Теория на аритметичната и геометричната прогресия. Формула на n-ия член на геометрична прогресия
Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезния ресурс за
Числова последователност
Така че нека да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:
Можете да напишете произволни числа и може да има толкова, колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да напишем, винаги можем да кажем кое от тях е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:
Числова последователносте набор от числа, на всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.
Например за нашата последователност:
Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в поредицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е същото.
Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
в нашия случай:
Най-често срещаните видове прогресия са аритметични и геометрични. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.
Защо имаме нужда от геометрична прогресия и нейната история.
Още в древни времена италианският математик, монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи), се занимава с практическите нужди на търговията. Монахът бил изправен пред задачата да определи кой е най-малкият брой тежести, които могат да бъдат използвани за претегляне на стоките? В своите писания Фибоначи доказва, че такава система от тежести е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно сте чували и имате поне обща представа. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?
Понастоящем в житейската практика се проявява геометрична прогресия при инвестиране на средства в банка, когато сумата на лихвата се начислява върху сумата, натрупана по сметката за предходния период. С други думи, ако поставите пари на срочен депозит в спестовна банка, тогава за една година депозитът ще се увеличи от първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След още една година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената тогава сума отново се умножава по и т.н. Подобна ситуация е описана и в задачите за изчисляване на т.нар сложна лихва- процентът се взема всеки път от сумата, която е по сметката, като се отчита предходната лихва. За тези задачи ще говорим малко по-късно.
Има много по-прости случаи, когато се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази човек, той от своя страна зарази друг човек и по този начин втората вълна на инфекция - човек, а те, от своя страна, заразиха друг ... и така нататък .. .
Между другото, една финансова пирамида, същата MMM, е просто и сухо изчисление според свойствата на геометрична прогресия. Интересно? Нека го разберем.
Геометрична прогресия.
Да кажем, че имаме последователност от числа:
Веднага ще отговорите, че е лесно и името на такава последователност е с разликата на нейните членове. Какво ще кажете за нещо подобно:
Ако извадите предишното число от следващото число, тогава ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и т.н.), но последователността определено съществува и лесно се забелязва – всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!
Този тип последователност се нарича геометрична прогресияи е маркиран.
Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.
Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са произволни. Да кажем, че няма такива и първият член все още е равен, а q е, хм .. нека, тогава се оказва:
Съгласете се, че това не е прогресия.
Както разбирате, ще получим същите резултати, ако е някакво число, различно от нула, но. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата серия от числа ще бъде или всички нули, или едно число, а всички останали нули.
Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометрична прогресия, тоест за.
Нека повторим: - това е число, колко пъти се променя всеки следващ членгеометрична прогресия.
Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-нагоре).
Да кажем, че имаме позитив. Нека в нашия случай а. Какъв е вторият мандат и? Можете лесно да отговорите на това:
Добре. Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат същия знак - те положителен.
Ами ако е отрицателен? Например, а. Какъв е вторият мандат и?
Това е съвсем различна история
Опитайте се да преброите срока на тази прогресия. колко получи? Аз имам. По този начин, ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци в нейните членове, тогава знаменателят й е отрицателен. Тези знания могат да ви помогнат да се изпитате, когато решавате проблеми по тази тема.
Сега нека потренираме малко: опитайте се да определите кои числови поредици са геометрична прогресия и кои са аритметична:
Схванах го? Сравнете нашите отговори:
- Геометрична прогресия - 3, 6.
- Аритметична прогресия - 2, 4.
- Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.
Нека се върнем към нашата последна прогресия и нека се опитаме да намерим нейния член по същия начин, както в аритметиката. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.
Последователно умножаваме всеки член по.
И така, -тият член на описаната геометрична прогресия е равен на.
Както вече се досещате, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометрична прогресия. Или вече сте го извадили за себе си, описвайки как да намерите th член на етапи? Ако е така, проверете правилността на разсъжденията си.
Нека илюстрираме това с примера за намиране на -ти член на тази прогресия:
С други думи:
Намерете себе си стойността на член от дадена геометрична прогресия.
Се случи? Сравнете нашите отговори:
Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме всеки предходен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да „деперсонализираме“ тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:
Получената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете го сами, като изчислите условията на геометрична прогресия със следните условия: , a.
