Нека бъде Л- произволно линейно пространство, a и Î Лса неговите елементи (вектори).

Определение 3.3.1.Изразяване , където , - произволни реални числа, наречени линейна комбинация векториа 1, а 2,…, а н.

Ако векторът Р = , тогава те казват това Р разложени на векториа 1, а 2,…, а н.

Определение 3.3.2.Линейна комбинация от вектори се нарича нетривиален, ако сред числата има поне едно, различно от нула. В противен случай се извиква линейната комбинация тривиално.

Определение 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a нсе наричат ​​линейно зависими, ако съществува нетривиална линейна комбинация от тях, такава че

= 0 .

Определение 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,…, a нсе наричат ​​линейно независими, ако равенството = 0 възможно само ако всички числа л 1, л 2,…, l nса едновременно нула.

Обърнете внимание, че всеки ненулев елемент a 1 може да се разглежда като линейно независима система, тъй като равенството ла 1 = 0 възможно само при условие л= 0.

Теорема 3.3.1.Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост a 1 , a 2 ,…, a не възможността за разлагане на поне един от тези елементи в останалите.

Доказателство. Трябва. Нека елементи a 1 , a 2 ,..., a нлинейно зависими. Означава, че = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, l nразличен от нула. Нека за определеност л 1 ¹ 0. Тогава

т.е. елемент a 1 се разлага на елементи a 2 , a 3 , …, a н.

Адекватност. Нека елемент a 1 се разложи на елементи a 2 , a 3 , …, a н, т.е. a 1 = . Тогава = 0 следователно има нетривиална линейна комбинация от вектори a 1 , a 2 ,..., a нравна на 0 , така че те са линейно зависими .

Теорема 3.3.2. Ако поне един от елементите a 1 , a 2 ,..., a ннула, то тези вектори са линейно зависими.

Доказателство . Нека бъде а н= 0 , след това = 0 , което означава линейната зависимост на посочените елементи.

Теорема 3.3.3. Ако сред n вектора някое p (стр< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказателство. Нека за определеност елементите a 1 , a 2 ,..., a стрлинейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, такава че = 0 . Посоченото равенство ще се запази, ако добавим елемента към двете му части. Тогава + = 0 , докато поне едно от числата л 1, л 2,…, lpразличен от нула. Следователно векторите a 1 , a 2 ,…, a нса линейно зависими.

Следствие 3.3.1.Ако n елемента са линейно независими, тогава всеки k от тях е линейно независим (k< n).

Теорема 3.3.4. Ако векторитеа 1, а 2,…, а н- 1 са линейно независими, а елементитеа 1, а 2,…, а н- 1 , а n са линейно зависими, тогава векторъта n може да се разложи на векториа 1, а 2,…, а н- 1 .

Доказателство.Тъй като по условие a 1 , a 2 ,…, а н- 1 , а н са линейно зависими, тогава съществува нетривиална линейна комбинация от тях = 0 , и (в противен случай векторите a 1 , a 2 ,…, a н-едно). Но тогава векторът

,

Q.E.D.

Системата от вектори се нарича линейно зависими, ако има такива числа , сред които поне едно е различно от нула, че равенството https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ако това равенство е валидно само ако всички , тогава системата от вектори се нарича линейно независими.

Теорема.Системата от вектори ще линейно зависимиако и само ако поне един от векторите му е линейна комбинация от останалите.

Пример 1Полином е линейна комбинация от полиноми https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Полиномите представляват линейно независима система, тъй като https полином: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Пример 2Матричната система , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> е линейно независима, тъй като линейната комбинация е равна на нулева матрица само в когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависими.

Решение.

Съставете линейна комбинация от тези вектори https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" височина =" 22">.

Приравнявайки едноименните координати на равни вектори, получаваме https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Най-накрая получаваме

и

Системата има уникално тривиално решение, така че линейната комбинация от тези вектори е нула само ако всички коефициенти са нула. Следователно тази система от вектори е линейно независима.

