Примери за транслационно движение по криволинейна траектория. Движение на тяло по криволинейна траектория

6. криволинейно движение. Ъглово преместване, ъглова скорост и ускорение на тялото. Път и изместване при криволинейно движение на тялото.

Криволинейно движение- това е движение, чиято траектория е крива линия (например окръжност, елипса, хипербола, парабола). Пример за криволинейно движение е движението на планетите, края на стрелката на часовника върху циферблата и т.н. Общо взето криволинейна скоростпромени в размера и посоката.

Криволинейно движение на материална точкасе счита за равномерно движение, ако модулът скорост постоянен (например равномерно движение в кръг) и равномерно ускорен, ако модулът и посоката скорост промени (например движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта).

Ориз. 1.19. Траектория и вектор на преместване при криволинейно движение.

При движение по извита пътека вектор на изместване насочени по акорда (фиг. 1.19), и л- дължина траектории . Моментната скорост на тялото (тоест скоростта на тялото в дадена точка от траекторията) е насочена тангенциално към тази точка от траекторията, където в момента се намира движещото се тяло (фиг. 1.20).

Ориз. 1.20. Моментна скорост при криволинейно движение.

Криволинейното движение винаги е ускорено движение. Това е криволинейно ускорениевинаги присъства, дори ако модулът на скоростта не се променя, а се променя само посоката на скоростта. Промяната в скоростта за единица време е тангенциално ускорение :

или

Където v τ , v 0 са скоростите в момента T 0 + Δtи T 0 съответно.

Тангенциално ускорение в дадена точка от траекторията посоката съвпада с посоката на скоростта на тялото или е противоположна на нея.

Нормално ускорение е промяната на скоростта в посоката за единица време:

Нормално ускорениенасочени по радиуса на кривината на траекторията (към оста на въртене). Нормалното ускорение е перпендикулярно на посоката на скоростта.

центростремително ускорениее нормалното ускорение за равномерно кръгово движение.

Пълно ускорение с еднакво променливо криволинейно движение на тялотосе равнява:

Движението на тяло по криволинейна траектория може да се представи приблизително като движение по дъгите на някои окръжности (фиг. 1.21).

Ориз. 1.21. Движението на тялото при криволинейно движение.

Криволинейно движение

Криволинейни движения- движения, чиито траектории не са прави, а криви линии. Планетите и речните води се движат по криволинейни траектории.

Криволинейното движение е винаги движение с ускорение, дори ако абсолютната стойност на скоростта е постоянна. Криволинейното движение с постоянно ускорение се осъществява винаги в равнината, в която са разположени векторите на ускорението и началните скорости на точката. В случай на криволинейно движение с постоянно ускорение в равнината xOyпрогнози v хи v гскоростта му по оста воли ойи координати хи гточки по всяко време Tопределя се по формулите

Специален случай на криволинейно движение е кръговото движение. Кръговото движение, дори равномерно, винаги е ускорено движение: модулът на скоростта винаги е насочен тангенциално към траекторията, постоянно променяйки посоката, така че кръговото движение винаги се случва с центростремително ускорение, където rе радиусът на окръжността.

Векторът на ускорението при движение по окръжност е насочен към центъра на окръжността и перпендикулярен на вектора на скоростта.

При криволинейно движение ускорението може да се представи като сума от нормалните и тангенциалните компоненти:

Нормалното (центростремително) ускорение е насочено към центъра на кривината на траекторията и характеризира промяната в скоростта в посоката:

v-мигновена скорост, rе радиусът на кривината на траекторията в дадена точка.

Тангенциалното (тангенциалното) ускорение е насочено тангенциално към траекторията и характеризира промяната в скоростта по модул.

Общото ускорение, с което се движи материална точка, е равно на:

В допълнение към центростремителното ускорение, най-важните характеристики на равномерното движение в кръг са периодът и честотата на въртене.

Период на циркулацияе времето, необходимо на тялото да извърши един оборот .

Периодът се обозначава с буквата Tв) и се определя по формулата:

където T- време за изпълнение П- броят на оборотите, направени през това време.