Преброихте ли? Нека сравним резултатите:
Съгласете се, че би било възможно да се намери член на прогресията по същия начин като член, но има възможност за погрешно изчисление. И ако вече сме намерили тия член на геометрична прогресия, а, тогава какво би могло да бъде по-лесно от използването на „отсечената“ част от формулата.
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
Съвсем наскоро говорихме за това какво може да бъде по-голямо или по-малко от нула, но има специални стойности, за които геометричната прогресия се нарича безкрайно намаляваща.
Защо мислите, че има такова име?
За начало нека запишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:
Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния в пъти, но ще има ли число? Веднага отговаряте - "не". Ето защо безкрайно намаляващото - намалява, намалява, но никога не става нула.
За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. Така че за нашия случай формулата приема следната форма:
На графиките сме свикнали да изграждаме зависимост от, следователно:
Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия порядков номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия за, и редовният номер беше обозначен не като, а като. Всичко, което остава да направите, е да начертаете графиката.
Да видим какво имаш. Ето диаграмата, която получих:
Виждаш ли? Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:
Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако първият й член също е равен. Анализирайте каква е разликата с нашата предишна диаграма?
Справихте ли се? Ето диаграмата, която получих:
Сега, след като напълно разбрахте основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите термина й и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека да преминем към нейното основно свойство.
свойство на геометрична прогресия.
Спомняте ли си свойството на членовете на аритметична прогресия? Да, да, как да намерим стойността на определен брой прогресия, когато има предишни и последващи стойности на членовете на тази прогресия. Запомни ли си? Това:
Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за условията на геометрична прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и да разсъждаваме. Ще видите, много е лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.
Да вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намеря? С аритметична прогресия това е лесно и просто, но как е тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да нарисувате всяка дадена ни стойност според формулата.
Питате, а сега какво да правим с него? Да, много просто. Като начало, нека изобразим тези формули на фигурата и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойност.
Абстрахираме се от числата, които са ни дадени, ще се съсредоточим само върху изразяването им чрез формула. Трябва да намерим стойността, подчертана в оранжево, като знаем термините в съседство с нея. Нека се опитаме да извършим различни действия с тях, в резултат на които можем да получим.
Добавяне.
Нека се опитаме да добавим два израза и получаваме:
От този израз, както виждате, няма да можем да изразим по никакъв начин, следователно ще опитаме друга опция - изваждане.
Изваждане.
Както можете да видите, ние също не можем да изразим от това, следователно ще се опитаме да умножим тези изрази един по друг.
Умножение.
Сега погледнете внимателно какво имаме, умножавайки условията на дадена ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да намерим:
Познайте за какво говоря? Правилно, за да го намерим, трябва да вземем корен квадратен от числата на геометричната прогресия, съседни на желаното число, умножени едно по друго:
Добре. Вие сами сте извели свойството на геометрична прогресия. Опитайте се да напишете тази формула в общ вид. Се случи?
Забравено условие кога? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами, на. Какво се случва в този случай? Точно така, пълна глупост, тъй като формулата изглежда така:
Съответно, не забравяйте това ограничение.
Сега нека изчислим какво е
Правилен отговор - ! Ако не сте забравили втората възможна стойност при изчисляването, значи сте страхотен човек и можете веднага да продължите към обучението, а ако сте забравили, прочетете какво е анализирано по-долу и обърнете внимание защо и двата корена трябва да бъдат записани в отговора .
Нека нарисуваме и двете наши геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и проверяваме дали и двете имат право да съществуват:
За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали тя е еднаква между всички дадени й членове? Изчислете q за първия и втория случай.
Вижте защо трябва да пишем два отговора? Защото знакът на искания член зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.
Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометрична прогресия, намерете, знаейки и
Сравнете отговорите си с правилните:
Какво мислите, ако ни бъдат дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на еднакво разстояние от него. Например, трябва да намерим, и дадено и. Можем ли да използваме формулата, която извлечем в този случай? Опитайте се да потвърдите или опровергаете тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както направихте при първоначалното извличане на формулата.
Какво получи?
Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:
От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните условия на геометрична прогресия, но и с на еднакво разстояниеот това, което членовете търсят.
Така нашата оригинална формула става:
Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е да са еднакви и за двете дадени числа.
