При дадени 4 точки намерете смесеното произведение на векторите. Кръстосано произведение на вектори
Обозначение: abc.
Назначаване. Онлайн калкулаторът е предназначен за изчисляване на смесеното произведение на векторите. Полученото решение се записва в Word файл. Освен това в Excel се създава шаблон за решение.
Признаци на векторна компланарност
Три вектора (или повече) се наричат компланарни, ако те, когато се сведат до общ произход, лежат в една и съща равнина.Ако поне един от трите вектора е нула, тогава трите вектора също се считат за компланарни.
Знак за копланарност. Ако системата a, b, c е права, тогава abc>0 ; ако е оставен, тогава abc Геометричното значение на смесения продукт. Смесеното произведение abc на три некомпланарни вектора a, b, c е равно на обема на паралелепипеда, изграден върху векторите a, b, c, взети със знак плюс, ако системата a, b, c е права и със знак минус, ако тази система е оставена.
Смесени свойства на продукта
- При кръгова пермутация на факторите смесеният продукт не се променя, при пермутация на два фактора той обръща знака си: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Това следва от геометричния смисъл. - (a+b)cd=acd+bcd (разпределително свойство). Разширява се до произволен брой термини.
Това следва от определението за смесен продукт. - (ma)bc=m(abc) (асоциативно свойство по отношение на скаларен фактор).
Това следва от определението за смесен продукт. Тези свойства позволяват да се прилагат трансформации към смесени продукти, които се различават от обикновените алгебрични само по това, че редът на факторите може да се променя само като се вземе предвид знакът на продукта. - Смесен продукт, който има поне два равни фактора, е равен на нула: aab=0 .
Пример №1. Намерете смесен продукт. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Пример №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Всички членове, с изключение на двата крайни, са равни на нула. Също така, bca=abc . Следователно (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Пример №3. Изчислете смесеното произведение на три вектора a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение. За да се изчисли смесеното произведение на векторите, е необходимо да се намери детерминантата на системата, съставена от координатите на векторите. Записваме системата във формата
В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: кръстосано произведение на вектории смесен продукт на вектори (незабавен линк за тези, които имат нужда). Нищо, понякога се случва, че за пълно щастие, освен точково произведение на вектори, все повече и повече са необходими. Такава е векторната зависимост. Може да се създаде впечатлението, че навлизаме в джунглата на аналитичната геометрия. Това не е вярно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърва за огрев, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много разпространен и прост - едва ли по-труден от същия скаларен продукт, дори ще има по-малко типични задачи. Основното нещо в аналитичната геометрия, както мнозина ще видят или вече са видели, е ДА НЕ ГРЕШИТЕ ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)
Ако векторите блестят някъде далеч, като светкавици на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно, опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическата работа
Какво ще те направи щастлив? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма нужда да жонглираме, тъй като ще разгледаме само космически вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия - векторът и смесеното произведение на векторите се дефинират и работят в триизмерно пространство. Вече по-лесно!
При тази операция, по същия начин както при скаларното произведение, два вектора. Нека бъдат нетленни букви.
Самото действие обозначенопо следния начин:. Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам кръстосаното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.
И веднага въпрос: ако е в точково произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Ясна разлика, на първо място, в РЕЗУЛТАТА:
Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:
Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Закрит клуб. Всъщност оттук идва и името на операцията. В различна образователна литература обозначенията също могат да варират, ще използвам буквата .
Определение на кръстосания продукт
Първо ще има дефиниция със снимка, след това коментари.
Определение: кръстосано изделие неколинеарнивектори, взети в този ред, се нарича ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на паралелограма, изградена върху тези вектори; вектор ортогонална на векторите, и е насочена така, че основата да има правилна ориентация: 
Анализираме определението по кости, има много интересни неща!
Така че можем да подчертаем следните важни точки:
1) Изходни вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не колинеарен. Ще бъде уместно да разгледаме случая на колинеарните вектори малко по-късно.