Честота на циркулация- това е стойност, числено равна на броя на оборотите, направени за единица време.

Честотата се обозначава с гръцката буква (nu) и се намира по формулата:

Честотата се измерва в 1/s.

Периодът и честотата са взаимно обратни величини:

Ако тяло, движещо се в кръг със скорост v,прави един оборот, тогава пътят, изминат от това тяло, може да бъде намерен чрез умножаване на скоростта vза един завой:

l = vT.От друга страна, този път е равен на обиколката 2π r. Ето защо

vT= 2π г,

където w(от -1) - ъглова скорост.

При постоянна честота на въртене центростремителното ускорение е право пропорционално на разстоянието от движещата се частица до центъра на въртене.

Ъглова скорост (w) е стойност, равна на съотношението на ъгъла на завъртане на радиуса, върху който се намира въртящата се точка, към интервала от време, през който се е случило това завъртане:

.

Връзка между линейна и ъглова скорост:

Движението на тялото може да се счита за известно само когато е известно как се движи всяка негова точка. Най-простото движение на твърдите тела е транслационно. Преводаческинаречено движение на твърдо тяло, при което всяка права линия, начертана в това тяло, се движи успоредно на себе си.

Вие добре знаете, че в зависимост от формата на траекторията движението се разделя на праволинеени криволинейна. Научихме се как да работим с праволинейно движение в предишни уроци, а именно да решим основния проблем на механиката за този тип движение.

Ясно е обаче, че в реалния свят най-често имаме работа с криволинейно движение, когато траекторията е крива линия. Примери за такова движение са траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, движението на Земята около Слънцето и дори траекторията на очите ви, които сега следват тази абстракция.

Този урок ще бъде посветен на въпроса как се решава основният проблем на механиката в случай на криволинейно движение.

Като начало нека определим какви фундаментални разлики има криволинейното движение (фиг. 1) спрямо праволинейното и до какво водят тези разлики.

Ориз. 1. Траектория на криволинейното движение

Нека да поговорим как е удобно да се опише движението на тяло по време на криволинейно движение.

Можете да разделите движението на отделни участъци, на всеки от които движението може да се счита за праволинейно (фиг. 2).

Ориз. 2. Разделяне на криволинейно движение на сегменти на праволинейно движение

Следният подход обаче е по-удобен. Ще представим това движение като набор от няколко движения по дъги от окръжности (фиг. 3). Имайте предвид, че има по-малко такива дялове, отколкото в предишния случай, освен това движението по окръжността е криволинейно. Освен това примерите за движение в кръг в природата са много чести. От това можем да заключим:

За да се опише криволинейно движение, човек трябва да се научи да описва движение по окръжност и след това да представи произволно движение като набор от движения по дъги от окръжности.

Ориз. 3. Разделяне на криволинейно движение на движения по дъги от окръжности

И така, нека започнем изучаването на криволинейното движение с изследването на равномерното движение в кръг. Нека видим какви са основните разлики между криволинейното и праволинейното движение. Като начало нека припомним, че в девети клас изучавахме факта, че скоростта на тялото при движение по окръжност е насочена тангенциално към траекторията (фиг. 4). Между другото, можете да наблюдавате този факт на практика, ако погледнете как се движат искрите при използване на точило.

Да разгледаме движението на тяло по кръгова дъга (фиг. 5).

Ориз. 5. Скоростта на тялото при движение в кръг

Моля, имайте предвид, че в този случай модулът на скоростта на тялото в точката е равен на модула на скоростта на тялото в точката:

Въпреки това, векторът не е равен на вектора. И така, имаме вектор на разликата в скоростта (фиг. 6):

Ориз. 6. Вектор на разликата в скоростта

Освен това промяната в скоростта настъпи след известно време. Така получаваме познатата комбинация:

Това не е нищо повече от промяна в скоростта за определен период от време или ускорение на тялото. Можем да направим един много важен извод:

Движението по извита пътека се ускорява. Природата на това ускорение е непрекъсната промяна в посоката на вектора на скоростта.