Практикувайте върху конкретни примери, просто бъдете изключително внимателни!
- , . Да намеря.
- , . Да намеря.
- , . Да намеря.
Реших? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малък улов.
Сравняваме резултатите.
В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:
В третия случай, след внимателно разглеждане на серийните номера на дадените ни номера, разбираме, че те не са еднакво отдалечени от номера, който търсим: това е предишният номер, но отстранен на позиция, така че не е възможно за прилагане на формулата.
Как да го реша? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем с вас от какво се състои всяко дадено ни число и желаното число.
Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях. Предлагам разделяне. Получаваме:
Ние заместваме нашите данни във формулата:
Следващата стъпка, която можем да намерим - за това трябва да вземем кубичния корен на полученото число.
Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме, но трябва да намерим, а то от своя страна е равно на:
Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:
Нашият отговор: .
Опитайте се сами да решите друг същия проблем:
Като се има предвид: ,
Да намеря:
колко получи? Аз имам - .
Както виждате, всъщност имате нужда запомнете само една формула- . Всичко останало можете да изтеглите без затруднения сами по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия върху лист хартия и запишете на какво според горната формула е равно всяко от числата.
Сборът от членовете на геометрична прогресия.
Сега разгледайте формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:
За да изведем формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, умножаваме всички части на горното уравнение по. Получаваме:
Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, общи членове, например и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-во уравнение от 2-ро уравнение. Какво получи?
Сега изразете чрез формулата на член на геометрична прогресия и заменете получения израз в последната ни формула:
Групирайте израза. Трябва да получите:
Всичко, което остава да направите, е да изразите:
Съответно в този случай.
Какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. Каква е тя? Правилно серия от еднакви числа, съответно, формулата ще изглежда така:
Както при аритметичната и геометричната прогресия, има много легенди. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.
Много хора знаят, че играта шах е изобретена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от позиции, възможни в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извика изобретателя при себе си и заповяда да поиска от него каквото пожелае, като обеща да изпълни дори най-умелото желание.
Сета поиска време за размисъл и когато на следващия ден Сета се появи пред краля, той изненада краля с несравнимата скромност на молбата си. Той поиска житно зърно за първото поле на шахматната дъска, жито за второто, за третото, за четвъртото и т.н.
Кралят се ядоса и прогони Сет, като каза, че молбата на слугата не е достойна за кралска щедрост, но обеща, че слугата ще получи зърната си за всички клетки на дъската.
И сега въпросът е: използвайки формулата за сбора на членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?
Да започнем да обсъждаме. Тъй като според условието Сет е поискал пшенично зърно за първата клетка на шахматната дъска, за втората, за третата, за четвъртата и т.н., виждаме, че проблемът е за геометрична прогресия. Какво е равно в този случай?
Правилно.
Общо клетки на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, остава само да ги заместим във формулата и да изчислим.
За да представим поне приблизително "скалите" на дадено число, ние трансформираме, използвайки свойствата на степента:
Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какъв вид число ще получите, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
т.е.:
квинтилион квадрилион трилион милиард милиарда хиляди.
Фух) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете какъв размер на плевнята би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
При височина на плевнята от m и ширина от m, дължината му би трябвало да се простира до km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.
Ако кралят беше силен в математиката, той можеше да предложи на учения сам да преброи зърната, защото за да преброи милион зърна, той ще се нуждае от поне ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилионите, зърната ще трябва да се броят цял живот.
И сега ще решим проста задача за сбора от термините на геометрична прогресия.
Вася, ученик от 5 клас, се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама души и т.н. Само един човек в класа. След колко дни целият клас ще се разболее от грип?
И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. ия член на геометричната прогресия, това са двамата души, които той зарази в първия ден от пристигането си. Общият сбор от членовете на прогресията е равен на броя на учениците 5А. Съответно, ние говорим за прогресия, в която:
Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:
Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. Се случи? Вижте как изглежда при мен:
Изчислете сами колко дни биха се разболели от грип учениците, ако всеки зарази човек, а в класа имаше човек.
Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започнаха да се разболяват след един ден.
Както можете да видите, такава задача и чертежът към нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „довежда“ нови хора. Рано или късно обаче идва момент, в който последното не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, лицето от затваря веригата (). По този начин, ако човек е участвал във финансова пирамида, в която се дават пари, ако донесете двама други участници, тогава лицето (или в общия случай) няма да доведе никого, съответно ще загуби всичко, което е инвестирал в тази финансова измама .
Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален вид - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора от членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека го разберем заедно.
И така, за начало, нека да разгледаме отново тази картина на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:
И сега нека разгледаме формулата за сумата на геометричната прогресия, получена малко по-рано:
или
към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест, когато, той ще бъде почти равен, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като тя ще бъде равна.
- формулата е сборът от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
ВАЖНО!Ние използваме формулата за сбора от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброя на членовете.
Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n члена, дори ако или.
А сега нека се упражняваме.
- Намерете сумата от първите членове на геометрична прогресия с и.
- Намерете сбора от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.
Надявам се, че сте били много внимателни. Сравнете нашите отговори:
Сега знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-често срещаните експоненциални проблеми, открити на изпита, са проблеми със сложна лихва. Именно за тях ще говорим.
Задачи за изчисляване на сложна лихва.
Сигурно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбираш ли какво има предвид тя? Ако не, нека го разберем, защото след като осъзнаете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.
Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условия за депозити: това е и срокът, и допълнителната поддръжка, и лихвите с два различни начина за изчисляване - прост и сложен.
С проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако говорим за поставяне на 100 рубли годишно, тогава те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.
Сложна лихвае вариант, при който лихвена капитализация, т.е. добавянето им към размера на депозита и последващото изчисляване на дохода не от първоначалния, а от натрупания размер на депозита. Капитализацията не се случва постоянно, а с известна периодичност. По правило такива периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.
Да кажем, че поставяме едни и същи рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. Какво получаваме?
Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека да го направим стъпка по стъпка.
Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в нашата сметка, състояща се от рубли плюс лихва по тях, а именно:
Съгласен съм?
Можем да го извадим от скобата и тогава получаваме:
Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на тази, която написахме в началото. Остава да се справим с процентите
В състоянието на проблема ни се казва за годишния. Както знаете, ние не умножаваме по - ние преобразуваме процентите в десетични знаци, тоест:
нали така? Сега питате откъде идва номерът? Много просто!
Повтарям: състоянието на проблема казва за ГОДИШЕНначислена лихва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно след година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:
Осъзнах? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
Справихте ли се? Нека сравним резултатите:
Много добре! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана по нашата сметка за втория месец, като вземете предвид, че се начислява лихва върху натрупаната сума на депозита.
Ето какво ми се случи:
Или с други думи:
Мисля, че вече сте забелязали шаблон и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще бъде равен членът му или, с други думи, колко пари ще получим в края на месеца.
Направено? Проверка!
Както можете да видите, ако поставите пари в банка за една година с обикновена лихва, тогава ще получите рубли, а ако ги поставите на сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през тата година, но за по-дълъг период капитализацията е много по-изгодна:
Помислете за друг тип проблем със сложна лихва. След това, което разбрахте, ще ви е елементарно. Значи задачата е:
Звезда започна да инвестира в бранша през 2000 г. с доларов капитал. Всяка година от 2001 г. насам е реализирала печалба, равна на капитала от предходната година. Колко печалба ще получи дружеството "Звезда" в края на 2003 г., ако печалбата не бъде изтеглена от обращение?
Капиталът на фирма Звезда през 2000г.
- капитал на фирма Звезда през 2001г.
- капитал на фирма Звезда през 2002г.
- капитал на фирма Звезда през 2003г.
Или можем да напишем накратко:
За нашия случай:
2000, 2001, 2002 и 2003 г.
съответно:
рубли
Имайте предвид, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът се дава ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете проблема за сложната лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се начислява и едва след това пристъпете към изчисленията.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.
тренировка.
- Намерете член на геометрична прогресия, ако е известно, че и
- Намерете сумата от първите членове на геометрична прогресия, ако е известно, че и
- MDM Capital започва да инвестира в индустрията през 2003 г. с доларов капитал. Всяка година от 2004 г. насам тя е реализирала печалба, равна на капитала от предходната година. Компанията "MSK Cash Flows" започва да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започва да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара капиталът на една компания надвишава този на друга в края на 2007 г., ако печалбите не са били изтеглени от обращение?
Отговори:
- Тъй като условието на задачата не казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сборът от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
Фирма "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
съответно:
рубли
Парични потоци на MSK:2005, 2006, 2007.
- се увеличава с, тоест пъти.
съответно:
рубли
рубли
Нека обобщим.
1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.
2) Уравнението на членовете на геометрична прогресия -.
3) може да приеме всяка стойност, с изключение на и.
- ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат същия знак - те положителен;
- if, тогава всички следващи членове на прогресията алтернативни знаци;
- когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.
4) , при - свойство на геометрична прогресия (съседни членове)
или
, в (равноотдалечени условия)
Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора..
Например,
5) Сборът от членовете на геометрична прогресия се изчислява по формулата:
или
или
ВАЖНО!Ние използваме формулата за сбора от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че е необходимо да се намери сумата от безкраен брой членове.
6) Задачите за сложна лихва се изчисляват и по формулата на тия член на геометрична прогресия, при условие че средствата не са изтеглени от обращение:
ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО
Геометрична прогресия( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.
Знаменател на геометрична прогресияможе да приема всякаква стойност с изключение на и.
- Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат същия знак - те са положителни;
- ако, тогава всички следващи членове на прогресията се редуват със знаци;
- когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.
Уравнение на членовете на геометрична прогресия - .
Сборът от членовете на геометрична прогресияизчислено по формулата:
или
Ако прогресията е безкрайно намаляваща, тогава:
Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.
Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!
Сега най-важното.
Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.
Проблемът е, че това може да не е достатъчно...
За какво?
За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.
Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...
Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.
Но това не е основното.
Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...
Но помислете сами...
Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?
НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.
На изпита няма да ви питат теория.
Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.
И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.
Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.
Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!
Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.
За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.
Как? Има две възможности:
- Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
- Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли
Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.
Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.
В заключение...
Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.
„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.
Намерете проблеми и ги решавайте!
Геометричната прогресия, заедно с аритметиката, е важен числов ред, който се изучава в училищния курс по алгебра в 9 клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как нейната стойност влияе върху нейните свойства.
Определение на геометричната прогресия
Като начало даваме дефиницията на тази числова серия. Геометричната прогресия е поредица от рационални числа, която се образува чрез последователно умножение на първия й елемент по постоянно число, наречено знаменател.
Например числата в редовете 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножим 3 (първият елемент) по 2, получаваме 6. Ако умножим 6 по 2, получаваме 12 и така нататък.
Членовете на разглежданата последователност обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемента в поредицата.
Горното определение за прогресия може да бъде написано на езика на математиката, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да се провери тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на разглежданата серия от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойности на n.
Знаменателят на геометрична прогресия
Числото b напълно определя какъв знак ще има цялата серия от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям или по-малък от едно. Всички горепосочени опции водят до различни последователности:
- b > 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например, 1, 2, 4, 8, ... Ако елементът a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по модул, но ще намалее, като се вземе предвид знакът на числата.
- b = 1. Често такъв случай не се нарича прогресия, тъй като има обикновена серия от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.
Формула за сумата
Преди да се пристъпи към разглеждането на конкретни проблеми, използвайки знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да се даде важна формула за сумата от първите n елемента. Формулата е: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивна последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата от произволен брой членове.
Безкрайно намаляваща последователност
По-горе беше обяснение какво представлява. Сега, като знаем формулата за Sn, нека я приложим към тази серия от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, клони към нула, когато се повдигне на големи степени, тоест b∞ => 0, ако -1
Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сбора на безкрайно намаляваща геометрична прогресия S∞ се определя еднозначно от знака на първия й елемент a1.
Сега ще разгледаме няколко проблема, където ще покажем как да приложим придобитите знания към конкретни числа.
Задача номер 1. Изчисляване на неизвестни елементи от прогресията и сбора
При дадена геометрична прогресия знаменателят на прогресията е 2, а първият й елемент е 3. Какви ще бъдат нейните 7-ми и 10-ти член и каква е сумата от седемте й начални елемента?
Условието на задачата е доста просто и включва директно използване на горните формули. И така, за да изчислим елемента с номер n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ми елемент имаме: a7 = b6 * a1, замествайки известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.