2) Взети вектори в строг ред: – "а" се умножава по "бъди", а не "бъди" към "а". Резултат от векторно умножениее VECTOR , което е обозначено в синьо. Ако векторите се умножат в обратен ред, тогава получаваме вектор с еднаква дължина и противоположна посока (пурпурен цвят). Тоест равенството 
.
3) Сега нека се запознаем с геометричното значение на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и следователно на пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩАТА на паралелограма, изграден върху векторите. На фигурата този паралелограм е оцветен в черно.
Забележка : чертежът е схематичен и, разбира се, номиналната дължина на напречния продукт не е равна на площта на успоредника.
Припомняме една от геометричните формули: площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на горното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторно произведение е валидна:
Подчертавам, че във формулата говорим за ДЪЛЖИНА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е такъв, че в задачите на аналитичната геометрия площта на успоредника често се намира чрез концепцията за векторно произведение:
Получаваме втората важна формула. Диагоналът на паралелограма (червена пунктирана линия) го разделя на два равни триъгълника. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери по формулата:
4) Също толкова важен факт е, че векторът е ортогонален на векторите, т.е 
. Разбира се, противоположно насоченият вектор (пурпурната стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.
5) Векторът е насочен така, че основаТо има правоориентация. В урок за преход към нова основаГоворих подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем каква е ориентацията на пространството. Ще обясня на пръсти дясна ръка. Психически комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безимен пръст и малък пръстнатиснете в дланта си. Като резултат палец- векторният продукт ще търси нагоре. Това е дясно ориентираната основа (тя е на фигурата). Сега разменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места в резултат палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може би имате въпрос: каква основа има лява ориентация? „Присвоете“ същите пръсти лява ръкавектори и получете лявата основа и ориентацията на лявото пространство (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „усукват“ или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо премислено или абстрактно - например най-обикновеното огледало променя ориентацията на пространството и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава като цяло няма да е възможно да комбинирайте го с „оригинала“. Между другото, донесете три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)
... колко е хубаво това, за което сега знаеш дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои лектори за смяната на ориентацията са ужасни =)
Векторно произведение на колинеарни вектори
Дефиницията е разработена подробно, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият паралелограм също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такава, както казват математиците, изроденипаралелограма е нула. Същото следва и от формулата - синусът на нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула
По този начин, ако , тогава 
. Строго погледнато, самото кръстосано произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че просто е равно на нула.
Специален случай е векторното произведение на вектор и себе си:
Използвайки кръстосаното произведение, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.
За решаване на практически примери може да е необходимо тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.
Е, нека запалим огън:
Пример 1
а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако 
б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако 
Решение: Не, това не е печатна грешка, умишлено направих еднакви първоначалните данни в елементите на условието. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!
а) Според условието се изисква да се намери дължинавектор (векторен продукт). Според съответната формула:
Отговор:
Тъй като беше запитано за дължината, тогава в отговора посочваме размерността - единици.
б) Според условието се изисква да се намери квадратпаралелограм, изграден върху вектори. Площта на този паралелограм е числено равна на дължината на напречното произведение:
Отговор:
Моля, имайте предвид, че в отговора за векторния продукт изобщо не се говори, за което ни попитаха площ на фигурата, съответно размерността е квадратни единици.
Винаги гледаме КАКВО се изисква, за да бъде намерено от условието, и въз основа на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но сред учителите има достатъчно буквалисти и задачата с добри шансове ще бъде върната за доработка. Въпреки че това не е особено напрегната приказка - ако отговорът е неправилен, тогава човек остава с впечатлението, че човекът не разбира прости неща и/или не е вникнал в същността на задачата. Този момент винаги трябва да се държи под контрол, като се решава всеки проблем по висша математика, а и по други предмети.
Къде отиде голямата буква "en"? По принцип можеше допълнително да се залепи за решението, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначението на едно и също нещо.