Още веднъж отбелязваме, че дори да се каже, че тялото се движи равномерно в кръг, това означава, че модулът на скоростта на тялото не се променя. Това движение обаче винаги се ускорява, тъй като посоката на скоростта се променя.

В девети клас изучавахте какво представлява това ускорение и как е насочено (фиг. 7). Центростремителното ускорение винаги е насочено към центъра на окръжността, по която се движи тялото.

Ориз. 7. Центростремително ускорение

Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:

Обръщаме се към описанието на равномерното движение на тялото в кръг. Нека се съгласим, че скоростта, която сте използвали, докато описвате транслационното движение, сега ще се нарича линейна скорост. А под линейна скорост ще разбираме моментната скорост в точката на траекторията на въртящо се тяло.

Ориз. 8. Движение на дискови точки

Помислете за диск, който за определеност се върти по посока на часовниковата стрелка. На радиуса му маркираме две точки и (фиг. 8). Помислете за тяхното движение. За известно време тези точки ще се движат по дъгите на окръжността и ще станат точки и . Очевидно точката се е преместила повече от точката. От това можем да заключим, че колкото по-далеч е точката от оста на въртене, толкова по-голяма е линейната скорост, която се движи.

Въпреки това, ако внимателно разгледаме точките и , можем да кажем, че ъгълът, под който те са се обърнали спрямо оста на въртене, остава непроменен. Това са ъгловите характеристики, които ще използваме, за да опишем движението в кръг. Имайте предвид, че за да опишем движението в кръг, можем да използваме ъгълхарактеристики.

Нека започнем разглеждането на движението в кръг с най-простия случай - равномерно движение в кръг. Припомнете си, че равномерното транслационно движение е движение, при което тялото прави еднакви премествания за всякакви равни интервали от време. По аналогия можем да дадем определение за равномерно движение в кръг.

Равномерното движение в кръг е движение, при което за произволни равни интервали от време тялото се върти през едни и същи ъгли.

Подобно на концепцията за линейна скорост, се въвежда понятието за ъглова скорост.

Ъглова скорост на равномерно движение (наречена физическа величина, равна на отношението на ъгъла, под който се е обърнало тялото, към времето, през което е настъпил този завой.

Във физиката най-често се използва радианната мярка на ъгъл. Например, ъгълът при е равен на радиани. Ъгловата скорост се измерва в радиани в секунда:

Нека намерим връзката между ъгловата скорост на точка и линейната скорост на тази точка.

Ориз. 9. Връзка между ъглова и линейна скорост

Точката преминава по време на въртене дъга с дължина, докато се завърта под ъгъл. От дефиницията на радианската мярка на ъгъла можем да запишем:

Нека разделим лявата и дясната част на равенството на интервала от време, за който е направено движението, след което ще използваме определението за ъглова и линейна скорост:

Имайте предвид, че колкото по-далеч е точката от оста на въртене, толкова по-висока е нейната линейна скорост. И точките, разположени на оста на самото въртене, са фиксирани. Пример за това е въртележката: колкото по-близо сте до центъра на въртележката, толкова по-лесно ви е да останете на нея.

Тази зависимост на линейните и ъглови скорости се използва при геостационарни спътници (сателити, които винаги са над една и съща точка на земната повърхност). Благодарение на такива спътници ние сме в състояние да приемаме телевизионни сигнали.

Припомнете си, че по-рано въведохме понятията за период и честота на въртене.

Периодът на въртене е времето на един пълен оборот.Периодът на въртене се обозначава с буква и се измерва в секунди в SI:

Честотата на въртене е физическа величина, равна на броя обороти, които тялото прави за единица време.

Честотата се обозначава с буква и се измерва в реципрочни секунди:

Те са свързани от:

Съществува връзка между ъгловата скорост и честотата на въртене на тялото. Ако си спомним, че пълен оборот е , лесно е да видим, че ъгловата скорост е:

Чрез заместването на тези изрази в зависимостта между ъгловата и линейната скорост може да се получи зависимостта на линейната скорост от периода или честотата:

Нека запишем и връзката между центростремителното ускорение и тези количества:

По този начин знаем връзката между всички характеристики на равномерното движение в кръг.

