Как се обозначават целите числа и т.н. Видове числа

Числото е абстракция, използвана за количествено определяне на обекти. Числата възникват в първобитното общество във връзка с необходимостта на хората да броят предмети. С течение на времето, с развитието на науката, числото се превърна в най-важното математическо понятие.

За да решавате проблеми и да доказвате различни теореми, трябва да разберете какви видове числа има. Основните видове числа включват: естествени числа, цели числа, рационални числа, реални числа.

Цели числа- това са числа, получени чрез естествено преброяване на обекти, или по-скоро чрез номерирането им („първи“, „втори“, „трети“...). Множеството от естествени числа се означава с латинска буква н (може да се запомни въз основа на английската дума natural). Може да се каже, че н ={1,2,3,....}

Цели числа- това са числа от множеството (0, 1, -1, 2, -2, ....). Този набор се състои от три части - естествени числа, цели отрицателни числа (обратното на естествените числа) и числото 0 (нула). Целите числа се означават с латинска буква З . Може да се каже, че З ={1,2,3,....}.

Рационални числаса числа, представени като дроб, където m е цяло число, а n е естествено число. Латинската буква се използва за означаване на рационални числа Q . Всички естествени числа и цели числа са рационални. Също така примерите за рационални числа включват: ,,.

Реални числа- това са числа, които се използват за измерване на непрекъснати количества. Множеството от реални числа се обозначава с латинската буква R. Реалните числа включват рационални числа и ирационални числа. Ирационалните числа са числа, които се получават чрез извършване на различни операции с рационални числа (например извличане на корени, пресмятане на логаритми), но не са рационални. Примери за ирационални числа са,,.

Всяко реално число може да бъде показано на числовата ос:

За наборите от числа, изброени по-горе, е вярно следното твърдение:

Тоест наборът от естествени числа е включен в набора от цели числа. Множеството от цели числа е включено в множеството от рационални числа. И множеството от рационални числа е включено в множеството от реални числа. Това твърдение може да се илюстрира с помощта на кръгове на Ойлер.

Цели числа

Дефиницията на естествените числа са положителни цели числа. Естествените числа се използват за броене на обекти и за много други цели. Това са числата:

Това е естествена поредица от числа.
Нулата естествено число ли е? Не, нулата не е естествено число.
Колко естествени числа има? Има безкраен брой естествени числа.
Кое е най-малкото естествено число? Едно е най-малкото естествено число.
Кое е най-голямото естествено число? Невъзможно е да се уточни, защото има безкраен брой естествени числа.

Сборът от естествените числа е естествено число. И така, добавяйки естествените числа a и b:

Произведението на естествените числа е естествено число. И така, произведението на естествените числа a и b:

c винаги е естествено число.

Разлика на естествените числа Не винаги има естествено число. Ако умаляваното е по-голямо от изважданото, тогава разликата на естествените числа е естествено число, в противен случай не е.

Частното на естествените числа не винаги е естествено число. Ако за естествени числа a и b

където c е естествено число, това означава, че a се дели на b. В този пример a е дивидент, b е делител, c е частно.

Делителят на естествено число е естествено число, на което първото число се дели на цяло.

Всяко естествено число се дели на единица и на себе си.

Простите естествени числа се делят само на единица и себе си. Тук имаме предвид разделени изцяло. Пример, числа 2; 3; 5; 7 се дели само на единица и себе си. Това са прости естествени числа.

Едно не се счита за просто число.

Числата, които са по-големи от едно и които не са прости се наричат ​​съставни числа. Примери за съставни числа:

Едно не се счита за съставно число.

Множеството от естествени числа се състои от единица, прости числа и съставни числа.

Множеството от естествени числа се обозначава с латинската буква N.

Свойства на събиране и умножение на естествени числа:

комутативно свойство на събирането

асоциативно свойство на добавяне

(a + b) + c = a + (b + c);

комутативно свойство на умножението

асоциативно свойство на умножението

(ab) c = a (bc);

разпределително свойство на умножението

A (b + c) = ab + ac;

Цели числа

Целите числа са естествените числа, нулата и противоположните на естествените числа.

Обратното на естествените числа са отрицателните цели числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множеството от цели числа се обозначава с латинската буква Z.

Рационални числа

Рационалните числа са цели числа и дроби.

Всяко рационално число може да бъде представено като периодична дроб. Примери:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

От примерите става ясно, че всяко цяло число е периодична дроб с период нула.

Всяко рационално число може да бъде представено като дроб m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Нека си представим числото 3,(6) от предишния пример като такава дроб.