Популярен пример за решение "направи си сам":
Пример 2
Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако 
Формулата за намиране на площта на триъгълник през векторния продукт е дадена в коментарите към определението. Решение и отговор в края на урока.
На практика задачата наистина е много често срещана, триъгълниците по принцип могат да се измъчват.
За да решим други проблеми, ни трябва:
Свойства на кръстосаното произведение на вектори
Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.
За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:
1) В други източници на информация този елемент обикновено не се разграничава в свойствата, но е много важен в практически план. Така че нека бъде.
2) 
- имотът също е обсъден по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.
3) - комбинация или асоциативензакони за векторни продукти. Константите лесно се изваждат от границите на векторното произведение. Наистина, какво правят там?
4) - разпространение или разпределениезакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скоби.
Като демонстрация помислете за кратък пример:
Пример 3
Намерете ако 
Решение:По условие отново се изисква да се намери дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра: 
(1) Съгласно асоциативните закони изваждаме константите извън границите на векторното произведение.
(2) Изваждаме константата от модула, докато модулът „изяжда” знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.
(3) Това, което следва, е ясно.
Отговор: 
Време е да хвърлите дърва в огъня:
Пример 4
Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако 
Решение: Намерете площта на триъгълник с помощта на формулата 
. Пречката е, че самите вектори "ce" и "te" са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери No3 и 4 от урока. Точково произведение на вектори. Нека го разделим на три стъпки за по-голяма яснота:
1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност изразете вектора по отношение на вектора. Все още няма информация за дължината!
(1) Ние заместваме изрази на вектори.
(2) Използвайки разпределителни закони, отворете скобите според правилото за умножение на полиномите.
(3) Използвайки асоциативните закони, изваждаме всички константи извън векторните произведения. С малко опит действия 2 и 3 могат да се извършват едновременно.
(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради приятното свойство . Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторното произведение:
(5) Представяме подобни термини.
В резултат на това векторът се оказва изразен чрез вектор, което е необходимо да се постигне: 
2) На втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на пример 3: 
3) Намерете площта на необходимия триъгълник: 
Стъпки 2-3 от решението могат да бъдат подредени в един ред.
Отговор:
Разглежданият проблем е доста често срещан в тестовете, ето пример за независимо решение:
Пример 5
Намерете ако
Кратко решение и отговор в края на урока. Нека видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)
Кръстосано произведение на вектори в координати
, дадено в ортонормирана основа , се изразява с формулата:
Формулата е наистина проста: записваме координатните вектори в горния ред на детерминанта, „опаковаме“ координатите на векторите във втория и третия ред и поставяме в строг ред- първо, координатите на вектора "ve", след това координатите на вектора "double-ve". Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава редовете също трябва да бъдат разменени: 
Пример 10
Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б) 
Решение: Тестът се основава на едно от твърденията в този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното кръстосано произведение е нула (нулев вектор): 
.
а) Намерете векторното произведение: 
Значи векторите не са колинеарни.
б) Намерете векторното произведение: 
Отговор: а) не е колинеарен, б)
Тук, може би, е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.
Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, когато се използва смесеното произведение на векторите. Всъщност всичко ще се основава на определението, геометричния смисъл и няколко работещи формули.
Смесеният продукт на векторите е продукт на три вектора:
Ето как се наредиха като влак и чакат, нямат търпение да се изчислят.
Първо отново дефиницията и снимката:
Определение: Смесен продукт некомпланаренвектори, взети в този ред, е наречен обем на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, снабден със знак "+", ако основата е дясна, и знак "-", ако основата е лява.
Нека направим рисунката. Невидимите за нас линии се начертават с пунктирана линия: 
Нека се потопим в определението:
2) Взети вектори в определен ред, тоест пермутацията на векторите в продукта, както се досещате, не минава без последствия.
3) Преди да коментирам геометричното значение, ще отбележа очевидния факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен, използвах за обозначаване на смесен продукт чрез, а резултатът от изчисленията с буквата "pe".