Нека обобщим. В този урок започнахме да описваме криволинейно движение. Разбрахме как да свържем криволинейното движение с кръговото движение. Кръговото движение винаги се ускорява, а наличието на ускорение причинява факта, че скоростта винаги променя посоката си. Такова ускорение се нарича центростремително. Накрая припомнихме някои характеристики на движението в кръг (линейна скорост, ъглова скорост, период и честота на въртене) и открихме връзката между тях.

Библиография

1. Г.Я. Мякішев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Соцки. Физика 10. - М .: Образование, 2008.
2. А.П. Римкевич. Физика. Проблемна книга 10-11. - М.: Дропла, 2006.
3. О.Я. Савченко. Проблеми във физиката. - М.: Наука, 1988.
4. A.V. Перушкин, В.В. Крауклис. Курс по физика. Т. 1. - М .: Държава. уч.-пед. изд. мин. образование на РСФСР, 1957г.

1. Ayp.ru ().
2. Уикипедия ().

Домашна работа

Решавайки задачите за този урок, ще можете да се подготвите за въпроси 1 от GIA и въпроси A1, A2 от Единния държавен изпит.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задачи на A.P. Римкевич, изд. десет
2. Изчислете ъгловата скорост на минутната, секундната и часовата стрелка на часовника. Изчислете центростремителното ускорение, действащо върху върховете на тези стрелки, ако радиусът на всяка от тях е един метър.

Разглеждайки криволинейното движение на едно тяло, ще видим, че скоростта му е различна в различните моменти. Дори ако модулът на скоростта не се промени, все още има промяна в посоката на скоростта. В общия случай се променят както модулът, така и посоката на скоростта.

По този начин при криволинейно движение скоростта непрекъснато се променя, така че това движение се извършва с ускорение. За да се определи това ускорение (по модул и посока), е необходимо да се намери промяната в скоростта като вектор, т.е. да се намери увеличението на модула на скоростта и промяната в неговата посока.

Ориз. 49. Промяна на скоростта при криволинейно движение

Нека например една точка, движеща се криволинейно (фиг. 49), има в даден момент скорост и след кратък период от време - скорост. Нарастването на скоростта е разликата между векторите и . Тъй като тези вектори имат различни посоки, трябва да вземем тяхната векторна разлика. Увеличението на скоростта ще бъде изразено от вектора, представен от страната на успоредника с диагонала и другата страна. Ускорението е съотношението на увеличението на скоростта към интервала от време, за който е настъпило това увеличение. Така че ускорението

Посоката съвпада с вектора.

Избирайки достатъчно малък, стигаме до концепцията за моментално ускорение (вж. § 16); с произволен вектор ще представлява средното ускорение за определен период от време.

Посоката на ускорение при криволинейно движение не съвпада с посоката на скоростта, докато при праволинейно тези посоки съвпадат (или са противоположни). За да се намери посоката на ускорение по време на криволинейно движение, достатъчно е да се сравнят посоките на скоростите в две близки точки на траекторията. Тъй като скоростите са насочени по допирателните към траекторията, то по формата на самата траектория може да се заключи в коя посока е насочено ускорението от траекторията. Всъщност, тъй като разликата в скоростите в две близки точки на траекторията винаги е насочена в посоката, в която траекторията е извита, това означава, че ускорението винаги е насочено към вдлъбнатината на траекторията. Например, когато топката се търкаля по извит улей (фиг. 50), нейното ускорение в секции и се насочва, както е показано със стрелките, и това не зависи от това дали топката се търкаля от до или в обратна посока.