Цели числа

Числата, използвани при броенето, се наричат ​​естествени числа. Например $1,2,3$ и т.н. Естествените числа образуват множеството от естествени числа, което се означава с $N$ Това обозначение идва от латинската дума натурализъм-естествено.

Противоположни числа

Определение 1

Ако две числа се различават само по знаци, те се наричат ​​в математиката противоположни числа.

Например числата $5$ и $-5$ са противоположни числа, т.к Те се различават само по знаци.

Бележка 1

За всяко число има противоположно число и само едно.

Бележка 2

Числото нула е обратното на себе си.

Цели числа

Определение 2

Цялчислата са естествените числа, техните противоположности и нулата.

Множеството от цели числа включва множеството от естествени числа и техните противоположности.

Означаваме цели числа $Z.$

Дробни числа

Числата от формата $\frac(m)(n)$ се наричат ​​дроби или дробни числа. Дробните числа могат да се записват и в десетична форма, т.е. под формата на десетични дроби.

Например: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ и т.н.

Точно като целите числа, дробните числа могат да бъдат положителни или отрицателни.

Рационални числа

Определение 3

Рационални числае набор от числа, съдържащ набор от цели числа и дроби.

Всяко рационално число, както цяло, така и дробно, може да бъде представено като дроб $\frac(a)(b)$, където $a$ е цяло число, а $b$ е естествено число.

Така едно и също рационално число може да бъде записано по различни начини.

Например,

Това показва, че всяко рационално число може да бъде представено като крайна десетична дроб или безкрайна десетична периодична дроб.

Множеството от рационални числа се означава с $Q$.

В резултат на извършване на която и да е аритметична операция върху рационални числа, полученият отговор ще бъде рационално число. Това е лесно за доказване, поради факта, че при събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени дроби се получава обикновена дроб

Ирационални числа

Докато изучавате курс по математика, често трябва да се справяте с числа, които не са рационални.

Например, за да проверим съществуването на набор от числа, различни от рационалните, нека решим уравнението $x^2=6$. Корените на това уравнение ще бъдат числата $\surd 6$ и -$\surd 6$ . Тези числа няма да бъдат рационални.

Освен това, когато намираме диагонал на квадрат със страна $3$, прилагаме Питагоровата теорема и намираме, че диагоналът ще бъде равен на $\surd 18$. Това число също не е рационално.

Такива номера се наричат ирационален.

И така, ирационално число е безкрайна непериодична десетична дроб.

Едно от често срещаните ирационални числа е числото $\pi $

Когато извършвате аритметични операции с ирационални числа, резултатът може да бъде или рационално, или ирационално число.

Нека докажем това с примера за намиране на произведението на ирационални числа. Да намерим:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

С решение

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Този пример показва, че резултатът може да бъде или рационално, или ирационално число.

Ако в аритметични операции участват едновременно рационални и ирационални числа, тогава резултатът ще бъде ирационално число (освен, разбира се, умножението по $0$).

Реални числа

Множеството от реални числа е множество, съдържащо множество от рационални и ирационални числа.

Множеството от реални числа се означава с $R$. Символично множеството от реални числа може да се означи с $(-?;+?).$

По-рано казахме, че ирационално число е безкрайна десетична непериодична дроб и всяко рационално число може да бъде представено като крайна десетична дроб или безкрайна десетична периодична дроб, така че всяка крайна и безкрайна десетична дроб ще бъде реално число.

При извършване на алгебрични операции ще се спазват следните правила:

1. При умножаване и деление на положителни числа, полученото число ще бъде положително
2. При умножаване и деление на отрицателни числа, полученото число ще бъде положително
3. При умножаване и деление на отрицателни и положителни числа, полученото число ще бъде отрицателно

Реалните числа също могат да се сравняват едно с друго.

Математическият анализ е клон на математиката, който се занимава с изучаването на функции въз основа на идеята за безкрайно малка функция.

Основните понятия на математическия анализ са количество, набор, функция, безкрайно малка функция, граница, производна, интеграл.

РазмерВсичко, което може да се измери и изрази с число, се нарича.

многое съвкупност от някои елементи, обединени от някаква обща характеристика. Елементите на едно множество могат да бъдат числа, фигури, предмети, понятия и др.

Множествата се означават с главни букви, а елементите на множеството - с малки букви. Елементите на множествата са оградени във фигурни скоби.

Ако елемент хпринадлежи към комплекта х, тогава пиши х∈х (∈ - принадлежи).
Ако множество A е част от множество B, тогава напишете А ⊂ Б (⊂ - съдържа се).

Наборът може да бъде дефиниран по един от двата начина: чрез изброяване и чрез използване на дефиниращо свойство.

Например, следните набори са определени чрез изброяване:

• A=(1,2,3,5,7) - набор от числа
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - множество от някои елементи x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — набор от естествени числа
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — набор от цели числа

Множеството (-∞;+∞) се нарича числова линия, и всяко число е точка на тази линия. Нека a е произволна точка на числовата права и δ е положително число. Интервалът (a-δ; a+δ) се нарича δ-околност на точка а.

Множество X е ограничено отгоре (отдолу), ако съществува число c такова, че за всяко x ∈ X е в сила неравенството x≤с (x≥c). Числото c в този случай се нарича горен (долен) ръбмножество X. Множество, ограничено както отгоре, така и отдолу, се нарича ограничено. Най-малкото (най-голямото) от горните (долните) лица на набор се нарича точен горен (долен) ръбот това множество.

Основни набори от числа

н	(1,2,3,...,n) Набор от всички
З	(0, ±1, ±2, ±3,...) Задайте цели числа.Множеството от цели числа включва множеството от естествени числа.
Q	Няколко рационални числа. Освен цели числа, има и дроби. Дробта е израз на формата where стр- цяло число, р- естествено. Десетичните дроби също могат да бъдат записани като . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целите числа също могат да бъдат записани като . Например под формата на дроб със знаменател "едно": 2 = 2/1. Така всяко рационално число може да се запише като десетична дроб – крайна или безкрайно периодична.
Р	Много от всички реални числа. Ирационалните числа са безкрайни непериодични дроби. Те включват: Заедно две множества (рационални и ирационални числа) образуват множеството от реални (или реални) числа.

Ако наборът не съдържа нито един елемент, тогава той се извиква празен комплекти се записва Ø .

Елементи на логическата символика

Нотация ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

Кванторите често се използват при писане на математически изрази.

Кванторсе нарича логически символ, който характеризира елементите, следващи го в количествено отношение.

• ∀- общ квантификатор, се използва вместо думите „за всеки“, „за всеки“.
• ∃- квантор на съществуване, се използва вместо думите „съществува“, „наличен е“. Използва се и символната комбинация ∃, която се чете така, сякаш е само една.

Задайте операции

две множествата A и B са равни(A=B), ако се състоят от едни и същи елементи.
Например, ако A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), тогава A=B.

По съюз (сума)множества A и B е множество A ∪ B, чиито елементи принадлежат на поне едно от тези множества.
Например, ако A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), тогава A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Чрез пресичане (продукт)множества A и B се нарича множество A ∩ B, чиито елементи принадлежат както на множеството A, така и на множеството B.
Например, ако A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), тогава A ∩ B = (2,4)

По разликаМножествата A и B се наричат ​​множество AB, чиито елементи принадлежат на множеството A, но не принадлежат на множеството B.
Например, ако A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), тогава AB = (1,2)

Симетрична разликамножества A и B се нарича множество A Δ B, което е обединението на разликите на множествата AB и BA, т.е. A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Например, ако A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), тогава A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Свойства на операциите с множество

Свойства на комутативност

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Съответстващ имот

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Изброими и неизброими множества

За да се сравнят произволни две множества A и B, се установява съответствие между техните елементи.

Ако това съответствие е едно към едно, тогава множествата се наричат ​​еквивалентни или еднакво мощни, A B или B A.

Пример 1

Множеството от точки на катета BC и хипотенузата AC на триъгълник ABC са с еднаква степен.

Естествените числа са числата, с които всичко започна. И днес това са първите числа, с които човек се сблъсква в живота си, когато в детството се учи да брои на пръсти или броещи пръчици.

определение: Естествените числа са числа, които се използват за броене на обекти (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Числото 0 не е естествено. Има своя отделна история в историята на математиката и се появява много по-късно от естествените числа.]

Множеството от всички естествени числа (1, 2, 3, 4, 5, ...) се означава с буквата N.

Цели числа

След като се научихме да броим, следващото нещо, което правим, е да се научим да извършваме аритметични операции с числа. Обикновено събирането и изваждането се учат първо (с помощта на пръчки за броене).