По дефиниция смесеното произведение е обемът на паралелепипеда, изградена върху вектори (фигурата е нарисувана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на дадения паралелепипед.
Забележка : Чертежът е схематичен.
4) Нека не се занимаваме отново с концепцията за ориентацията на основата и пространството. Значението на последната част е, че към обема може да се добави знак минус. Казано по-просто, смесеният продукт може да бъде отрицателен: .
Формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори, следва директно от определението.
За да разгледате подробно тази тема, трябва да покриете още няколко раздела. Темата е пряко свързана с термини като точка и кръстосано произведение. В тази статия се опитахме да дадем точна дефиниция, да посочим формула, която ще помогне за определяне на продукта с помощта на координатите на векторите. Освен това статията включва раздели, изброяващи свойствата на произведението и представя подробен анализ на типични равенства и проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Срок
За да определите какъв е този термин, трябва да вземете три вектора.
Определение 1
смесен продукт a → , b → и d → е стойността, която е равна на точковото произведение на a → × b → и d → , където a → × b → е умножението на a → и b → . Операцията за умножение a → , b → и d → често се означава с a → · b → · d → . Можете да трансформирате формулата по следния начин: a → b → d → = (a → × b → , d →) .
Умножение в координатна система
Можем да умножим вектори, ако са посочени в координатната равнина.
Вземете i → , j → , k →
Произведението на векторите в този конкретен случай ще има следната форма: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →
Определение 2
За изпълнение на точков продуктв координатната система трябва да добавите резултатите, получени по време на умножението на координатите.
Следователно:
a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →
Можем също да дефинираме смесено произведение от вектори, ако в дадена координатна система са посочени координатите на векторите, които се умножават.
a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b x b z d y + a x a y d x b x a z x a y d x b
По този начин може да се заключи, че:
a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
Определение 3
Смесен продукт може да бъде приравненкъм детерминанта на матрица, чиито редове са векторни координати. Визуално изглежда така: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Свойства на операциите върху вектори От характеристиките, които се открояват в скаларен или векторен продукт, можете да извлечете характеристиките, които характеризират смесения продукт. Представяме основните свойства по-долу.
- (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
- a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
- (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →
В допълнение към горните свойства трябва да се изясни, че ако факторът е нула, тогава резултатът от умножението също ще бъде нула.
Резултатът от умножението също ще бъде нула, ако два или повече фактора са равни.
Всъщност, ако a → = b → , тогава, следвайки дефиницията на векторното произведение [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 , следователно, смесеното произведение е равно на нула, тъй като ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .
Ако a → = b → или b → = d → , тогава ъгълът между векторите [ a → × b → ] и d → е равен на π 2 . По дефиниция на скаларното произведение на векторите ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .
Свойствата на операцията за умножение най-често се изискват при решаване на задачи.
За да анализираме подробно тази тема, нека вземем няколко примера и ги опишем подробно.
Пример 1
Докажете равенството ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , където λ е някакво реално число.
За да се намери решение на това равенство, е необходимо да се трансформира лявата му страна. За да направите това, трябва да използвате третото свойство на смесения продукт, което гласи:
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Анализирахме, че (([ a → × b → ], b →) = 0. От това следва, че
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)
Съгласно първото свойство ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , и ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Така ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . Ето защо,
([ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →)
Равенството е доказано.
Пример 2
Необходимо е да се докаже, че модулът на смесеното произведение на три вектора не е по-голям от произведението на техните дължини.
Решение
Въз основа на условието можем да представим примера като неравенство a → × b → , d → ≤ a → b → d → .
По дефиниция трансформираме неравенството a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)
Използвайки елементарни функции, можем да заключим, че 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 .
От това може да се заключи, че
(a → × b → , d →) = a → b → sin (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →
Неравенството е доказано.