Ориз. 50. Ускоренията по време на криволинейно движение винаги са насочени към вдлъбнатината на траекторията

Ориз. 51. Към извеждането на формулата за центростремително ускорение

Да разгледаме равномерното движение на точка по криволинейна траектория. Вече знаем, че това е ускорено движение. Да намерим ускорението. За да направите това, достатъчно е да разгледаме ускорението за конкретен случай на равномерно движение по окръжност. Да вземем две близки позиции и движеща се точка, разделени от малък интервал от време (фиг. 51, а). Скоростите на движещата се точка в и са равни по абсолютна стойност, но различни по посока. Нека намерим разликата между тези скорости с помощта на правилото за триъгълник (фиг. 51, б). Триъгълници и са подобни, като равнобедрени триъгълници с равни ъгли на върха. Дължината на страната, представляваща увеличаването на скоростта за определен период от време, може да се зададе равна на , където е модулът на желаното ускорение. Страната, подобна на нея, е хордата на дъгата; поради малкостта на дъгата, дължината на нейната хорда може да се приеме приблизително равна на дължината на дъгата, т.е. . освен това, ; , където е радиусът на траекторията. От сходството на триъгълниците следва, че съотношенията на подобни страни в тях са равни:

където намираме модула на желаното ускорение:

Посоката на ускорение е перпендикулярна на хордата. За достатъчно малки интервали от време можем да приемем, че допирателната към дъгата практически съвпада с нейната хорда. Това означава, че ускорението може да се счита за насочено перпендикулярно (нормално) на допирателната към траекторията, т.е. по радиуса до центъра на окръжността. Следователно такова ускорение се нарича нормално или центростремително ускорение.

Ако траекторията не е окръжност, а произволна крива линия, тогава във формула (27.1) трябва да се вземе радиусът на окръжността, която е най-близо до кривата в дадена точка. Посоката на нормалното ускорение в този случай също ще бъде перпендикулярна на допирателната към траекторията в дадена точка. Ако по време на криволинейно движение ускорението е постоянно по големина и посока, то може да се намери като отношение на нарастването на скоростта към интервала от време, през който е настъпило това увеличение, независимо какъв е този интервал от време. Така че в този случай ускорението може да се намери по формулата

подобно на формула (17.1) за праволинейно движение с постоянно ускорение. Ето скоростта на тялото в началния момент, а е скоростта в момента на времето.

Точкова кинематика. пътека. Ход. Скорост и ускорение. Техните проекции върху координатните оси. Изчисляване на изминатото разстояние. Средни стойности.

Точкова кинематика- раздел по кинематика, който изучава математическото описание на движението на материалните точки. Основната задача на кинематиката е да опише движението с помощта на математически апарат, без да изяснява причините, които предизвикват това движение.

Път и движение.Линията, по която се движи точката на тялото, се нарича траектория. Дължината на траекторията се нарича начина, по който сме пътували. Нарича се векторът, свързващ началната и крайната точки на траекторията движение. Скорост- векторна физическа величина, характеризираща скоростта на движение на тялото, числено равна на отношението на движението за малък период от време към стойността на този период. Интервалът от време се счита за достатъчно малък, ако скоростта по време на неравномерно движение през този интервал не се е променила. Определящата формула за скоростта е v = s/t. Единицата за скорост е m/s. На практика използваната единица за скорост е km/h (36 km/h = 10 m/s). Измерете скоростта със скоростомер.

Ускорение- векторна физическа величина, характеризираща скоростта на промяна на скоростта, числено равна на отношението на промяната в скоростта към периода от време, през който е настъпила тази промяна. Ако скоростта се промени еднакво през цялото време на движение, тогава ускорението може да се изчисли по формулата a=Δv/Δt. Единица за ускорение - m / s 2

Скорост и ускорение при криволинейно движение. Тангенциално и нормално ускорение.

Криволинейни движения- движения, чиито траектории не са прави, а криви линии.

Криволинейно движение- винаги е движение с ускорение, дори ако абсолютната стойност на скоростта е постоянна. Криволинейното движение с постоянно ускорение винаги се осъществява в равнината, в която са разположени векторите на ускорението и началните скорости на точката. В случай на криволинейно движение с постоянно ускорение в равнината xOyпрогнози v xи v yскоростта му по оста воли ойи координати хи гточки по всяко време Tопределя се по формулите

v x \u003d v 0 x + a x t, x \u003d x 0 + v 0 x t + a x t + a x t 2 / 2; v y \u003d v 0 y + a y t, y = y 0 + v 0 y t + a y t 2 / 2

Специален случай на криволинейно движение е кръговото движение. Кръговото движение, дори равномерно, винаги е ускорено движение: модулът на скоростта винаги е насочен тангенциално към траекторията, постоянно променяйки посоката, така че кръговото движение винаги се случва с центростремително ускорение |a|=v 2 /r, където rе радиусът на окръжността.