Използваме добре познатата формула за сумата и определяме тази стойност за първите 7 елемента от поредицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача номер 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресията
Нека -2 е знаменателят на експоненциалната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия, включително.
Поставеният проблем не може да бъде решен директно с помощта на известни формули. Може да се реши по 2 различни начина. За пълнота представяме и двете.
Метод 1. Идеята му е проста: трябва да изчислите двете съответни суми от първите членове и след това да извадите другия от единия. Изчислете по-малката сума: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме голямата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да бъде изчислена според условието на задачата. Накрая вземаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Преди да замените числата и да броите, можете да получите формула за сумата между членовете m и n на въпросния ред. Действаме точно по същия начин, както в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да замените известни числа в получения израз и да изчислите крайния резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача номер 3. Какъв е знаменателят?
Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейната безкрайна сума е 3 и е известно, че това е намаляваща серия от числа.
Според условието на задачата не е трудно да се отгатне коя формула трябва да се използва за нейното решаване. Разбира се, за сумата от безкрайно намаляваща прогресия. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да замените известните стойности и да получите необходимия номер: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333 (3). Можем да проверим този резултат качествено, ако помним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както можете да видите, |-1 / 3|
Задача номер 4. Възстановяване на поредица от числа
Нека са дадени 2 елемента от числов ред, например, 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се възстанови цялата серия от тези данни, като се знае, че тя удовлетворява свойствата на геометрична прогресия.
За да решите проблема, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделяме втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Оттук определяме знаменателя, като вземем корен от пета степен на съотношението на членовете, известно от условието на задачата, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известен елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Така открихме знаменателят на прогресията bn и геометричната прогресия bn-1 * 17,2304966 = an, където b = 1,148698.
Къде се използват геометричните прогресии?
Ако нямаше приложение на тази числена серия на практика, тогава нейното изследване щеше да се сведе до чисто теоретичен интерес. Но има такова приложение.
3-те най-известни примера са изброени по-долу:
- Парадоксът на Зенон, при който пъргавият Ахил не може да настигне бавната костенурка, е решен с помощта на концепцията за безкрайно намаляваща последователност от числа.
- Ако на всяка клетка на шахматната дъска се поставят пшенични зърна, така че 1 зърно да се постави на 1-ва клетка, 2 - на 2-ра, 3 - на 3-та и т.н., тогава ще са необходими 18446744073709551615 зърна, за да се запълнят всички клетки на дъската!
- В играта "Ханойска кула", за да пренаредите дисковете от един прът в друг, е необходимо да се извършат 2n - 1 операции, тоест броят им нараства експоненциално от броя на използваните дискове n.
Инструкция
10, 30, 90, 270...
Необходимо е да се намери знаменателят на геометрична прогресия.
решение:
1 вариант. Да вземем произволен член на прогресията (например 90) и да го разделим на предишния (30): 90/30=3.
Ако сумата от няколко члена на геометрична прогресия или сумата от всички членове на намаляваща геометрична прогресия е известна, тогава, за да намерите знаменателя на прогресията, използвайте съответните формули:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), където Sn е сумата от първите n члена на геометричната прогресия и
S = b1/(1-q), където S е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия (сумата от всички членове на прогресията със знаменател, по-малък от един).
Пример.
Първият член на намаляваща геометрична прогресия е равен на едно, а сборът от всичките му членове е равен на две.
Необходимо е да се определи знаменателят на тази прогресия.
решение:
Заменете данните от задачата във формулата. Вземете:
2=1/(1-q), откъдето – q=1/2.
Прогресията е поредица от числа. В геометрична прогресия всеки следващ член се получава чрез умножаване на предишния по някакво число q, наречено знаменател на прогресията.
Инструкция
Ако са известни два съседни члена на геометричните b(n+1) и b(n), за да се получи знаменателят, е необходимо числото с голямо число да се раздели на предхождащото го: q=b(n +1)/b(n). Това следва от определението на прогресията и нейния знаменател. Важно условие е първият член и знаменателят на прогресията да не са равни на нула, в противен случай се счита за неопределен.
Така се установяват следните отношения между членовете на прогресията: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формулата b(n)=b1 q^(n-1) може да се изчисли всеки член от геометрична прогресия, в който знаменателят q и членът b1 са известни. Също така, всяка от прогресията по модул е равна на средната стойност на съседните й членове: |b(n)|=√, следователно прогресията получава своето .
Аналог на геометрична прогресия е най-простата експоненциална функция y=a^x, където x е в степента, a е някакво число. В този случай знаменателят на прогресията съвпада с първия член и е равен на числото a. Стойността на функцията y може да се разбира като n-ти член на прогресията, ако аргументът x се приеме като естествено число n (брояч).
Друго важно свойство на геометричната прогресия, което даде геометричната прогресия
Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, тоест всеки член се различава от предишния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Лесно е да се види, че общата формула на n-ия член на геометричната прогресия е b n = b 1 q n – 1 ; членовете с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.Още в древен Египет те знаеха не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето, например, задача от папирус на Ринд: „Седем лица имат седем котки; всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка яде седем класа царевица, всяка класа може да отгледа седем мерки ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?
 |
|
Ориз. 1. Древноегипетска задача за геометрична прогресия |
Тази задача се повтаряше много пъти с различни вариации сред другите народи в друго време. Например, в написани през XIII век. В „Книгата на сметалата“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 торби, всяка от които има 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които е в 7 ножа. Проблемът пита колко артикула има.
Сборът от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Тази формула може да се докаже, например, както следва: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Нека добавим числото b 1 q n към S n и получим:
|
Следователно S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) и получаваме необходимата формула.
Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от VI век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Вярно е, както в редица други случаи, ние не знаем къде този факт е бил известен на вавилонците .
Бързият растеж на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в Индия, многократно се използва като ясен символ на необятността на Вселената. В добре познатата легенда за появата на шаха владетелят дава на техния изобретател възможност сам да избере награда и той иска такъв брой пшенични зърна, който ще се получи, ако се постави на първата клетка на шахматната дъска , две на втория, четири на третия, осем на четвъртия и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владиката помисли, че най-много са няколко чувала, но се обърка. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят е трябвало да получи (2 64 - 1) зърно, което се изразява като 20-цифрено число; дори и цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимия брой зърна. Тази легенда понякога се тълкува като препратка към почти неограничените възможности, скрити в играта на шах.
Лесно се забелязва фактът, че това число наистина е 20-цифрено:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (по-точно изчисление дава 1,84 10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?
Геометричната прогресия се увеличава, ако знаменателят е по-голям от 1 по абсолютна стойност, или намалява, ако е по-малък от единица. В последния случай числото q n може да стане произволно малко за достатъчно голямо n. Докато нарастващата експоненца се увеличава неочаквано бързо, намаляващата експоненца намалява също толкова бързо.
Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо е числото q n се различава от нула и толкова по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) до числото S \u003d b 1 / (1 - q) . (Така разсъждава, например, Ф. Виет). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какво е значението на сумирането на ВСЯКАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой термини, не е бил достатъчно ясен за математиците.
Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Хапене“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемем дължина 1) е сбор от безкраен брой отсечки 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е така от гледната точка на идеите за безкрайната геометрична прогресия с крайна сума. И все пак - как може да бъде това?
|
Ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2 |
В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е равен на 1/2, а на някакво друго число. Нека например Ахил бяга със скорост v, костенурката се движи със скорост u и първоначалното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за времето l/v, костенурката ще се премести на разстояние lu/v през това време. Когато Ахил премине през този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u / v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първата член l и знаменател u / v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще избяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Но, отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл, дълго време не беше много ясно.
|
Ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3 |
Сборът от геометрична прогресия е използван от Архимед при определяне на площта на сегмент от парабола. Нека даденият сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точката D на параболата е успоредна на AB . Нека C е средата на AB, E - средата на AC, F - средата на CB. Начертайте линии, успоредни на DC през точки A, E, F, B; нека допирателната, начертана в точка D , тези прави се пресичат в точки K , L , M , N . Нека също да начертаем сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G, а параболата в точката H; правата FM пресича правата DB в точка Q, а параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения, DC е диаметърът на парабола (тоест сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка от даден диаметър, y е дължината на a сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметър до някаква точка на самата парабола).
По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , и тъй като DK = 2DL , тогава KA = 4LH . Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на параболата е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на отсечките AHD и DRB, взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е аналогично равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които може да се извърши същата операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата оставащи сегмента () и т.н.:
Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. По този начин площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълници ∆AHD и ∆DRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълник ∆ADB. Повтарянето на тази операция, приложено към сегментите AH , HD , DR и RB също ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взета заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB . и т.н.:
По този начин Архимед доказа, че „всеки сегмент, затворен между права линия и парабола, е четири трети от триъгълник, като има същата основа и еднаква височина“.
ЧИСЛЕНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛИ VI
§ 148. Сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Досега, говорейки за суми, винаги сме приемали, че броят на членовете в тези суми е краен (например 2, 15, 1000 и т.н.). Но когато решавате някои задачи (особено висша математика), човек трябва да се справя със сумите от безкраен брой термини
S= а 1 + а 2 + ... + а н + ... . (1)
Какви са тези суми? А-приорат сумата от безкраен брой термини а 1 , а 2 , ..., а н , ... се нарича граница на сумата S н първо П числа кога П -> ∞ :
S=S н = (а 1 + а 2 + ... + а н ). (2)
Лимит (2), разбира се, може да съществува или да не съществува. Съответно се казва, че сумата (1) съществува или не съществува.
Как да разберем дали сборът (1) съществува във всеки конкретен случай? Общото решение на този въпрос далеч надхвърля обхвата на нашата програма. Има обаче един важен специален случай, който трябва да разгледаме сега. Ще говорим за сумирането на членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
Нека бъде а 1 , а 1 q , а 1 q 2 , ... е безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Това означава, че | q |< 1. Сумма первых П членове на тази прогресия е равно на
От основните теореми за границите на променливите (виж § 136) получаваме:
Но 1 = 1, а q n = 0. Следователно
И така, сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е равна на първия член на този прогрес, разделен на едно минус знаменателя на тази прогресия.
1) Сумата от геометричната прогресия 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... е
и сборът от геометрична прогресия е 12; -6; 3; - 3/2 , ... равно
2) Проста периодична дроб 0,454545 ... се превърне в обикновена.
За да решим този проблем, представяме тази дроб като безкраен сбор:
Дясната страна на това равенство е сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е 45/100, а знаменателят е 1/100. Така
По описания начин може да се получи и общото правило за превръщане на прости периодични дроби в обикновени дроби (вж. Глава II, § 38):
За да преобразувате обикновена периодична дроб в обикновена, трябва да процедирате по следния начин: поставете периода на десетичната дроб в числителя, а в знаменателя - число, състоящо се от деветки, взети толкова пъти, колкото има цифри в периода от десетичната дроб.
3) Смесена периодична дроб 0,58333 .... се превръща в обикновена дроб.
Нека представим тази дроб като безкраен сбор:
От дясната страна на това равенство всички членове, започващи от 3/1000, образуват безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чийто първи член е 3/1000, а знаменателят е 1/10. Така
По описания начин може да се получи и общото правило за превръщане на смесени периодични дроби в обикновени дроби (виж глава II, § 38). Ние умишлено не го включваме тук. Няма нужда да запомняте това тромаво правило. Много по-полезно е да се знае, че всяка смесена периодична дроб може да бъде представена като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия и някакво число. И формулата
за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, човек трябва, разбира се, да помни.
Като упражнение ви предлагаме, освен задачите № 995-1000, дадени по-долу, отново да се обърнете към задача № 301 § 38.
Упражнения
995. Как се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия?
996. Намерете суми от безкрайно намаляващи геометрични прогресии:
997. За какви стойности х прогресия
безкрайно намалява? Намерете сумата на такава прогресия.
998. В равностранен триъгълник със страна а нов триъгълник се вписва чрез свързване на средните точки на страните му; нов триъгълник се вписва в този триъгълник по същия начин и така нататък до безкрай.
а) сумата от периметрите на всички тези триъгълници;
б) сумата от техните площи.
999. В квадрат със страна а нов квадрат се вписва чрез свързване на средните точки на страните му; по същия начин в този квадрат е вписан квадрат и така нататък до безкрай. Намерете сумата от периметрите на всички тези квадрати и сумата от техните площи.
1000. Направете безкрайно намаляваща геометрична прогресия, така че сумата й да е равна на 25 / 4, а сумата от квадратите на членовете й да е равна на 625 / 24.