Анализ на типичните задачи
За да се определи какво е произведението на векторите, трябва да се знаят координатите на умножените вектори. За операцията можете да използвате следната формула a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Пример 3
В правоъгълна координатна система има 3 вектора със следните координати: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5) ) . Необходимо е да се определи на какво е равно произведението на посочените вектори a → · b → · d →.
Въз основа на теорията, представена по-горе, можем да използваме правилото, което гласи, че смесеният продукт може да се изчисли по отношение на детерминанта на матрицата. Ще изглежда така: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7
Пример 4
Необходимо е да се намери произведението на векторите i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → , където i → , j → , k → са единичните вектори на правоъгълник Декартова координатна система.
Въз основа на условието, че векторите са разположени в дадена координатна система, можем да изведем техните координати: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)
Използвайте формулата по-горе
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0
Възможно е също така да се дефинира смесеното произведение с помощта на дължината на вектора, която вече е известна, и ъгъла между тях. Нека анализираме тази теза с пример.
Пример 5
В правоъгълна координатна система има три вектора a → , b → и d →, които са перпендикулярни един на друг. Те са права тройка и техните дължини са 4 , 2 и 3 . Трябва да умножим векторите.
Означете c → = a → × b → .
Съгласно правилото резултатът от умножаването на скаларни вектори е число, което е равно на резултата от умножаването на дължините на векторите, използвани от косинуса на ъгъла между тях. Заключаваме, че a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^) .
Използваме дължината на вектора d →, определена в примерното условие: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Необходимо е да се дефинират c → и c → , d → ^. По условие a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . Намерете вектора c → по формулата: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
Може да се заключи, че c → е перпендикулярно на a → и b → . Векторите a → , b → , c → ще бъдат дясната тройка, така че се използва декартовата координатна система. Векторите c → и d → ще бъдат еднопосочни, тоест c → , d → ^ = 0 . Използвайки получените резултати, решаваме примера a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .
a → · b → · d → = 24 .
Използваме факторите a → , b → и d → .
Векторите a → , b → и d → идват от една и съща точка. Използваме ги като страни за изграждане на фигура.
Означете, че c → = [ a → × b → ] . За този случай можете да дефинирате произведението на векторите като a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → , където n p c → d → е числовата проекция на векторът d → към посоката на вектора c → = [ a → × b → ] .
Абсолютната стойност на n p c → d → е равна на числото, което е равно и на височината на фигурата, за която като страни се използват векторите a → , b → и d →. Въз основа на това трябва да се изясни, че c → = [ a → × b → ] е перпендикулярно на a → и вектор и вектор според дефиницията за векторно умножение. Стойността c → = a → x b → е равна на площта на паралелепипеда, изграден върху векторите a → и b → .
Заключаваме, че модулът на произведението a → b → d → = c → n p c → d → е равен на резултата от умножаването на основната площ по височината на фигурата, която е изградена върху векторите a → , b → и г → .
Определение 4
Абсолютната стойност на кръстосаното произведение е обемът на паралелепипеда: V parallelelelepi pida = a → · b → · d → .
Тази формула е геометричният смисъл.
Определение 5
Обем на тетраедър, който е изграден върху a → , b → и d → , е равен на 1/6 от обема на паралелепипеда = 1 6 · a → · b → · d → .
За да затвърдим знанията, ще анализираме няколко типични примера.
Пример 6
Необходимо е да се намери обемът на паралелепипеда, чиито страни са A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2), дадено в правоъгълна координатна система. Обемът на паралелепипед може да се намери с помощта на формулата за абсолютна стойност. От това следва: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18
Тогава V parallelele pipeda = - 18 = 18 .
V паралелелепипида = 18
Пример 7
Координатната система съдържа точки A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1) . Необходимо е да се определи обемът на тетраедъра, който се намира в тези точки.
Нека използваме формулата V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Можем да определим координатите на векторите от координатите на точките: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)
След това дефинираме смесеното произведение A B → A C → A D → по координатите на векторите: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 Обем V t e r a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .
V t e t ra hedra = 7 6 .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter