ще бъдат отрицателни (знак „-“), а по оста на ординатата те ще бъдат положителни (знак „+“).
Например точка C (-4; 1) на фигурата по-горе.
Третият квадрант е ограничен от отрицателната полуос на абсцисата и отрицателната ос y. Следователно координатите на точките по абсцисата и ординатите ще бъдат отрицателни (знаци "-" и "-").
Например точка D (-6; -2) на фигурата по-горе.
Четвъртият квадрант е ограничен от положителната полуос на абсцисата и отрицателната ос y. Следователно координатите на точките по оста x ще бъдат положителни (знакът „+“). и по оста на ординатите - отрицателен (знак "-").
Например точка R (3; -3) на фигурата по-горе.
Изграждане на точка по дадените й координати
намираме първата координата на точката по оста x и през нея начертаваме спомагателна линия - перпендикуляра;
намираме втората координата на точката по оста y и през нея начертаваме спомагателна линия - перпендикуляра;
пресечната точка на два перпендикуляра (спомагателни линии) и ще съответства на точката с дадените координати.