Векторът на ускорението при движение по окръжност е насочен към центъра на окръжността и перпендикулярен на вектора на скоростта.

При криволинейно движение ускорението може да се представи като сума от нормалните и тангенциалните компоненти:

Нормалното (центростремително) ускорение е насочено към центъра на кривината на траекторията и характеризира промяната в скоростта в посоката:

v-мигновена скорост, rе радиусът на кривината на траекторията в дадена точка.

Тангенциалното (тангенциалното) ускорение е насочено тангенциално към траекторията и характеризира промяната в скоростта по модул.

Общото ускорение, с което се движи материална точка, е равно на:

Тангенциално ускорениехарактеризира скоростта на изменение на скоростта на движение с числова стойност и е насочена тангенциално към траекторията.

Следователно

Нормално ускорениехарактеризира скоростта на промяна на скоростта в посока. Нека изчислим вектора:

4. Кинематика на твърдо тяло. Въртене около фиксирана ос. Ъглова скорост и ускорение. Връзка между ъглови и линейни скорости и ускорения.

Кинематика на въртеливото движение.

Движението на тялото може да бъде както транслационно, така и ротационно. В този случай тялото е представено като система от твърдо свързани помежду си материални точки.

При транслационно движение всяка права линия, начертана в тялото, се движи успоредно на себе си. Според формата на траекторията транслационното движение може да бъде праволинейно и криволинейно. При транслационно движение всички точки на твърдо тяло за един и същи период от време извършват еднакви движения по големина и посока. Следователно скоростите и ускоренията на всички точки на тялото във всеки един момент от време също са еднакви. За да се опише транслационното движение, достатъчно е да се дефинира движението на една точка.

Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана оснарича се такова движение, при което всички точки на тялото се движат по окръжности, чиито центрове лежат на една права линия (ос на въртене).

Оста на въртене може да минава през тялото или да лежи извън него. Ако оста на въртене минава през тялото, тогава точките, лежащи върху оста, остават в покой по време на въртенето на тялото. Точките на твърдо тяло, разположени на различни разстояния от оста на въртене, изминават различни разстояния през едни и същи интервали от време и следователно имат различни линейни скорости.

Когато тялото се върти около фиксирана ос, точките на тялото за същия период от време правят същото ъглово изместване. Модулът е равен на ъгъла на въртене на тялото около оста във времето, посоката на вектора на ъгловото преместване с посоката на въртене на тялото е свързана по правилото на винта: ако комбинирате посоките на въртене на винта с посоката на въртене на тялото, тогава векторът ще съвпадне с транслационното движение на винта. Векторът е насочен по оста на въртене.

Скоростта на изменение на ъгловото преместване определя ъгловата скорост - ω. По аналогия с линейната скорост, понятията средна и моментна ъглова скорост:

Ъглова скоросте векторна величина.

Характеризира скоростта на изменение на ъгловата скорост средно и моментално

ъглово ускорение.

Векторът и може да съвпада с вектора и да бъде противоположен на него

При криволинейно движение посоката на вектора на скоростта се променя. В този случай неговият модул, т.е. дължината, също може да се промени. В този случай векторът на ускорението се разлага на два компонента: допирателна към траекторията и перпендикулярна на траекторията (фиг. 10). Компонентът се нарича тангенциална(тангенциално) ускорение, компонент - нормално(центростремително) ускорение.

Криволинейно ускорение

Тангенциалното ускорение характеризира скоростта на промяна на линейната скорост, а нормалното ускорение характеризира скоростта на промяна на посоката.