Пример 4Векторите са линейно независими. Какви ще бъдат системите от вектори

а).;

б).?

Решение.

а).Съставете линейна комбинация и я приравнете на нула

Използвайки свойствата на операциите с вектори в линейно пространство, пренаписваме последното равенство във формата

Тъй като векторите са линейно независими, коефициентите за трябва да са равни на нула, т.е.gif" width="12" height="23 src=">

Получената система от уравнения има уникално тривиално решение .

Тъй като равенството (*) изпълнява се само на https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимо;

б).Съставете равенството https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Прилагайки подобни разсъждения, получаваме

Решавайки системата от уравнения по метода на Гаус, получаваме

или

Последната система има безкраен брой решения https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. По този начин има не- нулев набор от коефициенти, за които равенството (**) . Следователно системата от вектори е линейно зависима.

Пример 5Векторната система е линейно независима, а векторната система е линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

В равенството (***) . Всъщност за , системата би била линейно зависима.

От връзката (***) получаваме или Означете .

Вземи

Задачи за самостоятелно решаване (в класната стая)

1. Система, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.

2. Едновекторна система а, е линейно зависима, ако и само ако, a=0.

3. Система, състояща се от два вектора, е линейно зависима, ако и само ако векторите са пропорционални (тоест, единият от тях се получава от другия чрез умножение по число).

4. Ако към линейно зависима система се добави вектор, тогава се получава линейно зависима система.

5. Ако вектор се отстрани от линейно независима система, тогава получената система от вектори е линейно независима.

6. Ако системата Слинейно независим, но става линейно зависим, когато се добави вектор б, след това векторът блинейно изразени по отношение на векторите на системата С.

° С).Системата от матрици , , в пространството на матрици от втори ред.

10. Нека системата от вектори а,б,° Свекторното пространство е линейно независимо. Докажете линейната независимост на следните системи от вектори:

а).а+б, б, в.

б).а+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–произволно число

° С).а+b, a+c, b+c.

11. Нека бъде а,б,° Сса три вектора в равнината, които могат да се използват за образуване на триъгълник. Ще бъдат ли тези вектори линейно зависими?

12. Дадени са два вектора a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Вземете още два 4D вектора a3 иа4така че системата а1,а2,а3,а4беше линейно независим .

а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Решение.Търсим общо решение на системата от уравнения

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

метод на Гаус. За да направите това, ние записваме тази хомогенна система в координати:

Системна матрица

Разрешената система изглежда така: (р А = 2, н= 3). Системата е последователна и недефинирана. Неговото общо решение ( х 2 - свободна променлива): х 3 = 13х 2 ; 3х 1 – 2х 2 – 13х 2 = 0 => х 1 = 5х 2 => х o = . Наличието на ненулево частно решение, например, показва, че векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно зависими.

Пример 2

Разберете дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима:

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Решение.Да разгледаме хомогенната система от уравнения а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

или разширено (по координати)

Системата е хомогенна. Ако не е изродено, то има уникално решение. В случай на хомогенна система, нулевото (тривиално) решение. Следователно в този случай системата от вектори е независима. Ако системата е изродена, тогава тя има ненулеви решения и следователно е зависима.

Проверка на системата за дегенерация:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Системата е неизродена и следователно векторите а 1 , а 2 , а 3 са линейно независими.

Задачи.Разберете дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима:

1. а 1 = { -4, 2, 8 }, а 2 = { 14, -7, -28 }.

2. а 1 = { 2, -1, 3, 5 }, а 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. а 1 = { -7, 5, 19 }, а 2 = { -5, 7 , -7 }, а 3 = { -8, 7, 14 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

5. а 1 = { 1, 8 , -1 }, а 2 = { -2, 3, 3 }, а 3 = { 4, -11, 9 }.

6. а 1 = { 1, 2 , 3 }, а 2 = { 2, -1 , 1 }, а 3 = { 1, 3, 4 }.

7. а 1 = {0, 1, 1 , 0}, а 2 = {1, 1 , 3, 1}, а 3 = {1, 3, 5, 1}, а 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. а 1 = {-1, 7, 1 , -2}, а 2 = {2, 3 , 2, 1}, а 3 = {4, 4, 4, -3}, а 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Докажете, че система от вектори ще бъде линейно зависима, ако съдържа:

а) два равни вектора;

б) два пропорционални вектора.

Вектори, техните свойства и действия с тях

Вектори, действия с вектори, линейно векторно пространство.

Векторите са подредена колекция от краен брой реални числа.

Действия: 1. Умножаване на вектор по число: lambda * вектор x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 = (9, 12, 0.21 )

2. Добавяне на вектори (те принадлежат към едно и също векторно пространство) вектор x + вектор y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерен (линейно пространство) вектор x + вектор 0 = вектор x

Теорема. За да бъде линейно зависима система от n вектора в n-мерно линейно пространство, е необходимо и достатъчно един от векторите да е линейна комбинация от останалите.

Теорема. Всяко множество от n+ 1-ви вектор от n-мерно линейно пространство yavl. линейно зависими.

Събиране на вектори, умножение на вектори по числа. Изваждане на вектори.

Сборът от два вектора е векторът, насочен от началото на вектора към края на вектора, при условие че началото съвпада с края на вектора. Ако векторите са дадени от техните разширения по отношение на базисни вектори, тогава добавянето на векторите добавя съответните им координати.

Нека разгледаме това като използваме примера на декартова координатна система. Нека бъде

Нека покажем това

Фигура 3 показва това

Сборът от произволен краен брой вектори може да бъде намерен с помощта на правилото за многоъгълника (фиг. 4): за да се конструира сумата от краен брой вектори, достатъчно е началото на всеки следващ вектор да се съпостави с края на предишния и построете вектор, свързващ началото на първия вектор с края на последния.

Свойства на операцията за събиране на вектори:

В тези изрази m, n са числа.

Разликата на векторите се нарича вектор.Вторият член е вектор, противоположен на вектора по посока, но равен на него по дължина.

По този начин операцията за векторно изваждане се заменя с операция за събиране

Векторът, чието начало е в началото на координатите, а краят в точката A (x1, y1, z1), се нарича радиус вектор на точка A и се обозначава или просто. Тъй като нейните координати съвпадат с координатите на точка А, нейното разширение по вектори има формата

Вектор, започващ в точка A(x1, y1, z1) и завършващ в точка B(x2, y2, z2), може да се запише като

където r 2 е радиус вектор на точка B; r 1 - радиус вектор на точка А.

Следователно разширяването на вектора по отношение на ортове има формата

Дължината му е равна на разстоянието между точки А и В

УМНОЖЕНИЕ

Така че в случай на плоска задача, произведението на вектор от a = (ax; ay) и число b се намира по формулата

a b = (ax b; ay b)

Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2) по 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Така че в случай на пространствен проблем, произведението на вектора a = (ax; ay; az) и числото b се намира по формулата

a b = (ax b; ay b; az b)

Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2; -5) по 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Точково произведение на вектори и където е ъгълът между векторите и ; ако и , тогава

От определението на скаларното произведение следва, че

където, например, е стойността на проекцията на вектора върху посоката на вектора .

Скаларен квадрат на вектор:

Свойства на точковия продукт:

Точков продукт в координати

Ако тогава

Ъгъл между векторите

Ъгъл между векторите - ъгълът между посоките на тези вектори (най-малкият ъгъл).

Векторен продукт (Векторният продукт на два вектора.)-е псевдовектор, перпендикулярен на равнината, конструиран от два фактора, който е резултат от двоичната операция "умножение на вектори" върху вектори в триизмерно евклидово пространство. Продуктът не е нито комутативен, нито асоциативен (той е антикомутативен) и е различен от точковото произведение на векторите. При много инженерни и физически проблеми е необходимо да може да се изгради вектор, перпендикулярен на два съществуващи – векторният продукт предоставя тази възможност. Напречното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на векторите - дължината на напречното произведение на два вектора е равна на произведението на дължините им, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Векторното произведение се дефинира само в триизмерни и седеммерни пространства. Резултатът от векторното произведение, подобно на скаларното произведение, зависи от метриката на евклидовото пространство.

За разлика от формулата за изчисляване на скаларното произведение от координатите на векторите в триизмерна правоъгълна координатна система, формулата за векторното произведение зависи от ориентацията на правоъгълната координатна система или, с други думи, нейната „хиралност“

Колинеарност на векторите.

Два ненулеви (не равни на 0) вектора се наричат ​​колинеарни, ако лежат на успоредни прави или на една и съща права. Допускаме, но не се препоръчва, синоним - "паралелни" вектори. Колинеарните вектори могат да бъдат насочени в една и съща посока („ко-насочени“) или противоположно насочени (в последния случай понякога се наричат ​​„антиколинеарни“ или „антипаралелни“).

Смесен продукт на вектори ( а, б, в)- скаларно произведение на вектор a и векторно произведение на вектори b и c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

понякога се нарича тройно точково произведение на векторите, очевидно поради факта, че резултатът е скалар (по-точно псевдоскалар).

Геометрично значение: Модулът на смесеното произведение е числено равен на обема на паралелепипеда, образуван от векторите (а, б, в) .

Имоти

Смесеният продукт е косо-симетричен по отношение на всичките си аргументи: т.е. д. пермутация на всеки два фактора променя знака на произведението. От това следва, че смесеното произведение в дясната декартова координатна система (в ортонормирана основа) е равно на детерминантата на матрицата, съставена от векторите и:

Смесеният продукт в лявата декартова координатна система (в ортонормирана основа) е равен на детерминантата на матрица, съставена от вектори и взета със знак минус:

По-специално,

Ако всеки два вектора са успоредни, то с всеки трети вектор те образуват смесено произведение, равно на нула.

Ако три вектора са линейно зависими (т.е. компланарни, лежат в една и съща равнина), тогава тяхното смесено произведение е нула.

Геометричен смисъл - Смесеният продукт по абсолютна стойност е равен на обема на паралелепипеда (виж фигурата), образуван от векторите и; знакът зависи от това дали тази тройка от вектори е дясна или лява.

Компланарност на векторите.

Три вектора (или повече) се наричат ​​компланарни, ако те, сведени до общ произход, лежат в една и съща равнина

Свойства на компланарност

Ако поне един от трите вектора е нула, тогава трите вектора също се считат за компланарни.

Тройка вектори, съдържаща двойка колинеарни вектори, е компланарна.

Смесено произведение на компланарни вектори. Това е критерий за компланарност на три вектора.

Копланарните вектори са линейно зависими. Това също е критерий за копланарност.

В 3-измерното пространство 3 некомпланарни вектора образуват основа

Линейно зависими и линейно независими вектори.

Линейно зависими и независими системи от вектори.Определение. Системата от вектори се нарича линейно зависими, ако има поне една нетривиална линейна комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор. В противен случай, т.е. ако само тривиална линейна комбинация от дадени вектори е равна на нулевия вектор, векторите се извикват линейно независими.

Теорема (критерий за линейна зависимост). За да бъде система от вектори в линейно пространство линейно зависима, е необходимо и достатъчно поне един от тези вектори да е линейна комбинация от останалите.

1) Ако сред векторите има поне един нулев вектор, тогава цялата система от вектори е линейно зависима.

Всъщност, ако, например, , тогава, ако приемем, че имаме нетривиална линейна комбинация .▲

2) Ако някои от векторите образуват линейно зависима система, тогава цялата система е линейно зависима.

Наистина, нека векторите , , са линейно зависими. Следователно съществува нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор. Но тогава, ако приемем , получаваме и нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор.

2. Основа и измерение. Определение. Система от линейно независими вектори векторното пространство се нарича основатова пространство, ако някой вектор от може да бъде представен като линейна комбинация от векторите на тази система, т.е. за всеки вектор има реални числа така че равенството е в сила. Това равенство се нарича векторно разлаганеспоред основата и числата Наречен векторни координати спрямо основата(или в основата) .

Теорема (за уникалността на разширението по отношение на основата). Всеки космически вектор може да бъде разширен по отношение на основата по уникален начин, т.е. координати на всеки вектор в основата са определени недвусмислено.

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В публиката има количка с шоколадови бонбони, а днес всеки посетител ще получи сладка двойка – аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела на висшата математика и ще видим как те се разбират в една обвивка. Направете почивка, яжте Twix! ... по дяволите, добре, спорещи глупости. Макар че добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да има положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна независимост на векторите, векторна основаи други термини имат не само геометрична интерпретация, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие "вектор" от гледна точка на линейната алгебра далеч не винаги е "обикновеният" вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте да нарисувате вектор от петизмерно пространство . Или метеорологичния вектор, за който току-що ходих в Gismeteo: - температура и съответно атмосферно налягане. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява да се формализират тези параметри като вектор. Дъхът на есента...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и др.) са приложими за всички вектори от алгебрична гледна точка, но примерите ще бъдат дадени геометрично. Така всичко е просто, достъпно и визуално. Освен проблемите на аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи на алгебрата. За овладяване на материала е препоръчително да се запознаете с уроците Вектори за манекении Как да изчислим детерминанта?

Линейна зависимост и независимост на плоските вектори.
Равнина и афинна координатна система

Помислете за равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че интуитивно е ясно, че са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа задайте координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички елементи в таблицата.

Не се учудвайте, отначало обясненията ще са на пръсти. Освен това на твоя. Моля, поставете показалец на лявата ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място малкия пръст на дясната ръкана ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво може да се каже за векторите? Вектори на данни колинеарна, което означава линейноизразени един през друг:
, добре, или обратно: , където е ненулево число.

Можете да видите снимка на това действие в урока. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножаване на вектор по число.

Ще поставят ли пръстите ви основата върху равнината на компютърната маса? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред-назад сампосока, докато равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения, изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и т.н. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Кръстосайте пръстите си върху масата, така че да има някакъв ъгъл между тях, освен 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинейно неса зависими само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се смущавате, че основата се оказа "наклонена" с неперпендикулярни вектори с различни дължини. Съвсем скоро ще видим, че за изграждането му е подходящ не само ъгъл от 90 градуса, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинразширено по отношение на основата:
, където са реалните числа . Извикват се числа векторни координатина тази основа.

Те също така казват векторпредставени във формата линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганеосноваили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, може да се каже, че един вектор е разширен в ортонормирана основа на равнината, или може да се каже, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме основна дефиницияформално: плоска основае двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиравнинният вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Същественият момент на дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. бази Това са две напълно различни бази! Както се казва, малкият пръст на лявата ръка не може да се премести на мястото на малкия пръст на дясната ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатната мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се движат по цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни точки на масата, останали от див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава референтна точка е точка, позната на всички - произходът на координатите. Разбиране на координатната система:

Ще започна с "училищната" система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои от разликите между правоъгълна координатна система и ортонормирана основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорим за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават начало, координатни оси и мащаб по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за координатните оси, познати от 5-6 клас и как да начертаете точки в равнина.

От друга страна, се създава впечатлението, че правоъгълна координатна система може да бъде добре дефинирана от гледна точка на ортонормирана основа. И почти е така. Формулировката гласи така:

произход, и ортонормалноосновен комплект Декартова координатна система на равнината . Тоест правоъгълна координатна система определеносе дефинира от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо, виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но далеч не винаги) се рисуват както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (произход) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЯКАКЪВ ВЕКТОР на равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Трябва ли координатните вектори да са единични? Не, те могат да имат произволна дължина, различна от нула. Помислете за точка и два ортогонални вектора с произволна дължина, различна от нула:

Такава основа се нарича ортогонална. Началото на координатите с вектори определя координатната мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има свои собствени координати в дадената основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори общо взетоимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормирана основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните бази на равнината и пространството се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по абсцисата съдържа 4 см, една единица по ординатата съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразува „нестандартните“ координати в „обичайните ни сантиметри“, ако е необходимо.

И вторият въпрос, на който всъщност вече е отговорено - ъгълът между базисните вектори задължително ли е равен на 90 градуса? Не! Както се казва в определението, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всякакъв, освен 0 и 180 градуса.

Точка от самолета се обади произход, и неколинеарнивектори, , комплект афинна координатна система на равнината :

Понякога тази координатна система се нарича наклоненасистема. Точките и векторите са показани като примери на чертежа:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна, формулите за дължините на векторите и сегментите, които разгледахме във втората част на урока, не работят в нея. Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларен продукт на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножение на вектор по число са валидни, формулите за разделяне на сегмент в това отношение, както и някои други видове проблеми, които скоро ще разгледаме.

И заключението е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Затова тя, нейната, най-често трябва да се вижда. ... Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които е подходящо да има наклон (или някакъв друг, напр. полярни) координатна система. Да, и хуманоидите такива системи могат да дойдат на вкус =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълна координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарността на плоските вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.По същество това е прецизиране по координати на очевидната връзка.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
b) Векторите формират ли основа? ?

решение:
а) Разберете дали съществува за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенства:

Със сигурност ще ви разкажа за „фописката“ версия на прилагането на това правило, която работи доста добре на практика. Идеята е веднага да начертаете пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Съкращаваме:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да се направи и обратно, това е еквивалентен вариант:

За самостоятелно тестване може да се използва фактът, че колинеарните вектори се изразяват линейно един през друг. В този случай има равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два плоски вектора образуват основа, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме вектори за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , което означава, системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват база.

Опростената версия на решението изглежда така:

Съставете пропорцията от съответните координати на векторите :
, следователно тези вектори са линейно независими и образуват база.

Обикновено рецензентите не отхвърлят тази опция, но проблем възниква в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . или така: . или така: . Как да работите чрез пропорцията тук? (Наистина, не можете да разделите на нула). Именно поради тази причина нарекох опростеното решение "foppish".

Отговор:а) , б) форма.

Малък творчески пример за независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на векторите на параметрите ще бъде колинеарен?

В разтвора на пробата параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме нашите знания и просто ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите формират основа;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

респективно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват основа;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам, че в момента вече разбирате всички термини и твърдения, които сте срещали.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни, ако и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да използвате тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

ние ще решимПример 1 по втория начин:

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, така че тези вектори са колинеарни.

б) Два плоски вектора образуват основа, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, следователно векторите са линейно независими и образуват база.

Отговор:а) , б) форма.

Изглежда много по-компактен и по-красив от решението с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже успоредността на сегменти, прави линии. Помислете за няколко проблема с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да се изгражда чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Запомнете определението на паралелограма:
Паралелограм Четириъгълник се нарича, в който противоположните страни са по двойки успоредни.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) успоредност на противоположните страни и .

Ние доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училище“ - равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре да вземете решението правилно, с подредбата. Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:
, така че тези вектори са колинеарни, и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълника са успоредни по двойки, така че това е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да се получи определението за трапец, но е достатъчно само да си спомним как изглежда.

Това е задача за самостоятелно решение. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се придвижите от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да са колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални на.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

а) ;
б)
в)

решение:
а) Проверете дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се прави чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Има метод за проверка на пространствените вектори за колинеарност и чрез детерминанта от трети порядък този метод е разгледан в статията Кръстосано произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелизма на пространствените сегменти и линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на триизмерните пространствени вектори.
Пространствена основа и афинна координатна система

Много от закономерностите, които разгледахме в самолета, ще важат и за космоса. Опитах се да сведа до минимум обобщението на теорията, тъй като лъвският дял от информацията вече е сдъвкан. Въпреки това ви препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърната маса, нека разгледаме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да се измъкнем от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за изграждане на основата са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разперете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, не е нужно да демонстрирате това на учителите, без значение как извивате пръстите си, но не можете да се измъкнете от дефинициите =)

След това задаваме важен въпрос, дали някакви три вектора образуват основа на триизмерно пространство? Моля, натиснете здраво три пръста върху плота на компютъра. Какво стана? Три вектора са разположени в една и съща равнина и, грубо казано, загубихме едно от измерванията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че компланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (само не правете това с пръсти, само Салвадор Дали излезе така =)).

Определение: се наричат ​​вектори компланаренако съществува равнина, на която те са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са компланарни.

Три компланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те се изразяват линейно един през друг. За простота отново си представете, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите са не само компланарни, но могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (и защо е лесно да се отгатне от материалите от предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест те по никакъв начин не се изразяват един през друг. И, очевидно, само такива вектори могат да формират основата на триизмерно пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен ред, докато всеки вектор на пространството единствения начинразширява се в дадената основа , където са координатите на вектора в дадената основа

Като напомняне, можете също да кажете, че векторът е представен като линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както за равнинния случай, една точка и всеки три линейно независими вектора са достатъчни:

произход, и некомпланаренвектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на триизмерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е "наклонена" и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява да определеноопределя координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка от пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всеки може да се досети, е правоъгълна пространствена координатна система:

точка в пространството, наречена произход, и ортонормалноосновен комплект Декартова координатна система на пространството . позната снимка:

Преди да пристъпим към практическите задачи, отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите формират основа;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Противоположните твърдения, мисля, са разбираеми.

Линейната зависимост/независимостта на пространствените вектори традиционно се проверява с детерминанта (т. 5). Останалите практически задачи ще имат ясно изразен алгебричен характер. Време е да окачите геометрична пръчка на пирон и да размахате бейзболна бухалка по линейна алгебра:

Три космически вектораса компланарни, ако и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам вниманието ви на малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминанта няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За тези читатели, които са забравили малко методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо са зле ориентирани, препоръчвам един от най-старите си уроци: Как да изчислим детерминанта?

Пример 6

Проверете дали следните вектори образуват основа на триизмерно пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминанта.

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата се разширява на първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не компланарни) и формират основата на триизмерно пространство.

Отговор: тези вектори формират основата

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат компланарни?

Решение: Векторите са компланарни, ако и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:

По същество се изисква да се реши уравнение с детерминант. Ние летим в нули като хвърчила в джербои - най-изгодно е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: в

Лесно е да се провери тук, за това трябва да замените получената стойност в оригиналния детерминант и да се уверите, че като го отворите отново.

В заключение, нека разгледаме друг типичен проблем, който е по-скоро от алгебричен характер и традиционно се включва в курса на линейната алгебра. Толкова е разпространено, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора образуват основа на триизмерно пространство
и намерете координатите на 4-ти вектор в дадената основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват основа на триизмерно пространство и намерете координатите на вектора в тази база.

Решение: Нека първо да се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някаква основа. Каква е основата - не ни интересува. И следното нещо представлява интерес: три вектора може да образуват нова основа. И първата стъпка е напълно същата като решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите наистина са линейно независими:

Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:

, следователно векторите са линейно независими и образуват основа на триизмерно пространство.

! Важно : векторни координати задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не низове. В противен случай ще има объркване в алгоритъма за по-нататъшно решение.