С добавянето всичко е ясно: добавяйки произволни две естествени числа, резултатът винаги ще бъде едно и също естествено число. Но при изваждане откриваме, че не можем да извадим по-голямото от по-малкото, така че резултатът да е естествено число. (3 − 5 = какво?) Тук идва идеята за отрицателните числа. (Отрицателните числа вече не са естествени числа)

На етапа на възникване на отрицателни числа (и се появиха по-късно от частичните)имаше и техни противници, които ги смятаха за глупости. (Три обекта могат да бъдат показани на пръстите ви, десет могат да бъдат показани, хиляда обекта могат да бъдат представени по аналогия. И какво е „минус три торби“? - По това време числата вече се използват сами по себе си, изолирано от конкретни обекти, чийто брой те обозначават, все още са били в съзнанието на хората, много по-близки до тези специфични теми, отколкото днес.) Но, подобно на възраженията, основният аргумент в полза на отрицателните числа идва от практиката: отрицателните числа правят възможно удобно брои дългове. 3 − 5 = −2 - Имах 3 монети, похарчих 5. Това означава, че не само останах без монети, но също така дължах на някого 2 монети. Ако върна едно, дългът ще се промени −2+1=−1, но може да бъде представен и с отрицателно число.

В резултат на това в математиката се появиха отрицателни числа и сега имаме безкраен брой естествени числа (1, 2, 3, 4, ...) и има същия брой техните противоположности (−1, −2, − 3, −4 , ...). Нека добавим още 0 към тях и ще наречем множеството от всички тези числа цели числа.

определение: Естествените числа, противоположните им числа и нулата съставят множеството от цели числа. Обозначава се с буквата Z.

Всеки две цели числа могат да бъдат извадени едно от друго или добавени, за да се образува цяло число.

Идеята за добавяне на цели числа вече предполага възможността за умножение като просто по-бърз начин за събиране. Ако имаме 7 торби по 6 килограма всяка, можем да добавим 6+6+6+6+6+6+6 (добавете 6 към текущата обща сума седем пъти) или можем просто да запомним, че такава операция винаги ще доведе до 42. Точно както добавянето на шест седмици, 7+7+7+7+7+7 винаги ще дава 42.

Резултати от операцията на добавяне определениномера със себе си определениизписват се пъти за всички двойки числа от 2 до 9 и се съставя таблица за умножение. За умножаване на цели числа, по-големи от 9, е измислено правилото за умножение по колони. (Което се отнася и за десетичните дроби и което ще бъде обсъдено в една от следващите статии.) Когато умножавате произволни две цели числа едно по друго, резултатът винаги ще бъде цяло число.

Рационални числа

Сега разделение. Точно както изваждането е обратното на събирането, стигаме до идеята за делене като обратно на умножението.

Когато имахме 7 торби по 6 килограма, с умножение лесно изчислихме, че общото тегло на съдържанието на торбите е 42 килограма. Нека си представим, че сме изсипали цялото съдържание на всички торби в една обща купчина с тегло 42 килограма. И тогава те промениха решението си и искаха да разпределят съдържанието обратно в 7 торби. Колко килограма ще попаднат в един чувал, ако го разпределим по равно? – Очевидно, 6.

Ами ако искаме да разпределим 42 килограма в 6 торби? Тук ще помислим, че същите общо 42 килограма могат да бъдат получени, ако изсипем 6 торби от 7 килограма на купчина. И това означава, че когато разделим 42 килограма на 6 торби по равно, получаваме 7 килограма в една торба.

Ами ако разделите 42 килограма по равно на 3 торби? И тук също започваме да избираме число, което, умножено по 3, ще даде 42. За „таблични“ стойности, както в случая на 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, извършваме разделянето операция просто чрез извикване на таблицата за умножение. За по-сложни случаи се използва разделяне на колони, за което ще стане дума в някоя от следващите статии. В случай на 3 и 42 можете да „изберете“, за да запомните, че 3 · 14 = 42. Това означава 42:3 = 14. Всеки чувал ще съдържа 14 килограма.

Сега нека се опитаме да разделим 42 килограма по равно на 5 торби. 42:5=?
Забелязваме, че 5 · 8 = 40 (малко) и 5 ​​· 9 = 45 (много). Тоест няма да получим 42 килограма от 5 торби, нито 8 килограма в торба, нито 9 килограма. В същото време е ясно, че реално нищо не ни пречи да разделим всяко количество (зърнени култури например) на 5 равни части.

Операцията за деление на цели числа едно на друго не води непременно до цяло число. Така стигнахме до понятието дроби. 42:5 = 42/5 = 8 цяло 2/5 (ако се брои в обикновени дроби) или 42:5 = 8,4 (ако се брои в десетични дроби).

Обикновени и десетични дроби

Можем да кажем, че всяка обикновена дроб m/n (m е всяко цяло число, n е всяко естествено число) е просто специална форма на запис на резултата от деленето на числото m на числото n. (m се нарича числител на дробта, n е знаменател) Резултатът от деленето например на числото 25 на числото 5 може да се запише и като обикновена дроб 25/5. Но това не е необходимо, тъй като резултатът от деленето на 25 на 5 може просто да бъде записан като цяло число 5. (И 25/5 = 5). Но резултатът от разделянето на числото 25 на числото 3 вече не може да бъде представен като цяло число, така че тук възниква необходимостта да се използва дроб, 25:3 = 25/3. (Можете да разграничите цялата част 25/3 = 8 цяло 1/3. Обикновените дроби и операциите с обикновени дроби ще бъдат разгледани по-подробно в следващите статии.)

Хубавото на обикновените дроби е, че за да представите резултата от разделянето на произволни две цели числа като такава дроб, просто трябва да напишете дивидент в числителя на дробта и делителя в знаменателя. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) След това, ако е възможно, намалете дроба и/или маркирайте цялата част (тези действия с обикновени дроби ще бъдат разгледани подробно в следващите статии). Проблемът е, че извършването на аритметични операции (събиране, изваждане) с обикновени дроби вече не е толкова удобно, колкото с цели числа.

За удобство на писане (в един ред) и за удобство на изчисления (с възможност за изчисления в колона, както при обикновените цели числа), освен обикновените дроби, са измислени и десетични дроби. Десетичната дроб е специално написана обикновена дроб със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. Например обикновената дроб 7/10 е същата като десетичната дроб 0,7. (8/100 = 0,08; 2 цяло 3/10 = 2,3; 7 цяло 1/1000 = 7 001). Отделна статия ще бъде посветена на преобразуването на обикновени дроби в десетични и обратно. Действия с десетични дроби - други статии.

Всяко цяло число може да бъде представено като обикновена дроб със знаменател 1. (5=5/1; −765=−765/1).

определение: Всички числа, които могат да бъдат представени като дроб, се наричат ​​рационални числа. Множеството от рационални числа се обозначава с буквата Q.

При деление на произволни две цели числа едно на друго (освен при деление на 0), резултатът винаги ще бъде рационално число. За обикновените дроби има правила за събиране, изваждане, умножение и деление, които ви позволяват да извършите съответната операция с произволни две дроби и също така да получите рационално число (дроб или цяло число) като резултат.

Наборът от рационални числа е първият от наборите, които разгледахме, в който можете да събирате, изваждате, умножавате и делите (с изключение на деленето на 0), като никога не излизате извън границите на този набор (т.е. винаги получавате рационален число като резултат).

Изглежда, че няма други числа; всички числа са рационални. Но и това не е вярно.

Реални числа

Има числа, които не могат да бъдат представени като дроб m/n (където m е цяло число, n е естествено число).

Какви са тези числа? Все още не сме разгледали операцията за степенуване. Например 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Точно както умножението е по-удобна форма за писане и изчисляване на събиране, така степенуването е форма за записване на умножението на едно и също число само по себе си определен брой пъти.

Но сега нека разгледаме обратната операция на повдигане на степен - извличане на корена. Корен квадратен от 16 е число, което при повдигане на квадрат дава 16, тоест числото 4. Корен квадратен от 9 е 3. Но корен квадратен от 5 или 2, например, не може да бъде представен с рационално число. (Доказателството за това твърдение, други примери за ирационални числа и тяхната история могат да бъдат намерени например в Wikipedia)

В GIA в 9 клас има задача да се определи дали число, съдържащо корен в записа си, е рационално или ирационално. Задачата е да се опитате да преобразувате това число във форма, която не съдържа корен (използвайки свойствата на корените). Ако не можете да се отървете от корена, тогава числото е ирационално.

Друг пример за ирационално число е числото π, познато на всички от геометрията и тригонометрията.

определение: Рационалните и ирационалните числа заедно се наричат ​​реални (или реални) числа. Множеството от всички реални числа се обозначава с буквата R.

В реални числа, за разлика от рационални числа, можем да изразим разстоянието между всеки две точки на права или равнина.
Ако начертаете права линия и изберете две произволни точки на нея или изберете две произволни точки на равнина, може да се окаже, че точното разстояние между тези точки не може да бъде изразено като рационално число. (Пример - хипотенузата на правоъгълен триъгълник с катети 1 и 1, според Питагоровата теорема, ще бъде равна на корен от две - тоест ирационално число. Това включва и точната дължина на диагонала на тетрадна клетка (дължината на диагонала на всеки идеален квадрат с цели страни).)
И в множеството от реални числа всякакви разстояния на права, в равнина или в пространството могат да бъдат изразени чрез съответното реално число.