Общото ускорение е равно на векторната сума от тангенциалното и нормалното ускорение:

(15)

Общият модул на ускорение е:

.

Да разгледаме равномерното движение на точка по окръжност. При което и . Нека точката е в позиция 1 в разглеждания момент t (фиг. 11). След време Δt точката ще бъде в позиция 2, след като е изминала пътя Δs, равно на дъгата 1-2. В този случай скоростта на точка v получава увеличение Δv, в резултат на което векторът на скоростта, оставайки непроменен по големина, ще се завърти под ъгъл Δφ , съвпадащ по големина с централния ъгъл на базата на дъга с дължина Δs:

(16)

където R е радиусът на окръжността, по която се движи точката. Нека намерим приращението на вектора на скоростта. За да направим това, ще преместим вектора така че началото му да съвпада с началото на вектора . Тогава векторът ще бъде представен от сегмент, начертан от края на вектора до края на вектора . Този сегмент служи като основа на равнобедрен триъгълник със страни и и ъгъл Δφ в горната част. Ако ъгълът Δφ е малък (което е вярно за малкия Δt), за страните на този триъгълник можем приблизително да запишем:

.

Замествайки тук Δφ от (16), получаваме израз за модула на вектора:

.

Разделяйки двете части на уравнението на Δt и извършвайки преминаването до границата, получаваме стойността на центростремителното ускорение:

Ето и количествата vи Рса постоянни, така че могат да бъдат извадени от граничния знак. Границата на съотношението е модулът на скоростта Нарича се още линейна скорост.

Радиус на кривина

Радиусът на окръжността R се нарича радиус на кривинатраектории. Реципрочната стойност на R се нарича кривина на пътя:

.

където R е радиусът на въпросната окръжност. Ако α е централният ъгъл, съответстващ на дъгата на окръжността s, тогава, както е известно, има следната връзка между R, α и s:

s = Ra. (18)

Концепцията за радиуса на кривината се прилага не само за кръг, но и за всяка извита линия. Радиусът на кривината (или нейната реципрочна - кривина) характеризира степента на кривина на линията. Колкото по-малък е радиусът на кривината (съответно, колкото по-голяма е кривината), толкова повече линията е огъната. Нека разгледаме тази концепция по-подробно.

Кръгът на кривината на плоска линия в някаква точка A е граничното положение на окръжност, преминаваща през точка A и две други точки B 1 и B 2, тъй като те безкрайно се приближават до точка A (на фиг. 12 кривата е начертана от a плътна линия, а кръгът на кривината е пунктиран). Радиусът на окръжността на кривината дава радиуса на кривината на въпросната крива в точка А, а центърът на тази окръжност е центърът на кривината на кривата за същата точка А.

Начертайте в точки B 1 и B 2 допирателните B 1 D и B 2 E към окръжността, минаваща през точките B 1 , A и B 2 . Нормалите към тези допирателни B 1 C и B 2 C ще бъдат радиусите R на окръжността и ще се пресичат в центъра му C. Нека въведем ъгъла Δα между нормалите B1C и B 2 C; очевидно е равен на ъгъла между допирателните B 1 D и B 2 E. Нека обозначим участъка на кривата между точките B 1 и B 2 като Δs. Тогава съгласно формула (18):

.

Кръг на кривина на плоска извита линия

Определяне на кривината на равна крива в различни точки

На фиг. 13 показва кръгове на кривина на плоска линия в различни точки. В точка A 1 , където кривата е по-плоска, радиусът на кривината е по-голям, отколкото в точка A 2 , съответно кривината на линията в точка A 1 ще бъде по-малка от тази в точка A 2 . В точка A 3 кривата е дори по-плоска, отколкото в точки A 1 и A 2 , така че радиусът на кривината в тази точка ще бъде по-голям, а кривината по-малка. Освен това кръгът на кривината в точка А 3 лежи от другата страна на кривата. Следователно на величината на кривината в тази точка се приписва знак, противоположен на знака на кривината в точки A 1 и A 2: ако кривината в точки A 1 и A 2 се счита за положителна, тогава кривината в точка A 3 ще бъде отрицателен.